Apibrėžimas. Tegul funkcija \(y = f(x)\) yra apibrėžta tam tikrame intervale, kurio viduje yra taškas \(x_0\). Suteikime argumentui prieaugį \(\Delta x \), kad jis nepaliktų šio intervalo. Raskime atitinkamą funkcijos \(\Delta y \) prieaugį (judėdami iš taško \(x_0 \) į tašką \(x_0 + \Delta x \)) ir sudarykime ryšį \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jei šio santykio riba yra \(\Delta x \rightarrow 0\), tada nurodyta riba vadinama funkcijos išvestinė\(y=f(x) \) taške \(x_0 \) ir pažymėkite \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \iki 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Simbolis y dažnai naudojamas išvestinei žymėti." Atkreipkite dėmesį, kad y" = f(x) yra nauja funkcija, bet natūraliai susietas su funkcija y = f(x), apibrėžta visuose x taškuose, kuriuose egzistuoja aukščiau nurodyta riba. Ši funkcija vadinama taip: funkcijos y = f(x) išvestinė.
Geometrinė reikšmė išvestinė yra taip. Jeigu galima nubrėžti funkcijos y = f(x) grafiko liestinę taške su abscise x=a, kuris nėra lygiagretus y ašiai, tai f(a) išreiškia liestinės nuolydį :
\(k = f"(a)\)
Kadangi \(k = tg(a) \), tai lygybė \(f"(a) = tan(a) \) yra teisinga.
Dabar interpretuokime išvestinės apibrėžimą apytikslių lygybių požiūriu. Tegul funkcija \(y = f(x)\) turi išvestinę in konkretus taškas\(x\):
$$ \lim_(\Delta x \iki 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tai reiškia, kad netoli taško x apytikslė lygybė \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), t.y. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Gautos apytikslės lygybės prasminga reikšmė yra tokia: funkcijos prieaugis yra „beveik proporcingas“ argumento prieaugiui, o proporcingumo koeficientas yra išvestinės reikšmė išvestinėje. duotas taškas X. Pavyzdžiui, funkcijai \(y = x^2\) galioja apytikslė lygybė \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Jei atidžiai išanalizuosime išvestinės apibrėžimą, pamatysime, kad jame yra algoritmas, kaip jį rasti.
Suformuluokime.
Kaip rasti funkcijos y = f(x) išvestinę?
1. Pataisykite \(x\) reikšmę, raskite \(f(x)\)
2. Suteikite argumentui \(x\) prieaugį \(\Delta x\), eikite į naujas taškas\(x+ \Delta x \), raskite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Raskite funkcijos prieaugį: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sukurkite ryšį \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Apskaičiuokite $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ši riba yra funkcijos taške x išvestinė.
Jei funkcija y = f(x) turi išvestinę taške x, tai taške x ji vadinama diferencijuojama. Iškviečiama funkcijos y = f(x) išvestinės radimo procedūra diferenciacija funkcijos y = f(x).
Aptarkime tokį klausimą: kaip funkcijos tęstinumas ir diferenciamumas taške yra susiję vienas su kitu?
Tegul funkcija y = f(x) taške x diferencijuojama. Tada funkcijos grafiko taške M(x; f(x)) galima nubrėžti liestinę ir, prisiminkime, liestinės kampinis koeficientas yra lygus f "(x). Toks grafikas negali "nutrūkti" taške M, ty funkcija taške x turi būti ištisinė.
Tai buvo „rankiniai“ argumentai. Pateikime griežtesnį samprotavimą. Jei funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x, galioja apytikslė lygybė \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Jei šioje lygybėje \(\Delta x) \) linkęs į nulį, tada \(\Delta y \) bus linkęs į nulį, ir tai yra funkcijos tęstinumo taške sąlyga.
Taigi, jei funkcija yra diferencijuojama taške x, tai tame taške ji yra tolydi.
Atvirkščias teiginys nėra teisingas. Pavyzdžiui: funkcija y = |x| yra ištisinis visur, ypač taške x = 0, bet funkcijos grafiko liestinė "sandūros taške" (0; 0) neegzistuoja. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinės negalima nubrėžti, tai išvestinė tame taške neegzistuoja.
Kitas pavyzdys. Funkcija \(y=\sqrt(x)\) yra ištisinė visoje skaičių tiesėje, įskaitant tašką x = 0. O funkcijos grafiko liestinė egzistuoja bet kuriame taške, įskaitant tašką x = 0 Bet šiuo metu liestinė sutampa su y ašimi, ty ji yra statmena abscisių ašiai, jos lygtis yra x = 0. Nuolydžio koeficientas tokios eilutės nėra, tai reiškia, kad \(f"(0) \) taip pat nėra
Taigi, susipažinome su nauja funkcijos savybe – diferenciacija. Kaip iš funkcijos grafiko galima daryti išvadą, kad ji yra diferencijuojama?
Atsakymas iš tikrųjų pateiktas aukščiau. Jei tam tikru momentu galima nubrėžti funkcijos grafiko liestinę, kuri nėra statmena abscisių ašiai, tai šioje vietoje funkcija yra diferencijuojama. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinė neegzistuoja arba ji yra statmena abscisių ašiai, tai šiuo metu funkcija nediferencijuojama.
Diferencijavimo taisyklės
Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija. Atliekant šią operaciją dažnai tenka dirbti su koeficientais, sumomis, funkcijų sandaugomis, taip pat su „funkcijų funkcijomis“, tai yra su sudėtingomis funkcijomis. Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, galime išvesti diferencijavimo taisykles, kurios palengvina šį darbą. Jei C - pastovus skaičius ir f=f(x), g=g(x) yra kai kurios diferencijuojamos funkcijos, tada yra teisingi šie dalykai diferenciacijos taisyklės:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Kai kurių funkcijų išvestinių lentelė
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Apsvarstykite toliau pateiktą paveikslą.
Jame pavaizduotas funkcijos y = x^3 – 3*x^2 grafikas. Panagrinėkime kokį nors intervalą, kuriame yra taškas x = 0, pavyzdžiui, nuo -1 iki 1. Toks intervalas dar vadinamas taško x = 0 kaimynyste. Kaip matyti grafike, šioje kaimynystėje funkcija y = x ^3 – 3*x^2 įgauna didžiausią reikšmę tiksliai taške x = 0.
Maksimalios ir minimalios funkcijos
Šiuo atveju taškas x = 0 vadinamas maksimaliu funkcijos tašku. Pagal analogiją taškas x = 2 vadinamas funkcijos y = x^3 – 3*x^2 minimaliu tašku. Kadangi yra šio taško kaimynystė, kurioje vertė šiuo metu bus minimali tarp visų kitų šios kaimynystės verčių.
Taškas maksimalus funkcija f(x) vadinama tašku x0, su sąlyga, kad yra taško x0 kaimynystė, kad visiems x, kurie nėra lygūs x0 iš šios apylinkės, galioja nelygybė f(x)< f(x0).
Taškas minimumas funkcija f(x) vadinama tašku x0, su sąlyga, kad yra taško x0 kaimynystė, kad visiems x, kurie nėra lygūs x0 iš šios apylinkės, galioja nelygybė f(x) > f(x0).
Funkcijų maksimumo ir minimumo taškuose funkcijos išvestinės reikšmė lygi nuliui. Bet taip nėra pakankama būklė egzistavimui funkcijos maksimumo arba minimumo taške.
Pavyzdžiui, funkcija y = x^3 taške x = 0 turi išvestinę lygus nuliui. Bet taškas x = 0 nėra mažiausias ar maksimalus funkcijos taškas. Kaip žinote, funkcija y = x^3 didėja išilgai visos skaitinės ašies.
Taigi minimalus ir maksimalus taškai visada bus tarp lygties f’(x) = 0 šaknų. Tačiau ne visos šios lygties šaknys bus didžiausi arba minimalūs taškai.
Stacionarūs ir kritiniai taškai
Taškai, kuriuose funkcijos išvestinės reikšmė lygi nuliui, vadinami stacionariais taškais. Taip pat gali būti maksimalaus arba minimumo taškų taškuose, kuriuose funkcijos išvestinė iš viso neegzistuoja. Pavyzdžiui, y = |x| taške x = 0 turi minimumą, bet išvestinė šiame taške neegzistuoja. Šis taškas bus kritinis funkcijos taškas.
Funkcijos kritiniai taškai yra taškai, kuriuose išvestinė yra lygi nuliui arba išvestinė šiame taške neegzistuoja, tai yra, funkcija šiame taške yra nediferencijuojama. Norint rasti funkcijos maksimumą arba minimumą, turi būti įvykdyta pakankama sąlyga.
Tegu f(x) yra tam tikra intervalo (a;b) diferencijuojama funkcija. Taškas x0 priklauso šiam intervalui ir f’(x0) = 0. Tada:
1. jei, eidama per stacionarų tašką x0, funkcija f(x) ir jos išvestinė keičia ženklą iš „pliuso“ į „minusą“, tai taškas x0 yra maksimalus funkcijos taškas.
2. jei, einant per stacionarų tašką x0, funkcija f(x) ir jos išvestinė keičia ženklą iš „minuso“ į „pliusą“, tai taškas x0 yra mažiausias funkcijos taškas.
Funkcija didėja iki argumento padidėjimo, kuris linkęs į nulį. Norėdami jį rasti, naudokite išvestinių lentelę. Pavyzdžiui, funkcijos y = x3 išvestinė bus lygi y’ = x2.
Prilyginkite šią išvestinę nuliui (in šiuo atveju x2=0).
Raskite nurodyto kintamojo reikšmę. Tai bus reikšmės, kurioms esant duota išvestinė bus lygi 0. Norėdami tai padaryti, reiškinyje vietoj x pakeiskite savavališkus skaičius, kuriems esant visa išraiška taps nuliu. Pavyzdžiui:
2-2x2 = 0
(1-x) (1+x) = 0
x1 = 1, x2 = -1
Nubraižykite gautas reikšmes koordinačių tiesėje ir apskaičiuokite kiekvienos gautos reikšmės išvestinės ženklą. Koordinačių tiesėje pažymėti taškai, kurie laikomi pradine. Norėdami apskaičiuoti intervalų vertę, pakeiskite savavališkas reikšmes, kurios atitinka kriterijus. Pavyzdžiui, ankstesnei funkcijai prieš intervalą -1 galite pasirinkti reikšmę -2. Reikšmėms nuo -1 iki 1 galite pasirinkti 0, o didesnėms nei 1 - 2. Pakeiskite šiuos skaičius išvestinėje ir sužinokite išvestinės ženklą. Šiuo atveju išvestinė su x = -2 bus lygi -0,24, t.y. neigiamas ir šiame intervale bus minuso ženklas. Jei x=0, tada reikšmė bus lygi 2, o šiame intervale dedamas ženklas. Jei x=1, tai išvestinė taip pat bus lygi -0,24 ir dedamas minusas.
Jei, eidama per tašką koordinačių tiesėje, išvestinė keičia savo ženklą iš minuso į pliusą, tai yra minimalus taškas, o jei iš pliuso į minusą, tai yra maksimalus taškas.
Video tema
Norint rasti išvestinę priemonę, yra internetinių paslaugų, kurios skaičiuoja reikalingos vertės ir parodykite rezultatą. Tokiose svetainėse galite rasti išvestinių priemonių iki 5 eilės.
Šaltiniai:
- Viena iš išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo paslaugų
- maksimalus funkcijos taškas
Maksimalūs funkcijos taškai kartu su minimaliais taškais vadinami ekstremumais. Šiuose taškuose funkcija keičia savo elgesį. Ekstrema nustatomi ribotais skaitiniais intervalais ir visada yra vietinė.
Instrukcijos
Radimo procesas vietiniai kraštutinumai vadinama funkcija ir atliekama analizuojant pirmąją ir antrąją funkcijos išvestines. Prieš pradėdami tyrimą įsitikinkite, kad nurodytas argumentų reikšmių diapazonas priklauso priimtinos vertės. Pavyzdžiui, funkcijai F=1/x argumentas x=0 negalioja. Arba funkcijos Y=tg(x) argumentas negali turėti reikšmės x=90°.
Įsitikinkite, kad funkcija Y yra diferencijuota visame duotame intervale. Raskite pirmąją Y išvestinę." Akivaizdu, kad prieš pasiekiant lokalaus maksimumo tašką, funkcija didėja, o pereinant per maksimumą, funkcija tampa mažėjančia. Pirmoji jo išvestinė fizinę reikšmę apibūdina funkcijos kitimo greitį. Nors funkcija didėja, šio proceso greitis yra teigiamas. Praeinant per vietinį maksimumą, funkcija pradeda mažėti, o funkcijos kitimo greitis tampa neigiamas. Funkcijos kitimo greičio perėjimas per nulį įvyksta vietinio maksimumo taške.
Pavyzdžiui, funkcija Y=-x²+x+1 atkarpoje nuo -1 iki 1 turi ištisinę išvestinę Y"=-2x+1. Esant x=1/2 išvestinė lygi nuliui, o einant per šį tašką išvestinė keičia ženklą iš " +" į "-" Antroji funkcijos Y"=-2 išvestinė. Nubraižykite funkcijos Y=-x²+x+1 taškinį grafiką ir patikrinkite, ar taškas, kurio abscisė x=1/2 yra lokalus maksimumas tam tikrame skaičių ašies atkarpoje.
1 apibrėžimas. Ekstremalūs taškai funkcijas – funkcijos minimumo ir maksimumo taškai.
2 apibrėžimas. Taškas X= X 0 vadinamas maksimalus taškas (maks) funkcijas f(X X f(x) < f(X 0) už visus taškus X≠ X 0 iš šios apylinkės.
3 apibrėžimas. Taškas X= X 0 vadinamas minimalus taškas (min) funkcijas f(x), jei yra šio taško δ kaimynystė X 0, kurioje galioja nelygybė f(X) > f(X 0) už visus taškus X≠ X 0 iš šios srities.
Fig. 7 X 1 – min taškas, X 2 – taškas maks.
4 apibrėžimas. Iškviečiama funkcijos reikšmė taške max (min). maksimalus (minimumas ) funkcijas. Iškviečiamas funkcijos maksimumas arba minimumas ekstremumas (ekstra) funkcijas.
Ekstremalumo sąvoka siejama su tam tikra taško kaimynyste iš funkcijos apibrėžimo srities. Todėl funkcija gali turėti tik ekstremumą in vidinius taškus apibrėžimo sritis.
Panagrinėkime egzistavimo sąlygas ekstra funkcijas.
1 teorema. (Fermato teorema) ( būtina sąlyga taškai extr ). Jei diferencijuojamoji funkcija f(X) taške x turi ekstremumą 0 , tada jo išvestinė šiame taške lygi nuliui: f'(X 0) = 0.
Įrodymas. Tegul, aišku, X 0 – taškas maks. Tai reiškia, kad netoli taško X 0 lygybė galioja f(X 0) >f(X 0 +Δ x) arba f(X 0 +Δ x) – f(X 0) < 0. Тогда, если Δx> 0, tada 
,
jei Δ x < 0, то 
. Pagal teoremos sąlygas yra išvestinė 
. Perėjimas prie ribos ties Δ x→ 0, esant Δ x> 0 gauname f'(X 0) ≤ 0 ir Δ x < 0 получим f'(X 0) ≥ 0.
Štai kodėl f'(X 0) = 0.
Panašiai įrodomas teoremos teiginys, jei X 0 – taškas min.
Geometrinė Ferma teoremos reikšmė: diferencialiosios funkcijos ekstremaliame taške jos grafiko liestinė yra lygiagreti ašiai Jautis.
1 pastaba. Ferma teoremos atvirkštinis variantas yra klaidingas, t.y. Jeigu f'(X 0) = 0, tai to nereiškia X 0 – ekstremumo taškas.
Pavyzdžiui, dėl funkcijos y = x 3 jo išvestinė y" = 3x 2 yra lygus nuliui at x= 0 (šiuo metu grafiko liestinė yra horizontali), bet x= 0 nėra ekstra taškas (5 pav.).
2 pastaba. Yra funkcijų, kurios ekstremumo taškuose neturi išvestinės.
Pavyzdžiui, nuolatinė funkcija y = |x| taške x= 0 neturi išvestinės, nors tai yra min taškas (8 pav.).
5 apibrėžimas. Taškai, kuriuose išvestinė nuolatinė funkcija yra nulis arba neegzistuoja kritiškas .
Naudodami šį terminą galime apibendrinti Fermato teorema: kiekvienas funkcijos ekstremalus taškas yra jos kritinis taškas(jame išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja).
Priešingas teiginys yra klaidingas, t.y. ne kiekvienas kritinis taškas yra ekstra taškas.
Pavyzdžiui, dėl funkcijų y = x 3 (3 pav.) ir adresu= 2x+ |X| (2 pav.) tašką X= 0 yra kritinis, bet nėra ekstra taškas.
Fig. 9 segmente [ a, b] pateikiami septyni kritiniai taškai: x 1 , x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 ,x 7. Iš jų tik du ( x 3 ir x 6) nėra papildomi taškai.
Taškai x 1 , x 4 ,x 7 – max taškai; taškų x 2 ,x 5 – taškai min.
Taškuose extr X 2 ir X 4 grafiko liestinės yra lygiagrečios ašiai Oi(išvestinės priemonės yra nulis). Ekstremaliuose taškuose x 1 ,x 5 , x 7 grafikas turi kinkų (išvestinių šiuose taškuose nėra).
Kadangi ekstra taškai yra funkcijos apibrėžimo srityje, jie taip pat vadinami vietinis maksimumas Ir vietinis minimumas .
6 apibrėžimas. Vadinami taškai, kuriuose išvestinė lygi nuliui stacionarus .
Fig. 9 trys stacionarūs taškai: x 2 ,x 3 , x 4 .
Pavyzdžiui, dėl funkcijos y = x 3 (3 pav.) taškas X= 0 yra nejudantis ir funkcijoms adresu= 2x+ |X| (2 pav.) arba adresu= |X| (8 pav.) – Nr.
Pagal Weierstrasso 2-ąją teoremą, funkcija, kuri tęsiasi uždarame intervale, pasiekia didžiausią ir mažiausią reikšmes.
Fig. 9 taškai x= x 4 ir X= b yra pasaulinis maksimumas Ir pasaulinis minimumas (didžiausias ir mažiausia vertė ) f(x) uždarame intervale [ A, b]. Pasaulinis maksimumas sutampa su vietiniu taške X=X 4, o pasaulinis minimumas – su intervalo pabaiga x= b.
Darbo pabaiga -
Ši tema priklauso skyriui:
Funkcijų tyrimas
Skaityti svetainėje: Paskaita 7. Funkcijų tyrimas.
Jei reikia papildomos medžiagosšia tema, arba neradote to, ko ieškojote, rekomenduojame pasinaudoti paieška mūsų darbų duomenų bazėje:
Ką darysime su gauta medžiaga:
Jei ši medžiaga jums buvo naudinga, galite ją išsaugoti savo puslapyje socialiniuose tinkluose:
Apibrėžimai:
Ekstremalumas vadinamas maksimaliu arba minimali vertė funkcijos tam tikrame rinkinyje.
Ekstremalus taškas yra taškas, kuriame pasiekiama maksimali arba mažiausia funkcijos reikšmė.
Maksimalus taškas yra taškas, kuriame jis pasiekiamas maksimali vertė funkcijas.
Minimalus taškas yra taškas, kuriame pasiekiama mažiausia funkcijos reikšmė.
Paaiškinimas.
Paveiksle, šalia taško x = 3, funkcija pasiekia didžiausią vertę (ty šalia šio konkretaus taško nėra aukštesnio taško). Kaimynystėje x = 8, jis vėl turi didžiausią reikšmę (paaiškinkime dar kartą: būtent šioje kaimynystėje nėra taško aukščiau). Šiuose taškuose padidėjimas užleidžia vietą mažėjimui. Tai yra didžiausi taškai:
x max = 3, x max = 8.
Netoli taško x = 5 pasiekiama mažiausia funkcijos reikšmė (ty šalia x = 5 taško žemiau nėra). Šiuo metu sumažėjimas užleidžia vietą padidėjimui. Tai yra minimalus taškas:
Maksimalus ir minimalus taškai yra funkcijos ekstremalūs taškai, o funkcijos reikšmės šiuose taškuose yra jos kraštutinumai.
Kritinės ir stacionarūs taškai Savybės:
Būtina ekstremumo sąlyga:
Pakankama sąlyga ekstremumui:
Segmente funkcija y = f(x) gali pasiekti mažiausią arba didžiausia vertė arba kritiniuose taškuose, arba atkarpos galuose.
Tolydžios funkcijos tyrimo algoritmasy = f(x) monotoniškumui ir ekstremalumui:
