સંખ્યાઓના સરવાળા અને ગુણાકારના મૂળભૂત ગુણધર્મો.

વધારાની વિનિમયાત્મક મિલકત: શરતોને ફરીથી ગોઠવવાથી રકમની કિંમત બદલાતી નથી. કોઈપણ સંખ્યા માટે a અને b સમાનતા સાચી છે

સરવાળોનો સંયુક્ત ગુણધર્મ: બે સંખ્યાના સરવાળામાં ત્રીજી સંખ્યા ઉમેરવા માટે, તમે પ્રથમ નંબરમાં બીજા અને ત્રીજાનો સરવાળો ઉમેરી શકો છો. કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b અને c સમાનતા સાચી છે

ગુણાકારની વિનિમયાત્મક મિલકત: પરિબળોને ફરીથી ગોઠવવાથી ઉત્પાદનની કિંમત બદલાતી નથી. કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b અને c સમાનતા સાચી છે

ગુણાકારની સંયુક્ત ગુણધર્મ: બે સંખ્યાના ગુણાંકને ત્રીજી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમે પ્રથમ સંખ્યાને બીજા અને ત્રીજાના ગુણાંકથી ગુણાકાર કરી શકો છો.

કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b અને c સમાનતા સાચી છે

ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ પ્રોપર્ટી: કોઈ સંખ્યાને સરવાળો દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમે તે સંખ્યાને દરેક પદ વડે ગુણાકાર કરી શકો છો અને પરિણામો ઉમેરી શકો છો. કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b અને c સમાનતા સાચી છે

વધારાના વિનિમયાત્મક અને સંયોજન ગુણધર્મોમાંથી તે નીચે મુજબ છે: કોઈપણ રકમમાં તમે શરતોને તમને ગમે તે રીતે ફરીથી ગોઠવી શકો છો અને મનસ્વી રીતે તેમને જૂથોમાં જોડી શકો છો.

ઉદાહરણ 1 ચાલો સરવાળા 1.23+13.5+4.27 ની ગણતરી કરીએ.

આ કરવા માટે, પ્રથમ શબ્દને ત્રીજા સાથે જોડવાનું અનુકૂળ છે. અમને મળે છે:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

ગુણાકારના વિનિમયાત્મક અને સંયોજન ગુણધર્મોમાંથી તે નીચે મુજબ છે: કોઈપણ ઉત્પાદનમાં તમે કોઈપણ રીતે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવી શકો છો અને મનસ્વી રીતે તેમને જૂથોમાં જોડી શકો છો.

ઉદાહરણ 2 ચાલો ઉત્પાદન 1.8·0.25·64·0.5નું મૂલ્ય શોધીએ.

પ્રથમ પરિબળને ચોથા સાથે અને બીજાને ત્રીજા સાથે જોડીને, અમારી પાસે છે:

1.8·0.25·64·0.5=(1.8·0.5)·(0.25·64)=0.9·16=14.4.

જ્યારે સંખ્યાને ત્રણ અથવા વધુ પદોના સરવાળાથી ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે વિતરક ગુણધર્મ પણ સાચી હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b, c અને d સમાનતા સાચી છે

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

આપણે જાણીએ છીએ કે બાદબાકીને સરવાળા દ્વારા બદલી શકાય છે અને બાદબાકીને બાદબાકીની વિરુદ્ધની સંખ્યા ઉમેરીને કરી શકાય છે:

આ સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિને મંજૂરી આપે છે a-b ટાઈપ કરોસંખ્યાઓનો સરવાળો ગણો a અને -b, a+b-c-d ફોર્મની સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિને a, b, -c, -d, વગેરે સંખ્યાઓનો સરવાળો ગણવામાં આવે છે. ક્રિયાઓના ગણવામાં આવેલ ગુણધર્મો પણ આવા સરવાળો માટે માન્ય છે.

ઉદાહરણ 3 ચાલો સમીકરણ 3.27-6.5-2.5+1.73 ની કિંમત શોધીએ.

આ અભિવ્યક્તિ 3.27, -6.5, -2.5 અને 1.73 નંબરોનો સરવાળો છે. ઉમેરણના ગુણધર્મોને લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

ઉદાહરણ 4 ચાલો ઉત્પાદન 36·()ની ગણતરી કરીએ.

ગુણકને સંખ્યાઓનો સરવાળો ગણી શકાય અને -. ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

36()=36·-36·=9-10=-1.

ઓળખાણ

વ્યાખ્યા. બે સમીકરણો કે જેના અનુરૂપ મૂલ્યો ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સમાન હોય તેમને સમાન રીતે સમાન કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. સમાનતા જે ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સાચી હોય તેને ઓળખ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો x=5, y=4 માટે 3(x+y) અને 3x+3y સમીકરણોની કિંમતો શોધીએ:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

અમને સમાન પરિણામ મળ્યું. થી વિતરણ ગુણધર્મોતે અનુસરે છે કે સામાન્ય રીતે, ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે, 3(x+y) અને 3x+3y સમીકરણોના અનુરૂપ મૂલ્યો સમાન હોય છે.

ચાલો હવે 2x+y અને 2xy સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ. x=1, y=2 માટે તેઓ લે છે સમાન મૂલ્યો:

જો કે, તમે x અને y ની કિંમતો એવી રીતે સ્પષ્ટ કરી શકો છો કે આ સમીકરણોની કિંમતો સમાન ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે, જો x=3, y=4, તો

અભિવ્યક્તિ 3(x+y) અને 3x+3y સમાન રીતે સમાન છે, પરંતુ 2x+y અને 2xy સમીકરણો સમાન રીતે સમાન નથી.

સમાનતા 3(x+y)=x+3y, x અને y ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સાચી, એક ઓળખ છે.

સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતાને પણ ઓળખ ગણવામાં આવે છે.

આમ, ઓળખ સમાનતાઓ છે જે સંખ્યાઓ પરની કામગીરીના મૂળભૂત ગુણધર્મોને વ્યક્ત કરે છે:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

ઓળખના અન્ય ઉદાહરણો આપી શકાય છે:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

અભિવ્યક્તિઓનું સમાન પરિવર્તન

એક અભિવ્યક્તિને બીજી સમાન સમાન અભિવ્યક્તિ સાથે બદલવાને સમાન રૂપાંતર અથવા ફક્ત અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે.

ઓળખ પરિવર્તનચલ સાથેના અભિવ્યક્તિઓ સંખ્યાઓ પરની કામગીરીના ગુણધર્મોના આધારે કરવામાં આવે છે.

xy-xz જ્યારે અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધવા માટે આપેલ મૂલ્યો x, y, z, તમારે ત્રણ ક્રિયાઓ કરવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, x=2.3, y=0.8, z=0.2 સાથે આપણને મળે છે:

xy-xz=2.3·0.8-2.3·0.2=1.84-0.46=1.38.

જો તમે x(y-z) અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરો છો, જે સમાનરૂપે xy-xz અભિવ્યક્તિની સમાન છે, તો આ પરિણામ ફક્ત બે પગલાંઓ કરીને મેળવી શકાય છે:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.

અમે એક્સપ્રેશન xy-xz ને સમાન એક્સપ્રેશન x(y-z) સાથે બદલીને ગણતરીઓને સરળ બનાવી છે.

અભિવ્યક્તિઓના સમાન રૂપાંતરણોનો વ્યાપકપણે અભિવ્યક્તિના મૂલ્યોની ગણતરી કરવા અને અન્ય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થાય છે. કેટલાક સમાન રૂપાંતરણો પહેલાથી જ કરવાના હતા, ઉદાહરણ તરીકે, સમાન શરતો લાવવી, કૌંસ ખોલવા. ચાલો આ પરિવર્તનો કરવા માટેના નિયમોને યાદ કરીએ:

દોરી જવું સમાન શરતો, તમારે તેમના ગુણાંક ઉમેરવાની જરૂર છે અને સામાન્ય અક્ષર ભાગ દ્વારા પરિણામને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે;

જો કૌંસની પહેલાં વત્તાનું ચિહ્ન હોય, તો કૌંસમાં બંધ દરેક પદની નિશાની સાચવીને, કૌંસને અવગણી શકાય છે;

જો કૌંસની પહેલાં માઈનસ ચિહ્ન હોય, તો કૌંસમાં બંધાયેલ દરેક પદની નિશાની બદલીને કૌંસને અવગણી શકાય છે.

ઉદાહરણ 1 ચાલો સરવાળા 5x+2x-3xમાં સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ.

ચાલો સમાન શરતોને ઘટાડવા માટે નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

આ રૂપાંતરણ ગુણાકારના વિતરક ગુણધર્મ પર આધારિત છે.

ઉદાહરણ 2 ચાલો 2a+(b-3c) અભિવ્યક્તિમાં કૌંસ ખોલીએ.

વત્તા ચિહ્નની આગળ કૌંસ ખોલવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરવો:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

હાથ ધરવામાં આવેલ પરિવર્તન પર આધારિત છે સહયોગી મિલકતવધુમાં

ઉદાહરણ 3 ચાલો a-(4b-c) અભિવ્યક્તિમાં કૌંસ ખોલીએ.

ચાલો માઈનસ ચિહ્નની આગળના કૌંસને ખોલવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:

a-(4b-c)=a-4b+c.

કરવામાં આવેલ રૂપાંતરણ ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મ અને ઉમેરણની સંયુક્ત ગુણધર્મ પર આધારિત છે. ચાલો તે બતાવીએ. ચાલો આ અભિવ્યક્તિમાં બીજા શબ્દ -(4b-c)ને ઉત્પાદન (-1)(4b-c) તરીકે રજૂ કરીએ:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

ક્રિયાઓના ઉલ્લેખિત ગુણધર્મોને લાગુ કરીને, અમને મળે છે:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

વિષય નંબર 2.

બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર

આઈ. સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી

મૂળભૂત ખ્યાલો

બીજગણિત અભિવ્યક્તિ: પૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંક, તર્કસંગત, અતાર્કિક.

વ્યાખ્યાનો અવકાશ, માન્ય અભિવ્યક્તિ મૂલ્યો.

બીજગણિત અભિવ્યક્તિનો અર્થ.

એકપદી, બહુપદી.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો.

ફેક્ટરાઇઝેશન, બ્રેકેટિંગ સામાન્ય ગુણક.

અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત.

ડિગ્રી, ડિગ્રીના ગુણધર્મો.

કોર્ટીમ, મૂળના ગુણધર્મો.

તર્કસંગત અને અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન.

સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર, વધારવાના ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ અને ચલોની બનેલી અભિવ્યક્તિ તર્કસંગત ડિગ્રી, રૂટ કાઢવા અને કૌંસનો ઉપયોગ કરવો કહેવાય છે બીજગણિત

ઉદાહરણ તરીકે: ;
;
;

;
;
;
.

જો બીજગણિત અભિવ્યક્તિમાં ચલોમાં વિભાજન અને ચલોના મૂળ (ખાસ કરીને, એક ઘાતમાં વધારો અપૂર્ણાંક સૂચક), પછી તેને કહેવામાં આવે છે સમગ્ર

ઉદાહરણ તરીકે:
;
;
.

જો બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ઘાતની ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ અને ચલોની બનેલી હોય કુદરતી સૂચકઅને વિભાજન, અને ચલ સાથેના અભિવ્યક્તિઓમાં વિભાજનનો ઉપયોગ થાય છે, પછી તેને કહેવામાં આવે છે અપૂર્ણાંક.

ઉદાહરણ તરીકે:
;
.

સમગ્ર અને અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓકહેવાય છે તર્કસંગતઅભિવ્યક્તિઓ

ઉદાહરણ તરીકે: ;
;

.

જો બીજગણિત અભિવ્યક્તિમાં ચલોના મૂળ લેવાનો સમાવેશ થાય છે (અથવા ચલોને વધારવું અપૂર્ણાંક શક્તિ), પછી આવી બીજગણિત અભિવ્યક્તિ કહેવામાં આવે છે અતાર્કિક

ઉદાહરણ તરીકે:
;
.

ચલોના મૂલ્યો કે જેના માટે બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ બને છે તેને કહેવામાં આવે છે માન્ય ચલ મૂલ્યો.

દરેકને પુષ્કળ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોચલો કહેવામાં આવે છે વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર.

સંપૂર્ણ બીજગણિત અભિવ્યક્તિની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

અપૂર્ણાંક બીજગણિત અભિવ્યક્તિની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે સિવાય કે જે છેદને શૂન્ય બનાવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે: અર્થમાં જ્યારે
;

જ્યારે અર્થ થાય છે
, એટલે કે જ્યારે
.

અતાર્કિક બીજગણિત અભિવ્યક્તિની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે સિવાય કે જે નકારાત્મક સંખ્યાસમ શક્તિના મૂળના ચિહ્ન હેઠળ અથવા અપૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારો કરવાના સંકેત હેઠળ અભિવ્યક્તિ.

ઉદાહરણ તરીકે:
જ્યારે અર્થ થાય છે
;

જ્યારે અર્થ થાય છે
, એટલે કે જ્યારે
.

ચલોના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોને બીજગણિત અભિવ્યક્તિમાં બદલીને મેળવેલા આંકડાકીય મૂલ્ય કહેવાય છે. બીજગણિત અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય.

ઉદાહરણ તરીકે: અભિવ્યક્તિ
ખાતે
,
મૂલ્ય લે છે
.

માત્ર સંખ્યાઓ, ચલોની કુદરતી શક્તિઓ અને તેમના ઉત્પાદનો ધરાવતી બીજગણિત અભિવ્યક્તિ કહેવામાં આવે છે એકવિધ

ઉદાહરણ તરીકે:
;
;
.

મોનોમિયલ, પ્રથમ સ્થાને સંખ્યાત્મક પરિબળ અને વિવિધ ચલોની શક્તિઓના ઉત્પાદન તરીકે લખાયેલ છે, જે ઘટાડીને પ્રમાણભૂત દૃશ્ય.

ઉદાહરણ તરીકે:
;
.

સંખ્યાત્મક પરિબળ પ્રમાણભૂત સંકેતમોનોમિયલ કહેવાય છે મોનોમિયલનો ગુણાંક. તમામ ચલોના ઘાતાંકનો સરવાળો કહેવાય છે મોનોમિયલ ડિગ્રી.

જ્યારે મોનોમિયલનો એકપદી વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે અને જ્યારે મોનોમિયલનો વધારો કરવામાં આવે ત્યારે કુદરતી ડિગ્રીઅમને એક મોનોમિયલ મળે છે જેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવાની જરૂર છે.

મોનોમિયલનો સરવાળો કહેવાય છે બહુપદી.

ઉદાહરણ તરીકે:
; ;
.

જો બહુપદીની તમામ શરતો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે અને ઘટાડો કરવામાં આવે સમાન સભ્યો, પછી પરિણામી બહુપદી પ્રમાણભૂત દૃશ્ય .

ઉદાહરણ તરીકે: .

જો બહુપદીમાં માત્ર એક જ ચલ હોય, તો ઉચ્ચતમ સૂચકઆ ચલની ડિગ્રી કહેવાય છે બહુપદીની ડિગ્રી.

ઉદાહરણ તરીકે: બહુપદી પાંચમી ડિગ્રી ધરાવે છે.

ચલની કિંમત કે જેના પર બહુપદીનું મૂલ્ય શૂન્ય છે તેને કહેવામાં આવે છે બહુપદીનું મૂળ.

ઉદાહરણ તરીકે: બહુપદીના મૂળ
1.5 અને 2 નંબરો છે.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાના વિશેષ કિસ્સાઓ

ચોરસનો તફાવત:
અથવા

ચોરસ રકમ:
અથવા

ચોરસ તફાવત:
અથવા

સમઘનનો સરવાળો:
અથવા

ક્યુબ્સનો તફાવત:
અથવા

સરવાળાનું ઘન:
અથવા

તફાવત સમઘન:
અથવા

બહુપદીને અનેક પરિબળો (બહુપદી અથવા એકપદી)ના ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરવું કહેવાય છે. બહુપદીનું પરિબળ બનાવવું.

ઉદાહરણ તરીકે:.

બહુપદીના પરિબળ માટે પદ્ધતિઓ

ઉદાહરણ તરીકે: .

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને.

ઉદાહરણ તરીકે: .

જૂથ પદ્ધતિ. વિનિમયાત્મક અને સહયોગી કાયદાઓ બહુપદીના સભ્યોને વિવિધ રીતે જૂથબદ્ધ કરવાની મંજૂરી આપે છે. એક પદ્ધતિ એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે સમાન અભિવ્યક્તિ કૌંસમાં મેળવવામાં આવે છે, જે બદલામાં કૌંસમાંથી લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે:.

કોઈપણ અપૂર્ણાંક બીજગણિત અભિવ્યક્તિને બેના ભાગ તરીકે લખી શકાય છે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓછેદમાં ચલ સાથે.

ઉદાહરણ તરીકે:
.

અપૂર્ણાંક જેમાં અંશ અને છેદ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ છે અને છેદમાં ચલ હોય છે તેને કહેવામાં આવે છે તર્કસંગત અપૂર્ણાંક.

ઉદાહરણ તરીકે:
;
;
.

જો અંશ અને છેદ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકસમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરો, એકપદી અથવા બહુપદી, અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાતું નથી. આ અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત:

.

અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા વડે ભાગવાની ક્રિયા કહેવાય છે અપૂર્ણાંક ઘટાડવો:

.

ઉદાહરણ તરીકે:
;
.

કામ nપરિબળો, જેમાંથી દરેક સમાન છે એ,જ્યાં એ- એક મનસ્વી બીજગણિત અભિવ્યક્તિ અથવા વાસ્તવિક સંખ્યા, એ n – કુદરતી સંખ્યા, કહેવાય છે ડિગ્રીએ :

.

બીજગણિત અભિવ્યક્તિ એકહેવાય છે ડિગ્રીના આધારે, નંબર
n – સૂચક.

ઉદાહરણ તરીકે:
.

તે વ્યાખ્યા દ્વારા માનવામાં આવે છે કે કોઈપણ માટે એ, નહી શૂન્ય બરાબર:

અને
.

જો
, તે
.

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

જો,
, પછી અભિવ્યક્તિ n-મી ડિગ્રી જે બરાબર છે એ, કહેવાય છે મૂળn ની મી ડિગ્રીએ . તે સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે
. તે જ સમયે એકહેવાય છે આમૂલ અભિવ્યક્તિ, nકહેવાય છે રુટ ઇન્ડેક્સ.

ઉદાહરણ તરીકે:
;
;
.

રુટ ગુણધર્મોna ની મી ડિગ્રી

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

ડિગ્રી અને રુટની વિભાવનાને સામાન્ય બનાવતા, અમે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનો ખ્યાલ મેળવીએ છીએ:

.

ખાસ કરીને,
.

મૂળ સાથે કરવામાં આવતી ક્રિયાઓ

ઉદાહરણ તરીકે: .

II. વ્યવહારુ સામગ્રી

કાર્યો પૂર્ણ કરવાના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1. અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય શોધો
.

જવાબ: .

ઉદાહરણ 2. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો
.

ચાલો પ્રથમ કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીએ:

, જો
.

ચાલો બીજા કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીએ:

.

ચાલો પ્રથમ કૌંસમાંથી પરિણામને બીજા કૌંસના પરિણામ દ્વારા વિભાજીત કરીએ:

જવાબ:

ઉદાહરણ 3. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

.

ઉદાહરણ 4. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ચાલો પ્રથમ અપૂર્ણાંકને પરિવર્તિત કરીએ:

.

ચાલો બીજા અપૂર્ણાંકને પરિવર્તિત કરીએ:

.

પરિણામે આપણને મળે છે:
.

ઉદાહરણ 5.અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો
.

ઉકેલ. ચાલો નીચેની ક્રિયાઓ નક્કી કરીએ:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

જવાબ:
.

ઉદાહરણ 6.ઓળખ સાબિત કરો
.

1)
;

2)
;

ઉદાહરણ 7.અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

.

ઉકેલ. આ પગલાં અનુસરો:

;

2)
.

ઉદાહરણ 8.ઓળખ સાબિત કરો
.

ઉકેલ. આ પગલાં અનુસરો:

1)
;

2)

;

3)
.

માટે કાર્યો સ્વતંત્ર કાર્ય

1. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

એ)
;

b)
;

2. આમાં પરિબળ કરો:

એ)
;

b)
;.દસ્તાવેજ

વિષયનંબર 5.1. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો I. સૈદ્ધાંતિકસામગ્રીમૂળભૂત ખ્યાલો ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ...વિવિધનો ઉપયોગ કરીને બીજગણિતઅને ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોઅને પરિવર્તનો. II. વ્યવહારુ સામગ્રીકાર્યો પૂર્ણ કરવાના ઉદાહરણો...

બેલારુસ પ્રજાસત્તાકના શિક્ષણ મંત્રાલય

શૈક્ષણિક સંસ્થા

"ગોમેલ રાજ્ય યુનિવર્સિટીતેમને એફ. સ્કોરિના"

ગણિતની ફેકલ્ટી

MPM વિભાગ

અભિવ્યક્તિઓનું સમાન પરિવર્તન અને વિદ્યાર્થીઓને તેમને કેવી રીતે પ્રદર્શન કરવું તે શીખવવાની પદ્ધતિઓ

વહીવટકર્તા:

વિદ્યાર્થી સ્ટારોડુબોવા એ.યુ.

વૈજ્ઞાનિક સુપરવાઈઝર:

કેન્ડ. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત વિજ્ઞાન, સહયોગી પ્રોફેસર લેબેદેવા એમ.ટી.

ગોમેલ 2007

પરિચય

1 મુખ્ય પ્રકારનાં પરિવર્તનો અને તેમના અભ્યાસના તબક્કાઓ. પરિવર્તનના ઉપયોગમાં નિપુણતાના તબક્કા

નિષ્કર્ષ

સાહિત્ય

પરિચય

અંકગણિત કામગીરીના ગુણધર્મો પર આધારિત અભિવ્યક્તિઓ અને સૂત્રોના સૌથી સરળ પરિવર્તનો આમાં કરવામાં આવે છે. પ્રાથમિક શાળાઅને 5 અને 6 ગ્રેડ. પરિવર્તન કરવા માટે કુશળતા અને ક્ષમતાઓની રચના બીજગણિત કોર્સમાં થાય છે. આ પરિવર્તનની સંખ્યા અને વિવિધતામાં તીવ્ર વધારાને કારણે છે, અને તેમને ન્યાયી ઠેરવવા અને લાગુ થવાની શરતોને સ્પષ્ટ કરવા માટે પ્રવૃત્તિઓની ગૂંચવણો, ઓળખ, સમાન રૂપાંતરણની સામાન્ય વિભાવનાઓની ઓળખ અને અભ્યાસ બંનેને કારણે છે. સમકક્ષ પરિવર્તન.

1. પરિવર્તનના મુખ્ય પ્રકારો અને તેમના અભ્યાસના તબક્કાઓ. પરિવર્તનના ઉપયોગમાં નિપુણતાના તબક્કા

1. બીજગણિતની શરૂઆત

ફોર્મ્યુલાના એક અથવા બંને ભાગો પર ક્રિયાઓ કરવા માટેના નિયમો દ્વારા રજૂ કરાયેલ પરિવર્તનની અવિભાજિત સિસ્ટમનો ઉપયોગ થાય છે. ધ્યેય સરળ સમીકરણોને ઉકેલવા, કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરતા સૂત્રોને સરળ બનાવવા અને ક્રિયાઓના ગુણધર્મો પર આધારિત ગણતરીઓ તર્કસંગત રીતે હાથ ધરવા માટેના કાર્યોને પૂર્ણ કરવામાં પ્રવાહ પ્રાપ્ત કરવાનો છે.

લાક્ષણિક ઉદાહરણો:

સમીકરણો ઉકેલો:

એ); b) ; વી).

સમાન પરિવર્તન (a); સમકક્ષ અને સમાન (b).

2. એપ્લિકેશન કુશળતાની રચના ચોક્કસ પ્રકારોપરિવર્તનો

તારણો: સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો; ઘાત સાથે સંકળાયેલ પરિવર્તનો; પ્રાથમિક કાર્યોના વિવિધ વર્ગો સાથે સંકળાયેલા પરિવર્તનો.

સંસ્થા સમગ્ર સિસ્ટમપરિવર્તન (સંશ્લેષણ)

ધ્યેય વિવિધ પ્રકારના ઉકેલ માટે ઉપયોગમાં લેવા માટે યોગ્ય લવચીક અને શક્તિશાળી ઉપકરણ બનાવવાનું છે શૈક્ષણિક સોંપણીઓ . આ તબક્કામાં સંક્રમણ કોર્સના અંતિમ પુનરાવર્તન દરમિયાન ભાગોમાં શીખેલ પહેલેથી જ જાણીતી સામગ્રીને સમજવા દરમિયાન હાથ ધરવામાં આવે છે. ચોક્કસ પ્રકારોરૂપાંતરણો અગાઉ અભ્યાસ કરેલ પ્રકારોમાં ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતરણને ઉમેરે છે. આ તમામ રૂપાંતરણોને "બીજગણિત" કહી શકાય; "વિશ્લેષણાત્મક" રૂપાંતરણોમાં તે સમાવેશ થાય છે જે ભિન્નતા અને એકીકરણના નિયમો પર આધારિત હોય છે અને મર્યાદા સુધીના ફકરાઓને સમાવિષ્ટ કરે છે. આ પ્રકારનો તફાવત સમૂહની પ્રકૃતિમાં છે કે જે ઓળખમાંના ચલ (વિધેયોના અમુક સેટ) દ્વારા ચાલે છે.

જે ઓળખનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તેને બે વર્ગોમાં વહેંચવામાં આવ્યો છે:

I - સંક્ષિપ્ત ગુણાકારની ઓળખ એક વિનિમયાત્મક રિંગમાં માન્ય છે અને ઓળખ

ક્ષેત્રમાં ન્યાયી.

II - અંકગણિત કામગીરી અને મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોને જોડતી ઓળખ.

2 ઓળખ પરિવર્તનનો અભ્યાસ કરતી વખતે કાર્યોની સિસ્ટમના સંગઠનની સુવિધાઓ

કાર્યોની સિસ્ટમને ગોઠવવાનો મુખ્ય સિદ્ધાંત એ છે કે તેમને સરળથી જટિલમાં રજૂ કરવું.

વ્યાયામ ચક્ર- અભ્યાસના વિવિધ પાસાઓ અને સામગ્રીને ગોઠવવા માટેની તકનીકોનો અભ્યાસના ક્રમમાં સંયોજન. ઓળખ પરિવર્તનનો અભ્યાસ કરતી વખતે, કસરતનું ચક્ર એક ઓળખના અભ્યાસ સાથે સંકળાયેલું છે, જેની આસપાસ અન્ય ઓળખો કે જે તેની સાથે કુદરતી જોડાણમાં છે તેને જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે.એક્ઝિક્યુટિવની સાથે ચક્રમાં કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે, પ્રશ્નમાં ઓળખની લાગુ પડવાની માન્યતા જરૂરી છે. અભ્યાસ હેઠળની ઓળખનો ઉપયોગ વિવિધ આંકડાકીય ડોમેન્સ પર ગણતરીઓ કરવા માટે થાય છે. દરેક ચક્રના કાર્યોને બે જૂથોમાં વહેંચવામાં આવ્યા છે. TO પ્રથમઆમાં ઓળખ સાથે પ્રારંભિક પરિચય દરમિયાન કરવામાં આવેલા કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે. તેઓ સેવા આપે છે શૈક્ષણિક સામગ્રીએક વિષય દ્વારા એકીકૃત ઘણા સળંગ પાઠ માટે.

બીજું જૂથકસરતો વિવિધ એપ્લિકેશનો સાથે અભ્યાસ કરવામાં આવતી ઓળખને જોડે છે. આ જૂથ રચનાત્મક એકતા બનાવતું નથી - અહીંની કસરતો વિવિધ વિષયો પર વેરવિખેર છે.

વર્ણવેલ ચક્ર રચનાઓ ચોક્કસ પરિવર્તનો લાગુ કરવા માટે કુશળતા વિકસાવવાના તબક્કાનો સંદર્ભ આપે છે.

સંશ્લેષણના તબક્કે, ચક્ર બદલાય છે, કાર્યોના જૂથોને જટિલતાની દિશામાં જોડવામાં આવે છે અને વિવિધ ઓળખ સંબંધિત ચક્રના મર્જર થાય છે, જે ચોક્કસ ઓળખની લાગુતાને ઓળખવા માટે ક્રિયાઓની ભૂમિકાને વધારવામાં મદદ કરે છે.

ઉદાહરણ.

ઓળખ માટે કાર્યોનું ચક્ર:

I કાર્યોનું જૂથ:

એ) ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં હાજર:

b) સમાનતા તપાસો:

c) અભિવ્યક્તિમાં કૌંસને વિસ્તૃત કરો:

.

ડી) ગણતરી કરો:

e) ફેક્ટરાઇઝ કરો:

f) અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

.

વિદ્યાર્થીઓ માત્ર ઓળખની રચના, ઓળખના સ્વરૂપમાં તેનું લખાણ અને તેના પુરાવાથી પરિચિત થયા છે.

કાર્ય એ) સાથે જોડાણ સ્થાપિત કરવા સાથે, અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઓળખની રચનાને ઠીક કરવા સાથે સંકળાયેલ છે સંખ્યાત્મક સમૂહો(ઓળખ અને રૂપાંતરિત અભિવ્યક્તિના સાઇન સ્ટ્રક્ચર્સની સરખામણી; ઓળખમાં સંખ્યા સાથે અક્ષરની ફેરબદલ). IN છેલ્લું ઉદાહરણઅભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી પ્રજાતિઓમાં તેને ઘટાડવું હજુ પણ જરૂરી છે. નીચેના ઉદાહરણોમાં (e અને g) ઓળખની લાગુ ભૂમિકા અને સાઇન સ્ટ્રક્ચરની ગૂંચવણને કારણે એક જટિલતા છે.

પ્રકાર b) ના કાર્યો રિપ્લેસમેન્ટ કૌશલ્યો વિકસાવવા માટે છે પર કાર્ય c) ની ભૂમિકા સમાન છે.

પ્રકાર d ના ઉદાહરણો), જેમાં પરિવર્તનની દિશાઓમાંથી એક પસંદ કરવી જરૂરી છે, આ વિચારના વિકાસને પૂર્ણ કરો.

જૂથ I ના કાર્યો ઓળખના બંધારણમાં નિપુણતા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે, સૌથી સરળ, મૂળભૂત રીતે સૌથી મહત્વપૂર્ણ કેસોમાં અવેજીનું સંચાલન અને ઓળખ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવતા પરિવર્તનની ઉલટાવી શકાય તેવો વિચાર છે. ખૂબ મહત્વપૂર્ણસંવર્ધન પણ છે ભાષાકીય અર્થદર્શાવે છે વિવિધ પાસાઓઓળખ સોંપણીઓના ગ્રંથો આ પાસાઓનો ખ્યાલ આપે છે.

II કાર્યોનું જૂથ.

g) માટે ઓળખનો ઉપયોગ કરીને, બહુપદીનો પરિબળ કરો.

h) અપૂર્ણાંકના છેદમાં અતાર્કિકતાને દૂર કરો.

i) સાબિત કરો કે જો - વિષમ સંખ્યા, પછી 4 વડે વિભાજ્ય.

j) કાર્ય આપેલ છે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ

.

બે કેસોને ધ્યાનમાં લઈને મોડ્યુલસ ચિહ્નથી છુટકારો મેળવો: , .

k) સમીકરણ ઉકેલો .

આ કાર્યો શક્ય તેટલા લક્ષ્યમાં છે સંપૂર્ણ ઉપયોગઅને આ ચોક્કસ ઓળખની વિશિષ્ટતાઓને ધ્યાનમાં લેતા, વર્ગોના તફાવત માટે અભ્યાસ કરવામાં આવતી ઓળખનો ઉપયોગ કરવામાં કુશળતાની રચનાનું અનુમાન કરો. ધ્યેય તેની વિવિધ એપ્લિકેશનોને ધ્યાનમાં લઈને ઓળખની સમજને વધુ ઊંડી બનાવવાનો છે વિવિધ પરિસ્થિતિઓ, ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં અન્ય વિષયોથી સંબંધિત સામગ્રીના ઉપયોગ સાથે જોડાય છે.

અથવા .

પ્રાથમિક કાર્યો માટે ઓળખ સંબંધિત કાર્ય ચક્રની વિશેષતાઓ:

1) તેઓ કાર્યાત્મક સામગ્રીના આધારે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે;

2) પ્રથમ જૂથની ઓળખ પછીથી દેખાય છે અને ઓળખ પરિવર્તન હાથ ધરવા માટે પહેલાથી વિકસિત કુશળતાનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

ચક્રમાં કાર્યોના પ્રથમ જૂથમાં આ નવા વચ્ચે જોડાણો સ્થાપિત કરવા માટેના કાર્યોનો સમાવેશ થવો જોઈએ સંખ્યાત્મક ડોમેન્સતર્કસંગત સંખ્યાઓના મૂળ ડોમેન સાથે.

ઉદાહરણ.

ગણતરી કરો:

;

.

આવા કાર્યોનો હેતુ રેકોર્ડની વિશેષતાઓમાં નિપુણતા મેળવવાનો છે, જેમાં નવા કાર્યો અને કાર્યોના પ્રતીકોનો સમાવેશ થાય છે અને ગાણિતિક ભાષણ કૌશલ્યનો વિકાસ થાય છે.

સાથે સંકળાયેલી ઓળખ પરિવર્તનનો મોટાભાગનો ઉપયોગ પ્રાથમિક કાર્યો, અતાર્કિક અને અતીન્દ્રિય સમીકરણોના ઉકેલ પર પડે છે. પગલાંનો ક્રમ:

a) ફંક્શન શોધો φ જેના માટે આપેલ સમીકરણ f(x)=0 ને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

b) y=φ(x) ને અવેજી કરો અને સમીકરણ ઉકેલો

c) દરેક સમીકરણો φ(x)=y k ઉકેલો, જ્યાં y k એ સમીકરણ F(y)=0 ના મૂળનો સમૂહ છે.

વર્ણવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, પગલું b) વારંવાર φ(x) માટે સંકેત રજૂ કર્યા વિના, ગર્ભિત રીતે કરવામાં આવે છે. વધુમાં, વિદ્યાર્થીઓ ઘણીવાર પસંદ કરે છે અલગ અલગ રીતેજવાબ શોધવા તરફ દોરી જતા, બીજગણિતીય સમીકરણ ઝડપી અને સરળ તરફ દોરી જાય તે પસંદ કરો.

ઉદાહરણ. સમીકરણ 4 x -3*2=0 ઉકેલો.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (પગલું a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (પગલું b)

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સૂચવો.)

ગુણાતીત સમીકરણોના ઉકેલથી સંબંધિત ચક્રમાં કાર્યોનું વર્ગીકરણ, સહિત ઘાતાંકીય કાર્ય:

1) સમીકરણો કે જે x =y 0 સ્વરૂપના સમીકરણોને ઘટાડે છે અને તેનો સાદો, સામાન્ય જવાબ છે:

2) સમીકરણો જે ફોર્મ a x = a k, જ્યાં k પૂર્ણાંક છે, અથવા x = b, જ્યાં b≤0 છે તેના સમીકરણોને ઘટાડે છે.

3) સમીકરણો જે ફોર્મ a x =y 0 ના સમીકરણો સુધી ઘટાડે છે અને ફોર્મનું સ્પષ્ટ વિશ્લેષણ જરૂરી છે જેમાં નંબર y 0 સ્પષ્ટ રીતે લખાયેલ છે.

કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરતા સૂત્રોને સરળ બનાવતી વખતે આલેખ બનાવવા માટે ઓળખ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તે કાર્યો ખૂબ ફાયદાકારક છે.

a) ફંક્શન y= ગ્રાફ કરો;

b) lgx+lg(x-3)=1 સમીકરણ ઉકેલો

c) કયા સમૂહ પર સૂત્ર લોગ(x-5)+ લોગ(x+5)= લોગ(x 2 -25) ઓળખ છે?

ગણતરીમાં ઓળખ પરિવર્તનનો ઉપયોગ (જર્નલ ઓફ મેથેમેટિક્સ એટ સ્કૂલ, નંબર 4, 1983, પૃષ્ઠ 45)

કાર્ય નંબર 1. ફંક્શન y=0.3x 2 +4.64x-6 સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. x=1.2 પર ફંક્શનની કિંમતો શોધો

y(1,2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 .36+4.64)-6=1.2*5-6=0.

કાર્ય નંબર 2. પગની લંબાઈની ગણતરી કરો જમણો ત્રિકોણ, જો તેના કર્ણાકારની લંબાઈ 3.6 સે.મી. અને બીજો પગ 2.16 સે.મી.

કાર્ય નંબર 3. પરિમાણ ધરાવતા લંબચોરસ પ્લોટનો વિસ્તાર કેટલો છે a) 0.64 મીટર અને 6.25 મીટર; b) 99.8m અને 2.6m?

a)0.64*6.25=0.8 2 *2.5 2 =(0.8*2.5) 2;

b)99.8*2.6=(100-0.2)2.6=100*2.6-0.2*2.6=260-0.52.

આ ઉદાહરણો અમને ઓળખવા દે છે વ્યવહારુ એપ્લિકેશનઓળખ પરિવર્તન. વિદ્યાર્થીને પરિવર્તનની શક્યતા માટેની શરતોથી પરિચિત હોવા જોઈએ (આકૃતિઓ જુઓ).

બહુપદીની છબી, જ્યાં કોઈપણ બહુપદી ગોળ રૂપરેખામાં બંધબેસે છે (ડાયાગ્રામ 1)

-

મોનોમિયલના ઉત્પાદનને રૂપાંતરિત કરવાની શક્યતા માટેની શરત અને એક અભિવ્યક્તિ કે જે વર્ગોના તફાવતમાં રૂપાંતર કરવાની મંજૂરી આપે છે. (સ્કીમ 2)

-

અહીં હેચિંગનો અર્થ સમાન મોનોમિયલ છે અને એક અભિવ્યક્તિ આપવામાં આવી છે જેને વર્ગોના તફાવતમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે (સ્કીમ 3)

એક અભિવ્યક્તિ જે સામાન્ય પરિબળ માટે પરવાનગી આપે છે.

વિદ્યાર્થીઓની પરિસ્થિતિઓને ઓળખવાની કુશળતાનો ઉપયોગ કરીને વિકાસ કરી શકાય છે નીચેના ઉદાહરણો:

સામાન્ય અવયવને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીને નીચેનામાંથી કઈ અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરી શકાય છે:

2)

3) 0.7a 2 +0.2b 2 ;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;

7) 0,21+0,22+0,23.

વ્યવહારમાં મોટાભાગની ગણતરીઓ સંતોષકારકતાની શરતોને સંતોષતી નથી, તેથી વિદ્યાર્થીઓને તેમને એવા સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટે કૌશલ્યની જરૂર છે જે પરિવર્તનની ગણતરીને મંજૂરી આપે. આ કિસ્સામાં, નીચેના કાર્યો યોગ્ય છે:

સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવાનો અભ્યાસ કરતી વખતે:

આ અભિવ્યક્તિ, જો શક્ય હોય તો, અભિવ્યક્તિમાં રૂપાંતરિત કરો, જે આકૃતિ 4 માં દર્શાવવામાં આવ્યું છે:

4) 2a*a 2 *a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

"સમાન રૂપાંતર" ની વિભાવનાની રચના કરતી વખતે, તે યાદ રાખવું જોઈએ કે આનો અર્થ એ નથી કે પરિવર્તનના પરિણામે આપેલ અને પરિણામી અભિવ્યક્તિ તેમાં સમાવિષ્ટ અક્ષરોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સમાન મૂલ્યો લે છે, પરંતુ એ પણ કે સમાન રૂપાંતરણ દરમિયાન આપણે અભિવ્યક્તિથી આગળ વધીએ છીએ જે ગણતરીની એક રીતને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને સમાન મૂલ્યની ગણતરી કરવાની બીજી રીતને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

તમે ઉદાહરણો સાથે રેખાકૃતિ 5 (એકવિધ અને બહુપદીના ઉત્પાદનને કન્વર્ટ કરવાનો નિયમ) સમજાવી શકો છો.

0.5a(b+c) અથવા 3.8(0.7+).

કૌંસમાંથી સામાન્ય પરિબળ કેવી રીતે લેવું તે શીખવા માટેની કસરતો:

અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરો:

a) 4.59*0.25+1.27*0.25+2.3-0.25;

b) a+bc a=0.96 પર; b=4.8; c=9.8.

c) a(a+c)-c(a+b) a=1.4 સાથે; b=2.8; c=5.2.

ચાલો આપણે ગણતરીઓ અને ઓળખ પરિવર્તનમાં કૌશલ્યની રચનાને સમજાવીએ (જર્નલ ઑફ મેથેમેટિક્સ એટ સ્કૂલ, નંબર 5, 1984, પૃષ્ઠ 30)

1) કુશળતા અને ક્ષમતાઓ ઝડપથી પ્રાપ્ત થાય છે અને જો તેમની રચના સભાન ધોરણે થાય છે (ચેતનાના ઉપદેશાત્મક સિદ્ધાંત).

1) તમે સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે એક નિયમ ઘડી શકો છો સમાન છેદઅથવા અગાઉ ચાલુ ચોક્કસ ઉદાહરણોસમાન શેર ઉમેરવાના સારને ધ્યાનમાં લો.

2) સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીને ફેક્ટરિંગ કરતી વખતે, આ સામાન્ય પરિબળને જોવું અને પછી વિતરણ કાયદો લાગુ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે. પ્રથમ કસરતો કરતી વખતે, બહુપદીના દરેક શબ્દને ઉત્પાદન તરીકે લખવું ઉપયોગી છે, એક પરિબળ જે સામાન્ય છેબધી શરતો માટે:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

જ્યારે બહુપદીના મોનોમિઅલ્સમાંથી એકને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે ત્યારે આ કરવું ખાસ કરીને ઉપયોગી છે:

II. પ્રથમ તબક્કોકૌશલ્યની રચના - કૌશલ્યમાં નિપુણતા (વ્યાયામ સાથે કરવામાં આવે છે વિગતવાર ખુલાસોઅને રેકોર્ડ્સ)

(ચિહ્નનો મુદ્દો પહેલા ઉકેલાઈ ગયો છે)

બીજો તબક્કો- કેટલીક મધ્યવર્તી કામગીરીને દૂર કરીને કૌશલ્યને સ્વચાલિત કરવાનો તબક્કો

III. કૌશલ્યની તાકાત એવા ઉદાહરણોને હલ કરીને પ્રાપ્ત થાય છે જે સામગ્રી અને સ્વરૂપ બંનેમાં વૈવિધ્યસભર છે.

વિષય: "સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવું."

1. બહુપદીને બદલે ખૂટતું પરિબળ લખો:

2. ફેક્ટરાઇઝ કરો જેથી કૌંસ પહેલા નકારાત્મક ગુણાંક સાથે એકવિધ હોય:

3. પરિબળ જેથી કરીને કૌંસમાં બહુપદીમાં પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય:

4. સમીકરણ ઉકેલો:

IV. જ્યારે કેટલીક મધ્યવર્તી ગણતરીઓ અથવા રૂપાંતરણ મૌખિક રીતે કરવામાં આવે ત્યારે કૌશલ્ય રચના સૌથી અસરકારક હોય છે.

(મૌખિક રીતે);

V. જે કૌશલ્યો અને ક્ષમતાઓ વિકસાવવામાં આવી રહી છે તે વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાન, કૌશલ્યો અને ક્ષમતાઓની અગાઉ રચાયેલી સિસ્ટમનો ભાગ હોવા જોઈએ.

ઉદાહરણ તરીકે, સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને બહુપદીને કેવી રીતે પરિબળ બનાવવું તે શીખવતી વખતે, નીચેની કસરતો આપવામાં આવે છે:

ફેક્ટરાઇઝ કરો:

VI. ગણતરીઓ અને પરિવર્તનોના તર્કસંગત અમલની જરૂરિયાત.

વી)અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

તર્કસંગતતા કૌંસ ખોલવામાં આવેલું છે, કારણ કે

VII. ઘાતાંક ધરાવતા સમીકરણોને રૂપાંતરિત કરી રહ્યાં છે.

નંબર 1011 (Alg.9) અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

નંબર 1012 (Alg.9) રૂટ ચિહ્નની નીચેથી ગુણકને દૂર કરો:

નંબર 1013 (Alg.9) રૂટ ચિહ્ન હેઠળ એક પરિબળ દાખલ કરો:

નંબર 1014 (Alg.9) અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

બધા ઉદાહરણોમાં, પ્રથમ કાં તો અવયવીકરણ કરો, અથવા સામાન્ય પરિબળની બાદબાકી કરો, અથવા "જુઓ" અનુરૂપ સૂત્રસંક્ષેપ

નંબર 1015 (Alg.9) અપૂર્ણાંક ઘટાડો:

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ મૂળ ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કરવામાં થોડી મુશ્કેલી અનુભવે છે, ખાસ કરીને સમાનતાનો અભ્યાસ કરતી વખતે:

તેથી, ક્યાં તો ફોર્મના વિગતવાર અભિવ્યક્તિઓનું વર્ણન કરો અથવા અથવા તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી પર જાઓ.

નંબર 1018 (Alg.9) અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો:

નંબર 1019 (Alg.9) અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

2.285 (Skanavi) અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો

અને પછી ફંક્શન પ્લોટ કરો yમાટે

નંબર 2.299 (સ્કાનવી) સમાનતાની માન્યતા તપાસો:

ડિગ્રી ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતરણ એ બહુપદીના સમાન પરિવર્તનના અભ્યાસમાં હસ્તગત કુશળતા અને ક્ષમતાઓનું સામાન્યીકરણ છે.

નંબર 2.320 (સ્કાનવી) અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

બીજગણિત 7 અભ્યાસક્રમ નીચેની વ્યાખ્યાઓ પ્રદાન કરે છે.

ડેફ. બે અભિવ્યક્તિઓ કે જેના અનુરૂપ મૂલ્યો ચલોના મૂલ્યો માટે સમાન હોય છે તે સમાનરૂપે સમાન હોવાનું કહેવાય છે.

ડેફ. સમાનતા કહેવાતા ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સાચી છે. ઓળખ

નંબર 94 (Alg.7) સમાનતા છે:

a)

c)

ડી)

વર્ણનની વ્યાખ્યા: એક અભિવ્યક્તિને બીજી સમાન સમાન અભિવ્યક્તિ સાથે બદલવાને સમાન રૂપાંતર અથવા ફક્ત અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓના ગુણધર્મોના આધારે ચલો સાથેના અભિવ્યક્તિઓનું સમાન રૂપાંતરણ કરવામાં આવે છે.

નં. (Alg.7) અભિવ્યક્તિઓ વચ્ચે

સમાન સમાન છે તે શોધો.

વિષય: "અભિવ્યક્તિના સમાન પરિવર્તન" (પ્રશ્ન તકનીક)

"બીજગણિત -7" નો પ્રથમ વિષય - "અભિવ્યક્તિ અને તેમના પરિવર્તન" ગ્રેડ 5-6 માં મેળવેલી કોમ્પ્યુટેશનલ કુશળતાને એકીકૃત કરવામાં, અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તન અને સમીકરણોના ઉકેલો વિશેની માહિતીને વ્યવસ્થિત અને સામાન્ય બનાવવા માટે મદદ કરે છે.

આંકડાકીય મૂલ્યો શોધવી અને શાબ્દિક અભિવ્યક્તિઓવિદ્યાર્થીઓ સાથે ક્રિયાના નિયમોનું પુનરાવર્તન કરવાનું શક્ય બનાવે છે તર્કસંગત સંખ્યાઓ. પ્રદર્શન કરવાની ક્ષમતા અંકગણિત કામગીરીતર્કસંગત સંખ્યાઓ એ સમગ્ર બીજગણિત અભ્યાસક્રમનો આધાર છે.

અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તનને ધ્યાનમાં લેતા, ઔપચારિક અને ઓપરેશનલ કૌશલ્યો એ જ સ્તરે રહે છે જે ગ્રેડ 5-6માં પ્રાપ્ત થયું હતું.

જો કે, અહીં વિદ્યાર્થીઓ માસ્ટરિંગ થિયરીમાં નવા સ્તરે પહોંચે છે. વિભાવનાઓ "સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓ"", "ઓળખ", "અભિવ્યક્તિના સમાન રૂપાંતરણ", જેની સામગ્રી વિવિધ બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતરણોનો અભ્યાસ કરતી વખતે સતત પ્રગટ થશે અને વધુ ગહન થશે. તે પર ભાર મૂકવામાં આવે છે કે ઓળખ પરિવર્તનનો આધાર નંબરો પરની કામગીરીના ગુણધર્મો છે.

"બહુપદીઓ" વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે, બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓના સમાન પરિવર્તનની ઔપચારિક ઓપરેશનલ કુશળતા રચાય છે. સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો સમગ્ર અભિવ્યક્તિના સમાન રૂપાંતર કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવાની આગળની પ્રક્રિયામાં ફાળો આપે છે; , તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ.

8મા ધોરણમાં, ઓળખ રૂપાંતરણની હસ્તગત કૌશલ્યોની સાથે ક્રિયાઓમાં પ્રેક્ટિસ કરવામાં આવે છે. બીજગણિત અપૂર્ણાંક, વર્ગમૂળઅને પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓ.

ભવિષ્યમાં, ઓળખ પરિવર્તનની તકનીકો તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે.

વિશેષ જૂથઓળખ પરિવર્તન છે ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓઅને લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ.

TO ફરજિયાત પરિણામોગ્રેડ 7-9 માં બીજગણિત અભ્યાસક્રમો માટેના ટ્યુશનમાં શામેલ છે:

1) પૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓનું ઓળખ પરિવર્તન

a) કૌંસ ખોલવા અને બંધ કરવા;

b) સમાન સભ્યોને લાવવા;

c) બહુપદીનો સરવાળો, બાદબાકી અને ગુણાકાર;

d) સામાન્ય પરિબળને કૌંસ અને સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોમાંથી બહાર કાઢીને બહુપદીનું પરિબળ બનાવવું;

e) વિઘટન ચતુર્ભુજ ત્રિપદીગુણક દ્વારા.

"શાળામાં ગણિત" (B.U.M.) p.110

2) તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના સમાન રૂપાંતરણો: સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને અપૂર્ણાંકનો ભાગાકાર, તેમજ સરળ સંયુક્ત પરિવર્તનો કરતી વખતે સૂચિબદ્ધ કુશળતા લાગુ કરો [p. 111]

3) વિદ્યાર્થીઓ ડિગ્રી અને મૂળ ધરાવતા સરળ અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ. (પૃ. 111-112)

મુખ્ય પ્રકારની સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી, ઉકેલવાની ક્ષમતા જે વિદ્યાર્થીને સકારાત્મક ગ્રેડ પ્રાપ્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ઓળખ પરિવર્તનનો અભ્યાસ કરવા માટેની પદ્ધતિના સૌથી મહત્વપૂર્ણ પાસાઓ પૈકી એક છે વિદ્યાર્થી દ્વારા ઓળખ પરિવર્તન કરવા માટેના લક્ષ્યોનો વિકાસ.

1) - સરળીકરણ સંખ્યાત્મક મૂલ્યઅભિવ્યક્તિઓ

2) કયું પરિવર્તન કરવું જોઈએ: (1) અથવા (2) આ વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ એક પ્રેરણા છે (પ્રાધાન્યક્ષમ (1), કારણ કે (2) માં વ્યાખ્યાનો અવકાશ સંકુચિત છે)

3) સમીકરણ ઉકેલો:

સમીકરણો ઉકેલતી વખતે ફેક્ટરિંગ.

4) ગણતરી કરો:

ચાલો સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્ર લાગુ કરીએ:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો:

મૂલ્ય શોધવા માટે, દરેક અપૂર્ણાંકને તેના જોડાણ દ્વારા ગુણાકાર કરો:

6) કાર્યનો આલેખ કરો:

ચાલો આખો ભાગ પસંદ કરીએ: .

ઓળખ પરિવર્તન કરતી વખતે ભૂલોનું નિવારણ તેમના અમલીકરણના વિવિધ ઉદાહરણો દ્વારા મેળવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, "નાની" તકનીકોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, જે, ઘટકો તરીકે, મોટા પરિવર્તન પ્રક્રિયામાં શામેલ છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

સમીકરણની દિશાઓના આધારે, ઘણી સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે: બહુપદીનો જમણેથી ડાબે ગુણાકાર; ડાબેથી જમણે - ફેક્ટરાઇઝેશન. ડાબી બાજુજમણી બાજુના પરિબળોમાંના એકનો બહુવિધ છે, વગેરે.

વિવિધ ઉદાહરણો ઉપરાંત, તમે ઉપયોગ કરી શકો છો ઓળખ અને સંખ્યાત્મક સમાનતા વચ્ચે ક્ષમાયાચના.

આગળની ટેકનિક ઓળખની સમજૂતી છે.

વિદ્યાર્થીઓની રુચિ વધારવા માટે, અમે શોધવાનો સમાવેશ કરી શકીએ છીએ વિવિધ રીતેસમસ્યાનું નિરાકરણ.

જો તમે તેને સમર્પિત કરશો તો ઓળખ પરિવર્તનનો અભ્યાસ કરવાના પાઠ વધુ રસપ્રદ બનશે સમસ્યાના ઉકેલની શોધમાં .

ઉદાહરણ તરીકે: 1) અપૂર્ણાંક ઘટાડો:

3) સૂત્ર સાબિત કરો " જટિલ આમૂલ»

ધ્યાનમાં લો:

ચાલો પરિવર્તન કરીએ જમણી બાજુસમાનતા

-

સંયુક્ત અભિવ્યક્તિઓનો સરવાળો. તેઓને તેમના સંયોજક દ્વારા ગુણાકાર અને વિભાજિત કરી શકાય છે, પરંતુ આવી ક્રિયા આપણને અપૂર્ણાંક તરફ દોરી જશે જેનો છેદ રેડિકલનો તફાવત છે.

નોંધ કરો કે ઓળખના પ્રથમ ભાગમાં પ્રથમ શબ્દ બીજા કરતા મોટી સંખ્યા છે, તેથી અમે બંને ભાગોને વર્ગીકૃત કરી શકીએ છીએ:

વ્યવહારુ પાઠ №3.

વિષય: અભિવ્યક્તિઓનું સમાન પરિવર્તન (પ્રશ્ન તકનીક).

સાહિત્ય: "MPM પર વર્કશોપ", પૃષ્ઠ 87-93.

સહી ઉચ્ચ સંસ્કૃતિગણતરીઓ અને ઓળખ પરિવર્તન, વિદ્યાર્થીઓને ચોક્કસ અને અંદાજિત જથ્થાઓ અને તેમના કુશળ ઉપયોગ પરની કામગીરીના ગુણધર્મો અને અલ્ગોરિધમ્સનું નક્કર જ્ઞાન હોય છે; તર્કસંગત તકનીકોગણતરીઓ અને પરિવર્તનો અને તેમની ચકાસણી; ગણતરીઓ અને પરિવર્તનની પદ્ધતિઓ અને નિયમોના ઉપયોગને ન્યાયી ઠેરવવાની ક્ષમતા, કુશળતાની સ્વચાલિતતા ભૂલ-મુક્ત અમલકમ્પ્યુટિંગ કામગીરી.

સૂચિબદ્ધ કૌશલ્યો વિકસાવવા માટે વિદ્યાર્થીઓએ કયા ગ્રેડમાં કામ કરવાનું શરૂ કરવું જોઈએ?

અભિવ્યક્તિઓના સમાન પરિવર્તનની રેખા તકનીકોના ઉપયોગથી શરૂ થાય છે તર્કસંગત ગણતરીસંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યોની તર્કસંગત રીતે ગણતરી કરવા માટેની તકનીકોના ઉપયોગથી શરૂ થાય છે. (5મું ધોરણ)

આવા વિષયોનો અભ્યાસ કરતી વખતે શાળા અભ્યાસક્રમતેમને ગણિત આપવું જોઈએ ખાસ ધ્યાન!

વિદ્યાર્થીઓના ઓળખ પરિવર્તનના સભાન અમલીકરણને એ હકીકતને સમજવા દ્વારા સુવિધા આપવામાં આવે છે કે બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ તેમના પોતાના પર અસ્તિત્વમાં નથી, પરંતુ અતૂટ જોડાણકેટલાક સંખ્યાત્મક સમૂહ સાથે, સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓના સામાન્યકૃત રેકોર્ડ્સ છે. બીજગણિત અને વચ્ચે સામ્યતા સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓ(અને તેમનું પરિવર્તન) તાર્કિક અર્થમાં કાયદેસર છે, શિક્ષણમાં તેમનો ઉપયોગ વિદ્યાર્થીઓમાં થતી ભૂલોને રોકવામાં મદદ કરે છે.

ઓળખ પરિવર્તન કોઈ નથી એક અલગ વિષયશાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં, તેઓ બીજગણિતના અભ્યાસક્રમ અને ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત દરમિયાન અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

ગ્રેડ 1-5 માટેનો ગણિતનો કાર્યક્રમ ચલ સાથેના અભિવ્યક્તિઓના સમાન રૂપાંતરણનો અભ્યાસ કરવા માટેની પ્રોપેડ્યુટિક સામગ્રી છે.

7મા ધોરણના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં. ઓળખ અને ઓળખ પરિવર્તનની વ્યાખ્યા રજૂ કરવામાં આવી છે.

ડેફ.બે સમીકરણો કે જેની અનુરૂપ કિંમતો ચલોની કોઈપણ કિંમતો માટે સમાન હોય તેને કહેવામાં આવે છે. સમાન સમાન.

ઓડીએ. સમાનતા જે ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સાચી હોય તેને ઓળખ કહેવામાં આવે છે.

ઓળખનું મૂલ્ય એ હકીકતમાં રહેલું છે કે તે આપેલ અભિવ્યક્તિને તેની સમાન સમાન અન્ય દ્વારા બદલવાની મંજૂરી આપે છે.

ડેફ.એક અભિવ્યક્તિને બીજી સમાન સમાન અભિવ્યક્તિ સાથે બદલવાને કહેવામાં આવે છે સમાન રૂપાંતરઅથવા માત્ર પરિવર્તનઅભિવ્યક્તિઓ

સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓના ગુણધર્મોના આધારે ચલો સાથેના અભિવ્યક્તિઓનું સમાન રૂપાંતરણ કરવામાં આવે છે.

ઓળખ પરિવર્તનનો આધાર સમકક્ષ પરિવર્તનો ગણી શકાય.

ઓડીએ. બે વાક્યો, જેમાંથી દરેક અન્યનું તાર્કિક પરિણામ છે, કહેવામાં આવે છે. સમકક્ષ

ઓડીએ. ચલ A સાથેનું વાક્ય કહેવાય છે. ચલ B સાથે વાક્યનું પરિણામ, જો સત્ય B નું ડોમેન એ સત્ય A ના ડોમેનનો સબસેટ છે.

સમકક્ષ વાક્યોની બીજી વ્યાખ્યા આપી શકાય છે: ચલ સાથેના બે વાક્યો સમકક્ષ હોય છે જો તેમના સત્ય ડોમેન્સ એકસરખા હોય.

a) B: x-1=0 ઉપર R; A: (x-1) 2 ઓવર R => A~B, કારણ કે સત્યના ક્ષેત્રો (ઉકેલ) એકરૂપ થાય છે (x=1)

b) A: x=2 ઓવર R; B: x 2 =4 over R => સત્ય A: x = 2; સત્ય ડોમેન B: x=-2, x=2; કારણ કે A ના સત્યનું ડોમેન B માં સમાયેલ છે, પછી: x 2 =4 એ પ્રસ્તાવ x = 2 નું પરિણામ છે.

ઓળખ પરિવર્તનનો આધાર એ સમાન સંખ્યાને રજૂ કરવાની ક્ષમતા છે વિવિધ સ્વરૂપો. ઉદાહરણ તરીકે,

-

"અપૂર્ણાંકના મૂળભૂત ગુણધર્મો" વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે આ રજૂઆત મદદ કરશે.

નીચેના જેવા ઉદાહરણો હલ કરતી વખતે ઓળખ પરિવર્તન કરવાની કુશળતા વિકસિત થવાનું શરૂ થાય છે: "એ = 0.5, b = 2/3 સાથે અભિવ્યક્તિ 2a 3 +3ab+b 2 નું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધો," જે વિદ્યાર્થીઓને ગ્રેડમાં આપવામાં આવે છે. 5 અને કાર્યના પ્રોપેડ્યુટિક્સ ખ્યાલ માટે પરવાનગી આપે છે.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રોનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તમારે તેમની ઊંડી સમજણ અને મજબૂત એસિમિલેશન પર ધ્યાન આપવું જોઈએ. આ કરવા માટે, તમે નીચેના ગ્રાફિક ચિત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

પ્રશ્ન: વિદ્યાર્થીઓને આ રેખાંકનોના આધારે આપેલ સૂત્રોનો સાર કેવી રીતે સમજાવવો?

"સરવાળાનો વર્ગ" અને "ચોરસનો સરવાળો" અભિવ્યક્તિઓને ગૂંચવવી એ એક સામાન્ય ભૂલ છે. શિક્ષકનો સંકેત કે આ અભિવ્યક્તિઓ કામગીરીના ક્રમમાં ભિન્ન છે તે નોંધપાત્ર લાગતું નથી, કારણ કે વિદ્યાર્થીઓ માને છે કે આ ક્રિયાઓ સમાન સંખ્યાઓ પર કરવામાં આવે છે અને તેથી ક્રિયાઓનો ક્રમ બદલીને પરિણામ બદલાતું નથી.

સોંપણી: ભૂલો વિના ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાની વિદ્યાર્થીઓની કુશળતા વિકસાવવા માટે મૌખિક કસરતો બનાવો. અમે કેવી રીતે સમજાવી શકીએ કે આ બે અભિવ્યક્તિઓ કેવી રીતે સમાન છે અને તેઓ એકબીજાથી કેવી રીતે અલગ છે?

સમાન રૂપાંતરણોની વિશાળ વિવિધતા વિદ્યાર્થીઓ માટે તેઓ જે હેતુ માટે કરવામાં આવે છે તેના માટે પોતાને લક્ષી બનાવવું મુશ્કેલ બનાવે છે. પરિવર્તન (દરેક ચોક્કસ કિસ્સામાં) કરવાના ઉદ્દેશ્યનું અસ્પષ્ટ જ્ઞાન તેમની જાગૃતિ પર નકારાત્મક અસર કરે છે અને સ્ત્રોત તરીકે સેવા આપે છે. વિશાળ ભૂલોવિદ્યાર્થીઓ આ સૂચવે છે કે વિદ્યાર્થીઓને વિવિધ ઓળખ પરિવર્તન કરવાના લક્ષ્યો સમજાવવા મહત્વપૂર્ણ છે. અભિન્ન ભાગતેમના અભ્યાસ માટેની પદ્ધતિઓ.

ઓળખ પરિવર્તન માટે પ્રેરણાના ઉદાહરણો:

1. સ્થાનનું સરળીકરણ સંખ્યાત્મક મૂલ્યઅભિવ્યક્તિઓ

2. સમીકરણનું રૂપાંતર પસંદ કરવું જે મૂળના નુકશાન તરફ દોરી જતું નથી;

3. પરિવર્તન કરતી વખતે, તમે તેના ગણતરી વિસ્તારને ચિહ્નિત કરી શકો છો;

4. ગણતરીમાં પરિવર્તનનો ઉપયોગ, ઉદાહરણ તરીકે, 99 2 -1=(99-1)(99+1);

નિર્ણય પ્રક્રિયાનું સંચાલન કરવા માટે, શિક્ષક પાસે વિદ્યાર્થી દ્વારા કરવામાં આવેલી ભૂલના સારનું ચોક્કસ વર્ણન કરવાની ક્ષમતા હોવી મહત્વપૂર્ણ છે. ચોક્કસ ભૂલ પાત્રાલેખન ચાવીરૂપ છે યોગ્ય પસંદગીશિક્ષક દ્વારા લેવાયેલ અનુગામી પગલાં.

વિદ્યાર્થીઓની ભૂલોના ઉદાહરણો:

1. ગુણાકાર કરવાનું: વિદ્યાર્થીને -54abx 6 (7 કોષો) પ્રાપ્ત થયા;

2. પાવર (3x 2) 3 સુધી વધારીને વિદ્યાર્થીએ 3x 6 (7 ગ્રેડ) મેળવ્યા;

3. (m + n) 2 ને બહુપદીમાં રૂપાંતરિત કરીને, વિદ્યાર્થીને m 2 + n 2 (7મો ગ્રેડ);

4. વિદ્યાર્થીને મળેલા અપૂર્ણાંકને ઘટાડીને (8 ગ્રેડ);

5. બાદબાકી કરવી: , વિદ્યાર્થી લખે છે (8મું ધોરણ)

6. અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા, વિદ્યાર્થીને પ્રાપ્ત થયું: (8 ગ્રેડ);

7. દૂર કરી રહ્યા છીએ અંકગણિત મૂળવિદ્યાર્થીએ x-1 (ગ્રેડ 9) મેળવ્યો;

8. સમીકરણ ઉકેલવા (9 મી ગ્રેડ);

9. અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીને, વિદ્યાર્થીને પ્રાપ્ત થાય છે: (9મું ધોરણ).

નિષ્કર્ષ

આઇડેન્ટિટી ટ્રાન્સફોર્મેશનનો અભ્યાસ આમાં હાથ ધરવામાં આવે છે બંધ જોડાણચોક્કસ વર્ગમાં અભ્યાસ કરેલ સંખ્યાત્મક સેટ સાથે.

શરૂઆતમાં, તમારે વિદ્યાર્થીને પરિવર્તનના દરેક પગલાને સમજાવવા, લાગુ પડતા નિયમો અને કાયદાઓ ઘડવાનું કહેવું જોઈએ.

બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓના સમાન રૂપાંતરણમાં, બે નિયમોનો ઉપયોગ થાય છે: અવેજી અને સમાન દ્વારા બદલી. અવેજીનો ઉપયોગ મોટેભાગે થાય છે, કારણ કે તે ગણતરીના સૂત્રો પર આધારિત છે, એટલે કે. a=5 અને b=-3 સાથે a*b અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો. ઘણી વાર, વિદ્યાર્થીઓ ગુણાકારની ક્રિયાઓ કરતી વખતે કૌંસની અવગણના કરે છે, એવું માનીને કે ગુણાકારનું ચિહ્ન ગર્ભિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની એન્ટ્રી શક્ય છે: 5*-3.

સાહિત્ય

1. A.I. અઝારોવ, એસ.એ. બાર્વેનોવ “કાર્યકારી અને ગ્રાફિક પદ્ધતિઓપરીક્ષાની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ”, Mn..Aversev, 2004

2. ઓ.એન. પિર્યુત્કો" સામાન્ય ભૂલોચાલુ કેન્દ્રિય પરીક્ષણ", Mn..Aversev, 2006

3. A.I. અઝારોવ, એસ.એ. બરવેનોવ "કેન્દ્રીય પરીક્ષણમાં ટ્રેપ ટાસ્ક", Mn..Aversev, 2006

4. A.I. અઝારોવ, એસ.એ. બાર્વેનોવ “સોલ્યુશનની પદ્ધતિઓ ત્રિકોણમિતિ સમસ્યાઓ", Mn..Aversev, 2005

વચ્ચે વિવિધ અભિવ્યક્તિઓ, જેને બીજગણિતમાં ગણવામાં આવે છે, મહત્વપૂર્ણ સ્થાનમોનોમિયલ્સની રકમ પર કબજો મેળવો. અહીં આવા અભિવ્યક્તિઓનાં ઉદાહરણો છે:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

મોનોમિયલ્સના સરવાળાને બહુપદી કહેવામાં આવે છે. બહુપદીના પદોને બહુપદીના પદો કહેવામાં આવે છે. મોનોમિયલને બહુપદી તરીકે પણ વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જેમાં એક સભ્યનો સમાવેશ થતો બહુપદી ગણાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદી
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
સરળ બનાવી શકાય છે.

ચાલો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના મોનોમિયલ્સના રૂપમાં તમામ શરતોને રજૂ કરીએ:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

ચાલો પરિણામી બહુપદીમાં સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
પરિણામ બહુપદી છે, જેની તમામ શરતો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપની એકવિધ છે, અને તેમાંથી કોઈ સમાન નથી. આવા બહુપદી કહેવાય છે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદી.

માટે બહુપદીની ડિગ્રીપ્રમાણભૂત સ્વરૂપ તેના સભ્યોની સર્વોચ્ચ શક્તિઓ લે છે. આમ, દ્વિપદી \(12a^2b - 7b\) ત્રીજી ડિગ્રી ધરાવે છે, અને ત્રિપદી \(2b^2 -7b + 6\) બીજી ડિગ્રી ધરાવે છે.

સામાન્ય રીતે, એક ચલ ધરાવતા પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદીની શરતો તેની ડિગ્રીના ઘાતાંકના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

અનેક બહુપદીઓનો સરવાળો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદીમાં રૂપાંતરિત (સરળ) કરી શકાય છે.

કેટલીકવાર બહુપદીની શરતોને જૂથોમાં વિભાજિત કરવાની જરૂર છે, દરેક જૂથને કૌંસમાં બંધ કરીને. કારણ કે કૌંસ એ શરૂઆતના કૌંસનું વ્યસ્ત રૂપાંતર છે, તે ઘડવાનું સરળ છે કૌંસ ખોલવાના નિયમો:

જો કૌંસની પહેલાં “+” ચિહ્ન મૂકવામાં આવ્યું હોય, તો કૌંસમાં બંધાયેલા શબ્દો સમાન ચિહ્નો સાથે લખવામાં આવે છે.

જો કૌંસની પહેલા “-” ચિહ્ન મૂકવામાં આવે છે, તો કૌંસમાં બંધ કરાયેલા શબ્દો વિરુદ્ધ ચિહ્નો સાથે લખવામાં આવે છે.

એકવિધ અને બહુપદીના ઉત્પાદનનું પરિવર્તન (સરળીકરણ).

ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, તમે એકપદી અને બહુપદીના ઉત્પાદનને બહુપદીમાં રૂપાંતરિત (સરળ) કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

એકપદી અને બહુપદીનું ઉત્પાદન આ એકપદીના ઉત્પાદનોના સરવાળા અને બહુપદીની દરેક શરતો સમાન છે.

આ પરિણામ સામાન્ય રીતે નિયમ તરીકે ઘડવામાં આવે છે.

બહુપદી વડે મોનોમીયલનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તે મોનોમીયલને બહુપદીની દરેક શરતો વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ.

રકમ વડે ગુણાકાર કરવા માટે અમે આ નિયમનો ઘણી વખત ઉપયોગ કર્યો છે.

બહુપદીનું ઉત્પાદન. બે બહુપદીના ઉત્પાદનનું પરિવર્તન (સરળીકરણ).

સામાન્ય રીતે, બે બહુપદીનું ઉત્પાદન એક બહુપદીના પ્રત્યેક પદ અને બીજાના પ્રત્યેક પદના ગુણાંકના સરવાળા સમાન હોય છે.

સામાન્ય રીતે નીચેના નિયમનો ઉપયોગ થાય છે.

બહુપદી દ્વારા બહુપદીનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે એક બહુપદીના દરેક પદને બીજાના પ્રત્યેક પદ વડે ગુણાકાર કરવાની અને પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરવાની જરૂર છે.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો. સરવાળો વર્ગો, તફાવતો અને વર્ગોનો તફાવત

માં કેટલાક અભિવ્યક્તિઓ સાથે બીજગણિત પરિવર્તનઅન્ય કરતા વધુ વખત સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે. કદાચ સૌથી સામાન્ય સમીકરણો \(a + b)^2, \; (a - b)^2 \) અને \(a^2 - b^2 \), એટલે કે સરવાળોનો વર્ગ, નો વર્ગ વર્ગોનો તફાવત અને તફાવત. તમે નોંધ્યું છે કે નામો સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિઓજેમ કે પૂર્ણ ન થયું હોય, ઉદાહરણ તરીકે, \((a + b)^2 \) અલબત્ત, માત્ર સરવાળોનો વર્ગ નથી, પરંતુ a અને b ના સરવાળાનો વર્ગ છે. જો કે, a અને b ના સરવાળાનો વર્ગ એક નિયમ તરીકે ઘણી વાર થતો નથી, a અને b અક્ષરોને બદલે, તેમાં વિવિધ, ક્યારેક તદ્દન જટિલ, સમીકરણો હોય છે.

અભિવ્યક્તિઓ \(a + b)^2, \; (a - b)^2 \) પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદીમાં સરળતાથી રૂપાંતરિત થઈ શકે છે (સરળ) હકીકતમાં, બહુપદીનો ગુણાકાર કરતી વખતે તમે પહેલેથી જ આવા કાર્યનો સામનો કર્યો છે; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

પરિણામી ઓળખને યાદ રાખવું અને મધ્યવર્તી ગણતરીઓ વિના તેને લાગુ કરવું ઉપયોગી છે. સંક્ષિપ્ત મૌખિક ફોર્મ્યુલેશન આમાં મદદ કરે છે.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - સરવાળોનો વર્ગ સરવાળો સમાનચોરસ અને ઉત્પાદન બમણું.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - તફાવતનો વર્ગ બેવડા ગુણાંક વગરના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - વર્ગોનો તફાવત તફાવત અને સરવાળાના ગુણાંક જેટલો છે.

આ ત્રણ ઓળખ પરિવર્તનમાં તેમના ડાબા ભાગોને જમણા ભાગો સાથે બદલવાની મંજૂરી આપે છે અને તેનાથી વિપરિત - જમણા ભાગોને ડાબા ભાગો સાથે. સૌથી અઘરી બાબત એ છે કે અનુરૂપ સમીકરણો જોવાનું અને એ સમજવું કે ચલ a અને b તેમાં કેવી રીતે બદલાય છે. ચાલો સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાના ઘણા ઉદાહરણો જોઈએ.