મોડ્યુલ મૂલ્ય. સંખ્યાનું મોડ્યુલસ (સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય), વ્યાખ્યાઓ, ઉદાહરણો, ગુણધર્મો

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઈમેલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમારા દ્વારા એકત્રિત વ્યક્તિગત માહિતીઅમને તમારો સંપર્ક કરવા અને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ વિશે તમને જાણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી એજન્સીઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

શબ્દ (મોડ્યુલ) શાબ્દિક લેટિનમાંથી અનુવાદિત થાય છે તેનો અર્થ "માપ" થાય છે. આ ખ્યાલને ગણિતમાં અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિક આર. કોટેસ દ્વારા દાખલ કરવામાં આવ્યો હતો. અને જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કે. વેયરસ્ટ્રાસે મોડ્યુલસ ચિહ્ન રજૂ કર્યું - એક પ્રતીક જે લખતી વખતે આ ખ્યાલને દર્શાવે છે.

પ્રથમ આ ખ્યાલ 6ઠ્ઠા ધોરણના પ્રોગ્રામ મુજબ ગણિતમાં અભ્યાસ કર્યો ઉચ્ચ શાળા. એક વ્યાખ્યા મુજબ, મોડ્યુલસ એક સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે વાસ્તવિક સંખ્યા. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ શોધવા માટે, તમારે તેની નિશાની કાઢી નાખવાની જરૂર છે.

ગ્રાફિકલી સંપૂર્ણ મૂલ્ય એતરીકે સૂચવવામાં આવે છે |a|.

મુખ્ય વિશિષ્ટ લક્ષણઆ ખ્યાલ એ છે કે તે હંમેશા બિન-નકારાત્મક જથ્થો છે.

જે સંખ્યાઓ એકબીજાથી માત્ર ચિહ્નમાં ભિન્ન હોય તેને વિરોધી સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. જો મૂલ્ય હકારાત્મક છે, તો તેનો વિરોધી નકારાત્મક છે, અને શૂન્ય તેની વિરુદ્ધ છે.

ભૌમિતિક અર્થ

જો આપણે ભૂમિતિના દૃષ્ટિકોણથી મોડ્યુલની વિભાવનાને ધ્યાનમાં લઈએ, તો તે કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિથી એકમ સેગમેન્ટમાં માપવામાં આવે છે તે અંતર સૂચવશે. આપેલ બિંદુ. આ વ્યાખ્યા અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા શબ્દના ભૌમિતિક અર્થને સંપૂર્ણપણે છતી કરે છે.

ગ્રાફિકલી આને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે: |a| = OA.

સંપૂર્ણ મૂલ્યના ગુણધર્મો

બધા નીચે ચર્ચા કરવામાં આવશે ગાણિતિક ગુણધર્મોઆ ખ્યાલ અને તેને ફોર્મમાં લખવાની રીતો શાબ્દિક અભિવ્યક્તિઓ:

મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવાના લક્ષણો

જો આપણે નિર્ણય વિશે વાત કરીએ ગાણિતિક સમીકરણોઅને અસમાનતાઓ જેમાં મોડ્યુલ હોય છે, તો તમારે યાદ રાખવું જોઈએ કે તેમને હલ કરવા માટે તમારે આ ચિહ્ન ખોલવાની જરૂર પડશે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો ચોક્કસ મૂલ્યના ચિહ્નમાં કેટલાક હોય ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ, પછી મોડ્યુલ ખોલતા પહેલા, વર્તમાનને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે ગાણિતિક વ્યાખ્યાઓ.

|A + 5| = A + 5, જો, A શૂન્ય કરતા મોટો અથવા બરાબર છે.

5-એ, જો, A મૂલ્ય શૂન્ય કરતાં ઓછું.

કેટલાક કિસ્સાઓમાં, ચલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે સાઇન અસ્પષ્ટપણે જાહેર કરી શકાય છે.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો એક સંકલન રેખા બનાવીએ જેના પર આપણે બધું ચિહ્નિત કરીએ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો સંપૂર્ણ મૂલ્યજેમાંથી 5 હશે.

પ્રથમ તમારે સંકલન રેખા દોરવાની જરૂર છે, તેના પર કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ ચિહ્નિત કરો અને એકમ સેગમેન્ટનું કદ સેટ કરો. વધુમાં, સીધી રેખામાં દિશા હોવી આવશ્યક છે. હવે આ સીધી રેખા પર એકમ સેગમેન્ટના કદના સમાન હોય તેવા ચિહ્નો લાગુ કરવા જરૂરી છે.

આમ, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ સંકલન રેખા પર મૂલ્યો 5 અને -5 સાથે અમને રસના બે બિંદુઓ હશે.

પાઠ હેતુઓ

શાળાના બાળકોને આનો પરિચય આપો ગાણિતિક ખ્યાલ, સંખ્યાના મોડ્યુલસ તરીકે;
શાળાના બાળકોને સંખ્યાઓના મોડ્યુલ શોધવાની કુશળતા શીખવવા માટે;
વિવિધ કાર્યો પૂર્ણ કરીને શીખેલી સામગ્રીને મજબૂત બનાવવી;

કાર્યો

સંખ્યાઓના મોડ્યુલસ વિશે બાળકોના જ્ઞાનને મજબૂત બનાવવું;
ઉકેલનો ઉપયોગ કરીને પરીક્ષણ કાર્યોવિદ્યાર્થીઓએ અભ્યાસ કરેલી સામગ્રીમાં કેવી રીતે નિપુણતા પ્રાપ્ત કરી છે તે તપાસો;
ગણિતના પાઠમાં રસ જગાડવાનું ચાલુ રાખો;
શાળાના બાળકોને શિક્ષિત કરો તાર્કિક વિચારસરણી, જિજ્ઞાસા અને ખંત.

પાઠ ની યોજના

1. સામાન્ય ખ્યાલોઅને સંખ્યાના મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા.
2. મોડ્યુલનો ભૌમિતિક અર્થ.
3. સંખ્યા અને તેના ગુણધર્મોનું મોડ્યુલસ.
4. સંખ્યાના મોડ્યુલસ ધરાવતા સમીકરણો અને અસમાનતાઓને હલ કરવી.
5. ઐતિહાસિક સંદર્ભ"સંખ્યાનું મોડ્યુલસ" શબ્દ વિશે.
6. આવરી લેવામાં આવેલ વિષયના જ્ઞાનને એકીકૃત કરવા માટે સોંપણી.
7. હોમવર્ક.

સંખ્યાના મોડ્યુલસ વિશે સામાન્ય ખ્યાલો

સંખ્યાના મોડ્યુલસને સામાન્ય રીતે સંખ્યા કહેવાય છે જો તેની પાસે ન હોય નકારાત્મક મૂલ્ય, અથવા સમાન સંખ્યા ઋણ છે, પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે.

એટલે કે, બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા a નું મોડ્યુલસ એ જ સંખ્યા છે:

અને, નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા x નું મોડ્યુલસ વિરુદ્ધ સંખ્યા છે:

રેકોર્ડિંગમાં તે આના જેવું દેખાશે:

વધુ સુલભ સમજણ માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 3 નું મોડ્યુલસ 3 છે, અને નંબર -3 નું મોડ્યુલસ 3 છે.

તે આનાથી અનુસરે છે કે સંખ્યાના મોડ્યુલસનો અર્થ ચોક્કસ મૂલ્ય છે, એટલે કે, તેનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય, પરંતુ તેના ચિહ્નને ધ્યાનમાં લીધા વિના. તેને વધુ સરળ રીતે કહીએ તો, નંબરમાંથી ચિહ્ન દૂર કરવું જરૂરી છે.

સંખ્યાના મોડ્યુલને નિયુક્ત કરી શકાય છે અને તે આના જેવો દેખાય છે: |3|, |x|, |a| વગેરે

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 3 નું મોડ્યુલસ |3| સૂચવવામાં આવે છે.

ઉપરાંત, એ યાદ રાખવું જોઈએ કે સંખ્યાનું મોડ્યુલસ ક્યારેય નકારાત્મક હોતું નથી: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12.45| = 12.45, વગેરે.

મોડ્યુલનો ભૌમિતિક અર્થ

સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ અંતર છે જે એકમ વિભાગોમાં મૂળથી બિંદુ સુધી માપવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યા સાથે મોડ્યુલ દર્શાવે છે ભૌમિતિક બિંદુદ્રષ્ટિ.

ચાલો એક સંકલન રેખા લઈએ અને તેના પર બે બિંદુઓ નિયુક્ત કરીએ. આ બિંદુઓને −4 અને 2 જેવી સંખ્યાઓને અનુરૂપ થવા દો.

હવે ચાલો આ આંકડો પર ધ્યાન આપીએ. આપણે જોઈએ છીએ કે સંકલન રેખા પર દર્શાવેલ બિંદુ A નંબર -4 ને અનુરૂપ છે અને જો તમે ધ્યાનથી જોશો, તો તમે જોશો કે આ બિંદુ સંદર્ભ બિંદુ 0 થી 4 ના અંતરે સ્થિત છે. સિંગલ સેગમેન્ટ્સ. તે અનુસરે છે કે સેગમેન્ટ OA ની લંબાઈ ચાર એકમો જેટલી છે. આ કિસ્સામાં, સેગમેન્ટ OA ની લંબાઈ, એટલે કે, નંબર 4, નંબર -4 નું મોડ્યુલસ હશે.

માં ઓળખી અને નોંધાયેલ આ બાબતેઆ રીતે સંખ્યાનું મોડ્યુલસ: |−4| = 4.

હવે ચાલો સંકલન રેખા પર બિંદુ B લઈએ અને નિયુક્ત કરીએ.

આ બિંદુ B +2 નંબરને અનુરૂપ હશે, અને, જેમ આપણે જોઈએ છીએ, તે મૂળથી બે એકમ વિભાગોના અંતરે સ્થિત છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે સેગમેન્ટ OB ની લંબાઈ બે એકમો જેટલી છે. આ કિસ્સામાં, નંબર 2 એ +2 નંબરનું મોડ્યુલસ હશે.

રેકોર્ડિંગમાં તે આના જેવું દેખાશે: |+2| = 2 અથવા |2| = 2.

હવે સારાંશ આપીએ. જો તમે અને હું થોડું લઈએ અજાણ્યો નંબર a અને તેને બિંદુ A દ્વારા સંકલન રેખા પર દર્શાવો, પછી આ કિસ્સામાં બિંદુ A થી મૂળ સુધીનું અંતર, એટલે કે OA સેગમેન્ટની લંબાઈ, ચોક્કસ રીતે "a" નંબરનું મોડ્યુલસ છે.

લેખિતમાં તે આના જેવું દેખાશે: |a| = OA.

સંખ્યા અને તેના ગુણધર્મોનું મોડ્યુલસ

હવે ચાલો મોડ્યુલના ગુણધર્મોને અલગ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, તમામ સંભવિત કેસોને ધ્યાનમાં લઈએ અને શાબ્દિક અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને તેમને લખીએ:

સૌપ્રથમ, સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે, જેનો અર્થ છે કે સકારાત્મક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ સંખ્યાની બરાબર છે: |a| = a, જો a > 0;

બીજે નંબરે, મોડ્યુલો કે જે વિરોધી સંખ્યાઓ ધરાવે છે તે સમાન છે: |a| = |–a|. એટલે કે, આ ગુણધર્મ આપણને કહે છે કે વિરોધી સંખ્યા હંમેશા હોય છે સમાન મોડ્યુલો, સંકલન રેખા પરની જેમ, તેમની વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ હોવા છતાં, તેઓ સંદર્ભ બિંદુથી સમાન અંતરે છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે આ વિરોધી સંખ્યાઓના મોડ્યુલો સમાન છે.

ત્રીજે સ્થાને, જો આ સંખ્યા શૂન્ય હોય તો શૂન્યનું મોડ્યુલસ શૂન્યની બરાબર છે: |0| = 0 જો a = 0. અહીં આપણે વિશ્વાસ સાથે કહી શકીએ કે શૂન્યનું મોડ્યુલસ વ્યાખ્યા દ્વારા શૂન્ય છે, કારણ કે તે સંકલન રેખાના મૂળને અનુરૂપ છે.

મોડ્યુલસનો ચોથો ગુણધર્મ એ છે કે બે સંખ્યાઓના ગુણાંકનું મોડ્યુલસ ઉત્પાદન સમાનઆ સંખ્યાઓની મોડ્યુલી. હવે ચાલો આનો અર્થ શું છે તેના પર નજીકથી નજર કરીએ. જો આપણે વ્યાખ્યાને અનુસરીએ, તો તમે અને હું જાણીએ છીએ કે a અને b સંખ્યાઓના ગુણાંકનું મોડ્યુલસ a b, અથવા −(a b), જો a b ≥ 0, અથવા – (a b), જો a b કરતા વધારે હોય તો 0. B રેકોર્ડિંગ આના જેવું દેખાશે: |a b| = |a| |b|.

પાંચમી ગુણધર્મ એ છે કે સંખ્યાઓના ભાગનું મોડ્યુલસ ગુણોત્તર સમાનઆ સંખ્યાઓની મોડ્યુલી: |a: b| = |a| : |b|.

અને નીચેના ગુણધર્મોમોડ્યુલ નંબર:

સંખ્યાના મોડ્યુલસને સમાવતા સમીકરણો અને અસમાનતાઓને હલ કરવી

સંખ્યાબંધ મોડ્યુલસ ધરાવતી સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શરૂ કરતી વખતે, તમારે યાદ રાખવું જોઈએ કે આવા કાર્યને ઉકેલવા માટે, આ સમસ્યાને અનુરૂપ ગુણધર્મોના જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરીને મોડ્યુલસની નિશાની જાહેર કરવી જરૂરી છે.

વ્યાયામ 1

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો મોડ્યુલ ચિહ્ન હેઠળ કોઈ અભિવ્યક્તિ છે જે ચલ પર આધાર રાખે છે, તો મોડ્યુલને વ્યાખ્યા અનુસાર વિસ્તૃત કરવું જોઈએ:

અલબત્ત, સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, એવા કિસ્સાઓ છે કે જ્યારે મોડ્યુલ અનન્ય રીતે પ્રગટ થાય છે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, આપણે લઈએ છીએ

, અહીં આપણે જોઈએ છીએ કે મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ આવી અભિવ્યક્તિ x અને y ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે બિન-નકારાત્મક છે.

અથવા, ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો લઈએ

, આપણે જોઈએ છીએ કે આ મોડ્યુલસ અભિવ્યક્તિ z ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે હકારાત્મક નથી.

કાર્ય 2

તમારી સામે એક સંકલન રેખા બતાવવામાં આવી છે. આ લાઇન પર તે સંખ્યાઓને ચિહ્નિત કરવી જરૂરી છે કે જેના મોડ્યુલસ 2 ની બરાબર હશે.

ઉકેલ

સૌ પ્રથમ, આપણે સંકલન રેખા દોરવી જોઈએ. તમે પહેલાથી જ જાણો છો કે આ કરવા માટે, પ્રથમ સીધી રેખા પર તમારે મૂળ, દિશા અને એકમ સેગમેન્ટ પસંદ કરવાની જરૂર છે. આગળ, આપણે મૂળમાંથી પોઈન્ટ મૂકવાની જરૂર છે જે બે એકમ સેગમેન્ટના અંતરની બરાબર છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, સંકલન રેખા પર આવા બે બિંદુઓ છે, જેમાંથી એક નંબર -2 ને અનુલક્ષે છે, અને બીજો નંબર 2 સાથે.

સંખ્યાઓના મોડ્યુલસ વિશે ઐતિહાસિક માહિતી

"મોડ્યુલ" શબ્દ આવે છે લેટિન નામમોડ્યુલસ, જેનો અનુવાદ થાય છે તેનો અર્થ "માપ" થાય છે. આ શબ્દ અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્રી રોજર કોટ્સ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યો હતો. પરંતુ મોડ્યુલસ ચિહ્નની રજૂઆત જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ વેયરસ્ટ્રાસને આભારી છે. જ્યારે લખવામાં આવે ત્યારે, મોડ્યુલને નીચેના ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને સૂચિત કરવામાં આવે છે: | |

સામગ્રીના જ્ઞાનને એકીકૃત કરવા માટેના પ્રશ્નો

આજના પાઠમાં, અમે સંખ્યાના મોડ્યુલસ જેવા ખ્યાલથી પરિચિત થયા છીએ, અને હવે ચાલો તપાસીએ કે તમે પૂછેલા પ્રશ્નોના જવાબો આપીને આ વિષયમાં કેવી રીતે નિપુણતા પ્રાપ્ત કરી છે:

1. ધન સંખ્યાની વિરુદ્ધ હોય તેવી સંખ્યાનું નામ શું છે?
2. નકારાત્મક સંખ્યાની વિરુદ્ધ હોય તેવી સંખ્યાનું નામ શું છે?
3. શૂન્યની વિરુદ્ધની સંખ્યાને નામ આપો. શું આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં છે?
4. એવી સંખ્યાને નામ આપો જે સંખ્યાનું મોડ્યુલસ ન હોઈ શકે.
5. સંખ્યાના મોડ્યુલસને વ્યાખ્યાયિત કરો.

ગૃહ કાર્ય

1. તમારી સામે સંખ્યાઓ છે જે તમારે મોડ્યુલોના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવાની જરૂર છે. જો તમે કાર્યને યોગ્ય રીતે પૂર્ણ કરો છો, તો તમે તે વ્યક્તિનું નામ શોધી શકશો જેણે ગણિતમાં "મોડ્યુલ" શબ્દનો પ્રથમ પરિચય કર્યો હતો.

2. એક સંકલન રેખા દોરો અને M (-5) અને K (8) થી મૂળ સુધીનું અંતર શોધો.

મોડ્યુલો સાથે સમીકરણો, ઉકેલ પદ્ધતિઓ. ભાગ 1.

તમે આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની તકનીકોનો સીધો અભ્યાસ શરૂ કરો તે પહેલાં, મોડ્યુલના સારને સમજવું મહત્વપૂર્ણ છે, તેના ભૌમિતિક અર્થ. તે મોડ્યુલની વ્યાખ્યા અને તેના ભૌમિતિક અર્થને સમજવામાં છે કે આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિઓ મૂકવામાં આવે છે. મોડ્યુલર કૌંસ ખોલતી વખતે અંતરાલોની કહેવાતી પદ્ધતિ એટલી અસરકારક છે કે તેનો ઉપયોગ કરીને મોડ્યુલી સાથે કોઈપણ સમીકરણ અથવા અસમાનતાને હલ કરવાનું શક્ય છે. આ ભાગમાં આપણે બે વિગતવાર અભ્યાસ કરીશું પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓ: અંતરાલ પદ્ધતિ અને સમીકરણને સમૂહ સાથે બદલવાની પદ્ધતિ.

જો કે, જેમ આપણે જોઈશું, આ પદ્ધતિઓ હંમેશા અસરકારક હોય છે, પરંતુ હંમેશા અનુકૂળ હોતી નથી અને લાંબી અને ખૂબ અનુકૂળ ગણતરીઓ તરફ દોરી શકે છે, જેને ઉકેલવા માટે કુદરતી રીતે વધુ સમયની જરૂર પડે છે. તેથી, તે પદ્ધતિઓ જાણવી મહત્વપૂર્ણ છે જે ચોક્કસ સમીકરણ માળખાના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવે છે. સમીકરણની બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ, નવું ચલ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ, ગ્રાફિક પદ્ધતિ, મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ મોડ્યુલસ ધરાવતા સમીકરણો ઉકેલવા. આગળના ભાગમાં આપણે આ પદ્ધતિઓ જોઈશું.

સંખ્યાના મોડ્યુલસનું નિર્ધારણ. મોડ્યુલનો ભૌમિતિક અર્થ.

સૌ પ્રથમ, ચાલો પરિચિત થઈએ ભૌમિતિક અર્થમાંમોડ્યુલ

સંખ્યાઓનું મોડ્યુલસ a (|a|)મૂળ (બિંદુ 0) થી બિંદુ સુધીની સંખ્યા રેખા પરના અંતરને કૉલ કરો A(a).

આ વ્યાખ્યાના આધારે, ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ:

|7| - આ 0 થી બિંદુ 7 સુધીનું અંતર છે, અલબત્ત તે 7 ની બરાબર છે. → | 7 |=7

|-5|- આ 0 થી બિંદુ સુધીનું અંતર -5 અને તે બરાબર છે: 5. → |-5| = 5

આપણે બધા સમજીએ છીએ કે અંતર નકારાત્મક હોઈ શકે નહીં! તેથી |x| ≥ 0 હંમેશા!

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ: |x |=4

આ સમીકરણ આ રીતે વાંચી શકાય છે: બિંદુ 0 થી બિંદુ x સુધીનું અંતર 4 છે. હા, તે તારણ આપે છે કે 0 થી આપણે ડાબી અને જમણી બંને તરફ ખસેડી શકીએ છીએ, જેનો અર્થ થાય છે કે સમાન અંતરે ડાબી બાજુ ખસેડવું 4 આપણે બિંદુ પર સમાપ્ત થઈશું: -4, અને જમણી તરફ જઈશું તો આપણે બિંદુ પર સમાપ્ત થઈશું: 4. ખરેખર, |-4 |=4 અને |4 |=4.

તેથી જવાબ છે x=±4.

જો તમે અગાઉના સમીકરણનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરશો, તો તમે જોશો કે: 0 થી બિંદુ સુધીની સંખ્યા રેખાની સાથે જમણી બાજુનું અંતર પોઈન્ટ જેટલું જ છે, અને 0 થી સંખ્યા સુધીનું ડાબી બાજુનું અંતર છે. વિરોધી સંખ્યા! તે 0 ની જમણી બાજુએ સમજવું હકારાત્મક સંખ્યાઓ, અને 0 ની ડાબી બાજુએ ઋણ છે, ચાલો આપણે ઘડીએ સંખ્યાના મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા: સંખ્યાનું મોડ્યુલસ (સંપૂર્ણ મૂલ્ય). એક્સ(|x|) એ જ સંખ્યા છે એક્સ, જો x ≥0, અને સંખ્યા - એક્સ, જો x<0.

અહીં આપણે સંખ્યા રેખા પર બિંદુઓનો સમૂહ શોધવાની જરૂર છે, 0 થી જેનું અંતર 3 કરતા ઓછું હશે, ચાલો એક સંખ્યા રેખાની કલ્પના કરીએ, તેના પર બિંદુ 0, ડાબી બાજુએ જઈને એક (-1), બે ગણીએ. (-2) અને ત્રણ (-3), રોકો. આગળ એવા બિંદુઓ હશે જે 3 કરતા આગળ આવેલા છે અથવા જે અંતર 0 થી 3 કરતા વધારે છે, હવે આપણે જમણી તરફ જઈએ છીએ: એક, બે, ત્રણ, ફરીથી રોકો. હવે આપણે આપણા બધા પોઈન્ટ પસંદ કરીએ છીએ અને ઈન્ટરવલ x: (-3;3) મેળવીએ છીએ.

તે મહત્વનું છે કે તમે આ સ્પષ્ટપણે જુઓ, જો તમે હજી પણ ન કરી શકો, તો તેને કાગળ પર દોરો અને જુઓ જેથી આ ચિત્ર તમારા માટે સંપૂર્ણ રીતે સ્પષ્ટ થાય, આળસુ ન બનો અને નીચેના કાર્યોના ઉકેલો તમારા મગજમાં જોવાનો પ્રયાસ કરો. :

|x |=11, x=? |x|=-5, x=?

|x |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, x-? |x|> -3, x-?

|π-3|=? |-x²-10|=?

|√5-2|=? |2х-х²-3|=?

|x²+2|=? |x²+4|=0

|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0

શું તમે બીજી કૉલમમાં વિચિત્ર કાર્યોની નોંધ લીધી? ખરેખર, અંતર નકારાત્મક હોઈ શકતું નથી તેથી: |x|=-5- પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, અલબત્ત તે 0 કરતા ઓછું હોઈ શકતું નથી, તેથી: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 બધી સંખ્યાઓ છે.

તમે ઉકેલો સાથે ચિત્રો ઝડપથી જોવાનું શીખ્યા પછી, આગળ વાંચો.

મોડ્યુલ વ્યાખ્યાનીચે પ્રમાણે આપી શકાય છે: સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય a(મોડ્યુલસ) એ આપેલ સંખ્યાને દર્શાવતા બિંદુથી અંતર છે aસંકલન રેખા પર, મૂળ સુધી. વ્યાખ્યામાંથી તે નીચે મુજબ છે:

આમ, મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરવા માટે, સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિની નિશાની નક્કી કરવી જરૂરી છે. જો તે હકારાત્મક છે, તો તમે ફક્ત મોડ્યુલસ ચિહ્નને દૂર કરી શકો છો. જો સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિ નકારાત્મક હોય, તો તેને "માઈનસ" વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ, અને ફરીથી, મોડ્યુલસ ચિહ્ન હવે લખવું જોઈએ નહીં.

મોડ્યુલના મુખ્ય ગુણધર્મો:

મોડ્યુલી સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની કેટલીક પદ્ધતિઓ

મોડ્યુલસ સમીકરણોના ઘણા પ્રકારો છે જેના માટે પસંદગીનો ઉકેલ છે. જો કે, આ પદ્ધતિ એકમાત્ર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મના સમીકરણ માટે:

પ્રિફર્ડ સોલ્યુશન એ એકંદર પર જવાનું હશે:

અને ફોર્મના સમીકરણો માટે:

તમે લગભગ સમાન સમૂહ પર પણ આગળ વધી શકો છો, પરંતુ મોડ્યુલ માત્ર હકારાત્મક મૂલ્યો લેતું હોવાથી, સમીકરણની જમણી બાજુ પણ હકારાત્મક હોવી જોઈએ. આ સ્થિતિ સમગ્ર ઉદાહરણ માટે સામાન્ય અવરોધ તરીકે ઉમેરવી આવશ્યક છે. પછી અમને સિસ્ટમ મળે છે:

આ બંને પ્રકારના સમીકરણો બીજી રીતે ઉકેલી શકાય છે: અંતરાલો પર તે મુજબ મોડ્યુલ ખોલીને જ્યાં સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિ ચોક્કસ ચિહ્ન ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, અમે બે સિસ્ટમ્સનું સંયોજન મેળવીશું. ચાલો ઉપર આપેલા બંને પ્રકારના સમીકરણો માટે મેળવેલ ઉકેલોના સામાન્ય સ્વરૂપને રજૂ કરીએ:

એક કરતાં વધુ મોડ્યુલ ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, ઉપયોગ કરો અંતરાલ પદ્ધતિ, જે નીચે મુજબ છે:

• પ્રથમ, આપણે સંખ્યા અક્ષ પરના બિંદુઓ શોધીએ છીએ કે જેના પર મોડ્યુલ હેઠળના દરેક અભિવ્યક્તિઓ અદૃશ્ય થઈ જાય છે.
• આગળ, અમે પરિણામી બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરાલોમાં સમગ્ર સંખ્યાત્મક અક્ષને વિભાજીત કરીએ છીએ અને દરેક અંતરાલ પરના દરેક સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓના ચિહ્નનું પરીક્ષણ કરીએ છીએ. નોંધ કરો કે અભિવ્યક્તિની નિશાની નક્કી કરવા માટે, તમારે તેમાં કોઈપણ મૂલ્ય બદલવું આવશ્યક છે xઅંતરાલમાંથી, સીમા બિંદુઓ સિવાય. તે મૂલ્યો પસંદ કરો x, જે બદલવા માટે સરળ છે.
• આગળ, દરેક પરિણામી અંતરાલ પર, અમે મૂળ સમીકરણમાંના તમામ મોડ્યુલોને આ અંતરાલ પરના તેમના સંકેતો અનુસાર ખોલીએ છીએ અને પરિણામી સામાન્ય સમીકરણને હલ કરીએ છીએ. અંતિમ જવાબમાં અમે આ સમીકરણના ફક્ત તે જ મૂળ લખીએ છીએ જે અભ્યાસ હેઠળના અંતરાલમાં આવે છે. ફરી એકવાર: અમે દરેક પરિણામી અંતરાલો માટે આ પ્રક્રિયા હાથ ધરીએ છીએ.

• પાછળ
• આગળ

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતમાં સીટી માટેની સફળતાપૂર્વક તૈયારી કેવી રીતે કરવી?

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતમાં સીટીની સફળતાપૂર્વક તૈયારી કરવા માટે, અન્ય બાબતોની સાથે, ત્રણ સૌથી મહત્વપૂર્ણ શરતો પૂરી કરવી જરૂરી છે:

1. તમામ વિષયોનો અભ્યાસ કરો અને આ સાઇટ પર શૈક્ષણિક સામગ્રીમાં આપવામાં આવેલા તમામ પરીક્ષણો અને સોંપણીઓ પૂર્ણ કરો. આ કરવા માટે, તમારે કંઈપણની જરૂર નથી, એટલે કે: ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતમાં સીટીની તૈયારી કરવા, સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરવા અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે દરરોજ ત્રણથી ચાર કલાક ફાળવો. હકીકત એ છે કે સીટી એ એક પરીક્ષા છે જ્યાં માત્ર ભૌતિકશાસ્ત્ર અથવા ગણિત જાણવા માટે પૂરતું નથી, તમારે વિવિધ વિષયો અને વિવિધ જટિલતાઓની મોટી સંખ્યામાં સમસ્યાઓને ઝડપથી અને નિષ્ફળતા વિના હલ કરવામાં સક્ષમ બનવાની પણ જરૂર છે. બાદમાં હજારો સમસ્યાઓ ઉકેલવાથી જ શીખી શકાય છે.
2. ભૌતિકશાસ્ત્રના તમામ સૂત્રો અને નિયમો અને ગણિતમાં સૂત્રો અને પદ્ધતિઓ શીખો. હકીકતમાં, આ કરવું ખૂબ જ સરળ છે; ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ફક્ત 200 જેટલા જરૂરી સૂત્રો છે, અને ગણિતમાં પણ થોડા ઓછા છે. આમાંના દરેક વિષયમાં જટિલતાના મૂળભૂત સ્તરની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે લગભગ એક ડઝન પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓ છે, જે શીખી શકાય છે, અને આમ, સંપૂર્ણ રીતે આપોઆપ અને મુશ્કેલી વિના મોટાભાગની સીટી યોગ્ય સમયે ઉકેલવામાં આવે છે. આ પછી, તમારે ફક્ત સૌથી મુશ્કેલ કાર્યો વિશે જ વિચારવું પડશે.
3. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતમાં રિહર્સલ પરીક્ષણના ત્રણેય તબક્કામાં હાજરી આપો. બંને વિકલ્પો નક્કી કરવા માટે દરેક RTની બે વાર મુલાકાત લઈ શકાય છે. ફરીથી, સીટી પર, ઝડપથી અને અસરકારક રીતે સમસ્યાઓ ઉકેલવાની ક્ષમતા અને સૂત્રો અને પદ્ધતિઓના જ્ઞાન ઉપરાંત, તમારે સમયનું યોગ્ય આયોજન કરવા, દળોનું વિતરણ કરવા અને સૌથી અગત્યનું, જવાબ ફોર્મને યોગ્ય રીતે ભરવામાં પણ સક્ષમ હોવા જોઈએ. જવાબો અને સમસ્યાઓની સંખ્યા અથવા તમારું પોતાનું છેલ્લું નામ ગૂંચવણમાં મૂકે છે. ઉપરાંત, RT દરમિયાન, સમસ્યાઓમાં પ્રશ્નો પૂછવાની શૈલીની આદત પાડવી મહત્વપૂર્ણ છે, જે DT પર તૈયારી વિનાની વ્યક્તિને ખૂબ જ અસામાન્ય લાગે છે.

આ ત્રણ મુદ્દાઓનું સફળ, મહેનતુ અને જવાબદાર અમલીકરણ તમને CT પર એક ઉત્તમ પરિણામ બતાવવાની મંજૂરી આપશે, જે તમે સક્ષમ છો તે મહત્તમ.

ભૂલ મળી?

જો તમને લાગે કે તમને તાલીમ સામગ્રીમાં ભૂલ મળી છે, તો કૃપા કરીને તેના વિશે ઇમેઇલ દ્વારા લખો. તમે સોશિયલ નેટવર્ક () પર ભૂલની જાણ પણ કરી શકો છો. પત્રમાં, વિષય (ભૌતિકશાસ્ત્ર અથવા ગણિત), વિષય અથવા કસોટીનું નામ અથવા સંખ્યા, સમસ્યાની સંખ્યા અથવા ટેક્સ્ટ (પૃષ્ઠ) માં તે સ્થાન સૂચવો જ્યાં, તમારા મતે, ભૂલ છે. શંકાસ્પદ ભૂલ શું છે તેનું પણ વર્ણન કરો. તમારા પત્ર પર ધ્યાન આપવામાં આવશે નહીં, ભૂલ ક્યાં તો સુધારી દેવામાં આવશે, અથવા તમને સમજાવવામાં આવશે કે તે ભૂલ કેમ નથી.