Бутархайг илүү их болгохын тулд бутархайг багасгах шаардлагатай энгийн үзэмжжишээлбэл, илэрхийлэлийг шийдсэний үр дүнд олж авсан хариултанд.
Бутархай тоо, тодорхойлолт, томъёог багасгах.
Бутархайг багасгах гэж юу вэ? Бутархайг багасгах гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
Тодорхойлолт:
Бутархай хэсгүүдийг багасгах- энэ нь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил зүйлд хуваах явдал юм эерэг тоотэг ба нэгтэй тэнцүү биш. Бууралтын үр дүнд өмнөх бутархайтай тэнцүү, бага тоологч ба хуваагчтай бутархайг олж авна.
Бутархайг багасгах томъёоүндсэн өмч рационал тоо.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Нэг жишээг харцгаая:
Бутархайг багасгах \(\frac(9)(15)\)
Шийдэл:
Бид бутархай хэсгийг өргөжүүлж болно үндсэн хүчин зүйлүүднийтлэг хүчин зүйлсийг багасгах.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Хариулт: бууруулсны дараа бид \(\frac(3)(5)\) бутархайг авсан. Рационал тооны үндсэн шинж чанарын дагуу эх ба үр дүнгийн бутархай нь тэнцүү байна.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Бутархайг хэрхэн багасгах вэ? Бутархайг бууруулж болшгүй хэлбэрт нь оруулах.
Үр дүнд нь бууруулж болохгүй бутархай авахын тулд бидэнд хэрэгтэй хамгийн томыг нь ол нийтлэг хуваагч(NOD)бутархайн хуваагч ба хуваарийн хувьд.
Жишээн дээр бид тоонуудыг үндсэн хүчин зүйл болгон задлах аргыг ашиглан GCD-ийг олох хэд хэдэн арга байдаг.
\(\frac(48)(136)\) бууруулж болохгүй бутархайг ол.
Шийдэл:
GCD(48, 136)-г олъё. 48 ба 136 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон бичье.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\өнгө(улаан) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Бутархайг бууруулж болохгүй хэлбэрт оруулах дүрэм.
- Бид хуваагч болон хуваагчийн хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй.
- Хуваалтын үр дүнд бууруулж болохгүй бутархай авахын тулд та тоологч ба хуваагчийг хамгийн их нийтлэг хуваагчаар хуваах хэрэгтэй.
Жишээ:
\(\frac(152)(168)\) бутархайг багасга.
Шийдэл:
GCD(152, 168)-ийг олцгооё. 152 ба 168 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон бичье.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\өнгө(улаан) (6) \удаа 19)(\өнгө(улаан) (6) \удаа 21)=\frac(19)(21)\)
Хариулт: \(\frac(19)(21)\) бууруулж болохгүй бутархай.
Зохисгүй фракцуудыг багасгах.
Буруу бутархайг хэрхэн багасгах вэ?
Бутархайг багасгах дүрэм нь зөв ба буруу бутархайн хувьд ижил байна.
Нэг жишээг харцгаая:
Бутархай бутархайг багасгах \(\frac(44)(32)\).
Шийдэл:
Тоолуур ба хуваагчийг энгийн хүчин зүйл болгон бичье. Тэгээд бид нийтлэг хүчин зүйлсийг багасгах болно.
\(\frac(44)(32)=\frac(\өнгө(улаан) (2 \times 2 ) \times 11)(\өнгө(улаан) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Холимог фракцуудыг багасгах.
Холимог бутархай нь энгийн бутархайтай ижил дүрмийг баримталдаг. Ганц ялгаа нь бид чадна бүхэлд нь хүрч болохгүй, харин бутархай хэсгийг багасгахэсвэл Холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргаж, багасгаж, зохих бутархай руу хөрвүүлнэ.
Нэг жишээг харцгаая:
\(2\frac(30)(45)\) холимог бутархайг цуцал.
Шийдэл:
Үүнийг хоёр аргаар шийдье:
Эхний арга:
Бутархай хэсгийг энгийн хүчин зүйл болгон бичье, гэхдээ бид бүхэлд нь хөндөхгүй.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Хоёр дахь арга:
Эхлээд буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь анхны хүчин зүйл болгон бичээд багасгая. Үүссэн буруу бутархайг зөв бутархай болгон хувиргацгаая.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \ times) 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Холбогдох асуултууд:
Нэмэх, хасах үед бутархайг багасгаж чадах уу?
Хариулт: Үгүй ээ, та эхлээд дүрмийн дагуу бутархайг нэмэх эсвэл хасах хэрэгтэй бөгөөд зөвхөн дараа нь багасгах хэрэгтэй. Нэг жишээг харцгаая:
\(\frac(50+20-10)(20)\) илэрхийллийг үнэл.
Шийдэл:
Тэд ихэвчлэн товчилсон алдаа гаргадаг ижил тоонуудМанай тохиолдолд тоологч болон хуваагч нь 20 гэсэн тоотой боловч нэмэх хасах үйлдлийг хийж дуустал тэдгээрийг багасгах боломжгүй.
\(\frac(50+\өнгө(улаан) (20)-10)(\өнгө(улаан) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Бутархайг ямар тоогоор багасгаж болох вэ?
Хариулт: Та бутархайг хамгийн их нийтлэг хүчин зүйлээр эсвэл тоологч ба хуваагчийн нийтлэг хуваагчаар багасгаж болно. Жишээ нь, бутархай \(\frac(100)(150)\).
100 ба 150 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон бичье.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Хамгийн том нийтлэг хуваагч нь gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 тоо байх болно.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Бид \(\frac(2)(3)\) бууруулж болохгүй бутархайг авсан.
Гэхдээ энэ нь үргэлж gcd-д хуваагдах шаардлагагүй; Жишээлбэл, 100 ба 150 тоонуудын нийтлэг хуваагч нь 2. \(\frac(100)(150)\) бутархайг 2-оор бууруулъя.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \\ дахин 50)(2 \\ дахин 75)=\frac(50)(75)\)
Бид бууруулж болох бутархайг авсан \(\frac(50)(75)\).
Ямар фракцуудыг багасгаж болох вэ?
Хариулт: Тоолуур ба хуваагч нь нийтлэг хуваагчтай бутархайг багасгаж болно. Жишээ нь, бутархай \(\frac(4)(8)\). 4 ба 8-ын тоо нь хоёулаа хуваагддаг тоотой байдаг - 2. Тиймээс ийм бутархайг 2-оор багасгаж болно.
Жишээ:
\(\frac(2)(3)\) ба \(\frac(8)(12)\) хоёр бутархайг харьцуул.
Эдгээр хоёр бутархай тэнцүү байна. \(\frac(8)(12)\) бутархайг нарийвчлан авч үзье:
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \ дахин 1 = \ frac (2) (3) \)
Эндээс бид \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\) болно.
Хоёр бутархай нь зөвхөн нэгийг нь нөгөө бутархайг нь бууруулснаар олж авсан тохиолдолд тэнцүү байна нийтлэг үржүүлэгчтоологч ба хуваагч.
Жишээ:
Боломжтой бол дараах бутархайг багасга: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Шийдэл:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
б) \(\frac(27)(63)=\frac(\өнгө(улаан) (3 \удаа 3) \удаа 3)(\өнгө(улаан) (3 \удаа 3) \удаа 7)=\frac (3)(7)\)
в) \(\frac(17)(100)\) бууруулж болохгүй бутархай
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\өнгө(улаан) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ дахин 5)=\frac(2)(5)\)
Бутархайг хэрхэн багасгахыг ойлгохын тулд эхлээд жишээг харцгаая.
Бутархайг багасгах гэдэг нь хуваагч ба хуваагчийг ижил зүйлээр хуваана гэсэн үг юм. 360 ба 420 аль аль нь оронтой тоогоор төгссөн тул бид энэ бутархайг 2-оор багасгаж болно. Шинэ бутархайд 180 ба 210 хоёулаа 2-т хуваагддаг тул бид энэ бутархайг 2-оор бууруулна. 90 ба 105 тоонд нийлбэр. цифрүүдийн тоо 3-т хуваагддаг тул эдгээр тоо хоёулаа 3-т хуваагддаг тул бид бутархайг 3-аар багасгадаг. Шинэ бутархайд 30 ба 35 нь 0 ба 5-аар төгсдөг бөгөөд энэ нь хоёулаа 5-т хуваагддаг гэсэн үг юм. бутархай 5. Үр дүнд нь зургаа-долооны хэсэг нь буурах боломжгүй. Энэ бол эцсийн хариулт.
Бид ижил хариултанд өөр аргаар хүрч чадна.
360 ба 420 тоо хоёулаа тэгээр төгсдөг бөгөөд энэ нь 10-д хуваагддаг гэсэн үг юм. Бид бутархайг 10-аар бууруулна. Шинэ бутархайд 36 дугаар ба хуваагч 42 хоёулаа 2-оор хуваагдана. Бид бутархайг 2-оор бууруулна. дараагийн бутархай, тоологч 18 ба хуваагч 21 хоёулаа 3-т хуваагддаг бөгөөд энэ нь бид бутархайг 3-аар бууруулна гэсэн үг юм. Бид үр дүнд хүрсэн - зургаагийн долоо.
Бас нэг шийдэл.
Дараагийн удаа бид бутархайг багасгах жишээг авч үзэх болно.
Энэ нь тэдний үндсэн шинж чанарт суурилдаг: хэрвээ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг тэгээс өөр олон гишүүнтээр хуваавал тэнцүү бутархай гарна.
Та зөвхөн үржүүлэгчийг багасгаж чадна!
Олон гишүүнтийн гишүүдийг товчилж болохгүй!
Алгебрийн бутархайг багасгахын тулд эхлээд тоологч ба хуваагч дахь олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх шаардлагатай.
Бутархайг багасгах жишээг авч үзье.
Бутархайн тоо болон хуваагч нь мономиалуудыг агуулна. Тэд төлөөлдөг ажил(тоо, хувьсагч ба тэдгээрийн хүч), үржүүлэгчидбид багасгаж чадна.
Бид тоонуудыг хамгийн их нийтлэг хуваагчаар нь, өөрөөр хэлбэл тоогоор нь багасгадаг хамгийн их тоо, эдгээр тоо тус бүрийг хуваана. 24 ба 36-ын хувьд энэ нь 12. Буурсны дараа 24-өөс 2, 36-аас 3 хэвээр байна.
Зэрэг нь в градусаар буурдаг хамгийн бага хувь. Бутархайг багасгах гэдэг нь хуваагч болон хуваагчийг ижил хуваагчаар хувааж, илтгэгчийг хасахыг хэлнэ.
a² ба a⁷ нь a² болж буурсан. Энэ тохиолдолд a²-ийн тоологчд нэг үлдэнэ (бид багассаны дараа өөр хүчин зүйл үлдэхгүй тохиолдолд л 1-ийг бичнэ. 24-өөс 2 үлдсэн тул a²-аас 1-ийг бичихгүй). a⁷-аас буурсны дараа a⁵ үлдэнэ.
b ба b үр дүнгийн нэгжийг бичээгүй;
c³º ба c⁵ нь c⁵ болж богиноссон. c³º-ээс c²⁵ үлддэг, c⁵-ээс нэг (бид үүнийг бичдэггүй). Тиймээс,
Энэхүү алгебрийн бутархайн хүртэгч ба хуваагч нь олон гишүүнт юм. Та олон гишүүнтийн нөхцлүүдийг цуцлах боломжгүй! (жишээ нь, 8x² ба 2x-ийг багасгаж болохгүй!). Энэ фракцыг багасгахын тулд танд хэрэгтэй. Тоолуур нь 4x-ийн нийтлэг хүчин зүйлтэй. Үүнийг хаалтнаас гаргаж авцгаая:
Тоолуур ба хуваагч хоёулаа ижил хүчин зүйлтэй (2х-3). Бид энэ хүчин зүйлээр бутархайг багасгадаг. Тоолуур дээр бид 4x, хуваарьт - 1. 1 өмчийн хувьд алгебрийн бутархай, бутархай нь 4x.
Та зөвхөн үржүүлэгчийг багасгаж болно (багасгах өгөгдсөн бутархай 25x² дээр зөвшөөрөгдөөгүй!). Иймд бутархайн хуваагч ба хуваагч дахь олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх шаардлагатай.
Тоолуур дээр - төгс дөрвөлжиннийлбэр, хуваагч нь квадратуудын зөрүү юм. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан задралын дараа бид дараахь зүйлийг олж авна.
Бид бутархайг (5x+1)-ээр бууруулна (үүнийг хийхийн тулд тоологч дахь хоёрыг илтгэгч болгон хайчилж, (5x+1)² (5x+1) үлдээнэ):
Тоолуур нь 2-ын нийтлэг хүчин зүйлтэй тул хаалтнаас гаргая. Хуваагч нь шоо дөрвөлжингийн зөрүүний томъёо юм.
Өргөтгөлийн үр дүнд тоологч ба хуваагч ижил хүчин зүйлийг (9+3a+a²) авсан. Бид түүгээр бутархайг багасгадаг:
Тоолуур дахь олон гишүүнт 4 гишүүнээс бүрдэнэ. эхний гишүүнийг хоёр дахь, гурав дахь нь дөрөв дэх гишүүнтэй хамт, эхний хаалтнаас нийтлэг хүчин зүйл x²-г хасна. Бид хуваагчийг шоо нийлбэр томъёогоор задалдаг.
Тоолуур дахь нийтлэг хүчин зүйлийг (x+2) хаалтнаас гаргая.
Бутархайг (x+2)-аар бууруул:
Тиймээс бид бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил тоогоор үржүүлж, хувааж болно, бутархай нь өөрчлөгдөхгүй гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Гурван аргыг авч үзье:
Нэг рүү ойрт.
Бууруулахын тулд тоологч ба хуваагчийг нийтлэг хуваагчаар хуваана. Жишээнүүдийг харцгаая:
Богино болгоё:
Өгөгдсөн жишээн дээр бид багасгахын тулд аль хуваагчийг авахыг шууд харж байна. Процесс нь энгийн - бид 2,3,4,5 гэх мэтээр дамжина. Ихэнх сургуулийн хичээлийн жишээнд энэ нь хангалттай юм. Гэхдээ энэ нь бутархай бол:
Энд хуваагчийг сонгох үйл явц удаан үргэлжилж болно;). Мэдээжийн хэрэг, ийм жишээнүүд сургуулийн хөтөлбөрөөс гадуур байдаг, гэхдээ та тэдгээрийг даван туулах чадвартай байх хэрэгтэй. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг бид доороос харах болно. Одоохондоо цомхотгол руугаа буцъя.
Дээр дурдсанчлан бутархайг багасгахын тулд бид тодорхойлсон нийтлэг хуваагч(ууд)-д хуваалаа. Бүх зүйл зөв байна! Зөвхөн тоонуудын хуваагдах шинж тэмдгийг нэмэхэд л хангалттай.
- хэрэв тоо нь тэгш бол 2-т хуваагдана.
- Хэрэв сүүлийн хоёр оронтой тоо 4-т хуваагддаг бол тухайн тоо өөрөө 4-т хуваагдана.
— тухайн тоог бүрдүүлсэн цифрүүдийн нийлбэр 3-т хуваагддаг бол тухайн тоо өөрөө 3-т хуваагдана.Жишээ нь 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Арван хоёр нь 3-т хуваагддаг тул 123031 нь 3-т хуваагддаг.
- хэрэв тоо 5 эсвэл 0-ээр төгссөн бол тухайн тоо 5-д хуваагдана.
— тухайн тоог бүрдүүлж буй цифрүүдийн нийлбэр 9-д хуваагддаг бол тухайн тоо өөрөө 9-д хуваагдана.Жишээ нь: 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Арван найм нь 9-д хуваагддаг бөгөөд энэ нь 623032 нь 9-д хуваагддаг гэсэн үг юм.
Хоёр дахь хандлага.
Товчхондоо, үнэн хэрэгтээ бүх үйлдэл нь хүртэгч ба хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваах, дараа нь тоологч ба хуваагч дахь тэнцүү хүчин зүйлийг багасгахад чиглэгддэг (энэ арга нь эхний аргын үр дагавар юм):
Харааны хувьд төөрөгдөл, алдаа гаргахгүйн тулд ижил хүчин зүйлийг зүгээр л хасдаг. Асуулт - тоог хэрхэн хүчин зүйл болгох вэ? Хайлт хийх замаар бүх хуваагчийг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ бол тусдаа сэдэв, төвөгтэй зүйл биш, сурах бичиг эсвэл интернетээс мэдээллийг хайж олоорой. Сургуулийн фракцуудад байдаг факторинг тоонуудын хувьд та ямар ч том асуудалтай тулгарахгүй.
Албан ёсоор бууруулах зарчмыг дараах байдлаар бичиж болно.
Гурав руу ойртох.
Дэвшилтэт болон нэг болох хүсэлтэй хүмүүст хамгийн сонирхолтой зүйл энд байна. 143/273 бутархайг багасгая. Та өөрөө туршаад үзээрэй! За, яаж хурдан болсон юм бэ? Одоо хар!
Бид үүнийг эргүүлнэ (бид тоологч ба хуваагчийн газрыг өөрчилдөг). Бид үүссэн бутархайг булангаар хувааж, холимог тоо болгон хувиргана, өөрөөр хэлбэл бүх хэсгийг сонгоно.
Энэ нь аль хэдийн хялбар болсон. Тоолуур ба хуваагчийг 13-аар багасгаж болохыг бид харж байна.
Одоо бутархайг дахин эргүүлэхээ бүү мартаарай, бүх гинжийг бичье:
Шалгасан - хуваагчийг хайж, шалгахаас бага хугацаа шаардагдана. Хоёр жишээ рүүгээ буцъя:
Эхлээд. Булангийн тусламжтайгаар (тооцоолуур дээр биш) хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.
Энэ фракц нь мэдээжийн хэрэг илүү энгийн боловч бууралт нь дахин асуудал юм. Одоо бид 1273/1463 фракцыг тусад нь шинжилж, эргүүлнэ үү.
Энд илүү хялбар. Бид 19 гэх мэт хуваагчийг авч үзэж болно. Үлдсэн нь тохиромжгүй, энэ нь тодорхой байна: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Хуррай! Ингээд бичье:
Дараагийн жишээ. 88179/2717 гэж товчилъё.
Хувавал бид дараахь зүйлийг авна.
Бид 1235/2717 фракцыг тусад нь шинжилж, эргүүлнэ.
Бид 13 гэх мэт хуваагчийг авч үзэж болно (13 хүртэл тохирохгүй):
Тоологч 247:13=19 Хугацаа 1235:13=95
*Процессын явцад бид 19-тэй тэнцэх өөр хуваагчийг харсан. Энэ нь:
Одоо бид анхны дугаарыг бичнэ үү:
Бутархайд юу том байх нь хамаагүй - тоологч эсвэл хуваагч, хэрэв энэ нь хуваагч бол бид үүнийг эргүүлж, тайлбарласны дагуу ажиллана. Ингэснээр бид ямар ч бутархайг багасгаж, гурав дахь аргыг бүх нийтийн гэж нэрлэж болно.
Мэдээжийн хэрэг, дээр дурдсан хоёр жишээ бол энгийн жишээ биш юм. Энэ технологийг өмнө нь авч үзсэн "энгийн" фракцууд дээр туршиж үзье.
Хоёр дөрөвний нэг.
Далан хоёр жаран. Тоолуур нь хуваагчаас их байвал үүнийг буцаах шаардлагагүй;
Мэдээжийн хэрэг, гурав дахь аргыг ийм зүйлд ашигласан энгийн жишээнүүдзүгээр л өөр хувилбар болгон. Өмнө дурьдсанчлан энэ арга нь бүх нийтийнх боловч бүх фракцуудад, ялангуяа энгийн хүмүүст тохиромжтой, зөв биш юм.
Бутархайн олон янз байдал нь маш их юм. Та зарчмуудыг ойлгох нь чухал. Бутархайтай ажиллах хатуу дүрэм ердөө байдаггүй. Бид харж, яаж ажиллах нь илүү тохиромжтой болохыг бодож, урагшиллаа. Дадлага хийснээр ур чадвар гарч ирэх бөгөөд та тэдгээрийг үр шиг хагалах болно.
Дүгнэлт:
Хэрэв та хуваагч болон хуваагчийн нийтлэг хуваагчийг олж харвал тэдгээрийг багасгахын тулд ашиглана уу.
Хэрэв та тоог хэрхэн хурдан үржүүлэхийг мэддэг бол хүртэгч ба хуваагчийг үржүүлж, дараа нь багасга.
Хэрэв та нийтлэг хуваагчийг тодорхойлж чадахгүй бол гурав дахь аргыг ашиглана уу.
*Бутархайг багасгахын тулд багасгах зарчмуудыг эзэмших, бутархайн үндсэн шинж чанарыг ойлгох, шийдвэрлэх арга барилыг мэдэх, тооцоолол хийхдээ маш болгоомжтой байх нь чухал юм.
Мөн санаж байна уу! Бутархайг зогстол нь багасгадаг, өөрөөр хэлбэл нийтлэг хуваагчтай л бол багасгадаг заншилтай.
Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.
Хэрэв бид 497-г 4-т хуваах шаардлагатай бол хуваахдаа 497 нь 4-т жигд хуваагддаггүй болохыг харах болно, өөрөөр хэлбэл. үлдсэн хэсэг нь үлдсэн. Ийм тохиолдолд дууссан гэж ярьдаг үлдэгдэлтэй хуваах, мөн шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.
497: 4 = 124 (1 үлдэгдэл).
Тэгш байдлын зүүн талд байгаа хуваах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг үлдэгдэлгүй хуваахтай ижил гэж нэрлэдэг: 497 - ногдол ашиг, 4 - хуваагч. Үлдэгдэлтэй хуваах үр дүнг дуудна бүрэн бус хувийн. Манай тохиолдолд энэ нь 124 тоо юм. Эцэст нь, хамгийн сүүлийн бүрэлдэхүүн хэсэг нь ороогүй байна энгийн хэлтэс, - үлдэгдэл. Үлдэгдэлгүй тохиолдолд нэг тоог нөгөө тоонд хуваана гэж хэлдэг ул мөргүй эсвэл бүрмөсөн. Ийм хуваагдал нь үлдсэн гэж үздэг тэгтэй тэнцүү. Манай тохиолдолд үлдэгдэл нь 1 байна.
Үлдэгдэл нь хуваагчаас үргэлж бага байдаг.
Хуваалтыг үржүүлэх замаар шалгаж болно. Жишээлбэл, 64: 32 = 2 тэгш байдал байгаа бол шалгалтыг дараах байдлаар хийж болно: 64 = 32 * 2.
Ихэнхдээ үлдэгдэлтэй хуваах тохиолдолд тэгш байдлыг ашиглах нь тохиромжтой байдаг
a = b * n + r,
Үүнд: a нь ногдол ашиг, b нь хуваагч, n нь бүрэн бус хэсэг, r нь үлдэгдэл юм.
Натурал тоонуудын хуваалтыг бутархай хэлбэрээр бичиж болно.
Бутархайн хуваагч нь ногдол ашиг, хуваагч нь хуваагч юм.
Бутархайн хуваагч нь ногдол ашиг, хуваагч нь хуваагч байдаг тул бутархайн шугам нь хуваах үйлдлийг илэрхийлдэг гэж үздэг. Заримдаа ":" тэмдгийг ашиглахгүйгээр хуваахыг бутархай хэлбэрээр бичих нь тохиромжтой байдаг.
m ба n натурал тоонуудын хуваалтын хэсгийг \(\frac(m)(n) \) хэлбэрээр бичиж болно, энд m тоологч нь ногдол ашиг, n хуваагч нь хуваагч байна:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Дараах дүрмүүд үнэн байна.
\(\frac(m)(n)\) бутархайг авахын тулд нэгжийг n тэнцүү хэсэгт (хувьцаа) хувааж, m ийм хэсгийг авах хэрэгтэй.
\(\frac(m)(n)\) бутархайг авахын тулд m тоог n тоонд хуваах хэрэгтэй.
Бүхэл бүтэн хэсгийг олохын тулд бүхэлд тохирох тоог хуваагчаар хувааж, үр дүнг энэ хэсгийг илэрхийлж буй бутархайн тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй.
Түүний хэсгээс бүхэлийг олохын тулд та энэ хэсэгт харгалзах тоог тоологчоор хувааж, үр дүнг энэ хэсгийг илэрхийлж буй бутархайн хуваагчаар үржүүлэх хэрэгтэй.
Бутархайн хуваагч ба хуваагч хоёулаа ижил тоогоор үржүүлбэл (тэгээс бусад тохиолдолд) бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй.
\(\том \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Бутархайн хуваагч ба хуваагч хоёулаа ижил тоонд хуваагдвал (тэгээс бусад тохиолдолд) бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй.
\(\том \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Энэ өмчийг нэрлэдэг бутархайн үндсэн шинж чанар.
Сүүлийн хоёр хувиргалтыг дуудна хэсгийг багасгах.
Хэрэв бутархайг ижил хуваарьтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай бол энэ үйлдлийг дуудна бутархайг багасгах нийтлэг хуваагч .
Зөв ба буруу бутархай. Холимог тоо
Бүхэл бүтэн хэсгийг тэнцүү хэсгүүдэд хувааж, хэд хэдэн ийм хэсгүүдийг авснаар бутархайг олж авч болно гэдгийг та аль хэдийн мэдэж байсан. Жишээлбэл, \(\frac(3)(4)\) бутархай нь нэгийн дөрөвний гурвыг илэрхийлнэ. Өмнөх догол мөрийн олон асуудалд бутархайг бүхэл хэсгүүдийг илэрхийлэхэд ашигласан. Эрүүл ухаанЭнэ хэсэг нь үргэлж бүхэлээс бага байх ёстой гэж үздэг ч жишээлбэл, \(\frac(5)(5)\) эсвэл \(\frac(8)(5)\) гэх мэт бутархайг яах вэ? Энэ нь нэгжийн нэг хэсэг байхаа больсон нь тодорхой байна. Чухам ийм учраас хуваагч нь хуваагчаас их буюу тэнцүү бутархайг дууддаг байх буруу бутархай. Бусад бутархай, өөрөөр хэлбэл тоологч нь бутархай хуваагчаас бага, дуудсан зөв бутархай.
Таны мэдэж байгаагаар ямар ч энгийн бутархай, зөв ба буруу аль алиныг нь тоологчийг хуваагчаар хуваасны үр дүн гэж үзэж болно. Тиймээс математикийн хувьд ялгаатай энгийн хэл, "буруу бутархай" гэсэн нэр томъёо нь бид буруу зүйл хийсэн гэсэн үг биш, харин зөвхөн энэ бутархайн хуваагч нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Хэрэв тоо нь бүхэл хэсэг ба бутархай хэсгээс бүрддэг бол бутархайг холимог гэж нэрлэдэг.
Жишээ нь:
\(5:3 = 1\frac(2)(3)\) : 1 - бүхэл хэсэг, ба \(\frac(2)(3)\) нь бутархай хэсэг юм.
Хэрэв \(\frac(a)(b) \) бутархайн натурал n тоонд хуваагддаг бол энэ бутархайг n-д хуваахын тулд түүний хүртэгчийг дараах тоонд хуваах шаардлагатай.
\(\том \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Хэрэв \(\frac(a)(b) \) бутархайн натурал n тоонд хуваагдахгүй бол энэ бутархайг n-д хуваахын тулд хуваагчийг энэ тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй.
\(\том \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Тоолуур нь n-д хуваагдах үед хоёр дахь дүрэм мөн үнэн болохыг анхаарна уу. Иймд бутархайн хуваагч нь n-д хуваагдах эсэхийг эхлээд харахад хэцүү үед бид үүнийг ашиглаж болно.
Бутархайтай үйлдлүүд. Бутархай нэмэх.
Натурал тоонуудын нэгэн адил бутархай тоонуудыг хийж болно арифметик үйлдлүүд. Эхлээд бутархай нэмэхийг харцгаая. Бутархайг хялбархан нэмнэ үү ижил хуваагч. Жишээлбэл, \(\frac(2)(7)\) ба \(\frac(3)(7)\) -ийн нийлбэрийг олцгооё. \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \) гэдгийг ойлгоход амархан.
Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.
Үсэг ашиглан ижил хуваагчтай бутархай нэмэх дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.
\(\том \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Хэрэв та бутархай тоог нэмэх шаардлагатай бол өөр өөр хуваагч, дараа нь тэдгээрийг эхлээд нийтлэг хуваагч руу авчрах ёстой. Жишээ нь:
\(\том \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Бутархайн хувьд, натурал тооны хувьд, солих ба ассоциатив шинж чанарууднэмэлт.
Холимог бутархай нэмэх
\(2\frac(2)(3)\) гэх мэт тэмдэглэгээг дууддаг холимог бутархай. Энэ тохиолдолд 2 дугаарыг дуудна бүхэл хэсэгхолимог бутархай бөгөөд \(\frac(2)(3)\) тоо нь түүний бутархай хэсэг . \(2\frac(2)(3)\) оруулгыг дараах байдлаар уншина: "хоёр ба гуравны хоёр."
8-ын тоог 3-т хуваахдаа \(\frac(8)(3)\) ба \(2\frac(2)(3)\ гэсэн хоёр хариултыг авч болно. Тэд ижил бутархай тоог илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Тиймээс, буруу бутархай \(\frac(8)(3)\) холимог бутархай \(2\frac(2)(3)\) хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Ийм тохиолдолд тэд буруу бутархайгаас гэж хэлдэг хэсгийг бүхэлд нь онцолсон.
Бутархайг хасах (бутархай тоо)
Хасах бутархай тоо, байгалийн тоонуудын нэгэн адил нэмэх үйл ажиллагааны үндсэн дээр тодорхойлогддог: нэг тооноос өөр тоог хасах нь хоёр дахь тоог нэмэхэд эхнийхийг өгөх тоог олох гэсэн үг юм. Жишээ нь:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) оноос хойш \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
Ижил хуваагчтай бутархайг хасах дүрэм нь ийм бутархай нэмэх дүрэмтэй төстэй.
Ижил хуваагчтай бутархайн ялгааг олохын тулд эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь хэсгийн тоог хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.
Үсэг ашиглан энэ дүрмийг дараах байдлаар бичнэ.
\(\том \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Бутархайг үржүүлэх
Бутархайг бутархайгаар үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо, хуваагчийг үржүүлж, эхний үржвэрийг тоологч, хоёр дахь үржвэрийг хуваагч гэж бичих хэрэгтэй.
Үсгийг ашиглан бутархайг үржүүлэх дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.
\(\том \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Томъёолсон дүрмийг ашиглан бутархайг натурал тоогоор, холимог бутархайгаар үржүүлж, холимог бутархайг үржүүлж болно. Үүнийг хийхийн тулд натурал тоог 1 хуваарьтай бутархай, холимог бутархайг буруу бутархай болгон бичих хэрэгтэй.
Үржүүлгийн үр дүнг (боломжтой бол) бутархай хэсгийг багасгаж, буруу бутархайн бүх хэсгийг тусгаарлах замаар хялбарчлах хэрэгтэй.
Бутархай тоонуудын хувьд, натурал тоонуудын хувьд үржүүлэхийн хувирах ба хосолсон шинж чанарууд, түүнчлэн нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлэхийн хуваарилах шинж чанарууд хүчинтэй байна.
Бутархайн хуваагдал
\(\frac(2)(3)\) бутархайг авч, тоологч болон хуваагчийг сольж, "эргэцгээе". Бид \(\frac(3)(2)\) бутархайг авна. Энэ фракц гэж нэрлэгддэг урвуубутархай \(\frac(2)(3)\).
Хэрэв бид одоо \(\frac(3)(2)\ бутархайг "урвуу" болговол бид анхны \(\frac(2)(3)\) бутархайг авна. Иймд \(\frac(2)(3)\) ба \(\frac(3)(2)\) зэрэг бутархайг нэрлэдэг. харилцан урвуу.
Жишээлбэл, \(\frac(6)(5) \) ба \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ба \(\frac (18) бутархай )(7)\).
Үсгийг харилцан ашиглах харилцан бутархайдараах байдлаар бичиж болно: \(\frac(a)(b) \) ба \(\frac(b)(a) \)
Энэ нь ойлгомжтой харилцан бутархайн үржвэр нь 1-тэй тэнцүү байна. Жишээ нь: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Харилцан бутархайг ашигласнаар та бутархайн хуваагдлыг үржүүлэх хүртэл багасгаж болно.
Бутархайг бутархайд хуваах дүрэм нь:
Нэг бутархайг нөгөөд хуваахын тулд та ногдол ашгийг хуваагчийн эсрэгээр үржүүлэх хэрэгтэй.
Үсгийг ашиглан бутархай хуваах дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.
\(\том \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Хэрэв ногдол ашиг эсвэл хуваагч бол натурал тооэсвэл холимог фракц, дараа нь бутархайг хуваах дүрмийг ашиглахын тулд эхлээд буруу бутархайгаар дүрслэгдэх ёстой.
