a параметрийн утга бүрийн хувьд | тэгш бус байдлыг шийднэ 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2 .

Эхлээд туслах асуудлыг шийдье. Ингээд авч үзье энэ тэгш бус байдал x x ба a гэсэн хоёр хувьсагчтай тэгш бус байдал гэж үзээд дээр дүрсэл координатын хавтгай x O a xOa координатууд нь тэгш бус байдлыг хангадаг бүх цэгүүд.

Хэрэв 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (жишээ нь шулуун шугам дээр a = - 2 x a=-2x ба түүнээс дээш) байвал бид 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a болно. \leq x+2 \Зүүн баруун сум a \leq 2-x .

Багцыг Зураг дээр үзүүлэв. 11.

Одоо энэ зургийг ашиглан анхны асуудлыг шийдье. Хэрэв бид a a -г засвал хэвтээ шугам гарч ирнэ a = const a = \textrm(const) . X x-ийн утгыг тодорхойлохын тулд тэгш бус байдлын шийдлийн багцтай энэ шугамын огтлолцох цэгүүдийн абсциссыг олох хэрэгтэй. Жишээлбэл, хэрэв a = 8 a=8 бол тэгш бус байдал нь шийдэлгүй (шулуун шугам нь олонлогийг огтолдоггүй); хэрэв a = 1 a=1 , тэгвэл шийдлүүд нь [ - 1 ; 1 ] [-1;1] гэх мэт. Тэгэхээр гурван сонголт байж болно.

1) Хэрэв $$a>4$$ бол шийдэл байхгүй.

2) Хэрэв a = 4 a=4 бол x = - 2 x=-2 болно.

ХАРИУЛТ

$$a-д

хувьд a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ;

$$a>4$$-д - шийдэл байхгүй.

$$3-|x-a| тэгш бус байдал үүсэх a a параметрийн бүх утгыг ол > x^2$$ a) дор хаяж нэг шийдэлтэй; б) дор хаяж нэг эерэг шийдэлтэй байна.

Тэгш бус байдлыг $$3-x^2 > |x-a)$$ хэлбэрээр дахин бичье. Зүүн ба графикуудыг байгуулъя зөв хэсгүүдхавтгай дээр x O y xOy . Зүүн талын график нь орой нь (0; 3) (0;3) цэг дээр доошоо чиглэсэн салбаруудтай парабол юм. График нь x тэнхлэгийг (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) цэгээр огтолж байна. Баруун талын график нь х тэнхлэг дээрх оройтой өнцөг бөгөөд талууд нь координатын тэнхлэгүүд рүү 45 ° 45^(\circ) өнцгөөр дээш чиглэсэн байна. Оройн абсцисса нь x = a x=a цэг юм.

a) Тэгш бус байдал дор хаяж нэг шийдэлтэй байхын тулд дор хаяж нэг цэгт парабол y = | графикаас дээш байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. x - a | y=|x-a| . Хэрэв булангийн орой нь абсцисса тэнхлэгийн A A ба B B цэгүүдийн хооронд орвол үүнийг хийнэ (12-р зургийг үз - A A ба B B цэгүүдийг оруулаагүй болно). Тиймээс өнцгийн аль нэг мөчир нь параболд хүрч буй оройн аль байрлалд байгааг тодорхойлох шаардлагатай.

Булангийн орой нь А цэг дээр байх тохиолдлыг авч үзье. Дараа нь өнцгийн баруун салбар параболд хүрнэ. Түүний налуу нэгтэй тэнцүү. Энэ нь шүргэгч цэг дээрх y = 3 - x 2 y = 3-x^2 функцын дериватив нь 1 1-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл - 2 x = 1 -2x=1, үүнээс x = - 1 2 x гэсэн үг юм. = -\frac( 1)(2) . Тэгвэл шүргэгч цэгийн ординат нь y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . (- 1 2 ; 11 4) (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) өнцгийн коэффициент k = 1 k=1, координаттай цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл. ) нь дараах * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

Энэ бол булангийн баруун салааны тэгшитгэл юм. Х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсцисса нь - 13 4 -\frac(13)(4)-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл А А цэг нь A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4) координаттай байна. 0); Тэгш хэмийн шалтгааны улмаас В цэг нь координаттай байна: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

Эндээс бид a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) гэдгийг олж авна.

b) Хэрэв булангийн орой нь F F ба B B цэгүүдийн хооронд байвал тэгш бус байдал эерэг шийдлүүдтэй байна (13-р зургийг үз). F F цэгийн байрлалыг олоход хэцүү биш: хэрэв булангийн орой нь F F цэг дээр байвал түүний баруун салаа (y = x - a y = x-a тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугам (0; 3) цэгээр дамжин өнгөрдөг. ) (0;3) эндээс a = - 3 a=-3 ба F F цэг нь координаттай (- 3 ; 0) (-3;0) тул a ∈ (- 3 ; 13 4) байна \in (-3; \frac(13)(4) ) .

ХАРИУЛТ

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3) ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) ;

* {\!}^* Ашигтай томъёо:

- \-- (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) цэгийг дайран өнгөрч, k k өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамыг y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= тэгшитгэлээр тодорхойлно. k(x-x_0) ;

- \-- (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) ба (x 1 ; y 1) (x_1;y_1) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын өнцгийн коэффициент, энд x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1, k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) томъёогоор тооцоолно.

Сэтгэгдэл.Хэрэв та y = k x + l y=kx+l шулуун ба парабол y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c хүрэх параметрийн утгыг олох шаардлагатай бол та дараахыг бичиж болно. k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c тэгшитгэл нь яг нэг шийдэлтэй байх нөхцөл бол өнцгийн орой болох a a параметрийн утгыг олох өөр арга юм A цэг дээр байгаа нь дараах байдалтай байна: тэгшитгэл x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 нь яг нэг шийдэлтэй ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Зүүн баруун сум D = 1 + 4(a+3) = 0 \Зүүн баруун сум a = -\ dfrac(13)(4) .

Ийм байдлаар дурын графикт шугам хүрэх нөхцөлийг бичих боломжгүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, y = 3 x - 2 y = 3x - 2 шулуун нь куб парабол y = x 3 y=x^3 (1 ; 1) (1;1) цэгт хүрч, (-) цэг дээр огтлолцоно. 2 ; - 8) (-2;-8), өөрөөр хэлбэл x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй байна.

a a параметрийн бүх утгыг ол, тэдгээрийн хувьд тэгшитгэл (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 нь a) яг хоёр ялгаатай үндэстэй; б) яг гурван өөр үндэс.

25-р жишээнтэй ижил зүйлийг хийцгээе. Энэ тэгшитгэлийн шийдүүдийн багцыг x O a xOa хавтгай дээр дүрсэлцгээе. Энэ нь хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байна:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 нь мөчир нь дээш, орой нь (- 2 ; - 1) (-2;-1) цэг дээр байгаа өнцөг юм.

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - энэ нь дээшээ салбарласан, орой нь (- 2 ; - 3) (-2;-3) цэгт байрладаг парабол юм. Зураг үзнэ үү. 14.

Бид хоёр графикийн огтлолцох цэгүүдийг олдог. Өнцгийн баруун салаа нь y = x + 1 y=x+1 тэгшитгэлээр өгөгдөнө. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

бид x = 0 x=0 эсвэл x = - 3 x=-3 болохыг олж мэднэ. Зөвхөн x = 0 x=0 утга тохиромжтой (баруун салааны хувьд x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0 учраас). Дараа нь a = 1 a=1 . Үүний нэгэн адил бид хоёр дахь уулзварын цэгийн координатуудыг олдог - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

Анхны асуудал руугаа буцъя. Тэгшитгэл нь хэвтээ шугам нь a = const a=\textrm(const) тэгшитгэлийн шийдүүдийн багцыг хоёр цэгээр огтолж байгаа a a-ийн хувьд яг хоёр шийдтэй байна. Графикаас харахад энэ нь ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) -ийн хувьд үнэн болохыг харж байна. Яг гурван шийдэл байх болно гурван тохиолдологтлолцох цэгүүд бөгөөд энэ нь зөвхөн a = - 1 a=-1 үед л боломжтой.

ХАРИУЛТ

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) ;      

a\in (-3;-1)\bigcup\(1\);\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .

$$\эхлэх(тохиолдол) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(тохиолдол) $$

яг нэг шийдэлтэй.

Эхний тэгш бус байдлыг a = - x 2 + x a = -x^2+x ба түүний доор байрлах цэгүүд, хоёр дахь нь a = x 2 + 6 x 6 a = парабол дээр байрлах цэгүүдээр хангагдана. \dfrac(x^2 +6x)(6) ба түүнээс дээш. Бид параболын орой ба тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийн координатыг олж, дараа нь графикийг байгуулна. Эхний параболын дээд хэсэг нь (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), хоёр дахь параболын орой нь (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac( 1)(6)), огтлолцох цэгүүд нь (0 ; 0) (0;0) ба (4 7 ; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12) )(49)). Системийг хангасан цэгүүдийн багцыг Зураг дээр үзүүлэв. 15. a = 0 a=0 ба a = тохиолдолд хэвтээ шугам a = const a=\textrm(const) нь энэ олонлогтой яг нэг нийтлэг цэгтэй (энэ нь систем яг нэг шийдэлтэй гэсэн үг) байгааг харж болно. 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

ХАРИУЛТ

A = 0 ,  a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)

Хай хамгийн бага утгапараметр a a , тус бүрийн хувьд систем

$$\эхлэх(тохиолдол) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \төгсгөх(тохиолдол) $$

өвөрмөц шийдэлтэй.

Эхний тэгшитгэлийг өөрчилье. бүрэн квадратуудыг тодруулах:

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1.      

18 (x^2- 2\sqrt(3)ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \Зүүн баруун сум (x-a\sqrt(3))^2+(y-1)^2 =1. \:\:\:\зүүн(18\баруун) Дургүйөмнөх ажлууд Энд x O y xOy хавтгай дээрх зургийг дүрслэх нь дээр ("хувьсагч - параметр" хавтгай дахь зургийг ихэвчлэн нэг хувьсагч ба нэг параметртэй асуудлуудад ашигладаг - үр дүн нь хавтгай дээрх олонлог юм. Энэ бодлогод Бид хоёр хувьсагч ба параметртэй харьцаж байна (x; y; a) (x;y;a)-ийн багцыг зургурван хэмжээст орон зай - Энэхэцүү даалгавар

; Үүнээс гадна ийм зураг нь харагдахуйц байх магадлал багатай). Тэгшитгэл (18) нь радиус 1-тэй (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) төвтэй тойргийг тодорхойлно. a-ийн утгаас хамааран энэ тойргийн төв нь бөмбөрцгийн аль ч цэгт байрлаж болно. мөр y = 1 y=1.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь y = 3 | x | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 нь абсцисса тэнхлэгт 60 ° 60^(\circ) өнцгөөр талуудыг дээш өргөх өнцгийг тогтооно (шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь тэнхлэгийн шүргэгч юм. хазайлтын өнцөг tg 60 ° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)), орой нь (0; - 4) (0;-4) цэг дээр байна.Энэ систем Хэрэв тойрог нь өнцгийн аль нэгэнд хүрч байвал тэгшитгэлүүд яг нэг шийдэлтэй байна. Энэ нь боломжтойдөрвөн тохиолдол (Зураг 16): тойргийн төв нь A A, B B, C C, D D цэгүүдийн аль нэгэнд байж болно. Бид a a параметрийн хамгийн бага утгыг олох шаардлагатай тул D D цэгийн абсциссыг сонирхож байна. Ингээд авч үзье D H M D H M. D D цэгээс H M HM шулуун хүртэлх зай нь тойргийн радиустай тэнцүү тул D H = 1 DH=1 байна. Тэгэхээр D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . M M цэгийн координатыг y = 1 y=1 ба y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 ( хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатаар олно. зүүн талөнцөг).

Бид M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3)) авна. Тэгвэл D D цэгийн абсцисса нь - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( гэсэн утгатай тэнцүү байна. 7)(\ sqrt(3)) .

Тойргийн төвийн абсцисса нь a 3 a\sqrt(3) -тай тэнцүү тул a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

ХАРИУЛТ

A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

Параметрийн бүх утгыг ол a a , тус бүрийн хувьд систем

$$\эхлэх(тохиолдлууд) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \төгсгөл(тохиолдол) $$

$$\эхлэх(тохиолдол) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(тохиолдол) $$

x O y xOy хавтгай дээрх тэгш бус байдал бүрийн шийдлүүдийн багцыг дүрсэлцгээе.

Хоёр дахь тэгш бус байдлын хувьд бид төгс квадратуудыг сонгоно.

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2         (1) ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Зүүн баруун сум (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8) )^2 \:\:\:\: (19)

a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8) үед тэгш бус байдал (19) нь координаттай цэгийг (7 a ; 3 a) (7a;3a), өөрөөр хэлбэл (- 56 ; -) заана. 24) (-56;-24) . a (19)-ийн бусад бүх утгуудын хувьд радиусын (7 a ; 3 a) (7a;3a) цэг дээр төвлөрсөн тойргийг тодорхойлно | a + 8 | |a+8| .

Эхний тэгш бус байдлыг авч үзье.
1) сөрөг a-ийн хувьд шийдэл байхгүй. Энэ нь системд ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

2) Хэрэв a = 0 a=0 бол 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0 шулуун шугамыг авна. Хоёр дахь тэгш бус байдлаас бид 8 радиустай (0; 0) (0; 0) төвтэй тойрог гарч ирнэ. Нэгээс олон шийдэл байгаа нь ойлгомжтой.

3) Хэрэв $$a>0$$ бол энэ тэгш бус байдал нь давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . Энэ нь y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) 4 x + 3 y = 0 4x+ шулуунтай параллель хоёр шулуун шугамын хоорондох зурвасыг тодорхойлно. 3y=0 (Зураг 17).

Бид $$a>0$$ гэж үзэж байгаа тул тойргийн төв нь y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) шугамын эхний улиралд байрлана. Үнэн хэрэгтээ төвийн координатууд нь x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; a a-г илэрхийлж, тэнцүүлэхдээ бид x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , үүнээс у = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) болно. Систем яг нэг шийдэлтэй байхын тулд тойрог нь a 2 a_2 шулуун шугамд хүрэх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. Энэ нь тойргийн радиустай үед тохиолддог зайтай тэнцүүтойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэл a 2 a_2 . Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайны томъёоны дагуу * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

ХАРИУЛТ

A = 2 a=2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , !} тэгшитгэлээр өгөгдсөн a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Дараа нь M M цэгээс l l шулуун хүртэлх зайг ρ = | томъёогоор тодорхойлно a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac(|ax_0+bx_0+c|)(\sqrt(a^2+b^2)) .

a a параметрийн ямар утгуудад систем ажилладаг

$$\begin(тохиолдол) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \төгсгөл(тохиолдлууд)$$-д шийдэл алга уу?

Системийн эхний тэгшитгэл нь x O y xOy хавтгай дээрх A B C D ABCD квадратыг тодорхойлно (үүнийг бүтээхдээ x ≥ 0 x\geq 0 ба y ≥ 0 y\geq 0 гэж үзнэ. Дараа нь тэгшитгэл нь x + y = хэлбэрийг авна. 1 x+y=1 1-р улиралд хэвтэх шулуун шугамын нэг хэсэг болох x+y=1, дараа нь бид O x Ox тэнхлэгтэй харьцуулахад энэ сегментийг тусгана O y Oy тэнхлэгтэй харьцуулахад үүссэн олонлогийг тусгана (18-р зургийг үз). Хоёр дахь тэгшитгэл нь P Q R S PQRS квадратыг тодорхойлдог. квадраттай тэнцүү A B C D ABCD , гэхдээ (- a ; - a) (-a;-a) дээр төвлөрсөн. Зураг дээр. Жишээ болгон 18-р зурагт энэ квадратыг a = - 2 a=-2 гэж үзүүлэв. Хэрэв эдгээр хоёр квадрат огтлолцохгүй бол системд ямар ч шийдэл байхгүй.

Хэрэв P Q PQ ба B C BC сегментүүд давхцаж байвал хоёр дахь квадратын төв нь (1; 1) (1;1) цэг дээр байгааг харахад хялбар байдаг. Төв нь "дээд" ба "баруун талд", өөрөөр хэлбэл $$a1$$ байрлах a-ийн эдгээр утгууд нь бидэнд тохиромжтой.

ХАРИУЛТ

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

Системд хамаарах b b параметрийн бүх утгыг ол

$$\эхлэх(тохиолдол) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \төгсгөх(тохиолдол) $$

a-ийн дурын утгын дор хаяж нэг шийдэлтэй.

Хэд хэдэн тохиолдлыг авч үзье.

1) Хэрэв $$b2) Хэрэв b = 0 b=0 бол систем $$\begin(тохиолдол) y=x^2,\\ y=ax .\end(тохиолдол) $$ хэлбэрийг авна.

Аливаа a a-ийн хувьд (0 ; 0) (0;0) хос тоо нь энэ системийн шийдэл тул b = 0 b=0 тохиромжтой.

3) $$b>0$$-ыг засъя. Эхний тэгшитгэлийг y = x 2 - b y=x^2-b параболын O x Ox тэнхлэгт харьцангуйгаар тусгах замаар олж авсан цэгүүдийн олонлогоор хангана (Зураг 19a, b-ийг үз). Хоёр дахь тэгшитгэл нь шугамын бүлгийг тодорхойлдог (орлуулах өөр өөр утгатай a a , босоо цэгээс бусад (b ; 0) (b;0) цэгийг дайран өнгөрөх (b ; 0) (b;0) цэгийг дайран өнгөрөх бүх төрлийн шулуун шугамыг авч болно. Хэрэв (b ; 0) (b;0) цэг нь [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . абсцисса тэнхлэг, дараа нь шулуун шугам нь аль ч налуугийн хувьд эхний функцийн графикийг огтолно (Зураг 19a). Үгүй бол (Зураг 19б) ямар ч тохиолдолд огтлолцдоггүй шулуун шугам байх болно энэ хуваарь. - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) тэгш бус байдлыг шийдэж, $$b>0$$ гэдгийг харгалзан үзвэл b ∈ (0 ; 1 ] b \ -г олж авна. дотор ( 0;1] .

Бид үр дүнг нэгтгэдэг: $$b \in $$.

ХАРИУЛТ

$$b \$$-д

a -ийн бүх утгыг ол, тус бүрд нь f (x) = x 2 - | функц байна x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x хамгийн багадаа нэг цэгтэй байна.

Модулийг өргөжүүлснээр бид үүнийг олж авна

$$f(x) = \эхлэх(тохиолдол) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \төгсгөл(тохиолдлууд) $$

Хоёр интервал тус бүр дээр y = f (x) y=f(x) функцийн график нь дээшээ салбарласан парабол юм.

Дээш салбарласан параболууд нь хамгийн их цэгтэй байж чадахгүй тул цорын ганц боломж бол хамгийн их цэг нь эдгээр интервалуудын хилийн цэг болох x = a 2 x=a^2 цэг юм. Энэ үед y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 параболын орой $$x>a^2$$ интервалд тусвал дээд тал нь байх болно. параболын орой y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - $$x\lt a^2$$ интервалд (20-р зургийг үз). Энэ нөхцлийг $$2 \gt a^2$$ ба $$1 \lt a^2$$ тэгш бусуудаар өгөгдсөн бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in байна. (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

ХАРИУЛТ

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

a-ийн бүх утгыг олоорой ерөнхий шийдлүүдтэгш бус байдал

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a and y - x ≥ 2 a             (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

тэгш бус байдлын шийдэл юм

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Нөхцөл байдлыг удирдахын тулд заримдаа нэг параметрийн утгыг авч үзэх нь ашигтай байдаг. Жишээ нь, a = 0 a=0 -ын хувьд зураг зуръя. Тэгш бус байдал (20) (үнэндээ бид тэгш бус байдлын системтэй (20) харьцаж байна) B A C BAC өнцгийн цэгүүдээр хангагдана (21-р зургийг үз) - цэгүүд, тус бүр нь y = - шулуун шугамын дээр байрладаг. 2 x y=-2x ба y = x y =x (эсвэл эдгээр мөрөнд). y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) шулуунаас дээш байрлах цэгүүд (21) тэгш бус байдлыг хангана. a = 0 a=0 үед бодлогын нөхцөл хангагдахгүй байгааг харж болно.

a a параметрийг өөр утга авбал юу өөрчлөгдөх вэ? Шугамын өнцгийн коэффициент нь a-аас хамаардаггүй тул шугам бүр хөдөлж, өөртэйгээ зэрэгцээ шугам болж хувирна. Бодлогын нөхцөлийг биелүүлэхийн тулд B A C BAC өнцөг бүхэлдээ l l шулуунаас дээш байх ёстой. A B AB ба A C AC шулуун шугамуудын өнцгийн коэффициентүүд үнэмлэхүй утгаараа илүү байдаг налуушулуун l l , өнцгийн орой нь шулуун шугамаас дээш байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай l .

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

$$\эхлэх(тохиолдол) y+2x=a,\\ y-x=2a, \төгсгөх(тохиолдол)$$

А цэгийн координатыг ол (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) . Тэд тэгш бус байдлыг (21) хангах ёстой, тиймээс $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, эндээс $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

ХАРИУЛТ

$$a>\dfrac(9)(8)$$

Параметр бүхий тэгшитгэл: график шийдлийн арга

8-9 анги

Уг нийтлэлд параметр бүхий зарим тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график аргыг авч үзсэн бөгөөд энэ нь параметрээс хамааран тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тогтоох шаардлагатай үед маш үр дүнтэй байдаг. а.

Бодлого 1. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? | | x | – 2 | = а параметрээс хамаарна а?

Шийдэл. Координатын системд (х; у) y = | функцүүдийн графикийг байгуулна | x | – 2 | ба у = а. y = | функцийн график | x | – 2 | зурагт үзүүлэв.

y = a функцийн график нь Ox тэнхлэгтэй параллель буюу үүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (хэрэв а = 0).

Зургаас дараахь зүйлийг харж болно.

Хэрэв а= 0, дараа нь шулуун шугам y = а Ox тэнхлэгтэй давхцаж, y = | функцийн графиктай байна | x | – 2 | хоёрнийтлэг цэгүүд ; Энэ нь анхны тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юмэнэ тохиолдолд
үндсийг олж болно: x 1.2 = d 2).< а < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, Хэрэв 0анхны тэгшитгэл
дөрвөн үндэстэй. аХэрэв
дөрвөн үндэстэй. а= 2, тэгвэл у = 2 шулуун нь функцийн графиктай гурван нийтлэг цэгтэй байна. Тэгвэл анхны тэгшитгэл нь гурван үндэстэй байна. а> 2, дараа нь шулуун шугам y =

нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. а < 0, то корней нет;
Хэрэв а = 0, аХэрэв
Хэрэв а> 2, дараа нь хоёр үндэс байна;
= 2, дараа нь гурван үндэс;< а < 2, то четыре корня.

хэрэв 0 Бодлого 2. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? а параметрээс хамаарна а?

| x 2 – 2| x | – 3 | = а.

Шийдэл. Координатын системд (х; у) y = | функцүүдийн графикийг байгуулна x 2 – 2| x | – 3 | ба у = а = 0).

y = | функцийн график x 2 – 2| x | – 3 | зурагт үзүүлэв. y = a функцийн график нь Ox-тэй параллель буюу үүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (үед

Хэрэв а= 0, дараа нь шулуун шугам y = аЗургаас дараахь зүйлийг харж болно. а Ox тэнхлэгтэй давхцаж, y = | функцийн графиктай байна x2 – 2| x | – 3 | хоёр нийтлэг цэг, түүнчлэн шулуун шугам y = а y = | функцийн графиктай байх болно x 2 – 2| x | – 3 | гэсэн хоёр нийтлэг цэг а> 4. Тэгэхээр, хэзээ а= 0 ба
үндсийг олж болно: x 1.2 = d 2).< а < 3, то прямая y = а> 4 анхны тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. а y = | функцийн графиктай байна x 2 – 2| x | – 3 | адөрвөн нийтлэг цэг, түүнчлэн шулуун шугам y =< а < 3, аүед баригдсан функцийн графиктай дөрвөн нийтлэг цэгтэй байна
дөрвөн үндэстэй. а= 4. Тэгэхээр 0-д а= 4 анхны тэгшитгэл нь дөрвөн үндэстэй.
= 3, дараа нь шулуун шугам y =< а < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
дөрвөн үндэстэй. а < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. а < 0, то корней нет;
Хэрэв а = 0, афункцийн графикийг таван цэгээр огтолно; тиймээс тэгшитгэл таван үндэстэй.
= 2, дараа нь гурван үндэс;< а < 3, аХэрэв 3
Хэрэв а> 4, дараа нь хоёр үндэс байна;
= 4, дараа нь дөрвөн үндэс байна;< а < 4, то шесть корней.

= 3, дараа нь таван үндэс;

хэрэв 3 а?

Бодлого 3. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? параметрээс хамаарна

x = 1, y = 1 шугамууд нь функцийн графикийн асимптотууд юм. y = | функцийн график x | + ау = | функцийн графикаас гарган авна x | Ой тэнхлэгийн дагуу нэгжээр нүүлгэн шилжүүлэх.

Функцийн графикууд нэг цэг дээр огтлолцоно а> – 1; Энэ нь эдгээр параметрийн утгуудын тэгшитгэл (1) нь нэг шийдэлтэй гэсэн үг юм.

At а = – 1, а= – 2 график хоёр цэг дээр огтлолцсон; Энэ нь эдгээр параметрийн утгуудын хувьд тэгшитгэл (1) нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм.
-2 цагт< а < – 1, а < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. а> – 1, дараа нь нэг шийдэл;
Хэрэв а = – 1, а= – 2, тэгвэл хоёр шийдэл байна;
хэрэв - 2< а < – 1, а < – 1, то три решения.

Сэтгэгдэл. 3-р асуудлын (1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ хэзээ тохиолдвол онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй а= – 2, учир нь (– 1; – 1) цэг нь функцийн графикт хамаарахгүй харин y = | функцийн графикт хамаарна x | + а.

Өөр нэг асуудлыг шийдэх рүү явцгаая.

Бодлого 4. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

x + 2 = а| x – 1 |

хэрэв 3 а?

(2) Шийдэл. x = 1 нь үндэс биш гэдгийг анхаарна ууөгөгдсөн тэгшитгэл а, тэгш байдал 3 = тул а· 0 нь ямар ч параметрийн утгад үнэн байж болохгүй . Тэгшитгэлийн хоёр талыг | гэж хуваая x – 1 |(| x – 1 | No. 0), тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авна.

XOy координатын системд бид функцийг зурах болно аЭнэ функцийн графикийг зурагт үзүүлэв. y = функцийн график а = 0).

нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. аЭнэ нь Үхрийн тэнхлэгтэй параллель буюу үүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (хэрэв
Ј – 1, тэгвэл үндэс байхгүй;< ахэрэв - 1
Хэрэв аЈ 1, дараа нь нэг үндэс;

> 1, тэгвэл хоёр үндэс байна.

Хамгийн төвөгтэй тэгшитгэлийг авч үзье. аАсуудал 5. Параметрийн ямар утгуудад

атэгшитгэл

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

гурван шийдэл байна уу? аШийдэл. 1. Энэ тэгшитгэлийн параметрийн хяналтын утга нь тоо байх болно а= 0, энэ үед (3) тэгшитгэл 0 + | хэлбэрийг авна x – 1 | = 0, эндээс x = 1. Иймд хэзээ

= 0, тэгшитгэл (3) нь нэг язгууртай бөгөөд энэ нь асуудлын нөхцөлийг хангахгүй байна. а № 0.

2. Хэзээ гэсэн тохиолдлыг авч үзье а(3) тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр дахин бичье. а < 0.

x 2 = – | x – 1 |. Тэгшитгэл зөвхөн үед л шийдтэй байх болно гэдгийг анхаарна уу а xOy координатын системд y = | функцуудын графикийг байгуулна x – 1 | ба у = а x 2. y = | функцийн график x – 1 | зурагт үзүүлэв. y = функцийн график а < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 нь салбарууд нь доош чиглэсэн парабол, учир нь а(3) тэгшитгэл нь y = – x + 1 шулуун нь y= функцийн графиктай шүргэгч байх үед л гурван шийдэлтэй байх болно.

x 2. а y = параболатай y = – x + 1 шулуун шугамын шүргэлтийн цэгийн абсциссыг x 0 гэж үзье.

x 2. Шүргэх тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Шүргэх нөхцлүүдийг бичье:

Энэ тэгшитгэлийг дериватив гэдэг ойлголтыг ашиглахгүйгээр шийдэж болно. аӨөр аргыг авч үзье. Хэрэв y = kx + b шулуун шугам нь y = параболатай нэг нийтлэг цэгтэй байна гэсэн баримтыг ашиглая. а x 2 + px + q = kx + b нь өвөрмөц шийдэлтэй байх ёстой, өөрөөр хэлбэл түүний ялгах утга нь тэг байна. Манай тохиолдолд бид тэгшитгэлтэй байна а x 2 = – x + 1 ( аҮгүй 0). Дискриминант тэгшитгэл

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

6. Параметрээс хамаарч тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ а?

1)| | x | – 3 | = а;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = а;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = а;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = а.

1) хэрэв а<0, то корней нет; если а=0, а>3, дараа нь хоёр үндэс; Хэрэв а=3, дараа нь гурван үндэс; хэрэв 0<а<3, то четыре корня;
2) хэрэв а<1, то корней нет; если а=1, тэгвэл [– 2” интервалаас хязгааргүй олон шийд байна; а– 1]; Хэрэв
> 1, дараа нь хоёр шийдэл байна; а<0, то корней нет; если а=0, а<3, то четыре корня; если 0<а<1, то восемь корней; если а 3) хэрэв а=1, дараа нь зургаан үндэс; Хэрэв а=3, тэгвэл гурван шийдэл байна; Хэрэв
>3, дараа нь хоёр шийдэл байна; а<0, то корней нет; если а=0, 4<а<5, то четыре корня; если 0<а< 4, то восемь корней; если а 4) хэрэв а=4, дараа нь зургаан үндэс; Хэрэв а=5, дараа нь гурван үндэс; Хэрэв

>5, тэгвэл хоёр үндэс байна. а 7. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ | x + 1 | = а?

(x – 1) параметрээс хамаарна .

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно аХариулт: хэрэв а > 1, а J -1,<а<0, то два корня; если 0<а=0, дараа нь нэг үндэс; хэрэв - 1

Ј 1, тэгвэл үндэс байхгүй. а 8. x + 1 = тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? а?

| x – 1 |параметрээс хамаарч

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно аГрафик зур (зураг харна уу).<аЈ –1, тэгвэл үндэс байхгүй; хэрэв - 1 аЈ 1, дараа нь нэг үндэс; Хэрэв

>1, тэгвэл хоёр үндэс байна.

9. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

хэрэв 3 а?

2| x | – 1 = a(x – 1)

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно аАнхаарна уу. Тэгшитгэлийг үүсгэхийн тулд багасгана а>2, а J -2,<а<1, то два корня; если 1<а=1, дараа нь нэг үндэс; хэрэв -2

Ј 2, тэгвэл үндэс байхгүй.

хэрэв 3 а?

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно аЈ 0, а 10. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?<а<2, то два корня.

i 2, дараа нь нэг үндэс; хэрэв 0 аАсуудал 5. Параметрийн ямар утгуудад

11. Параметрийн ямар утгуудад а x 2 +

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 аАнхаарна уу. Тэгшитгэлийг x 2 = – хэлбэртэй болгож бууруул.

| x – 2 |. аХариулт: хэзээ

Ж – 8. аАсуудал 5. Параметрийн ямар утгуудад

а 12. Параметрийн ямар утгуудад

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

x 2 + | x + 1 | = 0 аАнхаарна уу. Бодлого 5. Энэ тэгшитгэл нь зөвхөн тэгшитгэл байвал гурван шийдэлтэй байна а x 2 + x + 1 = 0 нь нэг шийдэлтэй ба тохиолдол

= 0 нь асуудлын нөхцөлийг хангахгүй, өөрөөр хэлбэл, хэзээ тохиолдол хэвээр байна

13. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? а

хэрэв 3 а?

x | x – 2 | = 1 – Анхаарна уу. Тэгшитгэлийг –x |x – 2| хэлбэртэй болгож бууруул + 1 =

хэрэв 3 а?

а

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно а<0, аАнхаарна уу. Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талын графикуудыг байгуул. а>2, тэгвэл хоёр үндэс байна; хэрэв 0Ј

Ј 2, дараа нь нэг үндэс.

хэрэв 3 а?

16. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? Анхаарна уу. Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талын графикуудыг байгуул. Функцийн графикийг зурах

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно а x + 2 ба x илэрхийллийн тогтмол тэмдгийн интервалыг олъё. а>– 1, дараа нь нэг шийдэл; Хэрэв<а<–1, то четыре решения; если а= – 1, тэгвэл хоёр шийдэл байна; хэрэв - 3

Ј –3, тэгвэл гурван шийдэл байна.

Энэ сэдэв нь сургуулийн алгебрийн хичээлийн салшгүй хэсэг юм. Энэхүү ажлын зорилго нь энэ сэдвийг илүү гүнзгийрүүлэн судлах, хариултанд хурдан хүргэх хамгийн оновчтой шийдлийг тодорхойлох явдал юм. Энэхүү эссэ нь бусад оюутнуудад параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график аргыг ашиглах, энэ аргын гарал үүсэл, хөгжлийн талаар мэдэхэд тусална.

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Танилцуулга2

Бүлэг 1. Параметр бүхий тэгшитгэл

Параметр3-тай тэгшитгэл үүссэн түүх

Виетийн теорем4

Үндсэн ойлголт 5

Бүлэг 2. Параметр бүхий тэгшитгэлийн төрлүүд.

Шугаман тэгшитгэл6

Квадрат тэгшитгэл…………………………………………………………7

Бүлэг 3. Параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Аналитик арга………………………………………………8

График арга. Гарал үүслийн түүх……………………………9

График аргыг шийдвэрлэх алгоритм..……………………………….10

Модультай тэгшитгэлийн шийдэл………………………………………….11

Практик хэсэг………………………………………………………12

Дүгнэлт……………………………………………………………………………….19

Ашигласан материал………………………………………………………20

Танилцуулга.

Сургуулийн алгебрийн хичээлийн салшгүй хэсэг учраас би энэ сэдвийг сонгосон. Энэ ажлыг бэлтгэхдээ би энэ сэдвийг илүү гүнзгий судалж, хариултанд хурдан хүргэх хамгийн оновчтой шийдлийг тодорхойлох зорилго тавьсан. Миний эссэ нь бусад оюутнуудад параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график аргыг ашиглах, энэ аргын гарал үүсэл, хөгжлийн талаар мэдэхэд тусална.

Орчин үеийн амьдралд олон физик процесс, геометрийн хэв маягийг судлах нь ихэвчлэн параметртэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд хүргэдэг.

Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд α параметрээс хамаарч тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тодорхойлох шаардлагатай үед график арга нь маш үр дүнтэй байдаг.

Параметрүүдтэй холбоотой асуудлууд нь зөвхөн математикийн сонирхолтой бөгөөд оюутнуудын оюуны хөгжилд хувь нэмэр оруулдаг бөгөөд ур чадвараа дадлагажуулах сайн материал болдог. Эдгээр нь математикийн үндсэн салбаруудын мэдлэг, математик, логик сэтгэлгээний түвшин, судалгааны анхны ур чадвар, дээд боловсролын байгууллагуудын математикийн хичээлийг амжилттай эзэмших ирээдүйтэй боломжийг шалгахад ашиглаж болох тул оношлогооны ач холбогдолтой юм.

Миний эссэ нь байнга тулгардаг тэгшитгэлийн төрлүүдийн талаар ярилцдаг бөгөөд ажлын явцад олж авсан мэдлэг маань сургуулийн шалгалтыг өгөхөд надад тусална гэж найдаж байна.параметр бүхий тэгшитгэлүүднь сургуулийн математикийн хамгийн хэцүү асуудлын нэг гэж зүй ёсоор тооцогддог. Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаврын жагсаалтад яг эдгээр ажлууд багтсан болно.

Параметр бүхий тэгшитгэл үүссэн түүх

Параметр бүхий тэгшитгэлийн асуудлууд Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орны зохиолд аль хэдийн тулгарч байсан. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг тодорхойлсон.

αх 2 + bx = c, α>0

Параметрээс бусад тэгшитгэл дэх коэффициентүүд, мөн сөрөг байж болно.

Аль-Хорезмигийн квадрат тэгшитгэл.

Аль-Хорезми алгебрийн зохиолд а параметртэй шугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгдөг. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.

1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", өөрөөр хэлбэл αx 2 = bx.

2) "Квадратууд нь тоонуудтай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл αx 2 = в.

3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл αx = c.

4) "Квадрат ба тоонууд нь язгууртай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл αx 2 + c = bx.

5) "Квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл αx 2 + bx = c.

6) "Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл bx + c = αx 2 .

Европ дахь аль-Хорезмигийн дагуу квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёог анх Италийн математикч Леонардо Фибоначчийн 1202 онд бичсэн "Абакийн ном"-д тусгасан байдаг.

Параметр бүхий квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх томъёоны гарал үүслийг Вьетнамаас авах боломжтой боловч Виета зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикч Тартаглиа, Кардано, Бомбелли нар 12-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. Эерэг зүйлээс гадна сөрөг үндсийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд. Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн бүтээлийн ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга орчин үеийн хэлбэрээ олж авсан.

Вьетагийн теорем

Квадрат тэгшитгэлийн параметр, коэффициент, түүний язгуур хоорондын хамаарлыг илэрхийлсэн теоремыг тэрээр анх 1591 онд Вьетагийн нэрээр томъёолсон бөгөөд дараах байдлаар: “Хэрэв b + d-ийг α хасах α-аар үржүүлбэл. 2 , bc-тэй тэнцүү бол α нь b-тэй, d-тэй тэнцүү байна.”

Виетаг ойлгохын тулд α нь ямар ч эгшиг үсгийн нэгэн адил үл мэдэгдэх (бидний x) гэсэн утгатай бөгөөд b, d эгшиг нь үл мэдэгдэхийн коэффициент гэдгийг санах хэрэгтэй. Орчин үеийн алгебрийн хэлээр дээрх Вьета томъёолол нь:

Хэрэв байгаа бол

(α + b)x - x 2 = αb,

Өөрөөр хэлбэл, x 2 - (α -b)x + αb =0,

тэгвэл x 1 = α, x 2 = b.

Тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тэмдэглэгээ ашиглан бичсэн ерөнхий томьёогоор илэрхийлснээр Вьета тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын нэгдмэл байдлыг бий болгосон. Гэсэн хэдий ч Вьетнамын бэлгэдэл орчин үеийн хэлбэрээс хол хэвээр байна. Тэрээр сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй байсан тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бүх үндэс эерэг байсан тохиолдлуудыг л авч үзсэн.

Үндсэн ойлголтууд

Параметр - бие даасан хувьсагч, утга нь тогтмол эсвэл дурын тоо, эсвэл асуудлын нөхцөлөөр заасан интервалд хамаарах тоо.

Параметр бүхий тэгшитгэл- математиктэгшитгэл, гадаад төрх байдал, шийдэл нь нэг буюу хэд хэдэн параметрийн утгаас хамаарна.

Шийдэх утга тус бүрийн параметрийн утгатай тэгшитгэлЭнэ тэгшитгэлийг хангасан x-ийн утгыг ол, мөн:

1. 1. Параметрүүдийн ямар утгууд дээр тэгшитгэл үндэстэй, параметрийн өөр утгуудын хувьд хэд байгааг судал.
2. 2. Үндэст хамаарах бүх илэрхийлэлийг олж, тус бүрд энэ илэрхийлэл нь тэгшитгэлийн язгуурыг тодорхойлох параметрийн утгыг зааж өгнө.

α(x+k)= α +c тэгшитгэлийг авч үзье, α, c, k, x нь хувьсах хэмжигдэхүүнүүд.

α, c, k, x хэмжигдэхүүний зөвшөөрөгдөх утгуудын системЭнэ нь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун тал хоёулаа бодит утгыг авдаг хувьсах утгуудын систем юм.

А нь α-ийн бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын багц, K нь k-ийн бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын олонлог, X нь x-ийн бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын олонлог, C нь c-ийн бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын багц гэж үзье. Хэрэв A, K, C, X олонлогуудын хувьд бид α, k, c гэсэн нэг утгыг сонгож, засч, тэгшитгэлд орлуулж байвал бид x-ийн тэгшитгэлийг олж авна, өөрөөр хэлбэл. нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тогтмол гэж тооцогддог α, k, c хувьсагчдыг параметр, тэгшитгэлийг өөрөө параметр агуулсан тэгшитгэл гэнэ.

Параметрүүдийг латин цагаан толгойн эхний үсгээр тэмдэглэнэ: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, үл мэдэгдэхийг x, y, z үсгээр тэмдэглэнэ.

Ижил параметрүүдийг агуулсан хоёр тэгшитгэл гэж нэрлэдэгтэнцүү бол:

a) тэдгээр нь ижил параметрийн утгын хувьд утга учиртай;

б) эхний тэгшитгэлийн шийдэл бүр хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл ба эсрэгээр.

Параметр бүхий тэгшитгэлийн төрлүүд

Параметр бүхий тэгшитгэлүүд нь: шугаманба дөрвөлжин.

1) Шугаман тэгшитгэл. Ерөнхий үзэл бодол:

α x = b, x нь тодорхойгүй;α, b - параметрүүд.

Энэ тэгшитгэлийн хувьд параметрийн тусгай буюу хяналтын утга нь үл мэдэгдэхийн коэффициент тэг болох утга юм.

Параметр бүхий шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ параметр нь түүний тусгай утгатай тэнцүү, түүнээс ялгаатай тохиолдолд авч үздэг.

α параметрийн тусгай утга нь утга юмα = 0.

1.Хэрэв, ба ≠0, дараа нь дурын хос параметрийн хувьдα б энэ нь өвөрмөц шийдэлтэй x =.

2.Хэрэв, ба =0, тэгвэл тэгшитгэл нь:0 хэлбэрийг авна x = b . Энэ тохиолдолд үнэ цэнэб = 0 нь тусгай параметрийн утга юмб.

2.1. b-д ≠ 0 бол тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

2.2. b-д =0 тэгшитгэл нь:0 хэлбэртэй болно x =0.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь дурын бодит тоо юм.

Параметртэй квадрат тэгшитгэл.

Ерөнхий үзэл бодол:

α x 2 + bx + c = 0

Энд параметр α ≠0, b ба c - дурын тоо

Хэрэв α =1 бол тэгшитгэлийг багасгасан квадрат тэгшитгэл гэнэ.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг томъёог ашиглан олно

Илэрхийлэл D = b 2 - 4 α c ялгаварлагч гэж нэрлэдэг.

1. Хэрэв D>0 бол тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй.

2. Хэрэв Д< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Хэрэв D = 0 бол тэгшитгэл нь хоёр тэнцүү язгууртай.

Параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд:

1. Аналитик - параметргүй тэгшитгэлийн хариултыг олох стандарт процедурыг давтах шууд шийдлийн арга.
2. График - асуудлын нөхцлөөс хамааран координатын систем дэх харгалзах квадрат функцийн графикийн байрлалыг авч үздэг.

Аналитик арга

Шийдлийн алгоритм:

1. Аналитик аргыг ашиглан параметрийн асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө параметрийн тодорхой тоон утгын нөхцөл байдлыг ойлгох хэрэгтэй. Жишээлбэл, α =1 параметрийн утгыг аваад асуултанд хариулна уу: энэ даалгаварт шаардагдах α =1 параметрийн утга мөн үү.

Жишээ 1. Харьцангуйгаар шийд X m параметртэй шугаман тэгшитгэл:

Бодлогын утгын дагуу (m-1)(x+3) = 0, өөрөөр хэлбэл m= 1, x = -3.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг (m-1)(x+3)-аар үржүүлснээр бид тэгшитгэлийг авна.

Бид авдаг

Иймээс m= 2.25 үед.

Одоо бид m-ийн утга байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй

олдсон x-ийн утга -3 байна.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэхэд m = -0.4 байхад x нь -3-тай тэнцүү болохыг олж мэднэ.

Хариулт: m=1, m =2.25-тай.

График арга. Гарал үүслийн түүх

Нийтлэг хамаарлыг судлах ажил 14-р зуунаас эхэлсэн. Дундад зууны шинжлэх ухаан схоластик байсан. Энэ шинж чанараараа тоон хамаарлыг судлах орон зай үлдсэнгүй, энэ нь зөвхөн объектуудын чанар, тэдгээрийн хоорондын холболтын тухай байв. Гэвч схоластикуудын дунд зан чанар нь илүү их эсвэл бага хүчтэй байж болно гэж маргадаг сургууль бий болсон (голд унасан хүний ​​хувцас нь бороонд орсон хүнийхээс илүү чийгтэй байдаг)

Францын эрдэмтэн Николай Оресме эрчмийг сегментийн уртаар дүрсэлж эхлэв. Тэрээр эдгээр сегментүүдийг тодорхой шулуун шугамд перпендикуляр байрлуулахдаа тэдгээрийн төгсгөлүүд нь "эрчмийн шугам" эсвэл "дээд ирмэгийн шугам" гэж нэрлэсэн (харгалзах функциональ хамаарлын графикийг Оресме хүртэл судалсан) шугам үүсгэдэг ” ба “физик” чанар, өөрөөр хэлбэл функцууд нь хоёр буюу гурван хувьсагчаас хамаарна.

Оресмегийн чухал амжилт бол түүний үүссэн графикуудыг ангилах оролдлого байсан юм. Тэрээр гурван төрлийн чанарыг тодорхойлсон: жигд (тогтмол эрчимтэй), жигд-тэгш бус (эрчмийн өөрчлөлтийн тогтмол хурдтай) ба тэгш бус-тэгш бус (бусад бүх), түүнчлэн эдгээр чанаруудын графикийн онцлог шинж чанарууд.

Функцийн графикийг судлах математикийн төхөөрөмжийг бий болгохын тулд хувьсагчийн тухай ойлголт хэрэгтэй байв. Энэхүү ойлголтыг Францын философич, математикч Рене Декарт (1596-1650) шинжлэх ухаанд нэвтрүүлсэн. Энэ бол Декарт алгебр ба геометрийн нэгдмэл байдал, хувьсагчийн үүргийн талаархи санаануудыг гаргаж ирсэн бөгөөд Декарт тогтмол нэгжийн сегментийг нэвтрүүлж, бусад сегментүүдийн хамаарлыг авч үзэж эхлэв.

Тиймээс функцүүдийн графикууд оршин тогтнох бүх хугацаандаа хэд хэдэн үндсэн өөрчлөлтийг туулж, бидний дассан хэлбэрт хүргэсэн. Функцийн графикийг боловсруулах үе шат бүр нь орчин үеийн алгебр, геометрийн түүхийн салшгүй хэсэг юм.

Түүнд орсон параметрээс хамааран тэгшитгэлийн язгуурын тоог тодорхойлох график арга нь аналитикаас илүү тохиромжтой.

Алгоритмыг график аргаар шийдвэрлэх

Функцийн график - цэгүүдийн багцабсциссахүчинтэй аргументын утгууд байна, А ординатууд- харгалзах утгуудфункцууд.

Параметр бүхий тэгшитгэлийг графикаар шийдвэрлэх алгоритм:

1. Тэгшитгэлийн тодорхойлолтын мужийг ол.
2. Бид α-г илэрхийлнэ х-ийн функцээр.
3. Координатын системд бид функцийн графикийг байгуулдагα (x) энэ тэгшитгэлийн тодорхойлолтод багтсан x-ийн утгуудын хувьд.
4. Шугамын огтлолцох цэгүүдийг олохα =с, функцийн графиктай

α(x). Хэрэв α мөр =с графикийг гаталж байнаα (x), дараа нь бид огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай c = α (x) x-тэй харьцуулахад.

1. Хариултаа бичнэ үү

Модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Параметр агуулсан модуль бүхий тэгшитгэлийг графикаар шийдвэрлэхдээ функцүүдийн графикийг барьж, параметрийн өөр өөр утгуудын боломжит бүх тохиолдлыг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Жишээлбэл, │x│= a,

Хариулт: хэрэв a < 0, то нет корней, a > 0, тэгвэл x = a, x = - a, хэрэв a = 0 бол x = 0 болно.

Асуудлыг шийдвэрлэх.

Бодлого 1. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?| | x | - 2 | = a параметрээс хамаарнаа?

Шийдэл. Координатын системд (х; у) y = | функцүүдийн графикийг байгуулна | x | - 2 | ба у =а . y = | функцийн график | x | - 2 | зурагт үзүүлэв.

y = функцийн графикα a = 0).

Графикаас дараахь зүйлийг харж болно.

Хэрэв a = 0 бол шулуун шугам y = a Ox тэнхлэгтэй давхцаж, y = | функцийн графиктай байна | x | - 2 | хоёр нийтлэг цэг; Энэ нь анхны тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм (энэ тохиолдолд үндсийг олж болно: x 1,2 = + 2).
Хэрэв 0< a < 2, то прямая y = α y = | функцийн графиктай байна | x | - 2 | дөрвөн нийтлэг цэг тул анхны тэгшитгэл нь дөрвөн үндэстэй.
Хэрэва = 2 бол y = 2 шулуун нь функцийн графиктай гурван нийтлэг цэгтэй байна. Тэгвэл анхны тэгшитгэл нь гурван үндэстэй байна.
Хэрэв a > 2, дараа нь шулуун шугам y = a нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно.

Хариулт: хэрэв a < 0, то корней нет;
хэрэв a = 0, a > 2 бол хоёр үндэс байна;
хэрэв a = 2 бол гурван үндэс байна;
хэрэв 0< a < 2, то четыре корня.

Бодлого 2. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?| x 2 - 2| x | - 3 | = a параметрээс хамаарнаа?

Шийдэл. Координатын системд (х; у) y = | функцүүдийн графикийг байгуулна x 2 - 2| x | - 3 | ба y = a.

y = | функцийн график x 2 - 2| x | - 3 | зурагт үзүүлэв. y = функцийн графикα нь Үхэртэй параллель эсвэл үүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (хэзээ a = 0).

Графикаас та харж болно:

Хэрэв a = 0 бол шулуун шугам y = a Ox тэнхлэгтэй давхцаж, y = | функцийн графиктай байна x2 - 2| x | - 3 | хоёр нийтлэг цэг, түүнчлэн шулуун шугам y =а y = | функцийн графиктай байх болно x 2 - 2| x | - 3 | гэсэн хоёр нийтлэг цэг a > 4. Тэгэхээр a = 0 ба a-ийн хувьд > 4 анхны тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.
Хэрэв 0< а< 3, то прямая y = a y = | функцийн графиктай байна x 2 - 2| x | - 3 | дөрвөн нийтлэг цэг, түүнчлэн шулуун шугам y =а үед баригдсан функцийн графиктай дөрвөн нийтлэг цэгтэй байна a = 4. Тэгэхээр 0-д< a < 3, a = 4 анхны тэгшитгэл нь дөрвөн үндэстэй.
Хэрэв a = 3, дараа нь шулуун шугам y = a функцийн графикийг таван цэгээр огтолно; тиймээс тэгшитгэл таван үндэстэй.
Хэрэв 3< а< 4, прямая y = α баригдсан функцийн графикийг зургаан цэгээр огтолно; Энэ нь эдгээр параметрийн утгуудын хувьд анхны тэгшитгэл нь зургаан үндэстэй гэсэн үг юм.
Хэрэва < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α у = | функцийн графиктай огтлолцдоггүй x 2 - 2| x | - 3 |.

Хариулт: хэрэв a < 0, то корней нет;
хэрэв a = 0, a > 4 бол хоёр үндэс байна;
хэрэв 0< a < 3, a = 4, дараа нь дөрвөн үндэс;

хэрэв а = 3, дараа нь таван үндэс;
хэрэв 3< a < 4, то шесть корней.

Бодлого 3. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

параметрээс хамаарнаа?

Шийдэл. Координатын систем (x; y) дахь функцийн графикийг байгуулъя.

Гэхдээ эхлээд үүнийг дараах хэлбэрээр танилцуулъя.

x = 1, y = 1 шугамууд нь функцийн графикийн асимптотууд юм. y = | функцийн график x | +а у = | функцийн графикаас олж авна x | Ой тэнхлэгийн дагуу нэгжээр нүүлгэн шилжүүлэх.

Функцийн графикууд нэг цэг дээр огтлолцоноа > - 1; Энэ нь эдгээр параметрийн утгуудын тэгшитгэл (1) нь нэг шийдэлтэй гэсэн үг юм.

a = - 1 үед a = - 2 график хоёр цэг дээр огтлолцсон; Энэ нь эдгээр параметрийн утгуудын хувьд тэгшитгэл (1) нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм.
-2 цагт< а< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Хариулт: хэрэв a > - 1, дараа нь нэг шийдэл;
хэрэв a = - 1, a = - 2, дараа нь хоёр шийдэл байна;
хэрэв - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Сэтгэгдэл. Асуудлын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тухайн тохиолдолд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэйа = - 2, учир нь (- 1; - 1) цэг нь функцийн графикт хамаарахгүйхарин y = | функцийн графикт хамаарагдана x | +а.

Бодлого 4. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

x + 2 = a | x - 1 |

параметрээс хамаарнаа?

Шийдэл. 3 = тэнцүү байх тул x = 1 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш гэдгийг анхаарна ууа 0 нь ямар ч параметрийн утгад үнэн байж болохгүйа . Тэгшитгэлийн хоёр талыг | гэж хуваая x - 1 |(| x - 1 |0), дараа нь тэгшитгэл хэлбэрийг авнаXOy координатын системд бид функцийг зурах болно

Энэ функцийн графикийг зурагт үзүүлэв. y = функцийн графика Энэ нь Үхрийн тэнхлэгтэй параллель буюу үүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (хэрэв a = 0).

Энэ аргын чадварыг бүрэн илчлэхийн тулд бид асуудлын үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно.

График аргыг ашиглан параметртэй асуудлыг шийдвэрлэхдээ мэдлэг, ур чадварыг шалгах жишээ даалгавар (координатын хавтгай)

Даалгавар 1.

Ямар үнэ цэнээра= тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй юу?

Шийдэл.

Ижил төстэй систем рүү шилжье:

Координатын хавтгай дээрх энэ систем (;) муруйг тодорхойлно. Энэхүү параболик нумын бүх цэгүүд (зөвхөн тэдгээр нь) анхны тэгшитгэлийг хангасан координатуудтай байх нь тодорхой байна. Тиймээс параметрийн тогтмол утга бүрийн хувьд тэгшитгэлийн шийдлийн тоо, энэ параметрийн утгад харгалзах хэвтээ шугамтай муруйн огтлолцох цэгүүдийн тоотой тэнцүү байна.

Хариулт:цагт.

Даалгавар 2.

Системд тохирох a-ийн бүх утгыг ол өвөрмөц шийдэлтэй.

Шийдэл.

Анхны системийг энэ хэлбэрээр дахин бичье.

Энэ системийн бүх шийдлүүд (хэлбэрийн хосууд) ангаахайгаар зурагт үзүүлсэн талбайг бүрдүүлнэ. Өгөгдсөн системийн өвөрмөц шийдэлд тавигдах шаардлагыг график хэл рүү дараах байдлаар орчуулсан: хэвтээ шугамууд нь үүссэн мужтай зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй байх ёстой. Үүнийг зөвхөн шууд харахад хялбар байдагмөн заасан шаардлагыг хангана.

Сая хэлэлцсэн хоёр даалгавар нь өмнө нь өгсөнтэй харьцуулахад илүү тодорхой зөвлөмж өгөх боломжийг бидэнд олгодог.

параметрийг хувьсагчаар илэрхийлэхийг оролдох, өөрөөр хэлбэл маягтын тэгш байдлыг олж авах

хавтгай дээр функцийн график зурах.

Даалгавар 3.

Ямар үнэ цэнээрА тэгшитгэл яг гурван үндэстэй юу?

Шийдэл.

Бидэнд байна

Энэ багцын график нь "булан" ба параболын нэгдэл юм. Үүссэн нэгдлийг зөвхөн шулуун шугам гурван цэгээр огтолдог нь ойлгомжтой.

Сэтгэгдэл: Параметрийг ихэвчлэн авч үздэг тогтмол боловч үл мэдэгдэх тоо. Үүний зэрэгцээ, албан ёсны үүднээс авч үзвэл параметр нь хувьсагч бөгөөд асуудалд байгаа бусадтай "тэнцэх" юм. Маягтын параметрийн энэ үзэмжээр функцийг нэг биш, харин хоёр хувьсагчаар тодорхойлно.

Даалгавар 4.

Бүх параметрийн утгыг ол, Үүний тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй байна.

Шийдэл.

Бутархайн хуваагч нь тэг, хуваагч нь 0 биш тохиолдолд л бутархай нь тэгтэй тэнцүү байна.

Квадрат гурвалсан язгуурыг олох:

Хариулах: Тэгээд.

Даалгавар 5.

Ямар параметрийн утгууд дээр,А тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй.

Шийдэл.

Анхны тэгшитгэлтэй тэнцэх системийг бичье

Эндээс бид авдаг

График байгуулж, тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамуудыг зурцгааяА .

Системийн эхний хоёр тэгш бус байдал нь сүүдэрлэх замаар харуулсан цэгүүдийн багцыг тодорхойлдог бөгөөд энэ олонлогт гипербол болон хамааралгүй болно.

Хариулах : 2 < < или < или = .

Даалгавар 6.

Бүх параметрийн утгыг олА , үүний төлөө тэгшитгэл

яг хоёр өөр шийдэлтэй

Шийдэл.

Хоёр системийн багцыг авч үзье

Хэрэв , Тэр.

Хэрэв < , Тэр.

Эндээс

эсвэл

Парабол ба шулуун шугам нь хоёр нийтлэг цэгтэй:А (-2; - 2), IN(-1; -1), ба, IN - эхний параболын орой;Д - хоёр дахь дээд. Тиймээс анхны тэгшитгэлийн графикийг зурагт үзүүлэв.

Яг хоёр өөр шийдэл байх ёстой. Үүнийг эсвэл ашиглан хийдэг.

Хариулт:эсвэл.

Даалгавар 7.

Тэгшитгэл бүрд хамаарах бүх тооны багцыг ол

зөвхөн хоёр өөр үндэстэй.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье

Тэгсэн бол тэгшитгэлийн үндэс.

Энэ тэгшитгэлийн графикийг байгуулъя. Энэ тохиолдолд ординатын тэнхлэгт хувьсагч өгөх замаар график байгуулах нь тохиромжтой. Энд бид хариултыг босоо шулуун шугамаар "уншиж", энэ тэгшитгэл нь = -1 эсвэл эсвэл хоёр өөр үндэстэй болохыг олж мэдэв.

Хариулт:= -1 эсвэл эсвэл.

Даалгавар 8.

Үүний тулд тэгш бус байдлын шийдлийн багц нь интервалыг агуулна.

Шийдэл.

Анхны тэгшитгэлтэй тэнцэх хоёр системийн багцыг бичье.

эсвэл

Эхний системийн шийдэлд аль нь ч байхгүй тулА сегментэд оруулах боломжгүй бол бид хоёр дахь системд шаардлагатай судалгааг хийх болно.

Бидэнд байна

гэж тэмдэглэе . Дараа нь системийн хоёр дахь тэгш бус байдал хэлбэрийг авна< - ба координатын хавтгайд зурагт үзүүлсэн олонлогийг тодорхойлно.

Тэгээд эндээс.

Хариулах : .

Даалгавар 9.

Системийг хангасан өвөрмөц тоо байгаа бүх сөрөг бус тоог ол

Шийдэл.

Бидэнд байна

Координатын хавтгай дээрх эхний тэгшитгэл нь босоо шугамын бүлгийг тодорхойлдог. Шулуун шугам, онгоцыг дөрвөн хэсэгт хуваа. Тэдгээрийн зарим нь тэгш бус байдлын тогтолцооны шийдэл юм. Бүс бүрээс тестийн оноо аваад яг алийг нь тодорхойлох боломжтой. Тэгш бус байдлыг хангах цэг нь түүний шийдэл юм (энэ техник нь нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх интервалын аргатай холбоотой). Шулуун шугам барих

Жишээлбэл, бид нэг цэгийг авч, тэгш бус байдлыг хангаж буй цэгүүдийн координат руу орлуулна.

Тиймээс анхны систем нь туяан дээр байрлах бүх цэгүүдээр (зөвхөн тэдгээр нь) хангагдаж, зурган дээр тод зураасаар тодруулсан (өөрөөр хэлбэл бид тухайн хэсэгт цэгүүдийг байгуулдаг).

Одоо бид зассаны дараа өвөрмөцийг нь олох хэрэгтэй. Бид тэнхлэгийг огтолж буй зэрэгцээ шугамуудыг барьдаг. шугамтай огтлолцох нэг цэг хаана байхыг ол.

Хэрэв (аль хэдийн 2 онооны хувьд) шийдлийн өвөрмөц байдлын шаардлага хангагдсан болохыг бид зурагнаас олж мэдэв.

шугамуудын огтлолцох цэгийн ординат хаана байна,

ба шугамын огтлолцох цэгийн ординат хаана байна.

Тиймээс бид авдаг< .

Хариулт: < .

Даалгавар 10.

Параметрийн ямар утгуудад систем шийдэлтэй байдаг вэ?

Шийдэл.

Системийн тэгш бус байдлын зүүн талыг хүчин зүйлээр ангилъя

Бид шулуун шугам барьж, ... Системийн тэгш бус байдлыг хангаж буй хавтгайн цэгүүдийн багцыг сүүдэрлэх замаар бид зураг дээр харуулав.

Дараа нь гиперболын сонгосон нумын абсциссууд нь анхны системийн шийдлүүд юм.М , П , Н , Q - зангилааны цэгүүд. Тэдний абсциссуудыг олцгооё.

Онооны хувьд П , Q бидэнд байгаа

Хариултыг бичихэд л үлддэг: эсвэл.

Хариулт:эсвэл.

Даалгавар 11.

Модулийн тэгш бус байдлын шийдэл нь хоёроос хэтрэхгүй бүх утгыг ол.

Шийдэл .

Энэ тэгш бус байдлыг энэ хэлбэрээр дахин бичье. ба = тэгшитгэлийн графикуудыг байгуулъя.

"Интервалын арга" -ыг ашиглан бид анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь сүүдэртэй хэсгүүд байх болно гэдгийг тогтоов.

Тэдгээр. Одоо, хэрэв ямар нэгэн тогтмол утгын хувьд үүссэн талбайтай огтлолцох шулуун шугам нь зөвхөн абсцисса нь нөхцөлийг хангасан цэгүүдийг өгдөг. < 2, дараа нь хүссэн параметрийн утгуудын нэг юм.

Тиймээс бид үүнийг харж байна.

Хариулт: .

Даалгавар 12.

Параметрийн ямар утгуудын хувьд тэгш бус байдлын шийдлийн багц нь дөрвөөс илүүгүй бүхэл утгыг агуулна вэ?

Шийдэл.

Энэ тэгш бус байдлыг хэлбэр болгон хувиргацгаая. Энэ тэгш бус байдал нь хоёр системийн хослолтой тэнцэнэ

эсвэл

Хаана шулуун шугам зуръя. Дараа нь тэмдэглэсэн багцаас дөрвөөс илүүгүй цэгийн шугамыг огтлолцох утга нь хүссэн утга байх болно. Тэгэхээр энэ нь аль эсвэл аль нь болохыг бид харж байна.

Хариулт:эсвэл эсвэл.

Даалгавар 13.

Ямар параметрийн утгууд дээрА шийдлийн системтэй

Шийдэл.

Квадрат гурвалсан гишүүний үндэс ба.

Дараа нь

Бид шулуун шугам барьж, ...

"Интервал" аргыг ашиглан бид системийн тэгш бус байдлын (сүүдэрлэсэн талбай) шийдлийг олдог.

Бид системээс утгыг олдог

гэсэн үгийн утга нь системээс гаралтай.

Хариулт:

Даалгавар 14.

Параметрийн утгуудаас хамаарнаА тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх > .

Шийдэл.

Энэ тэгш бус байдлыг хэлбэрээр дахин бичиж, функцийг авч үзье, модулиудыг өргөжүүлэхийн тулд бид дараах байдлаар бичнэ.

Зурагнаас шууд бид дараахь зүйлийг олж авна.

шийдэл байхгүй;

цагт ;

цагт.

Хариулт: шийдэл байхгүй;

цагт ;

цагт.

Даалгавар 15.

Тэгш бус байдлын системд хамаарах параметрийн бүх утгыг ол

ганцхандаа л сэтгэл хангалуун байдаг.

Шийдэл.

Энэ системийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

Энэ системээр тодорхойлсон бүсийг байгуулъя.

1) , параболын орой юм.

2) - цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам ба.

Утгыг олъё:

= (асуудлын зорилгод тохиромжгүй),

Ординатыг олох нь:

Хариулт: ,

Даалгавар 16.

Бүх параметрийн утгыг олА, тэгш бус байдлын тогтолцоо

зөвхөн нэг x-д л хангана.

Шийдэл .

Парабол байгуулж, сүүлчийн системийн шийдлийг сүүдэрлэж үзүүлье.

2) , .

Асуудлын нөхцөл нь эсвэл үед хангагдсаныг зураг харуулж байна.

Хариулт:эсвэл.

Даалгавар 17.

Ямар утгуудын хувьд тэгшитгэл нь яг гурван үндэстэй вэ?

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэл нь олонлогтой тэнцүү байна

Популяцийн график нь парабол болон өнцгийн графикуудын нэгдэл юм.

Хариулт:цагт.

Даалгавар 18.

Ямар утгуудын хувьд тэгшитгэл нь яг гурван шийдэлтэй вэ?

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргацгаая. Бид харьцангуй квадрат тэгшитгэлийг олж авдаг.

Бид тэгшитгэлийг авдаг

Энэ нь нийттэй тэнцүү юм

Параболын огтлолцлын ординатын цэгүүдийг ол:

Бид зурагнаас шаардлагатай мэдээллийг уншина уу: энэ тэгшитгэл нь эсвэл гэсэн гурван шийдэлтэй байна

Хариулт:эсвэл

Даалгавар 19.

Параметрээс хамааран тэгшитгэлийн язгуурын тоог тодорхойлно

Шийдэл .

Энэ тэгшитгэлийг a-тай харьцуулахад квадрат гэж үзье.

,

.

Бид нийтийг нь авдаг

Хариулт:: шийдэл байхгүй;

: нэг шийдэл;

: хоёр шийдэл;

эсвэл: гурван шийдэл;

эсвэл: дөрвөн шийдэл.

Даалгавар 20.

Системд хэдэн шийдэл байдаг вэ?

Шийдэл.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн язгуурын тоо нь системийн өөрийн шийдлийн тоотой тэнцүү байх нь тодорхой байна.

Бидэнд, .

Энэ тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл гэж үзвэл бид олонлогийг олж авна.

Одоо координатын хавтгайд хандах нь даалгаврыг хялбаршуулдаг. Бид тэгшитгэлийг шийдэх замаар огтлолцох цэгүүдийн координатыг олдог

Параболын орой ба.

Хариулт:: дөрвөн шийдэл;

: хоёр шийдэл;

: нэг шийдэл;

: шийдэл байхгүй.

Даалгавар 21.

Тэгшитгэл нь зөвхөн хоёр ялгаатай үндэстэй параметрийн бүх бодит утгыг ол. Эдгээр үндэсийг бич.

Шийдэл .

Квадрат гурвалжны язгуурыг хаалтанд олъё:

Бид зурагнаас шаардлагатай мэдээллийг уншсан. Тэгэхээр энэ тэгшитгэл нь (ба) ба (ба) дээр хоёр өөр үндэстэй байна.

Хариулт: (ба) дээр

(ба) дээр.

Даалгавар 2 2 .

Тэгш бус байдлын системийг шийд:

Шийдэл.

Сүүдэрлэсэн талбайн бүх цэгүүд нь системийн шийдэл юм. Баригдсан талбайг хоёр хэсэгт хуваацгаая.

Хэрэв тийм бол ямар ч шийдэл байхгүй.

Хэрэв сүүдэрлэсэн хэсгийн цэгүүдийн абсцисса нь шулуун шугамын цэгүүдийн абсциссаас их, харин параболын абсцисса (тэгшитгэлийн том үндэс) -ээс бага байх болно.

Үүнийг шулуун шугамын тэгшитгэлээр илэрхийлье.

Тэгшитгэлийн язгуурыг олъё:

Дараа нь.

Хэрэв тийм бол.

Хариулт: ба 1-ийн хувьд шийдэл байхгүй;

at;

цагт.

Даалгавар 23.

Тэгш бус байдлын системийг шийд

Шийдэл.

– параболын дээд хэсэг.

Параболагийн дээд хэсэг.

Параболын огтлолцлын цэгүүдийн абсциссыг ол.

Параболын тэгшитгэлд бид тэдгээрийг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

Үүнийг бичээд үзье хариулт:

хэрэв ба, дараа нь ямар ч шийдэл байхгүй;

хэрэв, тэгвэл< ;

хэрэв, тэгвэл.

Даалгавар 24.

Ямар утгууд дээр, мөн тэгшитгэл шийдэл байхгүй юу?

Шийдэл.

Тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна

Системийн олон шийдлийг бүтээцгээе.

Аль нь болохыг олж мэдээд хасъя.

Тиймээс, шийдэл байхгүй тул;

шийдэл байхгүй үед;

(тэмдэглэл: үлдсэн хэсэг ньАнэг эсвэл хоёр шийдэл байдаг).

Хариулт: ; .

Даалгавар 25.

Параметрийн ямар бодит утгуудын хувьд дор хаяж нэг нөхцөлийг хангасан байдаг:

Шийдэл.

Тэгш бус байдлыг графикаар “интервалын арга” ашиглан шийдэж, график байгуулъя. Графикийн аль хэсэг нь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд баригдсан хэсэгт багтаж байгааг харцгаая, мөн харгалзах утгыг олъё.А.

Бид шулуун шугамын графикийг бүтээдэг ба

Тэд координатын хавтгайг 4 бүсэд хуваадаг.

Сүүлчийн тэгш бус байдлыг бид интервалын аргыг ашиглан графикаар шийднэ.

Сүүдэрлэсэн талбай нь түүний шийдэл юм. Парабола графикийн нэг хэсэг нь энэ хэсэгт ордог. Интервал дээр; (нөхцөлөөр системийн тэгш бус байдал хатуу байна) өгөгдсөн системийн нөхцлийг хангасан байдаг.

Хариулт:

Даалгавар 26.

Тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багцад тэгш бус байдлын нэг шийд агуулаагүй параметрийн бүх утгыг ол.

Шийдэл.

Хариулт:эсвэл.

Даалгавар 27.

Параметрийн ямар утгуудын хувьд тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй вэ?

Шийдэл.

Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё.

Энэ тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна:

Координатын хавтгайд хүн амын графикийг байгуулъя.

эсвэл

– шугамын огтлолцлын цэг ба. Хүн амын график нь шулуун шугамуудын нэгдэл юм.

График цэгүүдийг абсциссаар "цоол".

Зөвхөн энэ тэгшитгэлд л өвөрмөц шийдэл байх нь ойлгомжтой.

Хариулт:эсвэл.

Даалгавар 28.

Параметрийн ямар бодит утгуудын хувьд тэгш бус байдлын системд шийдэл байхгүй вэ?

Шийдэл.

Бид шулуун шугамыг барьдаг. Зураг дээрээс бид (гипербол ба шулуун шугамын огтлолцох цэгийн абсцисса) шулуун шугамууд нь сүүдэрлэсэн талбайг огтолж болохгүй гэдгийг тодорхойлно.

Хариулт:цагт.

Даалгавар 29.

Ямар параметрийн утгууд дээрА систем нь өвөрмөц шийдэлтэй.

Шийдэл.

Энэ системтэй дүйцэхүйц систем рүү шилжье.

Координатын хавтгайд бид параболын график, параболын оройн цэгүүдийг тус тус байгуулна.

Тэгшитгэлийг шийдэж параболын огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг тооцоолъё

Сүүдэрлэсэн талбай нь тэгш бус байдлын системийн шийдэл юм. Шууд ба

Хариулт:би дээр.

Даалгавар 30.

Тэгш бус байдлыг шийд:

Шийдэл.

Параметрээс хамааран бид утгыг олох болно.

Бид "интервалын арга" ашиглан тэгш бус байдлыг шийдэх болно.

Параболыг бүтээцгээе

: .

Параболын огтлолцлын цэгийн координатыг тооцоолъё.

1) Хэрэв тийм бол шийдэл байхгүй.

2) Хэрэв, тэгвэл бид үүнийг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ:

Тиймээс тухайн бүс нутагтI бидэнд байгаа.

Хэрэв тийм бол хараарай:

a) бүс нутаг II .

Үүнийг тэгшитгэлээр дамжуулан илэрхийлье.

Жижиг үндэс

Илүү том үндэс.

Тиймээс, бүс нутагт II бидэнд байгаа.

б) бүс нутаг III : .

Хариулт: шийдэл байхгүй үед;

цагт

үед, .

Уран зохиол:

Галицкий М.Л., Голдман А.М., Звавич Л.И. 8-9-р ангийн алгебрийн асуудлын цуглуулга: Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай сургууль, ангийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг - 2-р хэвлэл. – М.: Боловсрол, 1994 он.

П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Параметртэй холбоотой асуудал. 3 дахь хэвлэл, өргөтгөж, шинэчилсэн. – М.: Илекса, Харьков: Гимнази, 2003 он.

Фаддеев Д.К. Алгебр 6 – 8. – М.: Боловсрол, 1983 (б – ка математикийн багш).

А.Х.Шахмейстер. Параметр бүхий тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Б.Г.Зив найруулсан. С - Петербург. Москва. 2004 он.

В.В.Амелкин, В.Л.Рабцевич. Параметрүүдийн асуудал Минск "Асар", 2002 он.

А.Х.Шахмейстер. Улсын нэгдсэн шалгалтын параметрүүдийн асуудал. Москвагийн их сургуулийн хэвлэлийн газар, Нева MTsNMO дээр CheRo.

Параметр бүхий тэгшитгэлийг сургуулийн математикийн хамгийн хэцүү асуудлуудын нэг гэж үздэг. Яг эдгээр ажлууд нь жилээс жилд Улсын нэгдсэн шалгалтын улсын нэгдсэн шалгалтын В, С төрлийн даалгаврын жагсаалтад багтдаг. Гэсэн хэдий ч параметр бүхий олон тооны тэгшитгэлүүдийн дунд графикаар хялбархан шийдэж болох тэгшитгэлүүд байдаг. Хэд хэдэн асуудлыг шийдэх жишээн дээр энэ аргыг авч үзье.

|x 2 – 2x – 3| тэгшитгэл болох a тооны бүхэл утгуудын нийлбэрийг ол. = a нь дөрвөн үндэстэй.

Шийдэл.

Асуудлын асуултанд хариулахын тулд нэг координатын хавтгайд функцүүдийн графикийг байгуулъя

y = |x 2 – 2x – 3| ба y = a.

Эхний функцийн график y = |x 2 – 2x – 3| y = x 2 – 2x – 3 параболын графикаас Ox тэнхлэгээс доогуур байгаа графикийн хэсгийг х тэнхлэгт тэгш хэмтэй үзүүлснээр гарна. Графикийн х тэнхлэгээс дээш байрлах хэсэг өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэнэ.

Үүнийг алхам алхмаар хийцгээе. y = x 2 – 2x – 3 функцийн график нь салбарууд нь дээшээ чиглэсэн парабол юм. Түүний графикийг бүтээхийн тулд оройн координатыг олдог. Үүнийг x 0 = -b/2a томъёог ашиглан хийж болно. Иймд x 0 = 2/2 = 1. Ординатын тэнхлэгийн дагуу параболын оройн координатыг олохын тулд х 0-ийн үр дүнгийн утгыг тухайн функцийн тэгшитгэлд орлуулна. Бид y 0 = 1 – 2 – 3 = -4 гэдгийг олж авна. Энэ нь параболын орой нь координаттай (1; -4) гэсэн үг юм.

Дараа нь та параболын салбаруудын координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олох хэрэгтэй. Параболын салбаруудын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдэд функцийн утга тэг байна. Тиймээс бид x 2 – 2x – 3 = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийднэ. Үүний үндэс нь шаардлагатай цэгүүд байх болно. Виетийн теоремоор бид x 1 = -1, x 2 = 3 байна.

Ординатын тэнхлэгтэй параболын салбаруудын огтлолцох цэгүүдэд аргументийн утга тэг байна. Тиймээс у = -3 цэг нь параболын салбаруудын у тэнхлэгтэй огтлолцох цэг юм. Үүссэн графикийг 1-р зурагт үзүүлэв.

y = |x 2 – 2x – 3| функцийн графикийг авахын тулд абсцисса доор байрлах графикийн хэсгийг х тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдлаар үзүүлье. Үүссэн графикийг Зураг 2-т үзүүлэв.

y = a функцийн график нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам юм. Үүнийг Зураг 3-т дүрсэлсэн болно. Зургийг ашигласнаар a нь (0; 4) интервалд хамаарах бол графикууд дөрвөн нийтлэг цэгтэй (мөн тэгшитгэл нь дөрвөн үндэстэй) болохыг олж мэдэв.

Үр дүнгийн интервалаас a тооны бүхэл утгууд: 1; 2; 3. Асуудлын асуултад хариулахын тулд эдгээр тоонуудын нийлбэрийг олъё: 1 + 2 + 3 = 6.

Хариулт: 6.

|x 2 – 4|x| тэгшитгэл болох a тооны бүхэл утгын арифметик дундажийг ол. – 1| = a нь зургаан үндэстэй.

y = |x 2 – 4|x| функцийн графикийг зурж эхэлье – 1|. Үүнийг хийхийн тулд бид a 2 = |a| тэгшитгэлийг ашиглана 2 болон функцын баруун талд бичигдсэн дэд модуль илэрхийлэлд бүрэн квадратыг сонго.

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Тэгвэл анхны функц нь y = |(|x| – 2) 2 – 5| хэлбэртэй байна.

Энэ функцийн графикийг бүтээхийн тулд бид функцүүдийн дараалсан графикийг байгуулна.

1) y = (x – 2) 2 – 5 – (2; -5) координаттай цэг дээрх оройтой парабол; (Зураг 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – 1-р алхамд баригдсан параболын ординатын тэнхлэгийн баруун талд байрлах хэсэг нь Ой тэнхлэгийн зүүн талд тэгш хэмтэй харагдаж байна; (Зураг 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – 2-р цэгт баригдсан графикийн х тэнхлэгийн доор байрлах хэсгийг дээшээ х тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдлаар харуулав. (Зураг 3).

Үр дүнгийн зургуудыг харцгаая:

y = a функцийн график нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам юм.

Зургийг ашиглан, хэрэв a нь (1; 5) интервалд хамаарах бол функцүүдийн графикууд зургаан нийтлэг цэгтэй (тэгшитгэл нь зургаан үндэстэй) байна гэж дүгнэв.

Үүнийг дараах зургаас харж болно.

a параметрийн бүхэл утгын арифметик дундажийг олцгооё.

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Хариулт: 3.

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.