www.svetainė leidžia rasti. Svetainė atlieka skaičiavimus. Po kelių sekundžių serveris išduos teisingas sprendimas. Matricos charakteristikos lygtis bus algebrinė išraiška, nustatyta determinanto apskaičiavimo taisyklė matricos matricos, o išilgai pagrindinės įstrižainės skirsis įstrižainių elementų ir kintamojo reikšmės. Skaičiuojant matricos charakteristikos lygtis internete, kiekvienas elementas matricos bus padaugintas su atitinkamais kitais elementais matricos. Rasti režimu internete galima tik kvadratui matricos. Operacijos paieška matricos charakteristikos lygtis internete priklauso nuo skaičiavimo algebrinė suma elementų produktai matricos kaip lemiančiojo suradimo rezultatas matricos, tik siekiant nustatyti matricos charakteristikos lygtis internete. Ši operacija paima ypatinga vieta teoriškai matricos, leidžia rasti savąsias reikšmes ir vektorius naudojant šaknis. Užduotis surasti matricos charakteristikos lygtis internete susideda iš besidauginančių elementų matricos po to šiuos produktus susumavus tam tikra taisyklė. www.svetainė randa matricos charakteristikos lygtis duotas matmuo režime internete. Skaičiavimas matricos charakteristikos lygtis internete atsižvelgiant į jo dimensiją, tai yra daugianario su skaitiniais arba simboliniais koeficientais, randamu pagal determinanto apskaičiavimo taisyklę, radimas matricos- kaip atitinkamų elementų sandaugų suma matricos, tik siekiant nustatyti matricos charakteristikos lygtis internete. Kvadratinio kintamojo daugianario radimas matricos, kaip apibrėžimas matricos charakteristikos lygtis, įprasta teoriškai matricos. Daugiakalnio šaknų reikšmė matricos charakteristikos lygtis internete naudojami saviesiems vektoriams nustatyti ir savąsias reikšmes Už matricos. Be to, jei determinantas matricos tada bus lygus nuliui matricos charakteristikos lygtis vis tiek egzistuos, kitaip nei atvirkščiai matricos. Norint apskaičiuoti matricos charakteristikos lygtis arba rasti kelis iš karto matricų charakteristikų lygtys, jums reikia skirti daug laiko ir pastangų, o mūsų serveris suras per kelias sekundes matricos charakteristikos lygtis internete. Šiuo atveju atsakymas į radinį matricos charakteristikos lygtis internete bus teisingi ir pakankamai tiksliai, net jei skaičiai ieškant matricos charakteristikos lygtis internete bus neracionalu. Svetainėje www.svetainė simbolių įrašai leidžiami elementuose matricos, tai yra matricos charakteristikos lygtis internete skaičiuojant gali būti pavaizduotas bendra simboline forma matricos charakteristikos lygtis internete. Sprendžiant radimo problemą naudinga patikrinti gautą atsakymą matricos charakteristikos lygtis internete naudojantis svetaine www.svetainė. Atliekant daugianario skaičiavimo operaciją - matricos charakteristikos lygtis, spręsdami šią problemą turite būti atsargūs ir itin susikaupę. Savo ruožtu mūsų svetainė padės jums patikrinti savo sprendimą šia tema matricos charakteristikos lygtis internete. Jei neturite laiko ilgiems išspręstų problemų patikrinimams, tada www.svetainė tikrai bus patogus patikrinimo įrankis ieškant ir skaičiuojant matricos charakteristikos lygtis internete.
Apibrėžimas
Esant duotai matricai , , kur E- tapatybės matrica yra daugianomas , kuris vadinamas būdingas daugianario matricos A(kartais ir „pasaulietinė lygtis“).
Būdingojo daugianario reikšmė yra ta savąsias reikšmes matricos yra jos šaknys. Iš tiesų, jei lygtis turi ne nulį, tada matrica yra vienaskaita, o jos determinantas yra lygus nuliui.
Susiję apibrėžimai
Savybės
.Nuorodos
- V. Yu Kiselevas, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina Aukštoji matematika. Tiesinė algebra. - Ivanovo valstybinis energetikos universitetas.
Wikimedia fondas.
- 2010 m.
- Atskaitos kreivė
Haraldas III (Norvegijos karalius)
Pažiūrėkite, kas yra „būdingas matricos polinomas“ kituose žodynuose: Charakteristinis daugianomas - Matematikoje charakteringas daugianomas gali reikšti: būdingą matricos daugianarį, būdingą tiesinės pasikartojančios sekos daugianarį, būdingą eilinio daugianarį. diferencialinė lygtis
.… … Vikipedija BŪDINGAS POLINOMIJAS - matricos virš lauko K polinomas virš lauko K X. m laipsnis yra lygus tvarkai kvadratinė matrica A, koeficientas b1 lygus matricos pėdsakui (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), koeficientas b t lygi sumai visi pagrindiniai nepilnamečiai, ypač bn=detA...
Matematinė enciklopedija Minimalus matricos polinomas - Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Minimalus daugianomas. Minimalus matricos polinomas, naikinantis vienetinį daugianarį minimalus laipsnis
. Savybės Minimalus daugianomas padalija būdingąjį matricos daugianarį... ... Vikipedija Lambda matricos
- Pagrindinis straipsnis: Matricų funkcijos Lambda matrica (λ matrica, polinomų matrica) yra kvadratinė matrica, kurios elementai yra polinomai tam tikrame skaičių lauke. Jei yra koks nors matricos elementas, kuris yra daugianario... Vikipedija MATRIKOS SPEKTRAS visi pagrindiniai nepilnamečiai, ypač bn=detA...
- jo savųjų reikšmių rinkinys. Taip pat žr. Charakteristinis matricos polinomas...- Nurodyta raudona spalva savasis vektorius. Jis, skirtingai nei mėlynasis, deformacijos metu nepakeitė krypties ir ilgio, todėl yra savasis vektorius, atitinkantis savąją reikšmę λ = 1. Bet koks vektorius, lygiagretus raudonajam vektoriui... ... Wikipedia
Panašios matricos- Tos pačios eilės kvadratinės matricos A ir B vadinamos panašiomis, jei yra ne vienaskaitos matrica P tos pačios eilės, kad: Panašios matricos gaunamos nurodant tą pačią tiesinė transformacija matrica skirtingoje... ... Vikipedijoje
Charakteristinė matrica
Charakteristinė lygtis- Būdingas daugianomas yra daugianomas, kuris nustato matricos savąsias reikšmes. Kita reikšmė: būdingas tiesinio pasikartojančio polinomas yra daugianario. Turinys 1 Apibrėžimas ... Vikipedija
Hamiltono teorema- Hamiltono Cayley teorema garsioji teorema iš matricos teorijos, pavadintos Williamo Hamiltono ir Arthuro Cayley vardu. Hamiltono Cayley teorema Bet kuri kvadratinė matrica tenkina jai būdingą lygtį. Jei... Vikipedija
Leiskite A- kvadratinė tikroji arba kompleksinė n-osios eilės matrica. Matrica
su kintamuoju A, kuris priima bet kurį skaitines reikšmes, paskambino būdinga matrica matricos A. Jo determinantas
reiškia daugianarį A laipsnio kintamajame p.Šis daugianomas vadinamas būdingas daugianario matricos A.
Tai, kad charakteringasis daugianomas iš tikrųjų yra kintamojo A daugianomas, tiesiogiai išplaukia iš determinanto apibrėžimo. Aukščiausias laipsnis, lygus n, tarp visų determinanto narių A-E turi prekę
Likusios determinanto sąlygos neturi bent dviejų matricos elementų A– A E su kintamuoju A ir todėl turi ne aukštesnį laipsnį p - 2. Todėl daugianario laipsnis lygus p. Atkreipkite dėmesį, kad sandauga (5.9) lemia ne tik charakteringojo daugianario laipsnį, bet ir du jo narius su didesniais laipsniais
Būdingojo daugianario laisvasis narys sutampa su jo reikšme, kai A = 0 ir yra lygus |A - A E= |L|, t.y. matricos determinantas A.
Taigi būdingas matricos daugianario A tvarka n turi tokią formą (žr. p.83 ir p.55):
Kur Pk- A> eilės matricos pagrindinių nepilnamečių suma A, ypač Pi= ac + «22 + - - +ftnn - pagrindinės matricos įstrižainės elementų suma A, vadinamas šios matricos pėdsaku ir žymimas Sp A, p p- determinantas |L| matricos A.
Būdingojo daugianario šaknys |A - JIS paskambino būdingos šaknys arba būdingi skaičiai matricos A. Daugybė į g vadinama būdinga šaknis A* charakteringajame daugianario algebrinis dauginysši šaknis. Daug kas būdingos šaknys matricos, kuriose kiekviena būdinga šaknis kartojama tiek kartų, kiek vadinama jos daugyba A matricos spektras. Jei visos būdingos matricos šaknys yra paprastos (t. y. turi vienetų daugumą), tada matricos spektras vadinamas paprastas.
Pagal Vietos formules būdingojo daugianario koeficientai yra susieti su charakteringosiomis šaknimis taip:
Iš šių formulių ypač išplaukia dažnai naudojami santykiai
Pagal paskutinę lygybę būdingas matricos daugianario charakteristikos šaknys yra nulis tada ir tik tada, kai šios matricos determinantas yra lygus nuliui, t.y. kai matrica yra vienaskaita.
5.5 pavyzdys. Apskaičiuokite būdingąjį matricos daugianarį
Sprendimas. Pagal charakteringojo daugianario apibrėžimą gauname:
Jei naudojame formulę (5.10), pirmiausia randame
ir tada parašyk
Būdingojo daugianario skaičiavimo metodus rasite knygos pabaigoje esančiame priede.
5.7 teorema.Tokių matricų charakteristikos daugianariai sutampa.
> Jei matricos A Ir IN panašiai, tada kokiai nors nevienetinei matricai K galioja lygybė IN = Q~ l AQ. Vadinasi,
Į savavališką daugianarį
vietoj kintamojo L galite pakeisti kvadratine matrica A tvarka p. Dėl to gauname matricą P(A) = A p + a A p ~ 1 --
N----+ a n_1 A + a p E, kuri vadinama daugianario reikšme P( L)
ties L = A. Jei duotai matricai A lygybė yra tiesa P(A)= O (polinomo reikšmė P( A) su L = A yra nulinė matrica), tada A paskambino matrica, daugianario šaknis P( A), o pats daugianomas P(A) yra polinomas, sunaikintas matricos A.
5.8 teorema. Kiekviena kvadratinė matrica yra kokio nors nulinio daugianario šaknis.
> Visų kvadratinių eilės matricų rinkinys n su elementais iš lauko R yra tiesinė erdvė R matmenys n 2.Šiame linijinė erdvė bet kuri sistema, kurioje bent n 2+1 elementai yra tiesiškai priklausomi. Todėl sistema A p , A p -1 , ..., A, E iš p 2 + 1 matricos yra tiesiškai priklausomos, t.y. yra toks skaičių rinkinys ao, nuo,..., a p 2 , kurios kartu neišnyksta, kad būtų lygybė
Ši lygybė reiškia, kad matrica A yra daugianario šaknis
Įrodyta teorema iš tikrųjų išplaukia iš šio teiginio.
5.9 teorema (Hamiltono teorema - Kaley).
Bet kuri kvadratinė matrica yra jai būdingo daugianario šaknis.
Prieš įrodydami šią teoremą, pristatykime sąvoką X matricos- matrica, kurios elementai yra kintamojo A polinomai. Bet kuri A matrica gali būti pavaizduota kaip polinomas kintamajame A, kurio koeficientai yra atitinkamos eilės kvadratinės matricos. Pavyzdžiui,
> Leisti A- n-osios eilės kvadratinė matrica. Apsvarstykite adjungtinę matricą SUį matricą A-E. Jo elementai yra algebriniai priedai determinanto elementai | A - E|, kurie yra ne aukštesnio laipsnio daugianariai p- 1. Kaip minėta aukščiau, matrica SU gali būti pavaizduotas formoje
kur Ci, C2, ..., C p - kai kurios skaitinės matricos. Pagal pagrindinę adjungtinės matricos savybę (žr. 3.S skyrių, 3.2 išvadą) turime:
Šioje lygybėje matricą C pakeičiame suma (5.11), o charakteringąjį daugianarį – suma (5.10). Tada gauname lygybę
Skliaustų atidarymas abiejose lygybės pusėse ir koeficientų sulyginimas vienodi laipsniai L, gauname sistemą iš n+ 1 lygybės: 
Padauginkime pirmąją sistemos lygybę iš A p, antrasis - ant L p_1 ir kt., n-e lygybė – įjungta A, (p+ 1) lygybė – įjungta A° = E:
Pridėjus šias lygybes kairėje pusėje gauname nulinę matricą, o dešinėje gauname išraišką
Štai kodėl f(A) = 0. ?
5.6. Charakteristinis ir minimalus daugianario
Minimalaus laipsnio polinomas 92(A), kurio pirminis koeficientas lygus vienetui ir kurį sunaikina matrica A, paskambino minimalus daugianario ši matrica.
Teorema 5 . 10 . Bet kuris matricos A panaikintas daugianomas visiškai dalijasi iš minimalaus šios matricos daugianario. Visų pirma, būdingas matricos daugianomas yra padalintas iš minimalaus daugianario.
O Padalinkite daugianarį P( A) iki minimalaus daugianario 9?(A) su liekana: P( A) = 99(A) g(A) + g(A), kur daugianario g(A) laipsnis mažesnis nei 92(A). Kintamojo A pakeitimas matrica A, gauname:
Nes P(A)= p(A) = 0 , tada G (A) = 0 . Bet ši lygybė įmanoma tik tuo atveju, jei daugianario g (A) nulinis. Priešingu atveju iškyla prieštaravimas su minimalaus daugianario apibrėžimu. Lygybė G = 0 reiškia, kad daugianario P( A) visiškai dalijasi iš 92(A). ?
Pasekmė 5 .1 . Bet kuri matricos minimalaus daugianario šaknis yra jai būdingo daugianario šaknis.
O Kaip nustatyta teoremos įrodyme, charakteringasis daugianomas /(A) yra susietas su minimaliu polinomu 92(A) lygybe /(A) = 99(A) q (). Iš šios lygybės išplaukia išvados teiginys. ?
Pažymėkime dar keletą naudingų faktų(cm. [ 7 ], Su. 100 ).
Būdingas daugianomas | A - JIS matrica A ir jos minimalusis polinomas 92(A) yra susieti ryšiu
Kur Dn- 1 – didžiausias bendras daliklis visi matricos nepilnamečiai A - A E, turintis (n - 1 )-oji tvarka.
Minimalaus daugianario 92(A) šaknys yra visos skirtingos būdingojo daugianario šaknys | A– A E ir jeigu
kur 1^ p į ^ t k: k = 1,2
Formulė (5.12) leidžia rasti mažiausią matricos daugianarį. Kitas minimalios matricos polinomo sudarymo būdas aptariamas toliau (žr. 6.5 skyrių).
5.6 pavyzdys. Raskite matricos minimalų daugianarį
Sprendimas. Ankstesniuose matricos pavyzdžiuose A rastas būdingas daugianario A-E= - A 3 + 2 L 2 + L - 2. Bendra didžiausias daliklis D2 visi antros eilės nepilnamečiai matricoje
yra lygus vienetui, nes jo nepilnamečiai
abipusiai paprasta. Štai kodėl
5.7 pavyzdys. Raskite matricų charakteringuosius ir minimalius daugianorius
Sprendimas: Matricai A tiesioginis skaičiavimas determinanto randame charakteringąjį daugianarį
Užrašykime visus antrosios matricos eilės nepilnamečius A - A E:
Bendras didžiausias daliklis D2 iš visų šių nepilnamečių yra A - 4. Todėl matricos minimalus daugianario A turi formą:
Atkreipkite dėmesį, kad D2 galima rasti skirtingai. Iš tiesų, jei matricoje A-E pakaitalas A = 4, gauname matricą
rangas G - 1. Vadinasi, visos šios matricos antros eilės minorinės yra lygios nuliui. Tai reiškia, kad visi antros eilės matricos nepilnamečiai A - L E dalijasi iš A – 4, ir visi šie nepilnamečiai negali dalytis iš didesnis laipsnis dvinario A - 4, nes, pavyzdžiui, minor
dalijasi tik iš pirmos šio dvejetainio laipsnio. Vadinasi, ?>2 įtraukia koeficientą A -4 į pirmą laipsnį. Kiti daugikliai iš | A - A?^1 neįtraukiami į?>2, nes, pavyzdžiui, ką tik išrašytas antros eilės minoras iš jų nedalomas. Todėl Dg = A - 4.
Dėl matricos A2 Taip pat tiesiogiai apskaičiuodami determinantą, randame būdingąjį daugianarį
antros eilės nepilnamečiai
abipusiai paprastas. Štai kodėl D2 = 1 ir
Nagrinėjamas pavyzdys tai rodo skirtingos matricos gali turėti tą pačią charakteristiką, bet skirtingus minimalius daugianarius.
Atsižvelgiant į tai, kad tam tikro tiesinio operatoriaus matricos skirtingose bazėse yra panašios ir turi tą patį būdingą daugianarį, logiška vadinti šį daugianarį būdingas tiesinio operatoriaus daugianomas, o jo šaknys yra būdingos tiesinio operatoriaus šaknys.
Taip pat atkreipkite dėmesį, kad perkelta matrica A T turi tą patį kaip ir matrica A charakteringieji daugianariai ir būdingieji skaičiai.
Tiesinio operatoriaus savieji vektoriai ir savosios reikšmės
Tegul A yra tiesinis operatorius iš . Skambina numeriu operatoriaus savoji reikšmė A, jei yra nulinis vektorius, kad A . Šiuo atveju vektorius vadinamas operatoriaus savasis vektorius A, atitinkanti jo paties vertę. Visų tiesinio operatoriaus A savųjų reikšmių rinkinys vadinamas jo spektras.
Tiesinio operatoriaus determinantas O detA vadinama det A, kur A yra tiesinio operatoriaus A matrica bet kokiu pagrindu. Polinominis giminaitis l paskambino charakteringas operatoriaus daugianario A. Tai nepriklauso nuo pagrindo pasirinkimo.
Lygtis
paskambino charakteristika(arba šimtmečių senumo) operatoriaus lygtis A.
Kad skaičius l buvo operatoriaus A savoji reikšmė, būtina ir pakanka, kad šis skaičius būtų operatoriaus A charakteristikų lygties (7.7) šaknis.
Už identiški operatorius Visi nuliniai erdvės vektoriai yra savieji vektoriai (su savąja verte, lygus vienam). Už nulis operatorius Visi nuliniai erdvės vektoriai yra savieji vektoriai (su savąja verte, lygus nuliui). Paprasčiausią formą įgauna tiesinio operatoriaus matrica, turinti n tiesiškai nepriklausomi vektoriai.
7.2 teorema. Tam, kad matricaAlinijinis operatorius A buvo įstrižai bazėje, būtina ir pakanka, kad baziniai vektoriai būtų šio operatoriaus savieji vektoriai.
Tačiau ne kiekvienas linijinis operatorius n- matmenų vektorinė erdvė turi n tiesiškai nepriklausomi savieji vektoriai. Savųjų vektorių pagrindas paprastai vadinamas „savuoju pagrindu“. Tegu savąsias reikšmes 
linijinis operatorius A skiriasi. Tada atitinkami savieji vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Vadinasi, šiuo atveju egzistuoja „savas pagrindas“.
Taigi, jei tiesinio operatoriaus A charakteringasis polinomas turi n skirtingos šaknys, tada tam tikrame pagrinde matrica A operatorius A turi įstrižinę formą.
Ieškant tiesinės transformacijos savųjų vektorių reikia turėti omenyje, kad jie nustatomi iki savavališko koeficiento, t.y. jei koks nors vektorius yra savasis vektorius, tai vektorius taip pat yra savasis vektorius. Taigi iš tikrųjų nustatoma tinkama kryptis arba tinkama tiesi linija, kuri išlieka nepakitusi esant tam tikrai tiesinei transformacijai.
Charakteristinis daugianomas
savavališkai kvadratinei matricai yra apibrėžtas kaip 1) 
, kur yra tos pačios eilės tapatybės matrica.
Pavyzdys. Skirta:
Teorema.
Vaizdžiai tariant, koeficientas at gaunamas susumavus visus matricos, pastatytos ant pagrindinės įstrižainės elementų, eilės mažuosius.
