Persamaan matematika tidak hanya berguna - tetapi juga indah. Dan banyak ilmuwan mengakui bahwa mereka sering jatuh cinta formula tertentu tidak hanya karena fungsinya, tetapi juga karena bentuknya, suatu puisi khusus tertentu. Ada persamaan yang dikenal di seluruh dunia, seperti E = mc^2. Yang lainnya tidak tersebar luas, namun keindahan dari persamaan tersebut tidak bergantung pada popularitasnya.
Teori relativitas umum
Persamaan yang dijelaskan di atas dirumuskan oleh Albert Einstein pada tahun 1915 sebagai bagian dari teori relativitas umum yang inovatif. Teori tersebut justru merevolusi dunia sains. Sungguh menakjubkan bagaimana sebuah persamaan dapat menggambarkan secara mutlak segala sesuatu yang ada di sekitarnya, termasuk ruang dan waktu. Semua kejeniusan Einstein yang sebenarnya diwujudkan dalam dirinya. Ini sangat persamaan elegan, yang menjelaskan secara singkat bagaimana segala sesuatu di sekitar Anda terhubung - misalnya, bagaimana kehadiran Matahari di galaksi membengkokkan ruang dan waktu sehingga Bumi berputar mengelilinginya.
Model standar
Model standar adalah salah satu dari teori yang paling penting fisika, itu menggambarkan segalanya partikel elementer, dari mana alam semesta tercipta. Ada berbagai persamaan, yang mampu mendeskripsikan teori ini, namun paling sering menggunakan persamaan Lagrange, seorang matematikawan dan astronom Perancis abad ke-18. Dia berhasil mendeskripsikan secara mutlak semua partikel dan gaya yang bekerja padanya, kecuali gravitasi. Ini juga termasuk Higgs boson yang baru ditemukan. Ini sepenuhnya kompatibel dengan mekanika kuantum Dan teori umum relativitas.
Analisis matematis
Meskipun dua persamaan pertama menggambarkan aspek tertentu dari alam semesta, persamaan ini dapat digunakan untuk semua aspek situasi yang mungkin terjadi. Teorema dasar analisis matematis menjadi dasarnya metode matematika, yang dikenal sebagai kalkulus, dan menghubungkan dua gagasan utamanya - konsep integral dan konsep turunan. Berasal analisis matematis kembali ke zaman kuno, tetapi semua teori disatukan oleh Isaac Newton pada abad ke-17 - dia menggunakannya untuk menghitung dan menggambarkan pergerakan planet mengelilingi Matahari.
teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras yang terkenal, yang dipelajari semua anak sekolah dalam pelajaran geometri, diungkapkan dengan persamaan lama yang diketahui semua orang. Rumus ini menjelaskan bahwa dalam setiap segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring, yang terpanjang dari semua sisinya (c), sama dengan jumlahnya kuadrat dari dua sisi lainnya, kaki (a dan b). Hasilnya, persamaannya menjadi seperti ini: a^2 + b^2 = c^2. Teorema ini mengejutkan banyak matematikawan dan fisikawan pemula ketika mereka baru belajar di sekolah dan belum mengetahui apa yang akan terjadi di dunia baru bagi mereka.
1 = 0.999999999….
Persamaan sederhana ini menunjukkan angka 0,999 s jumlah yang tak terbatas Sembilan setelah koma sebenarnya sama dengan satu. Persamaan ini luar biasa karena sangat sederhana, luar biasa visual, namun tetap berhasil mengejutkan dan memukau banyak orang. Beberapa orang tidak percaya bahwa ini benar. Terlebih lagi, persamaannya sendiri indah - sisi kirinya juga indah dasar yang paling sederhana matematika, dan yang kanan menyembunyikan rahasia dan misteri ketidakterbatasan.
Teori relativitas khusus
Albert Einstein kembali membuat daftarnya, kali ini dengan miliknya teori khusus relativitas, yang menggambarkan bagaimana waktu dan ruang tidak ada konsep absolut, dan relatif - terhadap kecepatan yang melihatnya. Persamaan ini menunjukkan bagaimana waktu “berkembang”, semakin melambat seiring semakin cepatnya waktu bergerak. Sebenarnya persamaan turunannya tidak begitu rumit, sederhana, aljabar linier. Namun, apa yang diwujudkannya adalah mutlak cara baru lihatlah dunia.
persamaan Euler
Ini rumus sederhana mencakup pengetahuan dasar tentang sifat bola. Dikatakan bahwa jika Anda memotong sebuah bola dan mendapatkan wajah, tepi, dan simpul, maka jika Anda mengambil F sebagai jumlah sisi, E sebagai jumlah sisi, dan V sebagai jumlah simpul, maka Anda akan selalu mendapatkan hal yang sama. : V - E + F = 2. Seperti inilah persamaannya. Hal yang menakjubkan adalah apa pun bentuk bola yang Anda ambil - baik itu tetrahedron, piramida, atau kombinasi wajah, tepi, dan simpul lainnya, Anda akan selalu mendapatkan hasil yang sama. Kombinatorik ini memberi tahu orang-orang sesuatu yang mendasar tentang bentuk bola.
Persamaan Euler-Lagrange dan teorema Noether
Konsep-konsep ini cukup abstrak, namun sangat kuat. Yang paling menarik adalah cara berpikir baru tentang fisika ini mampu bertahan dari beberapa revolusi dalam ilmu pengetahuan ini, seperti penemuan mekanika kuantum, teori relativitas dan sebagainya. Di sini L adalah singkatan dari persamaan Lagrange, yang merupakan ukuran energi dalam sistem fisik. Dan menyelesaikan persamaan ini akan memberi tahu Anda caranya sistem tertentu akan berkembang seiring berjalannya waktu. Variasi persamaan Lagrange adalah teorema Noether, yang merupakan dasar fisika dan peran simetri. Inti dari teorema ini adalah jika sistem Anda simetris, maka hukum kekekalan yang berlaku berlaku. Bahkan, gagasan utama Teorema ini menyatakan bahwa hukum fisika berlaku di mana saja.
Persamaan kelompok renormalisasi
Persamaan ini disebut juga persamaan Callan-Symanczyk menurut penciptanya. Ini adalah persamaan dasar penting yang ditulis pada tahun 1970. Ini berfungsi untuk menunjukkan bagaimana harapan-harapan naif dihancurkan dunia kuantum. Persamaan ini juga mempunyai banyak penerapan untuk memperkirakan massa dan ukuran proton dan neutron yang menyusun inti atom.
Persamaan permukaan minimum
Persamaan ini secara luar biasa menghitung dan mengkodekan lapisan sabun indah yang terbentuk pada kawat saat dicelupkan ke dalamnya air sabun. Namun persamaan ini sangat berbeda dengan persamaan linier biasa dari bidang yang sama, misalnya persamaan kalor, pembentukan gelombang, dan sebagainya. Persamaan ini nonlinier; mencakup pengaruh gaya luar dan hasil kali turunannya.
garis Euler
Ambil segitiga apa saja, gambarlah lingkaran terkecil yang dapat memuat segitiga tersebut, dan temukan pusatnya. Temukan pusat massa segitiga - titik yang memungkinkan segitiga tersebut seimbang, misalnya dengan ujung pensil jika dapat dipotong dari kertas. Gambarlah tiga ketinggian segitiga ini (garis yang tegak lurus dengan sisi-sisi segitiga tempat garis tersebut ditarik) dan temukan titik potongnya. Inti dari teorema ini adalah ketiga titik tersebut akan berada pada satu garis lurus yang sama, persis seperti garis lurus Euler. Teorema tersebut berisi semua keindahan dan kekuatan matematika, mengungkapkan pola-pola menakjubkan dalam hal-hal paling sederhana.
Persamaannya adalah ekspresi matematika, yang merupakan persamaan yang mengandung hal yang tidak diketahui. Jika suatu persamaan benar untuk setiap nilai yang diperbolehkan dari hal-hal yang tidak diketahui yang termasuk di dalamnya, maka persamaan itu disebut identitas; Misalnya: relasi bentuk (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) berlaku untuk semua nilai x.
Jika persamaan yang mengandung x yang tidak diketahui hanya berlaku untuk nilai x tertentu dan tidak untuk semua nilai x, seperti dalam kasus identitas, maka mungkin berguna untuk menentukan nilai x yang mana persamaan tersebut valid. Nilai x seperti itu disebut akar atau solusi persamaan. Misalnya bilangan 5 adalah akar persamaan 2x + 7= 17.
Dalam cabang matematika yang disebut teori persamaan, pokok bahasan utama yang dipelajari adalah metode penyelesaian persamaan. DI DALAM kursus sekolah Persamaan aljabar mendapat banyak perhatian.
Sejarah studi persamaan sudah ada sejak berabad-abad yang lalu. Yang paling banyak matematikawan terkenal yang berkontribusi terhadap perkembangan teori persamaan adalah:
Archimedes (c. 287–212 SM) adalah seorang ilmuwan, matematikawan, dan mekanik Yunani kuno. Saat mempelajari satu masalah, yang direduksi menjadi persamaan kubik, Archimedes menemukan peran sifat yang kemudian disebut diskriminan.
Francois Viet hidup pada abad ke-16. Dia memberikan kontribusi besar dalam mempelajari berbagai masalah matematika. Secara khusus, dia memperkenalkan sebutan surat koefisien persamaan dan menetapkan hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat.
Leonhard Euler (1707 – 1783) - ahli matematika, mekanik, fisikawan dan astronom. Penulis St. 800 karya analisis matematis, persamaan diferensial, geometri, teori bilangan, perhitungan perkiraan, mekanika angkasa, matematika, optik, balistik, pembuatan kapal, teori musik, dll. Ia mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan. Dia menurunkan rumus (rumus Euler) dengan mengungkapkan fungsi trigonometri variabel x melalui fungsi eksponensial.
Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), Matematikawan Perancis dan mekanik. Ia telah melakukan penelitian yang luar biasa, termasuk penelitian tentang aljabar (fungsi simetris dari akar-akar persamaan, tentang persamaan diferensial (teori solusi khusus, metode variasi konstanta).
J. Lagrange dan A. Vandermonde adalah matematikawan Perancis. Pada tahun 1771, metode penyelesaian sistem persamaan (metode substitusi) pertama kali digunakan.
Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - matematikawan Jerman. Dia menulis sebuah buku yang menguraikan teori persamaan pembagian lingkaran (yaitu persamaan xn - 1 = 0), yang dalam banyak hal merupakan prototipe teori Galois. Di samping itu metode umum solusi persamaan ini, membangun hubungan antara persamaan tersebut dan konstruksinya poligon beraturan. Untuk pertama kalinya sejak para ilmuwan Yunani kuno, ia membuat langkah maju yang signifikan dalam hal ini, yaitu: ia menemukan semua nilai n yang dengannya n-gon beraturan dapat dibuat dengan kompas dan penggaris. Saya mempelajari metode penjumlahan. Saya menyimpulkan bahwa sistem persamaan dapat dijumlahkan, dibagi, dan dikalikan.
O. I. Somov - memperkaya berbagai bagian matematika dengan karya-karya penting dan banyak, di antaranya teori tertentu persamaan aljabar derajat yang lebih tinggi.
Galois Evariste (1811-1832) - matematikawan Perancis. Kelebihan utamanya adalah perumusan sekumpulan gagasan yang ia peroleh sehubungan dengan kelanjutan penelitian tentang solvabilitas persamaan aljabar, yang dimulai oleh J. Lagrange, N. Abel, dan lain-lain, dan menciptakan teori persamaan aljabar. derajat yang lebih tinggi dengan satu yang tidak diketahui.
A. V. Pogorelov (1919 – 1981) - Karyanya dikaitkan metode geometris Dengan metode analitis teori persamaan diferensial parsial. Karya-karyanya juga memberikan pengaruh yang signifikan terhadap teori persamaan diferensial nonlinier.
P. Ruffini - Matematikawan Italia. Dia mengabdikan sejumlah karyanya untuk membuktikan persamaan derajat 5 yang tidak dapat dipecahkan, secara sistematis menggunakan ketertutupan himpunan substitusi.
Meskipun para ilmuwan telah mempelajari persamaan sejak lama, sains tidak mengetahui bagaimana dan kapan orang perlu menggunakan persamaan. Hanya diketahui bahwa manusia telah memecahkan masalah yang mengarah pada penyelesaian persamaan paling sederhana sejak mereka menjadi manusia. 3 - 4 ribu tahun lagi SM. e. Orang Mesir dan Babilonia tahu cara menyelesaikan persamaan. Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini sama dengan aturan modern, tetapi tidak diketahui bagaimana persamaan tersebut sampai ke sana.
DI DALAM Mesir Kuno dan Babel, metode posisi palsu digunakan. Persamaan derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui selalu dapat direduksi menjadi bentuk ax + b = c, dimana a, b, c adalah bilangan bulat. Menurut aturan operasi aritmatika kapak = c - b,
Jika b > c, maka c b bilangan negatif. Angka negatif tidak diketahui oleh orang Mesir dan banyak bangsa lain di kemudian hari (dan juga angka positif mereka mulai digunakan dalam matematika hanya pada abad ketujuh belas). Untuk menyelesaikan masalah yang sekarang kita selesaikan dengan persamaan derajat pertama, ditemukan metode posisi palsu. Dalam papirus Ahmes, 15 masalah diselesaikan dengan metode ini. Orang Mesir punya tanda khusus untuk menunjukkan tanggal yang tidak diketahui, yang hingga saat ini dibaca "bagaimana" dan diterjemahkan dengan kata "heap" ("heap" atau "jumlah unit yang tidak diketahui"). Sekarang mereka membaca dengan tidak terlalu akurat: “ya.” Metode penyelesaian yang digunakan Ahmed disebut metode satu posisi salah. Dengan menggunakan metode ini, persamaan bentuk ax = b diselesaikan. Metode ini melibatkan membagi setiap sisi persamaan dengan a. Itu digunakan oleh orang Mesir dan Babilonia. kamu negara yang berbeda Metode dua posisi palsu digunakan. Orang-orang Arab memekanisasi metode ini dan memperoleh bentuk yang ditransfer ke buku teks masyarakat Eropa, termasuk Aritmatika Magnitsky. Magnitsky menyebut solusi tersebut sebagai “aturan yang salah” dan menulis di bagian bukunya yang menguraikan metode ini:
Bagian ini sangat licik, karena Anda bisa memasukkan semuanya. Bukan hanya apa yang ada dalam kewarganegaraan, tetapi juga ilmu-ilmu yang lebih tinggi di angkasa, Sekalipun mereka terhitung di alam surga, Sebagaimana orang bijak mempunyai kebutuhan.
Isi puisi Magnitsky dapat diringkas secara singkat sebagai berikut: bagian aritmatika ini sangat rumit. Dengan bantuannya, Anda tidak hanya dapat menghitung apa yang dibutuhkan dalam praktik sehari-hari, tetapi juga memecahkan pertanyaan-pertanyaan “lebih tinggi” yang dihadapi oleh “bijaksana”. Magnitsky menggunakan “aturan yang salah” dalam bentuk yang diberikan oleh orang-orang Arab, dengan menyebutnya “aritmatika dua kesalahan” atau “metode skala.” Matematikawan India sering memberikan soal dalam bentuk syair. Masalah teratai:
Di atas danau yang tenang, setengah ukuran di atas air, terlihat warna bunga teratai. Dia tumbuh sendirian, dan angin, seperti ombak, Membengkokkannya ke samping, dan tidak lagi
Bunga di atas air. Mata nelayan menemukannya dua meter dari tempat ia dibesarkan. Seberapa dalam air danau di sini? Saya akan mengajukan pertanyaan kepada Anda.
Jenis persamaan
Persamaan linier
Persamaan linier adalah persamaan yang bentuknya: ax + b = 0, dimana a dan b adalah suatu konstanta. Jika a tidak sama dengan nol, maka persamaan tersebut mempunyai satu akar tunggal: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.).
Contoh: selesaikan persamaan linear: 4x + 12 = 0.
Penyelesaian: Karena a = 4, dan b = 12, maka x = - 12:4; x = - 3.
Periksa: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.
Karena 0 = 0, maka -3 adalah akar persamaan aslinya.
Menjawab. x = -3
Jika a sama dengan nol dan b sama dengan nol, maka akar persamaan ax + b = 0 adalah bilangan apa pun.
Misalnya:
0 = 0. Karena 0 sama dengan 0, maka akar persamaan 0x + 0 = 0 adalah bilangan apa pun.
Jika a sama dengan nol dan b tidak sama dengan nol, maka persamaan ax + b = 0 tidak mempunyai akar.
Misalnya:
0 = 6. Karena 0 tidak sama dengan 6, maka 0x – 6 = 0 tidak mempunyai akar.
Sistem persamaan linear.
Sistem persamaan linier adalah sistem yang semua persamaannya linier.
Memecahkan suatu sistem berarti menemukan semua solusinya.
Sebelum menyelesaikan suatu sistem persamaan linear, Anda dapat menentukan jumlah penyelesaiannya.
Misalkan diberikan sistem persamaan: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.
Jika a1 dibagi a2 tidak sama dengan b1 dibagi b2, maka sistem mempunyai satu solusi unik.
Jika a1 dibagi a2 sama dengan b1 dibagi b2, tetapi sama dengan c1 dibagi c2, maka sistem tersebut tidak mempunyai solusi.
Jika a1 dibagi a2 sama dengan b1 dibagi b2, dan sama dengan c1 dibagi c2, maka sistem tersebut mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya.
Sistem persamaan yang mempunyai paling sedikit satu solusi disebut sistem persamaan simultan.
Suatu sistem gabungan disebut pasti jika mempunyai nomor akhir penyelesaiannya, dan tak tentu jika himpunan penyelesaiannya tak terhingga.
Suatu sistem yang tidak mempunyai solusi tunggal disebut tidak konsisten atau kontradiktif.
Metode penyelesaian persamaan linear
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan linear:
1) Metode seleksi. Ini yang paling banyak cara paling sederhana. Itu terletak pada kenyataan bahwa setiap orang dipilih nilai yang valid tidak diketahui dengan enumerasi.
Misalnya:
Selesaikan persamaannya.
Misalkan x = 1. Maka
4 = 6. Karena 4 tidak sama dengan 6, maka asumsi kita bahwa x = 1 salah.
Misalkan x = 2.
6 = 6. Karena 6 sama dengan 6, maka asumsi kita bahwa x = 2 benar.
Jawaban: x = 2.
2) Metode penyederhanaan
Metode ini terdiri dari mentransfer semua istilah yang mengandung hal yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan yang dikenal di sebelah kanan dengan tanda yang berlawanan, berikan persamaan yang serupa, dan bagi kedua ruas persamaan dengan koefisien yang tidak diketahui.
Misalnya:
Selesaikan persamaannya.
5x – 4 = 11 + 2x;
5x – 2x = 11 + 4;
3x = 15; : (3) x = 5.
Menjawab. x = 5.
3) Metode grafis.
Ini terdiri dari membangun grafik fungsi persamaan yang diberikan. T.ke dalam persamaan linier y = 0, maka grafiknya sejajar dengan sumbu y. Titik potong grafik dengan sumbu x akan menjadi solusi persamaan ini.
Misalnya:
Selesaikan persamaannya.
Misalkan y = 7. Maka y = 2x + 3.
Mari kita gambarkan fungsi kedua persamaan:
Metode penyelesaian sistem persamaan linear
Di kelas tujuh, mereka mempelajari tiga cara untuk menyelesaikan sistem persamaan:
1) Metode substitusi.
Metode ini terdiri dari menyatakan satu hal yang tidak diketahui ke dalam hal lain dalam salah satu persamaan. Ekspresi yang dihasilkan disubstitusikan ke persamaan lain, yang kemudian diubah menjadi persamaan dengan satu persamaan yang tidak diketahui, dan kemudian diselesaikan. Nilai yang dihasilkan dari hal yang tidak diketahui ini disubstitusikan ke dalam persamaan mana pun dari sistem asli dan nilai dari hal yang tidak diketahui kedua ditemukan.
Misalnya.
Selesaikan sistem persamaan.
5x - 2y - 2 = 1.
3x + kamu = 4; kamu = 4 - 3x.
Mari kita gantikan ekspresi yang dihasilkan ke persamaan lain:
5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;
5x – 8 + 6x = 1 + 2;
11x = 11; : (11) x = 1.
Mari kita substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan 3x + y = 4.
3 1 + kamu = 4;
3 + kamu = 4; kamu = 4 – 3; kamu = 1.
Penyelidikan.
/3 1 + 1 = 4,
\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;
Jawaban: x = 1; kamu = 1.
2) Metode penjumlahan.
Metode ini adalah jika sistem ini terdiri dari persamaan-persamaan yang jika dijumlahkan suku demi suku, membentuk persamaan dengan satu yang tidak diketahui, kemudian dengan menyelesaikan persamaan tersebut kita memperoleh nilai salah satu yang tidak diketahui. Nilai yang dihasilkan dari hal yang tidak diketahui ini disubstitusikan ke dalam persamaan apa pun dari sistem asli dan nilai dari hal yang tidak diketahui kedua ditemukan.
Misalnya:
Selesaikan sistem persamaan.
/3у – 2х = 5,
\5x – 3 tahun = 4.
Mari selesaikan persamaan yang dihasilkan.
3x = 9; : (3) x = 3.
Mari kita substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan 3y – 2x = 5.
3у – 2 3 = 5;
3у = 11; : (3) kamu = 11/3; kamu = 3 2/3.
Jadi x = 3; kamu = 3 2/3.
Penyelidikan.
/3 11/3 – 2 3 = 5,
\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;
Menjawab. x = 3; kamu = 3 2/3
3) Metode grafis.
Metode ini didasarkan pada kenyataan bahwa persamaan diplot dalam satu sistem koordinat. Jika grafik suatu persamaan berpotongan, maka koordinat titik potong tersebut merupakan penyelesaian sistem tersebut. Jika grafik persamaannya berupa garis sejajar, maka sistem ini tidak mempunyai penyelesaian. Jika grafik persamaan tersebut bergabung menjadi satu garis lurus, maka sistem tersebut mempunyai banyak penyelesaian yang tak terhingga.
Misalnya.
Selesaikan sistem persamaan.
18x + 3 tahun - 1 = 8.
2x - kamu = 5; 18x + 3 tahun - 1 = 8;
kamu = 5 - 2x; 3 tahun = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.
Mari kita buat grafik fungsi y = 2x - 5 dan y = 3 - 6x pada sistem koordinat yang sama.
Grafik fungsi y = 2x - 5 dan y = 3 - 6x berpotongan di titik A (1; -3).
Oleh karena itu, penyelesaian sistem persamaan ini adalah x = 1 dan y = -3.
Penyelidikan.
2 1 - (- 3) = 5,
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Menjawab. x = 1; kamu = -3.
Kesimpulan
Berdasarkan semua hal di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan diperlukan dunia modern tidak hanya untuk penyelesaian masalah praktis, tetapi juga sebagai alat ilmiah. Itulah sebabnya banyak ilmuwan yang mempelajari masalah ini dan terus mempelajarinya.
Penampangnya dibentuk tegak lurus terhadap sumbu memanjang. Selain itu, penampang bentuk geometris yang berbeda dapat direpresentasikan berbagai bentuk. Misalnya, jajar genjang mempunyai penampang memanjang penampilan menyerupai persegi panjang atau persegi, silinder menyerupai persegi panjang atau lingkaran, dan seterusnya.
Anda akan membutuhkan
- - kalkulator;
- - data awal.
instruksi
Untuk mencari penampang jajar genjang, Anda perlu mengetahui nilai alas dan tingginya. Jika, misalnya, hanya panjang dan lebar alas yang diketahui, carilah diagonalnya menggunakan teorema Pythagoras (kuadrat panjang sisi miring pada segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya: a2 + b2 = c2). Mengingat hal ini, c = akar persegi (a2 + b2).
Setelah mengetahui nilai diagonalnya, substitusikan ke dalam rumus S= c*h, dimana h adalah tinggi jajar genjang. Hasil yang didapat adalah luasnya penampang genjang.
Jika bagian tersebut memanjang pada dua alas, hitung luasnya dengan rumus: S=a*b.
Untuk menghitung luas penampang aksial silinder yang tegak lurus alasnya (asalkan salah satu sisi persegi panjang tersebut sama dengan jari-jari alasnya, dan sisi lainnya sama dengan tinggi silinder), gunakan rumus S = 2R*h, dimana R adalah nilai jari-jari lingkaran (alas), S adalah luas penampang, dan h adalah tinggi silinder.
Jika menurut kondisi soal, bagian tersebut tidak melalui sumbu putar silinder, tetapi sejajar dengan alasnya, maka sisi persegi panjang tidak akan sama dengan diameter lingkaran alas.
Hitung sendiri sisi yang tidak diketahui dengan membuat lingkaran alas silinder, menggambar garis tegak lurus dari sisi persegi panjang (bidang penampang) ke lingkaran, dan menghitung besar tali busur (menggunakan teorema Pythagoras). Setelah itu, substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam S = 2a*h (2a adalah nilai tali busur) dan hitung luas penampangnya.
Luas penampang bola ditentukan dengan rumus S = R2. Harap diperhatikan jika jarak dari pusat sosok geometris jika bidang tersebut berimpit dengan bidang tersebut, maka luas penampangnya menjadi nol, karena bola hanya menyentuh bidang tersebut pada satu titik.
Harap dicatat
Hitung ulang hasilnya dua kali: dengan cara ini Anda tidak akan membuat kesalahan dalam perhitungan.
Perhatian, hanya HARI INI!
Semuanya menarik
Prisma adalah polihedron dengan dua pangkalan paralel dan sisi-sisinya berbentuk jajar genjang dan jumlahnya, sama dengan nomornya sisi poligon dasar. Instruksi 1B prisma sewenang-wenang tulang rusuk lateral letaknya miring terhadap bidang...
Saat berputar segitiga siku-siku di sekitar salah satu kakinya terbentuk bentuk rotasi yang disebut kerucut. Kerucut adalah benda geometris yang memiliki satu titik sudut dan alas berbentuk bulat. Instruksi 1 Posisikan kotak gambar, sejajarkan salah satu...
Sebuah silinder mempunyai tinggi tegak lurus terhadap kedua alasnya. Metode untuk menentukan panjangnya bergantung pada kumpulan data masukan. Ini dapat berupa, khususnya, diameter, luas, dan diagonal penampang. Petunjuk 1Untuk bentuk apa pun ada...
Prisma adalah polihedron yang alasnya adalah poligon yang sama, sisi-sisinya adalah jajaran genjang. Untuk mencari luas penampang prisma, Anda perlu mengetahui penampang mana yang dipertimbangkan dalam tugas. Ada yang tegak lurus dan...
Silinder merupakan bangun ruang dan terdiri dari dua alasan yang sama, yang melambangkan lingkaran dan permukaan lateral yang menghubungkan garis-garis yang membatasi alasnya. Untuk menghitung luas silinder, carilah luas seluruh silinder...
Berbentuk silinder bentuk geometris digunakan dalam produksi mesin mobil, perangkat teknis dan rumah tangga lainnya, dan banyak lagi. Untuk menentukan luas silinder, Anda perlu mencarinya permukaan penuh. Instruksi 1Menurut...
Jika pada kedua sisi suatu bidang tertentu terdapat titik-titik yang termasuk dalam sosok yang banyak(misalnya polihedron), bidang ini dapat disebut bidang potong. Sosok dua dimensi terbentuk poin umum bidang dan polihedron, dalam hal ini disebut...
Silinder adalah benda yang terbatas permukaan silinder dengan alas berbentuk lingkaran. Bentuk ini dibentuk dengan memutar sebuah persegi panjang pada porosnya. Bagian aksial adalah bagian yang melalui sumbu silinder,...
Saat menyelesaikan soal geometri, Anda harus menghitung luas dan volume bangun. Jika Anda membuat bagian pada gambar apa pun, memiliki informasi tentang parameter gambar itu sendiri, Anda dapat menemukan luas bagian ini. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui rumus khusus dan...
Banyak masalah dalam geometri yang didasarkan pada penentuan luas penampang suatu benda geometris. Salah satu yang paling umum benda geometris adalah sebuah bola, dan menentukan luas penampangnya dapat mempersiapkan Anda untuk memecahkan masalah di berbagai tingkatan...
Kursus video “Dapatkan nilai A” mencakup semua topik yang diperlukan untuk sukses lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika untuk 60-65 poin. Sepenuhnya semua soal 1-13 Profil Ujian Negara Terpadu dalam matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!
Kursus persiapan Ujian Negara Bersatu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.
Semua teori yang diperlukan. Cara cepat solusi, kendala dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Bersatu 2018.
Kursus berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.
Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan visual konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar penyelesaian tugas yang kompleks 2 bagian dari Ujian Negara Bersatu.
Genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya sejajar berpasangan.
Pada gambar ini sisi yang berlawanan dan sudut-sudutnya sama besar. Diagonal-diagonal jajar genjang berpotongan di satu titik dan membagi dua titik tersebut. Rumus luas jajar genjang memungkinkan Anda mencari nilai melalui sisi, tinggi, dan diagonal. Jajargenjang juga dapat disajikan dalam kasus-kasus khusus. Mereka dianggap persegi panjang, persegi dan belah ketupat.
Pertama, mari kita lihat contoh menghitung luas jajar genjang berdasarkan tinggi dan sisi turunnya.
Kasus ini tergolong klasik dan tidak memerlukan penyelidikan lebih lanjut. Lebih baik mempertimbangkan rumus menghitung luas melalui dua sisi dan sudut di antara keduanya. Metode yang sama digunakan dalam perhitungan. Jika diketahui sisi-sisinya dan sudut antara keduanya, maka luasnya dihitung sebagai berikut: 
Misalkan kita diberikan jajar genjang dengan sisi a = 4 cm, b = 6 cm. Sudut antara keduanya adalah α = 30°. Mari kita cari luasnya: 
Luas jajar genjang melalui diagonal
Rumus luas jajar genjang menggunakan diagonal memungkinkan Anda menemukan nilainya dengan cepat.
Untuk perhitungannya, Anda memerlukan ukuran sudut yang terletak di antara diagonal.
Mari kita perhatikan contoh menghitung luas jajar genjang menggunakan diagonal. Misalkan terdapat jajar genjang dengan diagonal D = 7 cm, d = 5 cm. Sudut antara keduanya adalah α = 30°. Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus: 
Contoh penghitungan luas jajaran genjang melalui diagonal diberikan kepada kita hasil yang bagus – 8,75.
Mengetahui rumus luas jajar genjang melalui diagonal, Anda dapat menyelesaikan himpunan tersebut tugas yang menarik. Mari kita lihat salah satunya.
Tugas: Diberikan sebuah jajar genjang dengan luas 92 meter persegi. lihat Titik F terletak di tengah-tengah sisi BC. Ayo ayo cari daerahnya ADFB trapesium, yang akan terletak di jajaran genjang kita. Pertama, mari kita gambar semua yang kita terima sesuai dengan kondisi.
Mari kita ke solusinya: 
Menurut kondisi kita, ah =92, dan luas trapesium kita akan sama dengan 
