Янз бүрийн зэрэгтэй тэгш бус байдал. Экспоненциал тэгш бус байдал

Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал нь үл мэдэгдэх нь экспонентт агуулагддаг тэгшитгэл юм.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх нь ихэвчлэн a x = a b тэгшитгэлийг шийдэхэд хүрдэг бөгөөд a > 0, a ≠ 1, x нь үл мэдэгдэх юм. Дараах теорем үнэн тул энэ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй x = b байна.

Теорем. Хэрэв a > 0, a ≠ 1 ба a x 1 = a x 2 байвал x 1 = x 2 болно.

Санасан мэдэгдлийг үндэслэлтэй болгоё.

x 1 = x 2 тэгш байдал биелэхгүй гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, дараа нь экспоненциал функц y = a x нэмэгдэх тул a x 1 тэгш бус байдлыг хангах ёстой.< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Аль ч тохиолдолд бид a x 1 = a x 2 нөхцөлтэй зөрчилдсөн.

Хэд хэдэн асуудлыг авч үзье.

4 ∙ 2 x = 1 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 хэлбэрээр бичье, үүнээс x + 2 = 0, өөрөөр хэлбэл. x = -2.

Хариулах. x = -2.

2 3x ∙ 3 x = 576 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 тул тэгшитгэлийг 8 x ∙ 3 x = 24 2 эсвэл 24 x = 24 2 гэж бичиж болно.

Эндээс бид x = 2 болно.

Хариулах. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Зүүн талын хаалтнаас гаргаж авч байна нийтлэг үржүүлэгч 3 x - 2, бид 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 болно,

эндээс 3 x - 2 = 1, өөрөөр хэлбэл. x – 2 = 0, x = 2.

Хариулах. x = 2.

3 x = 7 x тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

7 x ≠ 0 тул тэгшитгэлийг 3 x /7 x = 1 гэж бичиж болно, үүнээс (3/7) x = 1, x = 0 байна.

Хариулах. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

3 x = a-г орлуулснаар өгөгдсөн тэгшитгэл a 2 – 4a – 45 = 0-ийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэж бид түүний үндсийг олно: a 1 = 9, 2 = -5, үүнээс 3 x = 9, 3 x = -5.

Экспоненциал функц сөрөг утгыг авч чадахгүй тул 3 x = 9 тэгшитгэл нь 2 үндэстэй, 3 x = -5 тэгшитгэл нь үндэсгүй.

Хариулах. x = 2.

Шийдэл экспоненциал тэгш бус байдалихэвчлэн a x > a b эсвэл a x тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ирдэг< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания экспоненциал функц.

Зарим асуудлыг авч үзье.

3 x тэгш бус байдлыг шийд< 81.

Шийдэл.

Тэгш бус байдлыг 3 x хэлбэрээр бичье< 3 4 . Так как 3 >1 бол y = 3 x функц нэмэгдэж байна.

Тиймээс x-ийн хувьд< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Тиймээс x дээр< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Хариулах. X< 4.

16 x +4 x – 2 > 0 тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.

4 x = t гэж тэмдэглэвэл бид олж авна квадрат тэгш бус байдал t2 + t – 2 > 0.

Энэ тэгш бус байдал нь t-д хамаарна< -2 и при t > 1.

t = 4 x учраас бид 4 x гэсэн хоёр тэгш бус байдлыг олж авна< -2, 4 х > 1.

Бүх x € R-ийн хувьд 4 x > 0 байх тул эхний тэгш бус байдлын шийдэл байхгүй.

Хоёрдахь тэгш бус байдлыг бид 4 x > 4 0 хэлбэрээр бичнэ, эндээс x > 0 байна.

Хариулах. x > 0.

(1/3) x = x – 2/3 тэгшитгэлийг графикаар шийд.

Шийдэл.

1) y = (1/3) x ба y = x – 2/3 функцүүдийн графикийг байгуулъя.

2) Бидний зураг дээр үндэслэн авч үзсэн функцүүдийн графикууд абсцисса х ≈ 1 цэг дээр огтлолцдог гэж дүгнэж болно. Шалгах нь үүнийг баталж байна.

x = 1 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм:

(1/3) 1 = 1/3 ба 1 – 2/3 = 1/3.

Өөрөөр хэлбэл бид тэгшитгэлийн нэг язгуурыг олсон гэсэн үг.

3) Өөр үндсийг олъё, эсвэл байхгүй гэдгийг баталъя. (1/3) х функц буурч, y = x – 2/3 функц нэмэгдэж байна. Тиймээс, x > 1-ийн хувьд эхний функцын утга 1/3-аас бага, хоёр дахь нь 1/3-аас их байна; x дээр< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ба x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Хариулах. x = 1.

Энэ асуудлын шийдлээс харахад (1/3) x > x – 2/3 тэгш бус байдал x-ийн хувьд хангагдана гэдгийг анхаарна уу.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

x = b нь хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэл. Үүнд а тэгээс ихТэгээд Анэгтэй тэнцэхгүй.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Экспоненциал функцийн шинж чанаруудаас бид түүний утгын хүрээ эерэгээр хязгаарлагддаг гэдгийг бид мэднэ бодит тоо. Хэрэв b = 0 бол тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно. Үүнтэй ижил нөхцөл байдал b-ийн тэгшитгэлд тохиолддог

Одоо b>0 гэж үзье. Экспоненциал функцэд суурь нь байвал анэгдлээс их бол функц нь тодорхойлолтын бүх домэйн дээр нэмэгдэх болно. Хэрэв суурийн экспоненциал функцэд Адууссан дараагийн нөхцөл 0

Үүнд үндэслэн язгуур теоремыг хэрэглэснээр a x = b тэгшитгэл нь b>0 ба эерэг нэг язгууртай болохыг олж мэднэ. аҮгүй нэгтэй тэнцүү. Үүнийг олохын тулд b-г b = a c хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй.
Тэгвэл энэ нь ойлгомжтой -тай a x = a c тэгшитгэлийн шийдэл байх болно.

Ингээд авч үзье дараагийн жишээ: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25 тэгшитгэлийг шийд.

25-ыг 5 2 гэж төсөөлөөд үз дээ:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Эсвэл юу тэнцүү вэ:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

Бид авсан зүйлээ шийдэж байна квадрат тэгшитгэлаль нэг мэдэгдэж байгаа аргууд. Бид x = 3 ба x = -1 гэсэн хоёр язгуурыг авна.

Хариулт: 3;-1.

4 x - 5*2 x + 4 = 0 тэгшитгэлийг шийдье. Орлуулалтыг хийцгээе: t=2 x Дараах квадрат тэгшитгэлийг олъё.

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Бид энэ тэгшитгэлийг мэддэг аргуудын аль нэгийг ашиглан шийддэг. Бид t1 = 1 t2 = 4 үндсийг авна

Одоо бид 2 x = 1 ба 2 x = 4 тэгшитгэлийг шийдэж байна.

Хариулт: 0; 2.

Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Хамгийн энгийн экспоненциал тэгш бус байдлын шийдэл нь нэмэгдэх ба буурах функцүүдийн шинж чанарт суурилдаг. Хэрэв экспоненциал функцийн суурь нь нэгээс их байвал функц нь тодорхойлолтын бүх мужид нэмэгдэх болно. Хэрэв суурийн экспоненциал функцэд Адараах нөхцөл хангагдсан байна 0, тэгвэл энэ функц бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц дээр буурах болно.