Дөрвөлжин гурвалжин. Квадрат гурвалжны коэффициент

Хөгжил нээлттэй хичээл

8-р ангид алгебр

сэдвээр: "Дөрвөлжин гурвалжин. Задаргаа квадрат гурвалжинүржүүлэгчээр."

Караганда, КСУ-ийн 16-р дунд сургуулийн математикийн багш

Бекенова Г.М.

Караганда 2015 он

"Математикийг ажиглалтаар сурах боломжгүй."

Ларри Нивен - математикийн профессор

Хичээлийн сэдэв:

Дөрвөлжин гурвалжин.

Квадрат гурвалжны коэффициент.

Хичээлийн зорилго:

1. Квадрат гурвалжны хүчин зүйлүүдийг ангилахдаа ангийн бүх сурагчдын мэдлэгийг амжилттай хэрэгжүүлэх, дадлагажуулах.

2. Дэмжих: а) өөрийгөө хянах, бие даан суралцах чадварыг хөгжүүлэх,

б) ашиглах чадвар интерактив самбар,

в) хөгжил математикийн бичиг үсэг, цэвэрхэн байдал.

3. Бодол санаагаа чадварлаг, товч тодорхой илэрхийлэх, ангийнхны үзэл бодолд тэвчээртэй хандах, хүрсэн үр дүндээ сэтгэл ханамж авах чадварыг хөгжүүлэх.

Хичээлийн төрөл:хосолсон хичээлийг ялгасан ба хувь хүний ​​хандлага, хөгжлийн болон ахисан түвшний сургалтын элементүүдтэй.

Хичээлийн байршил:Энэ сэдвийн гурав дахь хичээл (үндсэн), эхний хоёр хичээл дээр оюутнууд квадрат гурвалжны тодорхойлолтыг сурч, үндсийг нь олж сурсан, квадрат гурвалсан гишүүнийг хүчинжүүлэх алгоритмтай танилцсан бөгөөд энэ нь ирээдүйд туслах болно. тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, бутархай хэсгүүдийг багасгах, алгебр илэрхийллийн хувиргалт.

Хичээлийн бүтэц:

1 -ээр мэдлэгээ шинэчлэх ялгаатай хандлагаоюутнуудад.

2 Хяналт гэдэг нь өмнө нь олж авсан мэдлэгээ өөрөө шалгах явдал юм.

3 Шинэ материалыг танилцуулах нь зарим талаараа хайлтын арга юм.

4 Сурсан зүйлээ анхдагч нэгтгэх, тус тусад нь ялгах арга.

5 Ойлгох, мэдлэгийг нэгтгэх.

6 Асуудалд суурилсан сургалтыг ашиглан гэрийн даалгавар хийх.

Тоног төхөөрөмж: интерактив самбар, ердийн самбар, даалгаврын карт, Алгебр 8 сурах бичиг, хувилах цаас, хоосон цаас, физикийн тэмдэг.

Хичээлийн явц

Зохион байгуулалтын мөч (1 минут).

1. Сурагчидтай мэндчилгээ дэвшүүлэх; хичээлд бэлэн байгаа эсэхийг шалгах.

2. Хичээлийн зорилгыг илэрхийлэх.

I шат.

“Дахин давтах нь суралцахын эх юм."

1. Гэрийн даалгавраа шалгах. No 476 (б, г), No 474, No 475

2. Хувь хүний ​​ажилКарт дээр (4 хүн) (гэрийн даалгавраа шалгах үед) (5 минут)

II шат.

"Итгэ, гэхдээ баталгаажуул"

Өөрийгөө хянах тестийн ажил.

Туршилтын ажил (нүүрстөрөгчийн цаасаар дамжуулан) өөрийгөө шалгах.

Сонголт 1 m II сонголт

1) 2)

2. Квадрат гурвалсан тоог үржүүлээрэй:

Хариултууд

руу туршилтын ажил

"Итгэ, гэхдээ баталгаажуул."

1. Квадрат гурвалжны үндсийг ол:

I сонголт II хувилбар nТ

2. Квадрат гурвалсан тоог үржүүлээрэй:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);

3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).

Анхаарал татахуйц цөөн хэдэн гайхалтай хариултууд.

Оюутнуудад зориулсан асуулт:

Квадрат гурвалжны үржвэрийг хаана хэрэглэж болно гэж та бодож байна вэ?

Зөв: тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед,

бутархайг багасгах үед,

алгебр илэрхийллийг хувиргахад.

III шат

” Ур чадвар, хөдөлмөр бүх зүйлийг нунтаглана"(10 минут)

1. Бутархайг багасгахдаа квадрат гурвалжийг хүчин зүйлээр ялгах аргыг авч үзье. Оюутнууд самбар дээр ажилладаг.

Бутархайг багасгах:

2. Одоо алгебр илэрхийллийг хувиргахдаа квадрат гурвалжны хүчин зүйлүүдийг ялгах аргыг авч үзье.

Сурах бичиг. Алгебр 8. х 126 No 570 (b)

Одоо квадрат гурвалжны үржүүлэх аргыг хэрхэн ашиглаж байгааг харуул.

IV шат

"Төмөр халуун байхад цохи!"

Бие даасан ажил (13 минут)

Сонголт I Сонголт 1

Бутархайг багасгах:

5. Би үүнийг ойлгосон …….

6. Одоо би чадна…….

7. Би үүнийг мэдэрсэн....

8. Би худалдаж авсан….

9. Би сурсан......

10. Би үүнийг хийсэн………

11. Би чадсан...

12. Би хичээх болно......

13. Би гайхсан....

14. Тэр надад амьдралын сургамж өгсөн….

15. Би хүссэн….

тухай мэдээлэл гэрийн даалгавар: дараагийн хичээлд гэрийн даалгавраа авчир бие даасан ажилБид долоо хоногийн өмнө хүлээн авсан.

Гэрийн бие даасан ажил.

Сонголт I Сонголт 1

№ 560 (а,в) №560 (б,г)

№ 564 (а,в) дугаар 564(б,г)

№ 566 (a) No 566 (б)

№ 569 (а) № 569 (б)

№ 571 (а,в) дугаар 571 (б,г)

Хичээл дууслаа.

Квадрат гурвалжны коэффициентС3 бодлого эсвэл C5 параметрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болно. Бас олон үгийн асуудлуудХэрэв та Виетийн теоремыг мэддэг бол B13-ыг илүү хурдан шийдэх болно.

Энэ теоремыг мэдээж анх удаа зааж байгаа 8-р ангийн үүднээс авч үзэж болно. Гэхдээ бидний даалгавар бол Улсын нэгдсэн шалгалтанд сайн бэлдэж, шалгалтын даалгаврыг аль болох үр дүнтэй шийдэж сурах явдал юм. Тиймээс энэ хичээл нь сургуулийнхаас арай өөр арга барилыг авч үзэх болно.

Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурын томъёоОлон хүмүүс мэддэг (эсвэл ядаж үзсэн):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

Энд `a, b` ба `c` нь квадрат гурвалсан `ax^2+bx+c`-ийн коэффициентүүд юм.

Теоремыг хэрхэн хялбар ашиглах талаар сурахын тулд энэ нь хаанаас ирснийг ойлгоцгооё (энэ нь үнэндээ санахад хялбар болгоно).

`ax^2+ bx+ c = 0` тэгшитгэлтэй байя. Илүү хялбар болгохын тулд үүнийг `a`-д хувааж, `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`-г авна уу. Ийм тэгшитгэл багасгасан квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Хичээлийн чухал санаа: Үндэстэй квадрат олон гишүүнтийг хаалтанд хийж болно.Биднийг `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` гэж төлөөлж болно гэж бодъё, энд `k` ба ` l` - зарим тогтмолууд.

Хаалт хэрхэн нээгдэж байгааг харцгаая:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Тиймээс `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Энэ нь сонгодог тайлбараас арай өөр юм Вьетагийн теорем- үүнээс бид тэгшитгэлийн үндсийг хайдаг. Би нөхцөлийг хайхыг санал болгож байна хаалтны задрал- Ингэснээр та томьёоны хасахыг санах шаардлагагүй (`x_1+x_2 = -\frac(b)(a)` гэсэн утгатай). Ийм хоёр тоог сонгоход хангалттай бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр нь дундаж коэффициенттэй тэнцүү, бүтээгдэхүүн нь чөлөөт нэр томъёотой тэнцүү байна.

Хэрэв бидэнд тэгшитгэлийн шийдэл хэрэгтэй бол энэ нь тодорхой байна: `x=-k` эсвэл `x=-l` үндэс (учир нь эдгээр тохиолдолд хаалтны аль нэг нь тэг байх бөгөөд энэ нь бүх илэрхийлэл тэг болно гэсэн үг юм. ).

Би алгоритмыг жишээ болгон харуулах болно. Квадрат олон гишүүнтийг хаалтанд хэрхэн өргөтгөх вэ.

Жишээ нэг. Квадрат гурвалсан тоог хүчинжүүлэх алгоритм

Бидэнд байгаа зам бол `x^2+5x+4` квадрат гурвалсан тоо юм.

Энэ нь багассан (коэффицент `x^2` нэгтэй тэнцүү). Тэр үндэстэй. (Баталгаатай байхын тулд та ялгаварлагчийг тооцоолж, тэгээс их байгаа эсэхийг шалгаарай.)

Цаашдын алхмууд (бүгдийг дуусгасны дараа та тэдгээрийг сурах хэрэгтэй сургалтын даалгавар):

1. Дараахыг бичнэ үү: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Оронд нь цэгүүдийг үлдээнэ үү. чөлөөт зай, бид тэнд тохирох тоо, тэмдэг нэмэх болно.
2. Бүгдийг харах боломжит сонголтууд, та яаж `4` тоог хоёр тооны үржвэр болгон задлах вэ? Бид тэгшитгэлийн язгуурын хос "нэр дэвшигчдийг" авдаг: `2, 2` ба `1, 4`.
3. Та аль хосоос дундаж коэффициентийг авч болохыг олж мэдээрэй. Энэ нь `1, 4` гэдэг нь ойлгомжтой.
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ гэж бичнэ.
5. Дараагийн алхам бол оруулсан тоонуудын өмнө тэмдэг байрлуулах явдал юм.

   Хаалтанд байгаа тоонуудын өмнө ямар тэмдэг гарч ирэх ёстойг хэрхэн ойлгож, үүрд санах вэ? Тэдгээрийг нээж үзээрэй (хаалт). `x`-ийн өмнөх коэффициент нь `(± 4 ± 1)` байх болно (бид шинж тэмдгүүдийг хараахан мэдэхгүй байна - бид сонгох хэрэгтэй) `5`-тэй тэнцүү байх ёстой. Мэдээжийн хэрэг, $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ гэсэн хоёр давуу тал байх болно.

   Энэ үйлдлийг хэд хэдэн удаа хий (сайн байна уу, сургалтын даалгавар!) болон илүү олон асуудалийм зүйл хэзээ ч болохгүй.

Хэрэв та `x^2+5x+4` тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай бол одоо үүнийг шийдвэрлэхэд хэцүү биш байх болно. Үүний үндэс нь `-4, -1` юм.

Хоёр дахь жишээ. Янз бүрийн тэмдгийн коэффициент бүхий квадрат гурвалжны үржвэрлэлт

`x^2-x-2=0` тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, ялгаварлагч эерэг байна.

Бид алгоритмыг дагаж мөрддөг.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Хоёрыг бүхэл хүчин зүйл болгон хуваах нь зөвхөн нэг байна: `2 · 1`.
3. Бид цэгийг алгасаж байна - сонгох зүйл байхгүй.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Бидний тоонуудын үржвэр нь сөрөг (`-2` нь чөлөөт нэр томъёо) бөгөөд тэдгээрийн нэг нь сөрөг, нөгөө нь эерэг байна гэсэн үг юм.
   Тэдний нийлбэр нь `-1` (`x`-ийн коэффициент)-тэй тэнцүү тул `2` сөрөг байх болно (зөн совингийн тайлбар нь хоёр нь хоёр тооноос том нь бөгөөд энэ нь илүү хүчтэй "татах" болно. сөрөг тал). Бид $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$ авна

Гурав дахь жишээ. Квадрат гурвалжны коэффициент

Тэгшитгэл нь `x^2+5x -84 = 0` байна.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84-ийг бүхэл хүчин зүйл болгон задлах: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Бидэнд тоонуудын зөрүү (эсвэл нийлбэр) 5 байх шаардлагатай тул `7, 12` хос тохиромжтой.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Найдвар, энэ квадрат гурвалжны хаалтанд өргөтгөлЭнэ нь ойлгомжтой.

Хэрэв танд тэгшитгэлийн шийдэл хэрэгтэй бол энд байна: `12, -7`.

Сургалтын даалгавар

Би та бүхний анхаарлыг татахад хялбар хэдэн жишээг хүргэж байна Виетийн теоремыг ашиглан шийддэг.(Жишээг "Математик", 2002 сэтгүүлээс авсан.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Нийтлэлийг бичсэнээс хойш хэдэн жилийн дараа задлах 150 даалгаврын цуглуулга гарч ирэв квадрат олон гишүүнтВьетагийн теоремоор.

Like дарж, сэтгэгдэл дээр асуулт асуугаарай!

Дөрвөлжин гурвалжинхэлбэрийн олон гишүүнт гэж нэрлэдэг сүх 2 +bx +в, Хаана x- хувьсагч, а,б,в– зарим тоо, мөн ≠ 0.

Коэффицент Адуудсан ахлах коэффициент, в – чөлөөт гишүүн дөрвөлжин гурвалжин.

Квадрат гурвалсан тоонуудын жишээ:

2 x 2 + 5x+4(Энд а = 2, б = 5, в = 4)

x 2 – 7x + 5(Энд а = 1, б = -7, в = 5)

9х 2 + 9х - 9(Энд а = 9, б = 9, в = -9)

Коэффицент бэсвэл коэффициент вэсвэл хоёр коэффициент нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байж болно. Жишээ нь:

5 x 2 + 3x(Эндa = 5,b = 3,c = 0, тэгэхээр тэгшитгэлд c-ийн утга байхгүй).

6х 2-8 (Эндa = 6, b = 0, c = -8)

2х2(Эндa = 2, b = 0, c = 0)

Олон гишүүнт алга болох хувьсагчийн утгыг дуудна олон гишүүнтийн үндэс.

Квадрат гурвалсан гишүүний үндсийг олохсүх 2 + bx + в, бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй -
өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэлийг шийднэсүх 2 + bx + c = 0 ("Квадрат тэгшитгэл" хэсгийг үзнэ үү).

Квадрат гурвалжны коэффициент

Жишээ:

Гурвалсан 2-ыг үржвэрлэе x 2 + 7x - 4.

Бид харж байна: коэффициент А = 2.

Одоо гурвалсан язгуурыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлж, тэгшитгэлийг шийднэ

2x 2 + 7x – 4 = 0.

Ийм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ - "Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо" хэсгээс үзнэ үү. Ялгаварлан гадуурхагч." Энд бид тооцооллын үр дүнг нэн даруй хэлэх болно. Манай гурвалсан хоёр үндэстэй:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Коэффициентийн утгыг хаалтнаас гаргаж, томъёонд үндэсийн утгыг орлъё. А, мөн бид дараахь зүйлийг авна.

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Хүлээн авсан үр дүнг 2-ын коэффициентийг биномоор үржүүлэх замаар өөрөөр бичиж болно x – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Асуудлыг шийдсэн: гурвалсан тоог хүчин зүйлчилсэн.

Үндэстэй ямар ч квадрат гурвалжны хувьд ийм өргөтгөлийг олж авч болно.

АНХААР!

Хэрэв квадрат гурвалжны дискриминант тэгтэй тэнцүү, тэгвэл энэ гурвалсан нэг үндэстэй, харин гурвалжинг өргөтгөхдөө энэ язгуурыг хоёр язгуурын утга гэж авна, өөрөөр хэлбэл ижил утгатай байна. x 1 баx 2 .

Жишээлбэл, гурвалсан гишүүн нь 3-тай тэнцүү нэг үндэстэй. Дараа нь x 1 = 3, x 2 = 3.

Квадрат гурвалсан гишүүн нь ax^2+bx+c хэлбэрийн олон гишүүнт бөгөөд энд x нь хувьсагч, a, b, c нь зарим тоо, а нь тэгтэй тэнцүү биш юм.
Үнэн хэрэгтээ тааламжгүй гурван гишүүнийг хүчин зүйл болгохын тулд бидний мэдэх ёстой хамгийн эхний зүйл бол теорем юм. Энэ нь дараах байдалтай харагдана: “Хэрэв x1 ба x2 нь дөрвөлжин гурвалсан язгуур бол ax^2+bx+c, тэгвэл ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).” Мэдээжийн хэрэг, энэ теоремийн нотолгоо байдаг, гэхдээ энэ нь зарим зүйлийг шаарддаг онолын мэдлэг(ax^2+bx+c олон гишүүнт a факторыг гаргахад бид ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x + c/a болно). Виеттийн теорем x1. +x2= -(b/a), x1*x2=c/a, тиймээс b/a=-(x1+x2), c/a=x1*x2 гэсэн үг x^2+ (b/a)x+c / a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2 гэсэн үг. ).

Алхам 2

3x^2-24x+21 гурвалсан тоог жишээ болгон авч үзье. Бидний хийх ёстой хамгийн эхний зүйл бол гурвалсан тоог тэгтэй тэнцүүлэх явдал юм: 3x^2-24x+21=0. Үүссэн квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь гурвалсан гишүүний үндэс болно.

Алхам 3

3x^2-24x+21=0 тэгшитгэлийг шийдье. a=3, b=-24, c=21. Ингээд шийдье. Хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байгаа хүн квадрат тэгшитгэл, миний зааврыг жишээ болгон ижил тэгшитгэл ашиглан шийдвэрлэх 2 аргыг харна уу. Үүссэн үндэс нь x1=7, x2=1 байна.

Алхам 4

Одоо бид гурвалсан язгуурыг авсан тул тэдгээрийг =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) томъёонд аюулгүйгээр орлуулж болно.
Бид дараахыг авна: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Та нэр томьёог хаалтанд хийснээр салж болно: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
Үүний үр дүнд бид дараахийг авна: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Анхаарна уу: үр дүнгийн хүчин зүйлүүд ((x-7), (3x-3) нь нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнтүүд юм. Энэ бол бүх өргөтгөл =) Хэрэв та хүлээн авсан хариултдаа эргэлзэж байвал хаалтанд үржүүлж шалгаж болно.

Алхам 5

Шийдлийг шалгаж байна. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(х-7)(3х-3)=3х^2-3х-21х+21=3х^2-24х+21. Одоо бид шийдвэр маань зөв гэдгийг баттай мэдэж байна! Миний заавар хэн нэгэнд тусална гэж найдаж байна =) Хичээлдээ амжилт хүсье!

• Манай тохиолдолд D > 0 тэгшитгэлд бид 2 үндэстэй болсон. Хэрэв Д байсан бол<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• Хэрэв дөрвөлжин гурвалжин үндэсгүй бол түүнийг үржвэрлэх боломжгүй бөгөөд энэ нь нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт юм.