Pagal tradiciją aiškūs rinkiniai paprastai iliustruojami apskritimais su ryškiomis ribomis. Neaiškios aibės – tai apskritimai, suformuoti iš atskirų taškų: apskritimo centre yra daug taškų, o arčiau periferijos jų tankis sumažėja iki nulio; atrodo, kad apskritimas yra užtamsintas kraštuose. Tokių „neaiškių rinkinių“ galima pamatyti... šaudykloje - ant sienos, kur pakabinti taikiniai. Susidaro kulkų žymės atsitiktinis aibės, kurių matematika yra žinoma. Paaiškėjo, kad dėl operacijos neryškūs rinkiniai tinka seniai sukurtas atsitiktinių rinkinių aparatas...

Neryškumo samprata rinkinys – bandymas matematinis formalizavimas neaiški informacija, skirta panaudoti ją kuriant matematiniai modeliai sudėtingos sistemos. Ši koncepcija grindžiama idėja, kad elementai, sudarantys tam tikrą rinkinį ir turi bendra nuosavybė, gali turėti šią savybę skirtingu laipsniu ir todėl priklausyti tam tikram rinkiniui skirtingu laipsniu.

Vienas iš paprasčiausių būdų matematinis aprašymas neaiškus rinkinys– elemento priklausymo aibei laipsnio apibūdinimas skaičiumi, pavyzdžiui, iš intervalo. Leiskite X– tam tikras elementų rinkinys. Toliau apžvelgsime šio rinkinio pogrupius.

Neryškus rinkinys A X vadinamas formų porų rinkiniu ( x, m A(x)), kur xÎX, ir m A– funkcija x®, vadinamas narystės funkcija neaiškus rinkinys A. m vertės A(x)ši funkcija skirta konkrečiai x vadinamas šio elemento priklausymo neaiškiai aibe laipsniu A.

Kaip matyti iš šio apibrėžimo, neaiškią aibę visiškai apibūdina jos narystės funkcija, todėl dažnai šią funkciją naudosime kaip neaiškios aibės pavadinimą.

Paprastieji rinkiniai sudaro klasės poklasį neryškūs rinkiniai. Iš tiesų, įprasto rinkinio narystės funkcija BÌ X yra jo būdinga funkcija: m B(x)=1 jei xÎ B ir m B(x)=0 jei xÏ B. Tada, pagal neaiškios aibės apibrėžimą, įprastas rinkinys IN taip pat gali būti apibrėžtas kaip formos porų rinkinys ( x, m B(x)). Taigi neryškus rinkinys yra daugiau plati sąvoka nei įprastos aibės ta prasme, kad neaiškios aibės narystės funkcija paprastai gali būti savavališka funkcija arba net savavališkas atvaizdavimas.

Mes kalbamės neaiškus rinkinys. Ir daug ką? Jei esame nuoseklūs, turime konstatuoti, kad neaiškios aibės elementas pasirodo esąs... naujas neryškus naujų neaiškių aibių rinkinys ir pan. Kreipkimės į klasikinis pavyzdys- Į grūdų krūva. Šio neryškaus rinkinio elementas bus milijonų grūdų, Pavyzdžiui. Bet milijonas grūdų visai neaiškus elementas, bet naujas neaiškus rinkinys. Juk skaičiuojant grūdus (rankiniu būdu arba automatiškai) nenuostabu suklysti - pavyzdžiui, 999 997 grūdus supainioti su milijonu. Čia galime pasakyti, kad elemento 999 997 narystės funkcijos reikšmė rinkinyje „milijonas“ yra lygi 0,999997. Be to, pats grūdas vėlgi ne elementas, o naujas neryškus rinkinys: yra pilnavertis grūdas, o yra du susilieję grūdai, neišsivysčiusi grūdai ar tiesiog luobelė. Skaičiuodamas grūdus žmogus turi kai kurių atmesti, paimti du grūdus kaip vieną, o kitu atveju vieną grūdą kaip du. Neaiškią aibę nėra taip lengva įkišti į skaitmeninį kompiuterį su klasikinėmis kalbomis: masyvo (vektoriaus) elementai turi būti nauji masyvų masyvai (įdėtieji vektoriai ir matricos, jei kalbame apie Mathcad). Klasikinė traškių rinkinių matematika (skaičių teorija, aritmetika ir kt.) yra kabliukas, už kurio protingas žmogus fiksuoja (nusprendžia) save supančiame slidžiame ir neaiškiame pasaulyje. O kabliukas, kaip žinote, yra gana grubus įrankis, dažnai gadinantis tai, prie ko prikimba. Neaiškias aibes žymintys terminai – „daug“, „šiek tiek“, „šiek tiek“ ir kt. ir tt - sunku jį „įkišti“ į kompiuterį dar ir todėl, kad jie priklauso nuo konteksto. Viena yra pasakyti „Duok man sėklų“ žmogui, kuris turi stiklinę sėklų, ir kitas dalykas – žmogui, sėdinčiam už sunkvežimio su sėklomis vairo.

Neryškus poaibis A rinkiniai X būdinga narystės funkcija m A:X →, kuris priskiria kiekvieną elementą xÎ X skaičius m A(x) nuo elemento priklausymo laipsnį apibūdinančio intervalo X poaibis A. Be to, 0 ir 1 atitinkamai reiškia žemiausią ir aukščiausias laipsnis elemento priklausymas konkrečiam poaibiui.

Pateiksime pagrindinius apibrėžimus.

· Vertės sup m A(x) paskambino aukščio neaiškus rinkinys A. Neryškus rinkinys A gerai , jei jo aukštis yra 1 , t.y. viršutinė riba jo narystės funkcija lygi 1. Kai sup mA(x)<1 fuzzy rinkinys vadinamas nenormalus.

Neaiškus rinkinys vadinamas tuščias, jei jo narystės funkcija yra lygi nuliui visoje aibėje X, t.y. m 0 (x)= 0 " xÎ X.

Neryškus rinkinys tuščias , Jei " xÎ E m A ( x)=0 . Netuščią subnormalią aibę galima normalizuoti pagal formulę

(1 pav.).

1 pav. Neaiškios aibės normalizavimas su narystės funkcija. .

Vežėjas neaiškus rinkinys A(pavadinimas aprūpinti A) su narystės funkcija m A(x) vadinamas formų rinkiniu suppA={x|xÎ X, m A(x)> 0). Už praktiniai pritaikymai neaiškių rinkinių nešėjai visada yra riboti. Taigi neaiškios sistemos leistinų režimų rinkinio nešėjas gali būti aiškus poaibis (intervalas), kurio priimtinumo laipsnis nėra lygus nuliui (2 pav.).

Ryžiai. 3. Šerdis, nešiklis ir α- neryškaus rinkinio dalis

Reikšmė α paskambino α - lygis. Nešėjas (branduolis) gali būti laikomas neaiškios nulio rinkinio (vieneto) sekcija. α - lygis.

Ryžiai. 3 iliustruoja apibrėžimus nešiklis, šerdis,α - skyriai irα - lygiu neaiškus rinkinys.

PAGRINDINĖS APIBRĖŽIŲJŲ AIKIŲ IR KALBINIŲ KINTAMŲJŲ TEORIJOS SĄVOKOS

1. Neaiškios aibės samprata ir pagrindinės charakteristikos

Apibrėžimas 1.1. Tegu X yra universali aibė. Neryškus rinkinys A aibėje X (neaiškus X aibės poaibis A) yra porų rinkinys

A = (<μ A (x ),x >}, (1.1)

kur vadinamas x X ,μ A (x ) .X apibrėžimo sritis neaiškioji rinkinysA ir μ A – narystės funkcijašios daugybės. Iškviečiama narystės funkcijos μ A (x) reikšmė konkrečiam elementui x X priklausomybės laipsnisšio elemento į neaiškią aibę A.

Narystės funkcijos aiškinimas yra subjektyvus matas, kaip elementas x X atitinka sąvoką, kurios reikšmę įformina neaiškioji aibė A. Šiuo atveju reikšmė, lygi 1, reiškia visišką (absoliučią) atitiktį, 0 lygi – visišką (absoliutų) neatitikimą.

Apibrėžimas 1.2. Vadinamos neaiškios aibės, turinčios atskirą apibrėžimo sritį atskiri neryškūs rinkiniai, Ne-

aiškūs rinkiniai su ištisinis plotas apibrėžimai – tęstinis

ny fuzzy rinkiniai.

Įprasti (traškūs) rinkiniai taip pat gali būti nagrinėjami neryškiame kontekste. Įprastos aibės narystės funkcija gali turėti tik dvi reikšmes: 0, jei elementas nepriklauso aibei, ir 1, jei elementas jai priklauso.

Literatūroje galite rasti įvairių formų neaiškių rinkinių įrašai. Už atskira sritis apibrėžimas X =(x 1 ,x 2 , …,x n ) (galimas ir atvejis n = ∞) egzistuoja šios formos:

j = 1

kur integralinis ženklas turi prasmę taškinė sąjunga onX. Be to, tiek diskretiesiems, tiek tęstiniams atvejams naudojama apibendrinta žymėjimo forma:

B = (x x ≈ 2) – realiųjų skaičių aibė, maždaug lygus 2 ir C = (x x >> 1) – realiųjų skaičių aibė, įjungta

daug didesnių 1. Galimos formosŠių aibių narystės funkcijos schematiškai pateiktos atitinkamai 1.1 ir 1.2 pav.

Diskrečios neaiškios aibės pavyzdžiu galime laikyti D = (n n ≈ 1) – sveikųjų skaičių, artimų 1, aibę,

galima jo nurodymo forma yra tokia:

N = (0,2/-3; 0,4/-2; 0,6/-1; 0,8/0; 1/1; 0,8/2; 0,6/3; 0,4/4; 0,2/5) (likę taškai turi nulį narystė).

Konkreti narystės funkcijos forma priklauso nuo sąlygose įformintos sąvokos reikšmės konkreti užduotis, ir dažnai turi subjektyvų pobūdį. Dauguma narystės funkcijų konstravimo metodų tam tikru mastu yra pagrįsti ekspertinėmis priemonėmis gautos informacijos apdorojimu.

1 pastaba. Čia sup (supremum) yra tikslus viršutinis kraštas narystės funkcijas. Jei aibė X (apibrėžimo sritis) yra uždara, tai funkcijos viršija sutampa su jos maksimumu.

Apibrėžimas 1.5. Jei h A = 1, tada vadinama neaiškioji aibė A

atrodo normaliai, kitaip (hA< 1) – субнормальным.

Apibrėžimas 1.6. Neaiškios aibės A nešiklis yra aibė

apibrėžimo srities elementai, kurie bent iš dalies atitinka formalizuojamą sąvoką.

2 pastaba: Pavadinimų sup ir Supp nereikėtų painioti. Pirmasis yra trumpinys supremum, antrasis - parama.

Apibrėžimas 1.7. Lygių rinkinys α (α -slice) neryškus

Taigi neaiškios aibės šerdyje yra visi apibrėžimo srities elementai, kurie visiškai atitinka formalizuojamą sąvoką.

iš kur išplaukia, kad elementas daugialypis lygis α taip pat priklauso visoms mažesnių lygių β ≤α aibėms.

Apibrėžimas 1.9. Tegu A ir B yra neaiškios aibės aibėje X su narystės funkcijomis atitinkamai μ A ir μ B. Govo-

Sakoma, kad A yra neryškus B poaibis (B apima

A), jei įvykdoma ši sąlyga:

Tarp neaiškių rinkinių, turinčių skaitinį apibrėžimo sritį, taip pat yra neaiškių skaičių klasė ir neryškūs intervalai. Šiai klasei apibrėžti įvedama neaiškių aibių išgaubimo samprata.

Apibrėžimas 1.11. Neaiškios tikrosios ašies poaibis A vadinamas išgaubtu, jei tenkinama ši sąlyga:

Fig. 1.3 paveiksle pateikti išgaubtų (kairėje) ir neišgaubtų (dešinėje) neaiškių aibių pavyzdžiai.

Ryžiai. 1.3. Neaiškios aibės išgaubtumo apibrėžimo link

Apibrėžimas 1.12. Neryškus intervalas vadinamas išgaubtu normaliu neaiškiu rinkiniu skaitmeninis domenas turinčius apibrėžimus nuolatinė funkcija daiktai ir netuščias branduolys. Neaiškus skaičius yra neryškus intervalas, kurio šerdyje yra tiksliai vienas elementas.

Neaiškių intervalų ir skaičių atveju yra vaizdavimo teorema, pagal kurią neaiškios tikrosios ašies poaibis A yra neryškus intervalas tada ir tik tada, kai jo narystės funkcija pavaizduojama taip:

Funkcijos L A ir R A vadinamos atitinkamai neryškaus skaičiaus narystės funkcijos kairiąja ir dešine šaka. Šios funkcijos yra nuolatinės, o segmento L A didėja nuo LA (a 0 ) = 0 iki

L A (a 1 ) = 1, o RA atkarpoje mažėja nuo RA (b 1 ) = 1 iki R A (b 0 ) = 0 (1.4 pav.).

Ryžiai. 1.4. Neryškaus intervalo apibrėžimo link

Apibrėžimas 1.13. Tegu A = (A 1 ,A 2 ,… ,A n ) – apibrėžimo srityje X .Ã apibrėžtų neaiškių aibių šeima vadinama neryškus skaidinys X su parametru α (0<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

(t. y. bet kuris apibrėžimo srities elementas priklauso bent vienai iš Ã šeimos aibių, kurių laipsnis ne mažesnis kaip α – 1.5 pav.).

Priklausymo sampratos apibendrinimas. Nagrinėjamuose pavyzdžiuose charakteristinė funkcija įgavo reikšmes 0 arba 1. Tarkime, kad charakteristinė funkcija įgauna bet kokią reikšmę iš . Tada elementas gali nepriklausyti aibei, priklausyti tam tikru laipsniu arba būti aibės elementu.

Neryškus rinkinys . Neryškus poaibis aibės (neaiškioji aibė) yra sutvarkytų porų rinkinys, kur yra elemento priklausymo aibėje funkcija, apibūdinanti elemento priklausomybės šiai aibei laipsnį, arba, kitaip tariant, atitikimo matas. universalaus rinkinio elementas, turintis neaiškios aibės savybių. Ištisinės aibės atveju neaiškiai aibei apibrėžti naudojamas toks žymėjimas: .

Daug priedų. Narystės funkcijos reikšmių rinkinys vadinamas Daug priedų. Jei , tai yra įprastas rinkinys, t. y. ryškus rinkinys gali būti laikomas ribojančiu neaiškios aibės atveju. Daug reikmenų vėliau šioje pamokoje.

Neryškaus rinkinio galia. Tegul universaliame rinkinyje nurodomas neryškus rinkinys. Galia neryškus rinkinys arba jo Kardinalus skaičius apibrėžiamas taip: .

28 pavyzdys. Universaliame rinkinyje apibrėžiame šį neaiškią rinkinį:

Apibrėžkime neaiškios aibės kardinalųjį skaičių:

Elemento priklausymas neaiškiai aibei gali būti žymimas ir taip: .

Norint nustatyti elemento priklausomybės laipsnį neaiškioje aibėje, yra speciali terminija. Taigi, neryškus rinkinys, apibrėžtas 28 pavyzdys, yra nedidelis elementas, jame nėra, nedideliu mastu yra, daugiausia – ir, ir yra elementas.

29 pavyzdys. Neryškų mažų natūraliųjų skaičių rinkinį galima nurodyti, pavyzdžiui, taip:

komentuoti. Vertybės pateikiamos subjektyviai.

Neryškaus rinkinio nešiklis. Vežėjas(palaikymas) neaiškios aibės (supp) yra elementų, kuriems .

tuščias, jei jo atrama yra tuščia rinkinys. Neryškaus rinkinio esmė. Šerdis

Neaiškioji aibė () yra elementų rinkinys, kuriam . . Neryškaus rinkinio aukštis Dydis (diskretiesiems universaliems aibėms) vadinamas Aukštis

neaiškus rinkinys (). . Įprasti ir nenormalūs neryškūs rinkiniai Neryškus rinkinys gerai , jei jo aukštis yra 1. Jei aukštis mažesnis nei 1, tada vadinama neaiškioji aibė Nenormalus

. Bet koks netuščias nenormalus neaiškus rinkinys gali būti paverstas įprastu, normalizavus jo narystės funkciją: Unimodal fuzzy rinkiniai. Neaiškus rinkinys vadinamas Unimodalinis

, jei tik vienam . Neaiškių aibių perėjimo taškai. Elementai, kuriems vadinami Perėjimo taškai

neaiškus rinkinys. . Unimodal fuzzy rinkiniai. Išgaubti neryškūs rinkiniai Išgaubtas

, Jei: 30 pavyzdys.

Tegul universalioji aibė yra realiųjų skaičių aibė, t.y. Apibrėžkime neaiškią aibę kaip skaičių, artimų skaičiui, aibę (4 pav.).

4 pav

Narystės funkciją galima nurodyti taip: , kur . Rodiklis pasirenkamas atsižvelgiant į artumo laipsnį. Pavyzdžiui, norėdami apibūdinti skaičių rinkinį, labai artimą , galite paimti ; skaičių rinkiniui, kuris nėra labai toli nuo , . 31 pavyzdys. Ant universalaus rinkinio Pateikiamas neryškus rinkinys. Neaiškiai aibei: 1) nustatykite jos kardinalumą; 2) nustatyti nešiklį, šerdį ir aukštį; 3) išsiaiškinkite, ar tai normalu, ar nenormalu. Jei nenormalus, konvertuokite jį į normalų; 4) patikrinkite, ar gauta aibė yra unimodalinė; 5) nustatyti perėjimo taškus.

1. Pagal apibrėžimą neaiškios aibės, apibrėžtos baigtinėje universaliojoje aibėje, galia (kardinalusis skaičius) nustatomas pagal formulę: .

2. Naudokime neaiškios aibės atramos, šerdies ir aukščio apibrėžimus. Akivaizdu, , , .

3. Pateikta neaiškioji aibė yra nenormali. Sukurkime ją atitinkančią neaiškią normaliąją aibę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame elemento narystės funkcijos reikšmes naudodami formulę:

Turime: , panašius į: , , , , . Taigi, neryškus normalizuotas rinkinys.

4. Aibė yra vienarūšė, nes joje yra tik vienas elementas, kuriam .

5. Rinkinys turi unikalų perėjimo tašką – , nes tik .

Neaiškių aibių padauginimas iš skaičiaus. Jei teigiamas skaičius yra toks, kad , tada neaiškios aibės narystės funkcija apibrėžiama taip: .

Neaiškių aibių palyginimas. Panagrinėkime dvi neaiškias aibes ir , apibrėžtas universaliajame rinkinyje .

Jie taip sako Sudėtyje, t. y., jei kuri nors. Grafiškai tai reiškia, kad neaiškią aibę apibrėžianti kreivė yra virš panašios neaiškios aibės kreivės. Jei įtraukimo sąlyga tenkinama ne visiems, tada kalbame apie Įtraukimo laipsniai, kuris apibrėžiamas kaip , kur yra rinkinys, kuriame įvykdoma įtraukimo sąlyga.

Du neryškūs rinkiniai ir Lygus, jei jie yra vienas kitame, t. y. jei yra.

-lygio pogrupis. Neaiškios aibės lygio poaibis , yra aiškus elementų poaibis, kuriam . Rinkinys taip pat vadinamas -neryškaus rinkinio dalis. Šiuo atveju, jei , tai mes kalbame apie stiprią atkarpą, o jei , tai apie silpną atkarpą. Vyksta Svarbi nuosavybė : jei, tada.

Jie naudoja neaiškių aibių analizei ir sintezei Dekompozicijos teorema: neaiškią aibę galima išskaidyti į jos lygio aibes taip: , kur yra skaičiaus ir aibės sandauga.

32 pavyzdys. Universaliame rinkinyje apibrėžiame neaiškią aibę. Raskime visus neaiškios aibės poaibius:

Pagal neaiškių aibių skilimo teoremą duotą neaiškią aibę pavaizduojame taip.

V. Ya. Pivkinas, E. P. Bakulinas, D. I. Korenkovas

Neaiškūs rinkiniai valdymo sistemose

Redagavo
Technikos mokslų daktaras, profesorius Yu.N. Zolotuchina

Pratarmė. 3

ĮVADAS.. 4

1. FUZZY RINKINYS... 5

Neryškaus rinkinio rašymo pavyzdžiai. 5

Pagrindinės neaiškių rinkinių charakteristikos. 5

Neaiškių rinkinių pavyzdžiai. 6

Apie neaiškių aibių narystės funkcijų konstravimo metodus. 7

Neaiškių rinkinių operacijos. 8

Vizualus neaiškių aibių operacijų vaizdavimas. 9

Operacijų È ir Ç savybės. 9

Algebrinės operacijos su neaiškiomis aibėmis. 10

Atstumas tarp neaiškių rinkinių, neaiškių indeksų. 13

Apibendrinimo principas. 16

2. MIŠTI SANTYKIAI.. 17

Neaiškių santykių operacijos. 18

Dviejų neaiškių santykių sudėtis. 21

Sąlyginiai neryškūs poaibiai. 23

3. MIŠTI IR KALBINIAI KINTAMIEJI... 27

Neaiškūs skaičiai. 28

Operacijos su neaiškiais skaičiais. 28

Neaiškių skaičių (L-R) tipo. 29

32

Neaiškių teiginių transformavimo taisyklės. 33

Neaiškios implikacijos nustatymo metodai. 33

Loginis-lingvistinis sistemų aprašymas, neryškūs modeliai. 35

Garo katilo valdymo modelis.. 36

Valdymo taisyklių išsamumas ir nuoseklumas. 39

Literatūra. 40

Pratarmė

Bene ryškiausia žmogaus intelekto savybė yra gebėjimas priimti gerus sprendimus esant neišsamiai ir neaiškiai informacijai. Apytikslių žmogaus samprotavimų modelių konstravimas ir jų panaudojimas ateities kartų kompiuterinėse sistemose yra viena svarbiausių šiandienos mokslo problemų.

Didelę pažangą šia kryptimi prieš 30 metų padarė Kalifornijos universiteto (Berklis) profesorius Lotfi A. Zadeh. Jo darbas „Fuzzy Sets“, pasirodęs 1965 m. žurnale „Informacija ir kontrolė“, ╬ 8, padėjo pagrindus žmogaus intelektinės veiklos modeliavimui ir buvo pradinis postūmis kurti naują matematinę teoriją.

Ką Zadehas pasiūlė? Pirma, jis išplėtė klasikinę Kantorijos koncepciją rinkiniai, darant prielaidą, kad charakteristinė funkcija (elemento narystės aibėje funkcija) intervale (0;1) gali įgauti bet kokias reikšmes, o ne tik reikšmes 0 arba 1. Tokias aibes jis vadino neaišku (neryškus). L. Zadeh taip pat apibrėžė keletą neaiškių aibių operacijų ir pasiūlė apibendrinti gerai žinomus loginių išvadų metodus modus ponens ir modus tollens.

Tada pristatęs koncepciją kalbinis kintamasis ir darydamas prielaidą, kad neaiškios aibės veikia kaip jos vertybės (terminai), L. Zadeh sukūrė aparatą intelektinės veiklos procesams, įskaitant išraiškų neryškumą ir neapibrėžtumą, aprašyti.

Tolesnis profesoriaus L. Zadeh ir jo pasekėjų darbas padėjo tvirtus pagrindus naujajai teorijai ir sukūrė prielaidas neaiškių valdymo metodų diegimui į inžinerinę praktiką.

Per pastaruosius 5-7 metus pramonėje pradėti naudoti nauji metodai ir modeliai. Ir nors pirmieji fuzzy valdymo sistemų pritaikymai įvyko Europoje, intensyviausiai tokios sistemos diegiamos Japonijoje. Jų pritaikymo spektras yra platus: nuo metro traukinio išvykimo ir sustojimo proceso valdymo, krovininių liftų ir aukštakrosnių valdymo iki skalbimo mašinų, dulkių siurblių ir mikrobangų krosnelių. Tuo pačiu metu neaiškios sistemos leidžia pagerinti gaminių kokybę, tuo pačiu sumažinant resursų ir energijos sąnaudas bei užtikrina didesnį atsparumą trukdantiems veiksniams, palyginti su tradicinėmis automatinio valdymo sistemomis.

Kitaip tariant, nauji požiūriai leidžia išplėsti automatizavimo sistemų taikymo sritį už klasikinės teorijos pritaikomumo. Šiuo atžvilgiu įdomus L. Zadeh požiūris: „Manau, kad per didelis tikslumo troškimas pradėjo daryti poveikį, kuris panaikina valdymo teoriją ir sistemų teoriją, nes tai lemia, kad šios srities tyrimai yra sutelktas į tas ir tik tas problemas, kurias galima tiksliai išspręsti. Dėl to daugelis svarbių problemų klasių, kurių duomenys, tikslai ir apribojimai yra pernelyg sudėtingi arba netinkamai apibrėžti, kad būtų galima atlikti tikslią matematinę analizę, buvo ir lieka nuošalyje. jie nėra pritaikyti matematinei analizei, norėdami pasakyti ką nors reikšmingo apie tokio pobūdžio problemas, turime atsisakyti savo tikslumo reikalavimų ir leisti rezultatus, kurie yra šiek tiek neaiškūs ar neaiškūs.

Neaiškių sistemų tyrimų dėmesio perkėlimas į praktinį pritaikymą paskatino suformuluoti daugybę problemų, tokių kaip naujos kompiuterių architektūros, skirtos neaiškiam skaičiavimui, neaiškių kompiuterių ir valdiklių elementinė bazė, kūrimo įrankiai, inžineriniai neaiškių skaičiavimo ir kūrimo metodai. valdymo sistemos ir daug daugiau.

Pagrindinis šio vadovėlio tikslas – atkreipti studentų, magistrantų ir jaunųjų mokslininkų dėmesį į neaiškias problemas ir pateikti prieinamą įvadą į vieną įdomiausių šiuolaikinio mokslo sričių.

Profesorius Yu.N. Zolotukhin

ĮVADAS

Pasiūlyta matematinė neaiškių aibių teorija L.Zade daugiau nei prieš ketvirtį amžiaus, leidžia apibūdinti neaiškias sąvokas ir žinias, operuoti šiomis žiniomis ir daryti neaiškias išvadas. Šia teorija pagrįsti kompiuterinių neaiškių sistemų konstravimo metodai ženkliai išplečia kompiuterių pritaikymo sritį. Pastaruoju metu neryškioji kontrolė buvo viena iš aktyviausių ir produktyviausių neaiškių aibių teorijos taikymo tyrimų sričių. Apytikslis valdymas ypač naudingas, kai technologiniai procesai yra per sudėtingi, kad juos būtų galima analizuoti naudojant įprastus kiekybinius metodus, arba kai turimi informacijos šaltiniai interpretuojami kokybiškai, netiksliai arba miglotai. Eksperimentiškai buvo įrodyta, kad neryškus valdymas duoda geresnių rezultatų, palyginti su tais, kurie gaunami naudojant įprastus valdymo algoritmus. Neryškūs metodai padeda valdyti aukštakrosnius ir valcavimo stakles, automobilius ir traukinius, atpažinti kalbą ir vaizdus bei kurti robotus su lietimu ir regėjimu. Neaiškioji logika, kuria grindžiamas neryškus valdymas, yra artimesnė žmogaus mąstymui ir natūralioms kalboms nei tradicinės logikos sistemos. Neaiškioji logika iš esmės yra veiksminga priemonė realaus pasaulio netikrumams ir netikslumams reprezentuoti. Matematinės priemonės, atspindinčios pradinės informacijos neapibrėžtumą, leidžia sukurti realybei adekvatų modelį.

1. FUZZY RINKINYS

Leiskite E- universalus komplektas, x - elementas E, A R- tam tikras turtas. Įprastas (aiškus) pogrupis A universalus komplektas E, kurio elementai tenkina savybę R, apibrėžiamas kaip sutvarkytų porų rinkinys A = ( m A ( X)/X } , Kur

m A ( X) - būdinga funkcija, atsižvelgiant į vertę 1 , Jei x tenkina turtą R, Ir 0 - kitaip.

Neryškus poaibis skiriasi nuo įprasto elementų poaibio x iš E nėra aiškaus atsakymo "Ne tikrai" dėl turto R. Šiuo atžvilgiu neryškus poaibis A universalus komplektas E apibrėžiamas kaip sutvarkytų porų rinkinys A = ( m A ( X)/X } , Kur

m A ( X) - būdinga narystės funkcija(arba tiesiog narystės funkcija), imant reikšmes tam tikrame gerai sutvarkytame rinkinyje M(Pavyzdžiui, M =). Narystės funkcija rodo laipsnį(arba lygis) elemento narystė x poaibis A. Daugelis M paskambino daug priedų. Jeigu M = (0,1), tada neryškus poaibis A gali būti laikomas paprastu arba traškiu rinkiniu.

Neryškus(arba neryškus, neaiškus) daug- sąvoką pristatė L. Zadeh, kuris išplėtė klasikinę (Cantor) aibės sampratą, pripažindamas, kad charakteristinė funkcija (elemento priklausymo aibėje funkcija) gali įgauti bet kokias intervalo reikšmes, o ne tik reikšmės 0 arba 1.

Apibrėžimas: neaiškus rinkinys(neryškus rinkinys)

Leiskite C yra kažkoks universalus rinkinys (visata). Tada neryškus rinkinys A V C apibrėžiamas kaip tvarkingas porų rinkinys

kur vadinama elemento narystės funkcija (MF). Xį neaiškią rinkinį A.

FP priskiria kiekvienam elementui iš C reikšmė iš intervalo, kuris vadinamas narystės laipsnis xĮ A arba neryškus matas.

Neryškus matas gali būti laikomas elemento tiesos laipsniu X priklauso A.

Apibrėžimas: neaiškus rinkinio pagrindas(fuzzyset atrama)

Neryškaus rinkinio pagrindas A yra visų taškų rinkinys toks, kad .

Taigi neaiškios aibės apibrėžimas yra klasikinės aibės apibrėžimo išplėtimas, kuriame charakteristinė funkcija gali įgyti nuolatines reikšmes tarp 0 ir 1. Visata C gali būti atskira arba ištisinė rinkinys.

FP pavaizduoti paprastai naudojamos kelių tipų parametrinės funkcijos.

Tipiški FP atvaizdai

Trikampis PT (2.2 pav., a) apibūdinami trimis parametrais ( a, b, c), kurios nustato x Trijų trikampio kampų koordinatės yra tokios:

Trapecijos formos PT (2.2 pav., c) apibūdinami keturiais parametrais ( a,b,c,d), kurios nustato x Keturių trapecijos kampų koordinatės yra tokios:

Ryžiai. 2.2. Trikampis ir trapecijos formos AF

Gauso FP (2.3 pav.) nurodomi dviem parametrais ir reiškia šią funkciją: .

Ryžiai. 2.3. Gauso PT

Kalbiniai kintamieji

Viena iš pagrindinių sąvokų, kurią taip pat pristatė L. Zadeh, yra kalbinio kintamojo sąvoka.

Apibrėžimas: kalbinis kintamasis(LP) reiškia šiuos penkis, kur yra kintamojo pavadinimas, yra terminų rinkinys, nurodantis LP reikšmių rinkinį, kuris yra kalbinės išraiškos (sintagmos), X- visata, G– sintaksinė taisyklė, pagal kurią galime sudaryti sintagmas, M– semantinė taisyklė, pagal kurią kiekvienai sintagmai priskiriama jos reikšmė, kuri yra neaiški aibė visatoje X.

LP pavyzdys būtų, pavyzdžiui, kintamasis = "amžius". Jos terminų rinkinys gali būti, pavyzdžiui, toks:

(amžius) = ( labai jaunas, jaunas, daugiau ar mažiau jaunas, vidutinio amžiaus, senas, labai senas}.

Tam tikro LP visata gali būti tam tikras realiųjų skaičių rinkinys, pavyzdžiui, intervalas. Semantinė taisyklė M atributai terminams iš T(amžiaus) vertės, kurios yra įvairios neaiškių rinkinių modifikacijos.

Grįžkime prie mūsų automobilio judėjimo valdymo pavyzdžio ir apibūdinkime aukščiau pateiktų taisyklių kalbines reikšmes naudodami neaiškius rinkinius. Apsvarstykite šiuos kalbinius kintamuosius:

x – atstumas tarp automobilių;

y– greitis automobilis priekyje;

z– vairuojamo automobilio pagreitis.

BP turėtų būti apibrėžtos atsižvelgiant į nagrinėjamą valdymo situaciją. Taigi, pavyzdžiui, 70 km/h greitis yra „didelis“ važiuojant miesto keliu ir gali būti laikomas „mažu“ važiuojant greitkeliu.

Pavyzdžiui, mes apibrėžiame šias visatas:

[m], [km/h],

[km/h 2 ].

Fig. 2.4 paveiksle parodytos FP, skirtos apibūdinti kalbines reikšmes „mažas“ (lėtas) ir „didelis“ (greitas) – greitis ir „artimas“ (trumpas) ir „didelis“ (ilgas) – atstumas.

Ryžiai. 2.4. Neryškūs rinkiniai, skirti paprasčiausio automobilio judėjimo valdymo problemai

Skirtumai tarp klasikinio ir neryškaus rinkinio vaizdavimo

Aptarkime šiuos skirtumus naudodami šį pavyzdį. Apsvarstykite klasikines ir neaiškias rinkinių reprezentacijas, kad apibūdintumėte lingvistinę žodžio „trumpas“ (atstumo) reikšmę.

Fig. 2.5 rodo skirtumus tarp klasikinio ir neryškaus aibės vaizdavimo Ašiam pavyzdžiui.

Ryžiai. 2.5. Klasikiniai ir neryškūs rinkinio A vaizdai

Apibrėžkime klasikinį aibės vaizdavimą A kaip parodyta pav. 2,5 kairėje. Šiuo atveju būdinga funkcija bus:

Neryškus rinkinio vaizdavimas A parodyta pav. 2.5 dešinėje. Šiuo atveju FP narystės funkcija atrodo taip:

Dabar užduokime šį klausimą: ar taškas m, ar taškas m priklauso aibei A?

Žvelgiant iš klasikinės perspektyvos, atsakymas yra „ne“. Žmogaus suvokimo požiūriu atsakymas labiau tikėtinas „taip“ nei „ne“. Žvelgiant iš neaiškios perspektyvos, atsakymas yra taip.

Taigi šis paprastas pavyzdys aiškiai parodo, kad neryškus požiūris yra artimesnis natūraliam, žmogiškajam, ir turi didesnį lankstumą nei klasikinis požiūris.

Neaiškių aibių pagalba galime apibūdinti neaiškias ribas.

Pagrindinės operacijos neaiškių aibių teorijoje

Apibrėžkime pagrindines neaiškias operacijas taip.

Apibrėžimas: neryškus poaibis(Neaiškus apribojimas arba neaiškus pogrupis). Neryškus rinkinys A esantis neryškiame rinkinyje B(arba lygiaverčiai A yra poaibis B) tada ir tik tada, jei visiems. Simboline forma:

Apibrėžimas:neaiškių aibių ekvivalentiškumas(Neaiškių aibių lygybė). Neaiškių aibių ekvivalentiškumas (lygybė). A Ir B apibrėžiamas taip:

Visiems.

Apibrėžimas:neaiškioji sąjunga arba neaiškioji disjunkcija(Dviejų neaiškių rinkinių sąjunga). A Ir B(simboline forma parašyta arba A ARBA B arba A B) yra neaiški aibė, kurios PT apibrėžiamas taip:

Apibrėžimas:neryški sankryža(Neaiškių aibių sankirta). A Ir B(simboline forma parašyta kaip , arba C=A IR B, arba C= A B) yra neaiški aibė, kurios PT apibrėžiamas taip:

Apibrėžimas:neaiškus papildymas. Papildymas A(simboline forma parašyta kaip arba) yra neryškus, kurio PT nustatomas taip:

2.6 paveiksle pateikiami neaiškių aibių neaiškių operacijų pavyzdžiai.

Ryžiai. 2.6. Neaiškių operacijų pavyzdžiai neaiškiose aibėse

Neaiškių rinkinių ypatybės

Atkreipkime dėmesį į svarbius neaiškių aibių teorijos bruožus.

1) Išskirtojo vidurio dėsnis Ir prieštaravimo dėsnis, kur yra tuščia aibė yra teisinga klasikinėje aibių teorijoje, tačiau neaiškių aibių teorijoje bendruoju atveju jie nėra įvykdyti.

Išskirtinio vidurio dėsnis ir prieštaravimo dėsnis neaiškioje teorijoje yra toks: ir .

2) Klasikinėje aibių teorijoje taškas iš rinkinio A gali turėti vieną iš dviejų galimybių: arba . Pagal neaiškią teoriją taškas gali priklausyti aibei A ir tuo pat metu nepriklauso A(ty priklauso rinkiniui) su skirtingomis narystės funkcijų reikšmėmis ir, kaip parodyta Fig. 2.7.