Diferencialinė lygtis simbolinėje formoje
Diferencialinė lygtis klasikine forma
Homogeninė diferencialinė lygtis
Charakteristinė lygtis
Charakteristinis daugianomas
Perdavimo funkcija
Šaknys charakteristikos lygtis:
Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas
Kadangi šaknys yra sudėtingos ir poromis konjuguotos, perėjimo proceso pobūdis yra nemonotoniškas (svyruojantis).
Būdingosios lygties šaknys yra kairiojoje pusplokštumoje. Sistema yra stabili.
Dažnio perdavimo funkciją arba kompleksinį stiprinimą W(j) galima įvesti dviem būdais:
1. Surandant atsaką į sinusoidinį (harmoninį signalą).
2. Furjė transformacijos naudojimas.
Pradėkime nuo pirmojo metodo ir suraskime sistemos (2.2.1) atsaką į harmoninį signalą, kurį pateiksime eksponentine forma
kur Xm ir yra amplitudė ir apskritimo dažnis.
Nuo m linijinė sistema nėra netiesinių iškraipymų, tada pastovioje būsenoje išėjimas taip pat turės tokio paties dažnio harmoninį signalą, bendras atvejis su skirtinga amplitude ir faze, t.y.
Norėdami nustatyti amplitudę ir fazę, pakeičiame signalų (2.4.11), (2.4.12) ir jų išvestinių išraiškas į diferencialinę lygtį ir po redukavimo ejt 0 ir elementarios transformacijos mes gauname tapatybę
Šiuos ryšius galima laikyti dažnio perdavimo funkcijos apibrėžimu. Juose yra fizinę reikšmę dažnio perdavimo funkcija ir iš jų vadovaujamasi jos eksperimentinio nustatymo metodu, matuojant harmoninių signalų amplitudes įėjime ir išėjime bei fazės poslinkį tarp jų tam pačiam dažniui.
Antrojo dažnio perdavimo funkcijos nustatymo metodo atveju palyginkite (2.4.13) ir (2.2.15). Iš palyginimo matyti, kad dažnis perdavimo funkcija yra ypatingas Laplaso perdavimo funkcijos atvejis, kai p = j, t.y.
Kadangi Laplaso perdavimo funkcija taikoma savavališkos (bet kokios) formos signalams, dažnio perdavimo funkcija taip pat taikoma norint rasti atsaką į signalą laisva forma, ir nebūtinai harmoningas. Iš (2.4.5) mūsų reakcijos Furjė vaizdas
Pati reakcija, tai yra originalas, randama pagal inversijos formulę
Taigi, iš antrojo dažnio perdavimo funkcijos apibrėžimo, reakcijos radimo dažnio metodas (Furjė transformacijos metodas):
1. Pateiktam įvesties signalui raskite vaizdą naudodami Furjė
2. Raskite Furjė reakcijos vaizdą naudodami (2.4.16)
Y(j) = X(j)W(j). (2.4.20)
3. Pagal inversijos formulę ( atvirkštinė konversija Furjė) randame reakciją
Įvesties signalo transformacijos jungtimi arba sistema pobūdį lemia dažnio perdavimo funkcija arba atitinkamos dažnio charakteristikos. Dažnio charakteristikų tipai yra glaudžiai susiję su įrašymo formomis kompleksiniai skaičiai, nes dažnio perdavimo funkcija yra kompleksinis skaičius.
Pagrindinės dažninės charakteristikos (2.4.3-2.4.6 pav.).
1. Amplitudė-fazinė charakteristika (APC) – W(j) priklausomybė nuo sudėtinga plokštuma keičiant iš - į + (2.4.3 pav.). Kadangi Wх() = Wх(-) - lygi funkcija ir Wу() = Wу(-) - nelyginė funkcija, tada AFC už< 0 симметрична относительно вещественной оси характеристике для >0 ir paprastai nevaizduojamas.
2. Tikrosios Wх() ir įsivaizduojamosios Wу() dažninės charakteristikos (2.4.4 pav.) - tikrosios ir menamos dalių priklausomybės nuo dažnio. Turint omenyje tikrosios charakteristikos paritetą ir įsivaizduojamo keistumą, jiems< 0 обычно не изображают. Четность Wх() и нечетность Wу() вытекают из правила (2.4.22) их выделения из W(j), так как в знаменателе четная функция, а в числителе j в четной степени - действительное число (отходит к Wх()), а в нечетной -мнимое (отходит к Wy()).
3. Amplitudės (AFC) ir fazės (PFC) dažninės charakteristikos - A() ir () priklausomybės nuo dažnio (2.4.5 pav.). Dėl A() lygumo ir () nelygumo jie skirti< 0 обычно не изображают. Амплитудная частотная характеристика определяет инерционность (пропускную способность) звена или системы. Фазовая частотная характеристика определяет величину фазового сдвига на соответствующей круговой частоте.
4. Atvirkštinė dažnio charakteristika W-1(j) = 1/ W(j). Nustatę trupmenos amplitudę ir argumentą (fazę) pagal taisyklę (2.4.6), randame
Iš kompleksinių skaičių rašymo formų ryšio išplaukia, kad iš AFC galima konstruoti Wх(), Wу() arba А(), (), taip pat W-1(j) ir atvirkščiai. 2.4.6 paveiksle parodyta atvirkštinė charakteristika 2.4.3 paveiksle. Paveikslėlyje parodytas vieneto spindulio apskritimas. Pagal taisyklę (2.4.22), taškai, atitinkantys A() > 1, yra vienetinio spindulio apskritimo viduje. Taškas A() = 1 lieka apskritime, bet fazė pasikeičia į priešingą (180).
Tačiau atsižvelgiama į nuorodas, kurių fizinio tinkamumo sąlyga netenkinama. Tai galioja tam tikrame dažnių diapazone. Jei signalo spektras jungties įėjime nepatenka į šį diapazoną, atsiras atsako iškraipymai, kurių nenumato ryšio perdavimo funkcija.
5. Logaritminės dažninės charakteristikos.
Plačiausiai naudojamos logaritminės charakteristikos. Norėdami juos paaiškinti, pateiksime dažnio perdavimo funkciją eksponentine forma ir imkime natūralusis logaritmas iš:
Tai lygu sudėtinga išraiška; jo tikroji dalis yra modulio logaritmas, o įsivaizduojama dalis yra fazė.
Praktikoje imamasi dešimtainis logaritmas, kad logaritminės amplitudės (LAH) ir fazės (LPH) charakteristikos būtų nustatytos pagal išraiškas:
Abscisių ašis diagramose rodo dažnį logaritminė skalė, t.y. lg. Tačiau skaitmenizavimą patartina atlikti tiesiogiai apskritimo dažnio reikšmėmis, o žymėjimui galite naudoti 2.4.1 lentelę. Vertybės
2.4.1 lentelė
Amplitudė matuojama decibelais, fazė – laipsniais. Norėdami pažymėti x ašį tiesiogiai reikšmėmis (rad/s), galite naudoti bet kurią iš trijų skalių (pagrindinę, kvadratinę ir kubinę) slydimo taisyklė(2.4.7 pav.).
Jei imsime D mm kaip dešimtmetį, tai, pavyzdžiui, 0,301 deka (atitinka = 2 rad/s) bus 0,301D mm, 1,301 deka (atitinka 20 rad/s) bus D+0,301D mm ir tt . Taigi taškai, kurių skaitmeninimas yra nuo 1 iki 10, per dešimtmetį perkeliamas į dešinę ir suskaitmeninamas nuo 10 iki 100 ir pan. (2.4.7 pav.), paslinkti į kairę nuo pradinės padėties viena dekada ir suskaitmeninti nuo 0,1 iki 1 ir kt.
Jei 2 /1 = 10, tai atstumas tarp dažnių lygus vienai dekadai (log10 = 1), jei 2 /1 = 2, tai atstumas lygus vienai oktavai.
Kadangi log(= 0) = -, tada taškas = 0 yra begalybėje į kairę. Todėl ordinačių ašis nubrėžiama bet kur, kad dominantis dažnių diapazonas patektų į grafiką. Kadangi 20lg1 = 0, tada L() > 0, jei A()>1 ir L()< 0, если А() < 1. Если А() 0, то L() -.
Panagrinėkime inercinės grandies LAC. Turime
A() = ; . (2.4.24)
Į kairę nuo sujungimo dažnio 0, t.y. esant 0, nepaisome 2 dydžio radikalo ženklo, palyginti su 02. Tada
L() 20lg(k). (2.4.25)
Vadinasi, į kairę nuo 0 asimptotinė LAX yra horizontali tiesi linija 20 lg (k) aukštyje. Jei k = 1, tai ši tiesi linija sutampa su dažnio ašimi.
Į dešinę nuo konjuguoto dažnio 0, kur 0, panašiai gauname tiesią liniją, kurios nuolydis yra -20 dB/dec, nes log brėžiamas išilgai abscisių ašies.
L() 20 lg(k) – 20 lg, (2.4.26)
0 taške turime klaidą pakeičiant tikslią (tikrąją) charakteristiką asimptotine, lygia
Lacc (0) = Lacc (0) + L (0),
Tai tikroji savybė taške 0 yra žemiau asimptotinio 3 dB. Praktiškai 3 dB paklaida laikoma maža ir į ją neatsižvelgiama.
Nuorodų logaritminės charakteristikos
2.4.6 lentelė
Iš 2.4.6 lentelės matyti:
1. Nuolydis ir atitinkamai fazės poslinkis esant žemiems dažniams gali būti užtikrinamas tik integruojant arba diferencijuojant nuorodas. Jei, pavyzdžiui, perdavimo funkcijoje yra r integruojančių grandžių, tai LAC nuolydis žemuose dažniuose yra lygus, o fazės poslinkis atitinkamai lygus.
2. n vardiklio šaknų (perkėlimo funkcijos polių), t.y. vardiklio n laipsnis, atitinka LAC nuolydį esant aukštiems dažniams, lygus, o minimalios fazės sistemos atveju - atitinkamai fazės poslinkiui aukšti dažniai ai, lygu.
3. Skaitiklio šaknys (perdavimo funkcijos nuliai) aukštuose dažniuose panašiai atitinka LAC nuolydį, lygų, ir fazės poslinkį.
4. Perkėlimo funkcijos atveju
minimalios fazės sistema su n polių ir n1 nulių, LAC nuolydis aukštuose dažniuose yra lygus, o fazių poslinkis lygus laipsniams.
Sistemų logaritminių charakteristikų konstravimas
ir perdavimo funkcijos atkūrimas pagal LAX
Jei sistemos jungtys sujungtos nuosekliai, tada
o atvirojo ciklo sistemos kompleksinio stiprinimo moduliui ir argumentui atitinkamai turime:
Akivaizdu,
Vadinasi, norint sukurti LAC ir LFC, reikia apibendrinti atitinkamas atskirų grandžių charakteristikas.
2.4.3 pavyzdys. Sukurkite LAC ir LFC naudodami perdavimo funkciją
Kur; Su; Su. Atitinkamai, sujungimo dažniai yra lygūs; ;.
Perkėlimo funkciją pavaizduokime kaip integruojančios grandies perdavimo funkcijų sandaugą
inercinės jungtys
ir verčiant
Logaritminė amplitudė ir fazių charakteristikos atskiros grandys, taip pat gautos LAC ir LFC sistemos pavaizduotos 2.4.13 ir 2.4.14 pav.
2.4.13 pav. storos linijos rodo asimptotinį jungčių LAC. Dviejų inercinių ryšių su perdavimo funkcijomis ir grafikų charakteristikos susilieja, tačiau į jas reikia atsižvelgti du kartus. Tai taip pat taikoma fiziniam šių padalinių valdymui. Norint sukurti gautą LAC, likusių jungčių charakteristikos buvo nuosekliai įtrauktos į integruojančios jungties LAC, kai judant dažnio ašimi iš kairės į dešinę, kai susitinka konjuguoti dažniai. Po kito sujungimo dažnio LAC nuolydis pasikeitė į. Nuolydžio prieaugis atitiko nuorodą, kuriai priklausė poravimosi dažnis.
Analizuojant pavyzdžio rezultatus ir tipinių nuorodų charakteristikas (2.4.6 lentelė), galime daryti išvadą, kad atvirojo ciklo sistemos LAC galima sukonstruoti iš karto, apeinant tarpinę nuorodų LAC konstravimą ir jų sumavimą, pagal prie taisyklės:
1. Raskite konjuguotus dažnius ir nubrėžkite juos dažnio ašyje. Kad būtų patogiau, nubrėžkite y ašį į kairę nuo žemiausio konjugavimo dažnio.
2. Esant u = 1, atidėkite 20 logk ir per šį tašką nubrėžkite tiesią liniją, kurios nuolydis –20 dB/dec, jei sistema turi integruojamųjų jungčių, arba +20 dB/dec, jei sistema turi diferencijuojančias grandis (esant = 0 žemam dažniui LAX asimptotė yra lygiagreti x ašiai).
3. Pereinant iš kairės į dešinę nuo kiekvieno jungties dažnio charakteristika patiria nuolydžio prieaugį -20 dB/dec (inercinei grandinei), -40 dB/dec (svyruojančiai grandinei), +20 dB/ dec (priverstinai), +40 dB /dec (priešingai nei svyruojančiai). Jei kelių grandžių sujungimo dažniai yra vienodi, tai LAC nuolydžio prieaugis yra lygus bendram prieaugiui nuo visų jungčių. Jei yra bent vienas konjugacijos dažnis, mažesnis už vienetą, tada taškas 20lgk, esantis u = 1, nebus ant gauto LAC.
4. Įveskite asimptotinės LAC korekciją, kai yra svyruojančių arba atvirkštinių jungčių.
Norint kontroliuoti LAC ir LFC konstrukcijos teisingumą, naudinga atsiminti, kad LAC nuolydis aukšto dažnio srityje (n > ?) yra lygus 20 (m-n) dB/dec, kur m yra tvarka. skaitiklio n yra sistemos perdavimo funkcijos vardiklio eilė. Be to
kur minuso ženklas imamas esant integruojančioms nuorodoms, o pliuso ženklas – esant diferencijuojančioms nuorodoms. Iš LAC konstravimo iš perdavimo funkcijos metodikos analizės seka atvirkštinio perėjimo galimybė, ty minimalios fazės sistemos perdavimo funkcijos atstatymas iš LAC.
Atkurdami minimalios fazės sistemos perdavimo funkciją pagal LAC, užrašome trupmeną, kurios skaitiklyje dedame bendras koeficientas stiprinimas ir tada darome frakcijos įdarą. Remdamiesi žemo dažnio atkarpos nuolydžiu, nustatome integruojančių arba diferencijuojančių grandžių skaičių (formaliai neigiamas nuolydis atitinka integruojančias nuorodas ir atitinkamai daugiklis vardiklyje, teigiamas nuolydis atitinka daugiklį skaitiklyje , o nuolydžio koeficientas yra 20 decibelų). Nulinio nuolydžio atveju nėra integruojančių ar diferencijuojančių sąsajų. Toliau, judėdami iš kairės į dešinę, kai susitinka konjugacijos dažniai, analizuojame nuolydžio padidėjimą (pokytį). Jei prieaugis yra +20 dB/dec, tai skaitiklyje rašome tipo priverstinę grandį, jei prieaugis -20 dB/dec, tai vardikliu rašome tipo inercinę grandį. Esant nuolydžio prieaugiui +40 dB/dec, skaitiklyje rašome dvi priverstines grandis, kai nuolydžio prieaugis yra -20 dB/dec, vardiklyje rašome dvi formos inercines grandis. Jei LAX rodo slopinimo koeficiento pataisą, tai vietoj dviejų priverstinių arba inercinių grandžių rašome atvirkštinę svyruojančios arba svyruojančios grandies (daugiklį skaitiklyje arba vardiklyje). Jei pakreipimo koeficientas yra 3 ar daugiau, užrašykite atitinkamą skaičių nuorodų su tais pačiais konjugacijos dažniais. Norėdami nustatyti stiprinimą, randame LAC žemo dažnio atkarpos tęsinio susikirtimo tašką su vertikalia tiesia linija su abscisėmis ir nustatome jį naudodami šio taško ordinates.
Jei pirmiau minėtuose dvinariuose ir trinariuose yra minimalios fazės sistema, imame „+“ ženklus. Jei būtų ne minimalios fazės nuorodos, tuomet reikėtų paimti „-“ ženklą. Tokiu atveju LAH liktų toks pat, o LPH – kitoks. Todėl minimalios fazės sistemos atveju atkūrimas yra nedviprasmiškas ir nereikia valdyti AFC.
2.4.4 pavyzdys. Atkurti minimalios fazės sistemos perdavimo funkciją pagal LAC 2.4.15 pav.
2.4.15 pav.
Atsižvelgiant į pirmiau išdėstytas aplinkybes, minimalios fazės sistemos perdavimo funkcija bus lygi
Naudodamiesi 1 užduoties RLC grandine, užrašykite dažnio perdavimo funkciją ir analitinės išraiškos dažnio charakteristikos.
5. Sukurkite amplitudės-fazės charakteristiką (APC).
6. Sukonstruoti amplitudės ir fazės dažnio charakteristikas.
7. Sukonstruoti realias ir menamas dažnines charakteristikas.
8. Sukurkite logaritmines charakteristikas (LAH ir LFC). Nustatykite, kokio tipo korekciniams saitams priklauso ši nuoroda (integruojantis, diferencijuojantis, integruojantis-diferencijuojantis). Kokio dažnio šis filtras?
9. Naudodamiesi AFC, sukurkite atvirkštinį dažnio atsaką.
Dažnio perdavimo funkcija parametrine forma
Amplitudės dažnio atsakas
Fazės dažnio atsakas
Tikras dažnio atsakas
Laisvasis grandinės režimas nepriklauso nuo energijos šaltinių, jį lemia tik grandinės sandara ir jos elementų parametrai. Iš to išplaukia, kad charakteristikų lygties p1, p2,…, pn šaknys bus vienodos visiems kintamos funkcijos(srovės ir įtampos).
Charakteristinė lygtis galima pagaminti įvairių metodų. Pirmasis metodas yra klasikinis, kai charakteristikos lygtis sudaroma griežtai pagal diferencialinę lygtį klasikinė schema. Skaičiuojant pereinamuosius procesus sudėtingoje grandinėje, „m“ diferencialinių lygčių sistema sudaroma pagal Kirchhoffo dėsnius grandinės schemai po perjungimo. Kadangi charakteringos lygties šaknys yra bendros visiems kintamiesiems, tai sistemos sprendimas diferencialines lygtis atliekami palyginti su bet kokiu kintamuoju (neprivaloma). Sprendimo rezultate gaunama nevienalytė diferencialinė lygtis su vienu kintamuoju. Sudarykite charakteringą lygtį pagal gautą diferencialinę lygtį ir nustatykite jos šaknis.
Pavyzdys. Nubraižykite charakteringą lygtį ir nustatykite jos šaknis kintamiesiems, pateiktiems pav. 59.1. Elementų parametrai nurodomi bendra forma.
Diferencialinių lygčių sistema pagal Kirchhoffo dėsnius:
Išspręskime kintamojo i 3 lygčių sistemą ir gausime nevienalytę diferencialinę lygtį:
Antrasis būdas sudaryti būdingą lygtį yra prilyginti nuliui pagrindinį Kirchhoff lygčių sistemos determinantą laisvųjų komponentų kintamiesiems.
Tegul laisvas savavališkos srovės komponentas turi formą i ksw = A k e pt , tada:
Laisvųjų komponentų lygčių sistema gaunama iš Kirchhoff diferencialinių lygčių sistemos, kintamųjų išvestines pakeitus koeficientu p, o integralus – 1/p. Nagrinėjamame pavyzdyje laisvųjų komponentų lygčių sistema yra tokia:
Charakteristinė lygtis ir jos šaknis:
Trečias būdas sudaryti charakteringą lygtį (inžinerija) yra grandinės įvesties operatoriaus varžą prilyginti nuliui, palyginti su bet kuria jos šaka.
Elemento operatoriaus varža gaunama iš jo kompleksinės varžos, tiesiog pakeičiant koeficientą jω į p, todėl
Dėl nagrinėjamo pavyzdžio:
Trečiasis metodas yra pats paprasčiausias ir ekonomiškiausias, todėl dažniausiai naudojamas skaičiuojant pereinamuosius procesus elektros grandinėse.
Charakteristinės lygties šaknys apibūdina laisvą pereinamąjį procesą grandinėje be energijos šaltinių. Šis procesas vyksta prarandant energiją, todėl laikui bėgant nyksta. Iš to išplaukia, kad charakteringos lygties šaknys turi būti neigiamos arba turėti neigiamą realiąją dalį.
Bendruoju atveju diferencialinės lygties, apibūdinančios pereinamąjį procesą grandinėje, tvarka, taigi ir charakteringos lygties laipsnis bei jos šaknų skaičius yra lygus nepriklausomų pradinių sąlygų skaičiui arba nepriklausomi energijos kaupimo įrenginiai (ritės L ir kondensatoriai C). Jei grandinės schemoje yra lygiagrečiai sujungti kondensatoriai C1, C2,... arba nuosekliai sujungtos ritės L1, L2,..., tai skaičiuojant pereinamuosius procesus jie turi būti pakeisti vienu lygiaverčiu elementu C E = C1 + C2+... arba L E = L1 + L2+…
Taigi, bendras vaizdas bet kurio kintamojo sprendimai skaičiuojant pereinamąjį procesą gali būti sudaryti tik iš grandinės schemos analizės, nesudarant ir nesprendžiant diferencialinių lygčių sistemos.
Dėl aukščiau aptarto pavyzdžio.
Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos (SODE) matricinis vaizdavimas su pastovūs koeficientai
Linijinis vienalytis SODE su pastoviais koeficientais $\left\(\begin(masyvas)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ltaškai +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ltaškai +a_(2n) \cdot y_(n) \\ (\ltaškai ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_ (n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(masyvas)\right $,
kur $y_(1)\left(x\right),\; y_(2)\left(x\right),\; \ltaškai ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- reikalingos nepriklausomo kintamojo $x$ funkcijos, koeficientai $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- pateiktus realiuosius skaičius pavaizduojame matricos žymėjimu:
- būtinų funkcijų matrica $Y=\left(\begin(masyvas)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ltaškai ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(masyvas)\right)$;
- išvestinių sprendinių matrica $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(masyvas)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(masyvas)\right)$;
- SODE koeficiento matrica $A=\left(\begin(masyvas)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ltaškai ) & (\ltaškai ) & (\ltaškai ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(masyvas)\right)$.
Dabar, remiantis matricos daugybos taisykle, šis SODE gali būti parašytas kaip matricos lygtis $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.
Bendras SODE sprendimo būdas su pastoviais koeficientais
Tegul yra kai kurių skaičių matrica $\alpha =\left(\begin(masyvas)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(masyvas)\right)$.
SODE sprendimas randamas tokia forma: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\cdot x) $, \taškai , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. IN matricos forma: $Y=\left(\begin(masyvas)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(masyvas)\right )=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(masyvas)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ltaškai ) \\ ( \alpha _(n) ) \end(masyvas)\right)$.
Iš čia gauname:
Dabar matricos lygtisŠiai SODA gali būti suteikta tokia forma:
Gautą lygtį galima pavaizduoti taip:
Paskutinė lygybė rodo, kad vektorius $\alpha $ naudojant matricą $A$ paverčiamas lygiagrečiu vektoriumi $k\cdot \alpha $. Tai reiškia, kad vektorius $\alpha $ yra savasis vektorius matrica $A$, atitinkanti savoji vertė$k$.
Skaičius $k$ gali būti nustatytas pagal lygtį $\left|\begin(masyvas)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ltaškai ) & (a_(2n) ) \\ (\ltaškai ) & (\ltaškai ) & (\ltaškai ) & (\ltaškai ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(masyvas)\right|=0$.
Ši lygtis vadinama charakteristika.
Tegul visos charakteristikų lygties šaknys $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ skiriasi. Kiekvienai reikšmei $k_(i) $ iš sistemos $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ltaškai ) & (a_(2n) ) \\ (\ltaškai ) & (\ltaškai ) & (\ltaškai ) & (\ltaškai ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(masyvas)\right)\cdot \left(\begin(masyvas)(c) ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(masyvas)\right)=0$ reikšmių matrica Galima apibrėžti $\left(\begin(masyvas)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) \\ (\alpha _(2)^(\left(i) \right)) ) \\ (\ltaškai ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(masyvas)\right)$.
Viena iš šios matricos reikšmių parenkama atsitiktinai.
Galiausiai šios sistemos sprendimas matricos forma parašytas taip:
$\left(\begin(masyvas)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(masyvas)\right)=\ left(\begin(masyvas)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right))) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ltaškai ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ltaškai ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right))) \\ (\ltaškai ) & (\ltaškai ) & (\ltaškai ) & (\ltaškai ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right))) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ltaškai ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(masyvas)\right)\cdot \left(\begin(masyvas)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ltaškai ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(masyvas)\right)$,
kur $C_(i) $ yra savavališkos konstantos.
Užduotis
Išspręskite DE sistemą $\left\(\begin(masyvas)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_) ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(masyvas)\right $.
Rašome sistemos matricą: $A=\left(\begin(masyvas)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(masyvas)\right)$.
Matricos formoje šis SODE parašytas taip: $\left(\begin(masyvas)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (masyvas)\right)=\left(\begin(masyvas)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(masyvas)\right)\cdot \left( \begin( masyvas)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(masyvas)\right)$.
Gauname charakteristikų lygtį:
$\left|\begin(masyvas)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(masyvas)\right|=0$, tai yra $k^ (2) -10\cdot k+9=0$.
Charakteristinės lygties šaknys yra: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.
Sukurkime sistemą $\left(\begin(masyvas)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ dešinė)) ) \end(masyvas)\right)$ $k_(1) =1$:
\[\left(\begin(masyvas)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(masyvas)\right)\cdot \ left(\begin(masyvas)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right))) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (masyvas)\right)=0,\]
tai yra $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) ) =0 USD.
Įdėjus $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, gauname $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.
Sukurkime sistemą $\left(\begin(masyvas)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ right)) ) \end(masyvas)\right)$ $k_(2) =9$:
\[\left(\begin(masyvas)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(masyvas)\right)\cdot \ left(\begin(masyvas)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right))) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (masyvas)\right)=0, \]
tai yra $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) ) =0 USD.
Įdėjus $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, gauname $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.
SODE sprendimą gauname matricos pavidalu:
\[\left(\begin(masyvas)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(masyvas)\right)=\left(\begin(masyvas)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(masyvas)\right)\cdot \left(\begin(masyvas)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(masyvas)\right).\]
Įprasta forma SODE sprendimas turi tokią formą: $\left\(\begin(masyvas)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(masyvas )\right.$.
