Ar funkcija f keista Ar galioja lygybė? Lyginės ir nelyginės funkcijos

Netgi funkcija.

Netgi yra funkcija, kurios ženklas nesikeičia pasikeitus ženklui x.

x galioja lygybė f(–x) = f(x). Pasirašyti x neturi įtakos ženklui y.

Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas koordinačių ašiai (1 pav.).

Lyginės funkcijos pavyzdžiai:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Paaiškinimas:
Paimkime funkciją y = x 2 arba y = –x 2 .
Už bet kokią vertę x funkcija yra teigiama. Pasirašyti x neturi įtakos ženklui y. Grafikas yra simetriškas koordinačių ašiai. Tai lygi funkcija.

Keista funkcija.

Keista yra funkcija, kurios ženklas keičiasi pasikeitus ženklui x.

Kitaip tariant, už bet kokią vertę x galioja lygybė f(–x) = –f(x).

Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu (2 pav.).

Nelyginių funkcijų pavyzdžiai:

y= nuodėmė x

y = x 3

y = –x 3

Paaiškinimas:

Paimkime funkciją y = – x 3 .
Visos reikšmės adresu jis turės minuso ženklą. Tai yra ženklas x daro įtaką ženklui y. Jei nepriklausomas kintamasis yra teigiamas skaičius, tada funkcija yra teigiama, jei nepriklausomas kintamasis yra neigiamas skaičius, tada funkcija yra neigiama: f(–x) = –f(x).
Funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei. Tai keista funkcija.

Lyginių ir nelyginių funkcijų savybės:

PASTABA:

Ne visos funkcijos yra lyginės arba nelyginės. Yra funkcijų, kurios nepaklūsta tokiai gradacijai. Pavyzdžiui, šaknies funkcija adresu = √X netaikomas nei lyginėms, nei nelyginėms funkcijoms (3 pav.). Išvardijant tokių funkcijų savybes, reikia atitinkamai apibūdinti: nei lyginis, nei nelyginis.

Periodinės funkcijos.

Kaip žinote, periodiškumas yra tam tikrų procesų pasikartojimas tam tikru intervalu. Šiuos procesus apibūdinančios funkcijos vadinamos periodines funkcijas. Tai yra, tai yra funkcijos, kurių grafikuose yra elementai, kurie kartojasi tam tikrais skaitiniais intervalais.

Funkcijos lygumas ir nelygumas yra viena iš pagrindinių jos savybių, o paritetas užima įspūdingą dalį mokyklos kursas matematikos. Tai iš esmės lemia funkcijos elgesį ir labai palengvina atitinkamo grafiko konstravimą.

Nustatykime funkcijos paritetą. Paprastai kalbant, tiriama funkcija laikoma net tuo atveju, jei priešingoms nepriklausomo kintamojo (x) reikšmėms, esančioms jo apibrėžimo srityje, atitinkamos y (funkcijos) reikšmės yra lygios.

Pateikime griežtesnį apibrėžimą. Apsvarstykite kokią nors funkciją f (x), kuri yra apibrėžta srityje D. Ji bus net jei bet kuriam taškui x, esančiam apibrėžimo srityje:

• -x (priešingas taškas) taip pat yra šioje srityje,

• f(-x) = f(x).

Iš aukščiau pateikto apibrėžimo išplaukia sąlyga, būtina tokios funkcijos apibrėžimo sričiai, ty simetrija taško O atžvilgiu, kuris yra koordinačių pradžia, nes jei koks nors taškas b yra lyginės apibrėžimo srityje. funkcija, tada atitinkamas taškas b taip pat yra šioje srityje. Todėl iš to, kas išdėstyta pirmiau, daroma išvada: lyginė funkcija turi formą, simetrišką ordinačių ašies (Oy) atžvilgiu.

Kaip praktiškai nustatyti funkcijos paritetą?

Tegul jis nurodomas naudojant formulę h(x)=11^x+11^(-x). Vadovaudamiesi algoritmu, kuris tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo, pirmiausia išnagrinėjame jo apibrėžimo sritį. Akivaizdu, kad jis apibrėžiamas visoms argumento reikšmėms, tai yra, įvykdyta pirmoji sąlyga.

Kitas žingsnis yra pakeisti argumentą (x) juo priešinga reikšmė(-x).
Mes gauname:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Kadangi sudėjimas tenkina komutacinį (komutacinį) dėsnį, akivaizdu, kad h(-x) = h(x) ir duotoji funkcinė priklausomybė yra lygi.

Patikrinkime funkcijos h(x)=11^x-11^(-x) paritetą. Pagal tą patį algoritmą gauname, kad h(-x) = 11^(-x) -11^x. Atmetus minusą, galų gale mes turime
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Todėl h(x) yra nelyginis.

Beje, reikia priminti, kad yra funkcijų, kurių negalima klasifikuoti pagal šiuos kriterijus, jos nėra vadinamos nei lyginėmis, nei nelyginėmis.

Netgi funkcijos turi daug įdomių savybių:

• pridedant panašias funkcijas, jie gauna lygų;
• atėmus tokias funkcijas gaunama lyginė;
• net, taip pat net;
• padauginus dvi tokias funkcijas, gaunama lyginė;
• padauginus nelygines ir lygines funkcijas, gaunama nelyginė;
• padalijus nelygines ir lygines funkcijas, gaunama nelyginė;
• tokios funkcijos išvestinė yra nelyginė;
• Jei nelyginę funkciją pateiksite kvadratu, gausite lyginę.

Funkcijos paritetas gali būti naudojamas lygtims spręsti.

Norėdami išspręsti lygtį, pvz., g(x) = 0, kur kairė pusė lygtis yra lygi funkcija, jos pakaks rasti jos sprendimus neneigiamoms kintamojo reikšmėms. Gautos lygties šaknys turi būti sujungtos su priešingais skaičiais. Vienas iš jų turi būti patikrintas.

Tai taip pat sėkmingai naudojama sprendžiant nestandartinės užduotys su parametru.

Pavyzdžiui, ar yra kokia nors parametro a reikšmė, kuriai lygtis 2x^6-x^4-ax^2=1 turės tris šaknis?

Jei atsižvelgsime į tai, kad kintamasis į lygtį patenka lyginėmis laipsnėmis, tai aišku, kad x pakeitus - x duota lygtis nepasikeis. Iš to išplaukia, kad jei tam tikras skaičius yra jo šaknis, tai jis taip pat yra priešingas skaičius. Išvada akivaizdi: lygties šaknys, kurios skiriasi nuo nulio, įtraukiamos į jos sprendinių rinkinį „poromis“.

Aišku, kad pats skaičius nėra 0, tai yra, tokios lygties šaknų skaičius gali būti tik lyginis ir, žinoma, bet kuriai parametro reikšmei jis negali turėti trijų šaknų.

Tačiau lygties 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 šaknų skaičius gali būti nelyginis ir bet kuriai parametro reikšmei. Iš tiesų, tai lengva patikrinti, ar šaknų rinkinys duota lygtis yra tirpalai poromis. Patikrinkime, ar 0 yra šaknis. Pakeitę jį į lygtį, gauname 2=2. Taigi, be „suporuotų“, 0 taip pat yra šaknis, kuri įrodo jų nelyginį skaičių.

Kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x, kuriame kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę, vadinama funkcija. Pažymėjimui naudokite žymėjimą y=f(x). Kiekviena funkcija turi keletą pagrindinių savybių, tokių kaip monotoniškumas, paritetas, periodiškumas ir kt.

Apsvarstykite daugiau informacijos apie nuosavybę paritetas.

Funkcija y=f(x) iškviečiama, net jei ji tenkina šias dvi sąlygas:

2. Funkcijos reikšmė taške x, priklausanti funkcijos apibrėžimo sričiai, turi būti lygi funkcijos reikšmei taške -x. Tai reiškia, kad bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti įvykdyta ši lygybė: f(x) = f(-x).

Lyginės funkcijos grafikas

Jei nubraižysite lyginės funkcijos grafiką, jis bus simetriškas Oy ašiai.

Pavyzdžiui, funkcija y=x^2 yra lyginė. Pažiūrėkime. Visa apibrėžimo sritis skaičių ašis, tai reiškia, kad jis yra simetriškas taško O atžvilgiu.

Paimkime savavališką x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Todėl f(x) = f(-x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra lygi. Žemiau pateikiamas funkcijos y=x^2 grafikas.

Paveikslėlyje parodyta, kad grafikas yra simetriškas Oy ašiai.

Nelyginės funkcijos grafikas

Funkcija y=f(x) vadinama nelygine, jei ji tenkina šias dvi sąlygas:

1. Duotosios funkcijos apibrėžimo sritis turi būti simetriška taško O atžvilgiu. Tai yra, jei kuris nors taškas a priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai, tai atitinkamas taškas -a taip pat turi priklausyti apibrėžimo sričiai. nurodytos funkcijos.

2. Bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti tenkinama ši lygybė: f(x) = -f(x).

Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas taško O – koordinačių pradžios – atžvilgiu. Pavyzdžiui, funkcija y=x^3 yra nelyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.

Paimkime savavališką x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Todėl f(x) = -f(x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra nelyginė. Žemiau yra funkcijos y=x^3 grafikas.

Paveikslėlyje aiškiai matyti, kad nelyginė funkcija y=x^3 yra simetriška kilmei.

Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Tikslai:

• formuoti funkcijos pariteto ir nelygumo sampratą, išmokyti šias savybes nustatyti ir naudoti kada funkcijų tyrimas, braižymas;
• ugdyti kūrybiškumą mokinių veikla, loginis mąstymas, gebėjimas lyginti, apibendrinti;
• ugdyti sunkų darbą ir matematinę kultūrą; ugdyti bendravimo įgūdžius .

Įranga: multimedijos diegimas, interaktyvi lenta, Dalomoji medžiaga.

Darbo formos: frontalinis ir grupinis su paieškos ir tiriamosios veiklos elementais.

Informacijos šaltiniai:

1. Algebra 9 klasė A.G.Mordkovičius. Vadovėlis.
2. Algebra 9 klasė A.G.Mordkovich. Problemų knyga.
3. Algebra 9 kl. Užduotys mokinių mokymuisi ir tobulėjimui. Belenkova E. Yu. Lebedintseva E.A.

UŽSIĖMIMŲ LAIKOTARPIU

1. Organizacinis momentas

Pamokos tikslų ir uždavinių nustatymas.

2. Namų darbų tikrinimas

Nr.10.17 (9 klasės užduočių knygelė. A.G. Mordkovich).

A) adresu = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcija didėja su X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija ribojama iš apačios.
7. adresu naim = – 3, adresu naib neegzistuoja
8. Funkcija yra nuolatinė.

(Ar naudojote funkcijų tyrimo algoritmą?) Skaidrė.

2. Patikrinkime lentelę, kurios jūsų paprašė iš skaidrės.

Užpildykite lentelę
	Domenas	Funkcijos nuliai	Ženklo pastovumo intervalai		Grafo susikirtimo su Oy taškų koordinatės
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Žinių atnaujinimas

– Suteiktos funkcijos.
– Nurodykite kiekvienos funkcijos apibrėžimo apimtį.
– Palyginkite kiekvienos funkcijos reikšmę kiekvienai argumentų reikšmių porai: 1 ir – 1; 2 ir – 2.
– Kurioms iš šių funkcijų apibrėžimo srityje galioja lygybės f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (gautus duomenis įveskite į lentelę) Skaidrė

4. Nauja medžiaga

– Vykdymas Šis darbas, vaikinai, mes nustatėme dar vieną funkcijos savybę, kuri jums nepažįstama, bet ne mažiau svarbi už kitas - tai funkcijos lygumas ir nelygumas. Užsirašykite pamokos temą: „Lyginės ir nelyginės funkcijos“, mūsų užduotis – išmokti nustatyti funkcijos lygumą ir nelygumą, išsiaiškinti šios savybės reikšmę funkcijų studijoms ir brėžiant grafikus.
Taigi, susiraskime apibrėžimus vadovėlyje ir skaitykime (p. 110) . Skaidrė

Def. 1 Funkcija adresu = f (X), vadinamas aibėje X net, jei už kokią nors vertę XЄ X vykdomas lygybė f(–x)= f(x). Pateikite pavyzdžių.

Def. 2 Funkcija y = f(x), apibrėžiamas aibėje X vadinamas nelyginis, jei už kokią nors vertę XЄ X galioja lygybė f(–х)= –f(х). Pateikite pavyzdžių.

Kur mes sutikome terminus „lyginis“ ir „nelyginis“?
Kaip manote, kuri iš šių funkcijų bus lygi? Kodėl? Kurie yra nelyginiai? Kodėl?
Bet kuriai formos funkcijai adresu= x n, Kur n– sveikasis skaičius, galima teigti, kad funkcija nelyginė kai n– nelyginis, o funkcija lyginė, kai n– net.
– Peržiūrėti funkcijas adresu= ir adresu = 2X– 3 nėra nei lyginiai, nei nelyginiai, nes lygybės netenkinamos f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Tyrimas, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė, vadinamas pariteto funkcijos tyrimu. Skaidrė

1 ir 2 apibrėžimuose mes kalbėjome apie funkcijos reikšmes x ir – x, todėl daroma prielaida, kad funkcija taip pat yra apibrėžta reikšme X, ir – X.

Def 3. Jeigu numerių rinkinys kartu su kiekvienu jo elementu x taip pat yra priešingas elementas –x, tada aibė X vadinama simetriška aibe.

Pavyzdžiai:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) yra simetriškos aibės, o , [–5;4] yra asimetrinės.

– Ar net funkcijos turi apibrėžimo sritį, kuri yra simetriška aibė? Keistas?
– jei D( f) yra asimetrinė aibė, tai kokia yra funkcija?
– Taigi, jei funkcija adresu = f(X) – lyginis arba nelyginis, tada jo apibrėžimo sritis yra D( f) yra simetriškas rinkinys. Ar teisingas atvirkštinis teiginys: jei funkcijos apibrėžimo sritis yra simetrinė aibė, tai lyginė ar nelyginė?
– Tai reiškia, kad apibrėžimo srities simetrinės aibės buvimas yra būtina sąlyga, bet nepakankama.
– Taigi, kaip išnagrinėti pariteto funkciją? Pabandykime sukurti algoritmą.

Skaidrė

Pariteto funkcijos tyrimo algoritmas

1. Nustatykite, ar funkcijos apibrėžimo sritis yra simetriška. Jei ne, tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Jei taip, pereikite prie 2 algoritmo veiksmo.

2. Parašykite išraišką už f(–X).

3. Palyginkite f(–X).Ir f(X):

• Jeigu f(–X).= f(X), tada funkcija lygi;
• Jeigu f(–X).= – f(X), tada funkcija yra nelyginė;
• Jeigu f(–X) ≠ f(X) Ir f(–X) ≠ –f(X), tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Pavyzdžiai:

Išnagrinėkite lygybės funkciją a) adresu= x 5 +; b) adresu= ; V) adresu= .

Sprendimas.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrinė aibė.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x)= x 5 + nelyginis.

b) y =,

adresu = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrinė aibė, o tai reiškia, kad funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2 variantas

1. Ar duotoji aibė yra simetriška: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

Abipusis patikrinimas skaidrė.

6. Namų darbai: №11.11, 11.21,11.22;

Pariteto savybės geometrinės reikšmės įrodymas.

***(Vieningo valstybinio egzamino varianto priskyrimas).

1. Nelyginė funkcija y = f(x) yra apibrėžta visoje skaičių eilutėje. Bet kuriai neneigiamai kintamojo x vertei šios funkcijos reikšmė sutampa su funkcijos g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Raskite funkcijos h( X) = at X = 3.

7. Apibendrinimas