Natūralaus logaritmo sprendimas. Natūralusis logaritmas, funkcija ln x

Skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautume skaičių b.

Jei, tada.

Logaritmas – kraštutinis svarbu matematinis dydis , kadangi logaritminis skaičiavimas leidžia ne tik išspręsti eksponentinės lygtys, bet ir operuoti su rodikliais, diferencijuoti eksponentinį ir logaritmines funkcijas, integruoti juos ir pateikti priimtinesnę formą, kad būtų galima apskaičiuoti.

Visos logaritmų savybės yra tiesiogiai susijusios su eksponentinių funkcijų savybėmis. Pavyzdžiui, tai, kad reiškia, kad:

Reikėtų pažymėti, kad sprendžiant konkrečias užduotis, logaritmų savybės gali būti svarbesnės ir naudingesnės nei darbo su galiomis taisyklės.

Pateiksime keletą tapatybių:

Štai pagrindinės algebrinės išraiškos:

;

Dėmesio! gali egzistuoti tik esant x>0, x≠1, y>0.

Pabandykime suprasti klausimą, kas yra natūralūs logaritmai. Ypatingas susidomėjimas matematika atstovauja du tipus- pirmasis turi skaičių „10“ prie pagrindo ir vadinamas „ dešimtainis logaritmas“ Antrasis vadinamas natūraliu. Natūralaus logaritmo pagrindas yra skaičius „e“. Apie tai mes išsamiai kalbėsime šiame straipsnyje.

Pavadinimai:

lg x – dešimtainis;
ln x - natūralus.

Naudojant tapatybę, matome, kad ln e = 1, taip pat tai, kad lg 10=1.

Natūralaus logaritmo grafikas

Sukurkime natūralaus logaritmo grafiką naudodami standartą klasikiniu būdu taškais. Jei norite, galite patikrinti, ar teisingai konstruojame funkciją, išnagrinėję funkciją. Tačiau prasminga išmokti jį sukurti „rankiniu būdu“, kad žinotumėte, kaip teisingai apskaičiuoti logaritmą.

Funkcija: y = ln x. Užsirašykime taškų, per kuriuos eis grafikas, lentelę:

Paaiškinkime, kodėl pasirinkome šias konkrečias argumento x reikšmes. Viskas priklauso nuo tapatybės: . Natūralaus logaritmo atveju ši tapatybė atrodys taip:

Patogumui galime paimti penkis atskaitos taškus:

;

Taigi natūralių logaritmų skaičiavimas yra gana paprastas uždavinys, be to, supaprastina operacijų su laipsniais skaičiavimus, paverčiant juos į įprastas dauginimas.

Nubraižę grafiką taškas po taško, gauname apytikslį grafiką:

Natūralaus logaritmo apibrėžimo sritis (t. y. visi galiojančios vertės argumentas X) – visi skaičiai yra didesni už nulį.

Dėmesio! Natūralaus logaritmo apibrėžimo sritis apima tik teigiami skaičiai! Apibrėžimo apimtis neapima x=0. Tai neįmanoma remiantis logaritmo egzistavimo sąlygomis.

Reikšmių diapazonas (ty visos galiojančios funkcijos y = ln x reikšmės) yra visi intervalo skaičiai.

Natūralaus žurnalo limitas

Studijuojant grafiką kyla klausimas – kaip funkcija elgiasi ties y<0.

Akivaizdu, kad funkcijos grafikas linkęs kirsti y ašį, bet negalės to padaryti, nes x natūralusis logaritmas<0 не существует.

Natūralumo riba žurnalas galima parašyti taip:

Logaritmo pagrindo pakeitimo formulė

Susitvarkyti su natūraliu logaritmu yra daug lengviau nei su logaritmu, kurio pagrindas yra savavališkas. Štai kodėl mes stengsimės išmokti bet kurį logaritmą sumažinti iki natūraliojo arba išreikšti jį į savavališką bazę natūraliais logaritmais.

Pradėkime nuo logaritminės tapatybės:

Tada bet koks skaičius arba kintamasis y gali būti pavaizduotas kaip:

kur x yra bet koks skaičius (teigiamas pagal logaritmo savybes).

Ši išraiška gali būti paimta logaritmiškai iš abiejų pusių. Padarykime tai naudodami savavališką bazę z:

Naudokime savybę (tik vietoj „c“ turime išraišką):

Iš čia gauname universalią formulę:

Visų pirma, jei z = e, tada:

Mes galėjome pateikti logaritmą į savavališką bazę, naudodami dviejų natūralių logaritmų santykį.

Mes sprendžiame problemas

Norėdami geriau suprasti natūralius logaritmus, pažvelkime į kelių problemų pavyzdžius.

1 problema. Būtina išspręsti lygtį ln x = 3.

Sprendimas: Naudodami logaritmo apibrėžimą: jei , tada , gauname:

2 problema. Išspręskite lygtį (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Sprendimas: Naudodami logaritmo apibrėžimą: jei , tada , gauname:

Dar kartą panaudokime logaritmo apibrėžimą:

Taigi:

Galite apytiksliai apskaičiuoti atsakymą arba galite palikti jį šioje formoje.

3 užduotis. Išspręskite lygtį.

Sprendimas: Pakeiskime: t = ln x. Tada lygtis bus tokia:

Turime kvadratinę lygtį. Raskime jo diskriminatorių:

Pirmoji lygties šaknis:

Antroji lygties šaknis:

Prisimindami, kad atlikome pakeitimą t = ln x, gauname:

Statistikoje ir tikimybių teorijoje logaritminiai dydžiai randami labai dažnai. Tai nenuostabu, nes skaičius e dažnai atspindi eksponentinių dydžių augimo greitį.

Informatikos, programavimo ir kompiuterių teorijos srityse logaritmai randami gana dažnai, pavyzdžiui, norint atmintyje išsaugoti N bitų.

Fraktalų ir matmenų teorijose logaritmai naudojami nuolat, nes tik jų pagalba nustatomi fraktalų matmenys.

Mechanikoje ir fizikoje Nėra skyriaus, kuriame nebūtų naudojami logaritmai. Barometrinis skirstinys, visi statistinės termodinamikos principai, Ciolkovskio lygtis ir kt. yra procesai, kuriuos matematiškai galima aprašyti tik naudojant logaritmus.

Chemijoje logaritmai naudojami Nernsto lygtyse ir redokso procesų aprašymuose.

Nuostabu, kad net muzikoje, norint sužinoti oktavos dalių skaičių, naudojami logaritmai.

Natūralus logaritmas Funkcija y=ln x jos savybės

Natūralaus logaritmo pagrindinės savybės įrodymas

Natūralaus logaritmo funkcijos grafikas. Funkcija didėjant lėtai artėja prie teigiamos begalybės x ir greitai artėja prie neigiamos begalybės, kai x linkęs į 0 („lėtas“ ir „greitas“, palyginti su bet kokia galios funkcija x).

Natūralus logaritmas yra logaritmas iki pagrindo , Kur e (\displaystyle e)- neracionalioji konstanta, lygi maždaug 2,72. Jis žymimas kaip ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) arba kartais tiesiog log ⁡ x (\displaystyle \log x), jei pagrindas e (\displaystyle e) numanoma . Kitaip tariant, natūralusis skaičiaus logaritmas x- tai eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių e gauti x. Šis apibrėžimas gali būti išplėstas iki kompleksinių skaičių.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), nes e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1 = 0), nes e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Natūralųjį logaritmą taip pat galima apibrėžti geometriškai bet kuriam teigiamam realiajam skaičiui a kaip plotas po kreive y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) tarpais [1; a ] (\displaystyle ). Šio apibrėžimo paprastumas, atitinkantis daugelį kitų formulių, naudojančių šį logaritmą, paaiškina pavadinimo „natūralus“ kilmę.

Jei natūralųjį logaritmą laikysime realia tikrojo kintamojo funkcija, tai yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos funkcija, kuri lemia tapatybes:

e ln⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Kaip ir visi logaritmai, natūralusis logaritmas priskiria daugybą ir sudėjimą:

ln⁡xy = ln⁡x + ln⁡y. (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Tai gali būti, pavyzdžiui, skaičiuotuvas iš pagrindinio programų rinkinio operacinė sistema Windows. Jo paleidimo nuoroda yra gana paslėpta pagrindiniame OS meniu - atidarykite ją spustelėdami mygtuką „Pradėti“, tada atidarykite skyrių „Programos“, eikite į poskyrį „Standartinis“, tada į „Komunalinės paslaugos“. skyrių ir galiausiai spustelėkite elementą „Skaičiuoklė“ Užuot naudoję pelę ir naršydami meniu, galite naudoti klaviatūrą ir programos paleidimo dialogą – paspauskite klavišų kombinaciją WIN + R, įveskite calc (tai yra skaičiuotuvo vykdomojo failo pavadinimas) ir paspauskite Enter.

Perjunkite skaičiuotuvo sąsają į išplėstinį režimą, kuris leidžia atlikti... Pagal numatytuosius nustatymus jis atidaromas „įprastu“ rodiniu, bet jums reikia „inžinerijos“ arba „ “ (priklausomai nuo naudojamos OS versijos). Meniu išskleiskite skyrių „View“ ir pasirinkite atitinkamą eilutę.

Įveskite argumentą, kurio natūralią vertę norite įvertinti. Tai galima padaryti naudojant klaviatūrą arba spustelėjus atitinkamus mygtukus skaičiuotuvo sąsajoje ekrane.

Spustelėkite mygtuką, pažymėtą ln – programa apskaičiuos logaritmą iki pagrindo e ir parodys rezultatą.

Naudokite vieną iš -skaičiuotuvų kaip alternatyvą natūraliojo logaritmo vertei apskaičiuoti. Pavyzdžiui, esantis adresu http://calc.org.ua. Jo sąsaja itin paprasta – yra vienas įvesties laukas, kuriame reikia įvesti skaičiaus reikšmę, kurios logaritmą reikia apskaičiuoti. Tarp mygtukų raskite ir spustelėkite tą, kuris sako ln. Šios skaičiuoklės scenarijus nereikalauja duomenų siuntimo į serverį ir atsakymo, todėl skaičiavimo rezultatą gausite beveik akimirksniu. Vienintelė savybė, į kurią reikėtų atsižvelgti, yra skyriklis tarp trupmenos ir visa dalisĮvestas skaičius čia turi turėti tašką, o ne .

Terminas " logaritmas“ kilo iš dviejų Graikiški žodžiai, iš kurių vienas reiškia „skaičius“, o kitas – „santykį“. Jie žymi matematinis veiksmas skaičiavimai kintamo dydžio(rodiklis), iki kurio jis turi būti pakeltas pastovią vertę(bazė), kad gautumėte po ženklu nurodytą numerį logaritmas A. Jei bazė yra lygi matematinei konstantai, vadinamai skaičiumi "e", tada logaritmas vadinamas „natūraliu“.

Jums reikės

Prieiga prie interneto, Microsoft Office Excel arba skaičiuotuvas.

Instrukcijos

Pasinaudokite daugybe internete esančių skaičiuoklių – tai galbūt paprastas būdas apskaičiuoti natūralų a. Jums nereikia ieškoti tinkamos paslaugos, nes daugelis paieškos sistemos ir patys turi įmontuotus skaičiuotuvus, visai tinkančius darbui logaritmas ami. Pavyzdžiui, eikite į pagrindinis puslapis didžiausia interneto paieškos sistema – Google. Čia nereikia mygtukų norint įvesti reikšmes ar pasirinkti funkcijas, tiesiog įveskite norimą matematinį veiksmą užklausos įvesties lauke. Tarkime, paskaičiuoti logaritmas ir skaičių 457 bazėje „e“, įveskite ln 457 – to užteks, kad „Google“ parodytų aštuonių skaitmenų po kablelio tikslumu (6.12468339) net nepaspaudus mygtuko siųsti užklausą serveriui.

Jei reikia apskaičiuoti natūralaus vertę, naudokite atitinkamą įtaisytąją funkciją logaritmas ir atsiranda dirbant su duomenimis populiarioje skaičiuoklių rengyklėje Microsoft Office Excel. Ši funkcija čia iškviečiama naudojant bendrą žymėjimą logaritmas o didžiosiomis raidėmis - LN. Pasirinkite langelį, kuriame turėtų būti rodomas skaičiavimo rezultatas, ir įveskite lygybės ženklą - taip šioje skaičiuoklės rengyklėje įrašai turėtų prasidėti langeliuose, esančiuose pagrindinio meniu skilties „Visos programos“ poskyryje „Standartinis“. Perjunkite skaičiuotuvą į funkcionalesnį režimą paspausdami sparčiuosius klavišus Alt + 2. Tada įveskite natūralią reikšmę logaritmas kurią norite apskaičiuoti, ir programos sąsajoje spustelėkite mygtuką, pažymėtą simboliais ln. Programa atliks skaičiavimą ir parodys rezultatą.

Video tema

Pamoka ir pristatymas temomis: "Natūralūs logaritmai. Natūralaus logaritmo pagrindas. Natūralaus skaičiaus logaritmas"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 11 klasei
Interaktyvus vadovas 9–11 klasėms „Trigonometrija“
Interaktyvus vadovas 10–11 klasėms „Logaritmai“

Kas yra natūralusis logaritmas

Vaikinai, praėjusioje pamokoje išmokome naują, ypatingą numerį – el.
Ištyrėme logaritmus ir žinome, kad logaritmo bazė gali būti daug didesnių už 0. Šiandien taip pat pažvelgsime į logaritmą, kurio pagrindas yra skaičius e. Toks logaritmas paprastai vadinamas natūraliuoju logaritmu. Jis turi savo žymėjimą: $\ln(n)$ yra natūralusis logaritmas. Šis įrašas atitinka įrašą: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponentinės ir logaritminės funkcijos yra atvirkštinės, tada natūralusis logaritmas yra atvirkštinė funkcija: $y=e^x$.
Atvirkštinės funkcijos yra simetriškos tiesės $y=x$ atžvilgiu.
Nubraižykime natūralųjį logaritmą brėždami eksponentinę funkciją tiesės $y=x$ atžvilgiu.

Verta pažymėti, kad funkcijos $y=e^x$ grafiko liestinės polinkio kampas taške (0;1) yra 45°. Tada natūraliojo logaritmo grafiko liestinės polinkio kampas taške (1;0) taip pat bus lygus 45°. Abi šios liestinės bus lygiagrečios tiesei $y=x$. Nubraižykime liestinių diagramą:

Funkcijos $y=\ln(x)$ savybės

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nėra nei lyginis, nei nelyginis.
3. Didėja visoje apibrėžimo srityje.
4. Neribojama iš viršaus, neribojama iš apačios.
5. Didžiausia vertė ne, mažiausia vertė Nr.
6. Nepertraukiamas.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Išgaubtas į viršų.
9. Visur skiriasi.

Žinodami aukštoji matematika tai buvo įrodyta išvestinė atvirkštinė funkcija yra atvirkštinė duotosios funkcijos išvestinė.
Nėra daug prasmės gilintis į įrodymą, tiesiog parašykime formulę: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Pavyzdys.
Apskaičiuokite funkcijos išvestinės reikšmę: $y=\ln(2x-7)$ taške $x=4$.
Sprendimas.
IN bendras vaizdas mūsų funkcija pavaizduota funkcija $y=f(kx+m)$, galime apskaičiuoti tokių funkcijų išvestines.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Apskaičiuokime išvestinės reikšmę reikiamame taške: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Atsakymas: 2.

Pavyzdys.
Nubrėžkite funkcijos $y=ln(x)$ grafiko liestinę taške $х=е$.
Sprendimas.
Gerai prisimename funkcijos grafiko liestinės lygtį taške $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Paeiliui apskaičiuojame reikiamas vertes.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Liestinės lygtis taške $x=e$ yra funkcija $y=\frac(x)(e)$.
Nubraižykime natūralųjį logaritmą ir liestinės tiesę.

Pavyzdys.
Išnagrinėkite monotoniškumo ir ekstremalumo funkciją: $y=x^6-6*ln(x)$.
Sprendimas.
Funkcijos $D(y)=(0;+∞)$ apibrėžimo sritis.
Raskime duotosios funkcijos išvestinę:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Tada išvestinė egzistuoja visiems x iš apibrėžimo srities kritinius taškus Nr. Raskime stacionarius taškus:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
6 USD * x ^ 6–6 = 0 USD.
$x^6-1=0$.
$x^6 = 1$.
$x=±1$.
Taškas $х=-1$ nepriklauso apibrėžimo sričiai. Tada mes turime vieną stacionarus taškas$x = 1 $. Raskime didėjimo ir mažėjimo intervalus:

Taškas $x=1$ yra mažiausias taškas, tada $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Atsakymas: Funkcija mažėja atkarpoje (0;1], funkcija didėja ant spindulio $)