Kaip galite apibūdinti realiųjų skaičių aibę? Pamoka „tikriųjų skaičių rinkinys“

Jei racionaliųjų skaičių aibė papildyta iracionaliųjų skaičių aibe, tada jie kartu sudaro aibę realūs skaičiai. Realiųjų skaičių aibė dažniausiai žymima R raide; Jie taip pat naudoja simbolinį žymėjimą (-oo, +oo) arba (-oo, oo).

Realiųjų skaičių aibę galima apibūdinti taip: tai baigtinių ir begalinių aibė po kablelio; baigtiniai dešimtainiai skaičiai ir begalinės dešimtainės periodinės trupmenos yra racionalūs skaičiai, o begaliniai dešimtainiai neperiodinės trupmenos- neracionalūs skaičiai.

Kiekvienas realusis skaičius gali būti pavaizduotas tašku koordinačių tiesėje. Taip pat yra atvirkščiai: kiekvienas koordinačių linijos taškas turi realią koordinatę. Matematikai dažniausiai sako taip: tarp realiųjų skaičių aibės R ir koordinačių linijos taškų aibės nustatytas vienas su vienu atitikimas. Koordinačių linija yra realiųjų skaičių aibės geometrinis modelis; Dėl šios priežasties terminas skaičių eilutė dažnai vartojamas koordinačių linijai.

Pagalvokite apie šį terminą: ar jis jums neatrodo nenatūralus? Juk skaičius yra algebros objektas, o tiesė – geometrijos objektas. Ar čia yra „žanrų maišymas“? Ne, viskas logiška, viskas apgalvota. Šis terminas dar kartą pabrėžia vienybę įvairiose srityse matematika, tai leidžia
sąvokų „tikrasis skaičius“ ir „taškas koordinačių (skaitinėje) tiesėje“ identifikavimas.

Atkreipkite dėmesį: koordinačių liniją naudojate nuo 5 klasės. Tačiau pasirodo, kad jūsų žiniose buvo visiškai pagrįsta spraga: nebūtum radęs nė vieno koordinačių linijos taško koordinatės – mokytojas tiesiog apsaugojo jus nuo tokių bėdų.

Pažiūrėkime į pavyzdį. Duota koordinačių linija, ant jos vieneto segmentas buvo pastatytas kvadratas (100 pav.), koordinačių tiesėje nuo taško O į dešinę nubrėžta kvadrato OB įstrižainė, rezultatas – taškas D. Kokia taško D koordinatė? Jis lygus kvadrato įstrižainės ilgiui, t.y. Šis skaičius panašus į
Dabar žinome, kad tai nėra visuma ar dalis. Tai reiškia, kad nei 5-oje, nei 6-oje, nei 7-oje klasėje nepavyks rasti taško D koordinatės.

Štai kodėl iki šiol sakėme „koordinačių eilutę“, o ne „skaičių eilutę“.

Atkreipkite dėmesį, kad jūsų algebros žiniose buvo dar viena pateisinama spraga. Nagrinėdami išraiškas su kintamaisiais, mes visada manėme, kad kintamieji gali būti bet kokie galiojančios vertės, bet tik racionalius, nes kitų nebuvo. Tiesą sakant, kintamieji gali imtis
bet koks priimtinas tikrosios vertybės. Pavyzdžiui, tapatybėje
(a + b)(a-b) = a 2 -b 2 bet kurie skaičiai gali veikti kaip a ir b, nebūtinai
racionalus. Tai jau naudojome ankstesnės pastraipos pabaigoje. Tą patį naudojome 18 punkte – ypač šios pastraipos 6, 7, 8 pavyzdžiuose.

Realiesiems skaičiams a, b, c galioja įprasti dėsniai:
a + b = b + a;
ab = ba;

a + (b + c) = (a + b) + c

a(bc) =(ab)c
(a + b) c = ac + bc ir kt.
Taip pat galioja įprastos taisyklės: dviejų teigiamų skaičių sandauga (dalytuvas) yra teigiamas skaičius;
dviejų neigiamų skaičių sandauga (dalinys) yra teigiamas skaičius;
teigiamo ir neigiamo skaičiaus sandauga (dalinys) yra neigiamas skaičius.

Tikruosius skaičius galima palyginti vienas su kitu, naudojant šį apibrėžimą.

Apibrėžimas . Sakoma, kad tikrasis skaičius a yra didesnis (mažesnis) už realųjį skaičių b, jei jų skirtumas a - b yra teigiamas (neigiamas) skaičius. Parašykite a > b (a< b).

Iš šio apibrėžimo matyti, kad kiekvienas teigiamas skaičius a didesnis už nulį(nes skirtumas a - 0 = a yra teigiamas skaičius), o bet koks neigiamas skaičius b mažiau nei nulis(kadangi skirtumas b - 0 = b yra neigiamas skaičius).

Taigi, a > 0 reiškia, kad a yra teigiamas skaičius;
A< 0 означает, что а — отрицательное число;
a>b reiškia, kad a -b yra teigiamas skaičius, t.y. a - b > 0;
a tie. a - b< 0.
Kartu su ženklais griežta nelygybė (<, >) naudokite silpnos nelygybės požymius:
a 0 reiškia, kad a yra didesnis už nulį arba lygus nuliui, tai yra, a yra neneigiamas skaičius (teigiamas arba 0), arba kad a yra ne mažesnis už nulį;
ir 0 reiškia, kad a yra mažesnis už nulį arba lygus nuliui, t. y. a - ne teigiamas skaičius(neigiamas arba 0), arba kad a nėra didesnis už nulį;
ir b reiškia, kad a yra didesnis arba lygus b, tai yra, a - b yra neneigiamas skaičius arba kad a yra ne mažesnis už b; a - b 0;
ir b reiškia, kad a yra mažesnis arba lygus b, tai yra, a - b yra neteigiamas skaičius arba kad a nėra didesnis už b; a-b 0.
Pavyzdžiui, bet kuriam skaičiui a nelygybė a 2 0 yra teisinga;
bet kurių skaičių a ir b nelygybė (a - b) 2 0 yra teisinga.
Tačiau norint palyginti realius skaičius, nebūtina kiekvieną kartą skaičiuoti jų skirtumo ir išsiaiškinti, ar jis teigiamas, ar neigiamas. Galite padaryti atitinkamą išvadą palyginę skaičius dešimtainių trupmenų pavidalu.

Realiųjų skaičių aibės geometrinis modelis, ty skaičių eilutė, ypač aiškiai išryškina skaičių palyginimo operaciją: iš dviejų skaičių a, b didesnis yra tas, kuris yra skaičių tiesėje dešinėje.

Taigi, lyginant realius skaičius reikia žiūrėti gana lanksčiai, ką mes naudojame kitame pavyzdyje.

1 pavyzdys. Palyginkite skaičius:

2 pavyzdys. Išdėstykite skaičius didėjančia tvarka

Realiųjų skaičių aibė yra racionaliųjų skaičių komplemento rinkimas iracionaliaisiais. Šis rinkinys žymimas raide R, o kaip simbolį įprasta naudoti užrašą (-∞, +∞) arba (-∞,∞).

Realiųjų skaičių aibę galima apibūdinti taip: tai yra baigtinių ir begalinių dešimtainių trupmenų rinkinys, baigtinės dešimtainės trupmenos ir begalinės dešimtainės periodinės trupmenos yra racionalieji skaičiai, o begalinės dešimtainės ir neperiodinės trupmenos yra neracionalieji skaičiai.
Bet koks realus skaičius gali būti nurodytas koordinačių eilutėje. Taip pat tinka ir atvirkštinis teiginys: bet kuris koordinačių linijos taškas turi realią koordinatę. Įjungta matematinė kalba tai skamba taip: tarp koordinačių linijos taškų aibės ir realiųjų skaičių aibės R galima nustatyti ryšį vienas su vienu. Pačiai koordinačių linijai dažnai naudojamas terminas „skaičių linija“, nes koordinačių linija yra geometrinis realiųjų skaičių rinkinio modelis.
Pasirodo, jūsų pažintis su koordinačių linija buvo seniai, tačiau ja naudotis pradėsite tik dabar. Kodėl? Atsakymą galite rasti pavyzdyje iš vaizdo įrašo vadovėlio.

Yra žinoma, kad realiesiems skaičiams a ir b tenkinami jums jau gerai žinomi sudėjimo ir daugybos dėsniai: komunikacinis sudėjimo dėsnis, komutacinis daugybos dėsnis, asociatyvinis sudėjimo dėsnis, santykinis daugybos skirstomasis dėsnis. prie papildymo ir kt. Pavaizduokime kai kuriuos iš jų:
a + b = b + a;
ab = ba;
a + (b + c) = (a + b) + c;
a(bc) = (ab)c;
(a + b)c = ac + bc
Taip pat atliekama laikantis taisyklių:
1. Dviejų neigiamų skaičių sandaugos (dalyvio) rezultate gaunamas teigiamas skaičius.
2. Neigiamojo ir teigiamo skaičiaus sandaugos (dalinio) rezultate gaunamas neigiamas skaičius.
Galite palyginti tikrus skaičius tarpusavyje pagal apibrėžimą:
Realusis skaičius a yra didesnis arba mažesnis už realųjį skaičių b, jei skirtumas a - b yra teigiamas arba neigiamas skaičius.
Rašoma taip: a > b, a< b.
Tai reiškia, kad a yra teigiamas skaičius, o b yra neigiamas skaičius.
Tai yra tuo atveju, kai a > 0 => a yra teigiamas;
a< 0 =>neigiamas;
a > b, tada a - b yra teigiamas => a - b > 0;
a< b, то a - b отрицательное =>a-b< 0.
Be ženklų (<; >) griežtos nelygybės, naudojami ir negriežtų nelygybių ženklai - (≤;≥).
Pavyzdžiui, bet kuriam skaičiui b galioja nelygybė b2 ≥ 0.
Skaičių palyginimo ir jų išdėstymo didėjimo tvarka pavyzdžius galite pamatyti vaizdo pamokoje.
Ačiū geometrinis modelis realiųjų skaičių rinkinys – skaičių eilutė, palyginimo operacija atrodo ypač aiškiai.

Pagrindinė nuosavybė algebrinė trupmena

Tęsiame pažintį su algebrinėmis trupmenomis. Jei ankstesnėje pamokoje buvo kalbama apie pagrindines sąvokas, tada šioje pamokoje sužinosite apie pagrindinę algebrinės trupmenos savybę. Pagrindinės trupmenos savybės apibrėžimas žinomas iš 6 klasės matematikos kurso (redukuojančios trupmenos). Iš ko jis susideda? Neretai sprendžiant uždavinius ar lygtis atsiranda būtinybė vieną „nepatogų“ skaičiavimams trupmeną paversti kita, „patogia“. Norėdami atlikti tokias transformacijas, turite žinoti pagrindinę jo savybę ir ženklų keitimo taisykles, su kuriomis susipažinsite žiūrėdami vaizdo pamoką.

Paprastosios trupmenos reikšmė išliks tokia pati, kai skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį). Tai yra pagrindinė trupmenos savybė.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
7/9 = 14/18
Turime dvi trupmenas, kurios yra identiškos viena kitai. Skaitiklis ir vardiklis in šiuo atveju padauginta iš 2, tačiau trupmenos reikšmė nepasikeitė.
Iš vaizdo įrašo pamokos sužinosite, kas nutinka trupmenai, kai skaitiklis ir vardiklis dalijami iš to paties skaičiaus.
Algebrinė trupmena iš esmės yra ta pati bendroji trupmena, su juo galite atlikti tuos pačius veiksmus kaip ir su paprastu.
Išraiška skaitiklyje ir išraiška trupmenos vardiklyje gali būti padauginta arba padalinta iš tos pačios raidinės ir skaitmeninės išraiškos (polinomo arba vienanario), to paties skaičiaus (išskyrus nulį: jei išraiška arba skaičius vardiklio trupmenose, padaugintas iš nulio , tai bus nulinė vertė ir, kaip žinote, negalite padalyti iš nulio). Ši algebrinės trupmenos transformacija vadinama jos redukcija. Tai yra pagrindinė algebrinės trupmenos savybė. Kaip tai įgyvendinti praktiškai, galite sužinoti iš vaizdo įrašo vadovėlio.
Trupmenų konvertavimas į trupmenas su tie patys vardikliai vadinama mažinant trupmenas iki bendro vardiklio. Atlikti šio veiksmo būtina atlikti tam tikrą veiksmų seką, kurią sudaro:

Išskaidę visus vardiklius, nustatome LCM skaitiniai koeficientai.
. Surašome produktą, atsižvelgdami į LCM koeficientus ir visus raidžių koeficientus. Jei daugikliai yra vienodi, paimkite daugiklį vieną kartą. Iš visų laipsnių, kad identiškais pagrindais, paimkite daugiklį su maksimalus indikatorius laipsnių.
. Mes nustatome vertes, kurios yra papildomi kiekvienos trupmenos skaitiklio veiksniai.
. Kiekvienai trupmenai nustatome naują skaitiklį - kaip senojo skaitiklio ir papildomo koeficiento sandaugą.
. Užrašome trupmenas su nauju skaitikliu, kurį nustatėme, ir bendru vardikliu.

1 pavyzdys: Sumažinkite šias trupmenas a/4b2 b a2/6b3 iki bendro vardiklio.
Sprendimas:
Norėdami pradėti, apibrėžkime bendras vardiklis. (Jis lygus 12b2).
Tada, vadovaudamiesi algoritmu, kiekvienai trupmenai nustatome papildomą koeficientą. (Pirmam - 3b, antram - 2).
Atlikę dauginimą gauname rezultatą.
(a*3b)/(4b2*3b) = 3ab/12b3 ir (a2*2)/(6b2*2) = 2a2/12b2.
2 pavyzdys: Sumažinkite trupmenas c/(c - d) ir c/(c + d) iki bendro vardiklio.
Sprendimas:
(c+d)(c-d)=c2-d2
c*(c + d)/(c – d)(c + d) = (c2 + cd)/(c2 – d2)
c*(c – d)/(c + d)(c – d) = (c2 – cd)/(c2 – d2)

Daugiau detalus sprendimas panašių pavyzdžių rasite vaizdo pamokoje.
Pagrindinė algebrinės trupmenos savybė turi pasekmes ženklų keitimo taisyklės forma:
a - b/c - d = b - a/d - c
Šiuo atveju trupmenos skaitiklis ir vardiklis buvo padauginti iš -1. Panašūs veiksmai gali būti atliekami ne su visa trupmena, o tik su skaitikliu arba tik su vardikliu. Kaip pasikeis rezultatas, jei, pavyzdžiui, iš -1 bus padaugintas tik skaitiklis arba tik vardiklis, sužinosite pažiūrėję video pamoką.
Dabar, ištyrę pagrindinę algebrinės trupmenos savybę ir iš jos išplaukiančią taisyklę, galime išspręsti daugiau sudėtingos užduotys, būtent: trupmenų atėmimas ir pridėjimas. Bet tai jau kitos pamokos tema.

Tai viena iš pagrindinių neapibrėžtų matematikos sąvokų. Aibė suprantama kaip kažkokių objektų, kuriuos vienija kokia nors savybė, rinkinys (kolekcija, klasė, šeima...). Taigi galime kalbėti apie daugybę instituto studentų, apie daugybę žuvų Juodojoje jūroje, apie daugybę lygties x 2 + 2x + 2 = 0 šaknų, apie daug visi natūralieji skaičiai ir kt.

Objektai, sudarantys aibę, vadinami jos elementais. Aibės paprastai žymimos didžiosiomis raidėmis Lotynų abėcėlė A, B,..., X, Y,..., ir jų elementai - mažosiomis raidėmis a, b,... ..., x, y,...

Jei elementas x priklauso aibei X, tai parašykite x О X; įrašyti xÏ X arba x Î X reiškia, kad elementas x nepriklauso aibei X.

Pavyzdžiui, žymėjimas A=(1,3,15) reiškia, kad aibė A susideda iš trijų skaičių 1, 3 ir 15; žymėjimas A=(x:0≤x≤2) reiškia, kad aibę A sudaro visi tikrieji (jei nenurodyta kitaip) skaičiai, tenkinantys nelygybę 0 ≤ x ≤ 2.

Daugelis A vadinamas aibės B poaibiu, jei kiekvienas aibės A elementas yra aibės B elementas. Simboliškai tai žymima kaip AÌ B („A įtraukta į B“) arba BÉ A („aibė B apima rinkinys A“).

Jie taip sako rinkiniai A ir B yra lygūs arba vienodi ir parašykite A=B, jei AÌ B ir BÌ A. Kitaip tariant, rinkiniai, susidedantys iš tų pačių elementų, vadinami lygiais.

asociacija aibių A ir B suma (arba suma) yra aibė, susidedanti iš elementų, kurių kiekvienas priklauso bent vienai iš šių aibių. Aibių sąjunga (suma) žymima AUB (arba A+B). Trumpai tariant, galite parašyti АУВ = (x: xєA arba xєB).

Aibių A ir B sankirta (arba sandauga) yra aibė, susidedanti iš elementų, kurių kiekvienas priklauso aibėms A ir aibėms B. Aibių sankirta (sandauga) žymima A∩B (arba A*B). Trumpai galime parašyti A∩B=(x:xєA ir xєB)

Ateityje, norėdami sutrumpinti įrašus, naudosime kelis paprastus loginius simbolius:

ΑÞ ß - reiškia „iš sakinio α seka sakinys ß“;

ΑÛ ß - „teiginiai α ir ß yra lygiaverčiai“, tai yra, iš α seka ß, o iš ß seka α;

" - reiškia "bet kam", "visiems";

$ - „egzistuoja“, „bus rasta“;

: - „vyksta“, „tokia“;

→ - „atitikimas“.

Pavyzdžiui:
1) įrašas „xО А:α“ reiškia: „kiekvienam elementui xО А galioja teiginys α“;
2) (х єA U В)<==>(x є A arba x є B); šis įrašas apibrėžia aibių A ir B sąjungą.

13.2. Skaitmeninis rinkiniai. Realiųjų skaičių rinkinys

Aibės, kurių elementai yra skaičiai, vadinamos skaitinėmis. Skaičių rinkinių pavyzdžiai:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - natūraliųjų skaičių aibė;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - neneigiamų sveikųjų skaičių aibė;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - sveikųjų skaičių aibė;

Q=(m/n: mО Z,nО N) - racionaliųjų skaičių aibė.

R realiųjų skaičių aibė.

Tarp šių rinkinių yra ryšys

NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.

Daugelis R yra racionalieji ir neracionalieji skaičiai. Kiekvienas racionalus skaičius išreiškiamas kaip baigtinė dešimtainė trupmena arba kaip begalinė periodinė trupmena. Taigi, 1/2 = 0,5 (= 0,500...), 1/3 = 0,333... yra racionalūs skaičiai.

Vadinami realieji skaičiai, kurie nėra racionalūs neracionalus.

13.1 teorema.

Nėra racionalaus skaičiaus, kurio kvadratas lygus skaičiui 2.

▼Tarkime, kad yra racionalusis skaičius, pavaizduotas nesumažinamąja trupmena m/n, kurio kvadratas lygus 2. Tada turime:

(m/n) 2 = 2, t. y. m 2 = 2n 2.

Iš to išplaukia, kad m 2 (taigi ir m) - lyginis skaičius, t.y. m=2k. Pakeitę m=2k į lygybę m 2 =2n 2, gauname 4k 2 = 2n 2, ty 2k 2 =n 2,

Iš to seka, kad skaičius yra n lyginis, t.y. n=2l Bet tada trupmena m/n=2k/2l yra redukuojama. Tai prieštarauja prielaidai, kad m/n yra neredukuojama trupmena. Todėl nėra racionalaus skaičiaus, kurio kvadratas būtų lygus skaičiui 2. ▲

Ir racionalus skaičius išreiškiamas kaip begalinė neperiodinė trupmena. Taigi, √2=1,4142356... yra neracionalūs skaičiai. Galime sakyti: realiųjų skaičių aibė yra visų begalinių dešimtainių trupmenų aibė. Ir užsirašyk

R=(x: x=α,α 1 α 2 α 3 ...), kur aєZ, o i є(0,1,...,9).

Daugelis R realieji skaičiai turi tokias savybes.

1. Užsakoma: bet kokiems dviems skirtingi skaičiaiα ir b galioja vienas iš dviejų ryšių: a

2. Daugelis R yra tankus: tarp bet kurių dviejų skirtingų skaičių a ir b yra begalinė realiųjų skaičių x aibė, tai yra skaičių, atitinkančių nelygybę a<х

Taigi, jei a

3. Daugelis R tęstinis. Tegul aibė R yra padalinta į dvi netuščias klases A ir B taip, kad kiekvienas tikrasis skaičius būtų tik vienoje klasėje ir kiekvienai skaičių porai aєA ir bєB nelygybė a

Tęstinumo savybė leidžia nustatyti „vienas su vienu“ atitiktį daug visų realiųjų skaičių ir visų tiesės taškų aibės. Tai reiškia, kad kiekvienas skaičius xєR atitinka tam tikrą (vieną) skaitinės ašies tašką ir, atvirkščiai, kiekvienas ašies taškas atitinka tam tikrą (vieną) realųjį skaičių. Todėl vietoj žodžio „skaičius“ jie dažnai sako „taškas“.

13.3 Skaitiniai intervalai. Taško kaimynystė

Tegul a ir b yra tikrieji skaičiai, o a
Skaitiniai intervalai(intervalai) yra visų realiųjų skaičių poaibiai, turintys tokią formą:

= (x: α ≤ x ≤ b) - atkarpa (segmentas, uždaras intervalas);
(a;) = (x: a< х < b} - интервал (открытый промежуток);
= (x:a< х ≤ b} - полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);
(-∞; b] = (x: x ≤ b); [α, +∞) = (x: x ≥ α);
(-∞; b) = (x: x A);
(-∞, ∞) = (x: -∞<х<+∞} = R - бесконечные интервалы (промежутки).

Skaičiai a ir b vadinami atitinkamai kairiuoju ir dešiniuoju šių intervalų galais. Simboliai -∞ ir +∞ nėra skaičiai, jie simbolizuoja neribotą skaičių ašies taškų pašalinimo nuo pradžios 0 į kairę ir dešinę procesą.

Tegul x o yra bet koks realusis skaičius (taškas skaičių tiesėje). Taško xo kaimynystė yra bet koks intervalas (a; b), kuriame yra taškas x0. Konkrečiai, intervalas (x o -ε,x o +ε), kur ε >0, vadinamas taško x o ε kaimynyste. Skaičius xo vadinamas centru.

Jei x Î (x 0 -ε; x 0 +ε), tada tenkinama nelygybė x 0 -ε<х<х 0 +ε, или, что то же, |х-х о |<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в ε -окрестность точки х о (см. рис. 97).

Trečioje eilutėje yra atitinkamai trys skaičiai kiekvienai kubinei lygčiai. užsakytas ketvertas ir kt.

Tai. gauname matricą, kurią galima pereiti naudojant Kantoro įstrižainės procesą. Jei kai kurios algebrinės lygties šaknys yra sudėtingos, numeruodami jas tiesiog praleidžiame. Tai. kiekviena algebrinis skaičius gaus atitinkamą skaičių, ir tai patvirtina faktą, kad algebrinių realiųjų skaičių aibė suskaičiuojamai .

Faktas efektyvus išvardijamumas aibė A tiesiogiai išplaukia iš pateikto elementų numeravimo natūraliaisiais skaičiais metodo, nes tuo pat metu nurodoma efektyvi racionaliųjų skaičių aibių, vienareikšmiškai apibrėžiančių atitinkamo laipsnio algebrines lygtis, numeravimo procedūra. Svarbu, kad n-ojo laipsnio algebrinė lygtis turėtų efektyvų sprendimo algoritmą, t.y. procedūra yra visiškai veiksminga. Taigi, algebrinių realiųjų skaičių aibė yra skaičiuojama ir efektyviai suskaičiuojama, Q.E.D.

Taip pat bus skaičiuojamos aibės, sudarytos iš visų algebrinių skaičių porų, trynukų ir kt.

2.3.7. Suskaičiuojamų skaičių aibės: apibendrinimas

T.2 teorema (be įrodymo)

Elementų, kuriuos galima pavaizduoti naudojant baigtinį skaičių skaičiuojamų simbolių, rinkinys yra skaičiuojamas.

Realiame gyvenime naudojame įvairias baigtinių ženklų sistemas, tokias kaip skaičius, raides, natas.

Panagrinėkime ženklų sistemą, pavyzdžiui, skaičius bet kurioje baigtinių skaičių sistemoje, tarkime, dešimtainę. Turėdami 10 simbolių: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, galime sukurti dviejų tipų rinkinius: fiksuoto ilgio ir savavališko ilgio.

Pirmuoju atveju kalbame apie grynai kombinacinę problemą, pavyzdžiui, galite sukurti 105 skirtingas penkių simbolių sekas. Tai gana didelis skaičius, tačiau tai yra natūralusis skaičius ir visų galimų tokio pobūdžio sekų nagrinėjamos aibės kardinalumas išreiškiamas natūraliuoju skaičiumi. Antruoju atveju tokių sekų aibė bus skaičiuojamai begalinė, pagal analogiją su natūraliųjų skaičių kompleksų aibėmis, o jos kardinalumas yra skaičius aleph-nulis.

Galima apibendrinti, kad aibė, gauta taikant 2.3.(7) teoremą, bus skaičiuojamai begalinė, jei baigtinės ženklų sistemos atveju leidžiami savavališkai ilgi ženklų kompleksai (kiek norima, bet vis tiek baigtinis!).

Suskaičiuojami begaliniai yra, pavyzdžiui:

· „žodžių“ rinkinys, kurį galima sudaryti naudojant baigtinę abėcėlę („žodis“ čia yra raidžių kompleksas, nesvarbu, ar jie turi reikšmę, ar ne),

· visų knygų, parašytų bet kuria ar net visomis kalbomis, rinkinys,

· visų simfonijų rinkinys ir kt.

§ 2.4. Nesuskaičiuojami rinkiniai

2.4.1. Realiųjų skaičių aibės nesuskaičiuojamumas (kontinuumas)

Realiųjų skaičių aibę žymime lotyniška raide R.

T.2 teorema

Realiųjų skaičių aibė nesuskaičiuojama.

Įrodymas

Tarkime priešingai, tegul realiųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tada bet kuris skaičiuojamos aibės poaibis taip pat yra skaičiuojamas. Realiųjų skaičių aibėje paimkime poaibį R1 – intervalą (0,1) ir iš šio segmento išimkime skaičius, kurių bent viename skaitmenyje yra nuliai arba devyni (tokių skaičių pavyzdžiai: 0,9, 0,0001 ir kt.). ). Aibė R2, sudaryta iš likusių skaičių, yra aibės R1 poaibis. Tai reiškia, kad R2 yra skaičiuojamas.

Iš to, kad R2 yra skaičiuojamas, tiesiogiai išplaukia, kad tam tikru būdu galima suskaičiuoti jo elementus, kad būtų nustatytas vienas su vienu atitikimas tarp R2 elementų ir natūraliųjų skaičių aibės elementų. Tai išplaukia iš paties aibės kardinalumo apibrėžimo, pagal kurį daroma prielaida, kad vienodo kardinalumo aibėse kiekvienas vienos aibės elementas turi suporuotą elementą iš kitos aibės ir atvirkščiai. Atkreipkite dėmesį, kad esminis skirtumas tarp šio apibrėžimo ir efektyvaus išvardinamumo apibrėžimo yra tas, kad šiuo atveju mes net nekalbame apie jokio surašymo algoritmo buvimą, tiesiog teigiame, kad galima pateikti realiųjų skaičių sąrašą iš aibė R2 ir atitinkamų natūraliųjų skaičių sąrašas iš aibės N. Šiuo atveju mums neįdomus ryšio N ↔ R2 konstravimo algoritmas, pakanka, kad toks atitikimas būtų įmanomas.

Iš aibės R2 sudarykime tokį skaičių sąrašą ir sunumeruosime skaičius skaitmenimis:

Dabar sukurkime skaičių b=0.b1b2…, ir

bi=aii+1, kur + žymi sudėjimo operaciją, kurios rezultatas negali būti skaičiai 0 ir 9, t.y., jei aii=1, tai bi=2; jei aii=2, tai bi=3, ...., jei aii=8, tai bi=1).

Taigi sudarytas skaičius b skirsis nuo kiekvieno aibės R2 skaičiaus bent vienu skaitmeniu, todėl nebus įtrauktas į sudarytą sąrašą. Tačiau pagal savo struktūrą skaičius b turi būti aibėje R2. Gauname prieštaravimą, o tai reiškia, kad pradinė prielaida yra neteisinga ir aibė R2 yra neskaičiuojama.

Kadangi aibė R2 pagal sąlygą yra aibės R1 poaibis, tai R1 yra neskaičiuojamas, o kadangi R1 yra neskaičiuojamas, tai aibė R yra neskaičiuojama, Q.E.D.

Pastaba: Nereikia išmesti skaičių, kuriuose yra 0 ir 9. Taigi kai kurie skaičiai mūsų serijoje bus rodomi du kartus. Taip yra todėl, kad baigtinės trupmenos gali būti paverstos begalinėmis trupmenomis. Pavyzdžiui, ½=0,5=0,5(0)=0,4(9).

Apskritai tai gali būti priežastis, dėl kurios nebuvo įmanoma suskaičiuoti realiųjų skaičių aibės. Tačiau skaičių rinkinys, kurį galima pavaizduoti dviem būdais (baigtinėmis trupmenomis), yra racionaliųjų skaičių aibė. Kaip buvo įrodyta anksčiau, jų yra nesuskaičiuojamas skaičius. Galima netgi parodyti, kad šis rinkinys yra veiksmingai suskaičiuojamas. Tai. net dvigubas tokių skaičių aibės atvaizdavimas sudaro skaičiuojamą aibę, todėl įrodymas teisingas ir be tokio supaprastinimo.

Gautas iš esmės naujas rezultatas – rasta nesuskaičiuojama skaičių aibė. Jo galia, remiantis įrodyta teorema, nėra lygi aleph-nulis (À0), o tai reiškia, kad transfinite skalėje reikia naujo skaičiaus.

Alefas ( À) – antrasis beribinis skaičius. Pagal apibrėžimą tai yra kontinuumo (visų realiųjų skaičių) galia. Tai antra pagal dydį begalinė galia. Ką tik įrodyta teorema 2.4.(1) apie realiųjų skaičių aibės nesuskaičiuojamumą yra įtikinamas įrodymas, kad šios aibės kardinalumas yra didesnis už aleph-nulis (didesnis už natūraliųjų skaičių aibę). Ir tai yra labai svarbus rezultatas po daugybės įvairių skaičių aibių suskaičiuojamumo įrodymų.

Jei operuojame su kardinalaus skaičiaus (laipsnio) sąvoka, gauname, kad kiekvienas atkarpos skaičius (0,1) gali būti pavaizduotas dešimtaine trupmena formos 0.a1a2a3... bent vieną kartą ir ties dažniausiai du kartus, tada:

À≤10À0≤ 2À ,

o kadangi 2À=À, gauname, kad 10 À0= À. Tas pats samprotavimas galioja, jei skaičius išskaidome ne į dešimtaines dalis, o, pavyzdžiui, į dvejetaines trupmenas, trupmenas, kurių bazė yra 3, 15, 10005 ar net À0 (jei taip įsivaizduojate).

Tai. À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0

Jei gerai pagalvosite, iš aibių teorijos galite atrasti dar vieną ne visai akivaizdų faktą. À2=À À yra realiųjų skaičių porų aibės laipsnis. Realiųjų skaičių pora, paprastai kalbant, atitinka tašką plokštumoje. Savo ruožtu À3=À À À yra realiųjų skaičių tripletų aibės laipsnis, o tai yra erdvės taškai. Samprotavimą galima tęsti iki À0 – matmenų erdvės arba visų skaičiuojamo ilgio realiųjų skaičių sekų rinkinio. Tai. visos baigtinių ar skaičiuojamų matmenų erdvės turi tą patį kardinalumą À (čia À yra taškų skaičius erdvėje).

0 matmenų realiajai erdvei arba visų skaičiuojamo ilgio realiųjų skaičių aibei, operacijų su kardinaliais skaičiais požiūriu, gauname ÀÀ0=(2À0)À0=2À0∙À0=2À0=À.

Šiuo metu bus įdomu pažvelgti į istorinius įvykius, susijusius su daugybe įrodymų šioje srityje. Matematikai, nors ir ne iš karto, galiausiai susitaikė su tuo, kad begalinėje tiesėje taškų yra tiek, kiek atkarpoje. Tačiau kitas Kantoro rezultatas buvo dar netikėtesnis. Ieškodamas rinkinio, kuriame būtų daugiau elementų nei atkarpa tikrojoje ašyje, jis atkreipė dėmesį į kvadrato taškų rinkinį. Iš pradžių abejonių dėl rezultato nekilo: juk visa atkarpa yra vienoje kvadrato pusėje, o visų atkarpų, į kurias galima išskaidyti kvadratą, aibė turi tokį patį kardinalumą kaip ir kvadrato taškų aibė. segmentas. Beveik trejus metus (nuo 1871 m. iki 1874 m.) Kantoras ieškojo įrodymų, kad atkarpos taškų ir kvadrato taškų vienas su vienu atitikimas neįmanomas. Ir kažkuriuo metu visiškai netikėtai pasirodė visiškai priešingas rezultatas: jam pavyko sukonstruoti korespondenciją, kurią nuoširdžiai laikė neįmanomu. Kantoras netikėjo savimi ir net parašė vokiečių matematikui Richardui Dedekindui: „Matau, bet netikiu“. Kai šio fakto šokas praėjo, intuityviai tapo aišku ir netrukus įrodyta, kad kubas turi tiek pat taškų, kiek atkarpa. Paprastai tariant, bet kuri geometrinė figūra plokštumoje (geometrinis kūnas erdvėje), kurioje yra bent viena linija, turi tiek pat taškų, kiek atkarpa. Tokios aibės buvo vadinamos kontinuumo galių rinkiniais (iš lot. continuum – tęstinis). Kitas žingsnis yra beveik akivaizdus: erdvės matmuo tam tikrose ribose yra nesvarbus. Pavyzdžiui, dvimatė plokštuma, 3-matė pažįstama erdvė, 4, 5 ir kitos n-matės erdvės yra vienodos galios taškų, esančių atitinkamame n-mačiame kūne, skaičiumi. Ši situacija bus stebima net ir esant begaliniam matmenų skaičiui erdvės, svarbu tik, kad šis skaičius būtų skaičiuojamas.

Šiame etape buvo atrasti dviejų tipų begalybės ir atitinkamai du transfinitiniai skaičiai, nurodantys jų galias. Pirmojo tipo aibės turi galią, lygią natūraliųjų skaičių galiai (aleph-nulis). Antrojo tipo aibės kardinalumas atitinka realiosios ašies taškų skaičių (kontinuumo kardinalumas, alefas). Parodyta, kad antrojo tipo rinkiniai turi daugiau elementų nei pirmojo tipo aibės. Natūralu, kad kyla klausimas: ar gamtoje yra „tarpinė“ aibė, kurios kardinalumas būtų didesnis už natūraliųjų skaičių skaičių, bet tuo pat metu mažesnis už tiesės taškų aibę? Šis sudėtingas klausimas vadinamas „Tęstinumo problema“ . Ji taip pat žinoma kaip „tęstinumo hipotezė“ arba " Pirmoji Hilberto problema“. Tiksli formuluotė yra tokia:

https://pandia.ru/text/78/390/images/image023_14.gif" height="10 src="> XDIV_ADBLOCK10">
Dėl to po daugybės kontinuumo hipotezės tyrinėjimų 1938 metais vokiečių matematikas Kurtas Gödelis įrodė, kad tarpinės galios egzistavimas neprieštarauja kitoms aibių teorijos aksiomoms. Ir vėliau, į Beveik vienu metu, bet nepriklausomai vienas nuo kito, amerikiečių matematikas Cohenas ir čekų matematikas Vopenka parodė, kad tokios tarpinės galios buvimas negali būti išvestas iš kitų aibių teorijos aksiomų. Beje, įdomu pastebėti, kad šis rezultatas labai panašus į istoriją su lygiagrečių linijų postulatu. Kaip žinoma, du tūkstančius metų jie bandė jį išvesti iš kitų geometrijos aksiomų, tačiau tik po Lobačevskio, Hilberto ir kitų darbų pavyko gauti tą patį rezultatą: šis postulatas neprieštarauja kitoms aksiomoms, bet negali. iš jų galima spręsti.

2.4.2. Sudėtingųjų, transcendentinių ir iracionaliųjų skaičių rinkiniai

Be realiųjų skaičių aibės, pateikiame dar keletą nesuskaičiuojamų aibių.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image010_26.gif" width="81" height="76"> T.2.4.(2) teorema

Kompleksinių skaičių aibė yra nesuskaičiuojama.

Įrodymas

Kadangi realiųjų skaičių aibė R, nesuskaičiuojama pagal anksčiau įrodytą 2.4.(1) teoremą, yra kompleksinių skaičių aibės C poaibis, tai kompleksinių skaičių aibė taip pat neskaičiuojama, Q.E.D.

Transcendentinis skaičius – realusis skaičius, kuris nėra algebrinis.

Transcendentinių skaičių aibę žymime lotyniška raide T. Kiekvienas transcendentinis tikrasis skaičius yra neracionalus, bet atvirkščiai nėra tiesa. Pavyzdžiui, skaičius yra neracionalus, bet ne transcendentinis: jis yra lygties šaknis x 2 − 2=0.

T.2 teorema

Transcendentinių skaičių aibė nesuskaičiuojama.

Įrodymas

Kadangi tikrieji skaičiai yra nesuskaičiuojama aibė, o algebriniai skaičiai yra skaičiuojami, o aibė A yra R poaibis, tai R\A (transcendentinių skaičių aibė) yra neskaičiuojama aibė, Q.E.D.

Šį paprastą transcendentinių skaičių egzistavimo įrodymą Cantor paskelbė 1873 m. ir padarė didelį įspūdį mokslo bendruomenei, nes jis įrodė daugelio skaičių egzistavimą nepateikdamas nė vieno konkretaus pavyzdžio, o tik remiantis bendrais samprotavimais. Sakoma, kad iš šio įrodymo negalima išgauti jokio konkretaus transcendentinio skaičiaus pavyzdžio nekonstruktyvus .

Svarbu pažymėti, kad ilgą laiką matematikai nagrinėjo tik algebrinius skaičius. Reikėjo nemažai pastangų surasti net kelis transcendentinius skaičius. Pirmą kartą tai padarė prancūzų matematikas Liouville'is 1844 m., įrodęs teoremų rinkinį, leidžiantį sukurti konkrečius tokių skaičių pavyzdžius. Pavyzdžiui, transcendentinis skaičius yra skaičius 0,..., kuriame po pirmojo vieneto yra vienas nulis, po antrojo - du, po trečiojo - 6, po n-ojo atitinkamai n! nuliai.

Įrodyta, kad bet kurio sveikojo skaičiaus, išskyrus 10, dešimtainis logaritmas yra transcendentinis. n. Taip pat transcendentinių skaičių rinkinys apima nuodėmę α, cos α ir tg α bet kokiam algebriniam skaičiui, kuris nėra nulis α . Ryškiausiais transcendentinių skaičių atstovais dažniausiai laikomi skaičiai π Ir e. Beje, skaičiaus transcendencijos įrodymas π 1882 m. vokiečių matematiko Karlo Lindermano atliktas projektas buvo didelis mokslinis įvykis, nes reiškė, kad neįmanoma išlyginti apskritimo kvadratu. Apskritimo kvadrato suradimo istorija truko keturis tūkstantmečius, o pats terminas tapo neišsprendžiamų problemų sinonimu.

Matavimo vienetas" href="/text/category/edinitca_izmereniya/" rel="bookmark">apskritimo spindulio matavimo vienetas ir nurodykite x reikiamo kvadrato kraštinės ilgis, tada problema redukuojama iki lygties sprendimo: x 2 = π, iš kur: . Kaip žinote, kompaso ir liniuotės pagalba galite atlikti visus 4 aritmetines operacijas ir ištraukimas kvadratinė šaknis. Tai reiškia, kad apskritimo kvadratas įmanomas tada ir tik tada, kai panaudojus baigtinį tokių veiksmų skaičių galima sukurti π ilgio atkarpą. Taigi šios problemos neišsprendžiamumas išplaukia iš skaičiaus nealgebriškumo (transcendencijos). π. Tiesą sakant, apskritimo kvadratūros problema yra sumažinta iki trikampio, kurio pagrindas πr ir aukštis r, sukūrimo. Tada jai galima lengvai sukonstruoti vienodą kvadratą.

Anksčiau minėtame 23 sąraše kardinalios problemos Matematikos skaičius 7 buvo problema, susijusi su tam tikru būdu suformuotų skaičių transcendencija.

Septintoji Hilberto problema. Tegul a --- teigiamas algebrinis skaičius nelygus 1, b --- neracionalu algebrinis skaičius. Įrodykite, kad ab yra transcendentinis skaičius.

1934 metais sovietinis matematikas Gelfondas ir kiek vėliau vokiečių matematikas Schneideris įrodė šio teiginio pagrįstumą ir taip ši problema buvo išspręsta.

Dar du yra susiję su skaičių padalijimo į racionalųjį ir neracionalųjį principu įdomių faktų, ne iš karto suvokiama kaip tiesa.

T.2.4.(5) Teorema

Tarp bet kurių dviejų skirtingų racionaliųjų skaičių visada yra neracionaliųjų tęstinumo galios skaičių rinkinys.

Įrodymas

Tegul būna du racionalūs skaičiai, a Ir b. Sukurkime tiesinę, taigi ir „vienas su vienu“ funkciją f(x) = (x - a) / (b - a). Nes f(a) = 0 ir f(b) = 1, tada f(x) atvaizduoja segmentą [ a; b] į segmentą , išlaikant skaičių racionalumą. Todėl aibių galios [ a; b] ir realieji skaičiai yra lygūs, ir, kaip buvo įrodyta, atkarpos galia lygi kontinuumo galiai. Iš gautos aibės pasirinkę tik neracionalius skaičius, gauname, kad tarp bet kurių dviejų racionaliųjų skaičių visada yra iracionaliųjų skaičių kontinuumas, Q.E.D.

Apskritai ši teorema intuityviai atrodo gana logiška. Tai, iš pirmo žvilgsnio, vertinama skeptiškai.

T. 2.4.(6) teorema

Tarp bet kurių dviejų skirtingų neracionaliųjų skaičių visada yra suskaičiuojama racionaliųjų skaičių rinkinys.

Įrodymas

Tegul būna du neracionalūs skaičiai a Ir b, atitinkamus skaitmenis rašome kaip a 1a 2a 3... ir b 1b 2b 2..., kur ai, bi- dešimtainiai skaičiai. Leiskite a < b, tada yra N toks, kad a N< b N. Sukonstruokime naują skaičių c, kodėl dėkime ci = ai = bi Už i= 1, …, N-1. Leiskite cN = bN-1. Tai akivaizdu c < b. Kadangi visi skaičiaus skaitmenys a po N-osios negali būti devynios (tada bus periodinė trupmena, t.y. racionalus skaičius), tada tokį skaičiaus skaitmenį žymime M >= N a, Ką a M< 9. Положим cj = aj, adresu N< j < M, и c M = 9. Šiuo atveju c > a. Taigi gavome vieną racionalų skaičių c, toks a < c < b. Pridedama prie dešimtainis žymėjimas numeriai c bet koks galutinis skaičius skaičiai už mes galime gauti tiek racionalių skaičių, kiek norime tarp a Ir b. Priskirdami kiekvieną tokį numerį jo serijos numeris, gauname šių skaičių aibės ir natūraliųjų skaičių aibės atitiktį vienas su vienu, todėl gautą aibę bus galima skaičiuoti, Q.E.D.

Šiame etape įdomus ir svarbus tampa šios teoremos įrodymas, kurio reikšmė prieš įvedant transfinitinių skaičių skalę paprastai buvo akivaizdi, o atsiradus tokiai specifinei aritmetikai reikia griežto įrodymo.

T.2 Kantoro teorema

Bet kuriam kardinaliniam skaičiui α, α<2α.

Įrodymas

1. Įrodykime bent tai α≤2α

Kaip žinoma, Būlio aibės M kardinalumas yra lygus 2|M|. Tegu aibė M = (m1, m2, m3, ...). Būlio aibė M (visų jos poaibių aibė) taip pat apima rinkinius, kurių kiekvienas susideda iš vieno elemento, pavyzdžiui (m1), (m2), (m3), .... Tik šio tipo poaibis bus |M|, o be jų, Būlio reikšmė apima ir kitus poaibius, o tai reiškia, kad bet kuriuo atveju |M| ≤ 2|M|

2. Įrodykime nelygybės griežtumą α<2α

Atsižvelgiant į tai, kas buvo įrodyta 1 dalyje. pakanka parodyti, kad situacija, kurioje α=2α. Tarkime priešingai, tegul α=2α, ty |M| = 2|M|. Tai reiškia, kad M yra lygiavertis P(M), o tai reiškia, kad aibė M yra susieta su jos Būlio P(M). Tai. Kiekvienas aibės M elementas m atitinka vieną su vienu poaibiu Mm, priklausančiu P(M). Tai reiškia, kad bet kuris elementas m arba priklauso atitinkamam poaibiui Mm, arba nepriklauso. Sukurkime aibę M*, sudarytą iš visų antrojo tipo elementų (t. y. tų m, kurie nepriklauso atitinkamiems poaibiams Mm)

Konstruojant aišku, kad jei kuris nors elementas m priklauso M*, tai jis automatiškai nepriklauso Mm. Tai savo ruožtu reiškia, kad bet kuriam m situacijai M*=Мm neįmanoma. Tai reiškia, kad aibė M* skiriasi nuo visų aibių Mm ir jai nėra vieno elemento m iš aibės M. Tai savo ruožtu reiškia, kad lygybė |M|= 2|M| negerai. Tai. įrodyta, kad |M| < 2|M| arba α<2α , Q.E.D.

Taikant begalinių aibių svarstymą, tai įtikinamai įrodo, kad visų natūraliųjų skaičių poaibių aibė (ir tai iš tikrųjų yra begalinio ilgio kompleksų aibė) NĖRA lygiavertė pačiai natūraliųjų skaičių aibei. Tai yra, À0 ≠ 2À0. O tai reiškia, kad pagal analogiją galima sudaryti dar platesnę aibę, pavyzdžiui, remiantis realiais skaičiais. Kitaip tariant, klausimas dėl kitų begalinių aibių tipų yra toks: ar yra kardinalumo aibė, didesnė už realiųjų skaičių aibės kardinalumą? Jei į tokį klausimą atsakoma teigiamai, iškart kyla kitas: ar yra dar didesnės galios rinkinys? Tada dar daugiau. Ir galiausiai logiškas globalus klausimas: ar yra didžiausio kardinalumo rinkinys?

T.2 teorema

Bet kuriai aibei A yra aibė B, kurios kardinalumas yra didesnis nei A.

Įrodymas

Apsvarstykite rinkinį IN visos rinkinyje nurodytos funkcijos A ir imant reikšmes 0 ir 1. Kiekvienas taškas A rinkiniai A susiekime funkciją fa(x), kuri šiame taške įgauna reikšmę 1, o kituose taškuose – 0. Akivaizdu, kad skirtingos funkcijos atitinka skirtingus taškus. Iš to seka, kad rinkinio kardinalumas IN ne mažesnė už rinkinio galią A (|B|≥|A|).

Tarkime, kad yra daug galių A Ir IN lygūs vienas kitam. Šiuo atveju tarp aibių elementų yra vienas su vienu atitikimas A Ir IN. Pažymime elementą atitinkančią funkciją A iš daugelio A, per fa (x). Visos fa(x) šeimos funkcijos įgyja 0 arba 1 reikšmę. Sukurkime naują funkciją φ(x)=1- fх(x). Taigi, norint rasti funkcijos φ(x) reikšmę tam tikru momentu A, priklausantis rinkiniui A, pirmiausia turime rasti atitinkamą funkciją fa( A) ir tada iš vienybės atimkite šios funkcijos reikšmę taške A. Iš konstrukcijos aišku, kad funkcija φ(x) taip pat apibrėžta aibėje A ir įgauna reikšmes 0 ir 1. Todėl φ(x) yra aibės elementas IN. Tada aibėje A yra toks skaičius b, kad φ(x) = fb(x). Atsižvelgdami į anksčiau pateiktą funkcijos φ(x)=1- fх(x) apibrėžimą, gauname, kad visiems x, priklausantiems aibei A, tiesa 1 - fх(x)= fb(x). Tegu x = b. Tada 1 – fb(b) = fb(b) ir tai reiškia, kad fb(b)=1/2. Šis rezultatas aiškiai prieštarauja faktui, kad funkcijos fb(x) reikšmės yra lygios nuliui arba vienetui. Vadinasi, priimta prielaida yra neteisinga, o tai reiškia, kad tarp aibių elementų nėra vienas su vienu atitikimo. A Ir IN (| A| ≠| B| ). Nes | A| ≠|B| ir tuo pačiu | B| ≥| A| , Reiškia | B| >|A| . Tai reiškia, kad bet kokiam rinkiniui A galite sukurti rinkinį IN daugiau galios. Iš to galime daryti išvadą, kad nėra didžiausio kardinalumo rinkinio, Q.E.D.

Yra gana glaudus ryšys tarp sukurto funkcijų rinkinio ir Būlio aibės A(visų poaibių rinkinys A). Apsvarstykite rinkinį IN visi aibės poaibiai A. Leiskite SU– tam tikras pogrupis A. Paimkime funkciją f(x) , kuri įgauna reikšmę 1 if X priklauso SU, o kitu atveju reikšmė yra 0. Taigi, skirtingi pogrupiai SU atitinka įvairias funkcijas. Priešingai, kiekviena funkcija f(x) , atsižvelgiant į dvi reikšmes 0 ir 1, atitinka poaibį A, susidedantis iš tų elementų X, kurioje funkcija įgauna reikšmę 1. Taigi nustatytas vienas su vienu atitikimas tarp aibėje apibrėžtų funkcijų rinkinio A ir paimti reikšmes 0 ir 1, ir visų poaibių rinkinį A.

§ 2.5. Aibės, kurių kardinalumas didesnis už kontinuumo kardinalumą

Taigi, didžiausio kardinalumo rinkinio nėra. Pirmieji du tarpribiniai skaičiai gamtoje turėjo aibes, kurios juos sudarė (natūraliųjų skaičių aibė ir realiųjų skaičių aibė). Jei pradėsime nuo kontinuumo aibės, tai galime sudaryti visų kontinuumo poaibių aibę, gausime jos Būlio reikšmę, pavadinkime šią aibę BR. Pagal apibrėžimą aibės BR galia yra lygi 2А. Pagal Kantoro teoremą 2À≠À. Akivaizdu, kad aibė BR yra begalinė, todėl jos kardinalus skaičius yra beribinis skaičius ir negali sutapti su nė vienu iš dviejų anksčiau nagrinėtų transribinių skaičių. Tai reiškia, kad laikas į mūsų skalę įtraukti trečiąjį beribinį skaičių.

Aleph One ( À 1 ) – trečiasis transfinitas skaičius. Pagal apibrėžimą tai yra visų kontinuumo poaibių aibės kardinalumas. Tas pats skaičius atitinka daugelio kitų rinkinių kardinalumą, pavyzdžiui:

· Visų tiesinių funkcijų rinkiniai, kurie turi bet kokias realias reikšmes (tiesinė funkcija yra tikroji vieno ar kelių kintamųjų funkcija). Iš esmės tai yra visų galimų kreivių rinkiniai skaičiuojamų matmenų erdvėje, kur matmenų skaičius n yra bet koks baigtinis skaičius arba net À0.

· Figūrų aibės plokštumoje, t.y. visų plokštumos taškų poaibių aibės arba visų realiųjų skaičių porų poaibių aibės.

· Kūnų aibės įprastoje trimatėje erdvėje, taip pat, paprastai kalbant, bet kokioje skaičiuojamojoje erdvėje, kur matmenų skaičius n yra bet koks baigtinis skaičius arba net À0.

Kadangi skaičius À1 pateikiamas kaip Būlio aibės su kardinalumu À laipsnis, gauname teiginį, kad À1 =2À.

§ 2.6. Aibių teorijos paradoksai

Kyla pagrįstas klausimas: kas toliau? Kas atsitiks, jei sudarysime visų aibės BR poaibių aibę. Kam bus lygus jo kardinalus skaičius (žinoma, pagal analogiją galime manyti, kad jis yra 2À1) ir, svarbiausia, kokią realaus gyvenimo aibę tai atitiks? Ar yra begalinių rinkinių, didesnių už BR ir kiek jų yra?

Nors įrodėme, kad didžiausias transfinitinis skaičius neegzistuoja, kaip rodo tyrimai, vis toliau kilti iki naujų didelių kardinalių skaičių yra nesaugu – tai veda į antinomiją (paradoksus). Iš tiesų, kad ir kokia būtų kardinalių skaičių aibė, visada galima rasti kardinalųjį skaičių, kuris yra didesnis už visus tam tikroje aibėje esančius skaičius ir todėl į jį neįeina. Tai. jokiame tokiame rinkinyje nėra visų pagrindinių skaičių, o visų kardinalių skaičių rinkinys yra neįsivaizduojamas.

Visiškai natūralu, kad kiekvienas matematikas nori nagrinėti nuoseklią teoriją, tai yra tokią, kurioje neįmanoma vienu metu įrodyti dviejų viena kitą aiškiai neigiančių teoremų. Ar Kantoro teorija yra nuosekli? Kiek galime išplėsti svarstomų rinkinių asortimentą? Deja, ne viskas taip rožiškai. Jei pristatysime tokią iš pažiūros nekenksmingą sąvoką kaip „visų rinkinių U aibė“, atsiras keletas įdomių dalykų.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image009_32.gif" width="81" height="75 src="> T.2.6.(2) Raselio paradoksas

Tegu B yra aibė visų aibių, kuriose nėra savęs kaip savo elementų. Tada galima įrodyti dvi teoremas.

2.6.(2) teorema.1.

B priklauso V.

Įrodymas

Tarkime priešingai, t.y. IN nepriklauso IN. Pagal apibrėžimą tai reiškia, kad IN priklauso IN. Mes gavome prieštaravimą - todėl pirminė prielaida yra neteisinga ir IN priklauso IN, Q.E.D.

2.6.(2) teorema.2.

B nepriklauso V.

Įrodymas

Tarkime priešingai, t.y. IN priklauso IN. Pagal rinkinio apibrėžimą IN bet kuris jo elementas negali turėti savęs kaip savo elemento, todėl IN nepriklauso IN. Prieštaravimas – todėl pirminė prielaida yra neteisinga ir IN nepriklauso IN, Q.E.D.

Nesunku pastebėti, kad teoremos 2.6.(2).1. ir 2.6.(2).2. išskirti vienas kitą.

Deja, net neįtraukus visų itin plačių aibių, Kantoro teorija neišsaugoma. Iš esmės Russello paradoksas veikia logiką, tai yra samprotavimo metodus, kuriais formuojamos naujos sąvokos pereinant nuo vieno tikrojo teiginio prie kito.

Jau išvedant paradoksą naudojamas loginis neįtraukiamo vidurio dėsnis, kuris yra vienas iš klasikinės matematikos vientisų samprotavimo metodų (t.y. jei teiginys ne-A teisingas, tai A klaidingas). Jei galvojate apie dalykų esmę, tuomet apskritai galite nutolti nuo aibių teorijos ir matematikos apskritai.

trumpieji kodai">
Dėl didelės apimties ši medžiaga talpinama keliuose puslapiuose:
2
Istoriškai pirmasis atsirado natūraliuosius skaičius$N$, dėl prekės perskaičiavimo. Šių skaičių aibė yra begalinė ir sudaro natūraliąją eilutę $N=$1, 2, 3, ..., n, ...$$. Šioje aibėje įmanomos sudėties ir daugybos operacijos. Norint atlikti atimties operaciją, reikėjo naujų skaičių, todėl buvo gautas sveikųjų skaičių rinkinys: $Z$. $Z=N_+\puodelis N_- \puodelis $0$$. Taigi sveikųjų skaičių aibėje visada atliekamos sudėties, daugybos ir atimties operacijos.

Racionalūs skaičiai

Poreikis atlikti padalijimą lėmė racionalių skaičių $Q$ aibę. $Q=$\frac(m)(n), m\in Z, n\in N$$.

Apibrėžimas. Du racionalūs skaičiai yra lygūs: $\frac(m_1)(n_1)=\frac(m_2)(n_2)$ – jei $m_1\cdot n_2=n_1\cdot m_2$. Tai reiškia, kad kiekvienas racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas unikaliu būdu neredukuojamos trupmenos $\frac(m)(n)$ pavidalu. $GCD(m, n)=1$.

Racionaliųjų skaičių aibės savybės

1. Racionaliųjų skaičių aritmetinių operacijų (sudėties, daugybos, atimties, dalybos, išskyrus dalijimą iš nulio) rezultatas gaunamas racionalusis skaičius.

2. Racionaliųjų skaičių aibė yra sutvarkyta, tai yra bet kuriai racionaliųjų skaičių porai $a$ ir $b$ arba $a b$.

3. Racionaliųjų skaičių aibė yra tanki, tai yra, bet kuriai racionaliųjų skaičių $a$ ir $b$ porai yra toks racionalusis skaičius $c$, kad $a
Bet koks teigiamas racionalusis skaičius visada gali būti pavaizduotas kaip dešimtainė trupmena: arba baigtinė, arba be galo periodinė. Pavyzdžiui: $\frac(3)(5)=0.6$, $\frac(1)(3)=0.333...=0,(3)$.

$\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_kb_1b_2b_3...b_nb_1b_2b_3...b_n...$.

$b_1b_2b_3...b_n...$ – vadinamas dešimtainės trupmenos periodu, kur ne visi $b_i=0$.

Atkreipkite dėmesį, kad baigtinė trupmena gali būti užrašoma kaip begalinė periodinė trupmena, kurios periodas yra nulis. $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...a_k000000...$, $a_k\ne0$.

Tačiau labiau paplitęs kitas racionaliųjų skaičių vaizdavimas dešimtainės trupmenos pavidalu: $\frac(m)(n)=a_0,a_1a_1...(a_k-1)999...$.

Neigiami racionalieji skaičiai $-\frac(m)(n)$ rašomi kaip racionalaus skaičiaus $\frac(m)(n)$ formos dešimtainis išplėtimas, paimtas su priešingu ženklu.

Skaičius $0$ pavaizduotas kaip $0,000...$.

Taigi, bet koks racionalusis skaičius visada vaizduojamas kaip begalinė dešimtainė periodinė trupmena, kurioje nėra $0$ per laikotarpį, išskyrus patį skaičių $0$. Tai vienintelis atstovavimas.

Neracionalūs skaičiai

Racionaliųjų skaičių aibė uždaroma keturiomis aritmetinėmis operacijomis. Tačiau racionaliųjų skaičių aibėje ne visada yra paprasčiausios $x^2-n=0$ formos lygties sprendimas. Todėl reikia įvesti naujus skaičius.

Parodykime, kad tarp racionaliųjų skaičių nėra skaičiaus, kurio kvadratas būtų lygus trims. Įrodinėjimą atliksime prieštaravimu.

Tarkime, kad yra racionalus skaičius $\frac(m)(n)$, kurio kvadratas lygus trims: $\left(\frac(m)(n)\right)^2=3\;\;\ ;(1)$.

$\frac(m^2)(n^2)=3$,

$m^2=3n^2.\;\;\;(2)$

Dešinė lygybės (2) pusė dalijasi iš 3. Tai reiškia, kad $m^2$ taip pat dalijasi iš 3, todėl $m$ dalijasi iš 3, vadinasi, $m=3k$. Pakeisdami lygybę (2), gauname:

$3k^2=n^2.\;\;\;(3)$

Kairioji lygybės $(3)$ pusė dalijasi iš $3$, o tai reiškia, kad dešinioji pusė taip pat dalijasi iš $3$. Todėl $n^2$ dalijasi iš $3$, o tai reiškia, kad $n$ dalijasi iš $3$, taigi $n=3p$. Dėl to gauname: $\frac(m)(n)=\frac(3k)(3p)$, tai yra, trupmena $\frac(m)(n)$ pasirodė redukuojama, o tai prieštarauja prielaida. Tai reiškia, kad tarp racionalių skaičių nėra skaičiaus, kurio kvadratas būtų lygus trims.

Tačiau skaičius, kurio kvadratas yra trys, egzistuoja. Jis gali būti pavaizduotas kaip begalinė neperiodinė trupmena. Ir gavome naujo tipo skaičius. Pavadinkime juos neracionaliais.

Apibrėžimas. Iracionalusis skaičius yra bet kokia begalinė neperiodinė trupmena.

Visų begalinių neperiodinių trupmenų aibė vadinama iracionaliųjų skaičių aibe ir žymima $I$.

Realūs skaičiai

Racionaliųjų skaičių aibės $Q$ ir iracionaliųjų skaičių $I$ sąjunga suteikia realiųjų skaičių aibę $R$: $Q\cup I=R$.

Taigi kiekvienas realusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip begalinė dešimtainė trupmena: periodinis racionaliojo skaičiaus atveju ir neperiodinis neracionaliojo skaičiaus atveju.

Realiųjų skaičių palyginimas

Realiųjų skaičių $a=a_0,a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots$, $b=b_0,b_1b_2b_3\ldots b_n\ldots$ palyginimas atliekamas taip:

1) Tegul $a$ ir $b$ yra teigiami: $a>0$, $b>0$, tada:

$a=b$, jei bet kuriam $k$ $a_k=b_k$;

$a>b$ jei $\egzistuoja s$ $\visam k b_s$.

2) Tegul $a>0$, $b<0$, или иначе: $b<0
3) Tegul $a$ ir $b$ abu yra neigiami: $a<0$, $b<0$, тогда:

$a=b$, jei $-a=-b$;