Эхний түвшин

Арифметик прогресс. Нарийвчилсан онолжишээнүүдийн хамт (2019)

Тооны дараалал

Ингээд суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:
Та ямар ч тоо бичиж болно, тэдгээрийн аль болох олон тоо байж болно (манай тохиолдолд тэдгээр нь байдаг). Хичнээн тоо бичсэн ч аль нь нэгдүгээрт, аль нь хоёрдугаарт байна гэх мэтээр сүүлчийнх хүртэл хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл дугаарлах боломжтой. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм:

Тооны дараалал
Жишээлбэл, бидний дарааллын хувьд:

Өгөгдсөн дугаар нь дарааллын зөвхөн нэг дугаарт зориулагдсан болно. Өөрөөр хэлбэл, дараалалд хоёр дахь гурван тоо байдаггүй. Хоёрдахь тоо (дахь дугаар шиг) үргэлж ижил байдаг.
Тоотой тоог дарааллын 3-р гишүүн гэж нэрлэдэг.

Бид ихэвчлэн дарааллыг бүхэлд нь ямар нэг үсгээр (жишээ нь,) дууддаг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүр нь энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг байна: .

Манай тохиолдолд:

Бидэнд байгаа гэж бодъё тооны дараалал, үүнд зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байна.
Жишээлбэл:

гэх мэт.
Энэ тооны дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг.
"Дэвшил" гэсэн нэр томъёог 6-р зуунд Ромын зохиолч Боэтиус нэвтрүүлсэн бөгөөд үүнийг илүү олон хэлээр ойлгож байжээ. өргөн утгаараа, хязгааргүй тооны дараалал шиг. "Арифметик" гэдэг нэр нь эртний Грекчүүдийн судалж байсан тасралтгүй харьцааны онолоос шилжсэн.

Энэ бол гишүүн бүр нь өмнөх тоон дээр нэмсэнтэй тэнцүү тооны дараалал юм. Энэ тоог зөрүү гэж нэрлэдэг арифметик прогрессболон томилогдсон.

Аль тооны дараалал нь арифметик прогресс, аль нь биш болохыг тодорхойлохыг хичээ.

а)
б)
в)
г)

Авчихсан? Хариултаа харьцуулж үзье:
байнаарифметик прогресс - b, c.
Бишарифметик прогресс - a, d.

Өгөгдсөн прогресс () руу буцаж очоод түүний 3-р гишүүний утгыг олохыг хичээцгээе. Байгаа хоёролох арга.

1. Арга

Прогрессийн 3-р гишүүнд хүрэх хүртэл бид прогрессийн тоог өмнөх утгад нэмж болно. Бидэнд нэгтгэн дүгнэх зүйл байхгүй байгаа нь сайн хэрэг - ердөө гурван утга:

Тэгэхээр тайлбарласан арифметик прогрессийн 3-р гишүүн тэнцүү байна.

2. Арга

Прогрессийн гишүүний утгыг олох шаардлагатай бол яах вэ? Дүгнэлт хийхэд нэг цаг гаруй хугацаа шаардагдах бөгөөд бид тоо нэмэхэд алдаа гаргахгүй байх нь үнэн биш юм.
Мэдээжийн хэрэг математикчид арифметик прогрессийн зөрүүг өмнөх утгад нэмэх шаардлагагүй гэсэн аргыг бодож олжээ. Зурсан зургийг сайтар ажиглаарай... Та тодорхой хэв маягийг аль хэдийн анзаарсан байх, тухайлбал:

Жишээлбэл, энэ арифметик прогрессийн 3-р гишүүний утга юунаас бүрдэхийг харцгаая.


Өөрөөр хэлбэл:

Өгөгдсөн арифметик прогрессийн гишүүний утгыг өөрөө ингэж олохыг хичээгээрэй.

Та тооцоолсон уу? Тэмдэглэлээ хариулттай харьцуул.

Өмнөх утга дээр арифметик прогрессийн нөхцөлүүдийг дараалан нэмэх үед та өмнөх аргатай яг ижил тоог авсан болохыг анхаарна уу.
"Хувь хүнгүй болгохыг" хичээцгээе. энэ томъёо- Үүнийг ерөнхий хэлбэрт оруулаад:

Арифметик прогресс нь нэмэгдэж эсвэл буурч болно.

Нэмэгдэх- нэр томъёоны дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө их байх прогрессууд.
Жишээлбэл:

Бууж байна- нэр томъёоны дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө бага байх прогрессууд.
Жишээлбэл:

Үүсмэл томъёог арифметик прогрессийн өсөлт ба буурах гишүүний аль алинд нь нэр томъёог тооцоолоход ашигладаг.
Үүнийг практик дээр шалгаж үзье.
Бидэнд дараах тоонуудаас бүрдэх арифметик прогресс өгөгдсөн: Хэрэв бид үүнийг тооцоолохдоо томъёогоо ашиглавал энэ арифметик прогрессийн 3-р тоо хэд болохыг шалгая:

Түүнээс хойш:

Тиймээс, томъёо нь арифметик прогрессийн бууралт, өсөлтийн аль алинд нь ажилладаг гэдэгт бид итгэлтэй байна.
Энэхүү арифметик прогрессийн 3 ба 3-р гишүүнийг өөрөө олохыг хичээ.

Үр дүнг харьцуулж үзье:

Арифметик прогрессийн шинж чанар

Асуудлыг хүндрүүлье - бид арифметик прогрессийн шинж чанарыг гаргаж авах болно.
Бидэнд дараах нөхцөл өгөгдсөн гэж бодъё.
- арифметик прогресс, утгыг ол.
Хялбар, та аль хэдийн мэддэг томъёоныхоо дагуу тоолж эхэлнэ.

За тэгвэл:

Туйлын зөв. Бид эхлээд олоод, дараа нь эхний тоон дээр нэмээд хайж байгаа зүйлээ олж авдаг. Хэрэв прогрессийг жижиг утгуудаар илэрхийлсэн бол энэ талаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, гэхдээ нөхцөл байдалд тоо өгвөл яах вэ? Зөвшөөрч байна, тооцоололд алдаа гаргах магадлалтай.
Одоо бодоод үз дээ, энэ асуудлыг ямар нэг томъёогоор нэг алхамаар шийдэх боломжтой юу? Мэдээжийн хэрэг тийм, бид үүнийг одоо гаргахыг хичээх болно.

Арифметик прогрессийн шаардлагатай нэр томъёог олох томъёо нь бидэнд мэдэгдэж байгаа гэж тэмдэглэе - энэ бол бидний эхэнд гаргасан томъёо юм.
, Дараа нь:

• Прогрессийн өмнөх хугацаа нь:
• явцын дараагийн хугацаа нь:

Прогрессийн өмнөх болон дараагийн нөхцлүүдийг нэгтгэн дүгнэж үзье:

Прогрессийн өмнөх ба дараагийн нөхцлүүдийн нийлбэр нь тэдгээрийн хооронд байрлах прогрессийн гишүүний давхар утга болох нь харагдаж байна. Өөрөөр хэлбэл, мэдэгдэж буй өмнөх ба өгөгдсөн прогрессийн гишүүний утгыг олох дараалсан утгууд, та тэдгээрийг нэмж, хуваах хэрэгтэй.

Тийм ээ, бид ижил дугаарыг авсан. Материалыг хамгаалцгаая. Хөгжил дэвшлийн үнэ цэнийг өөрөө тооцоол, энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.

Сайн хийлээ! Та ахиц дэвшлийн талаар бараг бүгдийг мэддэг! Домогт өгүүлснээр бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикчдын нэг, "математикчдын хаан" Карл Гаусс амархан гаргаж ирсэн нэг томьёог олж мэдэх л үлдлээ...

Карл Гауссыг 9 настай байхад бусад ангийн сурагчдын ажлыг шалгах завгүй нэгэн багш ангид дараах асуудлыг тавьжээ: “Бүх дүнгийн нийлбэрийг тооцоол. натурал тоонууд-аас (бусад эх сурвалжийн мэдээлснээр) хүртэл." Түүний шавь нарын нэг нь (энэ нь Карл Гаусс байсан) нэг минутын дараа даалгаварт зөв хариулт өгөхөд багшийн гайхшралыг төсөөлөөд үз дээ, ангийн ихэнх хүүхдүүд удаан тооцоолсны эцэст буруу үр дүн авсан ...

Залуу Карл Гаусс та амархан анзаарч болох тодорхой хэв маягийг анзаарсан.
Бидэнд --р гишүүнчлэлээс бүрдэх арифметик прогресс байна гэж бодъё: Бид арифметик прогрессийн эдгээр гишүүний нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, бид бүх утгыг гараар нэгтгэж болно, гэхдээ хэрэв даалгавар нь Гауссын хайж байсан шиг түүний нөхцлийн нийлбэрийг олох шаардлагатай бол яах вэ?

Бидэнд өгөгдсөн дэвшлийг дүрсэлцгээе. Тодруулсан тоонуудыг сайтар ажиглаж, тэдэнтэй янз бүрийн математикийн үйлдлүүдийг хийхийг хичээ.


Та туршиж үзсэн үү? Та юу анзаарсан бэ? Зөв! Тэдний нийлбэр тэнцүү байна

Одоо надад хэлээч, бидэнд өгсөн прогрессод нийт хэдэн ийм хос байдаг вэ? Мэдээжийн хэрэг, бүх тооны яг тэн хагас нь, тэр нь.
Арифметик прогрессийн хоёр гишүүний нийлбэр тэнцүү, ижил төстэй хосууд нь тэнцүү гэдгийг үндэслэн бид үүнийг олж авна. нийт дүнтэнцүү байна:
.
Тиймээс аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийн томъёо нь:

Зарим асуудлын хувьд бид 2-р нэр томъёог мэдэхгүй ч дэвшлийн ялгааг мэддэг. Нийлбэрийн томъёонд 3-р гишүүний томьёог орлуулахыг хичээ.
Та юу авсан бэ?

Сайн хийлээ! Одоо Карл Гауссаас асуусан бодлого руугаа буцъя: th-ээс эхэлсэн тоонуудын нийлбэр хэдтэй тэнцүү, th-ээс эхэлсэн тоонуудын нийлбэр хэдтэй тэнцүү болохыг өөрөө тооцоол.

Та хэд авсан бэ?
Гаусс нэр томъёоны нийлбэр нь тэнцүү, гишүүний нийлбэр нь тэнцүү болохыг олж мэдэв. Чи ингэж шийдсэн юм уу?

Чухамдаа арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томьёог эртний Грекийн эрдэмтэн Диофант 3-р зуунд нотолсон бөгөөд энэ хугацаанд сэргэлэн хүмүүс арифметик прогрессийн шинж чанарыг бүрэн ашиглаж байжээ.
Жишээлбэл, төсөөлөөд үз дээ Эртний Египетба хамгийн их томоохон бүтээн байгуулалттэр үе - пирамид барих нь... Зурагт нэг тал нь харагдаж байна.

Энд ахиц дэвшил хаана байна гэж та хэлж байна уу? Анхааралтай ажиглаж, пирамидын хананы эгнээ тус бүрийн элс блокуудын тоог олоорой.


Яагаад арифметик прогресс байж болохгүй гэж? Суурь дээр блок тоосго тавьсан бол нэг ханыг барихад хичнээн блок шаардлагатайг тооцоол. Та хуруугаа монитор дээр хөдөлгөж байхдаа тоолохгүй байх гэж найдаж байна, та сүүлийн томъёо болон арифметик прогрессийн талаар бидний хэлсэн бүх зүйлийг санаж байна уу?

IN энэ тохиолдолдЯвц нь дараах байдалтай байна: .
Арифметик прогрессийн ялгаа.
Арифметик прогрессийн гишүүний тоо.
Өгөгдлөө сүүлийн томъёонд орлъё (блокуудын тоог 2 аргаар тооцоол).

Арга 1.

Арга 2.

Одоо та монитор дээр тооцоолж болно: олж авсан утгыг манай пирамид дахь блокуудын тоотой харьцуулна уу. Авчихсан? Сайн байна, та арифметик прогрессийн n-р гишүүний нийлбэрийг эзэмшсэн байна.
Мэдээжийн хэрэг, та суурин дээрх блокуудаас пирамид барьж чадахгүй, гэхдээ юу? Ийм нөхцөлд хана барихад хичнээн элс тоосго хэрэгтэйг тооцоолохыг хичээ.
Та удирдаж чадсан уу?
Зөв хариулт нь блокууд юм:

Сургалт

Даалгаварууд:

1. Маша зуны улиралд бие галбиртай болж байна. Өдөр бүр тэр squat хийх тоог нэмэгдүүлнэ. Хэрэв Маша эхний бэлтгэл дээр суулт хийсэн бол долоо хоногт хэдэн удаа суулт хийх вэ?
2. Бүх сондгой тоонуудын нийлбэр хэд вэ?
3. Бүртгэлийг хадгалахдаа мод бэлтгэгчид тэдгээрийг нэг бүрээр нь овоолно дээд давхаргаөмнөх нэгээс нэг бага лог агуулсан. Хэрэв өрлөгийн суурь нь гуалин байвал нэг өрлөгт хэдэн лог байдаг вэ?

Хариултууд:

1. Арифметик прогрессийн параметрүүдийг тодорхойлъё. Энэ тохиолдолд
   (долоо хоног = хоног).

   Хариулт:Хоёр долоо хоногийн дотор Маша өдөрт нэг удаа squat хийх ёстой.

2. Эхлээд сондгой тоо, сүүлийн дугаар.
   Арифметик прогрессийн ялгаа.
   Сондгой тооны тоо нь тал хувь боловч арифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг олох томъёогоор энэ баримтыг шалгая.

   Тоонууд нь сондгой тоог агуулдаг.
   Боломжтой өгөгдлийг томъёонд орлъё:

   Хариулт:Үүнд агуулагдах бүх сондгой тоонуудын нийлбэр тэнцүү байна.

3. Пирамидын тухай асуудлыг эргэн санацгаая. Манай тохиолдолд, a , дээд давхарга бүр нэг гуалинаар багасдаг тул нийтдээ олон тооны давхаргууд байдаг, өөрөөр хэлбэл.
   Өгөгдлийг томъёонд орлъё:

   Хариулт:Өрлөгт логууд байдаг.

Үүнийг нэгтгэн дүгнэе

1. - зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тооны дараалал. Энэ нь нэмэгдэж эсвэл буурч болно.
2. Томъёо олохАрифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг - томьёогоор бичнэ, энд прогресс дахь тооны тоо байна.
3. Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч- - явц дахь тоонуудын тоо хаана байна.
4. Арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэрхоёр аргаар олж болно:
   
   , утгын тоо хаана байна.

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Тооны дараалал

Суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:

Та ямар ч тоо бичиж болно, тэдгээрийн тоо нь таны хүссэнээр байж болно. Гэхдээ бид аль нь нэгдүгээрт, аль нь хоёрдугаарт байна гэх мэтээр үргэлж хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл бид тэдгээрийг дугаарлаж чадна. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм.

Тооны дараалалнь тоонуудын багц бөгөөд тус бүрд нь өвөрмөц дугаар өгч болно.

Өөрөөр хэлбэл, тоо бүрийг тодорхой натурал тоо, өвөрмөц тоотой холбож болно. Мөн бид энэ дугаарыг энэ багцаас өөр ямар ч дугаарт өгөхгүй.

Тоотой тоог дарааллын 3-р гишүүн гэнэ.

Бид ихэвчлэн дарааллыг бүхэлд нь ямар нэг үсгээр (жишээ нь,) дууддаг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүр нь энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг байна: .

Хэрэв дарааллын 3-р гишүүнийг ямар нэг томъёогоор зааж өгөх нь маш тохиромжтой. Жишээлбэл, томъёо

дарааллыг тогтооно:

Мөн томъёо нь дараах дараалалтай байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс нь дараалал юм (энд эхний гишүүн нь тэнцүү, ялгаа нь). Эсвэл (, ялгаа).

n-р хугацааны томъёо

Бид давтагдах томьёог гэж нэрлэдэг бөгөөд 2-р гишүүнийг олохын тулд өмнөх эсвэл хэд хэдэн өмнөхийг мэдэх шаардлагатай.

Жишээлбэл, энэ томъёог ашиглан прогрессийн 3-р гишүүнийг олохын тулд бид өмнөх есийг тооцоолох хэрэгтэй болно. Жишээлбэл, үүнийг зөвшөөр. Дараа нь:

За, одоо ямар томъёолол байгаа нь тодорхой болов уу?

Мөр бүрт бид нэмж, зарим тоогоор үржүүлнэ. Аль нь? Маш энгийн: энэ нь одоогийн гишүүний тоо хасах:

Одоо хамаагүй илүү тохиромжтой, тийм үү? Бид шалгаж байна:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёог олоод зуу дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл:

Эхний гишүүн нь тэнцүү байна. Ялгаа нь юу вэ? Энд юу вэ:

(Ийм учраас энэ нь прогрессийн дараалсан нөхцлүүдийн зөрүүтэй тэнцүү учраас ялгаа гэж нэрлэгддэг).

Тиймээс, томъёо:

Дараа нь зуу дахь гишүүн нь дараахтай тэнцүү байна.

-аас хүртэлх бүх натурал тоонуудын нийлбэр хэд вэ?

Домогт өгүүлснээр, агуу математикчКарл Гаусс 9 настай хүү байхдаа хэдхэн минутын дотор энэ хэмжээг тооцоолжээ. Тэрээр эхний ба нийлбэр болохыг анзаарсан сүүлийн огноотэнцүү байна, хоёр дахь болон эцсийн өмнөх нийлбэр ижил байна, гурав дахь болон төгсгөлөөс гурав дахь нийлбэр ижил байна гэх мэт. Нийт хэдэн ийм хос байдаг вэ? Энэ нь зөв, бүх тоонуудын яг хагас нь, өөрөөр хэлбэл. Тэгэхээр,

Аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийн ерөнхий томъёо нь:

Жишээ:
Бүгдийн нийлбэрийг ол хоёр оронтой тоо, үржвэр.

Шийдэл:

Эхний ийм тоо бол энэ юм. Дараагийн дугаар бүрийг өмнөх тоон дээр нэмэх замаар олж авна. Ийнхүү бидний сонирхож буй тоонууд эхний гишүүн болон зөрүүтэй арифметик прогресс үүсгэдэг.

Энэ прогрессийн 3-р гишүүний томъёо:

Хэрэв бүгд хоёр оронтой байх ёстой бол дэвшилд хэдэн гишүүн байх вэ?

Маш амархан: .

Прогрессийн сүүлчийн хугацаа тэнцүү байх болно. Дараа нь нийлбэр:

Хариулт: .

Одоо өөрөө шийд:

1. Тамирчин өдөр бүр өмнөх өдрөөсөө илүү метр гүйдэг. Тэр эхний өдөр км м гүйсэн бол долоо хоногт нийт хэдэн км гүйх вэ?
2. Дугуйчин өдөр бүр өмнөх өдрөөсөө илүү олон км замыг туулдаг. Эхний өдөр тэрээр км замыг туулсан. Тэр км замыг туулахын тулд хэдэн өдөр явах шаардлагатай вэ? Тэрээр аяллынхаа сүүлчийн өдөр хэдэн км замыг туулах вэ?
3. Дэлгүүрт байгаа хөргөгчний үнэ жил бүр ижил хэмжээгээр буурдаг. Зургаан жилийн дараа рублиэр зарагдсан хөргөгчний үнэ жил бүр хэдэн төгрөгөөр буурч байсныг тодорхойл.

Хариултууд:

1. Энд хамгийн чухал зүйл бол арифметик прогрессийг таньж, түүний параметрүүдийг тодорхойлох явдал юм. Энэ тохиолдолд (долоо хоног = хоног). Та энэ прогрессийн эхний нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлох хэрэгтэй.
   .
   Хариулт:
2. Энд өгөгдсөн: , заавал олдох ёстой.
   Мэдээжийн хэрэг, та өмнөх бодлоготой ижил нийлбэрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй:
   .
   Утгыг орлуулах:

   Үндэс нь тохирохгүй нь тодорхой тул хариулт нь ийм байна.
   Сүүлийн өдрийн туулсан замыг 2-р гишүүний томъёогоор тооцоолъё.
   (км).
   Хариулт:

3. Өгөгдсөн: . олох: .
   Энэ нь илүү энгийн байж болохгүй:
   (үрэх).
   Хариулт:

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Энэ нь зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил бөгөөд тэнцүү байх тооны дараалал юм.

Арифметик прогресс нь нэмэгдэж () ба буурах () байж болно.

Жишээлбэл:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүнийг олох томъёо

томьёогоор бичигдэнэ, энд прогресс дахь тооны тоо байна.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч

Энэ нь хөрш зэргэлдээх нөхцлүүд нь мэдэгдэж байгаа бол прогрессийн гишүүнийг хялбархан олох боломжийг олгодог - прогресс дахь тооны тоо хаана байна.

Арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэр

Хэмжээ олох хоёр арга бий:

Утгын тоо хаана байна.

Утгын тоо хаана байна.

Юу гол цэгтомъёонууд?

Энэ томъёо нь олох боломжийг танд олгоно ямар ч ТҮҮНИЙ ДУГААР" n" .

Мэдээжийн хэрэг, та эхний нэр томъёог бас мэдэх хэрэгтэй a 1болон явцын ялгаа г, За, эдгээр параметргүйгээр та тодорхой дэвшлийг бичиж чадахгүй.

Энэ томъёог цээжлэх (эсвэл хүүхдийн хэвтэх) нь хангалтгүй юм. Та түүний мөн чанарыг ойлгож, янз бүрийн асуудалд томъёог ашиглах хэрэгтэй. Мөн орохоо бүү мартаарай зөв мөч, Гэхдээ яаж мартаж болохгүй-Мэдэхгүй ээ. Бас энд яаж санах вэШаардлагатай бол би танд заавал зөвлөгөө өгөх болно. Хичээлийг эцэс хүртэл дуусгасан хүмүүст зориулав.)

Ингээд арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёог авч үзье.

Ер нь томъёо гэж юу вэ? Дашрамд хэлэхэд хэрэв та уншиж амжаагүй бол үзээрэй. Тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Энэ нь юу болохыг олж мэдэх л үлдлээ n-р улирал.

Ахиц дэвшил ерөнхий үзэлЦуврал тоо хэлбэрээр бичиж болно:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг илэрхийлнэ; a 3- гурав дахь гишүүн, a 4- дөрөв дэх гэх мэт. Хэрэв бид тав дахь удаагаа сонирхож байгаа бол хамтран ажиллаж байна гэж бодъё а 5, хэрэв нэг зуун хорин - s 120.

Үүнийг ерөнхийд нь хэрхэн тодорхойлох вэ? ямар чарифметик прогрессийн гишүүн, хамт ямар чтоо? Маш энгийн! Үүн шиг:

a n

Ийм л байна арифметик прогрессийн n-р гишүүн. N үсэг нь бүх гишүүний дугаарыг нэг дор нуудаг: 1, 2, 3, 4 гэх мэт.

Ийм бичлэг бидэнд юу өгдөг вэ? Бодоод үз дээ, тэд дугаарын оронд захидал бичсэн ...

Энэ оруулга бидэнд өгдөг хүчирхэг хэрэгсэларифметик прогресстой ажиллахад зориулагдсан. Тэмдэглэгээг ашиглах a n, бид хурдан олох боломжтой ямар чгишүүн ямар чарифметик прогресс. Мөн бусад ахиц дэвшлийн асуудлыг шийдээрэй. Цаашид та өөрөө харах болно.

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёонд:

a 1- арифметик прогрессийн эхний гишүүн;

n- гишүүний дугаар.

Томъёо нь аливаа дэвшлийн гол параметрүүдийг холбодог. a n ; a 1; гТэгээд n. Бүх дэвшилттэй асуудлууд эдгээр параметрүүдийн эргэн тойронд эргэлддэг.

n-р гишүүний томьёог мөн тодорхой прогресс бичихэд ашиглаж болно. Жишээлбэл, асуудал нь ахиц дэвшлийг дараах нөхцлөөр тодорхойлсон гэж хэлж болно.

a n = 5 + (n-1) 2.

Ийм асуудал мухардалд орж болно... Цуврал ч биш, ялгаа ч байхгүй... Гэхдээ томьёотой нөхцөлийг харьцуулж үзэхэд энэ дэвшилд гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. a 1 =5, d=2.

Энэ нь бүр ч муу байж болно!) Хэрэв бид ижил нөхцөлийг авбал: a n = 5 + (n-1) 2,Тийм ээ, хашилтыг нээж, ижил төстэй зүйлийг авчрах уу? Бид авдаг шинэ томъёо:

a n = 3 + 2n.

Энэ Зөвхөн ерөнхий биш, харин тодорхой ахиц дэвшилд зориулагдсан. Энд л сүйрэл нуугдаж байна. Зарим хүмүүс эхний нэр томъёог гурав гэж боддог. Хэдийгээр бодит байдал дээр эхний нэр томъёо нь тав ... Бага зэрэг доогуур бид ийм өөрчилсөн томъёогоор ажиллах болно.

Прогрессийн асуудалд өөр тэмдэглэгээ байдаг - a n+1. Энэ нь таны таамаглаж байсанчлан прогрессийн "n дээр нэмэх эхний" гишүүн юм. Үүний утга нь энгийн бөгөөд хор хөнөөлгүй.) Энэ нь тоо нь n-ээс нэгээр их байгаа прогрессийн гишүүн юм. Жишээлбэл, хэрэв бид ямар нэг асуудал гарвал a nдараа нь тав дахь улирал a n+1зургаа дахь гишүүн болно. гэх мэт.

Ихэнхдээ тэмдэглэгээ a n+1давтагдах томъёоноос олдсон. Үүнээс бүү ай аймшигтай үг!) Энэ бол зүгээр л арифметик прогрессийн гишүүнийг илэрхийлэх арга юм өмнөх замаар.Бидэнд давтагдах томьёо ашиглан энэ хэлбэрээр арифметик прогресс өгөгдсөн гэж үзье.

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Дөрөв дэх нь - гурав дахь нь, тав дахь нь - дөрөв дэх нь гэх мэт. Хорьдугаар гишүүнийг бид яаж шууд тоолох вэ? нь 20? Гэхдээ ямар ч арга байхгүй!) 19-р улиралыг олж мэдэх хүртэл бид 20-ыг тоолж чадахгүй. Энэ бол энэ үндсэн ялгаа n-р гишүүний томъёоноос давтагдах томьёо. Давтагдах нь зөвхөн дамжуулан ажилладаг өмнөхгишүүн, n-р гишүүний томъёо нь дамжуулан байна эхлээдмөн зөвшөөрдөг шуудДурын гишүүнийг дугаараар нь олоорой. Бүх тооны цувралыг дарааллаар нь тооцоолохгүйгээр.

Арифметик прогрессийн хувьд давтагдах томьёог ердийн томъёо болгон хувиргахад хялбар байдаг. Дараалсан хос гишүүнийг тоолж, зөрүүг тооцоол г,шаардлагатай бол эхний нэр томъёог олоорой a 1, томъёог бичнэ үү ердийн хэлбэрээр, мөн түүнтэй хамт ажилла. Ийм ажил ШУА-д байнга гардаг.

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёоны хэрэглээ.

Эхлээд харцгаая шууд програмтомъёо. Өмнөх хичээлийн төгсгөлд нэг асуудал гарсан:

Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн. a 1 =3 ба d=1/6 бол 121-ийг ол.

Энэ асуудлыг ямар ч томьёогүйгээр зүгээр л арифметик прогрессийн утга дээр үндэслэн шийдэж болно. Нэмэх, нэмэх... Нэг эсвэл хоёр цаг.)

Мөн томъёоны дагуу шийдэл нь нэг минутаас бага хугацаа шаардагдана. Та цаг гаргаж болно.) Шийдвэрлэцгээе.

Нөхцөлүүд нь томъёог ашиглах бүх өгөгдлийг өгдөг: a 1 =3, d=1/6.Юу нь тэнцүү болохыг олж мэдэх л үлдлээ n.Асуудалгүй! Бид олох хэрэгтэй а 121. Тиймээс бид бичнэ:

Анхаарна уу! Индексийн оронд nтодорхой тоо гарч ирэв: 121. Энэ нь нэлээд логик юм.) Бид арифметик прогрессийн гишүүнийг сонирхож байна. нэг зуун хорин нэг.Энэ биднийх болно n.Энэ бол утга учир юм n= 121-ийг бид хаалтанд томъёонд орлуулах болно. Бид бүх тоонуудыг томъёонд орлуулж, тооцоолно:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Ингээд л болоо. Таван зуун арав дахь гишүүн, мянга, гурав дахь гишүүнийг аль нэгийг нь хурдан олж болно. Бид оронд нь тавьдаг n хүссэн тоозахидлын индекст " а"мөн хаалтанд, бид тоолно.

Нэг зүйлийг сануулъя: энэ томъёо нь олох боломжийг танд олгоно ямар чарифметик прогрессийн гишүүн ТҮҮНИЙ ДУГААР" n" .

Асуудлыг арай зальтай аргаар шийдье. Дараахь асуудалтай тулгарцгаая.

Арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг (a n) ол, хэрэв a 17 =-2; d=-0.5.

Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал би эхний алхамыг хэлье. Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёог бичээрэй!Тийм тийм. Гараараа шууд дэвтэр дээрээ бичээрэй.

Одоо томъёоны үсгүүдийг хараад бид ямар өгөгдөлтэй, юу дутагдаж байгааг ойлгож байна уу? Боломжтой d=-0.5,арван долоо дахь гишүүн байна... Энэ мөн үү? Хэрэв та ийм байна гэж бодож байгаа бол та асуудлыг шийдэхгүй, тиймээ ...

Бидэнд дугаар байгаа n! Нөхцөл байдалд a 17 =-2далд хоёр параметр.Энэ нь арван долоо дахь гишүүний утга (-2) ба түүний тоо (17) хоёулаа юм. Тэдгээр. n=17.Энэ "жижиг зүйл" нь ихэвчлэн толгойноосоо урсан өнгөрдөг бөгөөд үүнгүйгээр (толгой биш "жижиг" зүйлгүйгээр!) асуудлыг шийдэж чадахгүй. Хэдийгээр... бас толгойгүй ч гэсэн.)

Одоо бид өгөгдлөө томъёогоор тэнэг байдлаар орлуулж болно:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

Өө тиймээ, а 17-2 гэдгийг бид мэднэ. За, орлуулъя:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

Энэ бол үндсэндээ. Арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг томъёоноос илэрхийлж, тооцоолоход л үлддэг. Хариулт нь: a 1 = 6.

Энэ техник нь томьёо бичих ба энгийн орлуулалтмэдэгдэж байгаа өгөгдөл - энэ нь маш их тусалдаг энгийн даалгаварууд. Мэдээжийн хэрэг, та томъёоноос хувьсагчийг илэрхийлэх чадвартай байх ёстой, гэхдээ яах вэ!? Энэ чадваргүй бол математикийг огт судлахгүй байж магадгүй...

Өөр нэг алдартай оньсого:

Арифметик прогрессийн (a n) ялгааг ол, хэрэв a 1 =2; a 15 =12.

Бид юу хийж байна вэ? Та гайхах болно, бид томъёог бичиж байна!)

Бид юу мэддэгээ авч үзье: a 1 =2; a 15 =12; ба (би онцлон тэмдэглэх болно!) n=15. Үүнийг дараах томъёонд орлуулж болно.

12=2 + (15-1)d

Бид арифметик хийдэг.)

12=2 + 14d

г=10/14 = 5/7

Энэ бол зөв хариулт юм.

Тиймээс, даалгаврууд a n, a 1Тэгээд гшийдсэн. Үлдсэн зүйл бол дугаарыг хэрхэн олохыг сурах явдал юм.

99 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн бөгөөд a 1 =12; d=3. Энэ гишүүний дугаарыг олоорой.

Бидэнд мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүнүүдийг n-р гишүүний томъёонд орлуулна.

a n = 12 + (n-1) 3

Эхлээд харахад энд үл мэдэгдэх хоёр хэмжигдэхүүн байна: a n ба n.Гэхдээ a n- энэ бол тоотой ахиц дэвшлийн зарим гишүүн юм n...Мөн бид энэ дэвшлийн гишүүнийг мэднэ! Энэ бол 99. Бид дугаарыг нь мэдэхгүй. n,Тиймээс энэ тоо нь таны олох ёстой зүйл юм. Бид 99 прогрессийн гишүүнийг томъёонд орлуулна.

99 = 12 + (n-1) 3

Бид томъёогоор илэрхийлдэг n, Бид бодохдоо. Бид хариултыг авна: n=30.

Одоо нэг сэдэвтэй холбоотой асуудал, гэхдээ илүү бүтээлч):

117 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн эсэхийг тодорхойлно уу:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Томьёог дахин бичье. Юу вэ, параметр байхгүй байна уу? Хм... Яагаад бидэнд нүд өгөгдсөн бэ?) Бид ахиц дэвшлийн эхний үеийг харж байна уу? Бид харж байна. Энэ нь -3.6. Та аюулгүйгээр бичиж болно: a 1 = -3.6.Ялгаа гТа цувралаас хэлж чадах уу? Хэрэв та арифметик прогрессийн ялгаа нь юу болохыг мэдэж байвал амархан:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Тиймээс бид хамгийн энгийн зүйлийг хийсэн. Үл мэдэгдэх тоотой харьцах хэвээр байна nмөн үл ойлгогдох тоо 117. Өмнөх бодлогод ядаж л энэ нь прогрессийн нэр томъёог өгсөн гэдгийг мэддэг байсан. Гэхдээ энд бид бүр мэдэхгүй байна ... Юу хийх вэ!? За яахав, яах вэ... Асаа Бүтээлч ур чадвар!)

Бид гэж бодъёТэр 117 бол эцсийн эцэст бидний дэвшлийн гишүүн юм. Үл мэдэгдэх дугаартай n. Мөн өмнөх асуудлын нэгэн адил энэ тоог олохыг хичээцгээе. Тэдгээр. Бид томъёог бичээд (тийм ээ, тийм!)) тоонуудаа орлуулна:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

Бид дахин томъёогоор илэрхийлнэn, бид тоолж аваад:

Өө! Тоо гарсан бутархай!Зуун нэг хагас. Мөн прогресс дахь бутархай тоо байж болохгүй.Бид ямар дүгнэлт хийж чадах вэ? Тийм ээ! 117 дугаар бишбидний дэвшлийн гишүүн. Энэ нь нэг зуу, нэг, зуун хоёр дахь нөхцлийн хооронд байдаг. Хэрэв тоо нь байгалийн болж хувирсан бол, өөрөөр хэлбэл. эерэг бүхэл тоо бол тухайн тоо нь олдсон тоотой прогрессийн гишүүн байх болно. Мөн бидний тохиолдолд асуудлын хариулт нь: Үгүй

Даалгавар дээр суурилсан бодит сонголтТЕГ:

Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.

a n = -4 + 6.8n

Прогрессийн эхний ба арав дахь гишүүнийг ол.

Энд ахиц дэвшил бүрэн тогтоогдоогүй байна ердийн аргаар. Ямар нэгэн томьёо... Энэ нь тохиолддог.) Гэсэн хэдий ч, энэ томъёо (би дээр бичсэнчлэн) - мөн арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёо!Тэр бас зөвшөөрдөг Прогрессийн аль нэг гишүүнийг тоогоор нь олоорой.

Бид анхны гишүүнийг хайж байна. Сэтгэдэг хүн. Эхний гишүүн нь дөрөвийг хассан нь маш буруу байна!) Учир нь бодлого дахь томьёо өөрчлөгдсөн. Үүнд арифметик прогрессийн эхний гишүүн далд.Зүгээр дээ, бид одоо олох болно.)

Өмнөх асуудлуудын нэгэн адил бид орлуулдаг n=1энэ томъёонд:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

Энд! Эхний гишүүн нь -4 биш, 2.8 байна!

Бид арав дахь нэр томъёог дараах байдлаар хайж байна.

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

Ингээд л болоо.

Одоо эдгээр мөрүүдийг уншсан хүмүүст амласан урамшуулал.)

Улсын шалгалт эсвэл улсын нэгдсэн шалгалтын тулалдааны хүнд нөхцөлд та арифметик прогрессийн n-р гишүүний ашигтай томъёог мартсан гэж бодъё. Би нэг зүйлийг санаж байна, гэхдээ ямар нэгэн байдлаар тодорхойгүй байна ... Эсвэл nтэнд, эсвэл n+1, эсвэл n-1...Яаж байх вэ!?

Тайвшир! Энэ томъёог гаргахад хялбар байдаг. Маш хатуу биш, харин өөртөө итгэх итгэл болон зөв шийдвэрМэдээж хангалттай!) Дүгнэлт гаргахын тулд арифметик прогрессийн анхан шатны утгыг санаж, хэдэн минут зарцуулахад хангалттай. Та зүгээр л зураг зурах хэрэгтэй. Тодорхой болгохын тулд.

Зурцгаая тооны тэнхлэгэхнийхийг нь тэмдэглэ. хоёр дахь, гурав дахь гэх мэт. гишүүд. Мөн бид ялгааг тэмдэглэж байна ггишүүдийн хооронд. Үүн шиг:

Бид зургийг хараад: хоёр дахь гишүүн юутай тэнцэх вэ? Хоёрдугаарт нэг г:

а 2 =a 1 + 1 г

Гурав дахь нэр томъёо гэж юу вэ? Гуравдугаартхугацаа нь эхний гишүүн нэмэхтэй тэнцүү хоёр г.

а 3 =a 1 + 2 г

Та үүнийг ойлгож байна уу? Би бүдүүн үсгээр зарим үгийг онцолж байгаа нь дэмий зүйл биш юм. За, дахиад нэг алхам).

Дөрөв дэх нэр томъёо гэж юу вэ? Дөрөвдүгээртхугацаа нь эхний гишүүн нэмэхтэй тэнцүү гурав г.

а 4 =a 1 + 3 г

Цоорхойн тоо, i.e. гэдгийг ойлгох цаг болжээ. г, Үргэлж Таны хайж буй гишүүний тооноос нэгээр бага n. Энэ нь тоогоор n, зайны тооболно n-1.Тиймээс томъёо нь (өөрчлөлтгүйгээр!):

Ер нь математикийн олон асуудлыг шийдвэрлэхэд визуал зураг их тус болдог. Зургийг үл тоомсорлож болохгүй. Гэхдээ хэрэв зураг зурахад хэцүү бол ... зөвхөн томьёо!) Нэмж дурдахад, n-р гишүүний томъёо нь математикийн бүх хүчирхэг арсеналыг шийдэлд холбох боломжийг олгодог - тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем гэх мэт. Та тэгшитгэлд зураг оруулах боломжгүй ...

Бие даасан шийдлийн даалгавар.

Халаахын тулд:

1. Арифметик прогрессоор (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. 3-ыг ол.

Санамж: Зурган дээр харвал 20 секундын дотор асуудлыг шийдэж болно... Томъёогоор бол илүү хэцүү болж байна. Гэхдээ томъёог эзэмшихийн тулд энэ нь илүү ашигтай байдаг.) ​​555-р хэсэгт энэ асуудлыг зураг болон томьёоны аль алиныг ашиглан шийдсэн. Ялгааг мэдэр!)

Энэ нь халаалт байхаа больсон.)

2. Арифметик прогрессоор (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. 3-ыг ол.

Юу вэ, та зураг зурахыг хүсэхгүй байна уу?) Мэдээжийн хэрэг! Томъёоны дагуу илүү сайн, тиймээ ...

3. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Энэ прогрессийн зуун хорин тав дахь гишүүнийг ол.

Энэ даалгаварт ахиц дэвшлийг давтагдах байдлаар зааж өгсөн болно. Харин нэг зуун хорин тав хүртэл тоолбол... Хүн бүр ийм эр зориг гаргаж чадахгүй.) Харин n-р гишүүний томьёо нь хүн бүрийн эрх мэдэлд байдаг!

4. Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Прогрессийн хамгийн бага эерэг гишүүний тоог ол.

5. 4-р даалгаврын нөхцлийн дагуу прогрессийн хамгийн бага эерэг ба хамгийн том сөрөг гишүүний нийлбэрийг ол.

6. Өсөн нэмэгдэж буй арифметик прогрессийн тав, арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь -2.5, гурав, арван нэг дэх гишүүний нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна. 14-ийг олоорой.

Хамгийн хялбар ажил биш, тийм ээ ...) Энд "хурууны үзүүр" арга ажиллахгүй. Та томьёо бичиж, тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй болно.

Хариултууд (эмх замбараагүй):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Болсон уу? Гоё!)

Бүх зүйл болохгүй байна уу? Болдог. Дашрамд хэлэхэд, сүүлчийн даалгаварт нэг нарийн зүйл бий. Асуудлыг уншиж байхдаа анхааралтай байх шаардлагатай. Мөн логик.

Эдгээр бүх асуудлын шийдлийг 555-р хэсэгт дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно. Мөн дөрөв дэх нь уран зөгнөлийн элемент, зургаа дахь нь нарийн мөч, мөн ерөнхий хандлага n-р гишүүний томьёотой холбоотой аливаа асуудлыг шийдэхийн тулд бүх зүйлийг бичсэн болно. Би зөвлөж байна.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Дарааллын ерөнхий нэр томъёо нь $u_n=n^2$ байна. $n=1$-ийг орлуулахад бид дараахыг авна.

$$ u_1=1^2=1. $$

Энэ бол дарааллын эхний гишүүн юм. $n=2$-г $u_n=n^2$ гэж орлуулснаар бид дарааллын хоёр дахь гишүүнийг авна.

$$ u_2=2^2=4. $$

Хэрэв бид $n=3$-г орлуулах юм бол бид дарааллын гурав дахь гишүүнийг авна.

$$ u_3=3^2=9. $$

Үүний нэгэн адил бид дарааллын дөрөв, тав, зургаа болон бусад нөхцлүүдийг олдог. Бид дараах байдлаар холбогдох тоонуудыг авна.

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

Мөн $u_n=n^3$ дарааллын нөхцлүүдийг санах нь зүйтэй. Энд анхны гишүүдийн зарим нь:

\begin(equation)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \төгсгөл(тэгшитгэл)

Үүнээс гадна цувралын ерөнхий гишүүнийг бүрдүүлэхийн тулд $u_n=n!$ дарааллыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд эхний хэдэн нэр томъёо нь дараах байдалтай байна.

\begin(equation)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \төгсгөл(тэгшитгэл)

Бичлэг хийж байна "n!" ("en factorial" гэж уншина уу) нь 1-ээс n хүртэлх бүх натурал тоонуудын үржвэрийг илэрхийлнэ, өөрөөр хэлбэл.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

Тодорхойлолтоор бол $0!=1!=1$ гэж үздэг. Жишээлбэл, 5-ыг олъё!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Арифметик болон геометрийн прогрессийг мөн ихэвчлэн ашигладаг. Хэрэв арифметик прогрессийн эхний гишүүн $a_1$, зөрүү нь $d$-тэй тэнцүү бол нийтлэг гишүүнАрифметик прогрессийг дараах томъёогоор бичнэ.

\эхлэх(тэгшитгэл)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \төгсгөл(тэгшитгэл)

Арифметик прогресс гэж юу вэ? харуулах\нуух

Арифметик прогресс гэдэг нь дараагийн болон өмнөх гишүүдийн зөрүү тогтмол байх тоонуудын дараалал юм. Энэ байнгын зөрүү гэж нэрлэдэг явцын ялгаа

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

Бид ямар хос хөрш зэргэлдээ элементүүдийг авсан ч дараагийн болон өмнөх гишүүдийн хоорондын ялгаа үргэлж тогтмол бөгөөд 7-той тэнцүү байх болно гэдгийг анхаарна уу.

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Энэ тоо, i.e. 7, мөн ахиц дэвшлийн зөрүү байна. Энэ нь ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг, өөрөөр хэлбэл. $d=7$. Прогрессийн эхний элемент нь $a_1=3$ байна. Бид энэ прогрессийн ерөнхий гишүүнийг томъёогоор бичнэ. Үүнд $a_1=3$, $d=7$-г орлуулбал бид дараах байдалтай болно:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Тодорхой болгохын тулд $a_n=7n-4$ томъёог ашиглан арифметик прогрессийн эхний хэдэн гишүүнийг олъё.

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

$a_n=7n-4$ томьёонд $n$ тооны дурын утгыг орлуулснаар та арифметик прогрессийн дурын гишүүнийг авч болно.

Мөн геометрийн прогрессийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв прогрессийн эхний гишүүн $b_1$, хуваагч нь $q$-тэй тэнцүү бол геометр прогрессийн ерөнхий гишүүнийг дараах томъёогоор олно.

\эхлэх(тэгшитгэл)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \төгсгөл(тэгшитгэл)

Юу болов геометрийн прогресс? харуулах\нуух

Геометрийн прогресс гэдэг нь дараагийн болон өмнөх гишүүдийн хоорондын хамаарал тогтмол байх тоонуудын дараалал юм. Үүнийг байнгын харилцаа гэж нэрлэдэг дэвшлийн хуваагч. Жишээлбэл, дараах дарааллыг анхаарч үзээрэй.

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

Бид ямар хос хөрш зэргэлдээ элементүүдийг авахаас үл хамааран дараагийнх нь өмнөхтэй харьцуулахад үргэлж тогтмол бөгөөд 3-тай тэнцүү байх болно гэдгийг анхаарна уу.

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Энэ тоо, i.e. 3 нь прогрессийн хуваагч юм. Энэ нь ихэвчлэн $ q $ үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг, i.e. $q=3$. Прогрессийн эхний элемент нь $b_1=6$ байна. Бид энэ прогрессийн ерөнхий гишүүнийг томъёогоор бичнэ. Үүнд $b_1=6$ ба $q=3$-г орлуулбал бид дараахтай болно:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

Тодорхой болгохын тулд $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ томьёог ашиглан геометр прогрессийн эхний хэдэн гишүүнийг олъё.

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

$b_n=6\cdot 3^(n-1)$ томьёонд $n$ тооны дурын утгыг орлуулснаар геометр прогрессийн дурын гишүүнийг авч болно.

Доорх бүх жишээн дээр бид цувралын гишүүдийг $u_1$ (цувралын эхний гишүүн), $u_2$ (цувралын хоёр дахь гишүүн) гэх мэт үсгээр тэмдэглэнэ. $u_n$ тэмдэглэгээ нь цувралын нийтлэг нэр томъёог илэрхийлнэ.

Жишээ №1

$\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$ цувралын нийтлэг гишүүнийг ол.

Ийм даалгаврын мөн чанар нь цувралын эхний гишүүдэд байдаг хэв маягийг анзаарах явдал юм. Мөн энэ хэв маягт үндэслэн нийтлэг гишүүний төрлийн талаар дүгнэлт гарга. "Нийтлэг нэр томъёог ол" гэсэн хэллэг юу гэсэн үг вэ? Энэ нь цувралын эхний гишүүнийг авах $n=1$-г орлуулах ийм илэрхийллийг олох шаардлагатай гэсэн үг юм. $\frac(1)(7)$; $n=2$-г орлуулснаар бид цувралын хоёр дахь гишүүнийг авна, өөрөөр хэлбэл. $\frac(2)(9)$; $n=3$-г орлуулснаар бид цувралын гурав дахь гишүүнийг авна, өөрөөр хэлбэл. $\frac(3)(11)$ гэх мэт. Бид цувралын эхний дөрвөн нэр томъёог мэддэг.

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Аажмаар хөдөлцгөөе. Бидний мэддэг цувралын бүх гишүүд бутархай байдаг тул цувралын нийтлэг гишүүнийг мөн бутархайгаар төлөөлдөг гэж үзэх нь үндэслэлтэй юм.

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Бидний даалгавар бол тоо болон хуваагч дахь асуултын тэмдгийн доор юу нуугдаж байгааг олж мэдэх явдал юм. Эхлээд тоологчийг харцгаая. Цувралын гишүүдийн тоологч нь 1, 2, 3, 4 гэсэн тоонууд юм. Цувралын гишүүн бүрийн тоо нь тоологчтой тэнцүү байгааг анхаарна уу. Эхний гишүүн нь нэг, хоёр дахь нь хоёр, гурав дахь нь гурав, дөрөв дэх нь дөрөвтэй.

n-р гишүүний тоологчдоо $n$ байна гэж үзэх нь логик юм.

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

Дашрамд хэлэхэд, бид энэ дүгнэлтийг өөр аргаар, илүү албан ёсоор хийж болно. 1, 2, 3, 4-ийн дараалал гэж юу вэ? Энэ дарааллын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө 1-ээр их байгааг анхаарна уу. Бид арифметик прогрессийн дөрвөн гишүүнтэй харьцаж байгаа бөгөөд эхний гишүүн нь $a_1=1$, зөрүү нь $d=1$. Томьёог ашиглан бид прогрессийн ерөнхий гишүүний илэрхийлэлийг олж авна.

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Тиймээс таамаглах эсвэл албан ёсны тооцоо хийх нь амтанд хамаарах асуудал юм. Хамгийн гол нь бид цувралын нийтлэг гишүүний тоологчийг бичсэн. Заавал хуваагч руу шилжье.

Хуваагчдад 7, 9, 11, 13 гэсэн дараалал байна. Эдгээр нь арифметик прогрессийн дөрвөн гишүүн бөгөөд эхний гишүүн нь $b_1=7$, зөрүү нь $d=2$ байна. Прогрессийн ерөнхий нэр томъёог бид дараах томъёогоор олно.

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

Үр дүнгийн илэрхийлэл, i.e. $2n+5$ бөгөөд цувралын нийтлэг гишүүний хуваагч болно. Тэгэхээр:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Цувралын ерөнхий нэр томъёог олж авна. Бидний олсон $u_n=\frac(n)(2n+5)$ томьёо цувралын аль хэдийн мэдэгдэж байгаа нөхцлүүдийг тооцоолоход тохиромжтой эсэхийг шалгацгаая. $u_n=\frac(n)(2n+5)$ томьёог ашиглан $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ нэр томъёог олъё. Мэдээжийн хэрэг үр дүн нь нөхцөлөөр бидэнд өгсөн цувралын эхний дөрвөн нөхцөлтэй давхцах ёстой.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

Тийм ээ, үр дүн нь адилхан. Нөхцөлд заасан цувралыг одоо дараах хэлбэрээр бичиж болно: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Цувралын ерөнхий нэр томъёо нь $u_n=\frac(n)(2n+5)$ хэлбэртэй байна.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

Ийм цуврал байх эрх байхгүй гэж үү? Одоо ч байгаа. Мөн энэ цувралын хувьд бид үүнийг бичиж болно

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

Та өөр үргэлжлэл бичиж болно. Жишээлбэл, энэ нь:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

Мөн ийм үргэлжлэл нь юутай ч зөрчилддөггүй. Энэ тохиолдолд бид үүнийг бичиж болно

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

Хэрэв эхний хоёр сонголт танд хэтэрхий албан ёсны санагдсан бол би гурав дахь хувилбарыг санал болгох болно. Нийтлэг нэр томъёог дараах байдлаар бичье.

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Санал болгож буй ерөнхий нэр томъёог ашиглан цувралын эхний дөрвөн гишүүнийг тооцоолъё.

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4) )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Таны харж байгаагаар ерөнхий нэр томъёоны санал болгож буй томъёо нь маш зөв юм. Мөн та хязгааргүй олон тооны ийм хувилбаруудыг гаргаж ирж болно, тэдгээрийн тоо хязгааргүй юм. IN стандарт жишээнүүдмэдээж хэрэглэгдэж байна стандарт багцтодорхой мэдэгдэж буй дараалал (давшил, зэрэг, факториал гэх мэт). Гэсэн хэдий ч ийм даалгаварт үргэлж тодорхойгүй байдал байдаг тул үүнийг санах нь зүйтэй.

Дараачийн бүх жишээн дээр энэ хоёрдмол утгатай байдлыг зааж өгөхгүй. Бид шийднэ стандарт аргуудыг ашигланИхэнх асуудлын номонд хүлээн зөвшөөрөгдсөн .

Хариулт: цувралын нийтлэг нэр томъёо: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Жишээ №2

$\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) цувралын нийтлэг гишүүнийг бич. (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

Бид цувралын эхний таван нөхцөлийг мэднэ:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Бидэнд мэдэгдэж байгаа цувралын бүх нэр томъёо нь бутархай бөгөөд энэ нь бид цувралын нийтлэг гишүүнийг бутархай хэлбэрээр хайх болно гэсэн үг юм.

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Тоолуур дээр нэн даруй анхаарлаа хандуулцгаая. Бүх тоологч нь нэгж агуулдаг тул цувралын нийтлэг гишүүний тоологч нь нэгийг агуулна, өөрөөр хэлбэл.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

Одоо хуваагчийг харцгаая. Цувралын эхний нөхцлийн хуваагч нь $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ гэсэн тооны үржвэрүүдийг агуулдаг. Эдгээр тоонуудын эхнийх нь: 1, 3, 5, 7, 9. Энэ дараалалд эхний гишүүн $a_1=1$ байх ба дараагийнх бүрийг $d=2$ тоог нэмснээр өмнөхөөсөө гарна. Өөрөөр хэлбэл эдгээр нь арифметик прогрессийн эхний таван гишүүн бөгөөд нийтлэг гишүүнийг дараах томъёогоор бичиж болно.

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

$1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ бүтээгдэхүүнүүдийн хоёр дахь тоо нь: 5, 8, 11, 14, 17. Эдгээр нь арифметик прогрессийн элементүүд, эхний гишүүн нь $b_1=5$, хуваагч нь $d=3$. Бид энэ прогрессийн ерөнхий гишүүнийг ижил томъёогоор бичнэ.

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Үр дүнг нэгтгэе. Цувралын нийтлэг гишүүний хуваагч дахь үржвэр нь: $(2n-1)(3n+2)$ байна. Цувралын ерөнхий нэр томъёо нь өөрөө дараахь хэлбэртэй байна.

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Хүлээн авсан үр дүнг шалгахын тулд бид $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ томьёог ашиглан бидний мэддэг цувралын эхний дөрвөн гишүүнийг олно.

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot) 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4) +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1) )(9\cdot 17). \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Тэгэхээр $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ томьёо нь нөхцөлөөс мэдэгдэж буй цувралын нөхцлүүдийг үнэн зөв тооцоолох боломжийг танд олгоно. Хэрэв хүсвэл өгөгдсөн цувралингэж бичиж болно:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1) )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

Хариулт: цувралын нийтлэг нэр томъёо: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Бид энэ сэдвийг хоёр, гуравдугаар хэсэгт үргэлжлүүлнэ.

Олон хүмүүс арифметик прогрессийн талаар сонссон боловч энэ нь юу болохыг хүн бүр сайн мэддэггүй. Энэ өгүүлэлд бид холбогдох тодорхойлолтыг өгч, мөн арифметик прогрессийн ялгааг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултыг авч үзэх бөгөөд хэд хэдэн жишээг өгөх болно.

Математикийн тодорхойлолт

Тэгэхээр хэрэв бид ярьж байнаарифметик эсвэл алгебрийн прогрессийн тухай (эдгээр ойлголтууд ижил зүйлийг тодорхойлдог), тэгвэл энэ нь зарим нэг зүйл байна гэсэн үг юм. тооны цуврал, сэтгэл ханамжтай дараагийн хууль: Цуврал дахь хоёр зэргэлдээ тоо бүр ижил утгаараа ялгаатай байна. Математикийн хувьд үүнийг дараах байдлаар бичдэг.

Энд n нь дараалал дахь a n элементийн тоог, d тоо нь прогрессийн зөрүү юм (түүний нэр нь танилцуулсан томъёоноос үүдэлтэй).

d ялгааг мэдэх нь юу гэсэн үг вэ? Хөрш зэргэлдээх тоонууд бие биенээсээ хэр хол байгаа талаар. Гэсэн хэдий ч d-ийн мэдлэг шаардлагатай, гэхдээ тийм биш хангалттай нөхцөлбүх явцыг тодорхойлох (сэргээх). Та цувралын ямар ч элемент байж болох өөр нэг тоог мэдэх хэрэгтэй, жишээлбэл, 4, a10, гэхдээ дүрмээр бол тэд эхний тоог, өөрөөр хэлбэл 1-ийг ашигладаг.

Прогрессийн элементүүдийг тодорхойлох томъёо

Ерөнхийдөө дээрх мэдээлэл шийдэл рүү шилжихэд хангалттай тодорхой ажлууд. Гэсэн хэдий ч арифметик прогрессийг өгөхөөс өмнө түүний ялгааг олох шаардлагатай бол бид хэд хэдэн зүйлийг танилцуулж байна. ашигтай томъёо, ингэснээр асуудлыг шийдвэрлэх дараагийн үйл явцыг хөнгөвчлөх.

n тоотой дарааллын аль ч элементийг дараах байдлаар олж болно гэдгийг харуулахад хялбар байдаг.

a n = a 1 + (n - 1) * d

Үнэн хэрэгтээ хэн ч энэ томьёог энгийн хайлтаар шалгаж болно: хэрэв та n = 1-ийг орлуулбал эхний элементийг авна, хэрэв та n = 2-ыг орлвол илэрхийлэл нь эхний тоо ба зөрүүний нийлбэрийг өгнө гэх мэт.

Олон тооны бодлогын нөхцлүүд нь дарааллаар нь өгөгдсөн мэдэгдэж буй хос тоог өгөгдсөн байхаар бүх тооны цувралыг дахин бүтээх шаардлагатай (ялгаа ба эхний элементийг олох) байдлаар бүрдүүлдэг. Одоо бид энэ асуудлыг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх болно.

Тэгэхээр n ба m тоотой хоёр элементийг өгье. Дээрх томъёог ашиглан та хоёр тэгшитгэлийн системийг үүсгэж болно.

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг олохын тулд бид мэддэгийг ашигладаг энгийн заль мэхИйм системийн шийдэл: зүүн ба баруун талыг хосоор нь хасвал тэгш байдал хүчинтэй хэвээр байх болно. Бидэнд байгаа:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Тиймээс бид нэг үл мэдэгдэх (a 1)-ийг хассан. Одоо бид d-г тодорхойлох эцсийн илэрхийлэлийг бичиж болно:

d = (a n - a m) / (n - m), энд n > м

Бид маш их хүлээж авсан энгийн томъёо: асуудлын нөхцлийн дагуу d зөрүүг тооцоолохын тулд зөвхөн элементүүд болон тэдгээрийн хоорондын ялгааны харьцааг авах хэрэгтэй. серийн дугаарууд. Нэгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй чухал цэгАнхаар: "ахлах" ба "бага" гишүүдийн ялгааг авч үздэг, өөрөөр хэлбэл n > m ("ахлах" гэдэг нь дарааллын эхнээс цааш зогсохыг хэлнэ, түүний үнэмлэхүй үнэ цэнэ"бага" элементээс том эсвэл бага байж болно).

Эхний гишүүний утгыг олж авахын тулд асуудлыг шийдэхийн эхэнд d прогрессийн ялгаварын илэрхийлэлийг аль нэг тэгшитгэлд орлуулна.

Бидний хөгжлийн эрин үед компьютерийн технологиОлон сургуулийн сурагчид даалгаврынхаа шийдлийг интернетээс хайж олохыг хичээдэг тул ийм төрлийн асуултууд ихэвчлэн гарч ирдэг: онлайнаар арифметик прогрессийн ялгааг олох. Ийм хүсэлт гаргахын тулд хайлтын систем нь хэд хэдэн вэб хуудсыг буцааж өгөх бөгөөд та нөхцөл байдлаас мэдэгдэж буй өгөгдлийг оруулах шаардлагатай болно (энэ нь явцын хоёр нөхцөл эсвэл тэдгээрийн тодорхой тооны нийлбэр байж болно. ) мөн хариултыг шууд хүлээн авна уу. Гэсэн хэдий ч асуудлыг шийдвэрлэх энэ арга нь оюутны хөгжил, түүнд өгсөн даалгаврын мөн чанарыг ойлгоход үр дүнгүй юм.

Томъёо ашиглахгүйгээр шийдэл

Өгөгдсөн томъёоны аль нэгийг ашиглахгүйгээр эхний бодлогыг шийдье. Цувралын элементүүдийг өгье: a6 = 3, a9 = 18. Арифметик прогрессийн ялгаврыг ол.

Мэдэгдэж буй элементүүд нь дараалан бие биентэйгээ ойрхон байрладаг. Хамгийн ихийг гаргахын тулд d-ийн зөрүүг хамгийн бага дээр хэдэн удаа нэмэх ёстой вэ? Гурван удаа (анхны удаа d нэмэхэд бид 7-р элементийг, хоёр дахь удаагаа найм дахь, эцэст нь гурав дахь удаагаа - ес дэх элементийг авдаг). 18 гарахын тулд аль тоог гурвыг гурав дахин нэмэх ёстой вэ? Энэ бол тавын тоо. Үнэхээр:

Тиймээс үл мэдэгдэх ялгаа d = 5 байна.

Мэдээжийн хэрэг, шийдлийг ашиглан хийж болно тохирох томъёо, гэхдээ үүнийг санаатайгаар хийгээгүй. Нарийвчилсан тайлбарАсуудлын шийдэл тодорхой болох ёстой тод жишээАрифметик прогресс гэж юу вэ?

Өмнөхтэй төстэй даалгавар

Одоо ижил төстэй асуудлыг шийдье, гэхдээ оролтын өгөгдлийг өөрчилье. Тэгэхээр та a3 = 2, a9 = 19 гэдгийг олох хэрэгтэй.

Мэдээжийн хэрэг, та "толгой" шийдлийн аргыг дахин ашиглаж болно. Гэхдээ бие биенээсээ харьцангуй хол байгаа цувралын элементүүдийг өгсөн тул энэ арга нь тийм ч тохиромжтой биш байх болно. Гэхдээ үүссэн томъёог ашиглах нь биднийг хурдан хариулт руу хөтөлнө.

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

Энд бид дугуйрсан эцсийн тоо. Энэ бөөрөнхийлөлт нь алдаа гаргахад хүргэсэн хэмжээг үр дүнг шалгах замаар дүгнэж болно.

a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

Энэ үр дүн нь тухайн нөхцөлд өгөгдсөн утгаас ердөө 0.1%-иар ялгаатай байна. Тиймээс хамгийн ойрын зуутын нэг хүртэл дугуйлах нь амжилттай сонголт гэж үзэж болно.

Нэр томъёоны томъёог хэрэглэхтэй холбоотой асуудлууд

Ингээд авч үзье сонгодог жишээүл мэдэгдэхийг тодорхойлох даалгавар d: a1 = 12, a5 = 40 бол арифметик прогрессийн зөрүүг ол.

Үл мэдэгдэх хоёр тоог өгөхөд алгебрийн дараалал, мөн тэдгээрийн нэг нь a 1 элемент бол та удаан бодох шаардлагагүй, харин n гишүүний томъёог шууд хэрэглэх хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд бидэнд байна:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Бид хуваахдаа яг тодорхой тоог хүлээн авсан тул өмнөх догол мөрөнд хийсэн шиг тооцоолсон үр дүнгийн үнэн зөвийг шалгах нь утгагүй юм.

Өөр ижил төстэй асуудлыг шийдье: a1 = 16, a8 = 37 бол арифметик прогрессийн ялгаврыг олох хэрэгтэй.

Бид өмнөхтэй төстэй аргыг хэрэглэж, дараахь зүйлийг авна.

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Арифметик прогрессийн талаар өөр юу мэдэх ёстой вэ?

Үл мэдэгдэх ялгааг олох асуудлуудаас гадна эсвэл бие даасан элементүүд, дарааллын эхний гишүүний нийлбэртэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг. Эдгээр ажлыг авч үзэх нь нийтлэлийн хамрах хүрээнээс гадуур боловч бидний танилцуулж буй мэдээллийн бүрэн бүтэн байдлын үүднээс ерөнхий томъёоЦуврал дахь n тооны нийлбэрийн хувьд:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2