Шугаман нэг төрлийн бусын хувьд дифференциал тэгшитгэл n-анхны захиалга
y(n) + а 1(x)y(n- 1) + ... + а- 1 (x) y" + а(x)y = f(x),
Хаана y = y(x) - Үгүй мэдэгдэж байгаа функц, а 1(x),а 2(x), ..., а- 1(x), а(x), е(x) - мэдэгдэж байгаа, тасралтгүй, шударга:
1) хэрэв y 1(x) Мөн y 2(x) - хоёр шийдэл нь тийм биш юм нэгэн төрлийн тэгшитгэл, дараа нь функц
y(x) = y 1(x) - y 2(x) - харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл;
2) хэрэв y 1(x) шийдэл нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл, А y 2(x) нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл, дараа нь функц
y(x) = y 1(x) + y 2(x) - нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл;
3) хэрэв y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - nнэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд ба ych(x) - дур зоргоороо шийдвэрнэг төрлийн бус тэгшитгэл,
дараа нь аль нэгнийх нь хувьд анхны утгууд
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
Илэрхийлэл
y(x)=в 1 y 1(x) + в 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
дуудсан ерөнхий шийдвэршугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл n--р захиалга.
Нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдийг олох тогтмол коэффициентүүдмаягтын баруун гар талуудтай:
Pk(x)exp(a x) учир( bx) + Q м(x)exp(a x)нүгэл( bx),
Хаана Pk(x), Q м(x) - зэрэгтэй олон гишүүнт кТэгээд мҮүний дагуу тодорхой шийдлийг бий болгох энгийн алгоритм байдаг сонгох арга.
Сонгох арга, арга тодорхойгүй коэффициентүүд, дараах байдалтай байна.
Тэгшитгэлийн шаардлагатай шийдийг дараах байдлаар бичнэ.
(Пр(x)exp(a x) учир( bx) + Qr(x)exp(a x)нүгэл( bx))xs,
Хаана Пр(x), Qr(x) - зэрэгтэй олон гишүүнт r= хамгийн их( к, м) хамт үл мэдэгдэхкоэффициентүүд
pr , pr- 1, ..., х 1, х 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
Тиймээс, олох ерөнхий шийдэлТогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг доор харуулав
харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох (шинж чанарын тэгшитгэлийг бичих, бүх үндсийг олох) шинж чанарын тэгшитгэл л 1, л 2, ... , ln, бичнэ үү үндсэн системшийдлүүд y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол ych(x);
ерөнхий шийдлийн илэрхийллийг бичнэ үү
y(x)=в 1 y 1(x) + в 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);
Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлүүд баруун талтусгай төрөл. Тодорхойгүй коэффициентүүдийн арга.
(1) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэл
Энд , f нь тогтмол коэффициенттэй n-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг мэдэгдэж буй функц юм. Хэрэв бол (1) тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн, өөрөөр хэлбэл нэг төрлийн бус гэж нэрлэдэг.
Тогтмол коэффициент бүхий шугаман жигд бус тэгшитгэлийн баруун тал нь функцүүдийн нийлбэр ба бүтээгдэхүүнээс бүрдэх тусгай хэлбэрийн хувьд тодорхойгүй коэффициентийн аргаар тодорхой шийдлийг хайж болно. Тодорхой шийдлийн төрөл нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэсээс хамаарна. Тусгай баруун гар талтай шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдүүдийн төрлүүдийн хүснэгтийг доор харуулав.
Нарийн төвөгтэй онгоц. Комплекс тооны модуль ба аргумент. Маргааны гол утга. Геометрийн утга
Цогцолбор тоонуудыг дараах хэлбэрээр бичнэ: a+ bi. Энд a ба b байна бодит тоо, мөн би - төсөөллийн нэгж, өөрөөр хэлбэл i 2 = –1. a тоог абсцисса гэж нэрлэдэг ба b нь a+ bi цогцолбор тооны ординат юм. a+ bi ба a – bi гэсэн хоёр нийлмэл тоог нийлмэл цогц тоо гэнэ.
Геометрийн дүрслэлнийлмэл тоо. Бодит тоонуудыг тооны шулуун дээрх цэгүүдээр илэрхийлнэ.
Энд А цэг нь –3 тоог, В цэг нь 2 тоог, О нь тэгийг илэрхийлнэ. Үүний эсрэгээр нийлмэл тоонууд дээр цэгээр дүрслэгддэг координатын хавтгай. Энэ зорилгоор бид хоёр тэнхлэгт ижил масштабтай тэгш өнцөгт (картезиан) координатуудыг сонгодог. Дараа нь нийлмэл тоо a+ bi нь абсцисса а ба ординат b-тэй P цэгээр дүрслэгдэх болно (зураг харна уу). Энэхүү координатын системийг цогц хавтгай гэж нэрлэдэг.
Комплекс тооны модуль нь координатын (цогц) хавтгай дээрх комплекс тоог илэрхийлэх OP векторын урт юм. a+ bi цогцолбор тооны модулийг | гэж тэмдэглэнэ a+ bi | эсвэл r үсэг ба тэнцүү байна:
Коньюгат комплекс тоо нь ижил модультай байдаг. __
Комплекс тооны аргумент нь OX тэнхлэг ба энэ комплекс тоог илэрхийлэх OP векторын хоорондох өнцөг юм. Тиймээс бор = b/a.
Тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийн талаархи мэдлэг нь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бүтээх боломжийг олгодог. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн тодорхойлолтыг эргэн санацгаая n--р захиалга
Чиг үүрэг 
, хувьсагчийн өөрчлөлтийн зарим мужид тодорхойлогдсон 
, цэг бүрт Кошийн асуудлыг шийдэх гарц байгаа ба өвөрмөц байдал байдаг бөгөөд энэ нь үргэлжилсэн хэсэгчилсэн деривативтай байдаг. Xзахиалга хүртэл nзаасан муж дахь тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (15) гэж нэрлэгддэг, хэрэв:
тэгшитгэлийн систем
дурын тогтмолуудын хувьд заасан мужид шийдэгдэх боломжтой 
, Тэгэхээр
(16)
2. функц 
нь дурын тогтмолуудын бүх утгын тэгшитгэлийн (15) шийдэл юм 
, томъёогоор илэрхийлсэн (16), цэг байх үед 
авч үзэж байгаа хэсэгт хамаарна.
Теорем 1. (шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай). Хэрэв функцууд 
,
,
…,
нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлнэ n--р захиалга 
интервалд 
, өөрөөр хэлбэл коэффициентүүдийн тасралтгүй байдлын интервалд, дараа нь функц 
нь бүс нутагт энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм Д:
,
,
.
Баталгаа.Заасан бүс нутгийн цэг бүрт Кошигийн асуудлыг шийдэх гарц, өвөрмөц байдал байдаг. Одоо функцийг харуулъя 
тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн тодорхойлолтыг хангана n--р захиалга.
тэгшитгэлийн систем
домэйнд шийдвэрлэх боломжтой Ддурын тогтмолуудтай харьцуулахад 
учир нь энэ системийн тодорхойлогч нь шийдлийн үндсэн системийн Вронски тодорхойлогч (12) тул тэгээс өөр байна.
2. Үйл ажиллагаа 
Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн шинж чанараар энэ нь тэгшитгэлийн шийдэл юм. 
дурын тогтмолуудын бүх утгуудын хувьд 
.
Тиймээс функц 
тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм 
бүс нутагт Д. Теорем нь батлагдсан.
Жишээ.
.
Энэ тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцууд байх нь ойлгомжтой 
,
. Эдгээр шийдвэрүүд нь шийдвэрийн үндсэн тогтолцоог бүрдүүлдэг
.
Тиймээс ерөнхий шийдэл анхны тэгшитгэлфункц юм.
n-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтэц.
Гетерогенийг авч үзье шугаман тэгшитгэл n--р захиалга
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн нэгэн адил (1) тэгшитгэлийн интегралчлал нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл мэдэгдэж байгаа бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн интеграл болгон бууруулдгийг харуулъя.
Болъё 
- тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл (1), өөрөөр хэлбэл.
,
. (2)
тавья 
, Хаана z– шинэ үл мэдэгдэх функц X. Дараа нь тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авна
эсвэл 
,
эндээс, таних (2)-ын ачаар бид олж авдаг
. (3)
Энэ бол нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл, зүүн талЭнэ нь авч үзсэн нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлтэй ижил байна (1). Тэдгээр. бид энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд (1) тохирох нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг олж авлаа.
,
,
…,
,
нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн (3) шийдлийн үндсэн систем юм. Дараа нь энэ тэгшитгэлийн бүх шийдлүүд нь түүний ерөнхий шийдлийн томъёонд агуулагдана, өөрөөр хэлбэл.
.
Энэ утгыг орлуулъя zтомъёонд оруулна 
, бид авдаг
.
Үүссэн функц нь бүс дэх тэгшитгэлийн (1) ерөнхий шийдэл юм Д.
Ийнхүү шугаман нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (1) нь энэ тэгшитгэлийн зарим тодорхой шийдэл болон харгалзах нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн нийлбэртэй тэнцүү болохыг харуулсан.
Жишээ.Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.
Шийдэл.Энэхүү нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна
.
Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл 
, бид өмнө нь үзүүлсэн шиг, хэлбэр байна
Тиймээс анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь: 
.
Ихэнх тохиолдолд, хэрэв та дараах шинж чанарыг ашиглавал нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олох нь илүү хялбар байдаг.
Теорем.Хэрэв (1) тэгшитгэлийн баруун тал нь хэлбэртэй байвал
бөгөөд энэ нь мэдэгдэж байна 
, А 
- тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл 
, дараа нь эдгээр тодорхой шийдлүүдийн нийлбэр 
+
(1) тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл болно.
Баталгаа.Нээрээ, нөхцөл байдлаас хойш 
тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл байдаг 
, А 
- тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл 
, Тэр
,
.
тэдгээр. 
+
нь (1) тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.
Ийм тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийг дараах теоремоор тодорхойлно.
Теорем 1. Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийд (1) нь энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдийн нийлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. y hхаргалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл
Баталгаа. Бид нийлбэр (3) гэдгийг батлах хэрэгтэй.
(1) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл байдаг.
Эхлээд (3) функц нь (1) тэгшитгэлийн шийдэл гэдгийг баталъя. Оронд нь орлуулж байна цагт(1) тэгшитгэлийн нийлбэр нь:
– нь (2) тэгшитгэлийн шийдэл тул (4) тэгшитгэлийн эхний хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь тэгтэй ижил байна. Учир нь y hтэгшитгэлийн шийдэл (1) бол хоёр дахь хаалтанд (4) илэрхийлэл нь тэнцүү байна f(x). Тиймээс тэгш байдал (4) нь ижил төстэй байдал юм. Ийнхүү теоремын эхний хэсэг нотлогдож байна.
Одоо (3) илэрхийлэл нь (1) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл гэдгийг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл. Үүнд орсон дурын тогтмолуудыг сонгох боломжтой гэдгийг баталцгаая анхны нөхцөл (5)
тоо ямар ч байсан x 0, y 0,ба (хэрэв зөвхөн үйл ажиллагаа явуулдаг газруудад a 1, a 2Тэгээд f(x)тасралтгүй).
Бид үүнийг төлөөлж чадна гэдгийг анзаарсан 
, Хаана y 1 , y 2шугаман бие даасан шийдлүүдтэгшитгэл (2) ба C 1Тэгээд C 2нь дурын тогтмолууд тул тэгш байдлыг (3) хэлбэрээр дахин бичиж болно. Дараа нь (5) нөхцөл дээр үндэслэн бид системтэй болно
.
Энэ тэгшитгэлийн системээс тодорхойлох шаардлагатай C 1Тэгээд C 2. Системийг маягтаар дахин бичье
(6)
Системийн тодорхойлогч 
– шийдлийг тодорхойлох Вронски тодорхойлогч байдаг 1 цагтТэгээд 2 цагтцэг дээр. Эдгээр функцууд нь нөхцлөөр шугаман бие даасан байдаг тул Вронски тодорхойлогч нь тийм биш юм тэгтэй тэнцүү, тиймээс систем (6) байна цорын ганц шийдэл C 1Тэгээд C 2, өөрөөр хэлбэл ийм утга санаанууд байдаг C 1Тэгээд C 2өгөгдсөн анхны нөхцлүүдийг хангах (1) тэгшитгэлийн шийдийг (3) томъёогоор тодорхойлно.
Тиймээс нэгэн төрлийн (2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл мэдэгдэж байгаа бол нэгэн төрлийн тэгшитгэл (1)-ийг нэгтгэх гол ажил бол аливаа тодорхой шийдлийг олох явдал юм. y h.
Тусгай баруун гар талтай тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл. Тодорхойгүй коэффициентүүдийн арга.
Заримдаа интеграцид хандахгүйгээр илүү хялбар шийдлийг олох боломжтой байдаг. Энэ нь онд болдог онцгой тохиолдлуудфункц байх үед f(x)байна тусгай төрөл.
Бид тэгшитгэлтэй болцгооё, (1)
Хаана хТэгээд qбодит тоо ба f(x)онцгой төрхтэй. (1) тэгшитгэлийн хэд хэдэн ийм боломжуудыг авч үзье.
(1) тэгшитгэлийн баруун талыг үржвэр болго экспоненциал функцолон гишүүнт рүү, өөрөөр хэлбэл. шиг харагдаж байна 
, (2)
n-р зэргийн олон гишүүнт хаана байна. Дараа нь дараахь тохиолдлууд боломжтой.
a) тоо - үндэс бишшинж чанарын тэгшитгэл 
.
Энэ тохиолдолд тодорхой шийдлийг (3) хэлбэрээр хайх шаардлагатай.
тэдгээр. мөн олон гишүүнт хэлбэрээр n-р зэрэг, хаана A 0, A 1,…, A nкоэффициентийг тодорхойлох шаардлагатай.
Тэдгээрийг тодорхойлохын тулд дериватив ба .
Орлуулах y h, мөн тэгшитгэлд (1) оруулаад хоёр талыг хүчин зүйлээр бууруулбал бид дараах байдалтай болно:
Энд n-р зэргийн олон гишүүнт, (n-1)-р зэргийн олон гишүүнт, (n-2)-р зэрэглэлийн олон гишүүнт байна.
Тиймээс тэнцүү тэмдгийн зүүн ба баруун талд олон гишүүнт байдаг n--р зэрэг. Коэффицентүүдийг тэнцүүлэх тэнцүү градус X(үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн тоо нь тэнцүү), бид коэффициентийг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авдаг. A 0, A 1, ..., A n.
(1) тэгшитгэлийн баруун тал нь дараах хэлбэртэй байвал:
