valstybė ugdymo įstaiga aukštasis profesinis išsilavinimas

TOMSK POLITECHNIKOS UNIVERSITETAS

21 skyrius

Santrauka šia tema:

„Laplaso transformacija“

Baigta

studentas gr.0850

Kiseleva Yu.V.

Patikrinta:

Daneikinas Yu.V.

Tomskas, 2008 m

Įvadas

Laplaso transformacija yra integrali transformacija, susijusi su funkcija

Viena iš Laplaso transformacijos ypatybių, nulėmusių platų jos pasiskirstymą moksliniuose ir inžineriniuose skaičiavimuose, yra ta, kad daugelis originalų santykių ir operacijų atitinka paprastesnius ryšius su jų vaizdais.

1. Tiesioginė Laplaso transformacija

Tikrojo kintamojo funkcijos Laplaso transformacija

Dešinė pusėŠi išraiška vadinama Laplaso integralu.

2. Atvirkštinis konvertavimas Laplasas

Sudėtingo kintamojo funkcijos atvirkštinė Laplaso transformacija

3. Dvipusė Laplaso transformacija

Dviejų krypčių Laplaso transformacija yra apibendrinimas atvejo problemų, kuriose funkcijai

Dviejų krypčių Laplaso transformacija apibrėžiama taip:

4. Diskretinė Laplaso transformacija

Naudojamas kompiuterinių valdymo sistemų srityje. Diskrečiąją Laplaso transformaciją galima pritaikyti gardelės funkcijoms.
Išskirti

gardelės funkcija, tai yra, šios funkcijos reikšmės nustatomos tik atskirais laiko momentais

Jei pritaikysime tokį kintamųjų pakeitimą:

gauname Z transformaciją:

5. Savybės ir teoremos

· Absoliuti konvergencija

Jei Laplaso integralas absoliučiai konverguoja esant σ = σ 0, tai yra, yra riba

tada jis absoliučiai ir vienodai susilieja už

· Egzistencijos sąlygos tiesioginis konvertavimas Laplasas

Laplaso transformacija

2. Atvejis σ > σ a: Laplaso transformacija egzistuoja, jei integralas

egzistuoja kiekvienam baigtiniam

3. Atvejis σ > 0 arba σ > σ a (atsižvelgiant į tai, kuri riba yra didesnė): Laplaso transformacija egzistuoja, jei funkcijai f"(x) yra Laplaso transformacija (f(x) išvestinė), kai σ > σ a.

Atvirkštinės Laplaso transformacijos egzistavimo sąlygos

Kad egzistuotų atvirkštinė Laplaso transformacija, pakanka įvykdyti šias sąlygas:

1. Jei vaizdas F(-ai) yra analitinė funkcija

yra analitinis kiekvieno z k atžvilgiu ir yra lygus nuliui

tada egzistuoja atvirkštinė transformacija ir atitinkama tiesioginė transformacija turi absoliučios konvergencijos abscisę.

Pastaba: tai yra pakankamai sąlygų egzistavimą.

Konvoliucijos teorema

Dviejų originalų konvoliucijos Laplaso transformacija yra šių originalų atvaizdų produktas.

Vaizdo dauginimas

Paskaita Nr.12

Tema: Operatorinis pereinamojo laikotarpio analizės metodas

procesus.

Studijų klausimai

1 Laplaso transformacija ir jos savybės.

2 omų ir Kirchhoffo dėsniai operatoriaus forma. Operatoriaus pakeitimo schema.

3 Pereinamųjų procesų analizės operatoriaus metodu algoritmas.

4 Originalo identifikavimas pagal atvaizdą. Dekompozicijos teorema.

Literatūra: 331-342 p.

1 Laplaso transformacija ir jos savybės

Anksčiau peržiūrėta klasikinis metodas turi šiuos reikšmingus trūkumus:

ribotas taikymas, jis daugiausia naudojamas tais atvejais, kai tiriama grandinė yra mažo sudėtingumo ir išorinis poveikis ant jo po perjungimo yra harmoninė funkcija laiku arba nuolat; jei išorinis poveikis grandinei po perjungimo turi daugiau sudėtingas charakteris, tada nustatyti priverstinį grandininės reakcijos komponentą tampa žymiai sunkesnis.

stambumas analizuojant pereinamuosius daugiau nei antros eilės grandinių procesus, nes norint rasti laisvąjį komponentą ir pastovias integracijas reikia išspręsti algebrines lygtis aukšta tvarka.

Laisvas nuo išvardytų trūkumų operatoriaus metodas trumpalaikė analizė, pagrįsta taikymu Laplaso transformacija.

Operatoriaus metodas neturi fizinio aiškumo dėl matematinis formalizavimas, bet labai supaprastina skaičiavimus. Svarbus operatoriaus metodo bruožas yra jo pritaikymas funkcijoms, kurios nėra absoliučiai integruojamos, pavyzdžiui, viena įtampos pakopa, tam tikru momentu įjungta harmoninė įtampa ir kitos bangos formos, kurioms klasikinės ir spektriniai metodai analizė negali būti taikoma.

Operatoriaus metodo esmė ta, kad perėjimo proceso skaičiavimas perkeliamas iš realaus kintamojo funkcijų srities (laiko t) į kompleksinio kintamojo funkcijų sritį. Šiuo atveju laiko funkcijų diferencijavimo ir integravimo operacijos pakeičiamos atitinkamomis kompleksinio kintamojo funkcijų daugybos ir padalijimo operacijomis p. Tai žymiai supaprastina skaičiavimą, nes diferencialinių lygčių sistemą sumažina iki algebrinės sistemos. Operatoriaus metodu integravimo konstantų nustatyti nereikia. Ši aplinkybė paaiškina plačiai paplitusį šio metodo naudojimą praktikoje.

Perėjimas iš tikrojo kintamojo srities į sudėtingo kintamojo funkcijų sritį atliekamas naudojant tiesioginė Laplaso transformacija. Po to sprendžiamos algebrinės lygtys norimų funkcijų vaizdams. Gautas algebrinių lygčių sprendimas atvirkštinė Laplaso transformacija perkeliamas į tikrojo kintamojo sritį.

Matematinis operatoriaus metodo pagrindimas pirmą kartą buvo pateiktas 1862 m. Rusijos matematikas M.E. Vaščenka-Zacharčenka, parodęs galimybę integracijai pritaikyti simbolinį (operatoriaus) skaičiavimą diferencialines lygtis remiantis tiesiogine Laplaso transformacija.

pabaigoje – XIX a. Anglų elektros inžinieriai O. Heaviside ir D. Carson sėkmingai pritaikė ir sukūrė simbolinį diferencialinių lygčių sprendimo metodą pereinamųjų procesų skaičiavimui m. elektros grandinės. Tačiau operatoriaus metodas gavo griežtą pagrindimą tik XX a. remiantis bendroji teorija funkcinės transformacijos.

Tiesioginė Laplaso transformacija yra nustatomas pagal lygtį

kur f(t) yra tikrojo kintamojo t funkcija, apibrėžta ties
(prie t< 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условием граниченного роста:

kur daugiklis M ir augimo greitis C 0 yra teigiami realūs skaičiai.

12.1 paveiksle parodyta kompleksinio kintamojo F(p) apibrėžimo sritis.

Atvirkštinė Laplaso transformacija nustatomas iš tirpalo
(12.1).

Iškviečiama (12.1) lygtimi apibrėžta funkcija F(p). Laplaso vaizdas, o funkcija f(t) (12.3) yra originalus.

Vadinasi, originalas ir vaizdas yra tikrojo f(t) ir kompleksinio kintamojo F(p) funkcijų pora, susieta Laplaso transformacija ir išdėstyta griežtai viena su kita.

Transformacijų (12.1) ir (12.3) žymėjimui sutrumpinti naudojama tokia simbolika:

kur L yra Laplaso operatorius.

Toliau aiškumo dėlei naudosime korespondencijos ženklą.

Remiantis Laplaso transformacija, galima gauti bet kokių funkcijų, kurios tenkina sąlygą (12.2), vaizdą. Yra specialių žinynų, kuriuose yra originalai ir įvairiausių funkcijų vaizdai.

12.1 lentelėje pateikti paprastų funkcijų vaizdų pavyzdžiai.

12.1 lentelė – Laplaso funkcijų vaizdai

Pažiūrėkime kai kuriuos Laplaso transformacijos savybės , dar vadinamos teoremomis.

Sudėjimo teorema arba transformacijos tiesiškumas

Diferenciacijos teorema

.

Integravimo teorema

.

Vėlavimo teorema

Laplaso transformacija leidžia gauti ryšį tarp įtampos ir srovės operatoriaus formoje varžiniams, indukciniams ir talpiniams elementams.

Įtampos per varžinį elementą iliustracija

U r (t) = r i(t) pagal (12.1) bus tokia forma:

Išraiška U r (p) = r I (p) vadinama Ohmo dėsnis operatoriaus forma varžiniam elementui (12.1 pav., a), kurio operatoriaus ekvivalentinė grandinė pateikta 12.1 pav., b.

Įtampos vaizdas
ant indukcinio elemento (12.2 pav., a) pagal (12.4) ir (12.5) bus tokia forma:

U L (p) = - L i (0) + pLI (p), (12,9)

čia i(0) = i(0 -) = i(0 +) – srovė indukciniame elemente komutavimo momentu t = 0, atsižvelgiant į pradines sąlygas (pagal pirmąjį komutavimo dėsnį).

Išraiška (12.9) atitinka operatoriaus ekvivalentinę indukcinio elemento grandinę 12.2 pav., b.

Talpinio elemento įtampa (12.3 pav., a), pradedant nuo pereinamojo proceso atsiradimo momento t = 0 bendras atvejis

čia U c (0) = U c (0 -) = U c (0 +) – talpinio elemento įtampa, atitinkanti pradinę sąlygą (pagal antrąjį komutavimo dėsnį).

Duotas vaizdas vieneto funkcija
(12.1 lentelė) ir ryšius (12.4) ir (12.5), randame įtampos U c (t) vaizdą:

Išraiška (12.10) atitinka ekvivalentinę talpinio elemento grandinę operatoriaus pavidalu 12.3b pav.

Jei pradinės sąlygos lygios nuliui, t.y. i L (0 -) = 0 ir U c (0 -) = 0, tada išraiškos (12.9) ir (12.10) įgaus indukcinio elemento operatoriaus Omo dėsnio formą

U L (p) = LpI (p) = Z L (p) I (p), (12.11)

čia Z L (p) = Lp – indukcinio elemento operatoriaus varža, talpiniam elementui

Anksčiau mes laikėme integralią Furjė transformaciją su branduoliu K(t, O = e). transformacija leidžia mums išsivaduoti iš šio apribojimo. Apibrėžimas 1. Funkcija originalia vadinsime bet kurią sudėtingos reikšmės funkciją f(t) realaus argumento t, kuri tenkina šias sąlygas: 1. f(t) yra tolydis. visa t ašis, išskyrus atskirus taškus, kuriuose f(t) turi 1-osios rūšies netolydumą, o kiekviename baigtiniame ašies intervale * gali būti tik baigtinis tokių taškų skaičius 2. funkcija f(t). ) yra lygus nuliui at neigiamos reikšmės t, f(t) = 0, kai 3. Didėjant t, modulis f(t) didėja ne greičiau už eksponentinę funkciją, t.y. yra skaičiai M > 0 ir s tokie, kad visiems t Aišku, kad jei nelygybė ( 1) yra įvykdytas kai kuriems s = aj, tada jis bus TEISINGAS bet kuriam 82 > 8]. Tikslus visų skaičių 3 infimumas s0, «o = infs), kuriam galioja nelygybė (1), vadinamas funkcijos f(t) augimo indeksu. komentuoti. Bendruoju atveju nelygybė negalioja, tačiau galioja įvertis, kur e > 0 yra bet koks. Taigi funkcijos augimo rodiklis 0 = Jai negalioja nelygybė \t\ ^ M V* ^ 0, bet nelygybė |f| ^ Mei. Sąlyga (1) yra daug mažiau ribojanti nei sąlyga (*). 1 pavyzdys. funkcija netenkina sąlygos ("), bet sąlyga (1) tenkinama bet kuriai s ^ I ir A/ ^ I; augimo greitis 5o = Taigi tai yra pradinė funkcija. Kita vertus, funkcija nėra pradinė funkcija: ji turi begalinę augimo tvarką, „o = +oo. Paprasčiausia pradinė funkcija yra vadinamoji vieneto funkcija. Dėl žymėjimo paprastumo, mes, kaip taisyklė, praleisime koeficientą rj(t), nustatydami, kad visos funkcijos, kurias laikysime, yra lygios nuliui neigiamam t, taigi, jei apie kokią nors funkciją f(t), pavyzdžiui, apie sin ty cos t, el ir pan., tada visada numanomos šios funkcijos (2 pav.): n=n(0 1 pav. 2 apibrėžimas. Tegu f( t) ) yra pradinė funkcija F(t) funkcijos Laplaso atvaizdas yra sudėtingo kintamojo funkcija F(p), apibrėžta formule LAPLACE TRANSFORM Pagrindiniai apibrėžimai Savybės Funkcijų konvoliucija Daugybos teorema Originalo radimas iš vaizdo Naudojant operatyvinio skaičiavimo inversijos teorema Duhamelio formulė Tiesinių diferencialinių sistemų lygčių integravimas su pastovūs koeficientai Integralų lygčių sprendimas, kur integralas imamas išilgai teigiamos pusašies t. Funkcija F(p) dar vadinama funkcijos /(/) Laplaso transformacija; transformacijos branduolys K(t) p) = e~pt. Tai, kad funkcijos atvaizdas yra F(p), bus parašytas 2 pavyzdys. Raskite vieneto funkcijos r)(t) vaizdą. Funkcija yra pradinė funkcija, kurios augimo rodiklis yra 0–0. Pagal (2) formulę funkcijos rj(t) vaizdas bus funkcija If tada, kai integralas dešinėje paskutinės lygybės pusėje bus konvergentiškas , ir gausime taip, kad funkcijos rj(t) vaizdas bus funkcija £. Kaip susitarėme, parašysime, kad rj(t) = 1, o tada gautas rezultatas bus parašytas taip: 1 teorema. Bet kuriai pradinei funkcijai f(t), kurios augimo indeksas 30, apibrėžiamas vaizdas F(p) pusplokštumoje R e = s > s0 ir yra šioje pusplokštumoje analitinė funkcija (3 pav.). Tegul Norint įrodyti, kad nurodytoje pusplokštumoje yra vaizdas F(p), pakanka tai nustatyti netinkamas integralas (2) konverguoja absoliučiai > Naudojant (3), gauname, kas įrodo absoliučią integralo (2) konvergenciją. Tuo pačiu metu gavome Laplaso transformacijos F(p) konvergencijos pusiausvyros plokštumoje įvertinimą. nustatomas taip pat, kaip buvo nustatytas integralo (2) egzistavimas. Taikydami F"(p) integravimą dalimis, gauname įvertinimą, iš kurio jis seka absoliuti konvergencija). Bet kurioje pusiau plokštumoje Rep ^ sj > o integralas (5) tolygiai konverguoja p atžvilgiu, nes jį sudaro konvergentinis integralas, nepriklausomas nuo p. Vadinasi, diferenciacija p atžvilgiu yra teisėta, o lygybė (5) yra teisinga. Kadangi išvestinė F"(p) egzistuoja, Laplaso transformacija F(p) visur pusplokštumoje Rep = 5 > 5о yra analitinė funkcija. Nelygybė (4) reiškia išvadą. Jei p linkusi į begalybę, kad Re p = s didėja neribotai , tada 3 pavyzdys. Raskime ir funkcijos vaizdą, bet koks kompleksinis skaičius Funkcijos /(() eksponentas lygus a. 4 Atsižvelgiant į Rep = i > a, gauname Taigi, Jei a = 0 vėl gauname formulę Atkreipkime dėmesį į tai, kad funkcijos eat vaizdas yra argumento p analitinė funkcija ne tik pusplokštumoje Rep > a, bet ir visuose taškuose p, išskyrus taškui p = a, kur šis vaizdas turi paprastą polių. panaši situacija, kai vaizdas F(p) bus analitinė funkcija visoje kompleksinio kintamojo p plokštumoje, išskyrus izoliuotą vienetiniai taškai. 1 teoremai nėra prieštaravimo. Pastarasis tik teigia, kad pusiau plokštumoje Rep > o funkcija F(p) neturi vienaskaitos taškų: pasirodo, kad visi jie yra arba į kairę nuo tiesės Rep = taip, arba pačioje šioje tiesėje. Nepastebėti. Operatyviniame skaičiavime kartais naudojamas funkcijos f(f) Heaviside atvaizdas, kuris apibrėžiamas lygybe ir skiriasi nuo Laplaso atvaizdavimo koeficientu p. §2. Laplaso transformacijos savybės Toliau pažymėsime pradines funkcijas ir jų Laplaso atvaizdus. £biw dee) turi tą patį vaizdą, tada jie yra vienodi. Teopewa 3 (p'ieiost* Laplaso transformacija). Jei funkcijos yra originalios, tai bet kurioms kompleksinėms konstantoms α Teiginio pagrįstumas išplaukia iš vaizdą apibrėžiančio integralo tiesiškumo savybės: , yra atitinkamai funkcijų augimo rodikliai). Remdamiesi šia savybe, gauname Panašiai randame, kad ir toliau 4 teorema (panašumai). Jei f(t) yra pradinė funkcija, o F(p) yra jos Laplaso atvaizdas, tai bet kuriai konstantai a > O Nustačius = m, gauname Naudodami šią teoremą, iš (5) ir (6) formulių gauname 5 teoremą. (dėl originalo diferencijavimo). Tegul yra pradinė funkcija su vaizdu F(p) ir tegul taip pat yra pradinės funkcijos, o kur yra funkcijos augimo indeksas Tada ir apskritai Čia turime omenyje teisingą ribinę reikšmę Let. Raskime vaizdą, kurį turime Integruojant dalimis, gauname neintegralinį terminą dešinėje (10) pusėje, nes Rc р = s > з turime pakaitalą t = Suteikia -/(0) . Antrasis narys dešinėje (10) yra lygus pF(p). Taigi santykis (10) įgauna formą ir (8) formulė yra įrodyta. Konkrečiai, jei Norėdami rasti vaizdą f(n\t), rašome iš kur, integruodami n kartų dalimis, gauname 4 pavyzdį. Naudodami originalo diferenciacijos teoremą, raskite funkcijos f(t) = vaizdą. nuodėmė2 t. Tegu Todėl 5 teorema nustato nuostabus turtas integrali Laplaso transformacija: ji (kaip Furjė transformacija) diferenciacijos operaciją paverčia algebrine daugybos iš p operacija. Įtraukimo formulė. Jei tai yra originalios funkcijos, tada Tiesą sakant, remiantis 1 teoremos išvadomis, kiekvienas vaizdas linkęs į nulį. Tai reiškia, kad seka įtraukimo formulė (6 teorema (dėl vaizdo diferenciacijos). Vaizdo diferencijavimas sumažinamas iki padauginimo iš originalo. Kadangi funkcija F(p) pusplokštumoje yra analitinė, ją galima diferencijuoti p atžvilgiu Turime Pastarasis kaip tik reiškia, kad 5 pavyzdys. Naudojant 6 teoremą, raskite funkcijos 4 atvaizdą, taigi (dar kartą taikydami 6 teoremą, apibendrintai randame 7 teoremą). Originalo integravimas yra sumažintas iki vaizdo padalijimo iš Let Lengva patikrinti, kad jei yra originali funkcija, tai bus originali funkcija, o Atsižvelgiant į tai, iš kur F = Pastarasis yra lygiavertis įrodytam ryšiui (13) Pavyzdys 6. Raskite funkcijos M B atvaizdą., Taigi. Todėl 8 teorema (vaizdų integravimas). Jei integralas konverguoja, tai jis tarnauja kaip funkcijos ^ vaizdas: LAPLACE TRANSFORM Pagrindiniai apibrėžimai Savybės Funkcijų konvoliucija Daugybos teorema Originalo radimas iš vaizdo Operatyvinio skaičiavimo inversijos teoremos naudojimas Duhamelio formulė Tiesinių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sistemų integravimas Integralinių lygčių sprendimas Iš tiesų, darant prielaidą, kad integravimo kelias yra pusplokštumoje, galime pakeisti integravimo tvarką. Paskutinė lygybė reiškia, kad tai yra funkcijos atvaizdas 7 pavyzdys. Raskite funkcijos M As vaizdą yra žinomas,. Todėl, kadangi darome prielaidą, kad gauname £ = 0, kada. Todėl santykis (16) įgauna Pavyzdžio formą. Raskite funkcijos f(t) atvaizdą, nurodytą grafiškai (5 pav.). Parašykime funkcijos f(t) išraišką tokia forma: Šią išraišką galima gauti taip. Apsvarstykite funkciją ir iš jos atimkite funkciją. Skirtumas bus lygus vienetui. Prie gauto skirtumo pridedame funkciją. Gauname funkciją f(t) (6 pav. c), todėl iš čia, naudojant vėlavimo teoremą, randame 10 teoremą (poslinkis). tada bet kam kompleksinis skaičius ro Tiesą sakant, teorema leidžia naudoti žinomus funkcijų vaizdus ieškant tų pačių funkcijų atvaizdų, padaugintų iš eksponentinė funkcija , pavyzdžiui, 2.1. Funkcinis lankstymas. Daugybos teorema Tegu funkcijos f(t) yra apibrėžtos ir tolydžios visiems t. Šių funkcijų konvoliucija vadinama ant t, apibrėžtas lygybe (jei šis integralas egzistuoja). Originalioms funkcijoms operacija convolve visada įmanoma ir (17) 4 Tiesą sakant, pradinių funkcijų sandauga kaip funkcija m yra baigtinė funkcija, t.y. išnyksta už kokio nors baigtinio intervalo (šiuo atveju už atkarpos ribų. Baigtinėms tolydžioms funkcijoms konvoliucijos operacija yra įmanoma ir gauname formulę Nesunku patikrinti, ar konvoliucijos operacija yra komutacinė, 11 teorema (daugyba). , tada konvoliucija t) turi vaizdą Nesunku patikrinti, ar konvoliucija (pradinių funkcijų yra pradinė funkcija su augimo rodikliu » kur yra atitinkamai funkcijų augimo rodikliai. Raskime vaizdą Naudodami tai, ką turime integralo dešinėje (toks veiksmas yra teisėtas) ir taikydami vėlavimo teoremą, gauname, kad iš (18) ir (19). vaizdų daugyba atitinka originalų konvoliuciją, Prter 9. Raskite funkcijos atvaizdą Funkcija V(0) yra funkcijų konvoliucija pagal daugybos teoremą Uždavinys Tegul funkcija /(ξ) yra periodinė periodas T , yra pradinė funkcija. Parodykite, kad jo Laplaso atvaizdas F(p) pateiktas pagal formulę 3. Originalo radimas iš paveikslėlio Uždavinys pateikiamas taip: duota funkcija F(p), reikia rasti funkciją. /(<)>kurio vaizdas yra F(p). Suformuluokime sąlygas, kurių pakanka, kad kompleksinio kintamojo p funkcija F(p) tarnautų kaip vaizdas. 12 teorema. Jei funkcija F(p) analitinė pusiau plokštumoje tai 1) linkusi į nulį kaip bet kurioje pusplokštumoje R s0 tolygiai arg p atžvilgiu; 2) integralas konverguoja absoliučiai, tada F(p) yra kokios nors pradinės funkcijos Uždavinys vaizdas. Ar funkcija F(p) = gali būti kokios nors originalios funkcijos vaizdas? Nurodysime keletą būdų, kaip iš paveikslėlio rasti originalą. 3.1. Originalo radimas naudojant vaizdų lenteles Pirmiausia funkciją F(p) verta perkelti į paprastesnę, „lentelės“ formą. Pavyzdžiui, tuo atveju, kai F(p) - trupmeninė racionali funkcija argumentas p, jis išskaidomas į elementariąsias trupmenas ir naudojamos atitinkamos Laplaso transformacijos savybės. Pavyzdys 1. Raskite originalą Funkciją F(p) užrašome forma Naudodami poslinkio teoremą ir Laplaso transformacijos tiesiškumo savybę, gauname 2 pavyzdį. Raskite funkcijos 4 originalą Įrašome F(p) į forma Taigi 3.2. Naudojant inversijos teoremą ir jos padarinius 13 teorema (inversija). Jei funkcija tinka) yra pradinė funkcija su augimo eksponentu s0, o F(p) yra jos vaizdas, tai bet kuriame funkcijos f(t) tęstinumo taške santykis tenkinamas, kai integralas imamas išilgai bet kurios tiesės ir yra suprantama pagrindinės reikšmės prasme, t. y. kaip formulė (1) vadinama Laplaso transformacijos inversijos formule arba Mellino formule. Tiesą sakant, tegul, pavyzdžiui, f(t) yra gabalais lygus kiekvienam }