Apskaičiuokite kampo tarp tiesės ir plokštumos sinusą. Kampas tarp tiesės ir plokštumos: apibrėžimas, radimo pavyzdžiai

Tai reiškia, kad reikia rasti kampą tarp šios linijos ir jos projekcijos į tam tikrą plokštumą.

Užduotį iliustruojantis erdvinis modelis pateiktas paveikslėlyje.

Problemos sprendimo planas:
1. Iš savavališko taško A∈a nuleiskite statmeną plokštumai α ;
2. Nustatykite šio statmens susitikimo tašką su plokštuma α . Taškas A α - ortografinė projekcija Aį lėktuvą α ;
3. Raskite tiesės susikirtimo tašką a su lėktuvu α . Taškas a α- tiesus takas a lėktuve α ;
4. Atliekame ( A α a α) - tiesės projekcija aį lėktuvą α ;
5. Apibrėžkite faktinė vertė ∠Aa α A α, t.y. ∠ φ .

Problemos sprendimas rasti kampą tarp linijos ir plokštumos gali būti labai supaprastintas, jei neapibrėžtume ∠ φ tarp tiesės ir plokštumos ir papildo 90° ∠ γ . Šiuo atveju taško projekcijos nustatyti nereikia A ir tiesios linijos projekcijos aį lėktuvą α . Žinant dydį γ , apskaičiuojamas pagal formulę:

$ φ = 90° - γ $

a ir lėktuvas α , apibrėžtas lygiagrečiomis linijomis m Ir n.

a α
Sukasi aplink horizontalią padėtį suteikta taškais 5 ir 6 nustatome tikrąjį dydį ∠ γ . Žinant dydį γ , apskaičiuojamas pagal formulę:

$ φ = 90° - γ $

Kampo tarp tiesės nustatymas a ir lėktuvas α , apibrėžtas trikampiu BCD.

Iš savavališko linijos taško a nuleiskite statmeną plokštumai α
Sukdami aplink horizontalią liniją, nurodytą 3 ir 4 taškais, nustatome natūralų dydį ∠ γ . Žinant dydį γ , apskaičiuojame pagal formulę.

Kampo tarp tiesės ir plokštumos sąvoką galima įvesti bet kuriai santykinė padėtis tiesus ir plokščias.

Jei tiesė l yra statmena plokštumai, tada kampas tarp l ir laikomas lygiu 90.

Jei tiesė l yra lygiagreti plokštumai arba yra šioje plokštumoje, tada kampas tarp l ir laikomas lygiu nuliui.

Jei tiesė l yra pasvirusi į plokštumą, tai kampas tarp l ir tai yra kampas „tarp tiesės l ir jos projekcijos p į plokštumą (39 pav.).

Ryžiai. 39. Kampas tarp tiesės ir plokštumos

Taigi, prisiminkime šio nereikšmingo atvejo apibrėžimą: jei tiesė yra pasvirusi, tada kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp šios tiesės.

Ir jo projekcija į tam tikrą plokštumą.

7.1 Problemų sprendimo pavyzdžiai

Pažvelkime į tris užduotis, išdėstytas vis sunkiau. Trečiasis vieningo valstybinio matematikos egzamino C2 lygio uždavinys.

1 uždavinys. Taisyklingajame tetraedre raskite kampą tarp šoninės briaunos ir pagrindo plokštumos.

2 užduotis. Teisingai trikampė prizmė ABCA1 B1 C1 šoninis kraštas lygus pagrindo šonui. Raskite kampą tarp tiesės AA1 ir plokštumos ABC1.

Sprendimas. Kampas tarp tiesės ir plokštumos nepasikeis, jei tiesė bus perkelta lygiagrečiai viena kitai. Kadangi CC1 yra lygiagreti AA1, reikiamas kampas yra kampas tarp tiesės CC1 ir plokštumos ABC1 (41 pav.).

B 1"

Ryžiai. 41. Į 2 užduotį

Tegu M yra AB vidurio taškas. Nubrėžkime aukštį CH trikampyje CC1 M. Parodykime, kad CH yra statmena plokštumai ABC1. Norėdami tai padaryti, turite pateikti dvi susikertančias šios plokštumos linijas, statmenas CH.

Pirmoji tiesi linija yra akivaizdi: C1 M. Iš tiesų, CH? C1 M pagal konstrukciją.

Antroji eilutė yra AB. Iš tiesų, pasvirusios CH projekcija į plokštumą ABC yra tiesė CM; o AB ? CM. Iš teoremos apie tris statmenus išplaukia, kad AB ? CH.

Taigi CH? ABC1. Todėl kampas tarp CC1 ir ABC1 yra " = \CC1 H. CH reikšmę randame iš santykio

C1 M CH = CC1 CM

(abi šio santykio kraštinės yra lygios dvigubam trikampio CC1 M plotui). Turime:

CM = a 2 3;

Belieka rasti kampą ":

Atsakymas: arcsin 3 7 .

sin " = CH = 3 : CC1 7

3 uždavinys. Taškas K paimtas kubo ABCDA1 B1 C1 D1 briaunoje A1 B1 taip, kad A1 K: KB1 = 3: 1. Raskite kampą tarp tiesės AK ir plokštumos BC1 D1.

Sprendimas. Padarę brėžinį (42 pav., kairėje) suprantame, kad reikia papildomų konstrukcijų.

Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad tiesė AB yra plokštumoje BC1 D1 (nuo AB k C1 D1 ). Antra, lygiagrečiai AK nubrėžkime B1 M (42 pav., dešinėje). Taip pat nubrėžkime B1 C ir tegul N yra B1 C ir BC1 susikirtimo taškas.

Parodykime, kad tiesė B1 C yra statmena plokštumai BC1 D1. Tiesą sakant:

1) B 1 C ? BC1 (kaip kvadrato įstrižainės);

2) B 1 C ? AB pagal trijų statmenų teoremą (juk AB yra statmena pasvirusios B1 C projekcijos į plokštumą ABC tiesei BC).

Taigi B1 C yra statmena dviem susikertančioms plokštumos BC1 D1 tiesėms; todėl B1 C ? BC1 D1. Todėl tiesės MB projekcija

sin " = B 1 N = 2 2 : B 1 M 5

Kampas a tarp tiesės l ir plokštumos 6 gali būti nustatytas naudojant papildomą kampą p tarp nurodytos tiesės l ir statmenos p duotas lėktuvas nubrėžtas iš bet kurio tiesės taško (144 pav.). Kampas P papildo norimą kampą a iki 90°. Nustačius tikrąją kampo P reikšmę, pasukus kampo, kurį sudaro tiesė l ir statmena, plokštumos lygį ir aplink tiesę, belieka jį papildyti stačiu kampu. Šis papildomas kampas duos tikrąją kampo a reikšmę tarp tiesės l ir plokštumos 0.

27. Kampo tarp dviejų plokštumų nustatymas.

Tikra vertė dvikampis kampas- tarp dviejų plokštumų Q ir l. - gali būti nustatytas pakeitus projekcijos plokštumą, kad dvikampio kampo kraštinė būtų paversta projektavimo linija (1 ir 2 uždaviniai), arba, jei briauna nenurodyta, kaip kampas tarp dviejų statmenų n1 ir n2, nubrėžtų šios plokštumos iš savavališko šių statmenų erdvės B taško M taške M gauname du plokštumos kampus a ir P, kurie atitinkamai lygūs dviejų tiesiniams kampams gretimų kampų(dvikampis), sudarytas iš plokštumų q ir l. Nustatę tikrąją kampų tarp statmenų n1 ir n2 vertę, sukdami aplink lygio tiesią liniją, nustatysime dvikampio kampo, kurį sudaro plokštumos q ir l, tiesinį kampą.

Išlenktos linijos. Specialūs lenktų linijų taškai.

Sudėtingame kreivės brėžinyje specialūs jos taškai, įskaitant vingio, grįžimo, lūžio ir mazgo taškus, taip pat yra specialūs jos projekcijos taškai. Tai paaiškinama tuo, kad vienetiniai taškai kreivės šiuose taškuose yra sujungtos su liestinėmis.

Jei kreivės plokštuma užima išsikišimo padėtį (2 pav.). A), tada viena šios kreivės projekcija turi tiesios linijos formą.

Erdvinei kreivei visos jos projekcijos yra lenktos linijos (1 pav.). b).

Norint iš brėžinio nustatyti, kuri kreivė duota (plokštuma ar erdvinė), reikia išsiaiškinti, ar visi kreivės taškai priklauso tai pačiai plokštumai. Nurodyta pav. b kreivė yra erdvinė, nes taškas D kreivė nepriklauso kitų trijų taškų apibrėžtai plokštumai A, B Ir Eši kreivė.

Apskritimas - antros eilės plokštumos kreivė, kurios stačiakampė projekcija gali būti apskritimas ir elipsė

Cilindrinė sraigtinė linija (spiralė) yra erdvinė kreivė, vaizduojanti taško, atliekančio sraigtinį judėjimą, trajektoriją.

29.Plokščios ir erdvinės lenktos linijos.

Žiūrėkite 28 klausimą

30. Kompleksinis paviršiaus braižymas. Pagrindinės nuostatos.

Paviršius – erdvėje judančių linijų nuoseklių padėčių rinkinys. Ši linija gali būti tiesi arba išlenkta ir vadinama generatrix paviršiai. Jei generatrix yra kreivė, ji gali turėti konstantą arba kintamasis vaizdas. Generatorius juda kartu vadovai, vaizduojančios kitos krypties linijas nei generatoriai. Pagalbinės linijos nustato generatorių judėjimo dėsnį. Perkeliant generatorių išilgai kreiptuvų, a rėmelis paviršius (84 pav.), kuris yra kelių nuoseklių generatricų ir kreiptuvų padėčių rinkinys. Nagrinėjant rėmą, galima įsitikinti, kad generatoriai l ir gidai T galima keisti, bet paviršius išlieka toks pat.

Bet kokį paviršių galima gauti įvairiais būdais.

Atsižvelgiant į generatrix formą, visus paviršius galima suskirstyti į valdė, kurios turi generatyvinę tiesiąją liniją ir nevaldomas, kurios turi formuojančią lenktą liniją.

Išvystomi paviršiai apima visų daugiakampių, cilindrinių, kūginių ir liemens paviršių. Visi kiti paviršiai nevystomi. Nereguliuoti paviršiai gali turėti pastovios formos generatorių (sukimosi paviršiai ir vamzdiniai paviršiai) ir kintamos formos generatorių (kanalo ir rėmo paviršiai).

Paviršius kompleksiniame brėžinyje nurodomas jo determinanto geometrinės dalies projekcijomis, nurodančiomis jo generatorių konstravimo būdą. Paviršiaus brėžinyje bet kurio erdvės taško klausimas, ar jis priklauso tam tikram paviršiui, yra vienareikšmiškai išspręstas. Grafiškai nurodant paviršiaus determinanto elementus, užtikrinamas piešinio grįžtamumas, bet ne vizualinis. Aiškumo dėlei jie pasitelkia gana tankaus generatricų rėmo projekcijas ir paviršiaus kontūrines linijas (86 pav.). Projektuojant paviršių Q į projekcijos plokštumą, projektuojantys spinduliai liečia šį paviršių taškuose, sudarydami tam tikrą liniją. l, kuris vadinamas kontūras linija. Kontūro linijos projekcija vadinama esė paviršiai. Sudėtingame brėžinyje bet koks paviršius turi: P 1 - horizontalus kontūras, ant P 2 - priekinis kontūras, ant P 3 - profilio paviršiaus kontūras. Eskizas, be kontūro linijos projekcijų, apima ir pjūvio linijų projekcijas.

Figūros projekcijos į plokštumą samprata

Norėdami pristatyti kampo tarp linijos ir plokštumos sąvoką, pirmiausia turite suprasti tokią sąvoką kaip savavališkos figūros projekcija į plokštumą.

1 apibrėžimas

Duokite mums savavališką tašką $A$. Taškas $A_1$ vadinamas taško $A$ projekcija į plokštumą $\alpha $, jei jis yra statmens, nubrėžto iš taško $A$ į plokštumą $\alpha $, pagrindas (1 pav.).

1 pav. Taško projekcija į plokštumą

2 apibrėžimas

Pateikiame savavališką skaičių $F$. Figūra $F_1$ vadinama figūros $F$ projekcija į plokštumą $\alpha $, sudaryta iš visų figūros $F$ taškų projekcijų į plokštumą $\alpha $ (2 pav.).

2 pav. Figūros projekcija į plokštumą

1 teorema

Projekcija, kuri nėra statmena tiesės plokštumai, yra tiesė.

Įrodymas.

Duokime plokštumą $\alpha $ ir ją kertančią tiesę $d$, o ne jai statmeną. Pažymime tašką $M$ tiesėje $d$ ir nubrėžkime jo projekciją $H$ į plokštumą $\alpha $. Per tiesę $(MH)$ nubrėžiame plokštumą $\beta $. Akivaizdu, kad ši plokštuma bus statmena $\alpha $ plokštumai. Tegul jie susikerta išilgai tiesės $m$. Pasvarstykime savavališkas taškas$M_1$ tiesės $d$ ir per ją nubrėžkite tiesę $(M_1H_1$), lygiagrečią tiesei $(MH)$ (3 pav.).

3 pav.

Kadangi plokštuma $\beta $ yra statmena plokštumai $\alpha $, tai $M_1H_1$ yra statmena tiesei $m$, tai yra, taškas $H_1$ yra taško $M_1$ projekcija į plokštumą $\alpha $. Dėl taško $M_1$ pasirinkimo savavališkumo visi tiesės $d$ taškai projektuojami į tiesę $m$.

Samprotavimas panašiai. IN atvirkštine tvarka, gausime, kad kiekvienas taškas tiesėje $m$ yra tam tikro taško projekcija tiesėje $d$.

Tai reiškia, kad eilutė $d$ projektuojama į tiesę $m$.

Teorema įrodyta.

Kampo tarp tiesės ir plokštumos samprata

3 apibrėžimas

Kampas tarp tiesės, kertančios plokštumą, ir jos projekcijos į šią plokštumą vadinamas kampu tarp tiesės ir plokštumos (4 pav.).

4 pav. Kampas tarp tiesės ir plokštumos

Padarykime čia keletą pastabų.

1 pastaba

Jei tiesė statmena plokštumai. Tada kampas tarp tiesės ir plokštumos yra $90^\circ$.

2 pastaba

Jei tiesė lygiagreti arba yra plokštumoje. Tada kampas tarp tiesės ir plokštumos yra $0^\circ$.

Pavyzdinės problemos

1 pavyzdys

Pateikiame lygiagretainį $ABCD$ ir tašką $M$, kuris nėra lygiagretainio plokštumoje. Įrodykite, kad trikampiai $AMB$ ir $MBC$ yra stačiakampiai, jei taškas $B$ yra taško $M$ projekcija į lygiagretainio plokštumą.

Įrodymas.

Pavaizduokime problemos sąlygą paveiksle (5 pav.).

5 pav.

Kadangi taškas $B$ yra taško $M$ projekcija į plokštumą $(ABC)$, tai tiesė $(MB)$ yra statmena plokštumai $(ABC)$. Pagal 1 pastabą matome, kad kampas tarp tiesės $(MB)$ ir plokštumos $(ABC)$ yra lygus $90^\circ$. Vadinasi

\[\angle MBC=MBA=(90)^0\]

Tai reiškia, kad trikampiai $AMB$ ir $MBC$ yra stačiakampiai.

2 pavyzdys

Duotas lėktuvas $\alpha $. Į šią plokštumą kampu $\varphi $ nubrėžta atkarpa, kurios pradžia yra šioje plokštumoje. Šio segmento projekcija yra perpus mažesnė už paties segmento dydį. Raskite $\varphi$ reikšmę.

Sprendimas.

Apsvarstykite 6 pav.

6 pav.

Pagal sąlygas turime

Kadangi trikampis $BCD$ yra stačiakampis, tai pagal kosinuso apibrėžimą

\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]