Квантын талбайн онол дахь хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим. Хамгийн бага хүчин чармайлтын тухай хуулийг хэрхэн дагаж эхлэх вэ: Шаардлагатай гурван арга хэмжээ

Үр ашиг Төрөл бүрийн машин ашиглан эрчим хүчний эх үүсвэрийг гаргаж авах боломжтой янз бүрийн ажил– Ачаа өргөх, машин зөөх, бараа, хүн тээвэрлэх зэрэгт машинд оруулсан эрчим хүчний хэмжээ, түүнээс авсан үнэ цэнийг тооцоолж болно

Хасагдах зарчим 1924 онд тодорхой амжилтад хүрсэн хэдий ч өмнөх хэдэн жилийн турш ядаж атомын үзэгдэл судлалын үндсийг бүрдүүлэхэд туслах арга, зарчмуудыг бий болгож байсан "хуучин" квант онол 1924 онд тулгарсан.

II бүлэг Цөмийн бөмбөгний ажиллах зарчим Заримыг эргэн дурсъя ерөнхий мэдээлэлбүс нутгаас цөмийн физик, бид цөмийн бөмбөгийн үйл ажиллагааны зарчмын танилцуулга руу шилжиж болно цөмийн бөмбөгхоёр хуваагддаг том бүлгүүд: задралын урвал дээр суурилсан бөмбөг, заримдаа нэрлэдэг

II. -аас хамгаалах үхлийн үр дагаварцөмийн бөмбөг 1. Гэрлийн цацрагаас хамгаалах хамгийн найдвартай хамгаалалтгэрлийн цацрагаас хамгаалах нь гялбаанд өртөхгүй байх явдал юм. Гэрлийн цацраг нь шулуун шугамаар тархдаг гэж бид аль хэдийн хэлсэн

VIII бүлэг Цөмийн реакторын ажиллах зарчим I. Цөмийн реактор нь дараах таван үндсэн элементээс бүрдэнэ: 1) цөмийн түлш 4) хөргөлтийн систем; ) хамгаалах

19-р бүлэг Лекцийн дараа хийсэн хамгийн бага нөлөөллийн зарчим Намайг сургуульд байхад манай физикийн багш Бэдэр намайг хичээлийн дараа дуудаж ирээд: “Чи бүх зүйлээс аймаар залхсан юм шиг харагдаж байна; нэг сонирхолтой зүйл сонс

Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь гэр бүлийн дунд хамгийн чухал; тэр бол нэг юм гол заалтууд орчин үеийн физик.

Зарчмын анхны томьёоллыг 1744 онд (П. Маупертуйс (Франц)) өгсөн. Эндээс тэрээр гэрлийн тусгал, хугарлын хуулиудыг гаргаж авсан.

Сонгодог механик дахь хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим

Эхлээд жишээг ашиглан эргэн санацгаая физик системнэг, тэр нь, бидний энд ярьж байгаа нь, өөрөөр хэлбэл, x(t) функц бүртэй тодорхой тоог холбодог дүрэм юм. Үйлдэл нь дараах байдлаар харагдаж байна. S[x] = \int \маткал(L)(x(t),\dot(x)(t),t) dt, Хаана \маткал(L)(x(t),\цэг(x)(t),t)Замын чиглэлээс (жишээ нь, координатууд нь эргээд цаг хугацаанаас хамаардаг), цаг хугацааны анхныхаас хамаардаг системүүд байдаг бөгөөд мөн .

Хэчнээн "зэрлэг", "байгалийн бус" байсан ч хамаагүй дур зоргоороо үйлдлийг тооцоолж болно. Гэсэн хэдий ч бүхэл бүтэн багцын дунд боломжит замналбие үнэхээр явах цорын ганц зам байдаг. Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь бие хэрхэн хөдлөх вэ гэсэн асуултанд яг тодорхой хариулдаг.

Энэ нь хэрэв системийн Лагранж өгөгдсөн бол бид үүнийг ашиглан бие яг хэрхэн хөдөлж байгааг тогтоож чадна гэсэн үг юм.

Хэрэв хөдөлгөөний хуулийг зарчмын хувьд асуудлын нөхцлөөс олж болох юм бол энэ нь жинхэнэ хөдөлгөөний хувьд туйлын утгыг авах функцийг бүтээх боломжтой гэсэн үг юм.

Тэд үүнийг дагаж мөрддөг тул энэ зарчим нь орчин үеийн физикийн гол заалтуудын нэг юм. Түүний тусламжтайгаар олж авсан хөдөлгөөний тэгшитгэлийг Эйлер-Лагранжийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Зарчмын анхны томьёоллыг П.Маупертуйс он онд өгсөн бөгөөд оптик, механикт хэрэглэх боломжтой гэж үзэн түүний бүх нийтийн шинж чанарыг нэн даруй зааж өгсөн. -аас энэ зарчимтэрээр гэрлийн тусгал, хугарлын хуулиудыг гаргаж авсан.

Өгүүллэг

Орчлон ертөнцийг төгс төгөлдөр болгохын тулд байгальд тодорхой хэмнэлт шаардагддаг бөгөөд ямар ч ашиггүй энерги зарцуулалттай зөрчилддөг гэсэн мэдрэмжээс Мопертуйс энэ зарчимд хүрсэн. Байгалийн хөдөлгөөнзарим тоо хэмжээг хамгийн бага байлгахаар байх ёстой. Түүний хийх ёстой зүйл бол энэ үнэ цэнийг олох явдал байсан бөгөөд тэр үргэлжлүүлэн хийсээр байв. Энэ нь системийн доторх хөдөлгөөний үргэлжлэх хугацааны (цаг хугацааны) үржвэрээс хоёр дахин их утгатай байсан бөгөөд үүнийг бид одоо системийн кинетик энерги гэж нэрлэдэг.

Эйлер (ин "Байгалийн эргэн тойрон дахь рефлексүүд", 1748) хамгийн бага хэмжээний үйл ажиллагааны зарчмыг баталж, үйлдлийг "хүчин чармайлт" гэж нэрлэдэг. Түүний статик дахь илэрхийлэл нь одоо бидний боломжит энерги гэж нэрлэх зүйлтэй тохирч байгаа тул статик дахь хамгийн бага үйл ажиллагааны талаархи түүний мэдэгдэл нь хамгийн бага нөхцөлтэй тэнцүү байна. боломжит эрчим хүчтэнцвэрийн тохиргооны хувьд.

Сонгодог механикт

Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь механикийн Лагранж ба Гамильтоны томъёоллын үндсэн ба стандарт үндэс болдог.

Эхлээд барилгын ажлыг дараах байдлаар харцгаая. Лагранжийн механик. Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий физик системийн жишээг ашиглан үйлдэл нь (ерөнхий) координаттай (нэг зэрэглэлийн эрх чөлөөний хувьд - нэг координат) функциональ, өөрөөр хэлбэл үүнийг дараах байдлаар илэрхийлдэг гэдгийг санацгаая. Функцийн төсөөлж болох хувилбар бүр нь тодорхой тоо - үйлдэлтэй холбоотой байдаг (энэ утгаараа үйл ажиллагаа нь функциональ байдлаар аливаа үйлдлийг гүйцэтгэхийг зөвшөөрдөг дүрэм гэж хэлж болно. өгөгдсөн функцбүрэн тооцоолох тодорхой тоо- бас үйлдэл гэж нэрлэдэг). Үйлдэл нь дараах байдлаар харагдаж байна.

системийн Лагранж хаана байна, ерөнхий координат, түүний цаг хугацааны талаархи анхны дериватив, мөн магадгүй цаг хугацааны хувьд тодорхой байна. Хэрэв систем нь илүү олон тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй бол Лагранжаас хамаарна илүүерөнхий координатууд ба тэдгээрийн анхны деривативууд. Тиймээс үйлдэл нь биеийн замналаас хамааран скаляр функциональ юм.

Үйлдэл нь скаляр байдаг нь үүнийг ямар ч ерөнхий координатаар бичихэд хялбар болгодог бөгөөд гол зүйл нь системийн байрлал (тохиргоо) нь тэдгээрээр тодорхойлогддог (жишээлбэл, декартын координатуудын оронд эдгээр нь туйлтай байж болно. координат, системийн цэгүүдийн хоорондох зай, өнцөг эсвэл тэдгээрийн функц гэх мэт.d.).

Хэчнээн "зэрлэг", "байгалийн бус" байсан ч хамаагүй дур зоргоороо үйлдлийг тооцоолж болно. Гэсэн хэдий ч сонгодог механикт бүх боломжит замналуудын дунд зөвхөн нэг бие нь явах боломжтой байдаг. Хөдөлгөөнгүй үйл ажиллагааны зарчим нь бие хэрхэн хөдлөх вэ гэсэн асуултын хариултыг яг таг өгдөг.

Энэ нь хэрэв системийн Лагранж өгөгдсөн бол вариацын тооцооллыг ашиглан эхлээд хөдөлгөөний тэгшитгэл болох Эйлер-Лагранжийн тэгшитгэлийг олж аваад дараа нь тэдгээрийг шийдвэрлэх замаар бие яг хэрхэн хөдлөхийг тогтоож чадна гэсэн үг юм. Энэ нь зөвхөн механикийн томъёоллыг нухацтай нэгтгэх төдийгүй, зөвхөн декартаар хязгаарлагдахгүй, тодорхой асуудал бүрийн хувьд хамгийн тохиромжтой координатыг сонгох боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн хялбар шийдэгдсэн тэгшитгэлийг олж авахад маш их хэрэгтэй болно.

Энэ системийн Хамилтон функц хаана байна; - (ерөнхий) координатууд, - тус бүрээр нь тодорхойлогддог коньюгат (ерөнхий) импульс Энэ мөчцаг хугацаа, системийн динамик төлөв ба тус бүр нь цаг хугацааны функц учраас системийн хувьслыг (хөдөлгөөн) тодорхойлдог. Энэ тохиолдолд системийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг Гамильтоны каноник тэгшитгэл хэлбэрээр олж авахын тулд энэ аргаар бичсэн үйлдлийг бүгдийг болон .

Хэрэв асуудлын нөхцлөөс зарчмын хувьд хөдөлгөөний хуулийг олох боломжтой бол энэ нь автоматаар болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үгүйавах функцийг бүтээх боломжтой гэсэн үг суурин үнэ цэнэжинхэнэ хөдөлгөөнөөр. Жишээ нь хамтарсан хөдөлгөөн байж болно цахилгаан цэнэгба монополууд - соронзон цэнэгүүд- цахилгаан соронзон орон дээр. Тэдний хөдөлгөөний тэгшитгэлийг хөдөлгөөнгүй үйл ажиллагааны зарчмаас гаргаж болохгүй. Үүний нэгэн адил зарим Гамильтоны системүүд энэ зарчмаас гаргаж авах боломжгүй хөдөлгөөний тэгшитгэлтэй байдаг.

Жишээ

Өчүүхэн жишээнүүд нь Эйлер-Лагранжийн тэгшитгэлээр дамжуулан үйл ажиллагааны зарчмын ашиглалтыг үнэлэхэд тусалдаг. Чөлөөт бөөмс(жин мболон хурд v) Евклидийн орон зайд шулуун шугамаар хөдөлдөг. Эйлер-Лагранж тэгшитгэлийг ашиглан үүнийг туйлын координатаар дараах байдлаар харуулж болно. Потенциал байхгүй тохиолдолд Лагранж функц нь кинетик энергитэй тэнцүү байна

В ортогональ системкоординатууд

IN туйлын координат кинетик энерги, улмаар Лагранж функц болно

Тэгшитгэлийн радиаль ба өнцгийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь дараах байдалтай байна.

Эдгээр хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Энд бүх замналын х(t) дээр хязгааргүй олон функциональ интеграцчлах нөхцөлт тэмдэглэгээ байна. Энэ нь Планкийн тогтмол юм. Зарчмын хувьд квант механик дахь хувьслын операторыг судлах үед экспоненциал дахь үйлдэл нь өөрөө гарч ирдэг (эсвэл гарч ирж болно), гэхдээ яг сонгодог (квант бус) аналогтой системүүдийн хувьд энэ нь ердийнхтэй яг тэнцүү гэдгийг бид онцолж байна. сонгодог үйлдэл.

Сонгодог хязгаар дахь энэ илэрхийллийн математик шинжилгээ - хангалттай том, өөрөөр хэлбэл төсөөллийн экспоненциалын маш хурдан хэлбэлзлийн хувьд - энэ интеграл дахь бүх боломжит замналуудын дийлэнх нь хязгаарт (албан ёсоор ) бие биенээ цуцалж байгааг харуулж байна. Бараг ямар ч замд фазын шилжилт яг эсрэгээрээ байх зам байдаг бөгөөд тэдгээр нь тэг хувь нэмэр оруулах болно. Зөвхөн үйл ажиллагаа нь туйлын утгад ойртсон замналууд (ихэнх системүүдийн хувьд - хамгийн багадаа) буурахгүй. Цэвэрхэн математикийн баримтнийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолоос; Жишээлбэл, суурин фазын арга нь үүн дээр суурилдаг.

Үүний үр дүнд доторх бөөмс бүрэн тохиролцсонквант механикийн хуулиудын дагуу энэ нь бүх траекторын дагуу нэгэн зэрэг хөдөлдөг боловч хэвийн нөхцөлд зөвхөн хөдөлгөөнгүй (өөрөөр хэлбэл сонгодог) ойролцоо траекторууд ажиглагдсан утгуудад хувь нэмэр оруулдаг. Учир нь квант механикөндөр энергийн хязгаарт сонгодог болж хувирдаг бол энэ нь тийм гэж таамаглаж болно квант механик гарал үүсэлтэй сонгодог зарчимүйл ажиллагааны хөдөлгөөнгүй байдал.

Квант талбайн онолд

Квантын талбайн онолд үйл ажиллагааны тогтворгүй байдлын зарчмыг амжилттай ашигладаг. Энд байгаа Лагранжийн нягтралд харгалзах квант талбайн операторууд багтана. Хэдийгээр үйл ажиллагааны тогтворгүй байдлын зарчмын тухай биш харин тохиргоонд эсвэл траекторийн дагуу Фейнман интеграцийн тухай ярих нь үндсэндээ (сонгодог хязгаар ба хэсэгчлэн бараг сонгодогоос бусад) илүү зөв юм. фазын орон зайЭдгээр талбарууд - саяхан дурдсан Лагранжийн нягтыг ашиглан.

Цаашдын ерөнхий дүгнэлт

Илүү өргөнөөр хэлбэл, үйлдэл нь тохиргооны орон зайгаас олонлог хүртэлх зураглалыг тодорхойлсон функц гэж ойлгогддог. бодит тоомөн ерөнхийдөө интеграл байх албагүй, учир нь орон нутгийн бус үйлдлүүд нь зарчмын хувьд, наад зах нь онолын хувьд боломжтой байдаг. Түүгээр ч зогсохгүй тохиргооны орон зай нь функциональ орон зай байх албагүй, учир нь энэ нь шилжихгүй геометртэй байж болно.

Тэмдэглэл

Уран зохиол

• Механикийн вариацын зарчим. Бямба. Шинжлэх ухааны сонгодог бүтээлүүд. Полак Л.С. М .: Физматгиз. 1959.
• Ланчос К.Механикийн вариацын зарчим. - М .: Физматгиз. 1965 он.
• Бердичевский В.Л. Вариацын зарчиммеханик тасралтгүй. М.: Наука, 1983. - 448 х.

Анх Жэкобигийн нарийн томъёолсон хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь Хамилтоны зарчимтай төстэй боловч ерөнхийдөө бага, нотлоход илүү хэцүү байдаг. Энэ зарчим нь зөвхөн холболт ба хүчний үйл ажиллагаа нь цаг хугацаанаас хамаардаггүй, тиймээс амьд хүчний салшгүй хэсэг байгаа тохиолдолд л хамаарна.

Энэ интеграл нь дараах хэлбэртэй байна.

Дээр дурдсан Гамильтоны зарчим нь интегралын хэлбэлзэл юм

Бодит хөдөлгөөн нь системийг ижил хөдөлгөөнөөс шилжүүлдэг бусад хязгааргүй ойрхон хөдөлгөөнд шилжих үед тэгтэй тэнцүү байна. анхны байрлалижил хугацаанд ижил эцсийн байрлал руу.

Жакобигийн зарчим нь эсрэгээрээ, цаг хугацаанаас хамаардаггүй хөдөлгөөний шинж чанарыг илэрхийлдэг. Жакоби интеграл гэж үздэг

үйл ажиллагааг тодорхойлох. Түүний тогтоосон зарчим нь системийн бодит хөдөлгөөнийг ижил анхны байрлалаас эцсийн байрлал руу шилжүүлдэг бусад хязгааргүй ойрхон хөдөлгөөнтэй харьцуулах үед энэ интегралын хэлбэлзэл тэг болно гэж заасан. Энэ тохиолдолд бид зарцуулсан цаг хугацааг анхаарч үздэггүй, гэхдээ бид (1) тэгшитгэлийг ажиглаж байна, өөрөөр хэлбэл, бодит хөдөлгөөнтэй адил h тогтмолтой ижил утгатай ажиллах хүчний тэгшитгэл.

Экстремумд зайлшгүй шаардлагатай энэ нөхцөл нь ерөнхийдөө хамгийн бага интеграл (2) -д хүргэдэг бөгөөд ингэснээр хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим гэж нэрлэгддэг. Т-ийн утга үндсэндээ эерэг тул интеграл (2) нь заавал минимумтай байх ёстой тул хамгийн бага нөхцөл нь хамгийн байгалийн юм. Зөвхөн хугацаа нь хангалттай бага байвал хамгийн бага хэмжээ байгаа нь хатуу нотлогдож болно. Энэ байр суурийг нотлох баримтыг Дарбоусын гадаргуугийн онолын тухай алдартай хичээлээс олж болно. Гэсэн хэдий ч бид үүнийг энд танилцуулахгүй бөгөөд зөвхөн нөхцөлийг гаргахаар хязгаарлагдах болно

432. Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмын баталгаа.

At бодит тооцооБид Гамильтоны теоремыг батлахад байдаггүй нэг бэрхшээлтэй тулгардаг. t хувьсагч нь өөрчлөлтөөс хамааралгүй байхаа больсон; тиймээс q i ба q-ийн өөрчлөлтүүд. (1) тэгшитгэлээс үүсэлтэй нийлмэл хамаарлаар t-ийн өөрчлөлттэй холбоотой. Энэ бэрхшээлийг даван туулах хамгийн энгийн арга бол бие даасан хувьсагчийг өөрчлөх, цаг хугацаанаас хамаарахгүй тогтмол хязгаарын хооронд байх утгыг сонгох явдал юм. k нь шинэ бие даасан хувьсагч байх ба түүний хязгаар нь t-ээс хамааралгүй гэж тооцогдоно. Системийг хөдөлгөх үед параметр ба t нь энэ хувьсагчийн функц болно

Анхны тоотой q үсэг нь q параметрийн деривативыг цаг хугацааны хувьд тэмдэглэе.

Холболтуудыг цаг хугацаанаас хамааралгүй гэж үздэг тул Декарт координат x, y, z нь цагийг агуулаагүй q функцууд юм. Тиймээс тэдгээрийн деривативууд нь q-ийн шугаман нэгэн төрлийн функцүүд байх ба 7 нь q-ийн нэг төрлийн квадрат хэлбэр байх ба коэффициентүүд нь q-ийн функцууд юм. Бидэнд байгаа

q-ийн деривативуудыг цаг хугацааны хувьд ялгахын тулд бид хаалтанд (q) q-ийн деривативуудыг тэмдэглэж, үүнд нийцүүлэн тэмдэглэнэ.

тэгвэл бидэнд байх болно

шинэ бие даасан хувьсагч А-аар илэрхийлэгдсэн интеграл (2) хэлбэрийг авна;

Амьд хүчний теоремыг ашиглан деривативыг арилгаж болно. Үнэхээр хүн хүчний салшгүй хэсэг байх болно

Энэ илэрхийлэлийг томъёонд орлуулснаар бид интеграл (2) хэлбэрийг бууруулна

Үйлдлийг тодорхойлсон интеграл нь эцсийн хэлбэрээ авсан (3). Интеграл функц байдаг Квадрат язгуур-аас квадрат хэлбэрүнэт зүйлсээс

Үүнийг харуулъя дифференциал тэгшитгэл(3) интегралын экстремальууд нь яг Лагранжийн тэгшитгэлүүд юм. Үндэслэсэн экстремалуудын тэгшитгэл ерөнхий томъёоөөрчлөлтийн тооцоо нь:

Тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлж, агуулаагүйг харгалзан хэсэгчилсэн ялгаварлалыг хийцгээе, хэрэв бид индекс бичихгүй бол,

Эдгээр нь бие даасан байдлаар илэрхийлэгдсэн экстремалуудын тэгшитгэл юм хувьсах даалгавародоо бие даасан хувьсагч руу буцах гэж байна

Учир нь G нэгэн төрлийн функц 2-р зэрэглэлийн ба нь нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн функц юм, тэгвэл бид байна

Нөгөө талаас, амьд хүчний теоремыг экстремальуудын тэгшитгэл дэх деривативын хүчин зүйлүүдэд хэрэглэж болох бөгөөд энэ нь дээр дурдсанчлан орлуулалтад хүргэдэг.

Бүх орлуулалтын үр дүнд экстремальуудын тэгшитгэлүүд хэлбэрт ордог

Ингээд бид Лагранжийн тэгшитгэлд хүрлээ.

433. хөдөлгөгч хүч байхгүй тохиолдолд.

Хэрэв хөдөлгөгч хүчҮгүй ээ, ажиллах хүчний тэгшитгэл байдаг бөгөөд бидэнд байдаг

Интеграл хамгийн бага байх нөхцөл нь энэ тохиолдолдхаргалзах утга -10 нь хамгийн бага байх ёстой. Тиймээс хөдөлгөгч хүч байхгүй үед бүх хөдөлгөөний дунд байдаг хүн хүчадилхан хадгалдаг өгөгдсөн үнэ цэнэ, бодит хөдөлгөөн нь системийг хамгийн богино хугацаанд анхны байрлалаас эцсийн байрлал руу аваачдаг хөдөлгөөн юм.

Хэрэв системийг хөдөлгөөнгүй гадаргуу дээр хөдөлж буй нэг цэг болгон бууруулсан бол гадаргуу дээрх бүх хөдөлгөөнүүдийн дунд ижил хурдтайгаар хийгдсэн бодит хөдөлгөөн нь тухайн цэгийн анхны байрлалаас эцсийн байрлал руу шилжих хөдөлгөөн юм. хамгийн богино

хугацааны интервал. Өөрөөр хэлбэл, гадаргуу дээрх цэгийг дүрсэлдэг хамгийн богино шугамтүүний хоёр байрлалын хооронд, өөрөөр хэлбэл геодезийн шугам.

434. Тайлбар.

Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь систем нь хэд хэдэн зэрэглэлийн эрх чөлөөтэй гэж үздэг, учир нь хэрэв зөвхөн нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө байсан бол хөдөлгөөнийг тодорхойлоход нэг тэгшитгэл хангалттай байх болно. Энэ тохиолдолд хөдөлгөөнийг амьд хүчний тэгшитгэлээр бүрэн тодорхойлж болох тул бодит хөдөлгөөн нь энэ тэгшитгэлийг хангасан цорын ганц хөдөлгөөн байх тул бусад хөдөлгөөнтэй харьцуулах боломжгүй юм.

Хөдөлгөөний хуулийн хамгийн ерөнхий томъёолол механик системүүдхамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим (эсвэл Гамильтоны зарчим) гэж нэрлэгддэг зарчмаар өгөгддөг. Энэ зарчмын дагуу механик систем бүр тодорхой функцээр тодорхойлогддог.

эсвэл дотор богино тэмдэглэл, системийн хөдөлгөөн нь дараах нөхцлийг хангана.

Системийг координатын хоѐр багц утгуудаар тодорхойлогддог тодорхой цаг мөчид (1) тодорхой байрлалд байлгаж, дараа нь систем эдгээр байрлалуудын хооронд интеграл байхаар хөдөлнө.

хамгийн бага нь байсан боломжит утга. L функцийг энэ системийн Лагранж функц, интеграл (2.1)-ийг үйлдэл гэнэ.

Лагранжийн функц нь зөвхөн q ба q-г агуулдаг боловч түүнээс дээш деривативуудыг агуулаагүй нь механик төлөвийг координат ба хурдны тодорхойлолтоор бүрэн тодорхойлно гэсэн дээрх мэдэгдлийн илэрхийлэл юм.

Дифференциал тэгшитгэлийн гаргалгаа руу шилжье. асуудлыг шийдэж байнаинтегралын минимумыг тодорхойлох тухай (2.1). Томъёо бичихийг хялбарчлахын тулд эхлээд систем нь зөвхөн нэг зэрэглэлийн эрх чөлөөтэй тул зөвхөн нэг функцийг тодорхойлох ёстой гэж үзье.

S хамгийн бага байх функц байгаасай. Энэ нь хэлбэрийн аль нэг функцээр солигдох үед S нь нэмэгддэг гэсэн үг юм

-аас хүртэлх бүх хугацааны интервалд жижиг функц (үүнийг функцийн өөрчлөлт гэж нэрлэдэг, учир нь харьцуулсан бүх функцууд (2.2) ижил утгыг авах ёстой бол дараах байдалтай байна:

q-г орлуулах үед 5-ын өөрчлөлтийг зөрүүгээр өгнө

Эрх мэдлийн (интегралд) энэ ялгааг өргөтгөх нь нэгдүгээр эрэмбийн нөхцлөөс эхэлдэг. Шаардлагатай нөхцөл S)-ийн хамгийн бага байдал нь эдгээр нэр томъёоны багц алга болох явдал юм; үүнийг интегралын эхний хувилбар (эсвэл ихэвчлэн зүгээр л өөрчлөлт) гэж нэрлэдэг. Тиймээс хамгийн бага үйлдлийн зарчмыг ингэж бичиж болно

эсвэл янз бүрээр:

Хоёрдахь нэр томъёог хэсэг хэсгээр нь нэгтгэж, дараахь зүйлийг авна.

Гэвч (2.3) нөхцлийн улмаас энэ илэрхийллийн эхний нэр томъёо алга болно. Үлдсэн зүйл бол интеграл бөгөөд энэ нь байх ёстой тэгтэй тэнцүүдурын утгуудын хувьд. Энэ нь зөвхөн интеграл нь адилхан алга болсон тохиолдолд л боломжтой юм. Тиймээс бид тэгшитгэлийг олж авна

Хэд хэдэн зэрэглэлийн эрх чөлөө байгаа тохиолдолд хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь бие даан өөрчлөгдөх ёстой янз бүрийн функцуудМэдээжийн хэрэг, бид дараа нь хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авах болно

Эдгээр нь шаардлагатай дифференциал тэгшитгэлүүд юм; механикийн хувьд тэдгээрийг Лагранжийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв өгөгдсөн механик системийн Лагранжийн функц мэдэгдэж байгаа бол (2.6) тэгшитгэлүүд нь хурдатгал, хурд, координатын хоорондох холбоог тогтоодог, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь системийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг илэрхийлдэг.

ХАМТ математикийн цэгЭндээс харахад (2.6) тэгшитгэлүүд нь үл мэдэгдэх функцүүдийн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг. Нийтлэг шийдвэрийм систем нь дурын тогтмолуудыг агуулдаг. Тэдгээрийг тодорхойлох, ингэснээр бүрэн тодорхойлолтмеханик системийн хөдөлгөөн нь мэдлэг шаарддаг анхны нөхцөл, тодорхой цаг хугацааны системийн төлөв байдлыг тодорхойлох, жишээлбэл мэдлэг анхны утгуудбүх координат ба хурд.

Механик систем нь А ба В гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэх ба тэдгээр нь хаалттай байвал тус бүр нь Лагранжийн функцтэй байх ёстой. Дараа нь хязгаарт хэсгүүд нь тэдгээрийн хоорондын харилцан үйлчлэлийг үл тоомсорлож болох хүртэл тусгаарлагдсан үед бүхэл системийн Лагранжийн функц хязгаарт хүрэх хандлагатай байдаг.

Лагранжийн функцийн нэмэлтийн энэ шинж чанар нь харилцан үйлчилдэггүй хэсэг бүрийн хөдөлгөөний тэгшитгэл нь системийн бусад хэсгүүдтэй холбоотой хэмжигдэхүүнүүдийг агуулж болохгүй гэдгийг илэрхийлдэг.

Механик системийн Лагранжийн функцийг дурын тогтмол тоогоор үржүүлэх нь өөрөө хөдөлгөөний тэгшитгэлд нөлөөлөхгүй нь ойлгомжтой.

Эндээс харахад ихээхэн тодорхойгүй байдал үүсч магадгүй юм: янз бүрийн тусгаарлагдсан механик системүүдийн Лагранжийн функцийг ямар ч өөр тогтмол тоогоор үржүүлж болно. Нэмэлт байдлын шинж чанар нь энэ тодорхойгүй байдлыг арилгадаг - энэ нь зөвхөн бүх системийн Лагранжийн функцийг ижил тогтмол тоогоор нэгэн зэрэг үржүүлэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь энэхүү физик хэмжигдэхүүнийг хэмжих нэгжийг сонгохдоо байгалийн дур зоргоороо л бууж өгдөг; Бид энэ асуудалд §4-т эргэн орох болно.

Дараах ерөнхий тайлбарыг хэлэх шаардлагатай байна. Координат ба цаг хугацааны аливаа функцын нийт хугацааны деривативаар бие биенээсээ ялгаатай хоёр функцийг авч үзье.

Эдгээр хоёр функцийг ашиглан тооцсон интеграл (2.1) нь хамаарлаар холбогдоно

өөрөөр хэлбэл үйлдлийг өөрчлөх үед алга болох нэмэлт нэр томъёогоор бие биенээсээ ялгаатай бөгөөд ингэснээр нөхцөл нь нөхцөлтэй давхцаж, хөдөлгөөний тэгшитгэлийн хэлбэр өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Тиймээс Лагранжийн функц нь координат ба цаг хугацааны аливаа функцийн нийт деривативыг нэмэх хүртэл тодорхойлогддог.