Taikykime orientacinį vektorių
iki taško
. Atstumas nuo taško
į tiesią liniją yra lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, aukštis Ir
. Raskime lygiagretainio plotą naudodami kryžminę sandaugą:

Iš kitos pusės,. Iš paskutinių dviejų santykių dešiniųjų pusių lygybės išplaukia, kad

. (3.27)

3.10. Elipsoidas

Apibrėžimas. Elipsoidas yra antros eilės paviršius, kurį tam tikroje koordinačių sistemoje apibrėžia lygtis

. (3.28)

Lygtis (3.28) vadinama elipsoido kanonine lygtimi.

Iš (3.28) lygties matyti, kad koordinačių plokštumos yra elipsoido simetrijos plokštumos, o koordinačių pradžia yra simetrijos centras. Skaičiai
vadinamos elipsoido pusiau ašimis ir žymi atkarpų ilgį nuo pradžios iki elipsoido susikirtimo su koordinačių ašimis. Elipsoidas yra apribotas paviršius, uždarytas gretasienyje
,
,
.

Nustatykime geometrinę elipsoido formą. Norėdami tai padaryti, išsiaiškinkime jo plokštumų, lygiagrečių koordinačių ašims, susikirtimo linijų formą.

Tiksliau apsvarstykite elipsoido ir plokštumų susikirtimo linijas
, lygiagrečiai plokštumai
. Sankirtos linijos projekcijos į plokštumą lygtis
gaunamas iš (3.28), jei įdedame
. Šios projekcijos lygtis yra

. (3.29)

Jeigu
, tada (3.29) yra įsivaizduojamos elipsės ir elipsoido susikirtimo su plokštuma taškų lygtis
Nr. Iš to išplaukia
. Jeigu
, tada tiesė (3.29) išsigimsta į taškus, t.y. plokštumas
palieskite elipsoidą taškuose
Ir
. Jeigu
, Tai
ir galite įvesti užrašą

,
. (3.30)

Tada (3.29) lygtis įgauna formą

, (3.31)

y., projekcija į plokštumą
elipsoido ir plokštumos susikirtimo linijos
yra elipsė su pusiau ašimis, kurias lemia lygybės (3.30). Kadangi paviršiaus susikirtimo su koordinačių plokštumoms lygiagrečiomis plokštumomis linija yra projekcija „pakelta“ į aukštį , tada pati susikirtimo linija yra elipsė.

Mažinant vertę ašių velenai Ir padidinti ir pasiekti didžiausią vertę
, t.y. elipsoido pjūvyje pagal koordinačių plokštumą
gaunama didžiausia elipsė su pusiau ašimis
Ir
.

Elipsoido idėją galima gauti kitu būdu. Pagalvokite apie lėktuvą
elipsių šeima (3.31) su pusiau ašimis Ir , apibrėžtas ryšiais (3.30) ir priklausomai nuo . Kiekviena tokia elipsė yra lygio linija, tai yra linija, kurios kiekviename taške yra reikšmė tas pats. Kiekvienos tokios elipsės „pakėlimas“ į aukštį , gauname erdvinį elipsoido vaizdą.

Panašus vaizdas gaunamas, kai tam tikrą paviršių kerta plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumoms
Ir
.

Taigi elipsoidas yra uždaras elipsinis paviršius. Tuo atveju
Elipsoidas yra rutulys.

Elipsoido susikirtimo su bet kuria plokštuma linija yra elipsė, nes tokia linija yra ribota antros eilės linija, o vienintelė ribota antros eilės linija yra elipsė.

\(\blacktriangleright\) Kampas tarp linijos ir plokštumos yra kampas tarp linijos ir jos projekcijos į šią plokštumą (t. y. tai kampas \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).

\(\blacktriangleright\) Norėdami rasti kampą tarp tiesės \(a\) ir plokštumos \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)), jums reikia:

1 veiksmas: iš kurio nors taško \(A\in a\) nubrėžkite statmeną \(AO\) į plokštumą \(\phi\) (\(O\) yra statmeno pagrindas);

2 veiksmas: tada \(BO\) yra pasvirusios \(AB\) projekcija į plokštumą \(\phi\) ;

3 veiksmas: Tada kampas tarp tiesės \(a\) ir plokštumos \(\phi\) yra lygus \(\kampas ABO\) .

1 užduotis #2850

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Tiesi linija \(l\) kerta plokštumą \(\alpha\) . Tiesėje \(l\) pažymėta atkarpa \(AB=25\) ir žinoma, kad šios atkarpos projekcija į plokštumą \(\alpha\) lygi \(24\) . Raskite kampo tarp tiesės \(l\) ir plokštumos \(\alpha\) sinusą

Pažiūrėkime į paveikslėlį:

Tegul \(A_1B_1=24\) yra \(AB\) projekcija į plokštumą \(\alpha\), o tai reiškia \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . Kadangi dvi plokštumai statmenos linijos yra toje pačioje plokštumoje, tai \(A_1ABB_1\) – stačiakampė trapecija. Atlikime \(AH\perp BB_1\) . Tada \(AH=A_1B_1=24\) . Todėl pagal Pitagoro teoremą \ Taip pat pažymime, kad kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp tiesės ir jos projekcijos į plokštumą, todėl norimas kampas yra kampas tarp \(AB\) ir \(A_1B_1 \) . Kadangi \(AH\lygiagreti A_1B_1\) , kampas tarp \(AB\) ir \(A_1B_1\) yra lygus kampui tarp \(AB\) ir \(AH\) .
Tada \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0,28.\]

Atsakymas: 0,28

2 užduotis #2851

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

\(ABC\) – taisyklingas trikampis su kraštine \(3\) , \(O\) yra taškas, esantis už trikampio plokštumos, o \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Raskite kampą, kurį sudaro tiesės \(OA, OB, OC\) su trikampio plokštuma. Atsakymą pateikite laipsniais.

Nubrėžkime statmeną \(OH\) ​​trikampio plokštumai.

Pasvarstykime \(\trikampis OAH, \trikampis OBH, \trikampis OCH\). Jie yra stačiakampiai ir vienodi kojos ir hipotenuzės. Todėl \(AH=BH=CH\) . Tai reiškia, kad \(H\) yra taškas, esantis tokiu pat atstumu nuo trikampio \(ABC\) viršūnių. Vadinasi, \(H\) yra aplink jį apibrėžto apskritimo centras. Kadangi \(\trikampis ABC\) yra teisingas, tai \(H\) yra medianų (jie taip pat yra aukščiai ir pusiausvyros) susikirtimo taškas.
Kadangi kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp tiesės ir jos projekcijos į šią plokštumą, o \(AH\) yra \(AO\) projekcija į trikampio plokštumą, tai kampas tarp \( AO\) o trikampio plokštuma lygi \( \kampas OAH\) .
Tegul \(AA_1\) yra \(\trikampio ABC\) mediana, todėl \ Kadangi medianos dalijamos iš susikirtimo taško santykiu \(2:1\) , skaičiuojant nuo viršūnės, tada \ Tada iš stačiakampio \(\trikampis OAH\): \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]

Atkreipkite dėmesį, kad iš trikampių lygybės \(OAH, OBH, OCH\) išplaukia, kad \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\).

Atsakymas: 60

3 užduotis #2852

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Tiesi linija \(l\) yra statmena plokštumai \(\pi\) . Tiesė \(p\) nėra plokštumoje \(\pi\) ir nėra lygiagreti jai, taip pat nėra lygiagreti tiesei \(l\). Raskite kampų tarp tiesių \(p\) ir \(l\) ir tarp tiesės \(p\) ir plokštumos \(\pi\) sumą. Atsakymą pateikite laipsniais.

Iš sąlygos išplaukia, kad tiesė \(p\) kerta plokštumą \(\pi\) . Tegu \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .

Tada \(\kampas POL\) yra kampas tarp linijų \(p\) ir \(l\) .
Kadangi kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp linijos ir jos projekcijos į šią plokštumą, \(\angle OPL\) yra kampas tarp \(p\) ir \(\pi\) . Atminkite, kad \(\triangle OPL\) yra stačiakampis su \(\angle L=90^\circ\) . Nuo sumos aštrūs kampai stačiakampis trikampis yra lygus \(90^\circ\) , tada \(\angle POL+\angle OPL=90^\circ\).

komentuoti.
Jei tiesė \(p\) nesikerta su tiese \(l\), tada nubrėžiame liniją \(p"\lygiagreti p\), kertančią \(l\). Tada kampas tarp linijos \(p\) ) ir \(l\ ) bus lygus kampui tarp \(p"\) ir \(l\) . Panašiai kampas tarp \(p\) ir \(\pi\) bus lygus kampui tarp \(p"\) ir \(\pi\). Tiesiai \(p"\) ankstesnis sprendimas jau teisingas.

Atsakymas: 90

4 užduotis #2905

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kub. Taškas \(N\) yra briaunos \(BB_1\) vidurio taškas, o taškas \(M\) yra atkarpos \(BD\) vidurio taškas. Raskite \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) , kur \(\alpha\) yra kampas tarp linijos, kurioje yra \(MN\) ir plokštumos \((A_1B_1C_1D_1)\) . Atsakymą pateikite laipsniais.

\(NM\) – vidurio linija trikampyje \(DBB_1\) , tada \(NM \parallel B_1D\) ir \(\alpha\) yra lygus kampui tarp \(B_1D\) ir plokštumos \((A_1B_1C_1D_1)\) .

Kadangi \(DD_1\) yra statmena plokštumai \(A_1B_1C_1D_1\) , tai \(B_1D_1\) yra \(B_1D\) projekcija į plokštumą \((A_1B_1C_1D_1)\) ir kampas tarp \(B_1D\) ) ir plokštuma \( (A_1B_1C_1D_1)\) yra kampas tarp \(B_1D\) ir \(B_1D_1\) .

Tegul kubo kraštas yra \(x\), tada pagal Pitagoro teoremą \ Trikampyje \(B_1D_1D\) kampo tarp \(B_1D\) ir \(B_1D_1\) liestinė yra lygi \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), kur \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).

Atsakymas: 0,5

5 užduotis #2906

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kub. Taškas \(N\) yra briaunos \(BB_1\) vidurys, o taškas \(M\) padalija atkarpą \(BD\) santykiu \(1:2\), skaičiuojant nuo viršūnės \(B\) . Raskite \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) , kur \(\alpha\) yra kampas tarp linijos, kurioje yra \(MN\) ir plokštumos \((ABC)\) . Atsakymą pateikite laipsniais.

Kadangi \(NB\) yra \(BB_1\) ir \(BB_1\perp (ABC)\) dalis, tai taip pat yra \(NB\perp (ABC)\) . Todėl \(BM\) yra \(NM\) projekcija į plokštumą \((ABC)\) . Tai reiškia, kad kampas \(\alpha\) yra lygus \(\angle NMB\) .

Tegul kubo briauna lygi \(x\) . Tada \(NB=0,5x\) . Pagal Pitagoro teoremą \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . Kadangi pagal sąlygą \(BM:MD=1:2\) , tada \(BM=\frac13BD\) , vadinasi, \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .

Tada iš stačiakampio \(\trikampis NBM\): \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]

Atsakymas: 8

6 užduotis #2907

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Kam lygus \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\), jei \(\alpha\) yra kubo įstrižainės pasvirimo kampas į vieną iš jo paviršių?

Norimas kampas sutaps su kampu tarp kubo įstrižainės ir bet kurio jo paviršiaus įstrižainės, nes V šiuo atveju kubo įstrižainė bus pasvirusi, veido įstrižainė bus šio pasvirusio veido projekcija į plokštumą. Taigi norimas kampas bus lygus, pavyzdžiui, kampui \(C_1AC\) . Jei kubo kraštą pažymėsime \(x\), tada \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), tada norimo kampo kotangento kvadratas: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]

Atsakymas: 2

7 užduotis #2849

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
Pagal Pitagoro teoremą \ Vadinasi, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\] Kadangi \(OH\perp (ABC)\), tada \(OH\) ​​yra statmena bet kuriai tiesei iš šios plokštumos, o tai reiškia, kad \(\trikampis OAH\) yra stačiakampis. Tada \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0.4.\]

Atsakymas: 0,4

Gimnazistams, besiruošiantiems vieningam valstybiniam matematikos egzaminui, pravers išmokti susidoroti su užduotimis iš skyriaus „Geometrija erdvėje“, kuriose reikia rasti kampą tarp tiesės ir plokštumos. Tą rodo ankstesnė patirtis panašias užduotis sukelti tam tikrų sunkumų absolventams. Tuo pačiu žinok pagrindinė teorija o aukštųjų mokyklų studentai, turintys bet kokį išsilavinimą, turėtų suprasti, kaip rasti kampą tarp tiesės ir plokštumos. Tik tokiu atveju jie gali tikėtis gausių taškų.

Pagrindiniai niuansai

Kaip ir kiti stereometriniai Vieningo valstybinio egzamino užduotys, užduotis, kuriose reikia rasti kampus ir atstumus tarp tiesių ir plokštumų, galima išspręsti dviem būdais: geometriniu ir algebriniu. Mokiniai gali pasirinkti jiems patogiausią variantą. Pagal geometrinis metodas, reikia rasti tinkamą tiesės tašką, nuleisti iš jo statmeną į plokštumą ir sukonstruoti projekciją. Po to absolventas turės taikyti tik pagrindinį teorinių žinių ir išspręsti planimetrinę kampo skaičiavimo užduotį. Algebrinis metodas apima koordinačių sistemos įvedimą norimam kiekiui rasti. Būtina nustatyti dviejų tiesės taškų koordinates, teisingai sudaryti plokštumos lygtį ir ją išspręsti.

Efektyvus pasiruošimas su Shkolkovo

Kad pamokos būtų lengvos ir lygios sunkių užduočių nesukėlė jokių sunkumų, rinkitės mūsų edukacinis portalas. Viskas čia pateikta reikalingos medžiagos Už sėkmingas užbaigimas sertifikavimo testas. Teisingas pagrindinė informacija rasite skiltyje „Teorinė informacija“. O norėdami pasipraktikuoti atlikti užduotis, tiesiog eikite į mūsų matematinio portalo „Katalogą“. Šiame skyriuje yra didelis pratimų pasirinkimas įvairaus laipsnio sudėtingumo. Kataloge reguliariai pasirodo naujos užduotys.

Atlikite užduotis ieškant kampo tarp tiesės ir plokštumos arba rusų moksleivių gali internetu, būdamas Maskvoje ar kitame mieste. Jei mokinys pageidauja, bet kurį pratimą galima įrašyti į „Mėgstamiausius“. Tai prireikus leis greitai jį surasti ir aptarti su mokytoju jo sprendimo eigą.

KAMPAS TARP PLOKTUMU

Apsvarstykite dvi plokštumas α 1 ir α 2, atitinkamai apibrėžtas lygtimis:

Pagal kampu tarp dviejų plokštumų suprasime vieną iš šių plokštumų suformuotų dvikampių kampų. Akivaizdu, kad kampas tarp normaliųjų vektorių ir plokštumų α 1 ir α 2 yra lygus vienam iš nurodytų gretimų dvikampių kampų arba . Štai kodėl . Nes Ir , Tai

.

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp plokštumų x+2y-3z+4 = 0 ir 2 x+3y+z+8=0.

Dviejų plokštumų lygiagretumo sąlyga.

Dvi plokštumos α 1 ir α 2 yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų normalieji vektoriai yra lygiagrečios, todėl .

Taigi dvi plokštumos yra lygiagrečios viena kitai tada ir tik tada, kai atitinkamų koordinačių koeficientai yra proporcingi:

arba

Plokštumų statmenumo sąlyga.

Akivaizdu, kad dvi plokštumos yra statmenos tada ir tik tada, kai jų normalūs vektoriai yra statmeni, todėl arba .

Taigi,.

Pavyzdžiai.

TIESIAI ERDVĖJE.

VEKTORINĖ LYGTIS LINIJAI.

PARAMETRINĖS TIESIOGINĖS LYGTYBĖS

Linijos padėtis erdvėje visiškai nustatoma nurodant bet kurį iš jos fiksuotų taškų M 1 ir vektorius, lygiagretus šiai tiesei.

Vadinamas vektorius, lygiagretus tiesei vedliaišios linijos vektorius.

Taigi tegul tiesi linija l eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1), guli ant tiesės, lygiagrečios vektoriui .

Pasvarstykime savavališkas taškas M(x,y,z) tiesioje linijoje. Iš paveikslo aišku, kad.

Vektoriai ir yra kolineariniai, todėl yra toks skaičius t, kas , kur yra daugiklis t gali priimti bet kurį skaitinė reikšmė priklausomai nuo taško padėties M tiesioje linijoje. faktorius t vadinamas parametru. Nurodę taškų spindulio vektorius M 1 ir M atitinkamai per ir , gauname . Ši lygtis vadinama vektorius tiesios linijos lygtis. Tai rodo, kad kiekvienai parametro vertei t atitinka kurio nors taško spindulio vektorių M, gulėti ant tiesios linijos.

Parašykime šią lygtį koordinačių forma. Atkreipkite dėmesį, kad , ir iš čia

Gautos lygtys vadinamos parametrinis tiesės lygtys.

Keičiant parametrą t keičiasi koordinatės x, y Ir z ir laikotarpis M juda tiesia linija.

KANONINĖS TIESIOGINĖS LYGTYBĖS

Leiskite M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – taškas, esantis tiesioje linijoje l, Ir yra jo krypties vektorius. Vėl paimkime savavališką linijos tašką M(x,y,z) ir apsvarstykite vektorių .

Akivaizdu, kad vektoriai taip pat yra kolinearūs, todėl jų atitinkamos koordinatės turi būti proporcingos, todėl

– kanoninis tiesės lygtys.

1 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad kanonines linijos lygtis galima gauti iš parametrinių, pašalinus parametrą t. Iš tikrųjų iš parametrinių lygčių gauname arba .

Pavyzdys. Užrašykite linijos lygtį parametrine forma.

Pažymėkime , iš čia x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2 pastaba. Tegul linija yra statmena vienai iš koordinačių ašys, pavyzdžiui, kirviai Jautis. Tada tiesės krypties vektorius yra statmenas Jautis, vadinasi, m=0. Vadinasi, linijos parametrinės lygtys įgis tokią formą

Parametrų neįtraukimas iš lygčių t, gauname formos tiesės lygtis

Tačiau ir šiuo atveju sutinkame formaliai rašyti kanonines tiesės lygtis formoje . Taigi, jei vienos iš trupmenų vardiklis yra lygus nuliui, tai reiškia, kad tiesė yra statmena atitinkamai koordinačių ašiai.

Lygiai taip pat kanonines lygtis atitinka ašims statmeną tiesę Jautis Ir Oy arba lygiagrečiai ašiai Ozas.

Pavyzdžiai.

BENDROSIOS TIESĖS LYGTYBĖS KAIP DVIEJŲ PLOKŠTUMŲ SANTRAUKOS LINĖS

Per kiekvieną tiesią erdvę erdvėje yra daugybė plokštumų. Bet kurios dvi iš jų, susikertančios, apibrėžia ją erdvėje. Vadinasi, bet kurių dviejų tokių plokštumų lygtys, nagrinėtos kartu, atspindi šios linijos lygtis.

Apskritai bet kurie du nėra lygiagrečios plokštumos, pateiktos bendromis lygtimis

nustatyti tiesią jų susikirtimo liniją. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesioginis.

Pavyzdžiai.

Sukurkite tiesę, kurią pateikia lygtys

Norint sukurti tiesią liniją, pakanka rasti bet kuriuos du jos taškus. Lengviausias būdas yra pasirinkti linijos susikirtimo taškus su koordinačių plokštumos. Pavyzdžiui, susikirtimo su plokštuma taškas xOy gauname iš tiesės lygčių, darydami prielaidą z= 0:

Išsprendę šią sistemą, randame esmę M 1 (1;2;0).

Panašiai, darant prielaidą y= 0, gauname tiesės susikirtimo su plokštuma tašką xOz:

Iš bendrųjų tiesės lygčių galima pereiti prie jos kanoninės arba parametrines lygtis. Norėdami tai padaryti, turite rasti tam tikrą tašką M 1 tiesėje ir tiesės krypties vektorius.

Taško koordinatės M 1 gauname iš šios lygčių sistemos, suteikdami vienai iš koordinačių savavališką reikšmę. Norėdami rasti krypties vektorių, atkreipkite dėmesį, kad šis vektorius turi būti statmenas abiem normaliesiems vektoriams Ir . Todėl už tiesės krypties vektoriaus l tu gali pasiimti vektorinis produktas normalūs vektoriai:

.

Pavyzdys.Švinas bendrosios lygtys tiesioginis į kanoninę formą.

Raskime tašką, esantį ant linijos. Norėdami tai padaryti, savavališkai pasirenkame vieną iš koordinačių, pavyzdžiui, y= 0 ir išspręskite lygčių sistemą:

Tiesę apibrėžiančių plokštumų normalieji vektoriai turi koordinates Todėl krypties vektorius bus tiesus

. Vadinasi, l: .

KAMPAS TARP TIESIŲ

Kampas tarp tiesių erdvėje vadinsime bet kurį iš gretimų kampų, sudarytų iš dviejų tiesių, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.

Tegu erdvėje pateikiamos dvi eilutės:

Akivaizdu, kad kampas φ tarp tiesių gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir . Nuo tada, naudojant kampo tarp vektorių kosinuso formulę, gauname