Nelygybių su vienu kintamuoju savybės. Tiesinės nelygybės, pavyzdžiai, sprendimai

PAMOKA: „NELYGUMŲ SPRENDIMAS VIENU KINTAMOJIU“

Prekė: Algebra
Tema: Nelygybių su vienu kintamuoju sprendimas

Pamokos tikslai:

Švietimas:

organizuoti mokinių veiklą, siekiant suvokti, suvokti ir iš pradžių įtvirtinti tokias sąvokas kaip nelygybių sprendimas vienu kintamuoju, ekvivalentinė nelygybė, nelygybės sprendimas; patikrinti mokinių gebėjimą pritaikyti ankstesnėse pamokose įgytas žinias ir įgūdžius sprendžiant šios pamokos problemas.

Švietimas:

ugdyti domėjimąsi matematika praktiškai naudojant IRT; ugdyti mokinių pažintinius poreikius; formuoti tokias asmenines savybes kaip atsakingumas, atkaklumas siekiant tikslų, savarankiškumas.

Pamokos eiga

I. Organizacinis momentas

II. Apžiūra namų darbai(Pagrindinių žinių atnaujinimas)

1. Naudodami koordinačių tiesę raskite intervalų sankirtą: a) (1;8) ir (5;10); b) (-4;4) ir [-6;6]; c) (5;+∞) ir [-∞;4]

Atsakymas: a) (1;5); b) (-4;4); c) nėra sankryžų

2. Užrašykite paveikslėlyje pavaizduotus intervalus:

Atsakymas: 1) (2; 6); b) (-1;7]; c) .

3 pavyzdys, išspręskite nelygybę 3(x-1)<-4+3х.

Atverkime skliaustus kairėje nelygybės pusėje: 3x-3<-4+3х.

Perkelkime terminą 3x su priešingais ženklais iš dešinės pusės į kairę, o terminą -3 iš kairės pusės į dešinę ir pateiksime panašių narių: 3x-3x<-4+3,

Kaip matome, tai skaitinė nelygybė nėra teisinga jokiai x reikšmei. Tai reiškia, kad mūsų nelygybė su vienu kintamuoju neturi sprendimo.

Simuliatorius

Išspręskite nelygybę ir pažymėkite jos sprendimą:

f) 7x-2,4<0,4;

h) 6b-1<12-7b;

i) 16x-44>x+1;

k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);

l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.

Atsakymas: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).

IV. Išvados

Vieno kintamojo nelygybės sprendimas yra kintamojo reikšmė, paverčianti ją tikra skaitine nelygybe. Išspręsti nelygybę reiškia rasti visus jos sprendimus arba įrodyti, kad sprendimų nėra. Nelygybės, turinčios tuos pačius sprendinius, vadinamos ekvivalentinėmis. Nelygybės, kurios neturi sprendimų, taip pat laikomos lygiavertėmis. Jei abi nelygybės pusės dauginamos arba dalijamos iš to paties neigiamas skaičius, keičiant nelygybės ženklą į priešingą. Kitais atvejais išlieka ta pati.

V. Galutinis testavimas

1) Nelygybės sprendimas viename kintamajame vadinamas...

a) kintamojo reikšmė, kuri paverčia jį tikrąja nelygybe;

b) kintamojo reikšmė, kuri paverčia jį teisingu skaitiniu

nelygybė;

c) kintamasis, paverčiantis jį tikra skaitine nelygybe.

2) Kurie iš skaičių yra nelygybės 8+5y>21+6y sprendinys:

a) 2 ir 5 b) -1 ir 8 c) -12 ir 1 d) -15 ir -30?

3) Nurodykite nelygybės 4(x+1)>20 sprendinių aibę:

a) (- ∞; 4); b) (4; +∞); c) " title=" Pateikė QuickLaTeX.com">!}

gali būti pavaizduotas taip:

1) Nežinomuosius perkeliame į vieną pusę, žinomus į kitą su priešingais ženklais:

Title="Pateikė QuickLaTeX.com">!}

2) Jei skaičius priešais X nėra lygus nuliui (a-c≠0), padalykite abi nelygybės puses iš a-c.

Jei a-c>0, nelygybės ženklas nesikeičia:

Title="Pateikė QuickLaTeX.com">!}

Jei a-c<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

Title="Pateikė QuickLaTeX.com">!}

Jei a-c = 0, tai yra - ypatingas atvejis. Atskirai nagrinėsime specialius tiesinių nelygybių sprendimo atvejus.

Title="Pateikė QuickLaTeX.com">!}

Tai tiesinė nelygybė. Nežinomuosius perkeliame viena kryptimi, žinomus – kita su priešingais ženklais:

Title="Pateikė QuickLaTeX.com">!}

Abi nelygybės puses padalijame iš skaičiaus priešais X. Nuo -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный:

Title="Pateikė QuickLaTeX.com">!}

Nuo 10 skaičių eilutėje pažymėtas pradurtu tašku. , iki minus begalybės.

Kadangi nelygybė griežta, o taško trūksta, atsakyme su skliaustais rašome 10.

Tai tiesinė nelygybė. Nežinomieji – viena kryptimi, žinomi – kita su priešingais ženklais:

Abi nelygybės puses padalijame iš skaičiaus priešais X. Nuo 10>

Title="Pateikė QuickLaTeX.com">!}

Kadangi nelygybė nėra griežta, skaičių eilutėje užpildytu tašku pažymime -2,3. Atspalvis nuo -2,3 pereina į dešinę iki pliuso begalybės.

Kadangi nelygybė griežta, o taškas nuspalvintas, atsakyme rašome -2,3 su laužtiniai skliaustai.

Tai tiesinė nelygybė. Nežinomieji – į vieną pusę, žinomi – į kitą pusę priešingas ženklas.

Abi nelygybės puses padalijame iš skaičiaus priešais X. Nuo 3>0 nelygybės ženklas nesikeičia:

Title="Pateikė QuickLaTeX.com">!}

Kadangi nelygybė yra griežta, skaičių eilutėje pavaizduojame x=2/3 kaip pradurtą tašką.

Kadangi nelygybė griežta, o taško trūksta, atsakyme su skliaustais rašome 2/3.

X ir apimtis X. Tada formos nelygybė f(x) > g(x) arba f(x) < g(x) vadinamas nelygybė su vienu kintamuoju . Daugelis X paskambino jo apibrėžimo apimtis.

Kintamoji vertė X iš daugelio X, kurioje nelygybė virsta tikra skaitine nelygybe, ji vadinama sprendimą. Išspręsti nelygybę reiškia rasti daugybę jos sprendimų.

Nelygybių su vienu kintamuoju sprendimo pagrindas yra lygiavertiškumo samprata.

Dvi nelygybės vadinamos lygiavertis, jei jų sprendinių aibės lygios.

Teoremos apie nelygybių lygiavertiškumą ir pasekmes iš jų yra panašios į atitinkamas teoremas apie lygčių lygiavertiškumą. Jų įrodinėjimui naudojamos tikrųjų skaitinių nelygybių savybės.

1 teorema. Tegul nelygybė f(x) > g(x) apibrėžta rinkinyje X Ir h(x) yra išraiška, apibrėžta toje pačioje aibėje. Tada nelygybės f(x) > g(x) Ir f(x) + h(x) > g(x)+h(x) yra lygiaverčiai rinkinyje X.

Iš šios teoremos išplaukia pasekmės, kurie dažnai naudojami sprendžiant nelygybes:

1) Jei į abi nelygybės puses f(x) > g(x) pridėkite tą patį skaičių d, tada gauname nelygybę f(x) + d > g(x)+d, lygiavertis originaliam.

2) Jei kuris nors terminas (arba išraiška su kintamuoju) perkeliamas iš vienos nelygybės dalies į kitą, pakeičiant termino ženklą į priešingą, tada gauname nelygybę, lygiavertę duotajai.

2 teorema. Tegul nelygybė f(x) > g(x) apibrėžta rinkinyje X Ir h(x X iš daugelio X išraiška h(x) priima teigiamas vertes. Tada nelygybės f(x) > g(x) Ir f(x) × h(x) > g(x) × val(x) yra lygiaverčiai rinkinyje X.

Iš šios teoremos išplaukia išvada: jei abi nelygybės pusės f(x) > g(x) padaugintas iš to paties teigiamo skaičiaus d, tada gauname nelygybę f(x) × d > g(x) × d, lygiavertis šiam.

3 teorema. Tegul nelygybė f(x) > g(x) apibrėžta rinkinyje X Ir h(x) – išraiška, apibrėžta toje pačioje aibėje ir visiems X iš daugelio X išraiška h(x) priima neigiamos reikšmės. Tada nelygybės f(x) > g(x) Ir f(x) × h(x) < g(x) × val(x) yra lygiaverčiai rinkinyje X.

Iš šios teoremos išplaukia pasekmė: jei abi nelygybės pusės f(x) > g(x) padaugintas iš to paties neigiamo skaičiaus d ir pakeiskite nelygybės ženklą į priešingą, gauname nelygybę f(x) × d < g(x) × d, lygiavertis šiam.

Užduotis. Ar skaičius X= 5 nelygybės 2 sprendimas X+ 7 > 10 - x, xО R? Raskite daug šios nelygybės sprendimų.

Sprendimas. Skaičius X= 5 yra nelygybės sprendimas
2X + 7 > 10 - X, nes 2×5 + 7 > 10 - 5 yra tikra skaitinė nelygybė. O jos sprendinių aibė yra intervalas (1; ¥), kuris randamas atliekant nelygybės 2 transformaciją X+ 7 > 10 - XÞ 3X> 3 Þ X > 1.

Užduotis. Išspręskite 5 nelygybę X- 5 < 2X+ 16 ir pagrįskite visas transformacijas, kurios bus atliekamos sprendimo proceso metu.

Sprendimas.

Transformacijos	Transformacijų pagrindimas
1. Perkelkime 2 išraišką X V kairėje pusėje, o skaičius -5 į dešinę, keičiant jų ženklus į priešingus: 5 X- 2X < 16 + 5.	Mes panaudojome 2 išvadą iš 3 teoremos ir gavome nelygybę, lygiavertę pradinei.
2. Panašius terminus pateiksime kairėje ir teisingos dalys nelygybės: 3 X < 21.	Užbaigta tapatybės transformacijos išraiškos kairėje ir dešinėje nelygybės pusėse – jos nepažeidė nelygybių lygiavertiškumo: duotosios ir originalios.
3. Abi nelygybės puses padalinkite iš 3: X < 7.	Mes panaudojome 4 teoremos išvadą ir gavome nelygybę, lygiavertę pradinei.

Lygtys su vienu kintamuoju. Lygtis, turinti kintamąjį, vadinama lygtimi su vienu kintamuoju arba lygtimi su vienu nežinomu. Pavyzdžiui, lygtis su vienu kintamuoju yra 3(2x+7)=4x-1.

Lygties šaknis arba sprendinys yra kintamojo reikšmė, kuriai esant lygtis tampa tikrąja skaitine lygybe.

Išspręsti lygtį reiškia surasti visas jos šaknis arba įrodyti, kad šaknų nėra.

Lygtys vadinamos lygiavertėmis, jei visos pirmosios lygties šaknys yra antrosios lygties šaknys ir atvirkščiai, visos antrosios lygties šaknys yra pirmosios lygties šaknys arba jei abi lygtys neturi šaknų. Pavyzdžiui, lygtys x-8=2 ir x+10=20 yra lygiavertės, nes pirmosios lygties šaknis x=10 yra ir antrosios lygties šaknis, ir abi lygtys turi tą pačią šaknį.

Teoremos apie lygčių lygiavertiškumą. Pirmosios trys teoremos yra „tylios“, jos garantuoja transformacijų lygiavertiškumą be jokių papildomos sąlygos, jų naudojimas nesukelia problemų sprendėjui.

1 teorema. Jei kuris nors lygties narys perkeliamas iš vienos lygties dalies į kitą su priešingu ženklu, tai gaunama lygtis, lygiavertė duotajai.

2 teorema. Jei abi lygties pusės pakeltos į vienodą nelyginis laipsnis, tada gauname lygtį, lygiavertę šiai.

3 teorema. Eksponentinė lygtis

Kitos trys teoremos yra „varginančios“ jos veikia tik tam tikromis sąlygomis, o tai reiškia, kad gali sukelti tam tikrų problemų sprendžiant lygtis.

Lygties f(x) = g(x) apibrėžimo sritis arba sritis priimtinos vertės(ODZ) kintamasis yra tų kintamojo x reikšmių rinkinys, kuriam vienu metu turi prasmę išraiškos f(x) ir g(x).

4 teorema. Jei abi lygties f(x)=g(x) pusės padauginamos iš tos pačios išraiškos h(x), kuri:

a) turi prasmę visur lygties f(x) = g(x) apibrėžimo srityje (leistinų reikšmių srityje);

b) niekur šioje srityje nesisuka į 0 - tada gauname lygtį f(x) h(x) = g(x) h(x), lygiavertę duotajai.

4 teoremos pasekmė yra dar vienas „ramus“ teiginys: jei abi lygties pusės padauginamos arba padalijamos iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis, tada gaunama lygtis, lygiavertė duotajai.

5 teorema. Jei abi lygties f(x) = g(x) pusės yra neneigiamos lygties apibrėžimo srityje, tai abi jos puses pakėlus į tą pačią lyginę laipsnį n, gauname lygties ekvivalentą prie to: f(x)n = g (x)n .

6 teorema. Jei f(x) > 0 ir g(x) > 0, tai logaritminė lygtis

Lygtis f(x) = g(x).

Tiesinės nelygybės su vienu kintamuoju. Jei kintamajam x duota bet kokia skaitinė reikšmė, tada gauname skaitinę nelygybę, išreiškiančią teisingą arba klaidingą teiginį. Pavyzdžiui, duokime nelygybę 5x-1>3x+2. Jei x=2 gauname 5·2-1>3·2+2 – tikras teiginys(teisingas skaičiaus pareiškimas); ties x=0 gauname 5·0-1>3·0+2 – klaidingas teiginys. Bet kuri kintamojo reikšmė, kurioje ši nelygybė su kintamuoju virsta tikra skaitine nelygybe, vadinama nelygybės sprendimu. Išspręsti nelygybę su kintamuoju reiškia rasti visų jos sprendinių aibę.

Dvi nelygybės su tuo pačiu kintamuoju x vadinamos lygiavertėmis, jei šių nelygybių sprendinių aibės sutampa.

Pagrindinė nelygybės sprendimo idėja yra tokia: duotą nelygybę pakeičiame kita, paprastesne, bet lygiaverte duotajai; gauta nelygybė vėl pakeičiama jai lygiaverte paprastesne nelygybe ir pan.

Tokie pakeitimai atliekami remiantis toliau pateiktais teiginiais.

1 teorema. Jei kuris nors nelygybės su vienu kintamuoju narys perkeliamas iš vienos nelygybės dalies į kitą su priešingu ženklu, o nelygybės ženklą paliekant nepakeistą, tada bus gauta nelygybė, lygiavertė duotajai.

2 teorema. Jei abi nelygybės, turinčios vieną kintamąjį, puses padauginus arba padalijus iš to paties teigiamo skaičiaus, nelygybės ženklą paliekant nepakeistą, bus gauta nelygybė, lygiavertė duotajai.

3 teorema. Jei abi nelygybės, turinčios vieną kintamąjį, puses padauginsime arba padalinsime iš to paties neigiamo skaičiaus, o nelygybės ženklą pakeičiame į priešingą, tai bus gauta nelygybė, lygiavertė duotajai.

Formos ax+b>0 nelygybė vadinama tiesine (atitinkamai ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.