1. Jei pateikiama matrica, tada jos charakteristikos (pasaulietinė) lygtis rašoma forma
. (81)
Kairėje šios lygties pusėje yra būdingas laipsnio daugianomas . Norint tiesiogiai apskaičiuoti šio daugianario koeficientus, būtina atskleisti būdingą determinantą, o dideliems tai apima daug skaičiavimo darbų, nes jis įtrauktas į determinanto įstrižainės elementus.
Akademikas A. N. Krylovas 1937 metais pasiūlė būdingo determinanto transformaciją, dėl kurios jis patenka tik į vieno stulpelio (arba eilutės) elementus. Krylovo transformacija žymiai supaprastina charakteringos lygties koeficientų skaičiavimą.
Šiame skyriuje pateiksime transformuotos charakteristikos lygties algebrinį išvedimą, šiek tiek skirtingą nuo paties Krylovo išvedimo.
Įveskime į -dimensinę vektorinę erdvę su pagrindu ir tiesiniu operatoriumi , apibrėžtą duota matrica pagal šį pagrindą. Pasirinkime savavališką vektorių ir sudarykime vektorių seką
Tegul pirmieji šios serijos vektoriai 
yra tiesiškai nepriklausomi, o th vektorius yra tiesinis šių vektorių derinys:
Visi kiti serijos (82) vektoriai taip pat yra tiesiškai išreikšti pirmaisiais šios serijos vektoriais. Taigi, serijoje (82) yra tiesiškai nepriklausomi vektoriai, ir šis maksimalus serijos tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius (82) visada gali būti realizuotas pirmuosiuose serijos vektoriuose.
Polinomas yra minimalus (atšaukiamas) vektoriaus polinomas operatoriaus atžvilgiu (žr. § 1). A. N. Krylovo metodas – tai metodas, leidžiantis efektyviai nustatyti minimalų vektoriaus daugianarį.
Atskirai nagrinėsime du atvejus: įprastą atvejį, kai ir specialųjį atvejį, kai .
Polinomas yra visos erdvės minimalaus daugianario daliklis, o savo ruožtu yra daliklis būdingas daugianario. Todėl jis visada yra daliklis.
Įprastu atveju ir turi tą patį laipsnį, ir kadangi jų pirmaujantys koeficientai yra lygūs, šie daugianariai sutampa. Taigi įprastu atveju
,
ir todėl Krylovo metodas įprastu atveju yra charakteringojo daugianario koeficientų skaičiavimo metodas.
IN ypatingas atvejis, kaip matysime toliau, Krylovo metodas neleidžia nustatyti ir šiuo atveju nustato tik daugianarį, kuris yra daliklis.
Pateikdami Krylovo transformaciją, vektoriaus koordinates duotame pagrinde pažymėsime , o vektoriaus koordinates - .
2. Įprastas atvejis: . Šiuo atveju vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, o lygybės (83), (84), (85) įgauna formą
Vektorių lelijos nepriklausomumo sąlygą galima analitiškai parašyti taip (žr. III skyrių, § 1):
. (89)
Apsvarstykite matricą, sudarytą iš vektorių koordinačių:
. (90)
Įprastu atveju šios matricos rangas yra lygus . Pirmosios šios matricos eilutės yra tiesiškai nepriklausomos, o paskutinė, i, eilutė yra linijinis ankstesnių derinys.
Priklausomybę tarp matricos (90) eilučių gauname pakeitę vektorių lygybę (86) ekvivalentiška skaliarinių lygčių sistema
(91)
Iš šios tiesinių lygčių sistemos galime vienareikšmiškai nustatyti reikiamus koeficientus ir gautas reikšmes pakeisti į (88). Ši (88) ir (91) išimtis gali būti atlikta simetriškai. Norėdami tai padaryti, perrašome (88) ir (91) taip:
Kadangi ši lygčių sistema su nežinomaisiais turi nulinį sprendinį, šios sistemos determinantas turi būti lygus nuliui:
. (92)
Iš čia nustatome , prieš tai perkėlę determinantą (92) pagrindinės įstrižainės atžvilgiu:
, (93)
kur pastovus koeficientas nustatomas pagal (89) formulę ir skiriasi nuo nulio.
Tapatybė (93) yra Krylovo transformacija. Krylovo determinante, kuris yra dešinėje šios tapatybės pusėje, jis įtrauktas tik į paskutinio stulpelio elementus; likę šio determinanto elementai nepriklauso nuo.
komentuoti. Įprastu atveju visa erdvė yra cikliška (operatoriaus atžvilgiu). Jei kaip pagrindą pasirenkame vektorius, tai šiame pagrinde operatorius atitinka matricą, turinčią natūralią normali forma
. (94)
Perėjimas nuo pagrindinio pagrindo prie pagrindo atliekamas naudojant nespecialią transformacijos matricą
. (95)
3. Ypatingas atvejis: . Šiuo atveju vektoriai yra tiesiškai priklausomi, todėl
.
Lygybė (93) buvo išvesta pagal sąlygą . Tačiau abi šios lygybės pusės yra vientisos racionalios funkcijos nuo ir parametrai. Todėl „iš tęstinumo sumetimų“ išplaukia, kad lygybė (93) galioja ir . Bet tada Krylovo determinante (93), po jo išplėtimo, visi koeficientai bus lygūs nuliui. Taigi ypatingu atveju formulė (93) tampa trivialia tapatybe.
Apsvarstykite matricą, sudarytą iš vektorių koordinačių
. (97)
Ši matrica turi rangą ir pirmosios eilutės joje yra tiesiškai nepriklausomos, paskutinė eilutė yra pirmųjų eilučių su koeficientais tiesinis derinys 
[cm. (83)]. Iš koordinačių galime pasirinkti tokias koordinates, kad determinantas sudarytas iš šių vektoriaus koordinačių , skyrėsi nuo nulio:
. (98)
(99)
Iš šios lygčių sistemos vienareikšmiškai nustatomi daugianario (minimalaus vektoriaus daugianario) koeficientai. Visai analogiškai įprastu atveju (tik raides pakeitus ir), galime pašalinti iš (85) ir (99) ir gauti tokią formulę:
. (100)
4. Pabandykime išsiaiškinti, kurioms matricoms ir su kokiu pradinio vektoriaus pasirinkimu arba, kas yra tas pats, su kokiu pradinių parametrų pasirinkimu atsiranda įprastas atvejis.
Tai jau matėme įprastu atveju
.
Būdingojo daugianario sutapimas su minimaliu daugianario reiškia, kad matricoje nėra dviejų elementariųjų daliklių, turinčių tą patį būdingąjį skaičių, t.y. visi elementarieji dalikliai yra poriniai pirminiai. Tuo atveju, kai yra paprastos struktūros matrica, šis reikalavimas yra lygiavertis sąlygai, kad charakteristikos lygtis matrica neturi kelių šaknų.
Polinomo sutapimas su reiškia, kad vektoriumi pasirinktas vektorius generuoja (naudojant operatorių) visą erdvę. Pagal 2 teoremos § 2 toks vektorius egzistuoja visada.
Jei sąlyga neįvykdyta, tai kad ir kaip pasirinktume vektorių, daugianario negausime, nes Krylovo metodu gautas daugianario yra daliklis, kuris nagrinėjamu atveju nesutampa su daugianario, bet yra tik jo daliklis. Keičiant vektorių, kaip reikšmę galime gauti bet kurį daliklį.
Gautas išvadas galime suformuluoti šios teoremos forma:
14 teorema. Krylovo transformacija suteikia charakteringojo matricos daugianario išraišką determinanto (93) forma tada ir tik tada, kai tenkinamos dvi sąlygos:
1. Elementarieji matricos dalikliai yra poriniai koprime.
2. Pradiniai parametrai yra vektoriaus, kuris generuoja (naudojant matricą atitinkantį operatorių) visą -matmenų erdvę, koordinatės.
Bendruoju atveju Krylovo transformacija veda į tam tikrą charakteringojo daugianario daliklį. Šis daliklis yra minimalus polinomas vektoriui su koordinatėmis (yra pradiniai parametrai Krylovo transformacijoje).
5. Parodysime, kaip rasti koordinates savasis vektorius bet kuriam būdingam skaičiui, kuris yra daugianario, gauto Krylovo metodu, šaknis.
Mes ieškosime vektoriaus formoje
Šią išraišką pakeičiant vektoriaus lygybe
ir naudojant (101) gauname:
Iš čia, beje, išplaukia, kad , kadangi lygybė pagal (102) suteiktų tiesinė priklausomybė tarp vektorių . Tikime ateitimi. Tada iš (102) gauname:
Pirmoji iš šių lygybių mums nuosekliai nustato dydžius (vektoriaus koordinates „naujojoje“ bazėje ); paskutinė lygybė yra ankstesnių ir iš santykio pasekmė 
.
Vektoriaus koordinates pradiniame pagrinde galima rasti naudojant šias formules, kurios išplaukia iš (101):
(104)
Po šia matrica rašome liniją iš vektoriaus koordinačių. Šiuos skaičius priskiriame savavališkai (su vienu apribojimu: bent vienas iš šių skaičių skiriasi nuo nulio). Po linija rašome liniją, t.y. vektoriaus koordinates. Skaičiai gaunami nuosekliai padauginus eilutę iš nurodytos matricos eilučių. Taigi, pavyzdžiui, , ir tt Po eilute rašome eilutę ir tt Kiekviena priskirta eilutė, pradedant nuo antrosios, nustatoma nuosekliai padauginus ankstesnę eilutę iš šios matricos eilučių.
Virš šios matricos eilučių rašome čekio sumos eilutę
.
Šiuo atveju turime įprastą atvejį, nes
.
Krylovo determinantas turi formą
.
Išplėsdami šį determinantą ir sumažinę , randame:
Pažymėkime būdingąjį skaičių atitinkančios matricos savąjį vektorių. Skaičius randame naudodami formules (103):
,
, 
, 
.
Žinoma, kontrolės lygybė tenkinama.
Gautus skaičius dedame į vertikalią stulpelį, lygiagrečią vektorių stulpeliui 
. Padauginus stulpelį iš stulpelio, gauname pirmąją vektoriaus koordinatę pradiniame pagrinde; panašiai gauname . Raskite vektoriaus koordinates (sumažinus 4). Panašiai nustatome būdingojo skaičiaus savojo vektoriaus koordinates.
, (105)
reikia stebėti gautos matricos rangą, kad sustotų ties pirmoje [th from top] eilutėje, kuri yra tiesinis ankstesnių derinys. Nustatant rangą reikia apskaičiuoti žinomus determinantus. Be to, gavus Krylovo determinantą forma (93) arba (100), norint jį išplėsti iš paskutinio stulpelio elementų, reikia apskaičiuoti žinomą eilės determinantų skaičių [įprastu th atveju užsakymas].
Užuot atskleidus Krylovo determinantą, koeficientus galima nustatyti tiesiogiai iš (91) [arba (99)] lygčių sistemos, taikant šiai sistemai kokį nors efektyvų sprendimo būdą, pavyzdžiui, eliminavimo metodą. Šis metodas gali būti taikomas tiesiogiai matricai
Mes paverčiame elementus į nulį - pirmoji šios matricos eilutė po transformacijos turės formą (o ne pradinę eilutę 
) į šios matricos eilutes.
Tada formoje rasime eilutę
ir atėmus ankstesnes eilutes gauname:
.
Mūsų rekomenduojamas nedidelis Krylovo metodo modifikavimas (sujungimas su eliminavimo metodu) leidžia iš karto gauti mus dominantį polinomą [įprastas atvejis], neskaičiuojant jokių determinantų ir nesprendžiant pagalbinės lygčių sistemos.
Akademikas A. N. Krylovas 1931 m. vienas iš pirmųjų pasiūlė gana patogų determinanto atskleidimo metodą (2).
A. N. Krylovo metodo esmė yra paversti determinantą D() į formą
Determinanto D() lygybė nuliui būtina ir pakankama būklė tam, kad vienalytė sistema linijinis algebrines lygtis
turėjo sprendimą x1, x2, ..., xn, skirtingą nuo nulio.
Transformuokime sistemą (2) taip. Padauginkime pirmąją lygtį iš ir pakeiskime x1,...,xn jų išraiškomis (2) iki x1,..., xn.
Kartodami šį procesą (n-1) kartų, pereisime nuo sistemos (2) prie sistemos
kurių koeficientai bus nustatyti pasikartojančiomis formulėmis
Akivaizdu, kad sistemos (5) determinantas turės formą (1).
Tiesinių algebrinių lygčių sistema (5) turi nulinį sprendinį visoms reikšmėms, tenkinančioms lygtį D()=0. Taigi, D1()=0 visiems, atitinkantiems lygtį D()=0.
Parodykime tai
Tegul visos D() šaknys yra skirtingos. Kadangi visos D() šaknys yra D1(), tai D1() yra padalintas iš D(). Kadangi, be to, D1() ir D() laipsniai yra vienodi, koeficientas turi būti pastovus. Palyginę n koeficientus, gauname
Jei D() turi kelias šaknis, lygybė (8) išlieka teisinga.
Dabar panagrinėkime koeficientus bik, kurie lemia D1(). Įveskime vektorius Bi su komponentais bi1, bi2, …, bin. Lygybės
parodykite, kad Bi=ABi-1, kur A yra matrica, perkelta į duotąją. Iš to išplaukia, kad
Bi = A i-1B1, B1 = AB0, (9)
kur B0=(1,0,…,0)
Jei C0, tai lygtys D1()=0 ir D()=0 yra lygiavertės. Jei C = 0, tada ši transformacija nieko neduoda. A.N. Krylovas siūlo šiuo atveju ypatingas sveikinimas, aptarta toliau. Paimkime savavališką vektorių B0 = (bi1,bi2,…,bin) kaip vektorių B0 ir naudokime jį vektoriams Bi gauti naudojant formules (9).
Tegu u=b01x1+b02x2+…+b0nxn (10)
čia x1,x2,…xn yra sistemos (1/) sprendiniai. Tada, pakartodami ankstesnį samprotavimą, gauname:
Sprendžiant šią sistemą kaip tiesinę sistemą vienarūšės lygtys su n+1 nežinomaisiais u,x1,x2,…xn, gauname, kad nulinis sprendimas įmanomas tada ir tik tada
Pakartodami ankstesnius samprotavimus, matome, kad
jei C10, tai charakteringojo daugianario koeficientai pi apibrėžiami kaip santykiai, kur Di - algebriniai priedai elementai n-i determinante D().
Tačiau Krylovo metodo esmė yra rasti šiuos koeficientus neskaičiuojant nepilnamečių.
Pasinaudokime Hamilton-Cayley teorema, teigiančia, kad matrica yra jai būdingos lygties šaknis, t.y.
(A) n+p1(A)n-1+…+pn-1A+pnE=0, (14)
čia pi – charakteringojo daugianario koeficientai.
Padauginus lygybę (14) iš b0, gauname:
bn+p1bn-1+p2bn-2+…+pn-1b1+pnb0=0 (15)
Ši vektorių lygybė suteikia linijinių algebrinių lygčių sistemą, skirtą charakteringojo daugianario koeficientams nustatyti. Šios sistemos determinantas lygus C1. Gautą sistemą galima išspręsti bet kuriuo iš žinomų metodų, pavyzdžiui, Gauso metodu.
Galima būtų pritaikyti Hamiltono-Cayley teoremą pačiai matricai A ir tada gautume sistemą
сn+p1сn-1+p2сn-2+…+pn-1с1+pnc0=0 (15/)
čia ci=Aic0, c0
Savavališkas pradžios vektorius.
Pavyzdys. Tegul matrica A turi tokią formą:
kaip vektorių B0 imame vektorių B0 = (1,0,0,0). Tada gauname vektorius
B1=AB0, B2=A2B0=AB1, B3=A3B0=AB2, B4=A4B0=AB3:
Linijinių algebrinių lygčių sistema būdingojo daugianario koeficientams nustatyti yra tokia:
Išsprendę šią sistemą gauname: p1=-11, p2=7, p3=72, p4=-93. Todėl būdingas daugianario forma bus tokia:
D()= 4 -113 + 72 +72 -93.
Pateiktame pavyzdyje C10.
Jei C = 0, tokia sistema neleis nustatyti charakteristikų lygties koeficientų. Matrica A ir į ją perkelta matrica A tenkina jos charakteristikos lygtį D(A)=0. Bet gali pasirodyti, kad yra mažesnio nei n laipsnio daugianarių (), kuriems galioja ir lygybė (A)=(A)=0. Tarp tokių daugianarių yra vienas polinomas, kurio pirminis koeficientas yra 1, kuris turi mažiausią laipsnį. Šis daugianomas vadinamas minimaliu. Jei matricos minimalus daugianomas nesutampa su charakteringuoju polinomu, tai C = 0 bet kuriam pradinio vektoriaus pasirinkimui. Šiuo atveju AC0=0 ir vektoriai C0, AC0, ..., Аn-1C0 yra tiesiškai priklausomi.
Praktikoje, naudojant Krylovo metodą, tokia situacija gali susidaryti tik ypatingomis aplinkybėmis.
1.2 Krylovo metodas
Krylovo metodas pagrįstas kvadratinės matricos M savybe išnykti jai būdingą daugianarį. Šiame darbe matrica M yra technologinių jungčių koeficientų matrica, kurios forma:
Pagal Hamiltono-Cali teoremą, kiekvienas kvadratinė matrica yra jam būdingo daugianario šaknis, todėl paverčia jį nuliu. Tegu (1.2.1) yra charakteringasis daugianomas
Pakeitę λ reikšmę išraiškoje M, gauname
Paėmę savavališką nulinį vektorių Y 0 ir padauginę iš jo abi išraiškos puses (1.2.2), gauname:
Arba formoje
Jei ši sistema turi vienintelis sprendimas, tada jo šaknys p 1, p 2 .....p n yra charakteringojo daugianario (1.2.1) koeficientai.
Jei žinomi charakteringojo daugianario koeficientai р 1 , р 2 …..р n ir šaknys λ 1 , λ 2 ,….λ n, tai Krylovo metodas leidžia rasti atitinkamus vektorius pagal tokią formulę:
Čia y (n -1), y (n -2), …. y (0) yra vektoriai, naudojami koeficientams p 1, p 2 .....p n rasti Krylovo metodu, o koeficientai q ij () nustatomi naudojant Hornerio schemą.
q 0i = 1, q ij = λ i q i-1,i +p i (1.2.7)
Norint nustatyti savąsias reikšmes matrica M, būtina išspręsti gautą charakteristikos lygtį. Matricai M ši lygtis bus penktojo laipsnio.
1.3 Niutono metodas (liestinės metodas)
Niutono metodas (taip pat žinomas kaip tangentinis metodas) yra kartotinis skaitmeninis metodas duotosios funkcijos šaknies (nulio) radimas. Sprendimo paieška vykdoma konstruojant nuoseklias aproksimacijas ir remiasi paprastos iteracijos principais. Metodas turi kvadratinę konvergenciją. Metodo patobulinimas yra akordų ir liestinių metodas. Niutono metodas taip pat gali būti naudojamas sprendžiant optimizavimo uždavinius, kai daugiamatės erdvės atveju būtina nustatyti pirmosios išvestinės arba gradiento nulį.
Norint skaitiniu būdu išspręsti lygtį f(x) = 0 naudojant paprastą iteracijos metodą, ji turi būti sumažinta iki sekančią formą: x = f(x), kur f(x) yra susitraukimo žemėlapis.
Norint pasiekti geriausią metodo konvergenciją, sąlyga turi būti įvykdyta kito aproksimavimo taške. Sprendimas duota lygtis ieškokite formoje, tada:
Darant prielaidą, kad artėjimo taškas yra „pakankamai arti“ šaknies, ir tai suteikta funkcija yra tęstinis, galutinė formulė yra:
(1.3.2)
Atsižvelgiant į tai, funkcija apibrėžiama išraiška
(1.3.3)
Ši funkcija atlieka suspaudimo atvaizdavimą šaknies kaimynystėje ir suradimo algoritmą skaitinis sprendimas lygtis sumažinama iki kartotinės skaičiavimo procedūros:
(1.3.4)
Pagal Banacho teoremą aproksimacijų seka linksta į lygties šaknį.
1.1 pav.- Grafinis vaizdavimas Niutono metodas
Pagrindinė metodo idėja yra tokia: prie hipotetinės šaknies nurodoma pradinė aproksimacija, po kurios aproksimacijos taške sukonstruojama tiriamos funkcijos liestinė, kuriai randama sankirta su abscisių ašimi. Šis taškas laikomas sekančiu aproksimavimu. Ir taip toliau, kol pasiekiamas reikiamas tikslumas.
Niutono metodo pranašumai:
1) jei minimuojama funkcija yra kvadratinė, tai metodas leis rasti minimumą vienu žingsniu;
2) jei minimizuojama funkcija priklauso sukimosi paviršių klasei, tai metodas taip pat užtikrina konvergenciją vienu žingsniu;
3) jei funkcija asimetrinė, tai metodas neužtikrina konvergencijos in galutinis skaičiusžingsniai. Tačiau dėl daugelio funkcijų pasiekiama daug daugiau didelis greitis konvergencija nei naudojant kitas metodo modifikacijas stačiausias nusileidimas.
Krylovo metodo ir Niutono metodo panaudojimas pateiktas prieduose. Metodai buvo įdiegti MathCAD ir VB.Net aplinkoje.
Tobulėjimui ir materialinės išlaidos. Taigi, diplomo dizaino tikslas – tobulėti programinės įrangos paketą radaro situacijos modeliavimui asmeniniame kompiuteryje, leidžiančiam imituoti radaro situaciją naudojant duotus parametrus, sukurkite išvesties failą su apskaičiuotu modeliu, naudokite gautą failą, kad patikrintumėte tikrus apdorojimo įrenginius...
