Matavimo priemonių transformacijos funkcijų tiesinis (modeliavimas).

Įvadas

Mokslo ir technologijų raida, didėjantys reikalavimai gaminių kokybei ir gamybos efektyvumui lėmė radikalų matavimo reikalavimų pasikeitimą. Vienas iš pagrindinių šių reikalavimų aspektų – užtikrinti pakankamai patikimo matavimo paklaidos įvertinimo galimybę. Duomenų apie matavimo tikslumą trūkumas arba nepakankamai patikimi įverčiai visiškai ar reikšmingai nuvertina informaciją apie objektų ir procesų savybes, gaminių kokybę ir efektyvumą. technologiniai procesai, apie žaliavų, gaminių ir kt. kiekį, gautą atlikus matavimus. Neteisingas matavimo paklaidos įvertinimas yra kupinas didelių ekonominių nuostolių, o kartais technines pasekmes. Nepakankamai įvertinus matavimo paklaidą, daugėja gaminių defektų, neekonomiškai ar neteisingai apskaitomas materialinių išteklių suvartojimas, daromos neteisingos išvados mokslinius tyrimus, klaidingi sprendimai kuriant ir tiriant mėginius nauja technologija. Matavimo paklaidos pervertinimas, dėl kurio, kaip taisyklė, daroma klaidinga išvada apie būtinybę naudoti tikslesnius matavimo prietaisus (MI), atsiranda neproduktyvių MI kūrimo, pramoninės gamybos ir eksploatavimo sąnaudų. Noras matavimo paklaidos įvertį kuo labiau priartinti prie jo faktinė vertė taip, kad tikimybine prasme išliktų „įvertis iš viršaus“ - viena iš būdingų šiuolaikinės praktinės metrologijos raidos tendencijų. Ši tendencija tampa ypač svarbi praktinę reikšmę kai reikalingas matavimo tikslumas artėja prie tikslumo, kurį gali užtikrinti standartinės matavimo priemonės, ir kai matavimo tikslumo įverčių teisingumo didinimas iš esmės yra vienas iš matavimo tikslumo didinimo atsargų. Matavimo klaida atsiranda dėl bendras atvejis, daug veiksnių. Tai priklauso nuo naudojamų matavimo priemonių savybių, matavimo priemonių naudojimo būdų (matavimo metodų), matavimo priemonių kalibravimo ir patikros teisingumo, matavimų atlikimo sąlygų, matavimo greičio (dažnio) išmatuotų dydžių pasikeitimus, skaičiavimo algoritmus ir operatoriaus įvestą klaidą. Vadinasi, užduotis įvertinti matavimo paklaidą in šiuolaikinėmis sąlygomis, ypač techniniai matavimai yra sudėtinga ir sudėtinga užduotis.

Umanskaya A.K. Linearizacija (modeliavimas)

matavimo prietaiso konvertavimo funkcijos. -

Čeliabinskas: SUSU, PS; 2012.18p.4 iliustr.,

bibliogr. sąrašas – 1 vardas

Remiantis pradiniais duomenimis, buvo tiesizuota (modeliuota) matavimo priemonės transformacijos funkcija ir apskaičiuotos paklaidos.

Užduotys

1 UŽDUOTIS.

SI jautrumas ir ypatingas jautrumo nestabilumas. SI jautrumas:

Didžiausias jautrumo nestabilumas:

2 UŽDUOTIS.

Apribokite santykines klaidas, sumažintas iki SI išvesties ir įvesties

Raskime išėjimo signalo paklaidą.

Pagal apibrėžimą:

Raskime išėjimo signalo paklaidą, sumažintą iki SI išėjimo.

Pagal apibrėžimą:

Apibrėžkime reikšmes santykinė klaida esant įvesties išmatuotos vertės vertėms:

3 UŽDUOTIS.

Nustatykite absoliučiąsias, santykines ir sumažintas netiesiškumo paklaidas, kai aproksimuokite SI transformacijos funkciją liestinės forma pradiniame taške.

Nustatykite didžiausią netiesiškumo paklaidą. Tangento lygtis yra tokia:

Taškas, per kurį eina liestinė

Tangento kampas:

Nustatykime tiesiškumo klaidas:

Absoliuti klaida:

Santykinė klaida:

Nurodyta klaidos reikšmė (taške x=x n):

Transformacijos funkcijos aproksimacijos grafikas liestinės formos pradiniame taške:

4 UŽDUOTIS

Nustatykite santykines ir absoliučias netiesiškumo paklaidas aproksimuojant SI transformacijos funkciją stygos, einančios per pradinę ir pabaigos taškas matavimo diapazonas. Nustatykite didžiausią netiesiškumo paklaidą.

Akordo lygtis yra tokia:

Taškai, per kuriuos eina styga:

Linearizacijos funkcija yra tokia:

Nustatykime linearizacijos paklaidas.

Absoliuti klaida:

Santykinė klaida:

Didžiausia netiesiškumo paklaida ties x ai :

Raskime klaidą:

Transformacijos funkcijos aproksimacijos grafikas stygos, einančios per mūsų diapazono pradžios ir pabaigos taškus, forma.

5 UŽDUOTIS.

Apytikslė SI transformacijos funkcija intervale: tiesinė funkcija formos: , kad didžiausia tiesiškumo paklaida būtų minimali: . Nustatykite didžiausias santykines ir sumažintas tiesiškumo paklaidas. aproksimacinė funkcija.

Absoliuti linearizacijos klaida.

matavimo prietaiso paklaidos netiesiškumas

Užrašykime sistemos optimizavimo sąlygą:

klaida matavimo diapazono pabaigoje:

klaida kraštutiniame taške:

Išplėskime modulius ir parašykime lygtį:

Nustatykime klaidą

6 UŽDUOTIS.

Apytiksliai SI transformacijos funkciją intervale: su tiesine formos funkcija: , kad didžiausia tiesiškumo paklaida būtų minimali: .

Nustatykite didžiausias santykines ir sumažintas tiesiškumo paklaidas.

aproksimacinė funkcija.

Absoliuti linearizacijos klaida.

Klaida priimama mažiausia vertė taške, kur:

Sistemos optimizavimo sąlyga:

Sukurkime sistemą:

Iš sistemos sprendimo gauname:

Aproksimacijos funkcija yra tokia:

Nustatykime klaidas.

Didžiausia sumažinta linijavimo paklaida yra:

Transformacijos funkcijos aproksimacijos pagal formos tiesinę funkciją su mažiausia maksimalia paklaida grafikas.

Išvada

Konstruojant tiesinius matavimo priemonių transformacijos funkcijų modelius įvairiais būdais, esame įsitikinę, kad transformacijos funkcijos modeliavimo būdas tiesine formos funkcija: , kad didžiausia tiesiškumo paklaida būtų minimali, yra pats efektyviausias, nes jame buvo mažiausia paklaida ir pastovus jautrumas.

Bibliografija

1. Aksenova, E.N. Elementarūs metodai tiesioginių ir rezultatų klaidų įverčiai netiesioginiai matavimai / mokymo vadovas universitetams. - M.: Leidykla „Logos“; Universiteto knyga, 2007 m.

Automatinės sistemos paprastai apibūdinamos kaip netiesinės diferencialines lygtis. Tačiau daugeliu atvejų jas galima tiesinti, tai yra pakeisti originalias netiesines lygtis tiesinėmis, kurios apytiksliai apibūdina procesus sistemoje. Konversijos procesas netiesinė lygtis tiesine vadinama tiesine.

Automatinėse sistemose turi būti palaikomas tam tikras nurodytas režimas. Šiame režime sistemos nuorodų įvesties ir išvesties dydžiai keičiasi pagal tam tikrą dėsnį. Visų pirma, stabilizavimo sistemose jie turi tam tikrų pastovios vertės. Bet dėl ​​įvairių trikdančių faktorių tikrasis režimas skiriasi nuo reikalaujamo (nurodyto), taigi dabartinės vertėsįvesties ir išvesties reikšmės nėra lygios reikšmėms, atitinkančioms nurodytą režimą. Įprastai veikiančiame automatine sistema tikrasis režimas šiek tiek skiriasi nuo reikiamo režimo, o į jį įtrauktų nuorodų įvesties ir išvesties verčių nuokrypiai nuo reikiamų verčių yra nedideli. Tai leidžia linijuoti plečiant netiesinės funkcijos, įtrauktas į lygtis, Taylor serijoje. Linearizaciją galima atlikti naudojant nuorodas.

2.1 pavyzdys. Iliustruojame tai, kas išdėstyta aukščiau, naudodamiesi (2.1) lygtimi aprašytos sąsajos pavyzdžiu. Tegu nurodytas režimas atitinka

Faktinių u ir y reikšmių nuokrypius nuo reikiamų verčių pažymėkime . Tada ir Pakeiskime šias išraiškas į (2.1) ir, atsižvelgdami į nepriklausomų kintamųjų funkciją, išplėskime ją į Taylor eilutę taške (2.3) ir atmeskime mažus terminus. aukšta tvarka nei nukrypimai. Tada (2.1) įgaus formą

Čia aukščiau esanti žvaigždutė tai reiškia atitinkamas funkcijas o išvestinės skaičiuojamos argumento reikšmėms, nustatytoms ryšiais (2.3). Kai sistemoje nustatomas tam tikras režimas, (2.1) lygtis įgauna formą . Atėmę šią lygtį iš (2.4), gauname norimą nuokrypių sąsajos lygtį:

Jei laikas t nėra aiškiai įtrauktas į pradinė lygtis(2.1) ir, be to, duotas režimas yra statinis - dydžiai nepriklauso nuo laiko, tada tiesinės lygties (2.5) koeficientai yra pastovūs.

Aprašytos nuorodos ir sistemos tiesines lygtis, vadinamos linijinėmis nuorodomis ir tiesinės sistemos.

(2.5) lygtis gauta darant tokias prielaidas: 1) išėjimo ir įvesties dydžių nuokrypiai yra gana maži; 2) funkcija turi ištisines dalines išvestines visų jos argumentų, esančių šalia nurodytą režimą atitinkančių taškų, atžvilgiu. Jei bent viena iš šių sąlygų neįvykdyta, linearizacija negali būti atlikta. Kalbant apie pirmąją sąlygą, būtina atkreipti dėmesį į tai: neįmanoma kartą ir visiems laikams nustatyti, kurie nukrypimai laikomi mažais. Tai priklauso nuo netiesiškumo tipo.

Dažnai netiesinis ryšys tarp atskirų kintamųjų, įtrauktų į sąsajos lygtį, nurodomas kreivės forma. Tokiais atvejais linijavimas gali būti atliktas grafiškai.

Geometriniu požiūriu netiesinio ryšio tarp dviejų kintamųjų (2.2 pav.) tiesinimas reiškia pradinės kreivės A B pakeitimą jos liestinės taške O atkarpa, atitinkančia duotą režimą, ir lygiagretus perdavimas kilmė iki šio taško.

Priklausomai nuo to, ar laikas yra aiškiai įtrauktas į lygtį, ar ne, sistemos skirstomos į stacionarias ir nestacionarias.

Automatinės valdymo sistemos (nuorodos) vadinamos stacionariomis, jei jos yra pastovios išorinių poveikių apibūdinamos lygtimis, kurios tiesiogiai nepriklauso nuo laiko. Tai reiškia, kad sistemos savybės laikui bėgant nekinta. Priešingu atveju sistema vadinama nestacionaria. Linijinėms sistemoms taip pat galime duoti sekantį apibrėžimą: stacionarios tiesinės sistemos (nuorodos) yra sistemos (sąsajos), kurios apibūdinamos tiesinėmis lygtimis su pastovūs koeficientai; nestacionarios tiesinės sistemos (sąsajos) arba sistemos su kintamaisiais parametrais – sistemos (sąsajos), kurios aprašomos tiesinėmis lygtimis su kintamaisiais koeficientais.

chx=(e x +e - x)/2

shx=(e x -e -x)/2

chx 2 +shx 2 =ch2x

c
thx=chx/shx

Paskaita Nr.12

Tema: „Linearizacija“

Funkcijos diferencialo ir liestinės lygties geometrinė reikšmė.

tiesės lygtis: Y=kx+b

y 0 =f(x 0)=kx 0 +b

tiesės k-nuolydis

k=tg=f’(x 0)

Y=f(x0)+f(x0)-f’(x0)x0

Y=f(x)+f’(x 0)(x-x 0)

∆f(x 0)=f’(x 0)∆x+(∆x)∆x, kai ∆х0  kai kuriuose

O(x 0) f(x 0)=f’(x 0)+f’(x 0)∆x+(∆x)∆x ties ∆х0

Y 1 =f(x 0)+f'(x 0)(x-x 0) a =f'(x 0)+f'(x 0)∆x

df(x 0)=f’(x 0)∆x

Geometrinė diferencialo reikšmė:

df(x 0) yra ordinatės prieaugis judant išilgai funkcijos, nubrėžtos grafiko taškuose (x 0 ;f(x 0), liestinės.

komentuoti: Jie dažnai kalba apie liestinę, nubrėžtą taške x 0.

Funkcijos linijavimas.

Apibrėžimas: Funkcijos pakeitimas tiesinės funkcijos duoto taško kaimynystėje vadinamas funkcijos tiesėjimu, tiksliau O(x 0) ji pakeičiama liestinės atkarpa taške x 0.

(
*)f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Jei lygybėje (*) atmetame dešinę pusę, tai mes

gauname apytikslę lygybę:

f(x)f(x 0)+f'(x 0)(x-x 0), xx 0

Y=f(x 0)+f’(x 0)(x-x 0) – liestinės lygtis taške x 0

Formulė gaunama iš diferencialo apibrėžimo funkcijos taške x 0

f(x)=f(x 0)+f(x 0)∆x+o∆x ties ∆х0 – vadinamas diferencinės funkcijos kriterijumi taške x 0.

Apytiksliai skaičiavimai ir skaičiavimo paklaidos įvertinimas.

Galite apytiksliai apskaičiuoti funkcijos reikšmę taškuose, esančiuose arti nurodyto taško.

Linearizuokime pasirinktą šaknį.

f’(x) x=8 =(3 x)' x =8 =1/3x -2/3  x =8 =1/12

3 x2+1/12(x-8), x8

3 x2+0,001/12

Y ca = 2+1/12 (x-8)

3 x=2+1/12(x-8)+o(x-8) ties x8

Skaičiavimo klaidos.

f(x)-f(x 0)=df(x 0)+o(x-x 0) ties xx 0

∆f(x 0)df(x 0), xx 0

∆ 1 =∆f(x 0)df(x 0)

f(x)=10 x taške x 0 =4, jei ∆x=0,001 x=40,001

10 4 ∆=10 4 23

f’(x)=10 x ln10; f’(4)=10 4 ln10=23000; ln102.2

∆230000,001=23

Funkcijos elgsenos tyrimas naudojant pirmąją išvestinę.

Į kairę nuo M 0 tg >0; Į dešinę nuo M 0 tg <0

tg f’(x)>0 į kairę nuo M 0

tg f'(x)<0 справа от М 0

Teorema: Tegul y=f(x) yra diferencijuotas  x(a,b) ir f'(x)>0 (f'(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)

A(|x1|x2)b

x 1 ,x 2 (a,b) x 1

Turime įrodyti: f(x 1)

Taikykime Langrange'o teoremą atkarpos (x 1 ,x 2) T teoremai.

f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1) kur c(x1,x2)

f(x 2)-f(x 1)>0  f(x 2)>f(x 1)

Funkcijos kraštutinumas.

M Galite nurodyti O(x 1), kuriame visos funkcijos reikšmės

f(x)

f(x)>f(x 1) b ir О  2 (x 1). Svarbios funkcijos taškuose M 1, M 3 ir M 5 –

max; M 2 ir M 4 – min – tokie taškai vadinami taškais

ekstremumas arba vietiniai maks. ir min. taškai.

Apibrėžimas: (ekstremalūs taškai)

Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta kai kuriuose O(x 0) ir f(x)>f(x 0)

O(x 0) arba f(x)

Z Pastaba:

f(x)f(x 1) O  1 (x 1)

f(x)f(x 2) O  2 (x 2)

jie sako, kad taškai x 1 ir x 2 nėra griežtai vietiniai taškai

ekstremumas.

Teorema: (Fermat) (dėl ekstremumo sąlygos būtinybės diferencijuojamai funkcijai)

Tegul y=f(x) yra diferencijuotas taške x 0, o taškas x 0 yra ekstremumo taškas, tada f(x 0)=0

Įrodymas: Atkreipkite dėmesį, kad x 0 yra ekstremumo taškas, tada šalia jo f(x) – f(x 0) išlaiko ženklą. Parašykime sąlygą ∆f(x 0)=f(x)-f(x 0)(x-x 0)+o(x-x 0)

f(x)-f(x 0)=(x-x 0) tada x – pakankamai arti x 0 laužtiniuose skliaustuose esančios išraiškos ženklas sutampa su f'(x 0)0 (x-x 0) ženklu – keičia ženklą perėjimo per tašką metu x 0  f'(x 0)=0

Paskaita Nr.13

Pranešėjas: Golubeva Zoya Nikolaevna

Tema: "Extrema"

komentaras:

APIE brolio teiginys yra neteisingas. Vien todėl, kad sandauga tam tikrame taške yra nulis, tai nereiškia, kad tai yra ekstremumas.

xO -  (1)f(x)<0

xO +  (1)f(x)<0

x=1 nėra ekstremumo taškas.

Teorema (Rolle):

Tegul funkcija y=f(x) yra tolydi intervale ir diferencijuojama (a,b). Be to, intervalo pabaigoje įgauna lygias reikšmes f(a)=f(b), tada  с(a,b): f(c)=0

Įrodymas: Kadangi funkcija yra ištisinė atkarpoje , tai pagal antrąją Weistrasso teoremą yra didžiausia ir mažiausia reikšmė (m,M), jei m=M, tai f(x)const (x) (const)' =0.

Tegul m

komentaras: diferenciacijos sąlygos negalima atmesti.

ištisinis segmente

Geometrinė reikšmė.

f’(x)=0, tada x ašies liestinė . Teorema nesako, kad tai yra vienas taškas.

Langrange teorema:

Tegul funkcija y=f(x) yra tolydi intervale ir diferencijuojama intervale (a,b), tadaс(a,b): f(b)-f(a)=f(c)( b-a)

Įrodymas :

F(x)=f(x)+xkur  yra vis dar nežinomas skaičius.

F(x) – tolydis intervale kaip tolydžios funkcijos suma

f(x) yra diferencijuojamas intervale kaip diferencijuojamos funkcijos suma.

Parinkime skaičių  taip, kad atkarpoje F(x) įgautų vienodą reikšmę.

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =/

F(x) – tenkina volelio teoremos sąlygas atkarpoje c(a,b):F’(c)=0, tai yra F’(x)=f’(x)+

0=f’(c)+  f’(c)=-=/

Tai yra, ant kreivės, kuri yra pasvirusi

į x ašį tokiu pat kampu kaip ir sekantas

/=tg=f(x)  c(a,b)

komentaras:

Dažnai taškas c gali būti pavaizduotas

reikalinga forma:

с=х 0 +∆х

0<(c-x 0)/(x-x 0)=<1

c-x 0 =(x-x 0)

c=x 0 +(x-x 0) 1

f(x)-f(x 0)=f’(x 0 +∆x)(x-x 0)

∆f(x 0)=f’(x 0 +∆x)∆x

Teorema: (apie būtinas ir pakankamas sąlygas ekstremumui pirmajame išvestyje)

Tegul y=f(x) yra tolydis intervale ir diferencijuotas O(x 0). Jei f’(x) keičia ženklą eidamas per tašką x 0, tai taškas x 0 yra ekstremumo taškas. Jei ženklas pasikeičia:

nuo + iki – tada tai yra maksimalus taškas

nuo – iki +, tai yra minimalus taškas

Įrodymas :х 1 О - (x 0) į ;c 1 (x 1 ,x 0)f(x 0)-f(x 1)=f'(c 1)(x 0 -x 1) f(x 0)>f(x 1)x 1 O - (x 0)

 x 2 О + (x 0) ant ;c 2 (x 0 ,x 2)f(x 2)-f(x 0)=f'(c 2)(x 2 -x 0) f(x 2)

f(x 0)>f(x)xO(x 0)taškas x maksimalus taškas.

Jei taške x 0 yra išvestinė, tai pagal Ferma teoremą ji būtinai lygi 0. Tačiau gali būti taškų, kuriuose f(x) egzistuoja, bet f'(x) neegzistuoja.

Tokių problemų sprendimo principas:

Sąlyga: suraskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę segmente.

Sprendimo eiga:

Randame taškus, kuriuose išvestinė yra lygi 0 arba neegzistuoja f’(x)=0 orf’(x)  x 1 ,x n

Apskaičiuojame funkcijos ženklą atkarpos galuose ir šiuose taškuose f(a),f(b),f(x 1)….f(x n)

Pasirinkite didžiausią ir mažiausią mf(x)

Apibrėžimas: taškai, kuriuose funkcija apibrėžiama ir išvestinė yra lygi nuliui arba neegzistuoja, vadinami kritiniais taškais.

1. Visi kintamieji išreiškiami per x 1 , x 2
2. Visi matematiniai veiksmai išreiškiami visuotinai priimtais simboliais (+,-,*,/,^). Pavyzdžiui, x 1 2 +x 1 x 2, parašykite kaip x1^2+x1*x2.

Kur – atmestas antros eilės mažumo terminas.
Taigi funkcija f(x) taške x 0 aproksimuojama tiesine funkcija:
,
kur x 0 yra tiesiškumo taškas.
komentuoti. Linearizacija turėtų būti naudojama labai atsargiai, nes kartais gaunama labai apytikslė apytikslė vertė.

Bendra netiesinio programavimo problema

1 pavyzdys.

Sukurkime leistiną sritį S (žr. pav.).


Įmanoma sritis S susideda iš kreivės h(x)=0 taškų, esančių tarp taško (2;0), apibrėžto apribojimu x 2 ≥0, ir taško (1;1), apibrėžto apribojimu g( x) ≥0.
Linearizuodami uždavinį taške x 0 =(2;1), gauname tokį ZLP:

Čia tai tiesi atkarpa, apribota taškais (2,5; 0,25) ir (11/9; 8/9). Tiesinės tikslo funkcijos lygio linijos yra tiesės, kurių nuolydis yra -2, o pradinės tikslo funkcijos lygio linijos yra apskritimai, kurių centras yra taške (0;0). Aišku, kad tiesinio uždavinio sprendimas yra taškas x 1 = (11/9; 8/9). Šiuo metu turime:

taigi lygybės apribojimas pažeidžiamas. Atlikę naują linearizaciją taške x 1, gauname naują uždavinį:


Naujasis sprendimas yra linijų sankirtoje ir ir turi koordinates x 2 = (1,0187; 0,9965). Apribojimas – lygybė ( ) vis dar pažeidžiamas, bet mažesniu mastu. Jei atliksime dar dvi iteracijas, gausime labai gerą aproksimaciją sprendiniui x * =(1;1), f(x *)=2

Lentelė – kai kurių iteracijų objektyvios funkcijos reikšmės:

Linearizacija

Norint įvertinti nežinomus parametrus β 0 , … , β n netiesinės regresijos modelis, būtina jį perkelti į tiesinę formą. Esmė linearizacija Regresijos modeliai, kurių nepriklausomi kintamieji yra netiesiniai, susideda iš netiesinių faktorių kintamųjų pakeitimo tiesiniais. Bendruoju daugianario regresijos atveju – funkcijos netiesinių kintamųjų pakeitimo procesas nth Užsakymas atrodo taip: x = с 1, ; x 2 = c 2; x Z = s3; ... ; x p = c p.

Tada daugialypės netiesinės regresijos lygtis gali būti parašyta kaip tiesinė daugialypės regresijos lygtis

y i = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + … +β n x n i + ε i =>

=> y i = β 0 + β 1 c 1i + β 2 c 2i + … +β n c ni + ε i

Hiperbolinę funkciją taip pat galima redukuoti į tiesinę formą, pakeičiant netiesinį faktoriaus kintamąjį tiesiniu. Tegu 1/ X= s. Tada pradinę hiperbolinės funkcijos lygtį galima parašyti transformuota forma:

y i = β 0 + β 1 / x i + ε i => y i = β 0 + β 1 su i + ε i

Taigi tiek bet kokio laipsnio daugianario funkcija, tiek hiperboloidas gali būti redukuojami į tiesinės regresijos modelį, leidžiantį taikyti tradicinius nežinomų regresijos lygties parametrų radimo metodus (pavyzdžiui, klasikinį OLS) ir standartinius įvairių testavimo metodus. hipotezės transformuotam modeliui.

Co. antra klasė Netiesiniai modeliai apima regresijos modelius, kuriuose rezultato kintamasis y i yra netiesiškai susijęs su lygties parametrais β 0 ,…, β n. Šio tipo regresijos modeliai apima:

1) galios funkcija

y i = β 0 · x i β 1 · ε i

2) eksponentinė funkcija

y i = β 0 · β 1 x i · ε i

3) logaritminė parabolė

y i = β 0 · β 1 x i · β 2 x i · ε i 2

4) eksponentinė funkcija

y i = e β 0 + β 1 x i · ε i

5) atvirkštinė funkcija

ir kiti.

Netiesiniai parametrais regresiniai modeliai savo ruožtu skirstomi į modelius yra linearizuojamos (iš esmės tiesinės funkcijos) ir netiesioginės (iš esmės netiesinės funkcijos). Modelių, kuriuos galima redukuoti į tiesinę formą, pavyzdys yra eksponentinė formos funkcija y i = β 0 · β 1 x i · ε i, kur yra atsitiktinė klaida ε i dauginamai susiję su faktoriaus charakteristika x i . DŠis modelis yra netiesinis parametre β 1. Norėdami jį tiesuoti, pirmiausia atliekame logaritmo procesą:

ln y i = ln β 0 + x i ln β 1 + ln ε i

Tada naudosime pakeitimo metodą. Leiskite ln y i= Y i; ln β 0= A; β 1 =IN; ln ε i =E i.

Tada transformuota eksponentinė funkcija turi tokią formą:

Y i = A+ Į x i+ E i.

Todėl eksponentinė funkcija y i = β 0 · β 1 x i · ε i yra viduje tiesinis, o jo parametrų įverčius galima rasti naudojant tradicinį mažiausių kvadratų metodą.

Jei imtume eksponentinę funkciją, kuri apima atsitiktinę klaidą ε i adityviai, t.y. y i = β 0 · β 1 x i + ε i, tada šio modelio nebegalima sudaryti tiesine forma naudojant logaritmą. Jis viduje yra netiesinis.

Tegu pateikiama formos laipsnio funkcija y i = β 0 · x i β 1 · ε i. Paimkime abiejų lygties pusių logaritmus:

ln y i = ln β 0 + β 1 ln x i + ln ε i

Dabar naudokime pakeitimo metodą: ln y i= Y i; ln β 0= A; ln x i =X i ; ln ε i = E i.