Зэрэгцээ шугамуудын өнцгийн коэффициент. Шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь налуу өнцгийн тангенс

Хэрэв y=f(x) шулуун координаттай (x0; f(x0)) цэгийг дайран өнгөрвөл х0 цэг дээрх зурагт үзүүлсэн графиктай шүргэнэ. налуу f"(x0). Шүргэгчийн онцлогийг мэдэж ийм коэффициент олоход хэцүү биш.

Танд хэрэгтэй болно

• - математикийн лавлах ном;
• - энгийн харандаа;
• - дэвтэр;
• - протектор;
• - луужин;
• - үзэг.

Зааварчилгаа

Хэрэв f‘(x0) утга байхгүй бол шүргэгч байхгүй эсвэл босоо тэнхлэгт явна. Үүнийг авч үзвэл х0 цэгт функцийн дериватив байгаа нь (x0, f(x0)) цэг дээрх функцийн графикт босоо бус шүргэгч шүргэгч байгаатай холбоотой юм. Энэ тохиолдолд шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь f "(x0) -тэй тэнцүү байх болно. Тиймээс энэ нь тодорхой болно. геометрийн утгадериватив - шүргэгчийн налууг тооцоолох.

X1, x2, x3 цэгүүдэд функцийн графиктай холбогдох нэмэлт шүргэгчийг зурж, мөн эдгээр шүргэгчээр үүсгэсэн өнцгийг x тэнхлэгээр тэмдэглэнэ (энэ өнцгийг тэнхлэгээс эерэг чиглэлд тоолно). шүргэгч шугам). Жишээлбэл, өнцөг, өөрөөр хэлбэл α1 нь хурц, хоёр дахь нь (α2) нь мохоо, гурав дахь нь (α3) байх болно. тэгтэй тэнцүү, шүргэгч шугам нь OX тэнхлэгтэй параллель байна. Энэ тохиолдолд тангенс мохоо өнцөг– сөрөг, хурц өнцгийн тангенс эерэг, tg0 үед үр дүн нь тэг болно.

тэмдэглэл

Шүргэгчийн үүсгэсэн өнцгийг зөв тодорхойлох. Үүнийг хийхийн тулд протектор ашиглана уу.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Хоёр налуу шугам нь тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд хоорондоо тэнцүү бол параллель байх болно; эдгээр шүргэгчийн өнцгийн коэффициентүүдийн үржвэр нь -1-тэй тэнцүү бол перпендикуляр.

Эх сурвалжууд:

• Функцийн графикт шүргэгч

Косинусыг синус шиг "шууд" тригонометрийн функц гэж ангилдаг. Тангенс (котангенстай хамт) нь "үүсмэл" гэж нэрлэгддэг өөр нэг хос гэж ангилдаг. Эдгээр функцүүдийн хэд хэдэн тодорхойлолт байдаг бөгөөд энэ нь өгөгдсөн шүргэгчийг олох боломжийг олгодог мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэижил утгатай косинус.

Зааварчилгаа

Косинусын утгаар нэгийн хэсгийг хас өгөгдсөн өнцөг, мөн үр дүнгээс квадрат язгуурыг гарга - энэ нь косинусаар илэрхийлэгдэх өнцгийн шүргэгч утга болно: tan(α)=√(1-1/(cos(α))²). Томъёонд косинус нь бутархайн хуваарьт байгааг анхаарна уу. Тэгээр хуваах боломжгүй нь 90°-тай тэнцүү өнцгүүдэд, мөн энэ утгаас 180°-ын үржвэр (270°, 450°, -90° гэх мэт) тоогоор ялгаатай байгаа өнцгүүдэд энэ илэрхийллийг ашиглахыг хориглоно.

Мэдэгдэж буй косинусын утгаас шүргэгчийг тооцоолох өөр арга бий. Бусдын хэрэглээнд хязгаарлалт байхгүй тохиолдолд үүнийг ашиглаж болно. Энэ аргыг хэрэгжүүлэхийн тулд эхлээд мэдэгдэж буй косинусын утгаас өнцгийн утгыг тодорхойлох хэрэгтэй - үүнийг нумын косинусын функцийг ашиглан хийж болно. Дараа нь үүссэн утгын өнцгийн тангенсыг тооцоол. IN ерөнхий үзэлЭнэ алгоритмыг дараах байдлаар бичиж болно: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгөөр дамжин косинус ба тангенсийн тодорхойлолтыг ашиглан чамин сонголт бас бий. Энэхүү тодорхойлолтод косинус нь авч үзэж буй өнцөгтэй зэргэлдээх хөлний уртыг гипотенузын урттай харьцуулсан харьцаатай тохирч байна. Косинусын утгыг мэдсэнээр та эдгээр хоёр талын харгалзах уртыг сонгож болно. Жишээлбэл, cos (α) = 0.5 бол зэргэлдээх нь 10 см, гипотенузыг 20 см-тэй тэнцүү авч болно. Тодорхой тоонууд энд хамаагүй - та ижил утгатай ямар ч утгатай ижил, зөв ​​тоонуудыг авах болно. Дараа нь Пифагорын теоремыг ашиглан алга болсон талын уртыг тодорхойлно. эсрэг хөл. Энэ нь тэнцүү байх болно квадрат язгуурквадрат гипотенузын уртын зөрүү ба алдартай хөл: √(20²-10²)=√300. Тодорхойлолтоор шүргэгч нь эсрэг талын болон зэргэлдээх хөлний уртын харьцаатай тохирч байна (√300/10) - үүнийг тооцоолж, ашиглан олсон шүргэгч утгыг авна уу. сонгодог тодорхойлолткосинус.

Эх сурвалжууд:

• косинусыг шүргэгч томъёогоор дамжуулна

Нэг нь тригонометрийн функцууд, ихэвчлэн tg үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг ч tan гэсэн тэмдэглэгээнүүд бас байдаг. Шүргээг илэрхийлэх хамгийн хялбар арга бол синусын харьцаа юм өнцөгтүүний косинус руу. Энэ нь хачирхалтай үе үе бөгөөд тийм биш юм тасралтгүй функц, мөчлөг бүр нь тоотой тэнцүү байна Pi ба таслах цэг нь энэ тооны талтай тохирч байна.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Танаас мэдээллээ өгөхийг шаардаж магадгүй юм хувийн мэдээлэлямар ч үед бидэнтэй холбоо барина уу.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааүзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай гэж үзвэл - хуульд заасны дагуу шүүх ажиллагаа, шүүх ажиллагаа болон/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Функцийн дериватив нь нэг юм хэцүү сэдвүүдВ сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. Дериватив гэж юу вэ гэсэн асуултад төгсөгч бүр хариулдаггүй.

Энэ нийтлэлд дериватив гэж юу болох, яагаад хэрэгтэйг энгийн бөгөөд ойлгомжтой байдлаар тайлбарласан болно.. Бид одоо илтгэлдээ математикийн хатуу ширүүн байхыг хичээхгүй. Хамгийн гол нь утгыг нь ойлгох хэрэгтэй.

Тодорхойлолтыг санацгаая:

Дериватив нь функцийн өөрчлөлтийн хурд юм.

Зурагт гурван функцийн графикийг харуулав. Таны бодлоор аль нь илүү хурдан өсч байна вэ?

Хариулт нь ойлгомжтой - гурав дахь нь. Энэ нь хамгийн их өөрчлөлтийн хурдтай, өөрөөр хэлбэл хамгийн том дериватив юм.

Өөр нэг жишээ энд байна.

Костя, Гриша, Матвей нар нэгэн зэрэг ажилд орсон. Жилийн туршид тэдний орлого хэрхэн өөрчлөгдсөнийг харцгаая.

График нь бүгдийг нэг дор харуулдаг, тийм үү? Костягийн орлого зургаан сарын дотор хоёр дахин нэмэгджээ. Гришагийн орлого бас нэмэгдсэн, гэхдээ бага зэрэг. Матвейгийн орлого тэг болж буурсан. Эхлэх нөхцөл нь ижил боловч функцийн өөрчлөлтийн хурд, өөрөөр хэлбэл дериватив, - өөр. Матвейгийн хувьд түүний орлогын дериватив нь ерөнхийдөө сөрөг байдаг.

Зөн совингоор бид функцийн өөрчлөлтийн хурдыг хялбархан тооцоолдог. Гэхдээ бид үүнийг яаж хийх вэ?

Бидний харж байгаа зүйл бол функцийн график хэрхэн огцом дээшлэх (эсвэл доошоо) юм. Өөрөөр хэлбэл х өөрчлөгдөхөд у хэр хурдан өөрчлөгдөх вэ? Мэдээжийн хэрэг, ижил функцтэй өөр өөр цэгүүдбайж болно өөр утгатайдериватив - өөрөөр хэлбэл илүү хурдан эсвэл удаан өөрчлөгдөж болно.

Функцийн деривативыг тэмдэглэнэ.

Үүнийг график ашиглан хэрхэн олохыг бид танд үзүүлэх болно.

Зарим функцийн графикийг зурсан. Абсцисса тэмдэгтэй цэгийг авч үзье. Энэ цэг дээр функцийн график руу шүргэгч зуръя. Функцийн график хэр огцом өсч байгааг бид тооцоолохыг хүсч байна. Энэ нь тохиромжтой үнэ цэнэ юм шүргэгч өнцгийн тангенс.

Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дээрх функцийн графикт татсан шүргэгч өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

Шүргэгчийн налуу өнцгийн хувьд шүргэгч ба тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцгийг авна гэдгийг анхаарна уу.

Заримдаа оюутнууд функцийн графикт шүргэгч гэж юу вэ гэж асуудаг. Энэ бол зөвхөн нэг шулуун шугам юм нийтлэг цэгграфиктай, мөн бидний зурагт үзүүлсэн шиг. Энэ нь тойрогтой шүргэгч шиг харагдаж байна.

Олъё л доо. Хурц өнцгийн тангенс гэдгийг бид санаж байна зөв гурвалжин харьцаатай тэнцүү байназэргэлдээх талын эсрэг тал. Гурвалжингаас:

Функцийн томъёог ч мэдэхгүй байж график ашиглан деривативыг олсон. Иймэрхүү асуудлууд нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд ихэвчлэн дугаарын доор байдаг.

Өөр нэг чухал харилцаа бий. Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгсөн гэдгийг санаарай

Энэ тэгшитгэл дэх хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг шулуун шугамын налуу. Энэ нь шулуун шугамын тэнхлэгт налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

.

Бид үүнийг ойлгодог

Энэ томъёог санацгаая. Энэ нь деривативын геометрийн утгыг илэрхийлдэг.

Тухайн цэг дээрх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн графикт татсан шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл дериватив нь шүргэгч өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

Нэг функц өөр өөр цэгүүдэд өөр өөр деривативтай байж болно гэж бид аль хэдийн хэлсэн. Дериватив нь функцийн үйлдэлтэй хэрхэн холбоотой болохыг харцгаая.

Зарим функцийн графикийг зуръя. Энэ функц нь зарим хэсэгт нэмэгдэж, зарим хэсэгт буурч, мөн хамт байг өөр өөр хурдтай. Мөн энэ функц нь хамгийн их ба хамгийн бага оноотой байг.

Нэг цэгт функц нэмэгддэг. Цэг дээр зурсан графын шүргэгч үүснэ хурц булан; эерэг тэнхлэгийн чиглэлтэй. Энэ нь тухайн цэг дээрх дериватив эерэг байна гэсэн үг.

Энэ үед бидний үйл ажиллагаа буурдаг. Энэ цэг дэх шүргэгч нь мохоо өнцөг үүсгэдэг; эерэг тэнхлэгийн чиглэлтэй. Мохоо өнцгийн тангенс сөрөг тул цэг дээрх дериватив сөрөг байна.

Энд юу болох вэ:

Хэрэв функц нэмэгдэж байвал түүний дериватив эерэг байна.

Хэрэв энэ нь буурвал дериватив нь сөрөг байна.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэг дээр юу болох вэ? (хамгийн их цэг) ба (хамгийн бага цэг) цэгүүдэд шүргэгч хэвтээ байгааг бид харж байна. Иймд эдгээр цэгүүд дэх шүргэгчийн тангенс тэг, дериватив нь мөн тэг байна.

Цэг - хамгийн дээд цэг. Энэ үед функцийн өсөлт бууралтаар солигдоно. Үүний үр дүнд деривативын тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" цэгт өөрчлөгддөг.

Энэ цэг дээр - хамгийн бага цэг - дериватив нь мөн тэг байх боловч түүний тэмдэг нь "хасах" -аас "нэмэх" болж өөрчлөгддөг.

Дүгнэлт: деривативыг ашигласнаар функцийн зан үйлийн талаар бидний сонирхдог бүх зүйлийг олж мэдэх боломжтой.

Хэрэв дериватив эерэг байвал функц нэмэгдэнэ.

Хэрэв дериватив сөрөг байвал функц буурна.

Хамгийн их цэг дээр дериватив нь тэг бөгөөд тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгддөг.

Хамгийн бага цэг дээр дериватив нь мөн тэг бөгөөд тэмдэг нь "хасах" -аас "нэмэх" болж өөрчлөгддөг.

Эдгээр дүгнэлтийг хүснэгт хэлбэрээр бичье.

Хоёр жижиг тодруулга хийцгээе. Асуудлыг шийдэхэд танд тэдгээрийн аль нэг нь хэрэг болно. Өөр нэг нь - эхний жилдээ функц, деривативын талаар илүү нухацтай судалж үзсэн.

Аль нэг цэг дэх функцийн дериватив нь тэгтэй тэнцүү байж болох ч энэ үед функц нь максимум эсвэл минимумгүй байна. Энэ нь гэж нэрлэгддэг зүйл юм :

Нэг цэгт графикт шүргэгч нь хэвтээ, дериватив нь тэг байна. Гэсэн хэдий ч, цэгээс өмнө функц нэмэгдэж, цэгийн дараа энэ нь нэмэгдсээр байна. Деривативын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй - энэ нь өмнөх шигээ эерэг хэвээр байна.

Хамгийн их эсвэл хамгийн бага цэгт дериватив байхгүй байх тохиолдол бас тохиолддог. График дээр энэ нь өгөгдсөн цэг дээр шүргэгч зурах боломжгүй үед огцом завсарлагатай тохирч байна.

Функцийг графикаар бус томъёогоор өгсөн бол деривативыг хэрхэн олох вэ? Энэ тохиолдолд энэ нь хамаарна

Баталгаажуулалтын шалгалтанд "Тангенсийн өнцгийн коэффициент нь налуу өнцгийн тангенс" сэдвээр хэд хэдэн даалгавар өгдөг. Тэдний нөхцөл байдлаас шалтгаалан төгсөгч нь бүрэн хариулт эсвэл богино хариулт өгөхийг шаардаж болно. -д бэлтгэж байна Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэнМатематикийн хувьд оюутан шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг тооцоолох шаардлагатай асуудлуудыг заавал давтах ёстой.

Энэ нь танд үүнийг хийхэд тусална боловсролын портал"Школково". Манай мэргэжилтнүүд онолын болон практик материалаль болох хүртээмжтэй. Үүнийг мэддэг болсноор ямар ч түвшний сургалттай төгсөгчид шүргэгч өнцгийн тангенсыг олох шаардлагатай деривативтай холбоотой асуудлыг амжилттай шийдвэрлэх боломжтой болно.

Үндсэн мөчүүд

Зөвийг олохын тулд ба оновчтой шийдвэрУлсын нэгдсэн шалгалтын ижил төстэй ажлуудыг санаж байх ёстой үндсэн тодорхойлолт: Дериватив нь функцийн өөрчлөлтийн хурдыг илэрхийлнэ; тодорхой цэгт функцын графикт татсан шүргэгч өнцгийн тангенстай тэнцүү байна. Зургийг дуусгах нь адил чухал юм. Энэ нь танд олох боломжийг олгоно зөв шийдэл Улсын нэгдсэн шалгалтын асуудалшүргэгч өнцгийн тангенсыг тооцоолох шаардлагатай дериватив дээр. Тодорхой болгохын тулд графикийг OXY хавтгай дээр зурах нь дээр.

Хэрэв та аль хэдийн уншсан бол суурь материалдериватив сэдвээр мөн шүргэгч өнцгийн тангенсыг тооцоолох асуудлыг шийдэж эхлэхэд бэлэн байна. Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар, та үүнийг онлайнаар хийж болно. Даалгавар бүрийн хувьд, жишээлбэл, "Биеийн хурд ба хурдатгалтай деривативын хамаарал" сэдвээр бид зөв хариулт, шийдлийн алгоритмыг бичсэн. Үүний зэрэгцээ оюутнууд даалгавраа биелүүлэх дадлага хийх боломжтой янз бүрийн түвшинхүндрэлүүд. Шаардлагатай бол дасгалыг "Дуртай" хэсэгт хадгалж, дараа нь багштай шийдлийн талаар ярилцах боломжтой.