Mokiniai visada klausia: „Kodėl matematikos egzamine negaliu naudoti skaičiuoklės? Kaip be skaičiuotuvo išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus? Pabandykime atsakyti į šį klausimą.
Kaip išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus be skaičiuoklės pagalbos?
Veiksmas kvadratinė šaknis atvirkštinis kvadratavimo veiksmui.
√81= 9 9 2 =81
Jei paimsite teigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį ir gaukite rezultatą kvadratu, gausite tą patį skaičių.
Mažų skaičių, kurie yra tobuli kvadratai natūraliuosius skaičius, pavyzdžiui, žodžiu galima išgauti 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 kvadratinių šaknų. Paprastai mokykloje mokoma natūraliųjų skaičių iki dvidešimties kvadratų lentelės. Žinant šią lentelę, nesunku iš skaičių 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 ištraukti kvadratines šaknis. Iš skaičių, didesnių nei 400, galite juos išgauti pasirinkdami pasirinkdami keletą patarimų. Pabandykime pažvelgti į šį metodą su pavyzdžiu.
Pavyzdys: Ištraukite skaičiaus 676 šaknį.
Pastebime, kad 20 2 = 400 ir 30 2 = 900, o tai reiškia 20< √676 < 900.
Natūraliųjų skaičių tikslūs kvadratai baigiasi 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Skaičius 6 pateikiamas 4 2 ir 6 2.
Tai reiškia, kad jei šaknis paimta iš 676, tada ji yra arba 24, arba 26.
Belieka patikrinti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Atsakymas: √676 = 26 .
Daugiau pavyzdys: √6889 .
Kadangi 80 2 = 6400 ir 90 2 = 8100, tada 80< √6889 < 90.
Skaičius 9 pateikiamas iš 3 2 ir 7 2, tada √6889 yra lygus 83 arba 87.
Patikrinkime: 83 2 = 6889.
Atsakymas: √6889 = 83 .
Jei jums sunku išspręsti taikant atrankos metodą, galite atsižvelgti į radikalią išraišką.
Pavyzdžiui, rasti √893025.
Suskaičiuokime skaičių 893025, atminkite, kad tai padarėte šeštoje klasėje.
Gauname: √893025 = √3 6∙5 2∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Daugiau pavyzdys: √20736. Paskaičiuokime skaičių 20736:
Gauname √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Žinoma, faktorizacijai reikia žinių apie dalijamumo ženklus ir faktorizavimo įgūdžius.
Ir pagaliau yra kvadratinių šaknų ištraukimo taisyklė. Susipažinkime su šia taisykle pavyzdžiais.
Apskaičiuokite √279841.
Norėdami išgauti kelių skaitmenų sveikojo skaičiaus šaknį, padalijame jį iš dešinės į kairę į veidus, turinčius 2 skaitmenis (kraštinėje kairiajame krašte gali būti vienas skaitmuo). Rašome taip: 27’98’41
Norėdami gauti pirmąjį šaknies skaitmenį (5), paimame kvadratinę šaknį iš didžiausio tobulo kvadrato, esančio pirmame kairėje pusėje (27).
Tada šaknies pirmojo skaitmens kvadratas (25) atimamas iš pirmojo paviršiaus, o kitas veidas (98) pridedamas prie skirtumo (atimamas).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 298 parašykite šaknies dviženklį skaitmenį (10), padalinkite iš jo visų anksčiau gauto skaičiaus dešimčių skaičių (29/2 ≈ 2), patikrinkite koeficientą (102 ∙2 = 204). turėtų būti ne daugiau kaip 298) ir po pirmojo šaknies skaitmens parašykite (2).
Tada gautas koeficientas 204 atimamas iš 298 ir prie skirtumo (94) pridedama kita briauna (41).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 9441 parašykite dvigubą šaknies skaitmenų sandaugą (52 ∙2 = 104), padalinkite visų skaičiaus 9441 dešimčių skaičių (944/104 ≈ 9) iš šio sandaugos, išbandykite koeficientas (1049 ∙9 = 9441) turi būti 9441 ir užrašykite jį (9) po antrojo šaknies skaitmens.
Gavome atsakymą √279841 = 529.
Ištraukite panašiai dešimtainių trupmenų šaknys. Tik radikalus skaičius reikia sulaužyti ant kraštų, kad kablelis būtų tarp kraštų.
Pavyzdys. Raskite reikšmę √0,00956484.
Jūs tiesiog turite atsiminti, kad jei dešimtainis turi nelyginis skaičius po kablelio, kvadratinės šaknies iš jo tiksliai išgauti negalima.
Taigi dabar matėte tris būdus, kaip išgauti šaknį. Pasirinkite sau tinkamiausią ir praktikuokite. Norint išmokti spręsti problemas, reikia jas spręsti. Ir jei turite klausimų, registruokitės į mano pamokas.
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
Kvadratas kvadratinis sklypas sklypas 81 dm². Surask jo pusę. Tarkime, kvadrato kraštinės ilgis yra X decimetrų. Tada sklypo plotas yra X² kvadratinių decimetrų. Kadangi pagal būklę šis plotas lygus 81 dm², tai X² = 81. Kvadrato kraštinės ilgis yra teigiamas skaičius. Teigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus 81, yra skaičius 9. Sprendžiant uždavinį reikėjo rasti skaičių x, kurio kvadratas lygus 81, t.y išspręsti lygtį X² = 81. Ši lygtis turi dvi šaknis: x 1 = 9 ir x 2 = - 9, nes 9² = 81 ir (- 9)² = 81. Abu skaičiai 9 ir - 9 vadinami 81 kvadratinėmis šaknimis.
Atkreipkite dėmesį, kad vienas iš kvadratinės šaknys X= 9 yra teigiamas skaičius. Jis vadinamas aritmetine kvadratine šaknimi iš 81 ir žymima √81, taigi √81 = 9.
Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus A.
Pavyzdžiui, skaičiai 6 ir - 6 yra skaičiaus 36 kvadratinės šaknys. Tačiau skaičius 6 yra aritmetinė kvadratinė šaknis iš 36, nes 6 yra neneigiamas skaičius, o 6² = 36. Skaičius - 6 nėra aritmetinė šaknis.
Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis Ažymimas taip: √ A.
Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu; A- vadinama radikalia išraiška. Išraiška √ A skaityti kaip šitaip: aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A. Pavyzdžiui, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Tais atvejais, kai aišku, kad mes kalbame apie apie aritmetinę šaknį jie trumpai sako: „kvadratinė šaknis iš A«.
Skaičiaus kvadratinės šaknies radimo veiksmas vadinamas kvadratine šaknimi. Šis veiksmas yra atvirkštinis kvadratui.
Galite kvadratuoti bet kurį skaičių, bet negalite ištraukti kvadratinės šaknies iš bet kurio skaičiaus. Pavyzdžiui, neįmanoma išgauti kvadratinės šaknies iš skaičiaus - 4. Jei tokia šaknis egzistavo, tai pažymint ją raide X, gautume neteisingą lygybę x² = - 4, nes kairėje yra neneigiamas skaičius, o dešinėje - neigiamas skaičius.
Išraiška √ A prasminga tik tada, kai a ≥ 0. Kvadratinės šaknies apibrėžimą galima trumpai parašyti taip: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Lygybė (√ A)² = A galioja a ≥ 0. Taigi, siekiant užtikrinti, kad kvadratinė šaknis iš neneigiamo skaičiaus A lygus b, ty tuo, kad √ A =b, turite patikrinti, ar tenkinamos šios dvi sąlygos: b ≥ 0, b² = A.
Kvadratinė trupmenos šaknis
Paskaičiuokime. Atkreipkite dėmesį, kad √25 = 5, √36 = 6, ir patikrinkime, ar galioja lygybė.
Nes 
ir , tada lygybė yra tiesa. Taigi, 
.
Teorema: Jeigu A≥ 0 ir b> 0, tai yra trupmenos šaknis lygus šaknims iš skaitiklio, padalyto iš vardiklio šaknies. Būtina įrodyti, kad: ir 
.
Nuo √ A≥0 ir √ b> 0, tada .
Apie trupmenos pakėlimo laipsnį savybę ir kvadratinės šaknies apibrėžimą 
teorema įrodyta. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.
Apskaičiuokite naudodami įrodytą teoremą 
.
Antras pavyzdys: įrodykite tai 
, Jei A ≤ 0, b < 0. 
.
Kitas pavyzdys: Apskaičiuokite .
.
Kvadratinės šaknies konvertavimas
Daugiklio pašalinimas iš po šaknies ženklo. Tegul išraiška pateikiama. Jeigu A≥ 0 ir b≥ 0, tada naudodamiesi sandaugos šaknies teorema galime parašyti:
Ši transformacija vadinama faktoriaus pašalinimu iš šaknies ženklo. Pažiūrėkime į pavyzdį;
Apskaičiuokite ties X= 2. Tiesioginis pakeitimas X= 2 radikalioje išraiškoje veda į sudėtingi skaičiavimai. Šiuos skaičiavimus galima supaprastinti, jei pirmiausia pašalinsite veiksnius iš po šaknies ženklo: . Dabar pakeitę x = 2, gauname:.
Taigi, pašalindami veiksnį iš po šaknies ženklo, pavaizduokite radikalią išraišką sandauga, kurioje vienas ar keli veiksniai yra kvadratai neneigiami skaičiai. Tada pritaikykite sandaugos šaknies teoremą ir paimkite kiekvieno veiksnio šaknį. Panagrinėkime pavyzdį: Supaprastinkite išraišką A = √8 + √18 - 4√2, iš po šaknies ženklo išimdami veiksnius iš pirmųjų dviejų terminų, gausime:. Tą lygybę akcentuojame 
galioja tik tada, kai A≥ 0 ir b≥ 0. jei A < 0, то .
Skaičiaus pakėlimas į laipsnį yra sutrumpinta daugybos operacijos rašymo forma, kai visi veiksniai yra lygūs pradiniam skaičiui. O išgauti šaknį reiškia atvirkštinis veikimas- daugiklio, kuris turi būti įtrauktas į daugybos operaciją, nustatymas, kad rezultatas būtų radikalus skaičius. Ir laipsnis, ir šakninis rodiklis nurodo tą patį – kiek faktorių turi būti tokioje daugybos operacijoje.
Jums reikės
- Prieiga prie interneto.
Instrukcijos
- Jei reikia taikyti tiek šaknies išskyrimo, tiek jos didinimo iki skaičiaus ar išraiškos laipsnio operaciją, abi operacijas sumažinkite į vieną – didinimą iki laipsnio su trupmeniniu laipsniu. Trupmenos skaitiklyje turi būti rodiklis, o vardiklyje – šaknis. Pavyzdžiui, jei jums reikia kvadratinį kubą šaknis, tada šios dvi operacijos bus lygiavertės vienai, kai skaičius padidinamas iki ⅔ laipsnio.
- Jei sąlygos reikalauja kvadrato šaknis kai rodiklis lygus dviem, tai ne skaičiavimo užduotis, o jūsų žinių patikrinimas. Naudokite metodą nuo pirmo žingsnio ir gausite trupmeną 2/2, t.y. 1. Tai reiškia, kad bet kurio skaičiaus kvadratinės šaknies kvadratu rezultatas bus pats tas skaičius.
- Jei reikia, kvadratas šaknis esant lygiam rodikliui, visada yra galimybė supaprastinti operaciją. Nuo dviejų (skaitiklis) trupmeninis rodiklis laipsnis) ir bet koks lyginis skaičius (vardiklis) yra bendras daliklis, tada supaprastinus trupmeną skaitiklyje liks vienas, vadinasi, skaičiavimuose nereikia kelti iki laipsnio, užtenka išskirti šaknis su puse eksponento. Pavyzdžiui, šeštos šaknies iš aštuonių kvadratūra gali būti sumažinta iki ištraukimo kubo šaknis, nes 2/6 = 1/3.
- Norėdami apskaičiuoti bet kurio šaknies eksponento rezultatą, naudokite, pavyzdžiui, įmontuotą skaičiuotuvą paieškos sistema Google. Tai galbūt labiausiai lengvas būdas skaičiavimai, jei turite prieigą prie interneto iš savo kompiuterio. Visuotinai priimtas eksponencijos operacijos ženklo pakaitalas yra šis „dangtelis“: ^. Naudokite jį įvesdami paieškos užklausą „Google“. Pavyzdžiui, jei norite kvadratuoti šaknis penktą laipsnį nuo skaičiaus 750, suformuluokite užklausą taip: 750^(2/5). Jį įvedus, paieškos sistema, net ir nepaspaudus siuntimo mygtuko serveriui, parodys skaičiavimo rezultatą septynių skaičių po kablelio tikslumu: 750^(2 / 5) = 14.1261725.
Šakninės formulės. Kvadratinių šaknų savybės.
Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)
Ankstesnėje pamokoje išsiaiškinome, kas yra kvadratinė šaknis. Atėjo laikas išsiaiškinti, kurie iš jų egzistuoja šaknų formulės kokie yra šaknų savybės, ir ką su visa tai galima padaryti.
Šaknų formulės, šaknų savybės ir darbo su šaknimis taisyklės- Iš esmės tai yra tas pats dalykas. Yra stebėtinai mažai kvadratinių šaknų formulių. Kas mane tikrai džiugina! Tiksliau, galite parašyti daugybę skirtingų formulių, tačiau praktiškam ir pasitikinčiam darbui su šaknimis pakanka tik trijų. Visa kita išplaukia iš šių trijų. Nors daugelis žmonių susipainioja trijose šaknies formulėse, taip...
Pradėkime nuo paprasčiausio. Štai jis:
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
