Pradinis lygis

Kvadratinės lygtys. Išsamus vadovas (2019)

Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats x) kvadratas, o trečiosios (ar didesnės) laipsnio x neturėtų būti.

Daugelio lygčių sprendimas yra kvadratinių lygčių sprendimas.

Išmokime nustatyti, kad tai yra kvadratinė lygtis, o ne kokia nors kita lygtis.

1 pavyzdys.

Atsikratykime vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkime iš

Viską perkelkime į kairėje pusėje ir išdėstykite terminus mažėjančia x laipsnių tvarka

Dabar galime drąsiai tai pasakyti duota lygtis yra kvadratas!

2 pavyzdys.

Padauginkime kairę ir dešinėje pusėjeį:

Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratinė!

3 pavyzdys.

Padauginkime viską iš:

Baisu? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys.

Atrodo, kad ten yra, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę:

Žiūrėkite, ji sumažinta – ir dabar tai paprasta tiesinė lygtis!

Dabar pabandykite patys nustatyti, kurie iš jų kitos lygtys yra kvadratiniai, o kurie ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. kvadratas;
2. kvadratas;
3. ne kvadratas;
4. ne kvadratas;
5. ne kvadratas;
6. kvadratas;
7. ne kvadratas;
8. kvadratas.

Matematikai sąlyginai viską padalija kvadratines lygtis išvaizda:

• Užbaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientai ir, taip pat nemokamas narys c nėra lygūs nuliui (kaip pavyzdyje). Be to, tarp pilnųjų kvadratinių lygčių yra duota- tai lygtys, kuriose koeficientas (lygtis iš pirmojo pavyzdžio yra ne tik baigta, bet ir sumažinta!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

  Jie yra neišsamūs, nes trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti x kvadratas!!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė lygtis, o kažkokia kita lygtis.

Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Šis skirstymas nustatomas sprendimo metodais. Pažvelkime į kiekvieną iš jų išsamiau.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirma, sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės!

Yra neišsamių kvadratinių lygčių tipai:

1. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.
3. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

1. i. Nes mes žinome, kaip išgauti kvadratinė šaknis, tada išreikškime iš šios lygties

Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių.

Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių įsiminti nereikia. Svarbiausia, kad jūs turite žinoti ir visada atsiminti, kad tai negali būti mažiau.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės pusės. Juk prisimeni, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!!

6 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

O! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų!

Tokioms lygtims, kurios neturi šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies.
8 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Taigi,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos jos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia atsisakysime pavyzdžių.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur

Išspręsti visas kvadratines lygtis yra šiek tiek sunkiau (tik šiek tiek) nei šias.

Prisimink Bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Kiti metodai padės tai padaryti greičiau, bet jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įvaldykite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Spręsti kvadratines lygtis naudojant šį metodą yra labai paprasta, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tada lygtis turi šaknį. ypatingas dėmesysžengti žingsnį. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada žingsnio formulė bus sumažinta iki. Taigi lygtis turės tik šaknį.
• Jei, tada veiksme negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie savo lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

1 veiksmas mes praleidžiame.

2 veiksmas.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas.

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 veiksmas mes praleidžiame.

2 veiksmas.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 veiksmas mes praleidžiame.

2 veiksmas.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Jei prisimenate, yra lygties tipas, kuris vadinamas sumažinta (kai koeficientas a yra lygus):

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų sandauga yra lygi.

12 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes .

Lygties šaknų suma lygi, t.y. gauname pirmąją lygtį:

Ir produktas yra lygus:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDURIO LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomasis, - kai kurie skaičiai ir.

Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, A - nemokamas narys.

Kodėl? Nes jei lygtis iš karto tampa tiesinė, nes išnyks.

Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje kėdės lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Pirmiausia pažvelkime į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus – jie paprastesni.

Galime išskirti šiuos lygčių tipus:

I., šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.

Dabar pažvelkime į kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas. Štai kodėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei turime dvi šaknis

Šių formulių įsiminti nereikia. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai užrašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Išimsime bendras daugiklis skliausteliuose:

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Paskaičiuokime kairę lygties pusę ir raskime šaknis:

Atsakymas:

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminuojantis

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti lengva, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote diskriminuojančią šaknį šaknų formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada lygtis turi šaknis:
• Jei tada lygtis turi identiškos šaknys, bet iš esmės viena šaknis:

  Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.

• Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl tai įmanoma skirtingi kiekiaišaknys? Kreipkimės į geometrine prasme kvadratinė lygtis. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Ypatingu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . Tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo su abscisių ašimi (ašiu) taškai. Parabolė gali išvis nesikirsti su ašimi arba gali susikirsti viename (kai parabolės viršūnė yra ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, o jei, tada žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik sumažintos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; .

Lygties šaknų suma yra tokia:

Ir produktas yra lygus:

Išsirinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi, ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Išsirinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą, ir patikrinkime, ar jų suma yra lygi:

ir: jie duoda iš viso.

ir: jie duoda iš viso. Norint gauti, pakanka tiesiog pakeisti tariamų šaknų požymius: ir, galų gale, produktą.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Todėl šaknų suma yra lygi jų modulių skirtumai.

Parinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą ir kurių skirtumas yra lygus:

ir: jų skirtumas lygus – netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, šaknis su mažesniu moduliu turi būti neigiama: . Mes tikriname:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Pažymime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatykime, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys turi minuso ženklą.

Parinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą.

Tačiau Vietos teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad naudotumėte jį, turite atlikti veiksmus automatiškai. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema:

Savarankiško darbo užduočių sprendimai:

Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo kūrinio:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; .

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vieta teorema: suma turi būti lygi, o sandauga turi būti lygi.

Bet kadangi turi būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso).

Atsakymas: ; .

3 užduotis.

Hmm... Kur tai yra?

Turite perkelti visas sąlygas į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Gerai, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pateikti lygtį. Jei negalite vadovauti, atsisakykite šios idėjos ir išspręskite ją kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad pateikti kvadratinę lygtį reiškia, kad pagrindinis koeficientas būtų lygus:

Puiku. Tada šaknų suma lygi ir sandaugai.

Čia pasirinkti taip pat paprasta, kaip kriaušes gliaudyti: juk tai pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; .

4 užduotis.

Laisvas narys yra neigiamas. Kuo tai ypatinga? Ir faktas yra tas, kad šaknys turės skirtingus ženklus. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o jų modulių skirtumą: šis skirtumas lygus, o produktas.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; .

5 užduotis.

Ką daryti pirmiausia? Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turėtų būti lygi, o tai reiškia, kad minuso šaknis bus didesnė.

Atsakymas: ; .

Leiskite man apibendrinti:

1. Vietos teorema naudojama tik pateiktose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vietos teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
3. Jei lygtis nepateikta arba nerandama tinkama laisvojo nario veiksnių pora, tada nėra sveikų šaknų ir ją reikia išspręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Viso kvadrato parinkimo būdas

Jei visi terminai, kuriuose yra nežinomasis, yra pavaizduoti terminų forma iš sutrumpintų daugybos formulių - sumos arba skirtumo kvadratu, tada pakeitus kintamuosius, lygtis gali būti pateikta nepilnos kvadratinės lygties forma.

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Atsakymas:

Apskritai transformacija atrodys taip:

Iš to seka: .

Ar tau nieko neprimena? Tai yra diskriminacinis dalykas! Būtent taip mes gavome diskriminuojančios formulę.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Kvadratinė lygtis- tai formos lygtis, kur - nežinomasis, - kvadratinės lygties koeficientai, - laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: .

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

• jei koeficientas, lygtis atrodo taip: ,
• jei yra laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei ir, lygtis atrodo taip: .

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškime nežinomybę: ,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

• jei, tada lygtis neturi sprendinių,
• jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų: ,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: .

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Sumažinkime lygtį iki standartinis vaizdas: ,

2) Apskaičiuokime diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei, tada lygtis turi šaknis, kurios randamos pagal formulę:
• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos kur lygtis) šaknų suma lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , A.

2.3. Sprendimas pasirenkant pilną kvadratą

Tikiuosi, kad išstudijavę šį straipsnį sužinosite, kaip rasti visos kvadratinės lygties šaknis.

Naudojant diskriminantą, sprendžiamos tik pilnosios kvadratinės lygtys, sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, naudojami kiti metodai, kuriuos rasite straipsnyje „Nepilnių kvadratinių lygčių sprendimas“.

Kokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnosiomis? Tai ax 2 + b x + c = 0 formos lygtys, kur koeficientai a, b ir c nėra lygūs nuliui. Taigi, norėdami išspręsti visą kvadratinę lygtį, turime apskaičiuoti diskriminantą D.

D = b 2 – 4ac.

Atsižvelgdami į diskriminanto reikšmę, surašysime atsakymą.

Jei diskriminantas yra neigiamas skaičius (D< 0),то корней нет.

Jei diskriminantas lygus nuliui, tai x = (-b)/2a. Kai diskriminantas yra teigiamas skaičius (D > 0),

tada x 1 = (-b - √D)/2a ir x 2 = (-b + √D)/2a.

Pavyzdžiui. Išspręskite lygtį x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Atsakymas: 2.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Atsakymas: nėra šaknų.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Atsakymas: – 3,5; 1.

Taigi įsivaizduokime pilnų kvadratinių lygčių sprendimą naudodami 1 paveiksle pateiktą diagramą.

Naudodami šias formules galite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį. Jums tiesiog reikia būti atsargiems lygtis buvo parašyta kaip standartinės formos daugianario

A x 2 + bx + c, kitaip galite padaryti klaidą. Pavyzdžiui, rašydami lygtį x + 3 + 2x 2 = 0, galite klaidingai nuspręsti, kad

a = 1, b = 3 ir c = 2. Tada

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ir tada lygtis turi dvi šaknis. Ir tai netiesa. (Žr. 2 pavyzdžio sprendimą aukščiau).

Todėl, jei lygtis nėra parašyta kaip standartinės formos daugianomas, pirmiausia visa kvadratinė lygtis turi būti parašyta kaip standartinės formos daugianomas (monomas su aukščiausias rodiklis laipsnių, tai yra A x 2 , tada su mažiau – bx ir tada laisvas narys Su.

Sprendžiant sumažintą kvadratinę lygtį ir kvadratinę lygtį su lyginiu koeficientu antrajame dėme, galite naudoti kitas formules. Susipažinkime su šiomis formulėmis. Jei pilnoje kvadratinėje lygtyje antrasis narys turi lyginį koeficientą (b = 2k), tada lygtį galite išspręsti naudodami 2 paveikslo diagramoje parodytas formules.

Pilna kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei koeficientas at x 2 lygus vienam ir lygtis įgaus formą x 2 + px + q = 0. Tokią lygtį galima pateikti sprendiniui arba ją galima gauti visus lygties koeficientus padalijus iš koeficiento A, stovi prie x 2 .

3 paveiksle parodyta sumažinto kvadrato sprendimo schema
lygtys. Pažvelkime į šiame straipsnyje aptartų formulių taikymo pavyzdį.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Išspręskime šią lygtį naudodami 1 paveikslo diagramoje parodytas formules.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3

Galite pastebėti, kad x koeficientas šioje lygtyje lyginis skaičius, tai yra b = 6 arba b = 2k, iš kur k = 3. Tada pabandykime išspręsti lygtį naudodamiesi formulėmis, pateiktomis paveikslo diagramoje D 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3. Pastebėję, kad visi šios kvadratinės lygties koeficientai dalijasi iš 3 ir atlikę padalijimą, gauname sumažintą kvadratinę lygtį x 2 + 2x – 2 = 0 Išspręskite šią lygtį naudodami sumažintos kvadratinės formules.
lygtys 3 pav.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3.

Kaip matome, sprendžiant šią lygtį pagal įvairios formulės gavome tą patį atsakymą. Todėl gerai įsisavinę 1 paveikslo diagramoje parodytas formules, visada galėsite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Tikiuosi, kad išstudijavę šį straipsnį sužinosite, kaip rasti visos kvadratinės lygties šaknis.

Naudojant diskriminantą, sprendžiamos tik pilnosios kvadratinės lygtys, sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, naudojami kiti metodai, kuriuos rasite straipsnyje „Nepilnių kvadratinių lygčių sprendimas“.

Kokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnosiomis? Tai ax 2 + b x + c = 0 formos lygtys, kur koeficientai a, b ir c nėra lygūs nuliui. Taigi, norėdami išspręsti visą kvadratinę lygtį, turime apskaičiuoti diskriminantą D.

D = b 2 – 4ac.

Atsižvelgdami į diskriminanto reikšmę, surašysime atsakymą.

Jei diskriminantas yra neigiamas skaičius (D< 0),то корней нет.

Jei diskriminantas lygus nuliui, tai x = (-b)/2a. Kai diskriminantas yra teigiamas skaičius (D > 0),

tada x 1 = (-b - √D)/2a ir x 2 = (-b + √D)/2a.

Pavyzdžiui. Išspręskite lygtį x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Atsakymas: 2.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Atsakymas: nėra šaknų.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Atsakymas: – 3,5; 1.

Taigi įsivaizduokime pilnų kvadratinių lygčių sprendimą naudodami 1 paveiksle pateiktą diagramą.

Naudodami šias formules galite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį. Jums tiesiog reikia būti atsargiems lygtis buvo parašyta kaip standartinės formos daugianario

A x 2 + bx + c, kitaip galite padaryti klaidą. Pavyzdžiui, rašydami lygtį x + 3 + 2x 2 = 0, galite klaidingai nuspręsti, kad

a = 1, b = 3 ir c = 2. Tada

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ir tada lygtis turi dvi šaknis. Ir tai netiesa. (Žr. 2 pavyzdžio sprendimą aukščiau).

Todėl, jei lygtis parašyta ne kaip standartinės formos daugianario, pirmiausia visa kvadratinė lygtis turi būti parašyta kaip standartinės formos daugianomas (pirmas turėtų būti monomas su didžiausiu eksponentu, t. y. A x 2 , tada su mažiau – bx ir tada laisvas narys Su.

Sprendžiant sumažintą kvadratinę lygtį ir kvadratinę lygtį su lyginiu koeficientu antrajame dėme, galite naudoti kitas formules. Susipažinkime su šiomis formulėmis. Jei pilnoje kvadratinėje lygtyje antrasis narys turi lyginį koeficientą (b = 2k), tada lygtį galite išspręsti naudodami 2 paveikslo diagramoje parodytas formules.

Pilna kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei koeficientas at x 2 yra lygi vienetui ir lygtis įgauna formą x 2 + px + q = 0. Tokią lygtį galima pateikti sprendiniui arba ją galima gauti visus lygties koeficientus padalijus iš koeficiento A, stovi prie x 2 .

3 paveiksle parodyta sumažinto kvadrato sprendimo schema
lygtys. Pažvelkime į šiame straipsnyje aptartų formulių taikymo pavyzdį.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Išspręskime šią lygtį naudodami 1 paveikslo diagramoje parodytas formules.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3

Galite pastebėti, kad x koeficientas šioje lygtyje yra lyginis skaičius, tai yra b = 6 arba b = 2k, iš kur k = 3. Tada pabandykime išspręsti lygtį naudodami D paveikslo diagramoje pateiktas formules. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3. Pastebėję, kad visi šios kvadratinės lygties koeficientai dalijasi iš 3 ir atlikę padalijimą, gauname sumažintą kvadratinę lygtį x 2 + 2x – 2 = 0 Išspręskite šią lygtį naudodami sumažintos kvadratinės formules.
lygtys 3 pav.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3.

Kaip matote, sprendžiant šią lygtį naudojant skirtingas formules, gavome tą patį atsakymą. Todėl gerai įsisavinę 1 paveikslo diagramoje parodytas formules, visada galėsite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Kvadratinės lygtys dažnai atsiranda sprendžiant įvairios užduotys fizika ir matematika. Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip išspręsti šias lygybes universaliu būdu„per diskriminantą“. Straipsnyje taip pat pateikiami įgytų žinių panaudojimo pavyzdžiai.

Apie kokias lygtis mes kalbėsime?

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyta formulė, kurioje x yra nežinomas kintamasis ir lotyniškus rašmenis a, b, c reiškia kai kuriuos žinomus skaičius.

Kiekvienas iš šių simbolių vadinamas koeficientu. Kaip matote, skaičius „a“ yra prieš kintamąjį x kvadratu. Tai maksimalus laipsnis duota išraiška, todėl ji vadinama kvadratine lygtimi. Dažnai naudojamas kitas jo pavadinimas: antros eilės lygtis. Pati vertė yra kvadratinis koeficientas(stovi su kintamuoju kvadratu), b yra tiesinis koeficientas(jis yra šalia kintamojo, pakelto į pirmą laipsnį), galiausiai skaičius c yra laisvasis narys.

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau esančiame paveikslėlyje parodyta lygties forma yra bendroji klasikinė kvadratinė išraiška. Be jo, yra ir kitų antros eilės lygčių, kuriose koeficientai b ir c gali būti lygūs nuliui.

Kai uždavinys iškeliamas spręsti nagrinėjamą lygybę, tai reiškia, kad reikia rasti tokias kintamojo x reikšmes, kurios ją tenkintų. Čia pirmas dalykas, kurį reikia atsiminti, yra toks: kadangi didžiausias X laipsnis yra 2, tada šio tipo išraiškos negali turėti daugiau nei 2 sprendinius. Tai reiškia, kad jei sprendžiant lygtį būtų rastos 2 ją tenkinančios x reikšmės, tuomet galite būti tikri, kad 3-ojo skaičiaus nėra, jį pakeitus x, lygybė taip pat būtų teisinga. Matematikos lygties sprendiniai vadinami jos šaknimis.

Antros eilės lygčių sprendimo metodai

Norint išspręsti tokio tipo lygtis, reikia žinoti tam tikrą teoriją apie jas. IN mokyklos kursas algebra apsvarstykite 4 įvairių metodų sprendimus. Išvardinkime juos:

• naudojant faktorizaciją;
• naudojant tobulo kvadrato formulę;
• taikant atitinkamos kvadratinės funkcijos grafiką;
• naudojant diskriminantinę lygtį.

Pirmojo metodo pranašumas yra jo paprastumas, tačiau jis negali būti naudojamas visoms lygtims. Antrasis metodas yra universalus, bet šiek tiek sudėtingas. Trečiasis metodas išsiskiria aiškumu, tačiau jis ne visada patogus ir pritaikomas. Ir galiausiai, diskriminacinės lygties naudojimas yra universalus ir gana paprastas būdas rasti absoliučiai bet kokios antros eilės lygties šaknis. Todėl šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik tai.

Formulė lygties šaknims gauti

Kreipkimės į bendra išvaizda kvadratinė lygtis. Užsirašykime: a*x²+ b*x + c =0. Prieš naudodami metodą, kaip ją išspręsti „per diskriminantą“, visada turėtumėte pateikti lygybę į rašytinę formą. Tai reiškia, kad jį turi sudaryti trys terminai (arba mažiau, jei b arba c yra 0).

Pavyzdžiui, jei yra išraiška: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², pirmiausia turėtumėte perkelti visus jos terminus į vieną lygybės pusę ir pridėti terminus, kuriuose yra kintamasis x. tos pačios galios.

IN šiuo atvejuši operacija sukels tokią išraišką: -6*x²-4*x+8=0, kuri atitinka lygtį 6*x²+4*x-8=0 (čia padauginome kairę ir dešinę lygybė iš -1).

Aukščiau pateiktame pavyzdyje a = 6, b = 4, c = -8. Atkreipkite dėmesį, kad visos nagrinėjamos lygybės sąlygos visada sumuojamos, taigi, jei atsiranda „-“ ženklas, tai reiškia, kad atitinkamas koeficientas yra neigiamas, kaip šiuo atveju skaičius c.

Išnagrinėję šį tašką, pereikime prie pačios formulės, kuri leidžia gauti kvadratinės lygties šaknis. Tai atrodo taip, kaip parodyta toliau esančioje nuotraukoje.

Kaip matyti iš šios išraiškos, ji leidžia jums gauti dvi šaknis (atkreipkite dėmesį į „±“ ženklą). Norėdami tai padaryti, pakanka į jį pakeisti koeficientus b, c ir a.

Diskriminanto samprata

Ankstesnėje pastraipoje buvo pateikta formulė, leidžianti greitai išspręsti bet kurią antros eilės lygtį. Jame radikali išraiška vadinama diskriminantu, tai yra, D = b²-4*a*c.

Kodėl ši formulės dalis paryškinta ir netgi paryškinta tikras vardas? Faktas yra tas, kad diskriminantas sujungia visus tris lygties koeficientus į vieną išraišką. Paskutinis faktas reiškia, kad ji visiškai neša informaciją apie šaknis, kurią galima išreikšti šiame sąraše:

1. D>0: lygybė turi 2 įvairių sprendimų, kurie abu yra tikrieji skaičiai.
2. D=0: lygtis turi tik vieną šaknį ir yra tikrasis skaičius.

Diskriminanto nustatymo užduotis

Pateiksime paprastą pavyzdį, kaip rasti diskriminantą. Tegu yra tokia lygybė: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Perkelkime į standartinę formą, gausime: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, iš kurios gauname lygybę : -2*x² +2*x-11 = 0. Čia a=-2, b=2, c=-11.

Dabar galite naudoti aukščiau pateiktą diskriminanto formulę: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Gautas skaičius yra užduoties atsakymas. Kadangi pavyzdyje diskriminantas mažiau nei nulis, tada galime pasakyti, kad ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų. Jo sprendimas bus tik kompleksinio tipo skaičiai.

Nelygybės per diskriminantą pavyzdys

Išspręskime kiek kitokio tipo uždavinius: esant lygybei -3*x²-6*x+c = 0. Reikia rasti c reikšmes, kurioms D>0.

Šiuo atveju yra žinomi tik 2 koeficientai iš 3, todėl neįmanoma apskaičiuoti tikslios diskriminanto reikšmės, tačiau žinoma, kad ji yra teigiama. Sudarant nelygybę naudojame paskutinį faktą: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Išsprendus gautą nelygybę, gaunamas rezultatas: c>-3.

Patikrinkime gautą skaičių. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame D 2 atvejams: c=-2 ir c=-4. Skaičius -2 tenkina gautą rezultatą (-2>-3), atitinkamas diskriminantas turės reikšmę: D = 12>0. Savo ruožtu skaičius -4 netenkina nelygybės (-4. Taigi bet kokie skaičiai c, kurie yra didesni už -3, tenkins sąlygą.

Lygties sprendimo pavyzdys

Pateiksime problemą, kuri apima ne tik diskriminanto radimą, bet ir lygties sprendimą. Būtina rasti lygybės -2*x²+7-9*x = 0 šaknis.

Šiame pavyzdyje diskriminantas yra kitą vertę: D = 81-4*(-2)*7= 137. Tada lygties šaknys bus nustatytos taip: x = (9±√137)/(-4). Tai tikslios vertėsšaknis, jei šaknį apskaičiuosite apytiksliai, tada gausite skaičius: x = -5,176 ir x = 0,676.

Geometrinė problema

Išspręsime problemą, kuriai reikės ne tik gebėjimo apskaičiuoti diskriminantą, bet ir įgūdžių pritaikymą abstraktus mąstymas ir žinių, kaip rašyti kvadratines lygtis.

Bobas turėjo 5 x 4 metrų antklodę. Berniukas norėjo prie jo prisiūti ištisinę gražaus audinio juostelę per visą perimetrą. Kokio storio bus ši juostelė, jei žinosime, kad Bobas turi 10 m² audinio.

Tegul juostelės storis yra x m, tada audinio plotas išilgai ilgosios antklodės pusės bus (5+2*x)*x, o kadangi yra 2 ilgi kraštai, turime: 2*x *(5+2*x). Trumpojoje pusėje pasiūto audinio plotas bus 4*x, kadangi šių pusių yra 2, gauname 8*x reikšmę. Atkreipkite dėmesį, kad vertė 2*x buvo pridėta prie ilgosios pusės, nes antklodės ilgis padidėjo šiuo skaičiumi. Bendras prie antklodės prisiūto audinio plotas 10 m². Todėl gauname lygybę: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Šiame pavyzdyje diskriminantas yra lygus: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Jo šaknis yra 22. Naudodami formulę randame reikiamas šaknis: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Akivaizdu, kad pagal problemos sąlygas iš dviejų šaknų tinka tik skaičius 0,5.

Taigi, audinio juostelė, kurią Bobas prisiuva prie savo antklodės, bus 50 cm pločio.

Tarp viso kurso mokyklos mokymo programa Algebroje viena iš plačiausių temų yra kvadratinių lygčių tema. Šiuo atveju kvadratinė lygtis suprantama kaip ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur a ≠ 0 (skaitykite: a padauginta iš x kvadrato plius be x plius ce yra lygi nuliui, kur a nėra lygus nuliui). Šiuo atveju pagrindinę vietą užima formulės, skirtos kvadratinės lygties diskriminantui rasti nurodytas tipas, kuri suprantama kaip išraiška, leidžianti nustatyti šaknų buvimą ar nebuvimą kvadratinėje lygtyje, taip pat jų skaičių (jei yra).

Kvadratinės lygties diskriminanto formulė (lygtis).

Visuotinai priimta kvadratinės lygties diskriminanto formulė yra tokia: D = b 2 – 4ac. Apskaičiuodami diskriminantą pagal nurodytą formulę, galite ne tik nustatyti kvadratinės lygties šaknų buvimą ir skaičių, bet ir pasirinkti šių šaknų, kurių yra keletas, suradimo metodą, priklausomai nuo kvadratinės lygties tipo.

Ką reiškia, jei diskriminantas yra nulis \ Kvadratinės lygties šaknų formulė, jei diskriminantas yra nulis

Diskriminantas, kaip matyti iš formulės, yra žymimas lotyniška raidė D. Tuo atveju, kai diskriminantas lygus nuliui, darytina išvada, kad kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0, turi tik vieną šaknį, kuri apskaičiuojama naudojant supaprastintą formulę . Ši formulė taikoma tik tada, kai diskriminantas lygus nuliui ir atrodo taip: x = –b/2a, kur x yra kvadratinės lygties šaknis, b ir a yra atitinkami kvadratinės lygties kintamieji. Norėdami rasti kvadratinės lygties šaknį, jums reikia neigiama reikšmė kintamasis b padalytas iš dvigubo kintamojo a reikšmės. Gauta išraiška bus kvadratinės lygties sprendimas.

Kvadratinės lygties sprendimas naudojant diskriminantą

Jei skaičiuojant diskriminantą pagal aukščiau pateiktą formulę paaiškėja teigiama vertė(D didesnis už nulį), tada kvadratinė lygtis turi dvi šaknis, kurios apskaičiuojamos naudojant šias formules: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Dažniausiai diskriminantas neskaičiuojamas atskirai, o radikali išraiška diskriminanto formulės forma tiesiog pakeičiama į reikšmę D, iš kurios išgaunama šaknis. Jei kintamasis b turi lygią vertę, tada norėdami apskaičiuoti kvadratinės lygties, kurios forma ax 2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0, šaknis, taip pat galite naudoti sekančias formules: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, kur k = b/2.

Kai kuriais atvejais už praktiškas sprendimas Kvadratinėms lygtims galite naudoti Vietos teoremą, kuri teigia, kad x 2 + px + q = 0 formos kvadratinės lygties šaknų sumai galios reikšmė x 1 + x 2 = –p, ir nurodytos lygties šaknų sandaugai išraiška x 1 x x 2 = q.

Ar diskriminantas gali būti mažesnis už nulį?

Skaičiuodami diskriminanto reikšmę galite susidurti su situacija, kuri nepatenka į nė vieną iš aprašytų atvejų – kai diskriminanto reikšmė yra neigiama (ty mažesnė už nulį). Šiuo atveju visuotinai pripažįstama, kad kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0, neturi realių šaknų, todėl jos sprendimas apsiribos diskriminanto apskaičiavimu ir aukščiau pateiktomis formulėmis. nes kvadratinės lygties šaknys šiuo atveju nebus taikomos. Tuo pačiu metu atsakyme į kvadratinę lygtį parašyta, kad „lygtis neturi realių šaknų“.

Aiškinamasis vaizdo įrašas: