Geometrinė skirtumo tarp antiderivatinės funkcijos reikšmių reikšmė. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) antidariniu, jei F`(x)=f(x) arba dF(x)=f(x)dx

Integralo sąvokos atsiradimą lėmė poreikis iš jo išvestinės rasti antiderivatinę funkciją, taip pat nustatyti darbo kiekį, sudėtingų figūrų plotą, nuvažiuotą atstumą su parametrais, nubrėžtais aprašytomis kreivėmis. pagal netiesines formules.

ir tas darbas lygus jėgos ir atstumo sandaugai. Jei visi judesiai atsiranda su pastovus greitis arba atstumas įveikiamas pritaikius tą pačią jėgą, tada viskas aišku, tereikia jas padauginti. Kas yra konstantos integralas? y=kx+c formos.

Tačiau jėga gali keistis darbo metu ir dėl tam tikros natūralios priklausomybės. Ta pati situacija susidaro skaičiuojant nuvažiuotą atstumą, jei greitis nėra pastovus.

Taigi, aišku, kam reikalingas integralas. Apibrėžiant jį kaip funkcijos reikšmių sandaugų sumą be galo mažu argumento prieaugiu, visiškai aprašoma pagrindinė reikšmėši sąvoka yra figūros plotas, kurį viršuje riboja funkcijos linija, o kraštuose – apibrėžimo ribos.

Jeanas Gastonas Darboux prancūzų matematikas, XIX amžiaus antroje pusėje labai aiškiai paaiškino, kas yra integralas. Jis taip aiškiai pasakė, kad apskritai net moksleiviui nebūtų sunku suprasti šį klausimą. jaunesniųjų klasių vidurinę mokyklą.

Tarkime, kad yra bet kurios funkcijos sudėtinga forma. Ordinačių ašis, ant kurios brėžiamos argumento reikšmės, yra padalinta į mažus intervalus, idealiu atveju jie yra begaliniai, tačiau kadangi begalybės sąvoka yra gana abstrakti, pakanka įsivaizduoti tiesiog mažus segmentus, kurių vertė paprastai yra žymimas Graikiškas laiškasΔ (delta).

Funkcija pasirodė „supjaustyta“ į mažas plytas.

Kiekviena argumento reikšmė atitinka tašką ordinačių ašyje, ant kurio brėžiamos atitinkamos funkcijos reikšmės. Tačiau kadangi pasirinkta sritis turi dvi ribas, taip pat bus dvi funkcijos reikšmės – didesnė ir mažesnė.

Vadinama prieaugio Δ didesnių verčių sandaugų suma didelę sumą Darboux, ir žymimas S. Atitinkamai, mažesnės vertės ribotame plote, padaugintos iš Δ, visos kartu sudaro nedidelę Darboux sumą s. Pati svetainė primena stačiakampė trapecija, nes galima nepaisyti funkcijos linijos kreivumo, kurio prieaugis yra be galo mažas. Lengviausias būdas rasti vietovę yra toks geometrinė figūra- yra sudėti didesnio gaminius ir mažesnė vertė funkcijos pagal Δ prieaugį ir padalykite iš dviejų, tai yra, apibrėžiamos kaip aritmetinis vidurkis.

Štai koks yra Darboux integralas:

s=Σf(x) Δ - mažas kiekis;

S= Σf(x+Δ)Δ yra didelis kiekis.

Taigi, kas yra integralas? kvadratas, apribota linija funkcijos ir apibrėžimo ribos bus lygios:

∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c

Tai yra, didelių ir mažų Darboux sumų.s aritmetinis vidurkis yra pastovi reikšmė, kuri diferencijavimo metu nustatoma iš naujo.

Remiantis geometrine šios sąvokos išraiška, tampa aišku fizinę reikšmę integralas. Nurodytas greičio funkcija ir apribotas laiko intervalu išilgai x ašies, bus nuvažiuoto atstumo ilgis.

L = ∫f(x)dx intervale nuo t1 iki t2,

f(x) yra greičio funkcija, tai yra formulė, pagal kurią jis keičiasi laikui bėgant;

L - kelio ilgis;

t1 - kelionės pradžios laikas;

t2 – kelionės pabaigos laikas.

Lygiai tuo pačiu principu nustatomas darbo kiekis, tik atstumas bus brėžiamas išilgai abscisių, o jėgos, veikiančios kiekviename konkrečiame taške, dydis – išilgai ordinatės.

Kiekvienam matematiniam veiksmui yra atvirkštinis veiksmas. Diferencijavimo veiksmui (funkcijų išvestinių radimui) yra ir atvirkštinis veiksmas – integracija. Integruojant funkcija randama (atkuriama) iš jos duotosios išvestinės arba diferencialo. Rasta funkcija vadinama antidarinis.

Apibrėžimas. Diferencijuojama funkcija F(x) vadinamas funkcijos antidariniu f(x) tam tikru intervalu, jei visiems X iš šio intervalo galioja ši lygybė: F′(x)=f (x).

Pavyzdžiai. Raskite funkcijų antidarinius: 1) f (x)=2x; 2) f (x) = 3 cos3x.

1) Kadangi (x²)′=2x, tai pagal apibrėžimą funkcija F (x)=x² bus funkcijos f (x)=2x antidarinė.

2) (sin3x)′=3cos3x. Jei pažymėsime f (x)=3cos3x ir F (x)=sin3x, tada pagal antidarinės apibrėžimą turime: F'(x)=f (x), todėl F (x)=sin3x yra antidarinys, kai f (x)=3cos3x.

Atkreipkite dėmesį, kad (sin3x +5 )′= 3cos3x, ir (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... bendra forma galime rašyti: (sin3x +C)′= 3cos3x, Kur SU- kai kurie pastovus. Šie pavyzdžiai rodo integracijos veiksmo dviprasmiškumą, priešingai nei diferenciacijos veiksmas, kai bet kuri diferencijuojama funkcija turi vieną išvestinę.

Apibrėžimas. Jei funkcija F(x) yra funkcijos antidarinys f(x) tam tikru intervalu, tada visų šios funkcijos antidarinių rinkinys turi tokią formą:

F(x)+C, kur C yra bet koks realusis skaičius.

Visų nagrinėjamo intervalo funkcijos f (x) antidarinių F (x)+C aibė vadinama neapibrėžtas integralas ir yra pažymėtas simboliu ∫ (integralus ženklas). Užsirašykite: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Išraiška ∫f(x)dx skaitykite: „integralas ef nuo x iki de x“.

f(x)dx- integrantinė išraiška,

f(x)- integravimo funkcija,

X — integracijos kintamasis.

F(x)- funkcijos antidarinys f(x),

SU- tam tikra pastovi vertė.

Dabar nagrinėjamus pavyzdžius galima parašyti taip:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Ką reiškia d ženklas?

d- diferencialinis ženklas – turi dvejopą paskirtį: pirma, šis ženklas atskiria integrandą nuo integravimo kintamojo; antra, viskas, kas yra po šio ženklo, pagal numatytuosius nustatymus yra diferencijuojama ir padauginama iš integrando.

Pavyzdžiai. Raskite integralus: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Po diferencialo piktograma d išlaidas XX, A r

∫ 2хрdx=рх²+С. Palyginkite su pavyzdžiu 1).

Patikrinkime. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Po diferencialo piktograma d išlaidas r. Tai reiškia, kad integracijos kintamasis r, ir daugiklis X turėtų būti laikoma tam tikra pastovia verte.

∫ 2хрдр=р²х+С. Palyginkite su pavyzdžiais 1) Ir 3).

Patikrinkime. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Panagrinėkime taško judėjimą tiesia linija. Tegul tai užtrunka t nuo judesio pradžios taškas nuėjo atstumą s(t). Tada momentinis greitis v(t) lygus funkcijos išvestinei s(t), tai yra v(t) = s"(t).

Praktikoje pasitaiko atvirkštinė problema: tam tikru taško judėjimo greičiu v(t) rasti kelią, kuriuo ji ėjo s(t), tai yra rasti tokią funkciją s(t), kurio išvestinė lygi v(t). Funkcija s(t), toks kad s"(t) = v(t), vadinamas funkcijos antidariniu v(t).

Pavyzdžiui, jei v(t) = аt, Kur A– duotas numeris, tada funkcija
s(t) = (аt 2) / 2v(t), nes
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Funkcija F(x) vadinamas funkcijos antidariniu f(x) tam tikru intervalu, jei visiems X iš šio tarpo F"(x) = f(x).

Pavyzdžiui, funkcija F(x) = sin x yra funkcijos antidarinys f(x) = cos x, nes (sin x)" = cos x; funkcija F(x) = x 4 /4 yra funkcijos antidarinys f(x) = x 3, nes (x 4 / 4)" = x 3.

Panagrinėkime problemą.

Užduotis.

Įrodykite, kad funkcijos x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 yra tos pačios funkcijos f(x) = x 2 antidarinės.

Sprendimas.

1) Pažymėkime F 1 (x) = x 3 /3, tada F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 / 3) = x 2 = f (x).

2) F 2 (x) = x 3 / 3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 / 3 + 1)" = (x 3 / 3)" + (1)" = x 2 = f ( x).

3) F 3 (x) = x 3 / 3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 / 3 - 4)" = x 2 = f (x).

Apskritai, bet kuri funkcija x 3 / 3 + C, kur C yra konstanta, yra funkcijos x 2 antidarinė. Tai išplaukia iš to, kad konstantos išvestinė lygi nuliui. Šis pavyzdys rodo, kad suteikta funkcija jo antidarinys nustatomas dviprasmiškai.

Tegul F 1 (x) ir F 2 (x) yra du tos pačios funkcijos f(x) antidariniai.

Tada F 1 "(x) = f(x) ir F" 2 (x) = f(x).

Jų skirtumo g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) išvestinė lygi nuliui, nes g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f (x) = 0.

Jei g"(x) = 0 tam tikrame intervale, tai funkcijos y = g(x) grafiko liestinė kiekviename šio intervalo taške yra lygiagreti Ox ašiai. Todėl funkcijos y = grafikas g(x) yra lygiagreti Ox ašiai, ty g(x) = C, kur C yra tam tikra konstanta g(x) = C, g(x) = F 1 (x). – F 2 (x) iš to išplaukia, kad F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Taigi, jei funkcija F(x) yra funkcijos f(x) antidarinė tam tikrame intervale, tai visos antidarinės funkcijos f(x) parašytos F(x) + C forma, kur C yra savavališka konstanta. .

Panagrinėkime visų duotosios funkcijos f(x) antidarinių grafikus. Jei F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių, tai bet kuri šios funkcijos antidarinė gaunama prie F(x) pridėjus kokią nors konstantą: F(x) + C. Funkcijų grafikai y = F( x) + C gaunami iš grafiko y = F(x) poslinkio išilgai Oy ašies. Pasirinkę C, galite užtikrinti, kad antidarinės grafikas eina per nurodytą tašką.

Atkreipkime dėmesį į antidarinių paieškos taisykles.

Prisiminkite, kad vadinama duotosios funkcijos išvestinės radimo operacija diferenciacija. Atvirkštinis veikimas tam tikros funkcijos antidarinio radimas vadinamas integracija(nuo Lotyniškas žodis "atkurti").

Antidarinių lentelė Kai kurioms funkcijoms ją galima sudaryti naudojant išvestinių lentelę. Pavyzdžiui, žinant tai (cos x)" = -sin x, gauname (-cos x)" = sin x, iš ko išplaukia, kad visos antidarinės funkcijos nuodėmė x yra parašyti formoje -cos x + C, Kur SU– pastovus.

Pažvelkime į kai kurias antidarinių reikšmes.

1) Funkcija: x p, p ≠ -1. Antidarinis: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funkcija: 1/x, x > 0. Antidarinis: ln x + C.

3) Funkcija: x p, p ≠ -1. Antidarinis: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funkcija: e x. Antidarinis: e x + C.

5) Funkcija: nuodėmė x. Antidarinis: -cos x + C.

6) Funkcija: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antidarinis: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funkcija: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antidarinis: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funkcija: e kx + b, k ≠ 0. Antidarinis: (1/k) e kx + b + C.

9) Funkcija: sin (kx + b), k ≠ 0. Antidarinis: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funkcija: cos (kx + b), k ≠ 0. Antidarinis: (1/k) sin (kx + b).

Integracijos taisyklės galima gauti naudojant diferenciacijos taisyklės. Pažvelkime į kai kurias taisykles.

Leiskite F(x) Ir G(x)– atitinkamų funkcijų antidariniai f(x) Ir g(x) tam tikru intervalu. Tada:

1) funkcija F(x) ± G(x) yra funkcijos antidarinys f(x) ± g(x);

2) funkcija aF(x) yra funkcijos antidarinys af(x).

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Kažkoks intervalas X. Jei Už bet koks xХ F"(x) = f(x), tada funkcija F paskambinoantidarinisUžfunkcijas f intervale X. AntidarinisUžfunkcijas galite pabandyti surasti...