Kieno pavadinimas yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas. Matricos žymėjimo sistema

Tegul sistema tiesinė algebrines lygtis, kurią reikia išspręsti (raskite tokias nežinomųjų xi reikšmes, kurios kiekvieną sistemos lygtį paverčia lygybe).

Žinome, kad tiesinių algebrinių lygčių sistema gali:

1) Neturi sprendimų (būti ne sąnarių).
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Turėti vienintelis sprendimas.

Kaip prisimename, Cramerio taisyklė ir matricos metodas yra netinkami tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Gauso metodas – galingiausias ir universaliausias įrankis ieškant sprendimo bet kuriai sistemai tiesines lygtis , kuris kiekvienu atveju nuves mus prie atsakymo! Pats metodo algoritmas trys atvejai veikia taip pat. Jei Cramerio ir matricos metodams reikia žinoti determinantus, tai norint taikyti Gauso metodą, reikia tik žinių aritmetinės operacijos, todėl ji prieinama net pradinių klasių mokiniams.

Papildytos matricos transformacijos ( tai yra sistemos matrica - matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų ir laisvųjų terminų stulpelio) tiesinių algebrinių lygčių sistemos Gauso metodu:

1) Su troki matricos Gali pertvarkyti kai kuriose vietose.

2) jei matricoje atsirado (arba egzistuoja) proporcingieji (kaip ypatingas atvejis– identiškos) eilutės, tada seka ištrinti Visos šios eilutės yra iš matricos, išskyrus vieną.

3) jei transformacijų metu matricoje atsiranda nulinė eilutė, tai taip pat turėtų būti ištrinti.

4) matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti)į bet kurį skaičių, išskyrus nulį.

5) į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio.

Gauso metodu elementarios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio.

Gauso metodas susideda iš dviejų etapų:

1. „Tiesioginis judėjimas“ - naudojant elementariąsias transformacijas, tiesinių algebrinių lygčių sistemos išplėstinę matricą perkelkite į „trikampę“ žingsnio formą: išplėstinės matricos elementai, esantys žemiau pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui (judėjimas iš viršaus į apačią). Pavyzdžiui, šiam tipui:

Norėdami tai padaryti, atlikite šiuos veiksmus:

1) Panagrinėkime pirmąją tiesinių algebrinių lygčių sistemos lygtį, o koeficientas x 1 lygus K. Antroji, trečioji ir kt. lygtis transformuojame taip: kiekvieną lygtį (nežinomų, įskaitant laisvuosius narius) padalijame iš kiekvienoje lygtyje esančio nežinomojo x 1 koeficiento ir padauginame iš K. Po to pirmąją atimame iš antrosios lygtis (nežinomųjų ir laisvųjų dėmenų koeficientai). Antroje lygtyje x 1 gauname koeficientą 0. Iš trečiosios transformuotos lygties atimame pirmąją lygtį, kol visos lygtys, išskyrus pirmąją, nežinomam x 1, turi koeficientą 0.

2) Pereikite prie kitos lygties. Tegul tai yra antroji lygtis ir koeficientas x 2 lygus M. Tęsiame visas „žemesnes“ lygtis, kaip aprašyta aukščiau. Taigi, „po“ nežinomu x 2 visose lygtyse bus nuliai.

3) Pereikite prie kitos lygties ir taip toliau, kol liks paskutinis nežinomasis ir transformuotas laisvasis narys.

1. Gauso metodo „atvirkštinis judėjimas“ yra gauti linijinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą („judėjimas iš apačios į viršų“). Iš paskutinės „apatinės“ lygties gauname vieną pirmąjį sprendinį - nežinomą x n. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame elementariąją lygtį A * x n = B. Aukščiau pateiktame pavyzdyje x 3 = 4. Rastą reikšmę pakeiskite „viršutine“ sekančią lygtį

ir išspręskite jį, palyginti su kitu nežinomu. Pavyzdžiui, x 2 – 4 = 1, t.y. x 2 = 5. Ir taip toliau, kol rasime visus nežinomuosius.

Pavyzdys.

Išspręskime tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, kaip pataria kai kurie autoriai:

Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:
Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti vieną. Bėda ta, kad pirmajame stulpelyje iš viso nėra vienetų, todėl eilučių pertvarkymas nieko neišspręs. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Padarykime taip: 1 žingsnis

. Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš –1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrą eilutę iš –1 ir pridėjome pirmąją ir antrąją eilutes, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje yra „minusas vienas“, kuris mums visai tinka. Kiekvienas norintis gauti +1 gali atlikti papildomą veiksmą: pirmąją eilutę padauginti iš –1 (pakeisti jos ženklą). . Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo įtraukta į antrąją eilutę.

3 veiksmas . Pirmoji eilutė buvo padauginta iš –1, iš esmės tai yra dėl grožio. Trečiosios linijos ženklas taip pat buvo pakeistas ir ji perkelta į antrą vietą, kad antrame „žingsnyje“ būtų reikalingas vienetas.

4 veiksmas . Trečioji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš 2.

5 veiksmas . Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Ženklas, rodantis skaičiavimo klaidą (rečiau rašybos klaidą), yra „bloga“ išvada. Tai yra, jei gautume kažką panašaus į (0 0 11 |23) žemiau ir atitinkamai 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, tada su didelė dalis tikimybė, galima teigti, kad elementariųjų transformacijų metu buvo padaryta klaida.

Darykime atvirkščiai, pati sistema dažnai neperrašoma, o lygtys „paimtos tiesiai iš pateiktos matricos“. Atvirkštinis judėjimas, primenu, veikia iš apačios į viršų. IN šiame pavyzdyje tai pasirodė dovana:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, todėl x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Atsakymas:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Išspręskime tą pačią sistemą naudodami siūlomą algoritmą. Mes gauname

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Antrąją lygtį padalinkite iš 5, o trečiąją iš 3. Gauname:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Antrąją ir trečiąją lygtis padauginus iš 4, gauname:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Atimdami pirmąją lygtį iš antrosios ir trečiosios lygčių, gauname:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Trečiąją lygtį padalykite iš 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Trečiąją lygtį padauginkite iš 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Iš trečiosios lygties atėmus antrąją, gauname „pakopinę“ išplėstinę matricą:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Taigi, kadangi skaičiavimų metu susikaupė klaida, gauname x 3 = 0,96 arba apytiksliai 1.

x 2 = 3 ir x 1 = –1.

Taip spręsdami niekada nesupainiosite skaičiavimuose ir, nepaisant skaičiavimo klaidų, gausite rezultatą.

Šis tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo būdas yra lengvai programuojamas ir neatsižvelgiama į specifinės savybės koeficientus nežinomiems, nes praktikoje (ekonominiuose ir techniniuose skaičiavimuose) tenka susidurti su nesveikaisiais koeficientais.

Linkiu sėkmės! Iki pasimatymo klasėje! Mokytojas Dmitrijus Aystrakhanovas.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Gauso metodas, dar vadinamas nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodu, yra toks. Naudojant elementariąsias transformacijas tiesinių lygčių sistema įvedama į tokią formą, kad jos koeficientų matrica pasirodo esanti trapecijos formos (toks pat kaip trikampis arba laiptuotas) arba artimas trapecijai (tiesioginis Gauso metodo eiga, toliau tiesiog tiesus eiga). Tokios sistemos ir jos sprendimo pavyzdys pateiktas aukščiau esančiame paveikslėlyje.

Tokioje sistemoje paskutinėje lygtyje yra tik vienas kintamasis ir jo reikšmę galima rasti vienareikšmiškai. Tada šio kintamojo reikšmė pakeičiama į ankstesnę lygtį ( atvirkštinis Gauso metodas , tada tik atvirkščiai), iš kurio randamas ankstesnis kintamasis ir pan.

Kaip matome, trapecinėje (trikampėje) sistemoje trečioji lygtis nebeturi kintamųjų y Ir x, o antroji lygtis yra kintamasis x .

Sistemos matricai įgavus trapecijos formą, nebėra sunku suprasti sistemos suderinamumo klausimą, nustatyti sprendinių skaičių ir pačias rasti sprendimus.

Metodo privalumai:

1. sprendžiant tiesinių lygčių sistemas su daugiau nei trimis lygtimis ir nežinomaisiais, Gauso metodas nėra toks sudėtingas kaip Cramerio metodas, nes sprendžiant Gauso metodu reikia mažiau skaičiavimų;
2. naudodamiesi Gauso metodu, galite išspręsti neapibrėžtas tiesinių lygčių sistemas, ty turėti bendras sprendimas(ir mes juos apžvelgsime šioje pamokoje), tačiau naudojant Cramerio metodą galime teigti, kad sistema yra neapibrėžta;
3. galite spręsti tiesinių lygčių sistemas, kuriose nežinomųjų skaičius nelygus lygčių skaičiui (šioje pamokoje jas taip pat analizuosime);
4. Metodas pagrįstas pradiniais (mokykliniais) metodais – nežinomųjų pakeitimo metodu ir lygčių sudėjimo metodu, kuriuos palietėme atitinkamame straipsnyje.

Kad visi suprastų, kokiu paprastumu sprendžiamos trapecinės (trikampės, žingsninės) tiesinių lygčių sistemos, pateikiame tokios sistemos sprendimą naudojant atvirkštinį judėjimą. Greitas SprendimasŠi sistema buvo parodyta paveikslėlyje pamokos pradžioje.

1 pavyzdys. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą naudodami atvirkštinę:

Sprendimas. Šioje trapecijos sistemoje kintamasis z galima vienareikšmiškai rasti iš trečiosios lygties. Jo reikšmę pakeičiame antrąja lygtimi ir gauname kintamojo reikšmę y:

Dabar mes žinome dviejų kintamųjų reikšmes - z Ir y. Mes juos pakeičiame į pirmąją lygtį ir gauname kintamojo reikšmę x:

Iš ankstesnių žingsnių išrašome lygčių sistemos sprendimą:

Norint gauti tokią trapecinę tiesinių lygčių sistemą, kurią išsprendėme labai paprastai, reikia naudoti eigą į priekį, susietą su elementariomis tiesinių lygčių sistemos transformacijomis. Tai taip pat nėra labai sunku.

Tiesinių lygčių sistemos elementarios transformacijos

Kartodami mokyklinį sistemos lygčių algebrinio sudėjimo metodą, išsiaiškinome, kad prie vienos iš sistemos lygčių galime pridėti dar vieną sistemos lygtį, o kiekvieną iš lygčių galima padauginti iš kai kurių skaičių. Dėl to gauname tiesinių lygčių sistemą, lygiavertę šiai. Joje vienoje lygtyje jau buvo tik vienas kintamasis, kurio reikšmę pakeitus kitomis lygtimis, gauname sprendimą. Toks papildymas yra vienas iš elementarios sistemos transformacijos rūšių. Naudodami Gauso metodą galime naudoti kelių tipų transformacijas.

Aukščiau pateikta animacija parodo, kaip lygčių sistema palaipsniui virsta trapecijos forma. Tai yra, tą, kurią matėte pačioje pirmoje animacijoje ir įsitikinote, kad iš jos lengva rasti visų nežinomųjų vertybes. Kaip atlikti tokią transformaciją ir, žinoma, pavyzdžiai bus aptariami toliau.

Sprendžiant tiesinių lygčių sistemas su bet kokiu lygčių skaičiumi ir nežinomųjų lygčių sistemoje ir išplėstinėje sistemos matricoje Gali:

1. pertvarkyti eilutes (tai buvo paminėta pačioje šio straipsnio pradžioje);
2. jei dėl kitų transformacijų gaunamos lygios arba proporcingos eilutės, jos gali būti išbrauktos, išskyrus vieną;
3. pašalinti „nulines“ eilutes, kuriose visi koeficientai lygūs nuliui;
4. padauginkite arba padalykite bet kurią eilutę iš tam tikro skaičiaus;
5. prie bet kurios eilutės pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš tam tikro skaičiaus.

Transformacijų rezultate gauname šiai lygiavertę tiesinių lygčių sistemą.

Tiesinių lygčių sistemos su kvadratine sistemos matrica sprendimo Gauso metodu algoritmas ir pavyzdžiai

Pirmiausia panagrinėkime, kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemas, kuriose nežinomųjų skaičius lygus lygčių skaičiui. Tokios sistemos matrica yra kvadratinė, tai yra, eilučių skaičius joje lygus stulpelių skaičiui.

2 pavyzdys. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas mokyklos būdai, mes padauginome vieną iš lygčių terminą iš tam tikro skaičiaus, kad pirmojo kintamojo koeficientai dviejose lygtyse būtų priešingi skaičiai. Pridedant lygtis, šis kintamasis pašalinamas. Gauso metodas veikia panašiai.

Norėdami supaprastinti išvaizda sprendimus sukurkime išplėstinę sistemos matricą:

Šioje matricoje nežinomųjų koeficientai yra kairėje prieš vertikalią liniją, o laisvieji terminai yra dešinėje po vertikalios linijos.

Kintamųjų dalijimosi koeficientų patogumui (kad būtų padalintas iš vieneto) Sukeiskime pirmąją ir antrąją sistemos matricos eilutes. Gauname sistemą, lygiavertę šiai, nes tiesinių lygčių sistemoje lygtys gali būti sukeistos:

Naudojant naują pirmąją lygtį pašalinti kintamąjį x iš antrosios ir visų vėlesnių lygčių. Norėdami tai padaryti, prie antrosios matricos eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš (mūsų atveju, iš ), į trečiąją eilutę - pirmąją eilutę, padaugintą iš (mūsų atveju iš ).

Tai įmanoma, nes

Jei mūsų sistemoje būtų daugiau nei trys lygtys, tada prie visų vėlesnių lygčių turėtume pridėti pirmąją eilutę, padaugintą iš atitinkamų koeficientų santykio, paimtą su minuso ženklu.

Dėl to gauname matricą, lygiavertę šiai sistemai nauja sistema lygtys, kuriose visos lygtys, pradedant nuo antrosios nėra kintamojo x :

Norėdami supaprastinti antrąją gautos sistemos eilutę, padauginkite ją iš ir dar kartą gaukite lygčių sistemos matricą, lygiavertę šiai sistemai:

Dabar, paliekant pirmąją gautos sistemos lygtį nepakeistą, naudodamiesi antrąja lygtimi pašaliname kintamąjį y iš visų vėlesnių lygčių. Norėdami tai padaryti, prie trečiosios sistemos matricos eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš (mūsų atveju iš ).

Jei mūsų sistemoje būtų daugiau nei trys lygtys, tada prie visų vėlesnių lygčių turėtume pridėti antrą eilutę, padaugintą iš atitinkamų koeficientų, paimtų su minuso ženklu, santykio.

Dėl to vėl gauname sistemos matricą, lygiavertę šiai tiesinių lygčių sistemai:

Gavome lygiavertę trapecinę tiesinių lygčių sistemą:

Jei lygčių ir kintamųjų skaičius yra didesnis nei mūsų pavyzdyje, tada nuoseklaus kintamųjų pašalinimo procesas tęsiasi tol, kol sistemos matrica tampa trapecijos formos, kaip mūsų demonstraciniame pavyzdyje.

Mes rasime sprendimą „nuo galo“ - atvirkštinį žingsnį. Už tai iš paskutinės lygties nustatome z:
.
Pakeitus šią reikšmę į ankstesnę lygtį, rasime y:

Iš pirmosios lygties rasime x:

Atsakymas: šios lygčių sistemos sprendimas yra .

: tokiu atveju bus pateiktas tas pats atsakymas, jei sistema turi unikalų sprendimą. Jei sistema turi begalinis rinkinys sprendimus, tai bus atsakymas, ir tai jau penktoje šios pamokos dalyje.

Pats išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, tada pažiūrėkite į sprendimą

Čia vėl turime nuoseklios ir apibrėžtos tiesinių lygčių sistemos pavyzdį, kurioje lygčių skaičius yra lygus nežinomųjų skaičiui. Skirtumas nuo mūsų demonstracinio pavyzdžio nuo algoritmo yra tas, kad jau yra keturios lygtys ir keturi nežinomieji.

4 pavyzdys. Gauso metodu išspręskite tiesinių lygčių sistemą:

Dabar reikia naudoti antrąją lygtį, kad pašalintumėte kintamąjį iš vėlesnių lygčių. Vykdykime parengiamieji darbai. Kad būtų patogiau nustatyti koeficientų santykį, antros eilutės antrame stulpelyje turite gauti vieną. Norėdami tai padaryti, iš antrosios eilutės atimkite trečiąją ir gautą antrąją eilutę padauginkite iš -1.

Dabar atlikime faktinį kintamojo pašalinimą iš trečiosios ir ketvirtosios lygčių. Norėdami tai padaryti, pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš , prie trečios eilutės, o antrąją, padaugintą iš , į ketvirtą eilutę.

Dabar, naudodami trečiąją lygtį, pašaliname kintamąjį iš ketvirtosios lygties. Norėdami tai padaryti, pridėkite trečią eilutę prie ketvirtos eilutės, padaugintą iš . Gauname išplėstinę trapecijos matricą.

Gavome lygčių sistemą, kuri yra lygiavertė šią sistemą:

Vadinasi, gautos ir pateiktos sistemos yra suderinamos ir apibrėžtos. Galutinis sprendimas randame „nuo galo“. Iš ketvirtosios lygties galime tiesiogiai išreikšti kintamojo „x four“ reikšmę:

Šią reikšmę pakeičiame trečiąja sistemos lygtimi ir gauname

,

,

Galiausiai vertės pakeitimas

Pirmoji lygtis pateikia

,

kur rasime „x first“:

Atsakymas: ši lygčių sistema turi unikalų sprendimą .

Taip pat sistemos sprendimą galite patikrinti skaičiuotuvu, naudodami Cramerio metodą: tokiu atveju bus pateiktas toks pat atsakymas, jei sistema turi unikalų sprendimą.

Taikomųjų uždavinių sprendimas Gauso metodu, naudojant lydinių uždavinio pavyzdį

Realiems fizinio pasaulio objektams modeliuoti naudojamos tiesinių lygčių sistemos. Išspręskime vieną iš šių problemų – lydinius. Panašios problemos – problemos ant mišinių, kainos ar savitasis svoris atskiri produktai prekių grupėje ir panašiai.

5 pavyzdys. Yra trys lydinio dalys viso svorio 150 kg. Pirmajame lydinyje yra 60% vario, antrajame - 30%, trečiame - 10%. Be to, antrajame ir trečiame lydinyje kartu paėmus vario yra 28,4 kg mažiau nei pirmame lydinyje, o trečiajame lydinyje vario yra 6,2 kg mažiau nei antrajame. Raskite kiekvieno lydinio gabalo masę.

Sprendimas. Sudarome tiesinių lygčių sistemą:

Antrąją ir trečiąją lygtis padauginame iš 10, gauname lygiavertę tiesinių lygčių sistemą:

Sukuriame išplėstinę sistemos matricą:

Dėmesio, tiesiai į priekį. Sudėjus (mūsų atveju atimant) vieną eilutę, padaugintą iš skaičiaus (taikome du kartus), su išplėstine sistemos matrica įvyksta šios transformacijos:

Tiesioginis judėjimas baigėsi. Gavome išplėstinę trapecijos matricą.

Taikome atvirkštinį judėjimą. Mes randame sprendimą nuo galo. Mes tai matome.

Iš antrosios lygties randame

Iš trečiosios lygties -

Taip pat sistemos sprendimą galite patikrinti skaičiuotuvu, naudodami Cramerio metodą: tokiu atveju bus pateiktas toks pat atsakymas, jei sistema turi unikalų sprendimą.

Gauso metodo paprastumą liudija tai, kad vokiečių matematikui Carlui Friedrichui Gaussui jį išrasti prireikė vos 15 minučių. Be jo vardu pavadinto metodo, iš Gauso darbų žinomas posakis „Neturėtume painioti to, kas mums atrodo neįtikėtina ir nenatūralu su visiškai neįmanomu“. trumpos instrukcijos padaryti atradimų.

Daugelyje taikomų problemų gali nebūti trečio apribojimo, tai yra trečios lygties, tada jūs turite išspręsti dviejų lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą Gauso metodu arba, atvirkščiai, nežinomųjų yra mažiau nei lygčių. Dabar pradėsime spręsti tokias lygčių sistemas.

Naudodami Gauso metodą galite nustatyti, ar kuri nors sistema yra suderinama, ar nesuderinama n tiesines lygtis su n kintamieji.

Gauso metodas ir tiesinių lygčių sistemos su begaliniu sprendinių skaičiumi

Kitas pavyzdys yra nuosekli, bet neapibrėžta tiesinių lygčių sistema, ty turinti begalinį sprendinių skaičių.

Atlikus transformacijas išplėstoje sistemos matricoje (eilučių pertvarkymas, eilučių padauginimas ir padalijimas iš tam tikro skaičiaus, prie vienos eilutės pridėjus dar vieną), gali atsirasti formos eilutės.

Jei visose lygtyse turinčios formą

Laisvieji terminai yra lygūs nuliui, tai reiškia, kad sistema yra neapibrėžta, tai yra, ji turi begalinį sprendinių skaičių, o tokio tipo lygtys yra „perteklinės“ ir mes jas pašaliname iš sistemos.

6 pavyzdys.

Sprendimas. Sukurkime išplėstinę sistemos matricą. Tada, naudodami pirmąją lygtį, pašaliname kintamąjį iš paskesnių lygčių. Norėdami tai padaryti, prie antros, trečios ir ketvirtos eilučių pridėkite pirmąją, padaugintą iš :

Dabar pridėkite antrą eilutę prie trečios ir ketvirtos.

Dėl to mes pasiekiame sistemą

Paskutinės dvi lygtys virto formos lygtimis. Šios lygtys yra patenkintos bet kokiai nežinomųjų vertei ir gali būti atmestos.

Norėdami patenkinti antrąją lygtį, galime pasirinkti savavališkas ir reikšmes, tada reikšmė bus nustatyta vienareikšmiškai: . Iš pirmosios lygties vertė taip pat randama vienareikšmiškai: .

Tiek duota, tiek naujausia sistema yra nuoseklūs, bet neapibrėžti, ir formulės

savavališkai ir pateikite mums visus tam tikros sistemos sprendimus.

Gauso metodas ir tiesinių lygčių sistemos be sprendinių

Kitas pavyzdys yra nenuosekli tiesinių lygčių sistema, ty tokia, kuri neturi sprendimų. Atsakymas į tokias problemas formuluojamas taip: sistema neturi sprendimų.

Kaip jau buvo minėta pirmajame pavyzdyje, atlikus transformacijas, formos eilutės gali atsirasti išplėstinėje sistemos matricoje

atitinkančios formos lygtį

Jei tarp jų yra bent viena lygtis su ne nuliu laisvas narys(t.y. ), tada ši lygčių sistema yra nenuosekli, tai yra, ji neturi sprendinių ir jos sprendimas yra baigtas.

7 pavyzdys. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu:

Sprendimas. Sudarome išplėstinę sistemos matricą. Naudodami pirmąją lygtį, kintamąjį neįtraukiame iš tolesnių lygčių. Norėdami tai padaryti, pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš antrosios eilutės, pirmąją eilutę, padaugintą iš trečiosios, ir pirmąją eilutę, padaugintą iš ketvirtos eilutės.

Dabar reikia naudoti antrąją lygtį, kad pašalintumėte kintamąjį iš vėlesnių lygčių. Norėdami gauti sveikų skaičių koeficientų santykius, sukeičiame antrąją ir trečiąją sistemos išplėstinės matricos eilutes.

Norėdami neįtraukti trečiosios ir ketvirtosios lygčių, į trečiąją eilutę pridėkite antrąją, padaugintą iš , o antrąją, padaugintą iš , į ketvirtą eilutę.

Dabar, naudodami trečiąją lygtį, pašaliname kintamąjį iš ketvirtosios lygties. Norėdami tai padaryti, pridėkite trečią eilutę prie ketvirtos eilutės, padaugintą iš .

Nurodyta sistema todėl yra lygiavertis:

Gauta sistema yra nenuosekli, nes paskutinė jos lygtis negali būti patenkinta jokiomis nežinomųjų reikšmėmis. Todėl ši sistema neturi sprendimų.

Gauso metodo esmė yra transformuoti (1) į sistemą su trikampe matrica, iš kurios paeiliui (atvirkščiai) gaunamos visų nežinomųjų reikšmės. Panagrinėkime vieną iš skaičiavimo schemų. Ši grandinė vadinama vieno padalijimo grandine. Taigi pažvelkime į šią diagramą. Tegul 11 ​​≠0 (pirmiausias elementas) padalina pirmąją lygtį iš 11. Mes gauname
(2)
Naudojant (2) lygtį, iš likusių sistemos lygčių lengva pašalinti nežinomuosius x 1 (tam pakanka iš kiekvienos lygties atimti (2) lygtį, anksčiau padaugintą iš atitinkamo x 1 koeficiento) , tai yra, pirmuoju žingsniu gauname
.
Kitaip tariant, 1 veiksme kiekvienas sekančių eilučių elementas, pradedant nuo antrosios, lygus skirtumui tarp pradinio elemento ir jo „projekcijos“ sandaugos į pirmąjį stulpelį ir pirmąją (transformuotą) eilutę.
Po to, palikdami vieną pirmąją lygtį, panašią transformaciją atliekame per likusias pirmuoju žingsniu gautas sistemos lygtis: iš jų pasirenkame lygtį su pirmaujančiu elementu ir jos pagalba pašaliname x 2 iš likusio. lygtis (2 veiksmas).
Po n žingsnių vietoj (1) gauname lygiavertę sistemą
(3)
Taigi pirmajame etape gauname trikampė sistema(3). Šis etapas vadinamas smūgiu į priekį.
Antrajame etape (atvirkščiai) nuosekliai iš (3) randame reikšmes x n, x n -1, ..., x 1.
Gautą sprendinį pažymėkime x 0 . Tada skirtumas ε=b-A x 0 vadinamas likutine.
Jei ε=0, tai rastas sprendimas x 0 yra teisingas.

Skaičiavimai Gauso metodu atliekami dviem etapais:

1. Pirmasis etapas vadinamas pirmyn metodu. Pirmajame etape pradinė sistema paverčiama trikampe forma.
2. Antrasis etapas vadinamas atvirkštiniu smūgiu. Antrajame etape išsprendžiama trikampė sistema, lygiavertė pradinei.

Gauso metodo paskirtis

Gauso metodo tipai

1. Klasikinis Gauso metodas;
2. Gauso metodo modifikacijos. Viena iš Gauso metodo modifikacijų yra schema su pagrindinio elemento pasirinkimu. Gauso metodo ypatybė pasirenkant pagrindinį elementą yra toks lygčių pertvarkymas taip, kad k-ajame žingsnyje pagrindinis elementas būtų didžiausias k-ojo stulpelio elementas.
3. Jordano-Gausso metodas;

Gauso metodo sprendimo pavyzdys
Išspręskime sistemą:

Kad būtų lengviau apskaičiuoti, pakeiskime eilutes:

Padauginkime 2 eilutę iš (2). Pridėkite 3-ią eilutę prie 2-osios

Padauginkite 2 eilutę iš (-1). Pridėkite 2-ąją eilutę prie 1-osios

Iš 1 eilutės išreiškiame x 3:
Iš antrosios eilutės išreiškiame x 2:
Iš 3 eilutės išreiškiame x 1:

Sprendimo, naudojant Jordano-Gauss metodą, pavyzdys
Išspręskime tą patį SLAE naudodami Jordano-Gauss metodą.

Paeiliui pasirinksime skiriamąjį elementą RE, esantį ant pagrindinės matricos įstrižainės.
Rezoliucijos elementas yra lygus (1).



NE = SE – (A*B)/RE
RE - skiriantis elementas (1), A ir B - matricos elementai, sudarantys stačiakampį su elementais STE ir RE.
Pateikiame kiekvieno elemento apskaičiavimą lentelės pavidalu:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Gauso metodo įgyvendinimas

Naudojant Gauso metodą

Gauso metodo taikymas žaidimų teorijoje

Gauso metodo taikymas sprendžiant diferencialines lygtis

Jordano-Gauss metodo taikymas tiesiniame programavime

Gauso metodas Puikiai tinka tiesinių algebrinių lygčių (SLAE) sistemoms spręsti. Jis turi daug privalumų, palyginti su kitais metodais:

• pirma, nebūtina iš pradžių nagrinėti lygčių sistemos nuoseklumui;
• antra, Gauso metodu galima išspręsti ne tik SLAE, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi, o pagrindinė sistemos matrica yra ne vienaskaita, bet ir lygčių sistemas, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičius arba pagrindinės matricos determinantas lygus nuliui;
• trečia, Gauso metodas duoda rezultatų su santykinai mažas kiekis skaičiavimo operacijos.

Trumpa straipsnio apžvalga.

Pirmiausia duokime būtinus apibrėžimus ir įveskite užrašą.

Toliau aprašysime Gauso metodo algoritmą paprasčiausiu atveju, tai yra tiesinių algebrinių lygčių sistemoms lygčių skaičius, kuriose sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi ir pagrindinės sistemos matricos determinantas yra nelygu nuliui. Sprendžiant tokias lygčių sistemas, aiškiausiai matoma Gauso metodo esmė – nežinomų kintamųjų nuoseklus eliminavimas. Todėl Gauso metodas dar vadinamas nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodu. Mes jums parodysime detalūs sprendimai keli pavyzdžiai.

Apibendrinant, mes apsvarstysime tiesinių algebrinių lygčių sistemų, kurių pagrindinė matrica yra stačiakampė arba vienaskaita, sprendimą Gauso metodu. Tokių sistemų sprendimas turi tam tikrų ypatybių, kurias mes išsamiai išnagrinėsime naudodami pavyzdžius.

Puslapio naršymas.

Pagrindiniai apibrėžimai ir žymėjimai.

Apsvarstykite p tiesinių lygčių sistemą su n nežinomųjų (p gali būti lygi n):

Kur yra nežinomi kintamieji, skaičiai (tikrieji arba kompleksiniai) ir laisvieji terminai.

Jeigu , tada vadinama tiesinių algebrinių lygčių sistema vienalytis, kitaip - nevienalytis.

Nežinomų kintamųjų, kuriems visos sistemos lygtys tampa tapatybėmis, reikšmių rinkinys vadinamas SLAU sprendimą.

Jei tiesinių algebrinių lygčių sistemoje yra bent vienas sprendinys, tada ji vadinama jungtis, kitaip - ne sąnarių.

Jei SLAE turi unikalų sprendimą, tada jis vadinamas tam tikras. Jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada sistema iškviečiama neapibrėžtas.

Jie sako, kad sistema yra įrašyta koordinačių forma , jei ji turi formą
.

Ši sistema yra matricos forma įrašai turi formą , kur - pagrindinė SLAE matrica, - nežinomų kintamųjų stulpelio matrica, - laisvųjų terminų matrica.

Jei prie matricos A kaip (n+1) stulpelį pridėsime laisvųjų terminų matricą-stulpelį, gausime vadinamąjį. išplėstinė matrica tiesinių lygčių sistemos. Paprastai išplėstinė matrica žymima raide T, o laisvųjų terminų stulpelis yra atskirtas vertikali linija iš likusių stulpelių, ty

Kvadratinė matrica A vadinama išsigimęs, jei jo determinantas yra nulis. Jei , vadinasi matrica A neišsigimęs.

Reikėtų atkreipti dėmesį į šį punktą.

Jei atliksite šiuos veiksmus su tiesinių algebrinių lygčių sistema

• sukeisti dvi lygtis,
• padauginkite abi bet kurios lygties puses iš savavališko ir nenulinio tikrojo (arba kompleksinio) skaičiaus k,
• prie abiejų bet kurios lygties pusių pridėkite atitinkamas kitos lygties dalis, padaugintas iš savavališkas skaičius k,

tai pavyks lygiavertė sistema, kuris turi tuos pačius sprendimus (arba, kaip ir originalus, neturi sprendimų).

Išplėstinei tiesinių algebrinių lygčių sistemos matricai šie veiksmai reikš elementariųjų transformacijų atlikimą su eilutėmis:

• sukeisti dvi eilutes,
• padauginus visus bet kurios matricos T eilutės elementus iš nulinio skaičiaus k,
• prie bet kurios matricos eilutės elementų pridėjus atitinkamus kitos eilutės elementus, padaugintus iš savavališko skaičiaus k.

Dabar galime pereiti prie Gauso metodo aprašymo.

Gauso metodu sprendžiamos tiesinių algebrinių lygčių sistemos, kuriose lygčių skaičius lygus nežinomųjų skaičiui, o pagrindinė sistemos matrica yra nevienskaita.

Ką darytume mokykloje, jei gautume užduotį rasti lygčių sistemos sprendimą? .

Kai kurie tai padarytų.

Atkreipkite dėmesį, kad pridedant prie antrosios lygties kairės pusės kairėje pusėje pirmiausia, o dešinėje - dešinėje, galite atsikratyti nežinomų kintamųjų x 2 ir x 3 ir iš karto rasti x 1:

Rastą reikšmę x 1 =1 pakeičiame į pirmąją ir trečiąją sistemos lygtis:

Jei abi trečiosios sistemos lygties puses padauginsime iš -1 ir pridėsime jas prie atitinkamų pirmosios lygties dalių, atsikratysime nežinomo kintamojo x 3 ir galime rasti x 2:

Gautą reikšmę x 2 = 2 pakeičiame trečiąja lygtimi ir randame likusį nežinomą kintamąjį x 3:

Kiti būtų pasielgę kitaip.

Išspręskime pirmąją sistemos lygtį nežinomo kintamojo x 1 atžvilgiu ir gautą išraišką pakeisime antrąja ir trečiąja sistemos lygtimis, kad šis kintamasis iš jų neįtrauktų:

Dabar išspręskime antrąją x 2 sistemos lygtį ir gautą rezultatą pakeiskime trečiąja lygtimi, kad pašalintume iš jos nežinomą kintamąjį x 2:

Iš trečiosios sistemos lygties aišku, kad x 3 =3. Iš antrosios lygties randame , o iš pirmosios lygties gauname .

Pažįstami sprendimai, tiesa?

Įdomiausia yra tai, kad antrasis sprendimo metodas iš esmės yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas, tai yra Gauso metodas. Kai išreiškėme nežinomus kintamuosius (pirmasis x 1, kitame etape x 2) ir pakeitėme juos į likusias sistemos lygtis, tokiu būdu juos išskyrėme. Atlikome eliminavimą, kol paskutinėje lygtyje liko tik vienas nežinomas kintamasis. Nežinomų nuoseklaus pašalinimo procesas vadinamas tiesioginis Gauso metodas. Atlikę judėjimą pirmyn, turime galimybę apskaičiuoti nežinomą kintamąjį, rastą paskutinėje lygtyje. Jos pagalba randame kitą nežinomą kintamąjį iš priešpaskutinės lygties ir pan. Procesas nuoseklus radinys Nežinomi kintamieji, kai pereinama nuo paskutinės lygties prie pirmosios atvirkštinis Gauso metodas.

Reikėtų pažymėti, kad kai išreiškiame x 1 kaip x 2 ir x 3 pirmoje lygtyje, o gautą išraišką pakeičiame į antrąją ir trečiąją lygtis, tokie veiksmai duoda tą patį rezultatą:

Iš tiesų, tokia procedūra taip pat leidžia pašalinti nežinomą kintamąjį x 1 iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių:

Nežinomų kintamųjų pašalinimo naudojant Gauso metodą niuansai atsiranda tada, kai sistemos lygtyse nėra kai kurių kintamųjų.

Pavyzdžiui, SLAU pirmoje lygtyje nėra nežinomo kintamojo x 1 (kitaip tariant, prieš jį esantis koeficientas lygus nuliui). Todėl negalime išspręsti pirmosios x 1 sistemos lygties, kad pašalintume šį nežinomą kintamąjį iš likusių lygčių. Išeitis iš šios situacijos yra sukeisti sistemos lygtis. Kadangi nagrinėjame tiesinių lygčių sistemas, kurių pagrindinių matricų determinantai skiriasi nuo nulio, visada yra lygtis, kurioje yra reikalingas kintamasis, ir mes galime pertvarkyti šią lygtį į mums reikalingą padėtį. Mūsų pavyzdžiui pakanka sukeisti pirmąją ir antrąją sistemos lygtis , tada galite išspręsti pirmąją x 1 lygtį ir neįtraukti ją iš likusių sistemos lygčių (nors antrojoje lygtyje x 1 nebėra).

Tikimės, kad supratote esmę.

Aprašykime Gauso metodo algoritmas.

Tarkime, kad turime išspręsti n tiesinių algebrinių lygčių sistemą su n nežinomųjų formos kintamieji , ir tegul jo pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Pašalinkime nežinomą kintamąjį x 1 iš visų sistemos lygčių, pradėdami nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, prie antrosios sistemos lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš , prie trečiosios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš , ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur ir .

Mes būtume gavę tą patį rezultatą, jei pirmoje sistemos lygtyje būtume išreiškę x 1 kitais nežinomais kintamaisiais ir gautą išraišką pakeitę visomis kitomis lygtimis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antrosios.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su dalimi gautos sistemos, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, prie trečiosios sistemos lygties pridedame antrąją, padaugintą iš , prie ketvirtosios lygties pridedame antrąją, padaugintą iš , ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame antrąją, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur ir . Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiosios.

Tada pereiname prie nežinomo x 3 pašalinimo, o panašiai elgiamės su paveikslėlyje pažymėta sistemos dalimi

Taigi tęsiame tiesioginį Gauso metodo progresą, kol sistema įgaus formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinį Gauso metodą: apskaičiuojame x n iš paskutinės lygties kaip , naudodamiesi gauta x n reikšmę randame x n-1 iš priešpaskutinės lygties ir tt randame x 1 iš pirmosios lygties .

Pažvelkime į algoritmą naudodami pavyzdį.

ir išspręskite jį, palyginti su kitu nežinomu. Pavyzdžiui, x 2 – 4 = 1, t.y. x 2 = 5. Ir taip toliau, kol rasime visus nežinomuosius.

Gauso metodas.

Sprendimas.

Koeficientas a 11 yra ne nulis, todėl pereikime prie tiesioginės Gauso metodo progresijos, tai yra, neįtraukdami nežinomo kintamojo x 1 iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją. Norėdami tai padaryti, į kairę ir į dešinę dalis antrosios, trečiosios ir ketvirtoji lygtis sudėkime pirmosios lygties kairę ir dešinę puses, atitinkamai padaugintas iš , Ir:

Nežinomas kintamasis x 1 buvo pašalintas, pereikime prie x 2 pašalinimo. Prie trečiosios ir ketvirtosios sistemos lygčių kairės ir dešinės pusės pridedame kairę ir dešinę antrosios lygties puses, padaugintą atitinkamai iš Ir :

Norėdami užbaigti Gauso metodo progresavimą, turime pašalinti nežinomą kintamąjį x 3 iš paskutinės sistemos lygties. Prie ketvirtosios lygties kairiosios ir dešiniosios pusės atitinkamai pridėkime kairę ir dešinėje pusėje trečioji lygtis padauginta iš :

Galite pradėti atvirkštinį Gauso metodą.

Iš paskutinės mūsų turimos lygties ,
iš trečiosios lygties gauname,
nuo antrojo,
nuo pirmos.

Norėdami patikrinti, gautas nežinomų kintamųjų reikšmes galite pakeisti pradine lygčių sistema. Visos lygtys virsta tapatybėmis, o tai rodo, kad sprendimas Gauso metodu buvo rastas teisingai.

Atsakymas:

Dabar pateiksime sprendimą to paties pavyzdžio naudojant Gauso metodą matricos žymėjime.

ir išspręskite jį, palyginti su kitu nežinomu. Pavyzdžiui, x 2 – 4 = 1, t.y. x 2 = 5. Ir taip toliau, kol rasime visus nežinomuosius.

Raskite lygčių sistemos sprendimą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išplėstinė sistemos matrica turi formą . Kiekvieno stulpelio viršuje yra nežinomi kintamieji, atitinkantys matricos elementus.

Tiesioginis Gauso metodo požiūris čia apima išplėstinės sistemos matricos sumažinimą iki trapecijos formos, naudojant elementariąsias transformacijas. Šis procesas panašus į nežinomų kintamųjų pašalinimą, kurį atlikome su sistema koordinačių pavidalu. Dabar tai pamatysite.

Transformuokime matricą taip, kad visi pirmojo stulpelio elementai, pradedant nuo antrojo, taptų nuliais. Norėdami tai padaryti, prie antrosios, trečiosios ir ketvirtosios eilučių elementų pridedame atitinkamus pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš , ir atitinkamai:

Toliau gautą matricą transformuojame taip, kad antrajame stulpelyje visi elementai, pradedant nuo trečiojo, taptų nuliais. Tai atitiktų nežinomo kintamojo x 2 pašalinimą. Norėdami tai padaryti, prie trečios ir ketvirtos eilučių elementų pridedame atitinkamus pirmosios matricos eilutės elementus, padaugintus iš atitinkamai Ir :

Belieka iš paskutinės sistemos lygties neįtraukti nežinomo kintamojo x 3. Norėdami tai padaryti, prie gautos matricos paskutinės eilutės elementų pridedame atitinkamus priešpaskutinės eilutės elementus, padaugintus iš :

Reikia pažymėti, kad ši matrica atitinka tiesinių lygčių sistemą

kuris buvo gautas anksčiau po ėjimo į priekį.

Atėjo laikas pasukti atgal. Matricos žymėjime atvirkštinis Gauso metodo metodas apima gautos matricos transformavimą taip, kad paveiksle pažymėta matrica

tapo įstrižai, tai yra įgavo formą

kur yra keletas skaičių.

Šios transformacijos yra panašios į Gauso metodo tiesiogines transformacijas, tačiau atliekamos ne nuo pirmos eilutės iki paskutinės, o iš paskutinės į pirmą.

Prie trečios, antros ir pirmosios eilučių elementų pridėkite atitinkamus paskutinės eilutės elementus, padaugintus iš , ir toliau atitinkamai:

Dabar prie antrosios ir pirmosios eilučių elementų pridėkite atitinkamus trečiosios eilutės elementus, padaugintus atitinkamai iš ir iš:

Paskutiniame atvirkštinio Gauso metodo žingsnyje prie pirmosios eilutės elementų pridedame atitinkamus antrosios eilutės elementus, padaugintus iš:

Gauta matrica atitinka lygčių sistemą , iš kur randame nežinomus kintamuosius.

Atsakymas:

ATKREIPKITE DĖMESĮ.

Naudojant Gauso metodą tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti, reikėtų vengti apytikslių skaičiavimų, nes tai gali lemti visiškai neteisingus rezultatus. Rekomenduojame neapvalinti po kablelio. Geriau nuo po kablelio pereikite prie paprastųjų trupmenų.

ir išspręskite jį, palyginti su kitu nežinomu. Pavyzdžiui, x 2 – 4 = 1, t.y. x 2 = 5. Ir taip toliau, kol rasime visus nežinomuosius.

Gauso metodu išspręskite trijų lygčių sistemą .

Sprendimas.

Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje nežinomi kintamieji turi skirtingą pavadinimą (ne x 1, x 2, x 3, o x, y, z). Pereikime prie paprastųjų trupmenų:

Išskirkime nežinomą x iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių:

Gautoje sistemoje nežinomo kintamojo y antrojoje lygtyje nėra, o y yra trečioje lygtyje, todėl sukeiskime antrąją ir trečiąją lygtis:

Tai užbaigia tiesioginį Gauso metodo progresavimą (nereikia išskirti y iš trečiosios lygties, nes šio nežinomo kintamojo nebėra).

Pradėkime atvirkštinį judėjimą.

Iš paskutinės lygties randame ,
iš priešpaskutinės


iš pirmosios mūsų turimos lygties

Atsakymas:

X = 10, y = 5, z = -20.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra vienaskaita, sprendimas Gauso metodu.

Lygčių sistemos, kurių pagrindinė matrica yra stačiakampė arba kvadratinė vienaskaita, gali neturėti sprendinių, gali turėti vieną sprendinį arba gali turėti begalinį sprendinių skaičių.

Dabar suprasime, kaip Gauso metodas leidžia nustatyti tiesinių lygčių sistemos suderinamumą ar nenuoseklumą, o jos suderinamumo atveju nustatyti visus sprendinius (arba vieną vienintelį sprendimą).

Iš esmės nežinomų kintamųjų pašalinimo procesas tokių SLAE atveju išlieka toks pat. Tačiau verta išsamiai išnagrinėti kai kurias situacijas, kurios gali kilti.

Pereikime prie svarbiausio etapo.

Taigi, darykime prielaidą, kad tiesinių algebrinių lygčių sistema, atlikus Gauso metodo progresavimą į priekį, įgauna formą ir nebuvo redukuota nei viena lygtis (tokiu atveju darytume išvadą, kad sistema nesuderinama). Kyla logiškas klausimas: „Ką daryti toliau“?

Užrašykime nežinomus kintamuosius, kurie yra pirmieji visose gautos sistemos lygtyse:

Mūsų pavyzdyje tai yra x 1, x 4 ir x 5. Kairiosiose sistemos lygčių pusėse paliekame tik tuos terminus, kuriuose yra įrašyti nežinomi kintamieji x 1, x 4 ir x 5, likusieji nariai perkeliami į dešinę lygčių pusę su priešingu ženklu:

Nežinomiems kintamiesiems, esantiems dešiniosiose lygčių pusėse, suteikime savavališkas reikšmes, kur - savavališki skaičiai:

Po to visų mūsų SLAE lygčių dešiniosiose pusėse yra skaičiai ir galime pereiti prie Gauso metodo atvirkštinės pusės.

Iš paskutinės mūsų turimos sistemos lygties, iš priešpaskutinės lygties, kurią randame, iš pirmosios lygties gauname

Lygčių sistemos sprendimas yra nežinomų kintamųjų reikšmių rinkinys

Suteikti skaičius skirtingos reikšmės, gausime įvairių sprendimų lygčių sistemos. Tai yra, mūsų lygčių sistemoje yra be galo daug sprendinių.

Atsakymas:

Kur - savavališki skaičiai.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išsamiai išanalizuosime dar kelių pavyzdžių sprendimus.

ir išspręskite jį, palyginti su kitu nežinomu. Pavyzdžiui, x 2 – 4 = 1, t.y. x 2 = 5. Ir taip toliau, kol rasime visus nežinomuosius.

Nuspręskite vienalytė sistema tiesinės algebrinės lygtys Gauso metodas.

Sprendimas.

Išskirkime nežinomą kintamąjį x iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių. Norėdami tai padaryti, kairėje ir dešinėje antrosios lygties pusėse atitinkamai pridedame pirmosios lygties kairę ir dešinę puses, padaugintas iš , o į kairę ir dešinę trečiosios lygties puses pridedame kairę ir dešinę pirmosios lygties dešinės pusės, padaugintos iš:

Dabar išskirkime y iš gautos lygčių sistemos trečiosios lygties:

Gautas SLAE yra lygiavertis sistemai .

Kairėje sistemos lygčių pusėje paliekame tik tuos terminus, kuriuose yra nežinomi kintamieji x ir y, o terminus su nežinomu kintamuoju z perkeliame į dešinę:

Šiame straipsnyje šis metodas nagrinėjamas kaip tiesinių lygčių sistemų (SLAE) sprendimo metodas. Metodas yra analitinis, tai yra, leidžia įrašyti sprendimo algoritmą bendras vaizdas, tada pakeiskite reikšmes iš konkrečių ten esančių pavyzdžių. Skirtingai nuo matricos metodo ar Cramerio formulių, sprendžiant tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, galite dirbti ir su tomis, kurios turi begalinį sprendinių skaičių. Arba jie jo visai neturi.

Ką reiškia išspręsti naudojant Gauso metodą?

Pirmiausia turime parašyti savo lygčių sistemą. Ji atrodo taip. Paimkite sistemą:

Koeficientai rašomi lentelės forma, o laisvieji terminai – atskirame stulpelyje dešinėje. Stulpelis su laisvaisiais nariais yra atskirtas dėl patogumo Matrica, kurioje yra šis stulpelis, vadinama išplėstine.

Toliau pagrindinę matricą su koeficientais reikia iškelti į viršų trikampio formos. Tai yra pagrindinis sistemos sprendimo Gauso metodu tikslas. Paprasčiau tariant, po tam tikrų manipuliacijų matrica turėtų atrodyti taip, kad jos apatinėje kairėje dalyje būtų tik nuliai:

Tada, jei parašysime nauja matrica vėlgi kaip lygčių sistemą, galima pastebėti, kad in paskutinė eilutė jau yra vienos iš šaknų reikšmė, kuri vėliau pakeičiama į aukščiau pateiktą lygtį, randama kita šaknis ir pan.

Tai dažniausiai sprendimo aprašymas Gauso metodu bendras kontūras. Kas atsitiks, jei staiga sistema neturi sprendimo? O gal jų be galo daug? Norint atsakyti į šiuos ir daugelį kitų klausimų, būtina atskirai apsvarstyti visus elementus, naudojamus sprendžiant Gauso metodą.

Matricos, jų savybės

Nėra paslėpta prasmė ne matricoje. Tai paprasta patogus būdas duomenų įrašymas tolimesnėms operacijoms su jais. Net moksleiviams nereikia jų bijoti.

Matrica visada yra stačiakampė, nes taip patogiau. Netgi taikant Gauso metodą, kai viskas susiveda į trikampės formos matricą, įraše atsiranda stačiakampis, tik su nuliais toje vietoje, kur nėra skaičių. Nuliai gali būti nerašomi, bet jie yra numanomi.

Matrica turi dydį. Jo „plotis“ yra eilučių skaičius (m), „ilgis“ yra stulpelių skaičius (n). Tada matricos A dydis (joms žymėti dažniausiai naudojamos didžiosios raidės) lotyniškomis raidėmis) bus žymimas kaip A m×n. Jei m = n, tada ši matrica yra kvadratinė, o m = n yra jos tvarka. Atitinkamai bet kuris matricos A elementas gali būti žymimas jo eilučių ir stulpelių numeriais: a xy ; x - eilutės numeris, pakeitimai, y - stulpelio numeris, pakeitimai.

B nėra pagrindinė sprendimo esmė. Iš principo visas operacijas galima atlikti tiesiogiai su pačiomis lygtimis, tačiau žymėjimas bus daug sudėtingesnis, o jame bus daug lengviau susipainioti.

Determinantas

Matrica taip pat turi determinantą. Tai labai svarbi savybė. Dabar nereikia išsiaiškinti jo reikšmės, galite tiesiog parodyti, kaip jis apskaičiuojamas, o tada pasakyti, kokias matricos savybes ji nustato. Lengviausias būdas rasti determinantą yra per įstrižaines. Matricoje brėžiamos įsivaizduojamos įstrižainės; kiekviename iš jų esantys elementai padauginami, o tada pridedami gauti produktai: įstrižainės su nuolydžiu į dešinę - su pliuso ženklu, su nuolydžiu į kairę - su minuso ženklu.

Labai svarbu pažymėti, kad determinantą galima apskaičiuoti tik kvadratinei matricai. Už stačiakampė matrica galite padaryti taip: iš eilučių skaičiaus ir stulpelių skaičiaus pasirinkite mažiausią (tebūnie k), tada atsitiktine tvarka matricoje pažymėkite k stulpelių ir k eilučių. Elementai, esantys pasirinktų stulpelių ir eilučių sankirtoje, sudarys naują kvadratinė matrica. Jei tokios matricos determinantas yra ne nulis skaičius, jis vadinamas pradinės stačiakampės matricos baziniu minoriniu.

Prieš pradedant spręsti lygčių sistemą Gauso metodu, nepakenks apskaičiuoti determinantą. Jei paaiškėja, kad jis lygus nuliui, tada iš karto galime pasakyti, kad matrica turi arba begalinį sprendinių skaičių, arba jų visai nėra. Tokiu liūdnu atveju reikia eiti toliau ir sužinoti apie matricos rangą.

Sistemos klasifikacija

Yra toks dalykas kaip matricos rangas. Tai maksimalus užsakymas jo determinantas, skiriasi nuo nulio (jei prisiminsime apie pagrindinį minorą, galime sakyti, kad matricos rangas yra pagrindinės minorinės eilės tvarka).

Atsižvelgiant į situaciją su rangu, SLAE galima suskirstyti į:

• Jungtis. U Jungtinėse sistemose pagrindinės matricos (sudarytos tik iš koeficientų) rangas sutampa su išplėstinės matricos rangu (su laisvųjų terminų stulpeliu). Tokios sistemos turi sprendimą, bet nebūtinai vieną, taigi papildomai sąnarių sistemos padalintas į:
• - tam tikras- turėti vieną sprendimą. Tam tikrose sistemose matricos rangas ir nežinomųjų skaičius (arba stulpelių skaičius, kuris yra tas pats) yra lygūs;
• - neapibrėžta - su begaliniu skaičiumi sprendinių. Matricų rangas tokiose sistemose yra mažesnis už nežinomųjų skaičių.
• Nesuderinamas. U Tokiose sistemose pagrindinės ir išplėstinės matricų eilės nesutampa. Nesuderinamos sistemos neturi sprendimo.

Gauso metodas yra geras tuo, kad sprendimo metu jis leidžia gauti arba nedviprasmišką sistemos nenuoseklumo įrodymą (neskaičiuojant didelių matricų determinantų), arba sprendinį bendra forma sistemai su begaliniu sprendinių skaičiumi.

Elementarios transformacijos

Prieš pradėdami tiesiai prie sistemos sprendimo, galite padaryti ją mažiau sudėtingą ir patogesnę skaičiavimams. Tai pasiekiama elementariomis transformacijomis – tokiomis, kad jų įgyvendinimas niekaip nepakeistų galutinio atsakymo. Pažymėtina, kad kai kurios pateiktos elementarios transformacijos galioja tik matricoms, kurių šaltinis buvo SLAE. Štai šių transformacijų sąrašas:

1. Stygų pertvarkymas. Akivaizdu, kad jei pakeisite lygčių tvarką sistemos įraše, tai neturės jokios įtakos sprendimui. Vadinasi, šios sistemos matricos eilutes taip pat galima sukeisti, nepamirštant, žinoma, laisvųjų terminų stulpelio.
2. Visų eilutės elementų padauginimas iš tam tikro koeficiento. Labai naudinga! Jis gali būti naudojamas sutrumpinti dideli skaičiai matricoje arba pašalinkite nulius. Daugelis sprendimų, kaip įprasta, nepasikeis, tačiau tolesnės operacijos taps patogesnės. Svarbiausia, kad koeficientas nebūtų lygus nuliui.
3. Eilučių su proporciniais koeficientais pašalinimas. Tai iš dalies išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Jei dvi ar daugiau matricos eilučių turi proporcingus koeficientus, tai vieną iš eilučių padauginus/padalijus iš proporcingumo koeficiento, gaunamos dvi (arba vėlgi daugiau) absoliučiai identiškos eilutės, o papildomos gali būti pašalintos, paliekant tik viena.
4. Nulinės eilutės pašalinimas. Jei transformacijos metu kažkur gaunama eilutė, kurioje visi elementai, įskaitant laisvąjį terminą, yra lygūs nuliui, tada tokią eilutę galima pavadinti nuliu ir išmesti iš matricos.
5. Pridedant prie vienos eilutės elementų kitos (atitinkamuose stulpeliuose) elementus, padaugintus iš tam tikro koeficiento. Neakivaizdžiausia ir svarbiausia transformacija iš visų. Verta prie to pasilikti plačiau.

Sudedant eilutę, padaugintą iš koeficiento

Kad būtų lengviau suprasti, verta šį procesą išskaidyti žingsnis po žingsnio. Iš matricos paimtos dvi eilutės:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Tarkime, kad reikia pridėti pirmąjį prie antrojo, padaugintą iš koeficiento „-2“.

a" 21 = a 21 + -2 × a 11

a" 22 = a 22 + -2 × a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Tada antroji matricos eilutė pakeičiama nauja, o pirmoji lieka nepakitusi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Pažymėtina, kad daugybos koeficientą galima pasirinkti taip, kad pridėjus dvi eilutes vienas iš naujos eilutės elementų būtų lygus nuliui. Todėl galima gauti lygtį sistemoje, kurioje bus vienu nežinomuoju mažiau. Ir jei gausite dvi tokias lygtis, operaciją galima atlikti dar kartą ir gauti lygtį, kurioje bus dviem mažiau nežinomųjų. Ir jei kiekvieną kartą vieną koeficientą iš visų eilučių, kurios yra žemiau pradinio vieneto, paversite nuliu, tuomet, kaip laiptais, galite nusileisti į patį matricos apačią ir gauti lygtį su vienu nežinomu. Tai vadinama sistemos išsprendimu Gauso metodu.

Apskritai

Tegul būna sistema. Ji turi m lygčių ir n nežinomų šaknų. Galite parašyti taip:

Pagrindinė matrica sudaroma iš sistemos koeficientų. Nemokamų terminų stulpelis pridedamas prie išplėstinės matricos ir patogumo dėlei atskiriamas linija.

• pirmoji matricos eilutė padauginama iš koeficiento k = (-a 21 /a 11);
• pridedama pirmoji modifikuota matricos eilutė ir antroji eilutė;
• vietoj antros eilutės į matricą įterpiamas ankstesnės pastraipos papildymo rezultatas;
• dabar pirmasis koeficientas in nauja antra eilutė yra a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Dabar atliekama ta pati transformacijų serija, įtraukiamos tik pirmoji ir trečia eilutės. Atitinkamai kiekviename algoritmo žingsnyje elementas a 21 pakeičiamas 31. Tada viskas kartojama 41, ... a m1. Rezultatas yra matrica, kurioje pirmasis elementas eilutėse yra nulis. Dabar reikia pamiršti apie vieną eilutę ir atlikti tą patį algoritmą, pradedant nuo antros eilutės:

• koeficientas k = (-a 32 /a 22);
• antroji modifikuota eilutė pridedama prie „dabartinės“ eilutės;
• sudėjimo rezultatas pakeičiamas į trečią, ketvirtą ir tt eilutes, o pirmoji ir antroji lieka nepakitę;
• matricos eilutėse pirmieji du elementai jau lygūs nuliui.

Algoritmas turi būti kartojamas tol, kol pasirodys koeficientas k = (-a m,m-1 /a mm). Tai reiškia, kad į paskutinį kartą algoritmas buvo atliktas tik žemesnei lygčiai. Dabar matrica atrodo kaip trikampis arba turi laiptuotą formą. Apatinėje eilutėje yra lygybė a mn × x n = b m. Koeficientas ir laisvasis narys yra žinomi, per juos išreiškiama šaknis: x n = b m /a mn. Gauta šaknis pakeičiama į viršutinę eilutę, siekiant rasti x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Ir taip toliau pagal analogiją: kiekvienoje kitoje eilutėje yra nauja šaknis, ir pasiekus sistemos „viršūnę“, galima rasti daugybę sprendimų. Tai bus vienintelis.

Kai nėra sprendimų

Jei vienoje iš matricos eilučių visi elementai, išskyrus laisvąjį terminą, yra lygūs nuliui, tai šią eilutę atitinkanti lygtis atrodo taip, kad 0 = b. Jis neturi sprendimo. O kadangi tokia lygtis įtraukta į sistemą, tai visos sistemos sprendinių aibė yra tuščia, tai yra išsigimusi.

Kai sprendinių yra be galo daug

Gali atsitikti taip, kad duotoje trikampėje matricoje nėra eilučių su vienu lygties koeficiento elementu ir vienu laisvuoju nariu. Yra tik eilutės, kurios perrašomos kaip lygtis su dviem ar daugiau kintamųjų. Tai reiškia, kad sistema turi begalinis skaičius sprendimus. Šiuo atveju atsakymas gali būti pateiktas bendro sprendimo forma. Kaip tai padaryti?

Visi matricos kintamieji skirstomi į pagrindinius ir laisvuosius. Pagrindiniai yra tie, kurie stovi žingsnio matricos eilučių „ant krašto“. Likusieji nemokami. Bendrajame sprendime pagrindiniai kintamieji rašomi per laisvuosius.

Patogumui matrica pirmiausia perrašoma į lygčių sistemą. Tada paskutiniame iš jų, kur tiksliai liko tik vienas pagrindinis kintamasis, jis lieka vienoje pusėje, o visa kita perkeliama į kitą. Tai daroma kiekvienai lygčiai su vienu pagrindiniu kintamuoju. Tada likusiose lygtyse, kur įmanoma, vietoj pagrindinio kintamojo pakeičiama jai gauta išraiška. Jei rezultatas vėl yra išraiška, kurioje yra tik vienas pagrindinis kintamasis, jis vėl išreiškiamas iš ten ir taip toliau, kol kiekvienas pagrindinis kintamasis parašomas kaip išraiška su laisvaisiais kintamaisiais. Tai yra bendras SLAE sprendimas.

Taip pat galite rasti pagrindinį sistemos sprendimą – suteikite laisviesiems kintamiesiems bet kokias reikšmes, o tada šiuo konkrečiu atveju apskaičiuokite pagrindinių kintamųjų reikšmes. Galima pateikti begalinį konkrečių sprendimų skaičių.

Sprendimas su konkrečiais pavyzdžiais

Čia yra lygčių sistema.

Patogumui geriau iš karto sukurti jo matricą

Yra žinoma, kad sprendžiant Gauso metodu, pirmąją eilutę atitinkanti lygtis transformacijų pabaigoje išliks nepakitusi. Todėl bus pelningiau, jei viršutinis kairysis matricos elementas bus mažiausias - tada pirmieji likusių eilučių elementai po operacijų taps nuliu. Tai reiškia, kad sudarytoje matricoje bus naudinga dėti antrą eilutę vietoj pirmosios.

antroji eilutė: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a" 22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

trečia eilutė: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Dabar, kad nesusipainiotumėte, reikia parašyti matricą su tarpiniai rezultatai transformacijos.

Akivaizdu, kad tokia matrica gali būti patogesnė suvokimui naudojant tam tikras operacijas. Pavyzdžiui, galite pašalinti visus „minusus“ iš antrosios eilutės, padaugindami kiekvieną elementą iš „-1“.

Taip pat verta paminėti, kad trečioje eilutėje visi elementai yra trijų kartotiniai. Tada galite sutrumpinti eilutę šiuo skaičiumi, padaugindami kiekvieną elementą iš "-1/3" (atėmus - tuo pačiu metu, kad pašalintumėte neigiamos reikšmės).

Atrodo daug gražiau. Dabar turime palikti pirmąją eilutę ramybėje ir dirbti su antrąja ir trečia. Užduotis yra pridėti antrą eilutę prie trečios eilutės, padaugintą iš tokio koeficiento, kad elementas a 32 taptų lygus nuliui.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (jei kai kurių transformacijų metu atsakymas nepasirodo sveikasis skaičius, rekomenduojama išlaikyti skaičiavimų tikslumą, kad paliktų tai „kaip yra“, formoje bendroji trupmena ir tik tada, kai gausite atsakymus, nuspręskite, ar suapvalinti ir konvertuoti į kitą įrašymo formą)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matrica vėl parašyta su naujomis reikšmėmis.

Kaip matote, gauta matrica jau turi laiptuotą formą. Todėl tolesnių sistemos transformacijų naudojant Gauso metodą nereikia. Ką čia galima padaryti, tai pašalinti iš trečiosios eilutės bendras koeficientas "-1/7".

Dabar viskas gražu. Belieka dar kartą parašyti matricą lygčių sistemos forma ir apskaičiuoti šaknis

x + 2y + 4z = 12 (1)

7m + 11z = 24 (2)

Algoritmas, pagal kurį dabar bus randamos šaknys, Gauso metodu vadinamas atvirkštiniu judėjimu. (3) lygtis apima z reikšmę:

y = (24–11×(61/9))/7 = –65/9

Ir pirmoji lygtis leidžia mums rasti x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Turime teisę tokią sistemą vadinti jungtine ir netgi apibrėžta, tai yra, turinčia unikalų sprendimą. Atsakymas parašytas tokia forma:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Neaiškios sistemos pavyzdys

Išnagrinėtas tam tikros sistemos sprendimo Gauso metodu variantas, dabar reikia svarstyti atvejį, kai sistema yra neapibrėžta, tai yra, jai galima rasti be galo daug sprendimų.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Jau pati sistemos išvaizda kelia nerimą, nes nežinomųjų skaičius yra n = 5, o sistemos matricos rangas jau yra tiksliai mažesnis už šį skaičių, nes eilučių skaičius yra m = 4, tai yra, didžiausia determinanto kvadrato eilė yra 4. Tai reiškia, kad sprendinių yra be galo daug ir reikia ieškoti bendros jo išvaizdos. Gauso metodas tiesinėms lygtims leidžia tai padaryti.

Pirmiausia, kaip įprasta, sudaroma išplėstinė matrica.

Antroji eilutė: koeficientas k = (-a 21 /a 11) = -3. Trečioje eilutėje pirmasis elementas yra prieš transformacijas, todėl nieko liesti nereikia, reikia palikti tokį, koks yra. Ketvirta eilutė: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Padauginus pirmosios eilutės elementus iš kiekvieno jų koeficiento paeiliui ir pridėjus juos prie reikiamų eilučių, gauname tokios formos matricą:

Kaip matote, antrą, trečią ir ketvirtą eilutes sudaro vienas kitam proporcingi elementai. Antrasis ir ketvirtasis paprastai yra identiški, todėl vieną iš jų galima nedelsiant pašalinti, o likusį padauginti iš koeficiento „-1“ ir gauti eilutės numerį 3. Ir vėl iš dviejų identiškų eilučių palikite vieną.

Rezultatas yra tokia matrica. Kol sistema dar neužrašyta, čia būtina nustatyti pagrindinius kintamuosius – tuos, kurių koeficientai yra a 11 = 1 ir a 22 = 1, o laisvuosius – visus kitus.

Antroje lygtyje yra tik vienas pagrindinis kintamasis - x 2. Tai reiškia, kad iš ten jį galima išreikšti rašant per kintamuosius x 3 , x 4 , x 5 , kurie yra laisvi.

Gautą išraišką pakeičiame pirmąja lygtimi.

Rezultatas yra lygtis, kurioje vienintelis pagrindinis kintamasis yra x 1 . Su juo darykime tą patį, kaip ir su x 2.

Visi pagrindiniai kintamieji, kurių yra du, išreiškiami trimis laisvaisiais, dabar atsakymą galime parašyti bendra forma.

Taip pat galite nurodyti vieną iš konkrečių sistemos sprendimų. Tokiais atvejais nuliai paprastai pasirenkami kaip laisvųjų kintamųjų reikšmės. Tada atsakymas bus toks:

16, 23, 0, 0, 0.

Nebendradarbiaujančios sistemos pavyzdys

Sprendimas nesuderinamos sistemos lygtys Gauso metodu – greičiausias. Jis iš karto baigiasi, kai tik viename iš etapų gaunama lygtis, kuri neturi sprendinio. Tai yra, pašalinamas šaknų skaičiavimo etapas, kuris yra gana ilgas ir varginantis. Atsižvelgiama į šią sistemą:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kaip įprasta, matrica sudaroma:

Ir jis sumažinamas iki laipsniškos formos:

k 1 = -2k 2 = -4

Po pirmosios transformacijos trečioje eilutėje yra formos lygtis

be sprendimo. Todėl sistema yra nenuosekli, ir atsakymas bus tuščias rinkinys.

Metodo privalumai ir trūkumai

Jei pasirinksite, kokį būdą SLAE spręsti popieriuje su rašikliu, tada šiame straipsnyje aptartas metodas atrodo patraukliausias. IN elementarios transformacijos daug sunkiau susipainioti, nei rankiniu būdu ieškoti determinanto arba kokios nors keblios atvirkštinės matricos. Tačiau jei naudojate programas dirbti su tokio tipo duomenimis, pavyzdžiui, skaičiuoklės, tada paaiškėja, kad tokiose programose jau yra pagrindinių matricų parametrų skaičiavimo algoritmai – determinantas, minorai, atvirkštiniai ir pan. Ir jei esate tikri, kad aparatas pats apskaičiuos šias reikšmes ir nepadarys klaidų, geriau naudoti matricos metodą arba Cramerio formules, nes jų naudojimas prasideda ir baigiasi determinantų ir determinantų skaičiavimu. atvirkštinės matricos.

Taikymas

Kadangi Gauso sprendimas yra algoritmas, o matrica iš tikrųjų yra dvimatis masyvas, jis gali būti naudojamas programuojant. Tačiau kadangi straipsnis yra „manekenų“ vadovas, reikėtų pasakyti, kad metodą lengviausia įdėti į skaičiuokles, pavyzdžiui, „Excel“. Vėlgi, bet koks SLAE, įvestas į lentelę matricos pavidalu, „Excel“ bus laikomas dvimačiu masyvu. O operacijoms su jais yra daug gražių komandų: pridėjimas (galite pridėti tik matricas tie patys dydžiai!), daugyba iš skaičiaus, matricinė daugyba (taip pat su tam tikri apribojimai), rasti atvirkštines ir perkeltas matricas ir, svarbiausia, apskaičiuoti determinantą. Pakeitus šią daug laiko reikalaujančią užduotį viena komanda, galima daug greičiau nustatyti matricos rangą ir taip nustatyti jos suderinamumą arba nesuderinamumą.