વેરિએશનલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સિરીઝમાં વેરિઅન્ટ્સ અને ફ્રીક્વન્સીઝના બે ઘટકો હોય છે.

વિકલ્પોવિતરણ શ્રેણીમાં જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતાના આંકડાકીય મૂલ્યો કહેવામાં આવે છે તેઓ હકારાત્મક અને નકારાત્મક, સંપૂર્ણ અને સંબંધિત હોઈ શકે છે. ફ્રીક્વન્સીઝ- આ વ્યક્તિગત ચલોની સંખ્યા અથવા વિવિધતા શ્રેણીના દરેક જૂથ છે. તમામ ફ્રીક્વન્સીઝના સરવાળાને વસ્તીનું પ્રમાણ કહેવામાં આવે છે અને તે સમગ્ર વસ્તીના ઘટકોની સંખ્યા નક્કી કરે છે.

વિતરણ પંક્તિઓ ગુણાત્મક (એટ્રિબ્યુટિવ) અને માત્રાત્મક સિદ્ધાંતો અનુસાર રચી શકાય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં તેઓને બોલાવવામાં આવે છે. વિશેષતા, અને બીજામાં - વૈવિધ્યસભર.

બાંધકામ અનુસાર વિતરણની વિવિધતા શ્રેણી અલગ અને અંતરાલ હોઈ શકે છે:

ડિસ્ક વિવિધતા વિતરણ શ્રેણી - જૂથો એક લાક્ષણિકતા પર આધારિત છે જે સ્પષ્ટપણે બદલાય છે અને માત્ર પૂર્ણાંક મૂલ્યોને સ્વીકારે છે. ઈન્ટરવલ વેરી. વિતરણ શ્રેણી - જૂથની લાક્ષણિકતા, જૂથની સ્થિતિ, નિર્ધારિત અંતરાલમાં કોઈપણ મૂલ્યો લઈ શકે છે. int-la ના એકમ દીઠ આવર્તન એકમોની સંખ્યા કહેવાય છે. વિતરણ ઘનતા. સંખ્યાબંધ સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝ (સંચિત) - ચોક્કસ સ્તરની નીચે અથવા ઉપરના કેસોની સંખ્યા દર્શાવે છે. વિતરણની શ્રેણીનું ગ્રાફિક રજૂઆત: રેખીય, પ્લાનર ડાયાગ્રામ, હિસ્ટોગ્રામ, સંચિત વળાંક (સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝની શ્રેણી દર્શાવે છે)

9. ભારાંકિત અંકગણિત સરેરાશ.

સરેરાશ મૂલ્યોની ગણતરી કરતી વખતે, સરેરાશ કરેલ લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરી શકાય છે, તેથી ગણતરી સરેરાશ કદજૂથિત ડેટાનો ઉપયોગ કરીને ઉત્પાદિત. આ કિસ્સામાં અમે વાત કરી રહ્યા છીએઅંકગણિત ભારાંકિત સરેરાશના ઉપયોગ વિશે, જેનું સ્વરૂપ છે: X સરેરાશ = (EXi*fi)/ Efi

અંતરાલ વિવિધતા શ્રેણીમાં સરેરાશની ગણતરી કરતી વખતે, જરૂરી ગણતરીઓ કરવા માટે, વ્યક્તિ અંતરાલથી તેમના મધ્યબિંદુઓ તરફ આગળ વધે છે.

ક્ષણોની પદ્ધતિ દ્વારા સરેરાશની ગણતરી.અંકગણિત સરેરાશના ગુણધર્મો પર આધારિત. કેન્દ્રીય અંતરાલોમાંના એકની મધ્યમાં, જે સૌથી વધુ આવર્તન ધરાવે છે, તે શરતી શૂન્ય - X0 તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ફક્ત સમાન અંતરાલ સાથેની શ્રેણીમાં થાય છે.

10. હાર્મોનિક અર્થ સરળ અને ભારિત.

હાર્મોનિક સરેરાશ. આ સરેરાશને વ્યસ્ત અંકગણિત સરેરાશ કહેવામાં આવે છે કારણ કે જ્યારે k = -1 ત્યારે આ મૂલ્ય વપરાય છે. સરળ હાર્મોનિક સરેરાશજ્યારે લક્ષણ મૂલ્યોના વજન સમાન હોય ત્યારે વપરાય છે. તેનું સૂત્ર k = -1 ને બદલીને મૂળભૂત સૂત્રમાંથી મેળવી શકાય છે:

TO ઉદાહરણ તરીકે, આપણે સમાન પાથને આવરી લેતી બે કારની સરેરાશ ઝડપની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, પરંતુ જુદી જુદી ઝડપે: પ્રથમ 100 કિમી/કલાકની ઝડપે, બીજી 90 કિમી/કલાકની ઝડપે. હાર્મોનિક સરેરાશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે સરેરાશ ગતિની ગણતરી કરીએ છીએ:

આંકડાકીય વ્યવહારમાં, તેનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે સુમેળથી વજન કરો, બિલાડીનું સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે:

આ સૂત્રનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે કે જ્યાં દરેક લક્ષણ માટે વજન (અથવા ઘટનાની માત્રા) સમાન ન હોય. સરેરાશની ગણતરી માટે પ્રારંભિક ગુણોત્તરમાં, અંશ જાણીતો છે, પરંતુ છેદ અજાણ્યો છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સરેરાશ કિંમતની ગણતરી કરતી વખતે, આપણે વેચાણની રકમના વેચાણના એકમોની સંખ્યાના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. અમે વેચાયેલા એકમોની સંખ્યા જાણતા નથી (અમે વિવિધ માલ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ), પરંતુ અમે આ વિવિધ માલના વેચાણની માત્રા જાણીએ છીએ. ચાલો કહીએ કે તમારે વેચાયેલા માલની સરેરાશ કિંમત શોધવાની જરૂર છે: ઉત્પાદનનો પ્રકાર પ્રતિ યુનિટ કિંમત, વેચાણની રકમ, ઘસવું.

પી અમે પ્રાપ્ત કરીએ છીએ

ઇ જો તમે અહીં અંકગણિત સરેરાશ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો છો, તો તમે સરેરાશ કિંમત મેળવી શકો છો જે અવાસ્તવિક હશે:

11. સરેરાશ અંકની સરળ ગણતરી. (cf. Ar.) (ક્ષણોની પદ્ધતિ).

સેન્ટ બુધનો ઉપયોગ કરીને. એઆર., તે ટ્રેસની ગણતરી કરી શકાય છે. રીત: 1) બધામાંથી વિકલ્પ બાદ કરો સતત સંખ્યા(મધ્યમ વિકલ્પનું મૂલ્ય વધુ સારું છે); 2) વિકલ્પોને સતત સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો - અંતરાલના મૂલ્ય દ્વારા; 3) % માં આવર્તન વ્યક્ત કરો. ગણતરી સરેરાશ ar પ્રથમ બે પદ્ધતિઓને શરતી શરૂઆતથી ગણવાની પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે (ક્ષણોની પદ્ધતિ). આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ વિવિધ અંતરાલો પર પંક્તિઓમાં થાય છે. બુધ. ar આ કિસ્સામાં def. એફ-લે દ્વારા:

જ્યાં m એ પ્રથમ ક્રમની ક્ષણ છે; x 0 - સંદર્ભ બિંદુ; K - અંતરાલ મૂલ્ય.

12. મોડ અને મધ્ય.

ડી વસ્તીનું માળખું નક્કી કરવા માટે, ખાસ સરેરાશ સૂચકાંકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેમાં મધ્ય અને મોડ અથવા કહેવાતા માળખાકીય સરેરાશનો સમાવેશ થાય છે. મધ્યક(Me) એ મૂલ્ય છે જે ક્રમાંકિત શ્રેણીની મધ્યમાં સ્થિત વિકલ્પને અનુરૂપ છે. વ્યક્તિગત મૂલ્યોની વિચિત્ર સંખ્યા સાથે ક્રમાંકિત શ્રેણી માટે (ઉદાહરણ તરીકે, 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10), મધ્યક એ મૂલ્ય હશે જે મધ્યમાં સ્થિત છે. શ્રેણી, એટલે કે પાંચમી તીવ્રતા. વ્યક્તિગત મૂલ્યોની સમાન સંખ્યા સાથે ક્રમાંકિત શ્રેણી માટે (ઉદાહરણ તરીકે, 1, 5, 7, 10, 11, 14), મધ્ય સરેરાશ હશે અંકગણિત જથ્થો, જે બે સંલગ્ન મૂલ્યોમાંથી ગણવામાં આવે છે. અમારા કેસ માટે, મધ્યક (7+10): 2= 8.5 છે. એટલે કે, મધ્યકને શોધવા માટે, તમારે પ્રથમ Nme=(n+1)/2 સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેનો સીરીયલ નંબર (ક્રમાંકિત શ્રેણીમાં તેનું સ્થાન) નક્કી કરવાની જરૂર છે, જ્યાં n એ એકંદરમાં એકમોની સંખ્યા છે. મધ્યકનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય એક અલગ ભિન્નતા શ્રેણીમાં સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝ પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, તમારે પહેલા તે અંતરાલ સૂચવવું આવશ્યક છે જ્યાં મધ્યક જોવા મળે છે અંતરાલ શ્રેણીવિતરણો મધ્યક એ પ્રથમ અંતરાલ છે જ્યાં સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝનો સરવાળો તમામ અવલોકનોની કુલ સંખ્યામાંથી અડધા અવલોકનો કરતાં વધી જાય છે. મધ્યકનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય સામાન્ય રીતે સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે ----- જ્યાં xMe એ મધ્ય અંતરાલની નીચલી મર્યાદા છે; i - અંતરાલ મૂલ્ય; S-1 એ અંતરાલની સંચિત આવર્તન છે જે મધ્યકની આગળ આવે છે; f એ મધ્ય અંતરાલની આવર્તન છે.

ફેશન (Mo)તેઓ એક લાક્ષણિકતાનું મૂલ્ય કહે છે જે મોટાભાગે વસ્તીના એકમોમાં જોવા મળે છે. એક અલગ શ્રેણી માટે, મોડ સૌથી વધુ આવર્તન સાથેનો વિકલ્પ હશે. અંતરાલ શ્રેણીનો મોડ નક્કી કરવા માટે, પ્રથમ મોડલ અંતરાલ નક્કી કરો (એક અંતરાલ ધરાવતું સૌથી વધુ આવર્તન). પછી, આ અંતરાલમાં, સુવિધાનું મૂલ્ય જોવા મળે છે, જે એક મોડ હોઈ શકે છે. ચોક્કસ મોડ મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે

જ્યાં xMo એ મોડલ અંતરાલની નીચલી મર્યાદા છે; iMo એ મોડલ અંતરાલનું મૂલ્ય છે; fMo - મોડલ અંતરાલની આવર્તન; fMo-1 - મોડલ પહેલાના અંતરાલની આવર્તન; fMo+1 - મોડલ એક પછી અંતરાલની આવર્તન.

ગ્રાહકની માંગનો અભ્યાસ કરતી વખતે માર્કેટિંગ પ્રવૃત્તિઓમાં ફેશન વ્યાપક છે, ખાસ કરીને જ્યારે કપડાં અને પગરખાંના સૌથી લોકપ્રિય માપો નક્કી કરતી વખતે અને કિંમત નીતિઓનું નિયમન કરતી વખતે.

13. સરેરાશ અંકના ગુણધર્મો. (cf. Ar.)

1. જો શ્રેણી (-) માં અથવા બધા વિકલ્પો (+) માં બધા વિકલ્પો વચ્ચે સ્થિર સંખ્યા હોય, તો cf. ar તે મુજબ આ સંખ્યામાં ઘટાડો અથવા વધારો થશે.
.2.જો શ્રેણીના તમામ પ્રકારોને અચળ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કે ભાગાકાર કરવામાં આવે, તો cf. ar તદનુસાર આ સંખ્યા દ્વારા વધારો અથવા ઘટાડો કરશે.
3. જો બધી ફ્રીક્વન્સીઝ સતત સંખ્યામાં વધારો અથવા ઘટાડો કરવામાં આવે છે, તો સરેરાશ બદલાશે નહીં.
.

4. સરેરાશથી શ્રેણીના તમામ પ્રકારોના વિચલનોનો સરવાળો. ar = 0. (સરેરાશની શૂન્ય મિલકત). . 5. Σf i = Σfix i . ફ્રીક્વન્સીઝના સરવાળા દ્વારા સરેરાશનું ઉત્પાદન હંમેશા ફ્રીક્વન્સીઝ દ્વારા વેરિઅન્ટના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલું જ હોય ​​છે.

6. સરેરાશથી શ્રેણીના તમામ ચલોના વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો. ar

આ ગુણધર્મ પદ્ધતિનો આધાર છે ઓછામાં ઓછા ચોરસ, બિલાડી સ્ટેટ રિસર્ચમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. સંબંધો

14. વિક્ષેપોના પ્રકાર. તેમના ઉમેરા માટેનો નિયમ .

આર ત્રણ પ્રકારના ભિન્નતા છે: સામાન્ય; જૂથમાં સરેરાશ; આંતરજૂથ કુલ વિચલન ( 2 ઓ ) આ વિવિધતાનું કારણ બનેલા તમામ પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ સમગ્ર વસ્તીની લાક્ષણિકતાની વિવિધતા દર્શાવે છે. આ મૂલ્ય સૂત્ર  2 о =  (X - Xо સરેરાશ) 2 *f / f દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યાં Xо સરેરાશ અભ્યાસ હેઠળની સમગ્ર વસ્તીનો એકંદર અંકગણિત સરેરાશ છે. જૂથની અંદર સરેરાશ તફાવત ( 2 સરેરાશ) એ રેન્ડમ વિવિધતા સૂચવે છે જે કોઈપણ બિનહિસાબી પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ ઊભી થઈ શકે છે અને જે જૂથનો આધાર બનાવે છે તે પરિબળ-લક્ષણ પર આધારિત નથી. આ ભિન્નતાની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે: પ્રથમ, ભિન્નતાની ગણતરી વ્યક્તિગત જૂથો માટે કરવામાં આવે છે (  2 i), તો પછી જૂથની અંદરની સરેરાશની ગણતરી કરવામાં આવે છે (  2 iસરેરાશ): જ્યાં ni એ જૂથમાં એકમોની સંખ્યા છે. આંતરજૂથ તફાવતવ્યવસ્થિત વિવિધતા દર્શાવે છે, એટલે કે. અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતાના મૂલ્યમાં તફાવતો જે પરિબળ-ચિહ્નના પ્રભાવ હેઠળ ઉદ્ભવે છે, જે જૂથીકરણનો આધાર છે. આ તફાવતની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે

જી ડી - અલગ જૂથ માટે સરેરાશ મૂલ્ય. ત્રણેય પ્રકારના વિક્ષેપ એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે: કુલ તફાવતજૂથની અંદરની સરેરાશ અને જૂથની વચ્ચેની ભિન્નતાના સરવાળાની બરાબર:

આ સંબંધ કાયદાને પ્રતિબિંબિત કરે છે, જેને ભિન્નતા ઉમેરવાનો નિયમ કહેવામાં આવે છે. આ કાયદા (નિયમ) મુજબ, તમામ પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ ઉદ્ભવતા કુલ વિભિન્નતા એ ભિન્નતાના સરવાળો સમાન છે જે જૂથનો આધાર બનાવે છે તે પરિબળ-લક્ષણના પ્રભાવ હેઠળ અને પ્રભાવ હેઠળ દેખાય છે. અન્ય પરિબળો. ભિન્નતા ઉમેરવા માટેના નિયમનો આભાર, તે નક્કી કરવું શક્ય છે કે કુલ ભિન્નતાનો કયો ભાગ જૂથનો આધાર બનાવે છે તે પરિબળ-લક્ષણથી પ્રભાવિત છે.

15 . સરેરાશના પ્રકારો. તેમની ગણતરી .

16. આંકડાઓમાં વપરાતા વિવિધતા સૂચકાંકો.

વિવિધતા, એટલે કે. માં સમાન સૂચકના સ્તરો વચ્ચેની વિસંગતતા વિવિધ પદાર્થો, એક ઉદ્દેશ્ય સ્વભાવ ધરાવે છે અને અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાના સારને સમજવામાં મદદ કરે છે. આંકડાઓમાં વિવિધતાને માપવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સૂચકની ગણતરી કરવાની સૌથી સરળ રીત છે વિવિધતાની શ્રેણી Xmax અને Xmin વચ્ચેના તફાવત તરીકે H: H=Xmax - Xmin. પરંતુ વિવિધતાનો અવકાશ માત્ર લક્ષણના આત્યંતિક મૂલ્યો દર્શાવે છે. મધ્યવર્તી મૂલ્યોની પુનરાવર્તિતતા અહીં ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી. સરેરાશ રેખીય વિચલન d એ તેના સરેરાશ સ્તરથી લાક્ષણિકતાના સંપૂર્ણ વિચલનોનો અંકગણિત સરેરાશ છે: d =  (Xi – X સરેરાશ) / n. જ્યારે વ્યક્તિગત X મૂલ્યો પુનરાવર્તિત થાય છે, ત્યારે ભારિત અંકગણિત સરેરાશ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે. આંકડાકીય સંશોધનમાં, મોટાભાગે વિવિધતાને માપવા માટે વપરાયેલ સૂચક છે ભિન્નતા:δ =  (Xi – X સરેરાશ) 2 / n. સૂચક s બરાબર √δ 2 એ સરેરાશ કહેવાય છે ચોરસ વિચલન.મૂલ્ય Mx = √(δ 2 /n) એ સરેરાશ નમૂનાની ભૂલ છે અને તેના સાચા સરેરાશ મૂલ્યમાંથી નમૂનાના સરેરાશ મૂલ્યના વિચલનની લાક્ષણિકતા છે. સૂચક સરેરાશ ભૂલનમૂના અવલોકનોના પરિણામોની વિશ્વસનીયતાના મૂલ્યાંકનમાં ઉપયોગ કરો. કોફ ઓસિલેશનસરેરાશની આસપાસ લાક્ષણિકતાના આત્યંતિક મૂલ્યોની વધઘટને પ્રતિબિંબિત કરે છે: Ko = (R/X સરેરાશ)*100%. સંબંધિત રેખીય શટડાઉનસરેરાશ મૂલ્ય Kd = (d સરેરાશ / X સરેરાશ) * 100% માંથી સંપૂર્ણ વિચલનોના ચિહ્નના સરેરાશ મૂલ્યના શેરને લાક્ષણિકતા આપે છે. વિવિધતાના ગુણાંક: V = (δ/X સરેરાશ)*100%

17. ડાયનેમિક્સ શ્રેણીની પ્રક્રિયા કરવા માટેની સૌથી સરળ તકનીકો.

પ્રક્રિયા સમય શ્રેણીના સૌથી સરળ પ્રકારો છે: અંતરાલોનું વિસ્તરણ, મૂવિંગ એવરેજ પદ્ધતિ, વિશ્લેષણાત્મક ગોઠવણી, એક્સ્ટ્રાપોલેશન અને ઇન્ટરપોલેશન.

અંતરાલોનું વિસ્તરણ.ડાયનેમિક્સ શ્રેણીને સમાન અંતરાલોની પૂરતી મોટી સંખ્યામાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. જો અંતરાલોના સરેરાશ સ્તરો વિકાસના વલણને જોવાની મંજૂરી આપતા નથી, તો મોટા સમયગાળા માટે સ્તરોની ગણતરી કરવા આગળ વધો, દરેક અંતરાલની લંબાઈ વધારીને (અંતરાલની સંખ્યા ઘટાડીને). મૂવિંગ એવરેજ.આ પદ્ધતિમાં, શ્રેણીના પ્રારંભિક સ્તરોને સરેરાશ મૂલ્યો દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે આપેલ સ્તરમાંથી મેળવવામાં આવે છે અને તેની આસપાસના ઘણા સમપ્રમાણરીતે. સ્તરોની સંપૂર્ણ સંખ્યા કે જેના પર સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરવામાં આવે છે તેને સ્મૂથિંગ અંતરાલ કહેવામાં આવે છે. એક મોડેલ બનાવવા માટે કે જે સમય જતાં ગતિશીલ શ્રેણીના સ્તરોમાં ફેરફારોના મુખ્ય વલણને વ્યક્ત કરે છે, તેનો ઉપયોગ થાય છે વિશ્લેષણાત્મક ગોઠવણીગતિશીલતાની શ્રેણી. વિકાસના વલણને વ્યક્ત કરતા સૌથી સરળ મોડેલો છે: એક રેખાનું રેખીય કાર્ય, ઘાતાંકીય કાર્ય, પેરાબોલા, એન-ઓર્ડર પેરાબોલા, હાયપરબોલા, ઘાતાંકીય. કેટલીકવાર ગતિશીલતાની શ્રેણીના ભાવિ સ્તરની આગાહી કરવી જરૂરી બની જાય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, તેઓ પ્રોસેસિંગ ડાયનેમિક્સ શ્રેણીની તકનીકનો આશરો લે છે, જેને કહેવાય છે એક્સ્ટ્રાપોલેશન: y n +1 = y n + ∆y n +∆∆y n, જ્યાં y n +1 એ શ્રેણીનું અજ્ઞાત સ્તર છે, y n એ શ્રેણીનું છેલ્લું જાણીતું સ્તર છે, ∆y n એ શ્રેણીના છેલ્લા સ્તરમાં સાંકળનો સંપૂર્ણ વધારો છે (∆y n = y n - y n -1), ∆∆y n - શ્રેણીના છેલ્લા સ્તરના વધારામાં ફેરફાર. એક્સ્ટ્રાપોલેશનની સાથે, પ્રક્રિયા સમય શ્રેણી માટે નીચેની તકનીકનો ઉપયોગ ક્યારેક થાય છે, જેમ કે પ્રક્ષેપ- ગતિશીલ શ્રેણીમાં ગુમ થયેલા સભ્યોની કૃત્રિમ શોધ. શ્રેણીનું અજ્ઞાત સ્તર સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે: y i = (y i +1 + y i -1) / 2. જ્યાં: y i શ્રેણીનું અજ્ઞાત સ્તર છે, y i +1 એ શ્રેણીનું આગલું સ્તર છે, y i - 1 એ શ્રેણીનું અગાઉનું સ્તર છે.

1. એક અમૂર્ત અક્ષર ધરાવે છે કારણ કે તે સામાન્યીકરણ મૂલ્ય છે, તે ભૂંસી નાખે છે

રેન્ડમ વધઘટ

2. પંક્તિમાં મધ્યમ સ્થાન ધરાવે છે (કડક સપ્રમાણ પંક્તિમાં)

3. સરેરાશ મૂલ્યમાંથી તમામ વિકલ્પોના વિચલનોનો સરવાળો શૂન્ય છે. સરેરાશ આ મિલકત

મૂલ્યોનો ઉપયોગ સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરીની શુદ્ધતા ચકાસવા માટે થાય છે.

સરેરાશના પ્રકારો

1. મોડ (Mo) - વિકલ્પ જે મોટાભાગે વિવિધતા શ્રેણીમાં જોવા મળે છે.

2. મધ્યક (મી) - વૈવિધ્ય શ્રેણીમાં મધ્યમાં કબજો કરતો વિકલ્પ

સ્થિતિ, એટલે કે, કેન્દ્રીય વિકલ્પ, વિભાજન વિવિધતા શ્રેણીબે દ્વારા

સમાન ભાગો.

M o અને M e - શરતી સરેરાશ.

3. અંકગણિત સરેરાશ:

એ) સરળ અંકગણિત સરેરાશ

b).ભારિત અંકગણિત સરેરાશ

વી). અંકગણિત સરેરાશ, ક્ષણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે.

અંકગણિત સરેરાશ, સરળ અને ભારાંકની ગણતરી

એવા કિસ્સાઓમાં જ્યાં અમારી પાસે એક સરળ વિવિધતા શ્રેણી છે, જેમાં દરેક વિકલ્પ

1 ની સમાન આવર્તન (P) ને અનુરૂપ છે, સરળ અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી

જ્યાં M એ અંકગણિતનો સરેરાશ છે  - V - વિકલ્પ, n - અવલોકનોની સંખ્યાના સમીકરણ ચિહ્ન

આમ, અંકગણિતનો સરળ સરેરાશ એ સંખ્યા વડે વિભાજિત તમામ વિકલ્પોના સરવાળા સમાન છે

અવલોકનો

ઉદાહરણ: વ્યાખ્યા સરેરાશ વજન 18 વર્ષની વયના છોકરાઓના મૃતદેહ (કિલોમાં)

જો કે, મોટાભાગે ભારિત અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, જે

ભારિત શ્રેણીમાંથી મેળવવામાં આવે છે, જ્યાં દરેક વિકલ્પ વિવિધ સમયે થાય છે

અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, વિવિધ વજન ધરાવે છે.

અંકગણિત ભારાંકિત સરેરાશની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

એમ =  વી.પી,

n જ્યાં M એ અંકગણિત સરેરાશ છે  - સમીકરણ ચિહ્ન, V - વિકલ્પ,

પી - ઘટનાની આવર્તન, n - અવલોકનોની સંખ્યા

આમ, ભારાંકિત અંકગણિત સરેરાશ તેમના દ્વારા વિકલ્પના ઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન છે

તમામ અવલોકનોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત આવર્તન.

ઉદાહરણ: 18 વર્ષની વયના છોકરાઓના શરીરના સરેરાશ વજનનું નિર્ધારણ (કિલોમાં)

ક્ષણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અંકગણિત અર્થની ગણતરી

મુ મોટી સંખ્યામાંઅવલોકનો અથવા મોટા સાથે સંખ્યાત્મક મૂલ્યવિકલ્પ લાગુ

અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવાની એક સરળ રીત એ ક્ષણોની પદ્ધતિ છે.

M = A+ i ar

જ્યાં M એ અંકગણિત સરેરાશ છે; એ - શરતી સરેરાશ; i - જૂથો વિકલ્પ વચ્ચે અંતરાલ;

 - સમીકરણ ચિહ્ન.; a - શરતી સરેરાશથી દરેક વિકલ્પનું શરતી વિચલન;

p - વેરિઅન્ટની ઘટનાની આવર્તન; n એ અવલોકનોની સંખ્યા છે.

ક્ષણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવાનું ઉદાહરણ (સરેરાશ શરીરનું વજન

18 વર્ષની ઉંમરના છોકરાઓ)

ક્ષણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશની ગણતરી માટેનાં પગલાં:

2) અમે "a" નક્કી કરીએ છીએ - શરતી સરેરાશમાંથી વિકલ્પોનું શરતી વિચલન, આ માટે આપણે દરેક વિકલ્પમાંથી શરતી સરેરાશ બાદ કરીએ છીએ: a = V - A, (ઉદાહરણ તરીકે, a = 64 - 62 = +2, વગેરે. .).

3) અમે દરેક વિકલ્પની આવર્તન "p" દ્વારા શરતી વિચલન "a" ને ગુણાકાર કરીએ છીએ અને ઉત્પાદન a p મેળવીએ છીએ;

4) સરવાળો a શોધો. p = - 10 કિગ્રા

5) ક્ષણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરો:

M = A + i  એપી= 62 - 10.4 = 61.6 કિગ્રા

આમ, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે યુવાનોના જૂથમાં અમે અભ્યાસ કર્યો છે, સરેરાશ શરીરનું વજન

અંકગણિતનો અર્થ પોતે જેમાંથી વિવિધતા શ્રેણી વિશે કશું કહેતો નથી

તેની ગણતરી કરવામાં આવી હતી. તેની લાક્ષણિકતા (વિશ્વસનીયતા) ધ્યાનમાં લેવાયેલી એકરૂપતાથી પ્રભાવિત છે

સામગ્રી અને પંક્તિની વિવિધતા.

ઉદાહરણ: અવલોકનોની સમાન સંખ્યા સાથેની બે વિવિધતા શ્રેણી આપવામાં આવી છે, જેમાં

1 થી 2 વર્ષની વયના બાળકો માટે માથાના પરિઘ માપન રજૂ કરે છે

કર્યા સમાન નંબરઅવલોકનો અને સમાન અંકગણિત અર્થ (M = 46 cm), શ્રેણી

અંદર વિતરણમાં તફાવત છે. આમ, પ્રથમ પંક્તિમાંના વિકલ્પો સામાન્ય રીતે વિચલિત થાય છે

બીજી હરોળના વિકલ્પો કરતાં નાની કિંમત સાથેનો અંકગણિત અર્થ, જે આપે છે

અનુમાન કરવાની શક્યતા કે અંકગણિત સરેરાશ (46 સે.મી.) પ્રથમ માટે વધુ લાક્ષણિક છે

બીજા કરતાં પંક્તિ.

આંકડાઓમાં, વિવિધતા શ્રેણીની વિવિધતાને દર્શાવવા માટે, તેઓ ઉપયોગ કરે છે સરેરાશ

પ્રમાણભૂત વિચલન()

પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરવાની બે રીતો છે: અંકગણિત સરેરાશ

ક્ષણોની રીત અને રીત. અંકગણિત સરેરાશ ગણતરી પદ્ધતિ સાથે, સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે:

જ્યાં d એ સાચી સરેરાશ M માંથી દરેક વિકલ્પનું સાચું વિચલન છે. જ્યારે સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે

અવલોકનોની નાની સંખ્યા (n30)

ક્ષણોની પદ્ધતિ દ્વારા નક્કી કરવા માટેનું સૂત્ર:

જ્યાં a એ શરતી સરેરાશમાંથી વિકલ્પોનું શરતી વિચલન છે
;

બીજી ડિગ્રીની ક્ષણ, અને
પ્રથમ ડિગ્રી ક્ષણ ચોરસ.

તે સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારિક રીતે સાબિત થયું છે કે જો, મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો સાથે, સરેરાશ

અંકગણિત તેમાંથી 1(M1) ઉમેરો અને બાદ કરો, પછી પ્રાપ્ત મૂલ્યોની મર્યાદામાં

વિવિધતા શ્રેણીના તમામ પ્રકારોમાંથી 68.3% જોવા મળશે. જો અંકગણિત અર્થ

2(M2) ઉમેરો અને બાદબાકી કરો, તો 95.5% પ્રાપ્ત મૂલ્યોની અંદર હશે

બધા વિકલ્પ. M 3 માં વિવિધતા શ્રેણીના તમામ પ્રકારોના 99.7%નો સમાવેશ થાય છે.

આ સ્થિતિના આધારે, તમે અંકગણિતના સરેરાશની લાક્ષણિકતા ચકાસી શકો છો

વિવિધતા શ્રેણી જેમાંથી તેની ગણતરી કરવામાં આવી હતી. આ કરવા માટે તમારે સરેરાશ કરવાની જરૂર છે

અંકગણિત ઉમેરો અને તેમાંથી ટ્રિપલ (M3) બાદ કરો. જો પ્રાપ્ત મર્યાદામાં હોય

આપેલ વિવિધતા શ્રેણી બંધબેસે છે, પછી અંકગણિત સરેરાશ લાક્ષણિક છે, એટલે કે. તેણી

શ્રેણીની મૂળભૂત પેટર્ન વ્યક્ત કરે છે અને તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

આ જોગવાઈનો ઉપયોગ વિવિધ ધોરણોના વિકાસમાં વ્યાપકપણે થાય છે (કપડાં,

પગરખાં શાળા ફર્નિચરવગેરે).

વિવિધતાની ડિગ્રીદ્વારા વિવિધતા શ્રેણીની લાક્ષણિકતાઓનું મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે ગુણાંક

વિવિધતા(અંકગણિત સરેરાશ સાથે પ્રમાણભૂત વિચલનનો ગુણોત્તર,

100% વડે ગુણાકાર)

v = સાથે  x 100

જ્યારે C v 10% કરતા ઓછું હોય, ત્યારે નબળી વિવિધતા નોંધવામાં આવે છે, જ્યારે C v 10-20% હોય છે - સરેરાશ, અને જ્યારે 20% થી વધુ -

લક્ષણોની મજબૂત વિવિધતા.

અંકગણિત સરેરાશમાં ચોક્કસ ગુણધર્મો હોય છે જે આર્થિક ગણતરીઓમાં અને આંકડાકીય સંશોધનની પ્રેક્ટિસમાં તેનો વ્યાપક ઉપયોગ નક્કી કરે છે.

મિલકત 1.અંકગણિત સરેરાશ સતત મૂલ્યઆ સ્થિરતા સમાન:

મિલકત 2 (નલ).બીજગણિત સરવાળો રેખીય વિચલનોઅંકગણિત સરેરાશમાંથી લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના (તફાવતો) શૂન્યની બરાબર છે:

પ્રાથમિક પંક્તિ માટે અને જૂથબદ્ધ ડેટા માટે (d i - રેખીય (વ્યક્તિગત) સરેરાશથી વિચલનો, એટલે કે x i - ).

આ ગુણધર્મ નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: સરેરાશથી હકારાત્મક વિચલનોનો સરવાળો નકારાત્મક વિચલનોના સરવાળા જેટલો છે.

તાર્કિક રીતે, તેનો અર્થ એ છે કે એક અથવા બીજી દિશામાં સરેરાશથી તમામ વિચલનો, રેન્ડમ કારણોસર, એકબીજાને રદ કરે છે.

મિલકત 3 (ન્યૂનતમ).અંકગણિત સરેરાશમાંથી લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો ન્યૂનતમ સંખ્યા છે:

જેનો અર્થ થાય છે: અંકગણિત સરેરાશમાંથી વસ્તીના દરેક એકમની લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો હંમેશા કોઈપણ મૂલ્ય (A) માંથી લાક્ષણિકતાના પ્રકારોના વર્ગ વિચલનોના સરવાળા કરતા ઓછો હોય છે. , અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીના પસંદ કરેલ એકમની સરેરાશથી કેટલું ઓછું અલગ હોય તે મહત્વનું નથી.

જૂથબદ્ધ ડેટા માટે અમારી પાસે છે:

લાક્ષણિકતાના સરેરાશ સ્તરની ગણતરીની શુદ્ધતા ચકાસવા માટે અંકગણિત સરેરાશના લઘુત્તમ અને શૂન્ય ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે; ગતિશીલતાની શ્રેણીના સ્તરોમાં ફેરફારોની પેટર્નનો અભ્યાસ કરતી વખતે; અભ્યાસ કરતી વખતે રીગ્રેસન સમીકરણના પરિમાણો શોધવા માટે સહસંબંધ જોડાણચિહ્નો વચ્ચે.

ગણવામાં આવેલ ગુણધર્મો અંકગણિત સરેરાશની આવશ્યક વિશેષતાઓને વ્યક્ત કરે છે. અંકગણિતના સરેરાશના કોમ્પ્યુટેશનલ ગુણધર્મો પણ છે, જેમાં હોય છે લાગુ મૂલ્ય:

• જો વસ્તીના દરેક એકમની લાક્ષણિકતાના મૂલ્યો (તમામ સરેરાશ વિકલ્પો) સમાન મૂલ્ય A દ્વારા ઘટાડવામાં અથવા વધારવામાં આવે છે, તો સમાન ફેરફારો અંકગણિત સરેરાશ સાથે થશે;
• જો વસ્તીના દરેક એકમની લાક્ષણિકતાના મૂલ્યોને કોઈપણ સ્થિર સંખ્યા A દ્વારા વિભાજિત અથવા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો અંકગણિત સરેરાશ A ગણો ઘટશે અથવા વધશે;
• જો દરેક લક્ષણ મૂલ્યનું વજન (આવર્તન) અમુક સ્થિર સંખ્યા A દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે, તો અંકગણિત સરેરાશ બદલાશે નહીં.

હાલમાં, સામાન્યીકરણની ગણતરીમાં કોમ્પ્યુટરના ઉપયોગને કારણે અંકગણિતના સરેરાશના કોમ્પ્યુટેશનલ ગુણધર્મો તેમની સુસંગતતા ગુમાવી ચૂક્યા છે. આંકડાકીય સૂચકાંકો.

18. અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી માટે એક સરળ પદ્ધતિ.

ક્ષણોની પદ્ધતિ

આપણે ઘણીવાર અંકગણિતની સરેરાશની ગણતરી સરળ રીતે કરીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, સરેરાશ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ થાય છે. સરળ ગણતરી પદ્ધતિને ક્ષણોની પદ્ધતિ અથવા શરતી શૂન્યમાંથી ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

ક્ષણોની પદ્ધતિ ધારે છે આગામી પગલાં :

1) જો શક્ય હોય તો, વજન ઘટાડવામાં આવે છે.

2) પ્રારંભિક બિંદુ પસંદ થયેલ છે - એક શરતી શૂન્ય. તે સામાન્ય રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી એટ્રિબ્યુટનું પસંદ કરેલ મૂલ્ય વિતરણની મધ્યમાં શક્ય તેટલું નજીક હોય. જો તેના સ્વરૂપમાં વિતરણ સામાન્યની નજીક છે, પરંતુ સૌથી વધુ વજનવાળા લક્ષણને પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે.

3) શરતી શૂન્યમાંથી વિકલ્પોના વિચલનો જોવા મળે છે.

4) જો આ વિચલનો સમાવે છે સામાન્ય ગુણક, પછી ગણતરી કરેલ વિચલનો આ પરિબળ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

5) લાક્ષણિકતાની સરેરાશ કિંમત અનુસાર જોવા મળે છે નીચેનું સૂત્ર

▲ 19 મોડ અને સરેરાશ અને આંકડાઓમાં તેમનો ઉપયોગ.

વિતરણ મોડ એ અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતાનું મૂલ્ય છે જે આપેલ વસ્તીમાં મોટાભાગે જોવા મળે છે, એટલે કે. લાક્ષણિકતાના પ્રકારોમાંથી એક અન્ય તમામ કરતા વધુ વખત પુનરાવર્તિત થાય છે. મોડ એ વિવિધ લાક્ષણિકતાનું મૂલ્ય છે જે ઉચ્ચતમ આવર્તન ધરાવે છે. સમાન અંતરાલો સાથે અંતરાલ વિતરણ શ્રેણીમાં મોડ.
Mo=xMo+iMo*(fMo-f(Mo-1))/((fMo-f(Mo-1))+(fMo-f(Mo-1)) અસમાન અંતરાલો સાથે અંતરાલ શ્રેણીમાં મોડ.
100-120 10 0,5
120-140 30 1,5 <- Mo (мода)
140-180 40 1
180-220 20 0,5
કુલ: 100
ઓર્ડર કરેલ અલગ વિતરણ શ્રેણી માટે, મોડ, જે વિવિધતા શ્રેણીની લાક્ષણિકતા છે, તે વિકલ્પોની ફ્રીક્વન્સીઝ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને ઉચ્ચતમ આવર્તન સાથેના વિકલ્પને અનુરૂપ છે.
સરેરાશ એ વસ્તીના તે એકમ માટે વિવિધ લાક્ષણિકતાનું મૂલ્ય છે જે ભાડાની શ્રેણીની મધ્યમાં છે.
એક અલગ શ્રેણીમાં મધ્યક: 23 28 30 35 37 (30 મધ્ય)
અંતરાલ વિતરણ શ્રેણીમાં મધ્યક: Me = xMe+iMe*(sumf/2-fisc)/fsc
એક અલગ વિતરણ શ્રેણીમાં, સ્થિતિ દૃષ્ટિની રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. મધ્યકની મુખ્ય મિલકત એ છે કે મધ્યકમાંથી વિશેષતા મૂલ્યોના સંપૂર્ણ વિચલનોનો સરવાળો અન્ય કોઈપણ મૂલ્ય કરતાં ઓછો છે. ચતુર્થાંશ એક લક્ષણના મૂલ્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે ક્રમાંકિત વસ્તીને ચાર સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. ચતુર્થાંશની ગણતરી કરવી એ મધ્યકની ગણતરી કરવા સમાન છે. ડેસિલ્સ એ મૂલ્યના વિકલ્પો છે જે ક્રમાંકિત શ્રેણીને દસ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે: 1 લી ડેસિલ વસ્તીને 1/10 થી 9/10 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે, 2જી ડેસિલ 2/10 થી 8/10 ના ગુણોત્તરમાં, વગેરે. ડેસિલ્સ મધ્યક અને ચતુર્થાંશની જેમ જ ગણતરી કરવામાં આવે છે.

▲ 20 કારણો કે જે આંકડાઓ દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલી લાક્ષણિકતાઓમાં વિવિધતાને જન્મ આપે છે. વિવિધતાનો અભ્યાસ કરવાની જરૂર છે.

18 કારણો કે જે આંકડાઓ દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલી લાક્ષણિકતાઓમાં વિવિધતાને જન્મ આપે છે. વિવિધતાનો અભ્યાસ કરવાની જરૂર છે.
સામાજિક જીવનની અસાધારણ ઘટના અને પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, આંકડાઓ વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમોને દર્શાવતી લાક્ષણિકતાઓની વિવિધતા (પરિવર્તનશીલતા) નો સામનો કરે છે. વિવિધ પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ લાક્ષણિકતાઓના મૂલ્યો બદલાય છે. દેખીતી રીતે, આપેલ લક્ષણના કદને પ્રભાવિત કરતી પરિસ્થિતિઓ જેટલી વધુ વૈવિધ્યસભર છે, તેની વિવિધતા વધારે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કામદારોનું વેતન ઘણા પરિબળો પર આધારિત છે: વિશેષતા, પદ, સેવાની લંબાઈ, શિક્ષણ, આરોગ્યની સ્થિતિ વગેરે. પરિબળ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત જેટલો વધારે છે, વેતન સ્તરોમાં વધુ તફાવત.
જ્યારે લાક્ષણિકતાની પરિવર્તનક્ષમતા દર્શાવવામાં આવે છે, ત્યારે સંપૂર્ણ અને સંબંધિત સૂચકાંકોની સિસ્ટમનો ઉપયોગ થાય છે.
સામાજિક જીવનની અસાધારણ ઘટના અને પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, આંકડાઓ વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમોને દર્શાવતી લાક્ષણિકતાઓની વિવિધતા (પરિવર્તનશીલતા) નો સામનો કરે છે.
વિવિધતા એ એક જ સમયે આપેલ વસ્તીના વિવિધ એકમોમાં અમુક લાક્ષણિકતાના મૂલ્યોમાં તફાવત છે. વિવિધ પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ લાક્ષણિકતાઓના મૂલ્યો બદલાય છે. અને, તેથી, આપેલ લક્ષણના કદને પ્રભાવિત કરતી પરિસ્થિતિઓ વધુ વૈવિધ્યસભર છે, તેની વિવિધતા વધારે છે. આંકડાઓમાં ભિન્નતાના અભ્યાસનું ખૂબ મહત્વ છે કારણ કે તે ઘટનાના સારને અભ્યાસ કરવામાં મદદ કરે છે. વિવિધતાને માપવા, તેનું કારણ શોધવા, વ્યક્તિગત પરિબળોના પ્રભાવને ઓળખવાથી વૈજ્ઞાનિક રીતે આધારિત મેનેજમેન્ટ નિર્ણયો લેવા માટે મહત્વપૂર્ણ માહિતી (આયુષ્ય, આવક અને વસ્તીના ખર્ચ વગેરે) પૂરી પાડે છે.

▲ 21 વિવિધતાના સૂચકાંકો, સંપૂર્ણ અને સંબંધિત, સામાન્ય, આંતરજૂથ અને આંતરજૂથ, તેમનો અર્થ અને મહત્વ. ભિન્નતા ઉમેરવાનો નિયમ.

(122.51 KB) ડાઉનલોડ્સ: 0

▲ 22 સરેરાશ રેખીય વિચલન, સરેરાશ ચોરસ વિચલન (વિખેરવું), પ્રમાણભૂત વિચલન, વિવિધતાના ગુણાંક.

23. વિક્ષેપના ગાણિતિક ગુણધર્મો. ભિન્નતાની ગણતરી માટે સરળ પદ્ધતિઓ

વિક્ષેપ એ તેમના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વિચલનોનો સરેરાશ વર્ગ છે અને સરળ અને ભારિત વિક્ષેપ (સ્રોત ડેટાના આધારે) માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે:

પ્રમાણભૂત વિચલન (σ):

(સરળ પ્રમાણભૂત વિચલન),

(ભારિત પ્રમાણભૂત વિચલન).

પ્રમાણભૂત વિચલન એ એકંદરમાં લાક્ષણિકતાના વિવિધતાના કદની સામાન્ય લાક્ષણિકતા છે. તે ચિહ્ન તરીકે સમાન એકમોમાં વ્યક્ત થાય છે.

વિભિન્નતાની ગણતરીને સરળ બનાવી શકાય છે. વિતરણની વિવિધતા શ્રેણીમાં સમાન અંતરાલોના કિસ્સામાં, શરતી શૂન્ય (ક્ષણોની પદ્ધતિ) માંથી ગણતરી કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. તેને સમજવા માટે તમારે નીચેની બાબતો જાણવાની જરૂર છે વિક્ષેપ ગુણધર્મો:
મિલકત 1 . સ્થિર મૂલ્યનો તફાવત શૂન્ય છે.
મિલકત 2 . સમાન મૂલ્ય A દ્વારા લાક્ષણિકતાના તમામ મૂલ્યોને ઘટાડવાથી વિક્ષેપ મૂલ્ય બદલાતું નથી . આનો અર્થ એ છે કે વિચલનોના સરેરાશ વર્ગની ગણતરી લાક્ષણિકતાના આપેલા મૂલ્યોથી નહીં, પરંતુ કોઈપણ સ્થિર સંખ્યામાંથી તેમના વિચલનોથી કરી શકાય છે.
મિલકત 3 . લાક્ષણિકતાના તમામ મૂલ્યોને K ગણાથી ઘટાડવાથી ભિન્નતામાં K 2 ગણો ઘટાડો થાય છે અને પ્રમાણભૂત વિચલન K વખતથી ઘટે છે . આનો અર્થ એ છે કે વિશેષતાના તમામ મૂલ્યોને અમુક સ્થિર સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, શ્રેણી અંતરાલના મૂલ્ય દ્વારા, પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરો અને પછી તેને સતત સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો: .
મિલકત 4 . જો તમે કોઈપણ મૂલ્ય A માંથી વિચલનોના સરેરાશ વર્ગની ગણતરી કરો છો, જે અંકગણિત સરેરાશ () થી એક ડિગ્રી અથવા બીજાથી અલગ હોય છે, તો તે અંકગણિત સરેરાશથી ગણવામાં આવતા વિચલનોના સરેરાશ વર્ગ કરતા હંમેશા મોટો હશે. . વિચલનોનો સરેરાશ વર્ગ (– A) 2 થી વધુ હશે:
.
આનો અર્થ એ છે કે સરેરાશ મૂલ્યમાંથી ભિન્નતા હંમેશા અન્ય કોઈપણ મૂલ્યોમાંથી ગણવામાં આવતા ભિન્નતા કરતાં ઓછી હોય છે, એટલે કે. તેની પાસે લઘુત્તમતાની મિલકત છે.
પદ્ધતિઓ કે જે તેની ગણતરીને સરળ બનાવે છે તે વિક્ષેપના આ ગાણિતિક ગુણધર્મો પર આધારિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્ષણોની પદ્ધતિ અથવા શરતી શૂન્યમાંથી ગણતરીની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વિખેરવાની ગણતરી સમાન અંતરાલ સાથે વિવિધતા શ્રેણીમાં વપરાય છે. ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

,
જ્યાં K એ અંતરાલની પહોળાઈ છે;
A એ શરતી શૂન્ય છે, જે સૌથી વધુ આવર્તન સાથે અંતરાલના મધ્ય તરીકે વાપરવા માટે અનુકૂળ છે;
- બીજા ઓર્ડરની ક્ષણ.
રેખીય સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત વિચલન વચ્ચે આશરે સંબંધ છે જો વાસ્તવિક વિતરણ સામાન્યની નજીક હોય.
સામાન્ય વિતરણ પરિસ્થિતિઓમાં, પ્રમાણભૂત વિચલનના મૂલ્ય અને અવલોકનોની સંખ્યા વચ્ચે નીચેનો સંબંધ છે:
1) અવલોકનોની સંખ્યાના 68.3% ± 1σ ની અંદર સ્થિત છે;
2) ± 2σ - 95.4% ની અંદર;
3) ± 3σ - 99.7% ની અંદર;
વાસ્તવમાં, વ્યવહારમાં લગભગ કોઈ વિચલનો નથી કે જે ±3σ કરતાં વધી જાય. 3σ નું વિચલન મહત્તમ શક્ય ગણી શકાય. આ જોગવાઈને "થ્રી સિગ્મા નિયમ" કહેવામાં આવે છે.

▲ 24 વૈકલ્પિક લાક્ષણિકતાનો તફાવત.

21 વૈકલ્પિક લાક્ષણિકતાનો તફાવત.
વૈકલ્પિક ચિહ્ન એ એક નિશાની છે જે કોઈ વસ્તુનો કબજો અથવા બિન-કબજો દર્શાવે છે (ફકરો 1.2 જુઓ.).
આંકડાઓમાં, અભ્યાસ કરેલ લક્ષણની હાજરીના વૈકલ્પિક ચિહ્નોની વિવિધતાનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તેઓને "1" અને તેની ગેરહાજરી - "0" તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.
વસ્તીમાં એકમોનું પ્રમાણ જે અભ્યાસ હેઠળની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે – “p”, અને જેની પાસે તે “q” નથી, તેથી, p + q = 1
વૈકલ્પિક લાક્ષણિકતાનો તફાવત એ શેરના ઉત્પાદન અને સંખ્યા જે આ શેરને એક સાથે પૂરક બનાવે છે તે સમાન છે. આ સૂચકનું વર્ગમૂળ વૈકલ્પિક લાક્ષણિકતાના પ્રમાણભૂત વિચલનને અનુરૂપ છે.
વૈકલ્પિક લાક્ષણિકતાઓના ભિન્નતાના સૂચકાંકોનો વ્યાપકપણે આંકડાઓમાં ઉપયોગ થાય છે, ખાસ કરીને નમૂનાના અવલોકનોની રચના કરતી વખતે, સમાજશાસ્ત્રીય સર્વેક્ષણોમાંથી ડેટાની પ્રક્રિયા કરતી વખતે, ઉત્પાદનની ગુણવત્તાના આંકડાકીય નિયંત્રણ અને અન્ય સંખ્યાબંધ કેસોમાં.

▲ 25 પસંદગીયુક્ત અવલોકન, અર્થ અને ઉપયોગની શરતો.

22 પસંદગીયુક્ત અવલોકન, અર્થ અને ઉપયોગની શરતો.
આંકડાકીય અવલોકન જેમાં વસ્તીના તમામ ઘટકોનો અભ્યાસ કરવામાં આવતો નથી (જેને "સામાન્ય" કહેવામાં આવે છે) સંશોધનને આધિન નથી, પરંતુ તેમાંથી માત્ર એક ચોક્કસ ભાગ ચોક્કસ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. વસ્તી તત્વોનો પસંદ કરેલ ભાગ (નમૂનો) બે શરતો હેઠળ સ્વીકાર્ય ચોકસાઈ સાથે સમગ્ર વસ્તીનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે: તે પૂરતા પ્રમાણમાં અસંખ્ય હોવા જોઈએ જેથી વસ્તીમાં અસ્તિત્વમાં રહેલા દાખલાઓ તેમાં દેખાઈ શકે; નમૂનાના ઘટકોની પસંદગી ઉદ્દેશ્યપૂર્વક, સંશોધકની ઈચ્છાથી સ્વતંત્ર રીતે થવી જોઈએ, જેથી તેમાંથી દરેકને પસંદ થવાની સમાન તક મળે અથવા આ તકો સંશોધકને ખબર હોય. આ શરતો નમૂના પદ્ધતિના ગાણિતિક સિદ્ધાંત દ્વારા સ્થાપિત થાય છે. તે સંભાવના સિદ્ધાંતના ઘણા મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય પર આધારિત છે, જે મોટી સંખ્યાના કહેવાતા કાયદા બનાવે છે (મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો જુઓ). જો આ શરતો પૂરી થાય તો જ નમૂનાના ડેટાના આધારે નમૂનાના નિરીક્ષણની ચોકસાઈનું મૂલ્યાંકન કરવું ઉદ્દેશ્યથી શક્ય બને છે. ચોકસાઈ નમૂનાનું અવલોકન સરેરાશ નમૂનાની ભૂલનો ઉપયોગ કરીને માપવામાં આવે છે, જેની તીવ્રતા અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી લાક્ષણિકતાઓની વિવિધતાની ડિગ્રીના સીધા પ્રમાણસર છે અને નમૂનાના કદના વિપરિત પ્રમાણસર છે. પસંદગીયુક્ત અવલોકન નિરંતર અવલોકન કરતાં વધુ ઝડપથી, ઓછા ખર્ચે કરી શકાય છે, અને સતત અવલોકનનાં પરિણામો કરતાં ચોકસાઈમાં બહુ હલકી ગુણવત્તાવાળા ન હોય તેવા પરિણામો પ્રાપ્ત કરી શકાય છે, અને વધુ સંપૂર્ણ અવલોકનની શક્યતાને ધ્યાનમાં લઈને, ઘણી વખત તેનાં કરતાં પણ શ્રેષ્ઠ હોય છે.

▲ 26 પસંદગીયુક્ત અવલોકનમાં ભૂલો.

પસંદગીયુક્ત અવલોકનમાં 23 ભૂલો.
એક નિયમ તરીકે, નમૂનાની વસ્તીની લાક્ષણિકતાઓ અને સામાન્ય વસ્તીની લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે કેટલીક વિસંગતતા છે, જેને આંકડાકીય અવલોકન ભૂલ કહેવામાં આવે છે. સામૂહિક નિરીક્ષણ દરમિયાન, ભૂલો અનિવાર્ય છે, પરંતુ તે વિવિધ કારણોના પરિણામે ઊભી થાય છે. નમૂનાની લાક્ષણિકતાની સંભવિત ભૂલની તીવ્રતા નોંધણીની ભૂલો અને પ્રતિનિધિત્વની ભૂલોથી બનેલી છે. નોંધણીની ભૂલો, અથવા તકનીકી ભૂલો, નિરીક્ષકોની અપૂરતી લાયકાત, અચોક્કસ ગણતરીઓ, અપૂર્ણ સાધનો વગેરે સાથે સંકળાયેલી છે.
પ્રતિનિધિત્વની ભૂલને નમૂનાની લાક્ષણિકતા અને સામાન્ય વસ્તીની અપેક્ષિત લાક્ષણિકતા વચ્ચેની વિસંગતતા તરીકે સમજવામાં આવે છે. પ્રતિનિધિત્વની ભૂલો રેન્ડમ અથવા વ્યવસ્થિત હોઈ શકે છે.
પદ્ધતિસરની ભૂલો સ્થાપિત પસંદગીના નિયમોના ઉલ્લંઘન સાથે સંકળાયેલી છે. રેન્ડમ ભૂલો નમૂનામાં સામાન્ય વસ્તીમાં એકમોની વિવિધ શ્રેણીઓની અપૂરતી સમાન રજૂઆત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે.
. પ્રથમ કારણના પરિણામે, નમૂના સરળતાથી પક્ષપાતી થઈ શકે છે, કારણ કે દરેક એકમની પસંદગીમાં ભૂલ કરવામાં આવે છે, હંમેશા તે જ દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે. આ ભૂલને ઓફસેટ એરર કહેવામાં આવે છે. તેનું કદ રેન્ડમ ભૂલના મૂલ્ય કરતાં વધી શકે છે. પૂર્વગ્રહની ભૂલની ખાસિયત એ છે કે, પ્રતિનિધિત્વ ભૂલનો સતત ભાગ હોવાને કારણે, તે નમૂનાના કદમાં વધારો સાથે વધે છે. નમૂનાના કદમાં વધારો સાથે રેન્ડમ ભૂલ ઘટે છે. વધુમાં, રેન્ડમ ભૂલની તીવ્રતા નક્કી કરી શકાય છે, જ્યારે ડિસ્પ્લેસમેન્ટ ભૂલનું કદ ખૂબ મુશ્કેલ છે અને વ્યવહારમાં સીધી રીતે નક્કી કરવું ક્યારેક અશક્ય છે. તેથી, તે કારણોને જાણવું મહત્વપૂર્ણ છે કે જે ઓફસેટ ભૂલનું કારણ બને છે અને તેને દૂર કરવા માટે પગલાં લે છે.

▲ 27 વિવિધ પદ્ધતિઓ અને પસંદગીની પદ્ધતિઓ સાથે સરેરાશ અને આવર્તન માટે નમૂનાની ભૂલ નક્કી કરવા માટેની પદ્ધતિઓ.

વિવિધ પદ્ધતિઓ અને પસંદગીની પદ્ધતિઓ સાથે સરેરાશ અને આવર્તન માટે નમૂનાની ભૂલ નક્કી કરવા માટેની 24 પદ્ધતિઓ.
-સામાન્ય વસ્તીના સાચા ડેટામાંથી નમૂના અવલોકનનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા પરિણામોનું વિચલન.
નમૂનાની ભૂલ બે પ્રકારની છે - આંકડાકીય અને વ્યવસ્થિત. આંકડાકીય ભૂલ નમૂનાના કદ પર આધારિત છે. નમૂનાનું કદ જેટલું મોટું છે, તે ઓછું છે.

▲ 28 નમૂનાનું કદ નક્કી કરવું.

25 નમૂનાના કદનું નિર્ધારણ.
નમૂનાના અવલોકનનું આયોજન કરતા સંશોધક દ્વારા જરૂરી નમૂનાનું કદ નક્કી કરવું એ એક મહત્વપૂર્ણ કાર્ય છે.
તે જ સમયે, તે, એક નિયમ તરીકે, જાણે છે: તે સામાન્ય વસ્તીની કઈ લાક્ષણિકતાઓનો અંદાજ કાઢવા માંગે છે, તે કેટલી ભૂલની માત્રાને નજીવી ગણશે, તે ડેટા પસંદગીની કઈ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે. વસ્તીનું સ્થાન અને ઘણીવાર (પરંતુ હંમેશા નહીં) તેમાંના તત્વોની સંખ્યા પણ જાણીતી છે.
નમૂનાના કદની ગણતરી ડેટા પ્રોસેસિંગ માટેના આંકડાકીય અભિગમ પર આધારિત છે અને તેની પાછળ ઘણી ગણતરીઓ છે, પરંતુ સરળતા માટે, અમે નીચે એક સૂત્ર રજૂ કરીશું જે સારા પરિણામો પ્રાપ્ત કરવા માટે અનુસરી શકાય છે.

આંકડાશાસ્ત્રના સૂત્રો

વિષય 1: જૂથીકરણ આંકડા

જૂથોની સંખ્યા નક્કી કરવી(જો જૂથીકરણ સતત અથવા ઘણા મૂલ્યો સાથે અલગ હોય તો)

સમાન અંતરાલનું મૂલ્ય નક્કી કરવું:

વિષય 2: સંપૂર્ણ અને સંબંધિત માત્રા

સંબંધિત મૂલ્યો :

1) સંબંધ ધરાવે છે વેલ-ઓન સ્ટ્રક્ચર્સ:

2) સંબંધ ધરાવે છે આયોજિત કાર્ય તરફ દોરી જાઓ:

3) સંબંધ ધરાવે છે યોજના અમલમાં મૂકવા માટેની સૂચનાઓ:

4) સંબંધ ધરાવે છે વેલ-ઓન ડાયનેમિક્સ અથવા વૃદ્ધિ દર:

5) સંબંધ ધરાવે છે vel-થી- સરખામણી

6) સંબંધ ધરાવે છે વેલ-ઓન તીવ્રતા(ઉદાહરણ: મૂડી ઉત્પાદકતા = વોલ્યુમ/ખર્ચ (એક વર્ષ))

વિષય 3: સરેરાશ મૂલ્યો અને વિવિધતાના સૂચકાંકો

અંકગણિત સરેરાશ

સરળ :

ભારિત :

હાર્મોનિક સરેરાશ

સરળ :

ભારિત : , જૂથ દ્વારા લાક્ષણિકતા મૂલ્યોનો સરવાળો

ગુણધર્મો સરેરાશ અંકગણિત

જો તમે દરેક રસોઇ કરો એક્સસમાન સંખ્યામાં ઘટાડો અથવા વધારો, પછી cf.

જો તમે દરેક રસોઇ કરો એક્સસમાન સંખ્યામાં વધારો અથવા ઘટાડો;

કૌશલ્ય અથવા સમાન સંખ્યામાં વખત વધારો, પછી cf. તે જ સંખ્યામાં વધારો અથવા ઘટાડો; જો દરેક આવર્તન f

કૌશલ્ય અથવા સમાન સંખ્યામાં વખત વધારો, પછી cf. વેલ-ના બદલાશે નહીં. બુધ. vel-na આધાર રાખે છેએક્સ var-તમે થીઅને સ્કૂપ સ્ટ્રક્ચર્સ , બિલાડી શેર દ્વારા લાક્ષણિકતા.

ડી વિતરણ શ્રેણી ધરાવે છે:

1) 3 કેન્દ્રો ;

2) બુધ arimet-કંઈક ફેશન

3) - સૌથી સામાન્ય var-ta; મધ્યક

– var-ta, વિતરણની પંક્તિની મધ્યમાં ઉભા છે. પ્રથમ, N મધ્ય, બિલાડી શોધો. n/2 ની બરાબર છે, જો સ્કૂપ એકમો n ની સંખ્યા સમ હોય, અથવા જો સ્કૂપ એકમોની સંખ્યા વિષમ હોય.:

1) મૂળભૂત હજુ સુધી કોઈ ભિન્નતા છે?:

2) વિવિધતાની શ્રેણીબુધ રેખીય વિચલન

(અલગ મૂલ્યોના સંપૂર્ણ વિચલનમાંથી cf. અંક)

જૂથ વગરના માટે ડેટા:

3) જૂથબદ્ધ માટે ડેટા:બુધ પ્રમાણભૂત વિચલન

(har-et avg. var-ty નું સરેરાશ vel-ny માંથી સંપૂર્ણ વિચલન):

જૂથ વગરના માટે ડેટા:

4) જૂથબદ્ધ માટે ડેટાવિખેરી નાખવું

(har-et avg. var-ty નું સરેરાશ vel-ny માંથી સંપૂર્ણ વિચલન):

જૂથ વગરના માટે ડેટા:

– મૂળનો વર્ગ એટલે ચોરસ વિચલન કુલ તફાવત: (જૂથો માટે)

– (બિન-જૂથો માટે.)

બુધ vel-na rezul. ઇનામ સુસંગતતામાં છે - આવર્તન (કુલમાં!) જૂથમાં તફાવત: i

- જૂથમાં વિકલ્પોની સંખ્યા જૂથમાં તફાવત: i

જૂથ તફાવત વચ્ચે:

ભિન્નતા ઉમેરવાનો નિયમ:

5) તેની પાસે માપનના એકમો નથી.વિવિધતાનો ગુણાંક

har-et cf. સંબંધ ધરાવે છે બુધ થી વિચલન. vel-ny.

ક્ષણોની પદ્ધતિ

આપણે ઘણીવાર અંકગણિતની સરેરાશની ગણતરી સરળ રીતે કરીએ છીએ.

આ કિસ્સામાં, સરેરાશ મૂલ્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ થાય છે. સરળ ગણતરી પદ્ધતિને ક્ષણોની પદ્ધતિ અથવા શરતી શૂન્યમાંથી ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. ક્ષણોની પદ્ધતિ ધારે છે :

આગામી પગલાં 1) મૂળ પસંદ કરો (એક્સ થી ) – શરતી શૂન્ય (એ

). સામાન્ય રીતે સ્પ્રેડની મધ્યમાં શક્ય તેટલી નજીક.

2) શરતી શૂન્ય () માંથી વિકલ્પોના વિચલનો જોવા મળે છે. 4) જો આ વિચલનોમાં સામાન્ય પરિબળ હોય તો ( k

), પછી ગણતરી

har-et cf. સંબંધ ધરાવે છે બુધ થી વિચલન. vel-ny. :

વિચલનો આ પરિબળ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

સરેરાશ:

વિક્ષેપ:

વિષય 4: પસંદગીયુક્ત અવલોકન

જનરલ સરેરાશ: આપેલમાંથી. સંભાવના સ્તર P(t)

- સરેરાશ માટે નમૂનાની ભૂલ. vel-ny

, t- વિશ્વસનીયતા માપદંડ, તે ઉલ્લેખિત સ્તર પર આધારિત છે. સંભાવના P(t)

જો 1) પી(t) = 0.683, પછીt=1 ; 2) પી(t) = 0.954, પછીt=2 ; 3) પી(t) = 0.997, પછીt=3

- આરએમએસ નમૂનાની ભૂલ

- નમૂનામાં પુનરાવર્તિત પસંદગી માટે સાચું.

- પુનરાવર્તિત પસંદગી માટે

સાબિત: આપેલ સાથે. સંભાવના સ્તર P(t)

- શેર માટે નમૂનાની ભૂલ

, – આરએમએસ. શેર માટે નમૂનાની ભૂલ

- પુનઃપસંદગી માટે

- પુનરાવર્તિત પસંદગી માટે

વિષય 5: ગતિશીલ શ્રેણી

વિશ્લેષક. હમણાં માટે:

1) સંપૂર્ણ. વધારો(સ્તર તફાવત)

(સાંકળ);

2) (મૂળભૂત)

(સાંકળ);

3) વૃદ્ધિ દર (લેવલ રેશિયો)

વધારો દર (સાંકળ);

4) (મૂળભૂત)

1% વધારાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (સાંકળ);

(સાંકળ);

1) સરેરાશ: ;

2) બુધ ગતિશીલ સ્તરો પંક્તિ .

બુધ વિશ્લેષણાત્મક તે વક્તાઓને બતાવ્યું. પંક્તિ

ગણતરી સરેરાશ ટેક્સીવે પ્રકાર પર આધાર રાખીને મેનેજર સ્તર: અ) – ઇન્ટરવ માટે સમાન સાથે આર.ડી. સમયનો સમયગાળો

બુધ અંકગણિત સરળ b) – ઇન્ટરવ માટે અસમાન સાથે ટેક્સીવે સમયનો સમયગાળો

બુધ અંકગણિત ભારિત વી) – સમાન તારીખો સાથે ક્ષણિક ટેક્સીવે માટે

બુધ કાલક્રમિક જી) – ઇન્ટરવ માટે અસમાન સાથે ટેક્સીવે સમયનો સમયગાળો

અસમાન અંતરવાળી તારીખો સાથેના ક્ષણિક ટેક્સીવે માટે

ગણતરી સરેરાશ ટેક્સીવે પ્રકાર પર આધાર રાખીને મેનેજર સ્તર: ગણતરી સરેરાશ વિશ્લેષક બતાવો:

બુધ અંકગણિત સરળ બુધ સંપૂર્ણ વધારો

બુધ અંકગણિત ભારિત બુધ વૃદ્ધિ દર

બુધ વધારો દર

ટેક્સીવે બંધ

બંધ પંક્તિઓમાં આરડીને બંધ કરવા માટે, એક સમય બિંદુ (તારીખ, સમયગાળો) જોવા મળે છે જ્યારે તેમની પાસે અગાઉની અને નવી પરિસ્થિતિઓમાં, અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી લાક્ષણિકતા વિશેની માહિતી હોય છે. ગુણાંકની ગણતરી કરવામાં આવે છે, આગળ. ગણતરીઓ - બંધ. પંક્તિ

પ્રક્રિયા દરમિયાન, આરડી મહત્વપૂર્ણ છે. કાર્ય મૂળભૂત બાબતોને ઓળખવાનું છે. ઘટનાના વિકાસની વૃત્તિઓ (વલણ) અને રેન્ડમ ઘટનાઓને સરળ બનાવવી. ખચકાટ આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, ત્યાં ખાસ પદ્ધતિઓ છે, બિલાડી. ગોઠવણી પદ્ધતિઓ કહેવામાં આવે છે.

3 મુખ્ય સમય શ્રેણી પર પ્રક્રિયા કરવાની રીત:

a) ટેક્સીવેના અંતરાલોનું વિસ્તરણ અને દરેક માટે સરેરાશની ગણતરી. વિસ્તૃત અંતરાલ;

(ઓછી સતત ઇન્ટ્સમાંથી વધુ ચાલુ રાશિઓમાં સંક્રમણ. સરેરાશ, વિસ્તૃત ઇન્ટ્સનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે, તે મુખ્ય વિકાસ વલણની દિશા અને પ્રકૃતિ (પ્રવેગ અથવા મંદી) ઓળખવાનું શક્ય બનાવે છે. સરેરાશની ગણતરી સરળ અંકગણિત સરેરાશ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

b) મૂવિંગ એવરેજ પદ્ધતિ;

(સરેરાશ સ્તર શ્રેણીના પ્રથમ સ્તરોની ચોક્કસ સંખ્યા, સામાન્ય રીતે વિષમ, પરથી ગણવામાં આવે છે. પછી - સમાન સંખ્યામાં સ્તરોથી, પરંતુ બીજાથી શરૂ કરીને, પછી - ત્રીજાથી શરૂ કરીને, વગેરે. T/o, સરેરાશ, જેમ તે હતી, સમય શ્રેણી સાથે તેની શરૂઆતથી અંત સુધી "સ્લાઇડ્સ", દરેક વખતે શરૂઆતમાં એક સ્તરને કાઢી નાખે છે અને આગલું ઉમેરે છે.

c) વિશ્લેષણાત્મક ગોઠવણી.

સિઝનલિટી સૂચકાંકો એ વાસ્તવિક ઇન્ટ્રા-વાર્ષિક સ્તરોના ટકાવારી ગુણોત્તર અને સ્થિર અથવા ચલ સરેરાશ છે. આ સૂચકોનું સંયોજન મોસમી તરંગને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

મોસમ ઓળખવા માટે. વધઘટ સામાન્ય રીતે મહિના દ્વારા વિતરિત, કેટલાક વર્ષો સુધી ડેટાનો ઉપયોગ કરે છે. દરેક મહિના માટે, સરેરાશ સ્તરની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે 3 વર્ષ માટે ( ), પછી સમગ્ર શ્રેણી માટે સરેરાશ સ્તર તેમની પાસેથી ગણવામાં આવે છે ( ), પછી શ્રેણીના એકંદર સરેરાશ માસિક સ્તર માટે દરેક મહિના માટે સરેરાશનો ટકાવારી ગુણોત્તર નક્કી કરવામાં આવે છે:

દરેક મહિના માટે સરેરાશ સ્તર ક્યાં છે;

સમગ્ર શ્રેણી માટે સરેરાશ માસિક સ્તર.

મોસમી તરંગની દ્રશ્ય રજૂઆત માટે, મોસમના સૂચકાંકોને આલેખના સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

વ્યક્તિગત સૂચકાંકો:

સામાન્ય સૂચકાંકો:

સૂચકાંકો વચ્ચેનો સંબંધ

સામાન્ય ઉત્પાદન ખર્ચ સૂચકાંક

• અંકગણિતના ગુણધર્મ. "ક્ષણો" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અંકગણિતના અર્થની ગણતરી
• ગણતરીઓની જટિલતાને ઘટાડવા માટે, સરેરાશ અંકના મૂળભૂત ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
• 1. જો સરેરાશ લાક્ષણિકતાના તમામ પ્રકારો એક સ્થિર મૂલ્ય A દ્વારા વધ્યા/ઘટાડવામાં આવે, તો અંકગણિત સરેરાશ તે મુજબ વધશે/ઘટાશે.
• 2. જો આપેલ લાક્ષણિકતા માટેના તમામ વિકલ્પો n ગણા વધાર્યા/ઘટાડવામાં આવે, તો સરેરાશ અંક n ગણો વધશે/ઘટાશે.

3. જો સરેરાશ લાક્ષણિકતાની તમામ ફ્રીક્વન્સીઝ સતત સંખ્યા વડે વધારો/ઘટાડવામાં આવે છે, તો સરેરાશ એરિથમ યથાવત રહેશે.

18. હાર્મોનિક અર્થ સરળ અને ભારિત

હાર્મોનિક સરેરાશ - જ્યારે આંકડાકીય માહિતીમાં વસ્તીના વ્યક્તિગત પ્રકારો માટેના વજન પરનો ડેટા ન હોય ત્યારે તેનો ઉપયોગ થાય છે, પરંતુ અનુરૂપ વજન દ્વારા વિવિધ લાક્ષણિકતાના મૂલ્યોના ઉત્પાદનો જાણીતા હોય છે.

ભારિત હાર્મોનિક સરેરાશ માટેનું સામાન્ય સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

ઉદાહરણ તરીકે, ઉત્પાદન A ના ત્રણ બેચ વિવિધ ભાવે ખરીદવામાં આવ્યા હતા (20, 25 અને 40 રુબેલ્સ) પ્રથમ બેચની કુલ કિંમત 2000 રુબેલ્સ હતી, બીજી બેચ - 5000 રુબેલ્સ અને ત્રીજી બેચ - 6000 રુબેલ્સ. અમારે ઉત્પાદન A ના એકમ દીઠ સરેરાશ કિંમત નક્કી કરવાની જરૂર છે.

ખરીદેલ માલના કુલ જથ્થા દ્વારા વિભાજિત કુલ કિંમતના ભાગાકાર તરીકે સરેરાશ કિંમત નક્કી કરવામાં આવે છે. હાર્મોનિક સરેરાશનો ઉપયોગ કરીને, અમને ઇચ્છિત પરિણામ મળે છે:

ઘટનામાં કે ઘટનાના કુલ વોલ્યુમો, એટલે કે. લક્ષણ મૂલ્યોના ઉત્પાદનો અને તેમના વજન સમાન છે, પછી હાર્મોનિક સરળ સરેરાશ લાગુ કરવામાં આવે છે:

x - લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો (વિકલ્પો),

n - વિકલ્પોની કુલ સંખ્યા.

ઉદાહરણ. બે કાર એક જ પાથને આવરી લે છે: એક 60 કિમી/કલાકની ઝડપે અને બીજી 80 કિમી/કલાકની ઝડપે. અમે દરેક કાર દ્વારા મુસાફરી કરેલા પાથની લંબાઈને એક તરીકે લઈએ છીએ. પછી સરેરાશ ઝડપ હશે:

હાર્મોનિક સરેરાશ અંકગણિત સરેરાશ કરતાં વધુ જટિલ માળખું ધરાવે છે. હાર્મોનિક સરેરાશનો ઉપયોગ ગણતરી માટે થાય છે જ્યારે વસ્તીના એકમો - લાક્ષણિકતાના વાહકો - વજન તરીકે ઉપયોગમાં લેવાતા નથી, પરંતુ લાક્ષણિકતાના મૂલ્યો (એટલે ​​​​કે m = Xf) દ્વારા આ એકમોનું ઉત્પાદન. એવરેજ હાર્મોનિક સિમ્પલ નક્કી કરવાના કિસ્સામાં આશરો લેવો જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, ઉત્પાદનના એકમ દીઠ શ્રમની સરેરાશ કિંમત, સમય, સામગ્રી, બે (ત્રણ, ચાર, વગેરે) સાહસો માટે એક ભાગ દીઠ, ઉત્પાદનમાં રોકાયેલા કામદારો. સમાન પ્રકારનું ઉત્પાદન, સમાન ભાગ, ઉત્પાદન.