Jūsų dėmesiui pristatome vaizdo pamoką tema „Trikampio sukūrimas naudojant tris elementus“. Galėsite išspręsti kelis pavyzdžius iš statybos problemų klasės. Mokytojas išsamiai išanalizuos trikampio konstravimo naudojant tris elementus problemą, taip pat primins trikampių lygybės teoremą.
Ši tema turi platų praktinis naudojimas, todėl pažvelkime į kai kuriuos problemų sprendimo būdus. Priminsime, kad bet kokios konstrukcijos atliekamos tik kompaso ir liniuotės pagalba.
1 pavyzdys:
Sukurkite trikampį naudodami dvi kraštines ir kampą tarp jų.
Duota: Tarkime, kad analizuojamas trikampis atrodo taip
Ryžiai. 1.1. 1 analizuoto trikampio pavyzdys
Tegul duotosios atkarpos yra c ir a, o duotasis kampas –
Ryžiai. 1.2. Duoti elementai, pavyzdžiui, 1
Konstrukcija:
Pirmiausia turėtumėte atidėti 1 kampą
Ryžiai. 1.3. 1 atidėtas kampas, pavyzdžiui, 1
Tada šonuose nurodytas kampas mes atidedame šias dvi puses su kompasu: išmatuojame kraštinės ilgį su kompasu A ir padėkite kompaso galą ties 1 kampo viršūne, o su kita dalimi padarome įpjovą kampo 1 šone. Panašią procedūrą atliekame ir su šonine Su
Ryžiai. 1.4. Atidėkite šonus A Ir Su pvz 1
Tada sujungiame gautas įpjovas ir gauname norimą trikampį ABC
Ryžiai. 1.5. Pavyzdžiui, sudarytas trikampis ABC 1
Ar bus duotas trikampis lygus laukiamam? Taip bus, nes gauto trikampio elementai (dvi kraštinės ir kampas tarp jų) yra atitinkamai lygūs dviem kraštinėms ir kampui tarp jų nurodyta sąlygoje. Todėl pagal pirmąją trikampių lygybės savybę - norima.
Statyba baigta.
Pastaba:
Prisiminkime, kaip nubraižyti kampą, lygų tam tikram.
2 pavyzdys
Iš tam tikro spindulio atimkite kampą, lygų tam tikram. Pateiktas kampas A ir spindulys OM. Sukurti.
Konstrukcija:
Ryžiai. 2.1. Būklė, pavyzdžiui, 2
1. Sukonstruoti apskritimą Okr(A, r = AB). Taškai B ir C yra susikirtimo su kampo A kraštinėmis taškai
Ryžiai. 2.2. Sprendimas, pavyzdžiui, 2
1. Sukonstruoti apskritimą Okr(D, r = CB). Taškai E ir M yra susikirtimo su kampo A kraštinėmis taškai
Ryžiai. 2.3. Sprendimas, pavyzdžiui, 2
1. Kampas MOE yra norimas, nes 
.
Statyba baigta.
3 pavyzdys
Sukurkite trikampį ABC pagal žinoma partija ir du gretimi kampai.
Tegul analizuojamas trikampis atrodo taip:
Ryžiai. 3.1. Būklė, pavyzdžiui, 3
Tada pateikti segmentai atrodo taip
Ryžiai. 3.2. Būklė, pavyzdžiui, 3
Konstrukcija:
Nubraižykime kampą plokštumoje
Ryžiai. 3.3. Sprendimas, pavyzdžiui, 3
Tam tikro kampo šone nubraižome kraštinės ilgį A
Ryžiai. 3.4. Sprendimas, pavyzdžiui, 3
Tada atidėkime kampą C nuo viršūnės. Nebendrosios kampų γ ir α kraštinės susikerta taške A
Ryžiai. 3.5. Sprendimas, pavyzdžiui, 3
Ar sukonstruotas trikampis yra norimas? Yra, nes sudaryto trikampio kraštinis ir du gretimi kampai yra atitinkamai lygūs kraštinei ir kampui tarp jų, nurodytai sąlygoje
Ieškoma pagal antrąjį trikampių lygybės kriterijų
Statybos baigtos
4 pavyzdys
Sukurkite trikampį ant 2 kojų
Tegul analizuojamas trikampis atrodo taip
Ryžiai. 4.1. Būklė, pavyzdžiui, 4
Žinomi elementai – kojos
Ryžiai. 4.2. Būklė, pavyzdžiui, 4
Ši užduotis skiriasi nuo ankstesnių tuo, kad pagal numatytuosius nustatymus galima nustatyti kampą tarp šonų - 90 0
Konstrukcija:
Atidėkime kampą, lygų 90 0. Mes tai padarysime tiksliai taip, kaip parodyta 2 pavyzdyje
Ryžiai. 4.3. Sprendimas, pavyzdžiui, 4
Tada šio kampo šonuose nubrėžiame kraštinių ilgius A Ir b, nurodyta sąlygoje
Ryžiai. 4.4. Sprendimas, pavyzdžiui, 4
Dėl to gautas trikampis yra norimas, nes jo dvi kraštinės ir kampas tarp jų yra atitinkamai lygus abiem kraštinėms ir kampui tarp jų, nurodytam sąlygoje
Atkreipkite dėmesį, kad galite nustatyti 90 0 kampą sukonstruodami dvi statmenas linijas. Pažiūrėsime, kaip atlikti šią užduotį papildomas pavyzdys
Papildomas pavyzdys
Atkurkite statmeną tiesei p, einančia per tašką A,
Tiesė p ir taškas A, esantis šioje tiesėje
Ryžiai. 5.1. Papildomo pavyzdžio sąlyga
Konstrukcija:
Pirmiausia sukonstruokime savavališko spindulio apskritimą, kurio centras yra taške A
Ryžiai. 5.2. Papildomo pavyzdžio sprendimas
Šis apskritimas kerta liniją R taškuose K ir E. Tada sukonstruojame du apskritimus Okr(K, R = KE), Okr(E, R = KE). Šie apskritimai susikerta taškuose C ir B. Atkarpa NE yra būtina,
Ryžiai. 5.3. Atsakymas į papildomą pavyzdį
- Vienintelė skaitmeninė kolekcija švietimo ištekliai ().
- Matematikos mokytojas ().
- Nr. 285, 288. Atanasjanas L. S., Butuzovas V. F., Kadomcevas S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. redagavo Tikhonovas A. N. Geometrijos 7-9 kl. M.: Nušvitimas. 2010 m
- Sukurti lygiašonis trikampis išilgai šono ir kampo priešais pagrindą.
- Sukurti taisyklingas trikampis hipotenuze ir smailiu kampu
- Sukurkite trikampį naudodami kampą, aukštį ir pusiausvyrą, nubrėžtą iš nurodyto kampo viršūnės.
Mes statome trikampį naudodami šoną ir du gretimus kampus - statybos instrukcijos.
Trikampis yra geometrinė figūra, kuris susidaro susijungus segmentais trys taškai, nepriklauso tai pačiai linijai. Jį vienareikšmiškai apibrėžia trijų duomenų rinkinys: trys kraštinės, dvi kraštinės ir kampas tarp jų arba šonas ir du gretimi kampai.
Pavyzdžiui, pabandykime sukonstruoti trikampį naudodami kraštinę ir du gretimus kampus?
Statyti trikampį
Visų pirma, atkarpa brėžiama tiesioje linijoje, lygus ilgiui duota pusė. Atkarpos galai pažymėti taškais A ir B.
Norėdami sukurti trikampį, turite nubrėžti nurodytus kampus iš taškų A ir B. Jei nurodytos kampo vertės, naudokite transporterį, kad sukurtumėte:
- Mes išlyginame apatinę transporterio juostą tiesios linijos segmentu;
- Pirmojo kampo atskaitos taškas nustatomas taške A, o antrajam – taške B;
- Tada atidedame kampo vertes. Prie atitinkamos skalės dalies dedame taškus ir pažymime juos M ir N;
- Sujungiame taškus A ir M, B ir N tiesiomis tiesėmis.
Taigi, šioje pusėje ir du duoti gretimi kampai sukonstruotas trikampis.
Grafinis kampas
Dažnai norint sukurti trikampį naudojant tam tikrą kraštinę ir du gretimus kampus, kampai nurodomi grafiškai. Užduotis tampa sudėtingesnė, nes reikia sukurti kampą, kurio dydis yra lygus nurodytam grafiniam kampui.
Galite išmatuoti grafiškai nurodyto kampo vertę naudodami transporterį ir gauti gretimų kampų reikšmes, o tada naudokite ankstesnėje pastraipoje aprašytą metodą, kad sukurtumėte trikampį.
Mes naudojame kompasą
Norint sukurti kitą kampą, atitinkantį tam tikrą dydį, jums reikės kompaso:
- Naudodami kompasą su savavališku sprendimu, nubrėžkite apskritimą, kurio centras yra ties atspirties taškas kampas. Apskritimo ir kampo kraštinių sankirtas pažymėkime M ir N;
- Dabar grįžkime prie segmento AB, lygus šonui norimą trikampį. Nekeisdami sprendinio, nubrėžkite apskritimą iš taško A ir pažymėkite jo susikirtimo tašką su atkarpa AB - gauname tašką M1;
- Grįžti į duotas kampas. Kompaso koją pastatykite taške M ir sprendinį padarykite lygų MN;
- Dabar, nekeisdami kompaso kampo, nubrėžkite apskritimą nuo taško M1, kol jis susikirs su pirmuoju apskritimu - gauname tašką N1;
- Sujunkite tiesius taškus A ir N1. Kampas M1AN1 bus lygus duotam;
- Taip pat taške B sukonstruojame antrą kampą. Sudarytų kampų kraštinių sankirta bus trūkstama viršūnė C.
Tokiu būdu trikampis sukonstruotas naudojant kompasą naudojant šoną ir du gretimus kampus naudojant kompasą.
Jų esmė – sukonstruoti bet kokį geometrinį objektą pagal bet kokį pakankamą pradinių sąlygų rinkinį, po ranka turint tik kompasą ir liniuotę. Pasvarstykime bendra schema atlikti šias užduotis:
Užduočių analizė.
Ši dalis apima ryšio tarp elementų, kuriuos reikia sukurti, ir pradinių problemos sąlygų nustatymą. Baigę šį punktą, turėtume turėti planą, kaip išspręsti savo problemą.
Statyba.
Čia mes atliekame statybas pagal planą, kurį parengėme aukščiau.
Įrodymas.
Čia įrodome, kad mūsų sukurta figūra iš tikrųjų atitinka pradines problemos sąlygas.
Studijuoti.
Čia išsiaiškinsime, pagal kuriuos duomenis problema turi vieną sprendimą, pagal kuriuos – kelis, o pagal kuriuos – nė vieno.
Toliau apsvarstysime trikampių konstravimo naudojant įvairius tris elementus problemas. Čia mes nesvarstysime elementarios konstrukcijos, pvz., segmentas, kampas ir kt. Šiuo metu jūs jau turėtumėte turėti šiuos įgūdžius.
Trikampio konstravimas naudojant dvi kraštines ir kampą tarp jų
1 pavyzdys
Sukurkite trikampį, jei duosime dvi kraštines ir kampą tarp šių kraštinių.
Analizė.
Pateikiame segmentus $AB$ ir $AC$ bei kampą $α$. Turime sukurti trikampį $ABC$, kurio kampas $C$ lygus $α$.
Parengkime statybos planą:
- Laikydami, kad $AB$ yra viena iš kampo kraštinių, nuo jo atskiriame kampą $BAM$, lygų kampui $α$.
- Tiesioje tiesėje $AM$ nubrėžiame atkarpą $AC$.
- Sujungkime taškus $B$ ir $C$.
Statyba.
Sukonstruokime brėžinį pagal aukščiau pateiktą planą (1 pav.).
Įrodymas.
Studijuoti.
Kadangi trikampio kampų suma yra $180^\circ$. Tai reiškia, kad jei kampas α yra didesnis arba lygus $180^\circ$, tada problema neturės sprendimų.
Priešingu atveju yra sprendimas. Kadangi eilutė $a$ yra savavališka linija, tokie trikampiai bus begalinis skaičius. Bet kadangi jie visi yra lygūs vienas kitam pagal pirmąjį ženklą, manysime, kad šios problemos sprendimas yra unikalus.
Trikampio konstravimas naudojant tris kraštines
2 pavyzdys
Sukurkite trikampį, jei duosime tris kraštines.
Analizė.
Pateikiame segmentus $AB$ ir $AC$ bei $BC$. Turime sukurti trikampį $ABC$.
Parengkime statybos planą:
- Nubrėžkime tiesią liniją $a$ ir joje nubrėžkime atkarpą $AB$.
- Sukurkime $2$ apskritimus: pirmasis su centru $A$ ir spinduliu $AC$, o antrasis su centru $B$ ir spinduliu $BC$.
- Sujungkime vieną iš apskritimų susikirtimo taškų (kuris bus $C$) su taškais $A$ ir $B$.
Statyba.
Sukonstruokime brėžinį pagal aukščiau pateiktą planą (2 pav.).
Įrodymas.
Iš konstrukcijos aišku, kad viskas pradines sąlygas baigtas.
Studijuoti.
Iš trikampio nelygybės žinome, kad bet kuri kraštinė turi būti mažesnė už kitų dviejų sumą. Vadinasi, kai tokia nelygybė nepatenkinama pirminiams trims segmentams, problema neturės sprendimo.
Kadangi konstrukcijos apskritimai turi du susikirtimo taškus, galime sukonstruoti du tokius trikampius. Bet kadangi jie yra lygūs vienas kitam pagal trečiąjį kriterijų, manysime, kad šios problemos sprendimas yra unikalus.
Trikampio konstravimas naudojant kraštinę ir du gretimus kampus
3 pavyzdys
Sukurkite trikampį, jei mums duota viena kraštinė ir kampai $α$ ir $β$ šalia jo.
Analizė.
Pateikiame atkarpą $BC$ ir kampus $α$ ir $β$. Turime sukurti trikampį $ABC$, kur $∠B=α$ ir $∠C=β$.
Parengkime statybos planą:
- Nubrėžkime tiesią liniją $a$ ir nubrėžkime joje atkarpą $BC$.
- Sukurkime kampą $∠ K=α$ viršūnėje $B$ į kraštinę $BC$.
- Sukurkime kampą $∠ M=β$ viršūnėje $C$ į kraštinę $BC$.
- Sujungkime spindulių $∠ K$ ir $∠ M$ susikirtimo tašką (tai bus taškas $A$) su taškais $C$ ir $B$,
Statyba.
Sukonstruokime brėžinį pagal aukščiau pateiktą planą (3 pav.).
Įrodymas.
Iš konstrukcijos aišku, kad tenkinamos visos pradinės sąlygos.
Studijuoti.
Kadangi trikampio kampų suma lygi $180^\circ$, tai jei $α+β≥180^\circ$, uždavinys neturės sprendimų.
Priešingu atveju yra sprendimas. Kadangi kampus galime sudaryti iš abiejų pusių, galime sukonstruoti du tokius trikampius. Bet kadangi jie yra lygūs vienas kitam pagal antrąjį kriterijų, manysime, kad šios problemos sprendimas yra unikalus.
Galiausiai apsvarstykite problemą, kurios sprendimas leidžia sukurti trikampį naudojant kraštinę ir du kampus:
Kitoje upės pusėje (72 pav.) matosi ribos A. Reikalaujama, nekertant upės, sužinoti atstumą iki jos nuo etapo INšiame krante.
Padarykime tai. Matuokime nuo taško IN bet koks atstumas tiesia linija Saulė ir jo galuose IN Ir SU Išmatuokime 1 ir 2 kampus (73 pav.). Jei dabar išmatuotume atstumą patogioje vietoje DE, lygus Saulė, o jo galuose pastatykite kampus A Ir b(74 brėžinys), lygus kampams 1 ir 2, tada jų kraštinių susikirtimo taške gauname trečiąją viršūnę F trikampis DEF. Nesunku patikrinti, ar trikampis DEF lygus trikampiui ABC; iš tikrųjų, jei įsivaizduosime, kad trikampis DEF uždėtas ant ABC taigi ta pusė DE sutapo su lygia jo puse Saulė, tada ug. A sutaps su kampu 1, kampu b – su 2 kampu ir šonu DF eis į šoną VA, ir šoną E.F. ant šono SA. Kadangi dvi tiesės gali susikirsti tik viename taške, tada viršūnė F turėtų sutapti su viršumi A. Taigi atstumas DF lygus reikiamam atstumui VA.
Problema, kaip matome, turi tik vieną sprendimą. Apskritai, naudojant kraštinę ir du kampus, esančius šalia šios pusės, galima sudaryti tik vieną trikampį; Tose pačiose vietose negali būti kitų trikampių su ta pačia kraštine ir tais pačiais dviem kampais. Visi trikampiai, turintys vieną identišką kraštinę ir du identiškus kampus, besiribojančius su ja tose pačiose vietose, gali būti visiškai sutapti superpozicijos būdu. Tai reiškia, kad tai yra ženklas, pagal kurį galima įsitvirtinti visiška lygybė trikampiai.
Kartu su anksčiau nustatytais trikampių lygybės ženklais dabar žinome šiuos tris:
Trikampiai:
iš trijų pusių;
abiejose pusėse ir kampu tarp jų;
šone ir dviejose pusėse.
Trumpumo dėlei šiuos tris trikampių lygybės atvejus toliau pažymėsime taip:
iš trijų pusių: SSS;
iš dviejų pusių ir kampas tarp jų: SUS;
išilgai šono ir dviejų kampų: USU.
Programos
14. Išsiaiškinti atstumą iki taško A kitoje upės pusėje nuo taško INšiame krante (5 pav.) išmatuokite kokią nors liniją tiesia linija saulė, tada taške IN sudaryti kampą, lygų ABC, kitoje pusėje Saulė, ir taške SU- tokiu pačiu būdu, kampas lygus DIA Taško atstumas D abiejų kampų kraštinių susikirtimas su tašku IN lygus reikiamam atstumui AB. Kodėl?
Sprendimas: trikampiai ABC Ir BDC lygus vienoje pusėje ( Saulė) ir du kampai (ang. DCB= ug. DIA; ug. DBC= ug. ABC.) Vadinasi, AB= ВD, kaip šonai guli vienodi trikampiai prieš vienodus kampus.
