Kad viena plokštuma būtų nubrėžta per bet kuriuos tris erdvės taškus, būtina, kad šie taškai nebūtų vienoje tiesėje.

Apsvarstykite taškus M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3). Dekarto sistema koordinates

Kad savavališkas taškas M(x, y, z) būtų vienoje plokštumoje su taškais M 1, M 2, M 3, vektoriai turi būti lygiaverčiai.

(
) = 0

Taigi,

Plokštumos, kertančios tris taškus, lygtis:

Plokštumos lygtis, duoti du taškai ir vektorius, esantis kolineje plokštumai.

Tegul taškai M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1), M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2) ir vektorius
.

Sukurkime plokštumos, einančios per šiuos taškus M 1 ir M 2, lygtį ir savavališkas taškas M(x, y, z) lygiagreti vektoriui .

Vektoriai
ir vektorius
turi būti lygiagreti, t.y.

(
) = 0

Plokštumos lygtis:

Plokštumos lygtis naudojant vieną tašką ir du vektorius,

kolineariai su plokštuma.

Tegu pateikiami du vektoriai
Ir
, kolinearinės plokštumos. Tada savavališkam taškui M(x, y, z), priklausančiam plokštumai, vektoriai
turi būti lygiagrečiai.

Plokštumos lygtis:

Plokštumos pagal tašką ir normaliojo vektoriaus lygtis .

Teorema. Jeigu erdvėje duotas taškas M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), tada plokštumos, einančios per tašką M, lygtis 0 statmenai normaliajam vektoriui (A, B, C) turi tokią formą:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Įrodymas. Savavališkam taškui M(x, y, z), priklausančiam plokštumai, sudarome vektorių. Nes vektorius yra normalus vektorius, tada jis yra statmenas plokštumai ir todėl statmenas vektoriui
. Tada skaliarinė sandauga

= 0

Taigi gauname plokštumos lygtį

Teorema įrodyta.

Plokštumos atkarpomis lygtis.

Jei bendrojoje lygtyje Ax + Bi + Cz + D = 0 abi puses padalinsime iš (-D)

,

pakeičiant
, gauname plokštumos lygtį atkarpomis:

Skaičiai a, b, c yra atitinkamai plokštumos susikirtimo taškai su x, y, z ašimis.

Vektorinės formos plokštumos lygtis.

Kur

- dabartinio taško spindulio vektorius M(x, y, z),

Vienetinis vektorius, turintis statmens kryptį, numestą į plokštumą nuo pradžios.

,  ir  yra šio vektoriaus suformuoti kampai su x, y, z ašimis.

p yra šio statmens ilgis.

Koordinatėse ši lygtis atrodo taip:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Atstumas nuo taško iki plokštumos.

Atstumas nuo savavališko taško M 0 (x 0, y 0, z 0) iki plokštumos Ax+By+Cz+D=0 yra:

Pavyzdys. Raskite plokštumos lygtį, žinant, kad taškas P(4; -3; 12) yra statmeno, nuleisto nuo pradžios iki šios plokštumos, pagrindas.

Taigi A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, naudojame formulę:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per du taškus P(2; 0; -1) lygtį ir

Q(1; -1; 3) statmena plokštumai 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normalus vektorius plokštumai 3x + 2y – z + 5 = 0
lygiagrečiai norimai plokštumai.

Mes gauname:

Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per taškus A(2, -1, 4) lygtį ir

B(3, 2, -1) statmena plokštumai X + adresu + 2z – 3 = 0.

Reikiama plokštumos lygtis yra tokia: A x+B y+C z+ D = 0, normalusis vektorius šiai plokštumai (A, B, C). Vektorius
(1, 3, -5) priklauso plokštumai. Mums duota plokštuma, statmena norimai, turi normalųjį vektorių (1, 1, 2). Nes taškai A ir B priklauso abiem plokštumoms, o plokštumos yra viena kitai statmenos, tada

Taigi normalus vektorius (11, -7, -2). Nes taškas A priklauso norimai plokštumai, tada jo koordinatės turi tenkinti šios plokštumos lygtį, t.y. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Iš viso gauname plokštumos lygtį: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Pavyzdys. Raskite plokštumos lygtį, žinant, kad taškas P(4, -3, 12) yra statmens, nuleistos nuo pradžios iki šios plokštumos, pagrindas.

Normaliojo vektoriaus koordinačių radimas
= (4, -3, 12). Reikalinga plokštumos lygtis yra tokia: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Norėdami rasti koeficientą D, į lygtį pakeičiame taško P koordinates:

16 + 9 + 144 + D = 0

Iš viso gauname reikiamą lygtį: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Pavyzdys. Piramidės viršūnių koordinatės pateiktos: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Raskite kraštinės A 1 A 2 ilgį.

Raskite kampą tarp kraštinių A 1 A 2 ir A 1 A 4.

Raskite kampą tarp briaunos A 1 A 4 ir paviršiaus A 1 A 2 A 3.

Pirmiausia randame veido A 1 A 2 A 3 normalųjį vektorių kaip vektorių kryžminė sandauga
Ir
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Raskime kampą tarp normalaus vektoriaus ir vektoriaus
.

-4 – 4 = -8.

Norimas kampas  tarp vektoriaus ir plokštumos bus lygus  = 90 0 - .

Raskite veido plotą A 1 A 2 A 3.

Raskite piramidės tūrį.

Raskite plokštumos A 1 A 2 A 3 lygtį.

Naudokime plokštumos, einančios per tris taškus, lygties formulę.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kai naudojate kompiuterio versiją " Aukštasis matematikos kursas“ galite paleisti programą, kuri išspręs aukščiau pateiktą pavyzdį bet kurioms piramidės viršūnių koordinatėms.

Norėdami paleisti programą, dukart spustelėkite piktogramą:

Atsidariusiame programos lange įveskite piramidės viršūnių koordinates ir paspauskite Enter. Tokiu būdu visus sprendimo taškus galima gauti po vieną.

Pastaba: norint paleisti programą, jūsų kompiuteryje turi būti įdiegta bet kurios versijos Maple programa ( Waterloo Maple Inc.), pradedant nuo MapleV Release 4.

Šioje pamokoje apžvelgsime, kaip naudoti determinantą kuriant plokštumos lygtis. Jei nežinote, kas yra determinantas, eikite į pirmąją pamokos dalį - „Matricos ir determinantai“. Priešingu atveju rizikuojate nieko nesuprasti šiandieninėje medžiagoje.

Plokštumos lygtis naudojant tris taškus

Kodėl mums apskritai reikia plokštumos lygties? Tai paprasta: žinodami tai, galime nesunkiai apskaičiuoti kampus, atstumus ir kitus niekšiškus uždavinius C2. Apskritai, jūs negalite išsiversti be šios lygties. Todėl mes formuluojame problemą:

Užduotis. Erdvėje pateikiami trys taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Jų koordinatės:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Turite sukurti plokštumos, einančios per šiuos tris taškus, lygtį. Be to, lygtis turėtų atrodyti taip:

Ax + By + Cz + D = 0

kur skaičiai A, B, C ir D yra koeficientai, kuriuos iš tikrųjų reikia rasti.

Na, kaip gauti plokštumos lygtį, jei žinomos tik taškų koordinatės? Lengviausias būdas yra pakeisti koordinates į lygtį Ax + By + Cz + D = 0. Gaunate trijų lygčių sistemą, kurią galima lengvai išspręsti.

Daugelis studentų mano, kad šis sprendimas yra labai varginantis ir nepatikimas. Praėjusių metų vieningas valstybinis matematikos egzaminas parodė, kad tikimybė padaryti skaičiavimo klaidą yra tikrai didelė.

Todėl pažangiausi mokytojai ėmė ieškoti paprastesnių ir elegantiškesnių sprendimų. Ir jie tai rado! Tiesa, gautas priėmimas veikiau nurodo aukštoji matematika. Asmeniškai man teko įsigilinti į visumą Federalinis sąrašas vadovėlius, kad įsitikintume, jog turime teisę naudoti šią techniką be jokio pagrindimo ar įrodymų.

Plokštumos per determinantą lygtis

Užteks dainų žodžių, kimbame prie reikalo. Pirmiausia – teorema apie tai, kaip yra susiję matricos determinantas ir plokštumos lygtis.

Teorema. Pateikiame trijų taškų, per kuriuos turi būti nubrėžta plokštuma, koordinates: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Tada šios plokštumos lygtį galima parašyti per determinantą:

Pavyzdžiui, pabandykime rasti porą plokštumų, kurios iš tikrųjų atsiranda C2 uždaviniuose. Pažiūrėkite, kaip greitai viskas apskaičiuojama:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Sudarome determinantą ir prilygstame nuliui:

Išplečiame determinantą:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Kaip matote, skaičiuodamas skaičių d, šiek tiek „iššukavau“ lygtį, kad kintamieji x, y ir z patektų į teisinga seka. tai viskas! Plokštumos lygtis paruošta!

Užduotis. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Iš karto pakeičiame taškų koordinates į determinantą:

Dar kartą išplečiame determinantą:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Taigi, vėl gaunama plokštumos lygtis! Vėlgi, paskutiniame žingsnyje turėjome pakeisti jame esančius ženklus, kad gautume „gražesnę“ formulę. Šiame sprendime to daryti visai nebūtina, bet vis tiek rekomenduojama – supaprastinti tolesnį problemos sprendimą.

Kaip matote, dabar daug lengviau sudaryti plokštumos lygtį. Pakeičiame taškus į matricą, apskaičiuojame determinantą - ir viskas, lygtis paruošta.

Tai gali baigti pamoką. Tačiau daugelis studentų nuolat pamiršta, kas yra determinanto viduje. Pavyzdžiui, kurioje eilutėje yra x 2 arba x 3, o kurioje tik x. Kad tai tikrai pašalintų, pažiūrėkime, iš kur gaunamas kiekvienas skaičius.

Iš kur atsiranda formulė su determinantu?

Taigi, išsiaiškinkime, iš kur kyla tokia griežta lygtis su determinantu. Tai padės jums tai prisiminti ir sėkmingai pritaikyti.

Visos užduotyje C2 esančios plokštumos yra apibrėžtos trimis taškais. Šie taškai visada pažymėti brėžinyje arba netgi nurodyti tiesiogiai problemos tekste. Bet kokiu atveju, norėdami sukurti lygtį, turėsime užrašyti jų koordinates:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Panagrinėkime kitą mūsų plokštumos tašką su savavališkomis koordinatėmis:

T = (x, y, z)

Paimkite bet kurį tašką iš pirmųjų trijų (pavyzdžiui, tašką M) ir nubrėžkite vektorius iš jo į kiekvieną iš trijų likusių taškų. Gauname tris vektorius:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Dabar sudarykime iš šių vektorių kvadratinė matrica ir jo determinantą prilyginkite nuliui. Vektorių koordinatės taps matricos eilutėmis - ir mes gausime patį determinantą, kuris nurodytas teoremoje:

Ši formulė reiškia, kad gretasienio tūris, pastatytas ant vektorių MN, MK ir MT, lygus nuliui. Todėl visi trys vektoriai yra toje pačioje plokštumoje. Visų pirma, savavališkas taškas T = (x, y, z) yra būtent tai, ko mes ieškojome.

Determinanto taškų ir linijų pakeitimas

Yra keli kvalifikaciniai rodikliai nepaprastų savybių, kurios dar labiau supaprastina C2 problemos sprendimas. Pavyzdžiui, mums nesvarbu, iš kurio taško brėžiame vektorius. Todėl šie determinantai suteikia tą pačią plokštumos lygtį kaip ir aukščiau:

Taip pat galite sukeisti determinanto eilutes. Lygtis išliks nepakitusi. Pavyzdžiui, daugelis žmonių mėgsta rašyti tiesę su taško T = (x; y; z) koordinatėmis pačiame viršuje. Prašome, jei jums patogu:

Kai kas glumina, kad vienoje iš eilučių yra kintamieji x, y ir z, kurie neišnyksta pakeičiant taškus. Bet jie neturėtų išnykti! Pakeitę skaičius į determinantą, turėtumėte gauti tokią konstrukciją:

Tada determinantas išplečiamas pagal pamokos pradžioje pateiktą schemą ir gauname standartinė lygtis lėktuvas:

Ax + By + Cz + D = 0

Pažvelkite į pavyzdį. Tai paskutinė šios dienos pamoka. Aš sąmoningai sukeisiu eilutes, kad įsitikinčiau, jog atsakymas duos tą pačią plokštumos lygtį.

Užduotis. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Taigi, mes atsižvelgiame į 4 taškus:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Pirmiausia sukurkime standartinį determinantą ir prilyginkime jį nuliui:

Išplečiame determinantą:

a = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Štai ir gavome atsakymą: x + y + z − 2 = 0.

Dabar pertvarkykime kelias determinanto eilutes ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Pavyzdžiui, parašykime eilutę su kintamaisiais x, y, z ne apačioje, o viršuje:

Dar kartą išplečiame gautą determinantą:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Gavome lygiai tokią pat plokštuminę lygtį: x + y + z − 2 = 0. Tai reiškia, kad ji tikrai nepriklauso nuo eilučių eilės. Belieka tik užsirašyti atsakymą.

Taigi, esame įsitikinę, kad plokštumos lygtis nepriklauso nuo eilučių sekos. Galime atlikti panašius skaičiavimus ir įrodyti, kad plokštumos lygtis nepriklauso nuo taško, kurio koordinates atimame iš kitų taškų.

Aukščiau nagrinėtoje užduotyje naudojome tašką B 1 = (1, 0, 1), tačiau buvo visiškai įmanoma paimti C = (1, 1, 0) arba D 1 = (0, 1, 1). Apskritai, bet kuris taškas su žinomomis koordinatėmis, esantis norimoje plokštumoje.

Tarkime, kad turime rasti lygtį plokštumos, einančios per tris duotus taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Žymėdami jų spindulio vektorius , o dabartinį spindulio vektorių , galime lengvai gauti reikiamą lygtį vektorinė forma. Tiesą sakant, vektoriai turi būti lygiagrečiai (jie visi yra norimoje plokštumoje). Vadinasi, vektorinio taško produktas iš šių vektorių turi būti lygus nuliui:

Tai plokštumos, einančios per tris nurodytus taškus, lygtis vektorine forma.

Pereinant prie koordinačių, gauname lygtį koordinatėmis:

Jei trys duoti taškai būtų toje pačioje tiesėje, vektoriai būtų kolinearūs. Todėl atitinkami elementai iš dviejų paskutinės eilutės(18) lygties determinanto vertė būtų proporcinga, o determinantas būtų identiškai lygus nuliui. Todėl (18) lygtis taptų identiška bet kurioms x, y ir z reikšmėms. Geometriškai tai reiškia, kad per kiekvieną erdvės tašką eina plokštuma, kurioje yra trys duoti taškai.

Pastaba 1. Tą pačią problemą galima išspręsti nenaudojant vektorių.

Atitinkamai pažymėdami trijų nurodytų taškų koordinates, parašysime bet kurios plokštumos, einančios per pirmąjį tašką, lygtį:

Norint gauti norimos plokštumos lygtį, būtina reikalauti, kad (17) lygtis būtų patenkinta dviejų kitų taškų koordinatėmis:

Iš (19) lygčių reikia nustatyti dviejų koeficientų santykį su trečiuoju ir rastas reikšmes įvesti į (17) lygtį.

Pavyzdys 1. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį.

Plokštumos, einančios per pirmąjį iš šių taškų, lygtis bus tokia:

Sąlygos plokštumai (17) pereiti per du kitus taškus ir pirmąjį tašką:

Antrąją lygtį pridėję prie pirmosios, randame:

Pakeitę antrąją lygtį, gauname:

Pakeitę (17) lygtį, o ne A, B, C, atitinkamai 1, 5, -4 (joms proporcingi skaičiai), gauname:

Pavyzdys 2. Parašykite lygtį plokštumai, kertančiai taškus (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Bet kurios plokštumos, einančios per tašką (0, 0, 0), lygtis bus]

Šios plokštumos pravažiavimo per taškus (1, 1, 1) ir (2, 2, 2) sąlygos yra šios:

Sumažinus antrą lygtį 2, matome, kad norint nustatyti du nežinomuosius, yra viena lygtis su

Iš čia gauname. Dabar pakeitę plokštumos reikšmę į lygtį, randame:

Tai norimos plokštumos lygtis; tai priklauso nuo savavališko

dydžiai B, C (būtent iš santykio t.y. yra begalinis skaičius plokštumų, einančių per tris duotus taškus (trys duoti taškai yra toje pačioje tiesėje).

2 pastaba. Plokštumos nubrėžimo per tris duotus taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, problema lengvai išsprendžiama bendras vaizdas, jei naudosime determinantus. Iš tiesų, kadangi (17) ir (19) lygtyse koeficientai A, B, C vienu metu negali būti lygūs nuliui, tai, atsižvelgiant į šias lygtis kaip vienalytė sistema su trimis nežinomaisiais A, B, C parašykite reikiamą ir pakankama būklėšios sistemos sprendimas yra kitoks nei nulis (1 dalis, VI skyrius, 6 dalis):

Išplėtę šį determinantą į pirmosios eilutės elementus, gauname pirmojo laipsnio lygtį dabartinių koordinačių atžvilgiu, kurią tenkins visų pirma trijų nurodytų taškų koordinatės.

Pastarąjį taip pat galite patikrinti tiesiogiai, vietoj , pakeisdami bet kurio iš šių taškų koordinates. Kairėje pusėje gauname determinantą, kuriame arba pirmosios eilutės elementai yra nuliai, arba yra dvi identiškos eilutės. Taigi sudaryta lygtis vaizduoja plokštumą, einančią per tris nurodytus taškus.

Plokštumos lygtis. Kaip parašyti plokštumos lygtį?
Abipusė pozicija lėktuvai. Užduotys

Erdvinė geometrija nėra daug sudėtingesnė nei „plokščia“ geometrija, o mūsų skrydžiai erdvėje prasideda šiuo straipsniu. Norėdami įvaldyti temą, turite gerai ją suprasti vektoriai, be to, patartina išmanyti plokštumos geometriją – bus daug panašumų, daug analogijų, todėl informacija bus daug geriau įsisavinama. Mano pamokų serijoje 2D pasaulis atidaromas straipsniu Tiesės lygtis plokštumoje. Bet dabar Betmenas paliko plokščią televizorių ir paleidžia iš Baikonūro kosmodromo.

Pradėkime nuo piešinių ir simbolių. Schematiškai plokštuma gali būti nubrėžta lygiagretainio pavidalu, kuris sukuria erdvės įspūdį:

Plokštuma begalinė, bet mes turime galimybę pavaizduoti tik jos dalelę. Praktikoje, be lygiagretainio, dar brėžiamas ovalas ar net debesis. man nerūpi techninių priežasčių patogiau plokštumą pavaizduoti būtent taip ir būtent tokioje padėtyje. Tikri lėktuvai, kuriuos apsvarstysime praktiniais pavyzdžiais, gali būti išdėstytas bet kaip - mintyse paimkite piešinį į rankas ir pasukite jį erdvėje, suteikdami plokštumai bet kokį polinkį, bet kokį kampą.

Pavadinimai: plokštumos dažniausiai žymimos mažomis graikiškomis raidėmis, matyt, kad jų nesupainiotų tiesi linija plokštumoje arba su tiesi linija erdvėje. Aš įpratau naudoti raidę. Piešinyje tai raidė „sigma“, o ne skylė. Nors skylėtas lėktuvas tikrai yra gana juokingas.

Kai kuriais atvejais patogu naudoti tuos pačius simbolius plokštumoms žymėti. graikiškos raidės su apatiniais indeksais, pavyzdžiui, .

Akivaizdu, kad plokštumą vienareikšmiškai apibrėžia trys skirtingi taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Todėl trijų raidžių lėktuvų žymėjimai yra gana populiarūs - pavyzdžiui, pagal jiems priklausančius taškus ir pan. Dažnai raidės yra įtrauktos skliausteliuose: , kad nesupainiotumėte plokštumos su kita geometrine figūra.

Patyrusiems skaitytojams duosiu greitos prieigos meniu:

• Kaip sukurti plokštumos lygtį naudojant tašką ir du vektorius?
• Kaip sukurti plokštumos lygtį naudojant tašką ir normalųjį vektorių?

ir mes nenustygsime ilgi laukimai:

Bendroji plokštumos lygtis

Bendroji plokštumos lygtis turi formą , kur koeficientai tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui.

Nemažai teorinių skaičiavimų ir praktines problemas galioja tiek įprastam ortonormaliniam pagrindui, tiek afininiu pagrindu erdvė (jei aliejus yra aliejus, grįžkite į pamoką Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorių pagrindas). Paprastumo dėlei darysime prielaidą, kad visi įvykiai vyksta ortonormaliu pagrindu ir Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Dabar šiek tiek lavinkime savo erdvinę vaizduotę. Gerai, jei jūsų blogas, dabar mes jį šiek tiek patobulinsime. Net žaidžiant ant nervų reikia treniruotis.

Pačioje bendras atvejis, kai skaičiai nėra nuliai, plokštuma kerta visas tris koordinačių ašis. Pavyzdžiui, taip:

Dar kartą kartoju, kad lėktuvas tęsiasi neribotą laiką visomis kryptimis, o mes turime galimybę pavaizduoti tik dalį jo.

Panagrinėkime paprasčiausias plokštumų lygtis:

Kaip suprasti šią lygtį? Pagalvokite apie tai: „Z“ VISADA yra lygus nuliui, esant bet kurioms „X“ ir „Y“ reikšmėms. Ši lygtis yra „gimtoji“ koordinačių plokštuma. Iš tiesų formaliai lygtį galima perrašyti taip: , iš kur aiškiai matote, kad mums nesvarbu, kokios reikšmės yra „x“ ir „y“, svarbu, kad „z“ būtų lygus nuliui.

Taip pat:
– koordinačių plokštumos lygtis;
– koordinačių plokštumos lygtis.

Šiek tiek apsunkinkime problemą, apsvarstykime plokštumą (čia ir toliau pastraipoje mes manome, kad tai skaitiniai šansai nėra lygūs nuliui). Perrašykime lygtį į formą: . Kaip turėtume tai suprasti? „X“ yra VISADA, esant bet kurioms „Y“ ir „Z“ reikšmėms, yra lygus tam tikram skaičiui. Ši plokštuma lygiagreti koordinačių plokštumai. Pavyzdžiui, plokštuma yra lygiagreti plokštumai ir eina per tašką.

Taip pat:
– plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai, lygtis;
– plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai, lygtis.

Pridėkime narius: . Lygtį galima perrašyti taip: ty „zet“ gali būti bet kas. Ką tai reiškia? „X“ ir „Y“ yra sujungti ryšiu, kuris plokštumoje nubrėžia tam tikrą tiesę (sužinosite tiesės lygtis plokštumoje?). Kadangi „z“ gali būti bet kas, ši tiesi linija „atkartojama“ bet kuriame aukštyje. Taigi lygtis apibrėžia plokštumą, lygiagrečią koordinačių ašiai

Taip pat:
– plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašiai, lygtis;
– plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašiai, lygtis.

Jeigu nemokami nariai nulis, tada plokštumos tiesiogiai eis per atitinkamas ašis. Pavyzdžiui, klasikinis „tiesioginis proporcingumas“: . Nubrėžkite tiesią liniją plokštumoje ir mintyse padauginkite ją aukštyn ir žemyn (nes „Z“ yra bet koks). Išvada: lėktuvas, pateikta lygtimi, eina per koordinačių ašį.

Baigiame peržiūrą: plokštumos lygtis eina per kilmę. Na, čia visiškai akivaizdu, kad taškas atitinka šią lygtį.

Ir galiausiai atvejis, parodytas brėžinyje: - lėktuvas draugauja su visais koordinačių ašys, tuo tarpu jis visada „nukerta“ trikampį, kuris gali būti bet kuriame iš aštuonių oktantų.

Tiesinės nelygybės erdvėje

Norėdami suprasti informaciją, turite gerai mokytis tiesinės nelygybės plokštumoje, nes daug kas bus panašiai. Pastraipa bus trumpos apžvalgos su keliais pavyzdžiais, nes medžiaga praktikoje yra gana reta.

Jei lygtis apibrėžia plokštumą, tai nelygybės
paklausti pustarpiai. Jei nelygybė nėra griežta (paskutiniai du sąraše), tai nelygybės sprendinys, be pustarpės, apima ir pačią plokštumą.

5 pavyzdys

Raskite plokštumos vienetinį normalųjį vektorių .

Sprendimas: Vieneto vektorius yra vektorius, kurio ilgis yra vienas. Pažymėkime duotas vektorius per . Visiškai aišku, kad vektoriai yra kolineariniai:

Pirmiausia iš plokštumos lygties pašaliname normalųjį vektorių: .

Kaip rasti vieneto vektorius? Norint rasti vieneto vektorių, reikia kas vektoriaus koordinatę padalinkite iš vektoriaus ilgio.

Perrašykime normalųjį vektorių į formą ir raskime jo ilgį:

Pagal tai, kas išdėstyta aukščiau:

Atsakymas:

Patikrinimas: ką reikėjo patikrinti.

Skaitytojai, atidžiai išstudijavę paskutinę pamokos pastraipą, tikriausiai tai pastebėjo vieneto vektoriaus koordinatės yra būtent vektoriaus krypties kosinusai:

Pailsėkime nuo šios problemos: kai jums duotas savavališkas nulinis vektorius, o pagal sąlygą reikia rasti jo krypties kosinusus (žr. naujausios užduotys pamoka Taškinė vektorių sandauga), tada jūs iš tikrųjų rasite vienetinį vektorių, kuris yra kolinerinis šiam vektoriui. Tiesą sakant, dvi užduotys viename butelyje.

Poreikis rasti vienetinį normalųjį vektorių iškyla kai kuriose matematinės analizės problemose.

Mes supratome, kaip išgauti įprastą vektorių, dabar atsakykime į priešingą klausimą:

Kaip sukurti plokštumos lygtį naudojant tašką ir normalųjį vektorių?

Ši standi normalaus vektoriaus ir taško konstrukcija yra gerai žinoma smiginio lentai. Ištieskite ranką į priekį ir mintyse pasirinkite savavališką erdvės tašką, pavyzdžiui, mažą katę bufetėje. Akivaizdu, kad per šį tašką galite piešti vieną plokštumą statmenai rankai.

Plokštumos, einančios per vektoriui statmeną tašką, lygtis išreiškiama formule:

Šioje medžiagoje pažvelgsime, kaip rasti plokštumos lygtį, jei žinome trijų skirtingų taškų, kurie nėra toje pačioje tiesėje, koordinates. Norėdami tai padaryti, turime prisiminti, ką stačiakampė sistema koordinates trimatė erdvė. Pirmiausia pristatysime pagrindinį principą duota lygtis ir tiksliai parodys, kaip jį naudoti sprendžiant konkrečias problemas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirmiausia turime prisiminti vieną aksiomą, kuri skamba taip:

1 apibrėžimas

Jei trys taškai nesutampa vienas su kitu ir guli ne vienoje tiesėje, tai trimatėje erdvėje per juos eina tik viena plokštuma.

Kitaip tariant, jei turime tris skirtingus taškus, kurios koordinatės nesutampa ir kurios negali būti sujungtos tiesia linija, tada galime nustatyti per ją einančią plokštumą.

Tarkime, kad turime stačiakampę koordinačių sistemą. Pažymėkime jį O x y z. Jame yra trys taškai M su koordinatėmis M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), kurių negalima sujungti tiesi linija. Remdamiesi šiomis sąlygomis, galime užrašyti mums reikalingos plokštumos lygtį. Yra du šios problemos sprendimo būdai.

1. Pirmasis metodas naudoja bendroji lygtis lėktuvas. Raidės forma rašoma kaip A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Su jo pagalba stačiakampėje koordinačių sistemoje galite apibrėžti tam tikrą alfa plokštumą, kuri eina per pirmąjį nurodytą tašką M 1 (x 1, y 1, z 1). Pasirodo, kad normalusis plokštumos α vektorius turės koordinates A, B, C.

N apibrėžimas

Žinodami normalaus vektoriaus koordinates ir taško, per kurį eina plokštuma, koordinates, galime užrašyti bendrąją šios plokštumos lygtį.

Taip ir elgsimės ateityje.

Taigi pagal uždavinio sąlygas turime norimo taško koordinates (net tris), per kurį eina plokštuma. Norėdami rasti lygtį, turite apskaičiuoti jos normalaus vektoriaus koordinates. Pažymėkime jį n → .

Prisiminkime taisyklę: bet kuris nulinis tam tikros plokštumos vektorius yra statmenas tos pačios plokštumos normaliajam vektoriui. Tada turime, kad n → bus statmenas vektoriams, sudarytiems iš pradinių taškų M 1 M 2 → ir M 1 M 3 → . Tada n → galime pažymėti kaip M 1 M 2 → · M 1 M 3 → formos vektorinę sandaugą.

Kadangi M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ir M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (šių lygybių įrodymai pateikti straipsnyje, skirtame vektoriaus koordinačių apskaičiavimui iš taškų koordinačių), tada paaiškėja, kad:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Jei apskaičiuosime determinantą, gausime mums reikalingo normaliojo vektoriaus n → koordinates. Dabar galime užrašyti lygtį, kurios mums reikia plokštumai, einančia per tris duotus taškus.

2. Antrasis būdas rasti lygtį, einančią per M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), remiasi tokia sąvoka kaip vektorių koplanarumas.

Jei turime taškų aibę M (x, y, z), tai stačiakampėje koordinačių sistemoje jie apibrėžia plokštumą duotiesiems taškams M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2). , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) tik tuo atveju, kai vektoriai M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ir M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 ) bus lygiagrečios .

Diagramoje tai atrodys taip:

Tai reikš, kad mišrus darbas vektoriai M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → bus lygūs nuliui: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0, nes tai yra pagrindinė plokštumo sąlyga : M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ir M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Parašykime gautą lygtį koordinačių forma:

Apskaičiavę determinantą, galime gauti plokštumos lygtį, kurios mums reikia trims taškams, kurie nėra toje pačioje tiesėje M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Iš gautos lygties galima pereiti prie plokštumos lygties atkarpomis arba į normalioji lygtis plokštumoje, jei to reikalauja problemos sąlygos.

Kitoje pastraipoje pateiksime pavyzdžių, kaip mūsų nurodyti metodai yra įgyvendinami praktiškai.

Plokštumos, einančios per 3 taškus, lygties sudarymo uždavinių pavyzdžiai

Anksčiau mes nustatėme du būdus, kurie gali būti naudojami norint rasti norimą lygtį. Pažiūrėkime, kaip jie naudojami sprendžiant problemas ir kada turėtumėte pasirinkti kiekvieną iš jų.

1 pavyzdys

Yra trys taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje, kurių koordinatės M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Parašykite pro juos einančios plokštumos lygtį.

Sprendimas

Mes naudojame abu metodus pakaitomis.

1. Raskite dviejų mums reikalingų vektorių koordinates M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Dabar apskaičiuokime jų vektorinę sandaugą. Determinanto skaičiavimų neaprašysime:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Turime normalųjį plokštumos, kuri eina per tris reikiamus taškus, vektorių: n → = (- 5, 30, 2) . Toliau reikia paimti vieną iš taškų, pavyzdžiui, M 1 (- 3, 2, - 1), ir užrašyti lygtį plokštumai su vektoriumi n → = (- 5, 30, 2). Gauname: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Tai lygtis, kurios mums reikia plokštumai, kuri kerta tris taškus.

2. Laikykimės kitokio požiūrio. Parašykime lygtį plokštumai su trimis taškais M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) tokia forma:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Čia galite pakeisti duomenis iš problemos teiginio. Kadangi x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, kaip rezultatas, mes gauname:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 m + 2 z - 73

Gavome reikalingą lygtį.

Atsakymas:- 5 x + 30 m + 2 z - 73 .

Bet ką daryti, jei pateikti taškai vis tiek yra toje pačioje tiesėje ir mums reikia sukurti jiems plokštumos lygtį? Čia reikia iš karto pasakyti, kad ši sąlyga nebus visiškai teisinga. Per tokius taškus gali praeiti begalė plokštumų, todėl vieno atsakymo apskaičiuoti neįmanoma. Panagrinėkime tokią problemą, kad įrodytume tokios klausimo formuluotės neteisingumą.

2 pavyzdys

Turime stačiakampę koordinačių sistemą trimatėje erdvėje, kurioje trys taškai yra su koordinatėmis M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1). , 1) . Būtina sukurti per ją einančios plokštumos lygtį.

Sprendimas

Pasinaudokime pirmuoju metodu ir pradėkime nuo dviejų vektorių M 1 M 2 → ir M 1 M 3 → koordinačių skaičiavimo. Apskaičiuokime jų koordinates: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Vektorinis meno kūrinys bus lygus:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Kadangi M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, tada mūsų vektoriai bus kolineariniai (jei pamiršote šios sąvokos apibrėžimą, dar kartą perskaitykite straipsnį apie juos). Taigi pradiniai taškai M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) yra toje pačioje tiesėje, o mūsų uždavinys turi be galo daug variantų atsakymas.

Jei naudosime antrąjį metodą, gausime:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 m. + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iš gautos lygybės taip pat išplaukia, kad pateikti taškai M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) yra toje pačioje tiesėje.

Jei norite rasti bent vieną atsakymą į šią problemą iš begalinis skaičius jos parinktis, turite atlikti šiuos veiksmus:

1. Užrašykite tiesės M 1 M 2, M 1 M 3 arba M 2 M 3 lygtį (jei reikia, peržiūrėkite medžiagą apie šį veiksmą).

2. Paimkite tašką M 4 (x 4, y 4, z 4), kuris nėra tiesėje M 1 M 2.

3. Užrašykite lygtį plokštumos, kuri kerta tris skirtingus taškus M 1, M 2 ir M 4, kurie nėra toje pačioje tiesėje.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter