Лекц: "Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга."

1 . Экспоненциал тэгшитгэл.

Экспонентт үл мэдэгдэх зүйл агуулсан тэгшитгэлийг экспоненциал тэгшитгэл гэнэ. Тэдгээрийн хамгийн энгийн нь ax = b тэгшитгэл бөгөөд a > 0, a ≠ 1 байна.

1) b-д< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 экспоненциал функц, шийдэл байхгүй.

2) b > 0-ийн хувьд функцын монотон байдал ба язгуур теоремыг ашиглан тэгшитгэл нь өвөрмөц язгууртай болно. Үүнийг олохын тулд b-г b = aс, аx = bс ó x = c эсвэл x = logab хэлбэрээр илэрхийлэх ёстой.

Экспоненциал тэгшитгэлүүд алгебрийн хувиргалтхүргэж байна стандарт тэгшитгэлдараах аргуудыг ашиглан шийддэг.

1) нэг суурь болгон бууруулах арга;

2) үнэлгээний арга;

3) график арга;

4) шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга;

5) хүчин зүйлчлэлийн арга;

6) заагч - хүчний тэгшитгэл;

7) параметртэй харуулах.

2 . Нэг суурь болгон бууруулах арга.

Энэ арга нь дээр үндэслэсэн болно дараах өмчградус: хэрэв хоёр градус тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн суурь нь тэнцүү бол тэдгээрийн илтгэгч нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл бид тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулахыг хичээх ёстой.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд:

1 . 3х = 81;

Тэгшитгэлийн баруун талыг 81 = 34 хэлбэрээр төлөөлж, анхны 3 x = 34-тэй тэнцэх тэгшитгэлийг бичье; x = 4. Хариулт: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">болон 3x+1 = 3 – 5x; 8x = илтгэгчийн тэгшитгэл рүү шилжье. 4; x = 0.5 Хариулт: 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" өргөн "105" өндөр "47">

0.2, 0.04, √5 ба 25 тоонууд нь 5-ын зэрэглэлийг илэрхийлж байгааг анхаарна уу. Үүний давуу талыг ашиглан анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар хувиргацгаая.

, үүнээс 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, үүнээс бид x = -1 шийдийг олно. Хариулт: -1.

5. 3х = 5. Логарифмын тодорхойлолтоор x = log35. Хариулт: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2х+8.

Тэгшитгэлийг 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, өөрөөр хэлбэл..png" width="181" height="49 src="> Иймээс x – 4 =0, x = 4" хэлбэрээр дахин бичье. Хариулт: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Чадлын шинж чанарыг ашиглан тэгшитгэлийг 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, дараа нь 3∙3x = 9, 3x+1 хэлбэрээр бичнэ. = 32, өөрөөр хэлбэл x+1 = 2, x =1. Хариулт: 1.

Асуудлын банк №1.

Тэгшитгэлийг шийд:

Туршилтын дугаар 1.

Туршилтын дугаар 2

3 Үнэлгээний арга.

Үндэс теорем: хэрэв f(x) функц I интервалд өсөх (багарах) бол a тоо нь энэ интервал дээр f-ийн авсан дурын утга бол f(x) = a тэгшитгэл I интервал дээр нэг язгууртай байна.

Тооцооллын аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ энэ теорем болон функцийн монотон шинж чанарыг ашигладаг.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийдэх: 1. 4x = 5 - x.

Шийдэл. Тэгшитгэлийг 4x +x = 5 гэж дахин бичье.

1. хэрэв x = 1 бол 41+1 = 5, 5 = 5 нь үнэн бөгөөд 1 нь тэгшитгэлийн үндэс болно.

f(x) = 4x – функц R дээр өсөх ба g(x) = x – R дээр нэмэгдэнэ => h(x)= f(x)+g(x) R дээр нэмэгдэнэ, өсөн нэмэгдэж буй функцүүдийн нийлбэрээр, тэгвэл x = 1 нь 4x = 5 – x тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс болно. Хариулт: 1.

2.

Шийдэл. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье .

1. хэрэв x = -1 байвал , 3 = 3 нь үнэн бөгөөд энэ нь x = -1 нь тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг юм.

2. тэр цорын ганц гэдгийг нотлох.

3. f(x) = - функц R дээр буурч, g(x) = - x – R дээр буурна => h(x) = f(x)+g(x) – нийлбэр нь R дээр буурна. буурах функцууд. Энэ нь язгуур теоремын дагуу x = -1 нь тэгшитгэлийн цорын ганц язгуур гэсэн үг юм. Хариулт: -1.

Асуудлын банк №2. Тэгшитгэлийг шийд

a) 4x + 1 =6 – x;

б)

в) 2х – 2 =1 – х;

4. Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга.

Энэ аргыг 2.1-р зүйлд тайлбарласан болно. Шинэ хувьсагчийг (орлуулах) нэвтрүүлэх нь ихэвчлэн тэгшитгэлийн нөхцөлийг хувиргасны дараа (хялбаршуулсан) хийгддэг. Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ. РТэгшитгэлийг шийд: 1. .

Тэгшитгэлийг өөрөөр дахин бичье: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e.png" width="210" height = "45">

Шийдэл. Тэгшитгэлийг өөрөөр дахин бичье:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57">-ыг зааж өгье - тохиромжгүй.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" өргөн "268" өндөр "51"> - иррационал тэгшитгэл. Бид үүнийг тэмдэглэж байна

Тэгшитгэлийн шийдэл нь x = 2.5 ≤ 4 бөгөөд энэ нь 2.5 нь тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг юм. Хариулт: 2.5.

Шийдэл. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичээд хоёр талыг 56x+6 ≠ 0-д хуваая. Тэгшитгэлийг гаргана.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" өргөн="118" өндөр="56">

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь t1 = 1 ба t2 байна<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Шийдэл . Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье

мөн энэ нь хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэдгийг анхаарна уу.

Тэгшитгэлийг 42x-д хуваавал бид олж авна

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src=">-г орлуулъя.

Хариулт: 0; 0.5.

Асуудлын банк №3. Тэгшитгэлийг шийд

б)

G)

Туршилтын дугаар 3 хариултын сонголттой. Хамгийн бага түвшин.

Туршилтын дугаар 4 хариултын сонголттой. Ерөнхий түвшин.

5. Үржүүлгийн арга.

1. Тэгшитгэлийг шийд: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Шийдэл..png" width="169" height="69"> , хаанаас

2. 6х + 6х+1 = 2х + 2х+1 + 2х+2.

Шийдэл. Тэгшитгэлийн зүүн талд 6х, баруун талд 2х-ыг хаалтанд оруулъя. Бид 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x тэгшитгэлийг авна.

Бүх x-ийн хувьд 2х >0 байгаа тул бид шийдлийг алдахаас айхгүйгээр энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг 2x-т хувааж болно. Бид 3x = 1ó x = 0-ийг авна.

3.

Шийдэл. Тэгшитгэлийг үржүүлэх аргыг ашиглан шийдье.

Хоёр гишүүний квадратыг сонгоцгооё

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" өргөн "500" өндөр "181">

x = -2 нь тэгшитгэлийн үндэс юм.

Тэгшитгэл x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Туршилтын дугаар 6 Ерөнхий түвшин.

6. Экспоненциал – чадлын тэгшитгэл.

Экспоненциал тэгшитгэлүүдийн хажууд экспоненциал чадлын тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл (f(x))g(x) = (f(x))h(x) хэлбэрийн тэгшитгэлүүд байдаг.

Хэрэв f(x)>0 ба f(x) ≠ 1 гэдгийг мэдэж байвал экспоненциалын нэгэн адил тэгшитгэлийг g(x) = f(x) илтгэгчийг тэнцүүлэх замаар шийднэ.

Хэрэв нөхцөл нь f(x)=0 ба f(x)=1 байх боломжийг үгүйсгэхгүй бол экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ эдгээр тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй.

1..png" өргөн "182" өндөр "116 src=">

2.

Шийдэл. x2 +2x-8 – олон гишүүнт учраас дурын х нь утга учиртай бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь нийттэй тэнцүү гэсэн үг юм.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" өргөн "137" өндөр "35">

б)

7. Параметртэй экспоненциал тэгшитгэл.

1. 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) тэгшитгэл p параметрийн ямар утгыг агуулна. цорын ганц шийдэл?

Шийдэл. 2x = t, t > 0 орлуулалтыг танилцуулъя, тэгвэл (1) тэгшитгэл нь t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 хэлбэртэй болно. (2)

(2) тэгшитгэлийн дискриминант D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Тэгшитгэл (2) нь нэг эерэг язгууртай бол (1) тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна. Энэ нь дараах тохиолдолд боломжтой.

1. Хэрэв D = 0, өөрөөр хэлбэл p = 1 бол тэгшитгэл (2) нь t2 – 2t + 1 = 0 хэлбэртэй байх тул t = 1, иймээс (1) тэгшитгэл нь x = 0 өвөрмөц шийдэлтэй байна.

2. Хэрэв p1 бол 9(p – 1)2 > 0 бол (2) тэгшитгэл нь t1 = p, t2 = 4p – 3 гэсэн хоёр өөр язгууртай. Бодлогын нөхцөл нь олонлог системээр хангагдана.

Системд t1 ба t2-г орлуулснаар бид байна

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Шийдэл. Болъё тэгвэл (3) тэгшитгэл нь t2 – 6t – a = 0 хэлбэртэй болно. (4)

Тэгшитгэлийн дор хаяж нэг язгуур (4) t > 0 нөхцөлийг хангасан a параметрийн утгыг олъё.

f(t) = t2 – 6t – a функцийг танилцуулъя. Дараах тохиолдлууд боломжтой.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} квадрат гурвалжин f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Тохиолдол 2. Тэгшитгэл (4) нь өвөрмөц эерэг шийдэлтэй байна

D = 0, хэрэв a = – 9 бол тэгшитгэл (4) нь (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 хэлбэртэй болно.

Тохиолдол 3. (4) тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй боловч тэдгээрийн нэг нь t > 0 тэгш бус байдлыг хангахгүй.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Тиймээс a 0-ийн хувьд (4) тэгшитгэл нь нэг эерэг язгууртай байна . Дараа нь (3) тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна

Хэзээ a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

хэрэв а< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
хэрэв a = – 9 бол x = – 1;

хэрэв a  0 бол

(1) ба (3) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг харьцуулцгаая. (1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дискриминант нь төгс квадрат болох квадрат тэгшитгэл болгон бууруулсан болохыг анхаарна уу; Тиймээс (2) тэгшитгэлийн язгуурыг квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглан нэн даруй тооцоолж, дараа нь эдгээр язгууруудын талаар дүгнэлт хийсэн. (3) тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл (4) болгон бууруулсан бөгөөд дискриминант нь төгс квадрат биш тул (3) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ квадрат гурвалсан язгуурын байршлын теоремуудыг ашиглахыг зөвлөж байна. болон график загвар. (4) тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болохыг анхаарна уу.

Илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүдийг шийдье.

Бодлого 3: Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. ODZ: x1, x2.

Орлуулахыг танилцуулъя. 2x = t, t > 0 гэж үзье, тэгвэл хувиргалтын үр дүнд тэгшитгэл нь t2 + 2t – 13 – a = 0 хэлбэртэй болно. (*) Ядаж нэг язгуур байх a-ийн утгыг олцгооё. (*) тэгшитгэл нь t > 0 нөхцөлийг хангана.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Хариулт: хэрэв a > – 13, a  11, a  5 бол a – 13 бол,

a = 11, a = 5, тэгвэл үндэс байхгүй болно.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт.

1. Гузеев боловсролын технологийн үндэс.

2. Гузеевын технологи: хүлээн авалтаас философи хүртэл.

1996 оны 4-р “Сургуулийн захирал” М

3. Гузеев ба зохион байгуулалтын хэлбэрүүдсургалт.

4. Гузеев ба боловсролын нэгдмэл технологийн практик.

М." Олон нийтийн боловсрол", 2001

5. Гузеев хичээлийн хэлбэрүүдээс - семинар.

2-р сургуулийн математик, 1987 он 9 – 11-р тал.

6. Seleuko боловсролын технологи.

М.“Төрийн боловсрол”, 1998 он

7. Епишева сургуулийн сурагчид математикийн хичээлийг судлах.

М."Гэгээрэл", 1990 он

8. Иванова хичээл бэлтгэх - семинар.

6-р сургуулийн математик, 1990 х. 37-40.

9. Смирновын математик заах загвар.

1-р сургуулийн математик, 1997 х. 32-36.

10. Тарасенко практик ажлыг зохион байгуулах арга замууд.

1-р сургуулийн математик, 1993 х. 27-28.

11. Ганцаарчилсан ажлын нэг төрлийн тухай.

2-р сургуулийн математик, 1994, 63 – 64-р тал.

12. Хазанкин бүтээлч байдалсургуулийн сурагчид.

2-р сургуулийн математик, 1989 х. 10.

13. Сканави. Нийтлэгч, 1997

14. болон бусад алгебр ба шинжилгээний эхлэл. Дидактик материалУчир нь

15. Математикийн Кривоноговын даалгавар.

М.“9-р сарын нэгэн”, 2002 он

16. Черкасов. Ахлах ангийн сурагчдад зориулсан гарын авлага болон

их дээд сургуульд элсэх. "A S T - хэвлэлийн сургууль", 2002 он

17. Их дээд сургуульд элсэн орох хүмүүст зориулсан Жевняк.

Минск ба ОХУ-ын "Тойм", 1996 он

18. Бичгээр D. Математикийн шалгалтанд бэлдэж байна. М.Ролф, 1999 он

19. гэх мэт тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдэж сурах.

M. "Оюун ухаан - Төв", 2003 он

20. гэх мэт Боловсролын – сургалтын материал EGE-д бэлтгэх.

M. "Тагнуул - Төв", 2003, 2004 он.

21 болон бусад CMM сонголтууд. ОХУ-ын Батлан ​​хамгаалах яамны Туршилтын төв, 2002, 2003 он.

22. Голдбергийн тэгшитгэл. "Квант" №3, 1971 он

23. Волович М. Математикийг хэрхэн амжилттай заах вэ.

Математик, 1997 оны №3.

Хичээлдээ 24 Окунев, хүүхдүүд ээ! М.Боловсрол, 1988 он

25. Якиманская – чиглэсэн сургалтсургууль дээр.

26. Liimets ангидаа ажилладаг. М.Мэдлэг, 1975

Тоног төхөөрөмж:

• компьютер,
• мультимедиа проектор,
• дэлгэц,
• Хавсралт 1(PowerPoint слайд үзүүлэн) “Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд”
• Хавсралт 2("Гурав." гэх мэт тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өөр өөр суурьградус" Word дээр)
• Хавсралт 3(Word-д зориулсан тараах материал практик ажил).
• Хавсралт 4(Гэрийн даалгаварт зориулсан Word дээр тараах материал).

Хичээлийн явц

• хичээлийн сэдвийн мессеж (самбар дээр бичсэн),
• 10-11-р ангийн ерөнхий хичээлийн хэрэгцээ:

Оюутнуудыг идэвхтэй суралцахад бэлтгэх үе шат

Давталт

Тодорхойлолт.

Экспоненциал тэгшитгэл нь илтгэгчтэй хувьсагч агуулсан тэгшитгэл юм (оюутны хариулт).

Багшийн тэмдэглэл. Экспоненциал тэгшитгэл нь трансцендент тэгшитгэлийн ангилалд хамаарна. Энэхүү дуудагдах боломжгүй нэр нь ийм тэгшитгэлийг ерөнхийд нь томъёо хэлбэрээр шийдвэрлэх боломжгүй гэдгийг харуулж байна.

Тэдгээрийг зөвхөн компьютер дээрх тоон аргаар шийдэж болно. Харин шалгалтын даалгавруудыг яах вэ? Шалгагч нь асуудлыг аналитик аргаар шийдвэрлэх боломжийг олгодог арга барил юм. Өөрөөр хэлбэл, та дараах зүйлийг хийх боломжтой (мөн хийх ёстой!). таних тэмдгийн өөрчлөлтүүд, энэ нь экспоненциал тэгшитгэлийг хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэл болгон бууруулдаг. Энэхүү хамгийн энгийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар нэрлэнэ. хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэл. Шийдэж байна логарифмээр.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нөхцөл байдал нь асуудлын зохиогчийн тусгайлан зохион бүтээсэн лабиринтаар аялахыг санагдуулдаг. Эдгээр маш ерөнхий аргументуудаас маш тодорхой зөвлөмжүүдийг дагаж мөрдөөрэй.

1. Зөвхөн бүх экспоненциал таних тэмдгийг идэвхтэй мэддэг төдийгүй эдгээр таних тэмдэгтүүдийг тодорхойлсон хувьсагчийн утгуудын багцыг олох, ингэснээр эдгээр таних тэмдгийг ашиглахдаа шаардлагагүй язгуурыг олж авахгүй, бүр шийдлийг алдахгүй байх болно. тэгшитгэл рүү.

2. Бүх экспоненциал тодорхойлогчдыг идэвхтэй мэддэг.

3. Тэгшитгэлийн математик хувиргалтыг тодорхой, нарийвчлан, алдаагүй хийх (тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө хэсэгт нэр томъёог шилжүүлэх, тэмдгийг өөрчлөхөө мартаж болохгүй, бутархайг нийтлэг хуваарьт хүргэх гэх мэт). Үүнийг математик соёл гэж нэрлэдэг. Үүний зэрэгцээ тооцоолол нь өөрөө гараар автоматаар хийгдэх ёстой бөгөөд толгой нь шийдлийн ерөнхий чиглүүлэгч утаснуудын талаар бодох ёстой. Өөрчлөлтийг аль болох болгоомжтой, нарийвчлан хийх ёстой. Зөвхөн энэ нь зөв, алдаагүй шийдвэр гаргах баталгаа болно. Мөн санаж байгаарай: жижиг арифметик алдаа нь үндсэндээ аналитик аргаар шийдвэрлэх боломжгүй трансцендент тэгшитгэлийг үүсгэж болно. Та замаа алдаж, төөрдөг хананы ханыг мөргөсөн бололтой.

4. Асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг мэддэг байх (өөрөөр хэлбэл шийдлийн төөрдөг байшингаар дамжин өнгөрөх бүх замыг мэддэг). Үе шат бүрт зөв чиглүүлэхийн тулд та (ухамсартай эсвэл зөн совингоор) хийх хэрэгтэй:

• тодорхойлох тэгшитгэлийн төрөл;
• харгалзах төрлийг санаарай шийдлийн аргадаалгавар.

Судалсан материалыг нэгтгэх, системчлэх үе шат.

Багш нь компьютер ашиглан оюутнуудтай хамт бүх төрлийн экспоненциал тэгшитгэл, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргуудыг хянаж, эмхэтгэдэг. ерөнхий схем. (Ашигласан сургалт компьютерийн програмЛ.Я. Боревский "Математикийн курс - 2000", PowerPoint илтгэлийн зохиогч нь Т.Н. Купцова.)

Цагаан будаа. 1.Зурагт бүх төрлийн экспоненциал тэгшитгэлийн ерөнхий диаграммыг үзүүлэв.

Энэхүү диаграммаас харахад экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх стратеги нь өгөгдсөн экспоненциал тэгшитгэлийг тэгшитгэлд буулгах явдал юм. зэрэгтэй ижил суурьтай , дараа нь – ба ижил зэрэглэлийн үзүүлэлтүүдтэй.

Ижил суурь ба илтгэгчтэй тэгшитгэлийг хүлээн авсны дараа та энэ илтгэгчийг шинэ хувьсагчаар сольж, энэ шинэ хувьсагчийн хувьд энгийн алгебрийн тэгшитгэлийг (ихэвчлэн бутархай-рационал эсвэл квадрат) авна.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, урвуу орлуулалтыг хийснээр та дараах байдлаар шийдэж болох энгийн экспоненциал тэгшитгэлийн багцтай болно. ерөнхий үзэллогарифм ашиглан.

Зөвхөн (хэсэгчилсэн) чадлын бүтээгдэхүүнүүд олдсон тэгшитгэлүүд тод харагдаж байна. Экспоненциал ижилтгэлийг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийг нэн даруй нэг суурь болгон, ялангуяа хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэл болгон бууруулах боломжтой.

Гурван өөр суурьтай экспоненциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхийг харцгаая.

(Хэрэв багш Л.Я. Боревскийн "Математикийн курс - 2000" гэсэн компьютерийн программтай бол мэдээжийн хэрэг бид дисктэй ажилладаг, хэрэв үгүй ​​бол та ширээ бүрт ийм төрлийн тэгшитгэлийг хэвлэх боломжтой. доор үзүүлэв.)

Цагаан будаа. 2.Тэгшитгэлийг шийдэх төлөвлөгөө.

Цагаан будаа. 3.Тэгшитгэлийг шийдэж эхэл

Цагаан будаа. 4.Тэгшитгэлийг шийдэж дуусга.

Практик ажил хийж байна

Тэгшитгэлийн төрлийг тодорхойлж, шийд.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Хичээлийг дүгнэж байна

Хичээлийн үнэлгээ.

Хичээлийн төгсгөл

Багшийн хувьд

Дадлага хариултын схем.

Дасгал:тэгшитгэлийн жагсаалтаас заасан төрлийн тэгшитгэлийг сонгоно уу (хүснэгтэнд хариултын дугаарыг оруулна уу):

1. Гурван өөр түвшний суурь
2. Хоёр өөр суурь - өөр илтгэгч
3. Эрх мэдлийн үндэс - нэг тооны эрх мэдэл
4. Ижил суурь - өөр илтгэгч
5. Зэрэглэлийн ижил суурь - градусын ижил үзүүлэлтүүд
6. Эрх мэдлийн бүтээгдэхүүн
7. Хоёр өөр зэрэглэлийн суурь - ижил үзүүлэлтүүд
8. Эгэл биетэн экспоненциал тэгшитгэл

1. (эрх мэдлийн бүтээгдэхүүн)

2. (ижил суурь - өөр илтгэгч)

Манай вэб сайтын youtube суваг руу орж бүх шинэ видео хичээлүүдийг цаг алдалгүй аваарай.

Эхлээд санацгаая үндсэн томъёозэрэг ба тэдгээрийн шинж чанарууд.

Тооны бүтээгдэхүүн аөөрөө n удаа тохиолдвол бид энэ илэрхийллийг a … a=a n гэж бичиж болно

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Хүч эсвэл экспоненциал тэгшитгэл– эдгээр нь хувьсагч нь зэрэглэл (эсвэл илтгэгч) байх тэгшитгэл бөгөөд суурь нь тоо юм.

Экспоненциал тэгшитгэлийн жишээ:

Энэ жишээнд 6 тоо нь суурь бөгөөд хувьсагч нь үргэлж байдаг xзэрэг эсвэл үзүүлэлт.

Экспоненциал тэгшитгэлийн илүү жишээг өгье.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Одоо экспоненциал тэгшитгэл хэрхэн шийдэгддэгийг харцгаая?

Энгийн тэгшитгэлийг авч үзье:

2 x = 2 3

Энэ жишээг таны толгойд ч шийдэж болно. Эндээс харахад x=3 байна. Эцсийн эцэст, ингэснээр зүүн болон баруун талтэнцүү байсан бол та x-г 3-аар солих хэрэгтэй.
Одоо энэ шийдвэрийг хэрхэн албан ёсны болгохыг харцгаая:

2 x = 2 3
x = 3

Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид хассан ижил үндэслэлүүд(өөрөөр хэлбэл, хоёр) ба үлдсэнийг нь бичсэн, эдгээр нь градус юм. Бид хайж байсан хариултаа авсан.

Одоо шийдвэрээ нэгтгэн дүгнэе.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх алгоритм:
1. Шалгах хэрэгтэй адилхантэгшитгэл нь баруун болон зүүн талд суурьтай эсэх. Хэрэв шалтгаан нь ижил биш бол бид шийдлийг хайж байна энэ жишээ.
2. Суурь нь ижил болсны дараа, тэнцүүлэхградус ба үүссэн шинэ тэгшитгэлийг шийд.

Одоо хэд хэдэн жишээг харцгаая:

Энгийн зүйлээс эхэлцгээе.

Зүүн ба баруун талын суурь нь 2-ын тоотой тэнцүү бөгөөд энэ нь бид суурийг хаяж, тэдгээрийн градусыг тэнцүүлж чадна гэсэн үг юм.

x+2=4 Хамгийн энгийн тэгшитгэл олдлоо.
x=4 – 2
x=2
Хариулт: x=2

IN дараах жишээЭндээс харахад суурь нь өөр өөр байдаг: 3 ба 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Эхлээд есийг баруун тийш шилжүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

Одоо та ижил суурийг хийх хэрэгтэй. 9=32 гэдгийг бид мэднэ. (a n) m = a nm чадлын томьёог ашиглая.

3 3x = (3 2) x+8

Бид 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 болно

3 3x = 3 2x+16 одоо та үүнийг зүүн талд харж болно баруун талсуурь нь ижил бөгөөд гуравтай тэнцүү бөгөөд энэ нь бид тэдгээрийг хаяж, градусыг тэнцүүлж чадна гэсэн үг юм.

3x=2x+16 бид хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж авна
3х - 2х=16
x=16
Хариулт: x=16.

Дараах жишээг харцгаая.

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Юуны өмнө бид суурь, хоёр ба дөрөв дэх суурийг хардаг. Мөн тэд адилхан байх хэрэгтэй. Бид дөрвийг (a n) m = a nm томъёог ашиглан хувиргана.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Мөн бид a n a m = a n + m гэсэн нэг томъёог ашигладаг:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Тэгшитгэлд нэмэх:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Үүнтэй ижил шалтгаанаар бид жишээ татсан. Гэхдээ бусад 10, 24 тоонууд биднийг яах вэ? Хэрэв та анхааралтай ажиглавал зүүн талд бид 2 2 дахин давтагдаж байгааг харж болно, энд хариулт байна - бид хаалтанд 2 2 дахин оруулж болно:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Хаалтанд байгаа илэрхийллийг тооцоолъё:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Бид бүхэл тэгшитгэлийг 6-д хуваана.

4=2 2 гэж төсөөлье:

2 2x = 2 2 суурь нь адилхан, бид тэдгээрийг хаяж, градусыг тэнцүүлнэ.
2х = 2 бол хамгийн энгийн тэгшитгэл юм. Үүнийг 2-т хуваагаад бид авна
x = 1
Хариулт: x = 1.

Тэгшитгэлийг шийдье:

9 x – 12*3 x +27= 0

Хөрвүүлье:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Бид тэгшитгэлийг авна:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Бидний суурь нь гуравтай тэнцүү, энэ жишээнээс та эхний гурав нь хоёр дахь (х)-ээс хоёр дахин (2x) зэрэгтэй байгааг харж болно. Энэ тохиолдолд та шийдэж чадна солих арга. Бид тоог хамгийн бага хэмжээгээр орлуулна:

Дараа нь 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Бид тэгшитгэлийн бүх x хүчийг t-ээр орлуулна:

t 2 - 12т+27 = 0
Бид авдаг квадрат тэгшитгэл. Дискриминантаар дамжуулан бид дараахь зүйлийг олж авна.
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Хувьсагч руу буцах x.

t 1-ийг авна уу:
t 1 = 9 = 3 x

Тиймээс,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Нэг үндэс олдлоо. Бид t 2-оос хоёр дахь нь хайж байна:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Хариулт: x 1 = 2; x 2 = 1.

Вэбсайт дээрх ТУСЛАХ ШИЙДВЭРЛЭХ хэсэгт сонирхсон асуултаа асууж болно, бид танд хариулах нь гарцаагүй.

Бүлэгт нэгдээрэй

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Жишээ.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Юу болов экспоненциал тэгшитгэл? Энэ бол үл мэдэгдэх (х) болон тэдгээртэй илэрхийлэгдэх тэгшитгэл юм үзүүлэлтүүдзарим градус. Зөвхөн тэнд! Энэ бол чухал.

Энд байна Экспоненциал тэгшитгэлийн жишээ:

3 x 2 x = 8 x+3

Анхаар! Зэрэглэлийн үндсэн дээр (доор) - зөвхөн тоо. IN үзүүлэлтүүдградус (дээр) - X тэмдэгтэй олон төрлийн илэрхийлэл. Хэрэв тэгшитгэлд заагчаас өөр газар гэнэт X гарч ирвэл, жишээлбэл:

энэ нь тэгшитгэл байх болно холимог төрөл. Ийм тэгшитгэлд тэдгээрийг шийдвэрлэх тодорхой дүрэм байдаггүй. Бид тэдгээрийг одоогоор авч үзэхгүй. Энд бид шийдвэрлэх болно экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэххамгийн цэвэр хэлбэрээр.

Үнэн хэрэгтээ цэвэр экспоненциал тэгшитгэлүүд хүртэл үргэлж тодорхой шийдэгддэггүй. Гэхдээ шийдвэрлэх боломжтой, шийдвэрлэх ёстой тодорхой төрлийн экспоненциал тэгшитгэлүүд байдаг. Эдгээр нь бидний авч үзэх төрлүүд юм.

Энгийн экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Эхлээд маш энгийн зүйлийг шийдье. Жишээ нь:

Ямар ч онолгүй ч гэсэн энгийн сонголтоор х = 2 гэдэг нь ойлгомжтой. Өөр юу ч биш, тийм ээ!? X-ийн өөр утга ажиллахгүй. Одоо энэ төвөгтэй экспоненциал тэгшитгэлийн шийдлийг харцгаая.

Бид юу хийсэн бэ? Бид үнэндээ ижил суурийг (гурвалсан) хаясан. Бүрэн хаягдсан. Сайн мэдээ гэвэл бид толгой дээрээ хадаас цохив!

Үнэн хэрэгтээ, экспоненциал тэгшитгэлд баруун ба зүүн гэсэн хоёр байдаг адилханямар ч зэрэглэлд байгаа тоонууд, эдгээр тоонуудыг хасч, илтгэгчийг тэнцүүлж болно. Математик зөвшөөрдөг. Илүү энгийн тэгшитгэлийг шийдэх л үлдлээ. Гайхалтай, тийм үү?)

Гэсэн хэдий ч бид хатуу санаж байна: Та зөвхөн зүүн болон баруун талд байгаа үндсэн тоонууд дотор байгаа үед л суурийг устгаж болно гайхалтай тусгаарлалт! Ямар ч хөрш, коэффициентгүйгээр. Тэгшитгэлд дараахь зүйлийг хэлье.

2 x +2 x+1 = 2 3, эсвэл

хоёрыг арилгах боломжгүй!

За, бид хамгийн чухал зүйлийг эзэмшсэн. Бузар муугаас хэрхэн урагшлах вэ харуулах илэрхийллүүдэнгийн тэгшитгэл рүү.

"Тэр бол цаг үе юм!" - чи хэлж байна. "Хэн шалгалт, шалгалтын талаар ийм энгийн хичээл заах вэ!?"

Би зөвшөөрөх ёстой. Хэн ч тэгэхгүй. Харин одоо та төвөгтэй жишээг шийдэхдээ хаашаа чиглэхээ мэддэг болсон. Үүнийг зүүн, баруун талд ижил суурь тоо байх хэлбэрт оруулах шаардлагатай. Дараа нь бүх зүйл илүү хялбар болно. Үнэндээ энэ бол математикийн сонгодог бүтээл юм. Бид анхны жишээг аваад хүссэн болгон хувиргадаг бидоюун ухаан. Мэдээжийн хэрэг математикийн дүрмийн дагуу.

Тэдгээрийг хамгийн энгийн болгон багасгахын тулд нэмэлт хүчин чармайлт шаарддаг жишээг авч үзье. Тэднийг дуудъя энгийн экспоненциал тэгшитгэл.

Энгийн экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Жишээ.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ гол дүрмүүд нь байдаг зэрэгтэй үйлдлүүд.Эдгээр үйлдлүүдийг мэдэхгүй бол юу ч ажиллахгүй.

Эрдмийн зэрэгтэй үйлдлүүдэд хувийн ажиглалт, авъяас чадварыг нэмэх хэрэгтэй. Бид шаардаж байна ижил тоо-үндэслэл үү? Тиймээс бид тэдгээрийг жишээн дээр тодорхой эсвэл шифрлэгдсэн хэлбэрээр хайж байна.

Үүнийг практикт хэрхэн яаж хийхийг харцгаая?

Бидэнд жишээ өгье:

2 2x - 8 x+1 = 0

Анхны хурц харц бол энд байна үндэслэл.Тэд... Тэд өөр! Хоёр ба найм. Гэхдээ сэтгэлээр унахад эрт байна. Үүнийг санах цаг болжээ

Хоёр, найм нь зэрэгтэй хамаатан юм.) Үүнийг бичих бүрэн боломжтой.

8 x+1 = (2 3) x+1

Хэрэв бид градустай үйлдлүүдийн томъёог эргэн санавал:

(a n) m = a nm ,

Энэ нь маш сайн ажилладаг:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Жинхэнэ жишээдараах байдлаар харагдаж эхлэв.

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Бид шилжүүлдэг 2 3 (x+1)баруун талд (хэн ч математикийн энгийн үйлдлүүдийг цуцалсангүй!), бид дараахь зүйлийг авна.

2 2x = 2 3(x+1)

Энэ бол бараг бүх зүйл. Суурийг арилгах:

Бид энэ мангасыг шийдэж, авна

Энэ бол зөв хариулт юм.

Энэ жишээн дээр хоёрын хүчийг мэдэх нь бидэнд тусалсан. Бид тодорхойлсоннаймд шифрлэгдсэн хоёр байна. Энэхүү техник (нийтлэг үндэслэлийг шифрлэх өөр өөр тоо) нь экспоненциал тэгшитгэлд маш алдартай арга юм! Тийм ээ, мөн логарифмд. Та тоон доторх бусад тоонуудын хүчийг таних чадвартай байх ёстой. Энэ нь экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш чухал юм.

Ямар ч тоог ямар ч эрх мэдэлд хүргэх нь асуудал биш юм. Цаасан дээр ч гэсэн үржүүлээрэй, тэгээд л болоо. Жишээлбэл, хэн ч 3-аас тав дахь хүчийг өсгөж болно. Хэрэв та үржүүлэх хүснэгтийг мэддэг бол 243 ажиллах болно.) Гэхдээ экспоненциал тэгшитгэлд ихэвчлэн хүчийг нэмэгдүүлэх шаардлагагүй, харин эсрэгээр... Үүнийг олж мэдээрэй. ямар тоо ямар хэмжээнд байна 243 буюу 343 гэсэн тооны ард нуугдаж байна... Энд ямар ч тооны машин танд туслахгүй.

Зарим тооны хүчийг нүдээр нь мэдэх хэрэгтэй, тийм ээ... Дасгал хийцгээе?

Тоонууд нь ямар хүчин чадалтай, ямар тоотой болохыг тодорхойл.

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Хариултууд (мэдээж эмх замбараагүй!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Хэрэв та анхааралтай ажиглавал харж болно хачирхалтай баримт. Даалгавраас хамаагүй илүү хариултууд байдаг! За, ийм зүйл болдог ... Жишээ нь, 2 6, 4 3, 8 2 - энэ бүгд 64.

Та тоонуудтай танилцсан тухай мэдээллийг анхаарч үзсэн гэж бодъё.) Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд бид ашигладаг гэдгийг сануулъя. бүгдхувьцаа математикийн мэдлэг. Үүнд бага, дунд ангийнхан орно. Чи шууд ахлах сургуульд ороогүй биз дээ?)

Жишээлбэл, экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах нь ихэвчлэн тусалдаг (7-р ангидаа сайн уу!). Нэг жишээг харцгаая:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Дахин хэлэхэд, анхны харц нь суурь дээр байна! Зэрэглэлийн суурь нь өөр... Гурав ба ес. Гэхдээ бид тэднийг адилхан байгаасай гэж хүсч байна. За, энэ тохиолдолд хүсэл бүрэн биелдэг!) Учир нь:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Зэрэгтэй харьцах ижил дүрмийг ашиглана:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Гайхалтай, та үүнийг бичиж болно:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Үүнтэй ижил шалтгаанаар бид жишээ татсан. Тэгээд дараа нь яах вэ!? Та гурвыг хаяж болохгүй... Мөхөс үү?

Огт үгүй. Шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл бөгөөд хүчирхэг дүрмийг санаарай хүн бүр математикийн даалгавар:

Хэрэв танд юу хэрэгтэй байгааг мэдэхгүй байгаа бол чадах бүхнээ хий!

Хараач, бүх зүйл бүтэх болно).

Энэ экспоненциал тэгшитгэлд юу байна Чадаххийх үү? Тийм ээ, зүүн талд нь зүгээр л хаалтнаас гаргахыг гуйж байна! 3 2x-ийн нийт үржүүлэгч нь үүнийг тодорхой харуулж байна. Оролдоод үзье, тэгээд харна:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Жишээ нь улам сайн болж байна!

Үндэслэлийг арилгахын тулд ямар ч коэффициентгүй цэвэр зэрэг хэрэгтэй гэдгийг бид санаж байна. 70 гэдэг тоо биднийг зовоож байна. Тиймээс бид тэгшитгэлийн хоёр талыг 70-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

Өө! Бүх зүйл сайжирсан!

Энэ бол эцсийн хариулт.

Гэсэн хэдий ч ийм үндсэн дээр такси барих боломжтой боловч тэдгээрийг арилгах боломжгүй юм. Энэ нь бусад төрлийн экспоненциал тэгшитгэлд тохиолддог. Энэ төрлийг эзэмшицгээе.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хувьсагчийг солих. Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийдье:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Нэгдүгээрт - ердийнх шиг. Нэг суурь руу шилжье. Хоёр тал руу.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Бид тэгшитгэлийг авна:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Энэ бол бидний цагийг өнгөрөөдөг газар юм. Өмнөх техникүүд яаж ч харсан бүтэхгүй. Бид өөр хүчирхэг багийг авах хэрэгтэй болно бүх нийтийн арга. гэж нэрлэдэг хувьсах солих.

Аргын мөн чанар нь гайхалтай энгийн юм. Нэг төвөгтэй дүрсний оронд (бидний тохиолдолд - 2 x) бид өөр, илүү энгийн дүрс бичдэг (жишээлбэл - t). Ийм утгагүй мэт орлуулалт нь гайхалтай үр дүнд хүргэдэг!) Бүх зүйл зүгээр л ойлгомжтой, ойлгомжтой болно!

За тэгье

Дараа нь 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Бидний тэгшитгэлд бид бүх хүчийг x-ээр t-ээр солино.

За, энэ нь танд ойлгуулж байна уу?) Та квадрат тэгшитгэлээ мартсан уу? Дискриминантаар дамжуулан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энд гол зүйл бол зогсохгүй байх явдал юм... Энэ бол одоохондоо хариулт биш, бидэнд t биш x хэрэгтэй. X-ууд руу буцаж орцгооё, i.e. Бид урвуу орлуулалт хийдэг. Эхлээд t 1:

Тиймээс,

Нэг үндэс олдлоо. Бид t 2-оос хоёр дахь нь хайж байна:

Хм... Зүүн талд 2 х, баруун талд 1 ... Асуудал уу? Огт үгүй! Нэгж гэдгийг санахад хангалттай (хүчтэй үйлдлээс, тийм ээ ...). ямар чтоог тэг хүртэл. Ямар ч. Юу хэрэгтэй байна, бид үүнийг суулгана. Бидэнд хоёр хэрэгтэй. гэсэн утгатай:

Ингээд л болоо. Бид 2 үндэстэй болсон:

Энэ бол хариулт юм.

At экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэцэст нь заримдаа та ямар нэгэн эвгүй илэрхийлэлд хүргэдэг. Төрөл:

Долоогоос хоёр хүртэл энгийн зэрэгэнэ нь ажиллахгүй байна. Тэд хамаатан садан биш... Бид яаж байх юм бэ? Хэн нэгэн андуурч магадгүй... Харин энэ сайтаас “Логарифм гэж юу вэ?” гэсэн сэдвийг уншсан хүн , зүгээр л бага зэрэг инээмсэглэж, хатуу гараар туйлын зөв хариултыг бичнэ:

Улсын нэгдсэн шалгалтын "В" даалгаварт ийм хариулт байх боломжгүй. Тодорхой дугаар шаардлагатай. Гэхдээ "С" даалгаварт энэ нь хялбар байдаг.

Энэ хичээл нь хамгийн түгээмэл экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээнүүдийг өгдөг. Гол санааг онцолж үзье.

Практик зөвлөгөө:

1. Юуны өмнө бид хардаг үндэслэлградус. Тэднийг хийх боломжтой юу гэж бид гайхаж байна адилхан.Үүнийг идэвхтэй ашиглах замаар хийхийг хичээцгээе зэрэгтэй үйлдлүүд.Х-гүй тоонуудыг мөн зэрэгт шилжүүлж болно гэдгийг бүү мартаарай!

2. Зүүн ба баруун талд байх үед экспоненциал тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулахыг хичээдэг адилханямар ч эрх бүхий тоо. Бид ашигладаг зэрэгтэй үйлдлүүдТэгээд хүчин зүйлчлэл.Тоогоор юуг тоолж болох вэ, бид тоолдог.

3. Хэрэв хоёр дахь зөвлөгөө ажиллахгүй бол хувьсагчийг орлуулахыг оролдоно уу. Үр дүн нь амархан шийдэж болох тэгшитгэл байж болно. Ихэнхдээ - дөрвөлжин. Эсвэл бутархай, энэ нь мөн квадрат болж буурдаг.

4. Экспоненциал тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд зарим тооны хүчийг нүдээр харж мэдэх хэрэгтэй.

Ердийнх шиг, хичээлийн төгсгөлд та бага зэрэг шийдэхийг урьж байна.) Өөрийнхөө гараар. Энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийд:

Илүү хэцүү:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

Үндэсийн үржвэрийг ол:

2 3 + 2 x = 9

Энэ ажилласан уу?

За тэгвэл хамгийн төвөгтэй жишээ(гэхдээ оюун ухаандаа шийдсэн ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Юу нь илүү сонирхолтой вэ? Тэгвэл танд нэг муу жишээ байна. Нэлээд татагдсан хүндрэл нэмэгдсэн. Энэ жишээнд таныг авардаг зүйл бол оюун ухаан, математикийн бүх асуудлыг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл дүрэм гэдгийг сануулъя.)

2 5х-1 3 3х-1 5 2х-1 = 720 х

Тайвшруулахын тулд илүү энгийн жишээ):

9 2 x - 4 3 x = 0

Мөн амттангаар. Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Тийм, тийм! Энэ бол холимог төрлийн тэгшитгэл юм! Үүнийг бид энэ хичээл дээр авч үзээгүй. Яагаад тэдгээрийг авч үзэх вэ, тэдгээрийг шийдэх хэрэгтэй!) Энэ хичээл нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. За, танд овсгоо хэрэгтэй байна ... Мөн долдугаар анги танд туслах болтугай (энэ бол зөвлөгөө!).

Хариултууд (эмх замбараагүй, цэг таслалаар тусгаарлагдсан):

1; 2; 3; 4; шийдэл байхгүй; 2; -2; -5; 4; 0.

Бүх зүйл амжилттай болсон уу? Гайхалтай.

Ямар нэгэн асуудал байна уу? Асуулт байхгүй! Тусгай хэсэгт 555-д эдгээр бүх экспоненциал тэгшитгэлийг шийддэг дэлгэрэнгүй тайлбар. Юу, яагаад, яагаад. Мэдээжийн хэрэг, бүх төрлийн экспоненциал тэгшитгэлтэй ажиллах нэмэлт үнэ цэнэтэй мэдээлэл байдаг. Зөвхөн эдгээрийг биш.)

Сүүлчийн нэг хөгжилтэй асуултыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Энэ хичээлээр бид экспоненциал тэгшитгэлтэй ажилласан. Би яагаад энд ОДЗ-ын талаар ганц ч үг хэлээгүй юм бэ?Тэгшитгэлд энэ нь маш чухал зүйл юм ...

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Элсэлтийн түвшин

Экспоненциал тэгшитгэл. Цогц гарын авлага (2019)

Сайн уу! Өнөөдөр бид тантай анхан шатны (мөн энэ өгүүллийг уншсаны дараа бараг бүгдээрээ танд тийм байх болно гэж найдаж байна) болон ихэвчлэн "бөглөхөд" өгдөг тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар ярилцах болно. Эцэст нь унтсан бололтой. Гэхдээ ийм төрлийн тэгшитгэлтэй тулгарах үед таныг асуудалд оруулахгүйн тулд би боломжтой бүхнийг хийхийг хичээх болно. Би дахиж бутны эргэн тойронд зодохгүй, гэхдээ би шууд нээх болно бяцхан нууц: өнөөдөр бид суралцах болно экспоненциал тэгшитгэл.

Тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замд дүн шинжилгээ хийхээс өмнө би энэ сэдвийг довтлох гэж яарахаасаа өмнө давтах ёстой хэд хэдэн асуултыг (нэлээд жижиг) нэн даруй тоймлох болно. Тиймээс, авах хамгийн сайн үр дүн, гуйя давтах:

1. Properties and
2. Шийдэл ба тэгшитгэл

Давтан уу? Гайхалтай! Дараа нь тэгшитгэлийн үндэс нь тоо гэдгийг анзаарахад хэцүү биш байх болно. Та намайг яг яаж хийснийг ойлгож байна уу? Энэ үнэн үү? Дараа нь үргэлжлүүлье. Одоо миний асуултад хариул, гуравдахь хүчинтэй тэнцүү юу вэ? Та туйлын зөв: . Хоёрын аль нь найм вэ? Энэ нь зөв - гурав дахь нь! Учир нь. За, одоо дараах асуудлыг шийдэж үзье: Би тоог өөрөө өөртөө нэг удаа үржүүлж үр дүнг гаргая. Асуулт бол би өөрөө хэдэн удаа үржүүлсэн бэ? Та мэдээж үүнийг шууд шалгаж болно:

\эхлэх(зохицуулах) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( тэгшлэх)

Дараа нь би өөрөө үржүүлсэн гэж дүгнэж болно. Та үүнийг өөр яаж шалгах вэ? Үүнд: шууд зэрэглэлийн тодорхойлолтоор: . Гэхдээ та хүлээн зөвшөөрөх ёстой, хэрэв би хоёрыг өөрөө хэдэн удаа үржүүлэх шаардлагатайг асуувал: "Би өөрийгөө хуурч, нүүрээ хөхрөх хүртэл өөрөө үржихгүй" гэж хэлэх болно. Тэгээд тэр үнэхээр зөв байх болно. Яагаад гэвэл чи яаж чадах вэ бүх алхмуудыг товч бич(мөн товчлол бол авъяас чадварын эгч юм)

хаана - эдгээр нь адилхан "удаа", та өөрөө үржих үед.

Миний асуудал дараах хэлбэрээр бичигдэх болно гэдгийг та мэдэж байгаа гэж бодож байна (хэрэв та мэдэхгүй бол яаралтай, маш яаралтай зэрэглэлийг давтана уу!)

Та үүнийг хэрхэн үндэслэлтэй дүгнэж чадах вэ:

Тиймээс би анзааралгүй хамгийн энгийнийг нь бичсэн экспоненциал тэгшитгэл:

Тэгээд ч би түүнийг олсон үндэс. Бүх зүйл шал дэмий хоосон гэж та бодохгүй байна уу? Би яг адилхан гэж бодож байна. Энд танд өөр нэг жишээ байна:

Гэхдээ яах вэ? Эцсийн эцэст үүнийг (боломжийн) тооны зэрэглэлээр бичиж болохгүй. Эдгээр тоо хоёулаа ижил тооны хүчээр төгс илэрхийлэгддэг гэдгийг цөхрөлгүй, тэмдэглэе. Аль нь вэ? Баруун: . Дараа нь анхны тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.

Хаана, та аль хэдийн ойлгосноор, . Цаашид хойшлуулалгүй бичье тодорхойлолт:

Манай тохиолдолд: .

Эдгээр тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулах замаар шийддэг.

Дараа нь тэгшитгэлийг шийднэ

Үнэн хэрэгтээ, өмнөх жишээн дээр бид үүнийг хийсэн: бид дараахь зүйлийг авсан. Тэгээд бид хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийдсэн.

Энэ нь төвөгтэй зүйл биш юм шиг санагдаж байна, тийм ээ? Эхлээд хамгийн энгийн зүйл дээр дадлага хийцгээе жишээ:

Тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг нэг тооны зэрэглэлээр илэрхийлэх шаардлагатайг бид дахин харж байна. Үнэн, зүүн талд үүнийг аль хэдийн хийсэн, гэхдээ баруун талд нь тоо байна. Гэхдээ зүгээр, учир нь миний тэгшитгэл ийм байна гайхамшигтайгаарэнэ болгон хувиргах болно:

Би энд юу ашиглах ёстой байсан бэ? Ямар дүрэм вэ? "Зэрэг доторх зэрэг"-ийн дүрэмгэж уншина:

Хэрэв:

Энэ асуултад хариулахын өмнө дараах хүснэгтийг бөглөцгөөе.

Бага байх тусам бидний хувьд анзаарахад хялбар байдаг бага үнэ цэнэ, гэхдээ энэ бүх үнэт зүйлс тэгээс их. ТЭГЭЭД ҮРГЭЛЖ ИЙМ БАЙХ БОЛНО!!! Ижил өмч нь ямар ч ҮЗҮҮЛЭЛТТЭЙ ҮНДСЭН ҮНДЭСЛЭЛИЙН хувьд үнэн юм!! (ямар ч ба хувьд). Дараа нь бид тэгшитгэлийн талаар юу дүгнэж болох вэ? Энэ нь юу вэ: энэ үндэсгүй! Аливаа тэгшитгэлд үндэс байдаггүйтэй адил. Одоо дадлага хийцгээе Энгийн жишээнүүдийг шийдье:

Шалгацгаая:

1. Энд танаас градусын шинж чанаруудын талаархи мэдлэгээс өөр юу ч шаардагдахгүй (үүнийг дашрамд хэлэхэд би танаас давтахыг хүссэн!) Дүрмээр бол бүх зүйл хамгийн бага суурь руу хөтөлдөг: , . Дараа нь анхны тэгшитгэл нь дараахтай тэнцүү байх болно: Надад хэрэгтэй зүйл бол чадлын шинж чанарыг ашиглах явдал юм. Ижил суурьтай тоонуудыг үржүүлэхэд хүчийг нэмж, хуваахдаа хасна.Дараа нь би авах болно: За, одоо хамт цэвэр ухамсарБи экспоненциал тэгшитгэлээс шугаман тэгшитгэл рүү шилжих болно: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2х+1+2х+4-3х=5 \\
&x=0. \\
\төгсгөл(зохицуулах)

2. Хоёрдахь жишээн дээр бид илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй: асуудал нь зүүн талд бид ижил тоог хүч чадалтай илэрхийлэх боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд заримдаа ашигтай байдаг тоонуудыг өөр өөр суурьтай, гэхдээ ижил илтгэгчтэй зэрэглэлийн үржвэр болгон илэрхийлнэ.

Тэгшитгэлийн зүүн тал нь: Энэ нь бидэнд юу өгсөн бэ? Энд юу вэ: Өөр өөр суурьтай боловч ижил илтгэгчтэй тоонуудыг үржүүлж болно.Энэ тохиолдолд суурь нь үржсэн боловч үзүүлэлт өөрчлөгдөхгүй:

Миний нөхцөл байдалд энэ нь дараахь зүйлийг өгөх болно.

\эхлэх(зохицуулах)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\төгсгөл(зохицуулах)

Муу биш, тийм үү?

3. Шаардлагагүй тэгшитгэлийн нэг талд хоёр гишүүн, нөгөө талд нь байхгүй байхад би дургүй байдаг (заримдаа энэ нь зөвтгөгддөг, гэхдээ одоо тийм биш). Би хасах нэр томъёог баруун тийш шилжүүлнэ:

Одоо урьдын адил би бүгдийг гурвын зэрэглэлээр бичих болно.

Би зүүн талд байгаа градусуудыг нэмээд тэнцүү тэгшитгэлийг авна

Та түүний үндсийг хялбархан олох боломжтой:

4. Гурав дахь жишээний адил хасах нэр томъёо баруун талд байрлана!

Миний зүүн талд бараг бүх зүйл зүгээр, юунаас бусад нь? Тийм ээ, энэ хоёрын “буруу зэрэг” намайг зовоож байна. Гэхдээ би үүнийг бичих замаар амархан засаж чадна: . Эврика - зүүн талд бүх суурь нь өөр, гэхдээ бүх зэрэг нь ижил байна! Нэн даруй үржүүлцгээе!

Энд дахин бүх зүйл тодорхой байна: (хэрэв та яаж ойлгохгүй байгаа бол ид шидээрБи сүүлчийн тэгшитгэлийг авч, нэг минутын завсарлага аваад, амьсгаа аваад зэрэглэлийн шинж чанарыг дахин маш анхааралтай уншлаа. Чамайг эрдмийн зэрэг алгасаж болно гэж хэн хэлэв сөрөг үзүүлэлт? За, би үүнийг хэлж байна, хэн ч биш). Одоо би авах болно:

\эхлэх(зохицуулах)
& ((2)^(4\left((x) -9 \баруун)=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\төгсгөл(зохицуулах)

Энд танд дадлага хийх зарим асуудлууд байна, би зөвхөн хариултыг өгөх болно (гэхдээ "холимог" хэлбэрээр). Тэдгээрийг шийдэж, шалгаад та бид хоёр судалгаагаа үргэлжлүүлэх болно!

Бэлэн үү? Хариултуудиймэрхүү:

1. ямар ч тоо

За, за, би тоглож байсан! Энд зарим шийдлүүдийн тойм зураг байна (зарим нь маш товч!)

Зүүн талын нэг хэсэг нь нөгөө хэсэг нь "урвуу" байдаг нь тохиолдлын зүйл биш гэж та бодож байна уу? Үүнийг ашиглахгүй байх нь нүгэл болно:

Энэ дүрмийг экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг, үүнийг сайн санаарай!

Дараа нь анхны тэгшитгэл дараах байдалтай болно.

Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдсэнээр та дараах язгуурыг авна.

2. Өөр нэг шийдэл: тэгшитгэлийн хоёр талыг зүүн (эсвэл баруун) талын илэрхийллээр хуваах. Баруун талд байгаа зүйлд хуваавал би дараахь зүйлийг авна.

Хаана (яагаад?!)

3. Би өөрийгөө давтахыг ч хүсэхгүй байна, бүх зүйл аль хэдийн маш их "зажилсан".

4. квадрат тэгшитгэлтэй тэнцэх язгуур

5. Та эхний бодлогод өгсөн томьёог ашиглах хэрэгтэй, тэгвэл та дараахийг авна.

Энэ тэгшитгэл нь хэнд ч үнэн байдаг өчүүхэн ижил төстэй зүйл болж хувирав. Дараа нь хариулт нь ямар ч бодит тоо юм.

За, одоо та шийдвэрлэх дадлага хийлээ энгийн экспоненциал тэгшитгэл.Одоо би танд цөөн хэдэн зүйлийг өгөхийг хүсч байна амьдралын жишээнүүд, энэ нь зарчмын хувьд яагаад хэрэгтэй байгааг ойлгоход тусална. Энд би хоёр жишээ хэлье. Тэдний нэг нь өдөр тутмынх боловч нөгөө нь практик гэхээсээ илүү шинжлэх ухааны сонирхолтой байх магадлалтай.

Жишээ 1 (худалдааны)Та рубльтэй байг, гэхдээ та үүнийг рубль болгохыг хүсч байна. Банк танд энэ мөнгийг сарын хүүг (сарын хуримтлал) тооцсон жилийн хүүгээр авахыг санал болгож байна. Асуулт бол шаардлагатай эцсийн хэмжээнд хүрэхийн тулд хэдэн сарын хугацаанд хадгаламж нээх шаардлагатай вэ? Маш энгийн ажил, тийм үү? Гэсэн хэдий ч түүний шийдэл нь харгалзах экспоненциал тэгшитгэлийг байгуулахтай холбоотой юм: Анхны нийлбэр байцгаая, - эцсийн дүн, - хугацааны хүү, - хугацааны тоо. Дараа нь:

Манай тохиолдолд (хэрэв ханш нь жилийнх бол сар бүр тооцно). Яагаад хуваагддаг вэ? Хэрэв та энэ асуултын хариултыг мэдэхгүй байгаа бол "" сэдвийг санаарай! Дараа нь бид энэ тэгшитгэлийг авна.

Энэ экспоненциал тэгшитгэлийг зөвхөн тооцоолуур (түүний гадаад төрхЭнэ талаар сануулж байгаа бөгөөд энэ нь логарифмын мэдлэгийг шаарддаг бөгөөд үүнийг бид дараа нь олж мэдэх болно), би үүнийг хийх болно: ... Тиймээс саяыг авахын тулд бид нэг сарын хугацаанд барьцаа хийх шаардлагатай болно ( тийм ч хурдан биш, тийм үү?).

Жишээ 2 (шинжлэх ухаан).Түүний тодорхой "тусгаарлагдсан" ч гэсэн би түүнд анхаарлаа хандуулахыг зөвлөж байна: тэр байнга "Улсын нэгдсэн шалгалтанд ордог!! (асуудлыг “бодит” хувилбараас авсан) Эвдрэлийн үед цацраг идэвхт изотоптүүний масс нь хуулийн дагуу буурдаг ба энд (мг) нь изотопын анхны масс, (мин.) нь эхний мөчөөс хойш өнгөрсөн хугацаа, (мин.) нь хагас задралын хугацаа юм. IN эхлэх мөчцаг хугацааны изотопын масс мг. Түүний хагас задралын хугацаа нь мин. Хэдэн минутын дараа изотопын масс мг-тай тэнцэх вэ? Зүгээр дээ: бид зүгээр л бүх өгөгдлийг авч, бидэнд санал болгож буй томъёонд орлуулна.

Зүүн талд нь шингэцтэй зүйл олж авна гэж "найдвартай" хоёр хэсгийг хоёуланг нь хуваацгаа.

За, бид маш азтай байна! Энэ нь зүүн талд байгаа бөгөөд дараа нь ижил тэгшитгэл рүү шилжье:

Мин хаана байна.

Таны харж байгаагаар экспоненциал тэгшитгэл нь практикт маш бодит хэрэглээтэй байдаг. Одоо би та нарт экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх өөр (энгийн) аргыг харуулахыг хүсч байна, энэ нь нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж, дараа нь нэр томъёог бүлэглэхэд үндэслэсэн болно. Миний үгнээс бүү ай, чи 7-р ангидаа олон гишүүнтийг судалж байхдаа энэ аргыг олж мэдсэн. Жишээлбэл, хэрэв та илэрхийллийг хүчин зүйл болгох шаардлагатай бол:

Бүлэглэцгээе: эхний ба гурав дахь нэр томъёо, түүнчлэн хоёр, дөрөв дэх. Эхний болон гурав дахь нь квадратуудын ялгаа болох нь тодорхой байна.

мөн хоёр, дөрөв дэх нь байна нийтлэг үржүүлэгчгурав:

Дараа нь анхны илэрхийлэл нь үүнтэй тэнцүү байна:

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаанаас гаргах нь хэцүү байхаа больсон:

Тиймээс,

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид үүнийг ойролцоогоор хийх болно: нэр томьёо дотроос "нийтлэг" гэж хайж олоод хаалтанд оруулаад дараа нь - ямар ч байсан бид азтай байх болно гэж би итгэж байна =)) Жишээ нь:

Баруун талд нь долоон хүч байхаас хол байна (би шалгасан!) Харин зүүн талд - арай дээр, та мэдээжийн хэрэг, эхний үеэс эхлэн хоёр дахь a хүчин зүйлийг "хасаж" болно. Таны авсан зүйл, гэхдээ чамтай илүү болгоомжтой байцгаая. Би "сонгох" үед зайлшгүй үүсдэг бутархайтай харьцахыг хүсэхгүй байна, тиймээс би үүнийг арилгах хэрэгтэй гэж үү? Дараа нь би ямар ч бутархай байхгүй болно: тэдний хэлснээр чоно тэжээж, хонь аюулгүй байна.

Хаалтанд байгаа илэрхийллийг тооцоол. Ид шидтэй, ид шидтэй, энэ нь (гайхалтай нь, гэхдээ бид өөр юу хүлээх ёстой вэ?).

Дараа нь бид тэгшитгэлийн хоёр талыг энэ хүчин зүйлээр бууруулна. Бид авдаг: , -аас.

Энд илүү төвөгтэй жишээ байна (бага зэрэг, үнэхээр):

Ямар асуудал вэ! Манай энд нэг ч байхгүй нийтлэг үндэслэл! Одоо юу хийх нь тодорхойгүй байна. Бид чадах бүхнээ хийцгээе: эхлээд "дөрөв"-ийг нэг тал руу, "тав"-ыг нөгөө тал руу шилжүүлээрэй.

Одоо баруун, зүүн талд байгаа "генерал"-ыг гаргая:

Тэгэхээр одоо яах вэ? Ийм тэнэг бүлэглэл ямар ашигтай юм бэ? Эхлээд харахад энэ нь огт харагдахгүй байгаа ч илүү гүнзгий харцгаая:

За, одоо бид зүүн талд зөвхөн c илэрхийлэл, баруун талд нь бусад бүх зүйл байгаа эсэхийг шалгах болно. Үүнийг бид яаж хийх вэ? Үүнд: тэгшитгэлийн хоёр талыг эхлээд хуваана (ингэснээр бид баруун талд байгаа илтгэгчийг арилгана), дараа нь хоёр талыг нь хуваана (ингэснээр бид зүүн талын тоон хүчин зүйлийг арилгана). Эцэст нь бид:

Гайхалтай! Зүүн талд нь илэрхийлэл, баруун талд нь энгийн илэрхийлэл байдаг. Дараа нь бид нэн даруй дүгнэж байна

Танд бататгах өөр нэг жишээ энд байна:

Би түүнийг авчирна богино шийдэл(тайлбараар өөрийгөө зовоохгүйгээр) шийдлийн бүх "нарийн талыг" өөрөө ойлгохыг хичээ.

Одоо хамрагдсан материалын эцсийн нэгтгэлийн тухай. Дараах асуудлуудыг өөрөө шийдэж үзээрэй. Би зүгээр л өгье товч зөвлөмжүүдмөн тэдгээрийг шийдвэрлэх зөвлөмжүүд:

1. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая: Үүнд:
2. Эхний илэрхийллийг дараах хэлбэрээр үзүүлье, хоёр талыг хувааж, үүнийг авна
3. , дараа нь анхны тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлнэ: За, одоо нэг зөвлөгөө - та бид хоёр энэ тэгшитгэлийг хаана шийдсэнийг хай!
4. Хэрхэн, яаж, аа, сайн, дараа нь хоёр талыг хуваахыг төсөөлөөд үз дээ, тэгвэл та хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэлийг гаргана.
5. Үүнийг хаалтнаас гаргаж ав.
6. Үүнийг хаалтнаас гаргаж ав.

ЭКСПОНЕНТАР ТЭГШИГЧИЛГЭЭ. ДУНД ТҮВШИН

Энэ тухай ярьсан эхний өгүүллийг уншсаны дараа гэж би бодож байна Экспоненциал тэгшитгэл гэж юу вэ, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ, та эзэмшсэн шаардлагатай доод хэмжэээнгийн жишээг шийдвэрлэхэд шаардлагатай мэдлэг.

Одоо би экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх өөр аргыг авч үзэх болно

"Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга" (эсвэл солих).Энэ нь экспоненциал тэгшитгэл (зөвхөн тэгшитгэл биш) сэдвээр хамгийн "хэцүү" асуудлыг шийддэг. Энэ арга нь практикт хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг аргуудын нэг юм. Юуны өмнө би энэ сэдэвтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Нэрнээс нь ойлгосноор энэ аргын мөн чанар нь хувьсагчийн ийм өөрчлөлтийг нэвтрүүлэх явдал бөгөөд ингэснээр таны экспоненциал тэгшитгэл таны амархан шийдэж чадахуйц болж хувирах болно. Энэхүү "хялбаршуулсан тэгшитгэлийг" шийдсэний дараа танд үлдэх зүйл бол "урвуу орлуулалт" хийх явдал юм: өөрөөр хэлбэл солигдсоноос солигдсон руу буцах явдал юм. Саяын хэлсэн зүйлээ маш энгийн жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 1:

Энэ тэгшитгэлийг математикчид гутаан доромжилсон байдлаар "энгийн орлуулалт" ашиглан шийддэг. Үнэндээ энд орлуулах нь хамгийн тод харагдаж байна. Хүн үүнийг л харах ёстой

Дараа нь анхны тэгшитгэл дараах болж хувирна.

Хэрэв бид хэрхэн яаж хийхийг нэмж төсөөлвөл юу солих шаардлагатай нь тодорхой болно: мэдээжийн хэрэг, . Дараа нь юу анхны тэгшитгэл болох вэ? Энд юу вэ:

Та түүний үндсийг өөрөө амархан олох боломжтой: . Бид одоо яах ёстой вэ? Анхны хувьсагч руу буцах цаг болжээ. Би юу хэлэхээ мартсан бэ? Тухайлбал: тодорхой түвшинг шинэ хувьсагчаар солих үед (өөрөөр хэлбэл төрлийг солих үед) би сонирхох болно. зөвхөн эерэг үндэс! Яагаад гэдгийг та өөрөө амархан хариулж чадна. Тиймээс, та бид хоёр сонирхолгүй байгаа ч хоёр дахь үндэс нь бидэнд маш тохиромжтой.

Тэгээд хаанаас.

Хариулт:

Таны харж байгаагаар өмнөх жишээн дээр орлуулах хүн зүгээр л бидний гарыг гуйж байсан. Харамсалтай нь энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Гэсэн хэдий ч гунигтай зүйл рүү шууд орохгүй, харин нэлээд энгийн орлуулалттай өөр нэг жишээгээр дадлага хийцгээе.

Жишээ 2.

Бид солих шаардлагатай болох нь тодорхой байна (энэ нь бидний тэгшитгэлд багтсан хүчнүүдийн хамгийн бага нь юм), гэхдээ орлуулахаас өмнө бидний тэгшитгэлийг "бэлтгэх" хэрэгтэй, тухайлбал: , . Дараа нь та сольж болно, үр дүнд нь би дараах илэрхийлэлийг авна.

Өө аймшиг: куб тэгшитгэлтүүний шийдлийн туйлын аймшигтай томьёотой (ерөнхий үгээр хэлэхэд). Гэхдээ тэр дороо цөхрөлгүй, юу хийх ёстойгоо бодоцгооё. Би хууран мэхлэхийг санал болгож байна: "сайхан" хариулт авахын тулд бид үүнийг гурвын хүчний хэлбэрээр авах хэрэгтэй гэдгийг бид мэднэ (яагаад ийм байх ёстой гэж?). Тэгшитгэлийнхээ ядаж нэг язгуурыг таахыг хичээцгээе (би гурвын зэрэглэлээр тааж эхэлнэ).

Эхний таамаг. Үндэс биш. Өө бас...

.
Зүүн тал нь тэнцүү байна.
Баруун талд:!
Ид! Эхний үндсийг тааварлав. Одоо бүх зүйл илүү хялбар болно!

Та "булангийн" хуваах схемийн талаар мэдэх үү? Мэдээжийн хэрэг та үүнийг нэг тоог нөгөө тоонд хуваахдаа ашигладаг. Гэхдээ олон гишүүнттэй ижил зүйлийг хийж болно гэдгийг цөөхөн хүн мэддэг. Нэг гайхалтай теорем байдаг:

Миний нөхцөл байдалд энэ нь үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг гэдгийг хэлж байна. Хэрхэн хуваах вэ? Үүнд:

Би тодорхой болгохын тулд аль мономиалаар үржүүлэх ёстойгоо харвал:

Би үр дүнгийн илэрхийлэлийг хасаад дараахийг авна.

Одоо би юугаар үржүүлэх хэрэгтэй вэ? Дараа нь би авах нь тодорхой байна:

гарсан илэрхийлэлийг үлдсэн нэгээс дахин хасна:

Эцсийн алхам бол үлдсэн илэрхийллээс үржүүлж, хасах явдал юм.

Уучлаарай, хуваагдал дууслаа! Бид хувийн амьдралд юу хуримтлуулсан бэ? Мэдээжийн хэрэг: .

Дараа нь бид анхны олон гишүүнтийн дараах өргөтгөлийг авсан.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдье:

Энэ нь үндэстэй:

Дараа нь анхны тэгшитгэл:

гурван үндэстэй:

Мэдээжийн хэрэг, бид сүүлчийн үндсийг нь хаях болно тэгээс бага. Урвуу орлуулалтын дараах эхний хоёр нь бидэнд хоёр үндэс өгөх болно:

Хариулт: ..

Би энэ жишээгээр та нарыг айлгахыг огтхон ч хүсээгүй, харин миний зорилго бол бидэнд нэлээд энгийн орлуулалт байсан ч энэ нь нэлээд үр дүнд хүрсэн гэдгийг харуулах явдал байв нарийн төвөгтэй тэгшитгэл, үүний шийдэл нь биднээс тусгай ур чадвар шаарддаг. За, хэн ч үүнээс ангид байдаггүй. Харин орлуулах нь энэ тохиолдолднэлээд ойлгомжтой байсан.

Энд арай бага тодорхой орлуулалтын жишээ байна:

Бид юу хийх ёстой нь тодорхойгүй байна: асуудал бол бидний тэгшитгэлд хоёр өөр суурь байгаа бөгөөд нэг суурийг нөгөөгөөсөө ямар ч (боломжийн, байгалийн) хүчин чадалд өсгөх замаар олж авах боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч бид юу харж байна вэ? Хоёр суурь нь зөвхөн тэмдгээр ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн үржвэр нь нэгтэй тэнцүү квадратуудын зөрүү юм.

Тодорхойлолт:

Тиймээс бидний жишээн дэх суурь тоонууд нь нэгдэл юм.

Энэ тохиолдолд ухаалаг алхам хийх болно Тэгшитгэлийн хоёр талыг коньюгат тоогоор үржүүлнэ.

Жишээлбэл, дээр байвал тэгшитгэлийн зүүн тал нь баруун талтай тэнцүү болно. Хэрэв бид орлуулалт хийвэл бидний анхны тэгшитгэл дараах байдалтай болно.

Үүний үндэс, тэгээд үүнийг санаж, бид үүнийг олж авдаг.

Хариулт: , .

Дүрмээр бол орлуулах арга нь ихэнх "сургуулийн" экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Дараах даалгавруудыг Улсын нэгдсэн шалгалтаас авсан C1 ( түвшин нэмэгдсэннарийн төвөгтэй байдал). Та эдгээр жишээг бие даан шийдвэрлэх хангалттай бичиг үсэгтэй болсон. Би зөвхөн шаардлагатай орлуулалтыг өгөх болно.

1. Тэгшитгэлийг шийд:
2. Тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
3. Тэгшитгэлийг шийд: . Энэ тэгшитгэлийн сегментэд хамаарах бүх язгуурыг ол.

Одоо зарим товч тайлбар, хариултууд:

1. Энд бид үүнийг тэмдэглэхэд хангалттай ... Дараа нь анхны тэгшитгэл нь үүнтэй тэнцүү байх болно: Энэ тэгшитгэлсолих замаар шийднэ. Эцсийн эцэст таны даалгавар нь энгийн тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд багасна (синус эсвэл косинусаас хамаарч). Шийдэл ижил төстэй жишээнүүдБид үүнийг бусад хэсгүүдэд авч үзэх болно.
2. Энд та орлуулалтгүйгээр хийж болно: зүгээр л хасахыг баруун тийш шилжүүлж, хоёр суурийг хоёрын хүчээр төлөөлнө: , дараа нь шууд квадрат тэгшитгэл рүү очно уу.
3. Гурав дахь тэгшитгэлийг бас нэлээд стандартаар шийддэг: яаж гэдгийг төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь орлуулснаар бид квадрат тэгшитгэлийг авна: тэгвэл,

   Та логарифм гэж юу байдгийг аль хэдийн мэдсэн биз дээ? Үгүй юу? Дараа нь сэдвийг яаралтай уншаарай!

   Эхний үндэс нь сегментэд хамаарахгүй нь ойлгомжтой, гэхдээ хоёр дахь нь тодорхойгүй байна! Гэхдээ бид удахгүй мэдэх болно! Тиймээс (энэ нь логарифмын шинж чанар юм!) Харьцуулъя:

   Хоёр талаас нь хасаад бид дараахь зүйлийг авна.

   Зүүн талдараах байдлаар төлөөлж болно.

   хоёр талыг үржүүлнэ:

   тэгвэл үржүүлж болно

   Дараа нь харьцуул:

   түүнээс хойш:

   Дараа нь хоёр дахь үндэс нь шаардлагатай интервалд хамаарна

   Хариулт:

Таны харж байгаагаар Экспоненциал тэгшитгэлийн үндсийг сонгох нь логарифмын шинж чанарын талаар нэлээд гүнзгий мэдлэг шаарддаг, тиймээс би танд экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэхдээ аль болох болгоомжтой байхыг зөвлөж байна. Таны ойлгож байгаагаар математикт бүх зүйл хоорондоо холбоотой байдаг! Математикийн багшийн хэлснээр: "Түүх шиг математикийг нэг л өдөр уншдаггүй."

Дүрмээр бол бүгд C1 асуудлыг шийдвэрлэхэд бэрхшээлтэй зүйл бол тэгшитгэлийн язгуурыг сонгох явдал юм.Өөр нэг жишээгээр дадлага хийцгээе:

Тэгшитгэл өөрөө маш энгийнээр шийдэгдсэн нь ойлгомжтой. Орлуулалт хийснээр бид анхны тэгшитгэлээ дараах болгож бууруулна.

Эхлээд эхний үндсийг харцгаая. Харьцуулъя ба: оноос хойш, тэр үед. (өмч логарифм функц, at). Тэгвэл эхний үндэс нь бидний интервалд хамаарахгүй нь тодорхой байна. Одоо хоёр дахь үндэс: . Энэ нь тодорхой байна (ат функц нэмэгдэж байгаа тул). Харьцуулахад л үлдлээ...

түүнээс хойш, тэр үед, тэр үед. Ингэснээр би болон хоёрын хооронд "хадуур" хийж чадна. Энэ бол тоо юм. Эхний илэрхийлэл нь бага, хоёр дахь нь их байна. Дараа нь хоёр дахь илэрхийлэл нь эхнийхээс их байх ба үндэс нь интервалд хамаарна.

Хариулт: .

Эцэст нь орлуулалт нь нэлээд стандарт бус тэгшитгэлийн өөр жишээг харцгаая.

Юу хийж болох, юуг нь зарчмын хувьд хийж болох талаар шууд эхэлцгээе, гэхдээ үүнийг хийхгүй байх нь дээр. Та гурав, хоёр, зургаагийн хүчээр бүх зүйлийг төсөөлж чадна. Энэ нь юунд хүргэх вэ? Энэ нь юунд ч хүргэхгүй: градусын төөрөгдөл, заримыг нь арилгахад маш хэцүү байх болно. Тэгвэл юу хэрэгтэй вэ? Энэ нь бидэнд юу өгөх вэ? Мөн бид энэ жишээний шийдлийг нэлээн энгийн экспоненциал тэгшитгэлийн шийдэл болгон бууруулж чадна! Эхлээд тэгшитгэлээ дараах байдлаар дахин бичье.

Одоо үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваая.

Эврика! Одоо бид сольж болно, бид дараахыг авна.

За, одоо жагсаалын асуудлыг шийдэх ээлж танд ирсэн тул та андуурахгүйн тулд би тэдэнд товч тайлбар өгөх болно. зөв зам! Амжилт хүсье!

1. Хамгийн хэцүү! Энд орлуулах хүнийг харахад үнэхээр хэцүү байна! Гэсэн хэдий ч энэ жишээг ашиглан бүрэн шийдэж болно гадагшлуулах бүтэн дөрвөлжин . Үүнийг шийдэхийн тулд дараахь зүйлийг тэмдэглэхэд хангалттай.

Тэгвэл таны орлуулагч энд байна:

(Бид энд орлуулахдаа хаяж болохгүй гэдгийг анхаарна уу сөрөг үндэс!!! Та яагаад бодож байна вэ?)

Одоо жишээг шийдэхийн тулд зөвхөн хоёр тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:

Эдгээрийг хоёуланг нь "стандарт солих" замаар шийдэж болно (гэхдээ хоёр дахь нь нэг жишээнд!)

2. Үүнийг анзаарч, солих.

3. Тоог анхны үржүүлэгчид болгон задалж, гарсан илэрхийллийг хялбарчил.

4. Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг (эсвэл хүсвэл) гэж хувааж, орлуулгыг эсвэл хийнэ.

5. Тоонууд ба нийлмэл болохыг анхаар.

ЭКСПОНЕНТАР ТЭГШИГЧИЛГЭЭ. АХИСАН ТҮВШИН

Үүнээс гадна өөр арга замыг харцгаая - логарифмын аргыг ашиглан экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Энэ аргыг ашиглан экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь маш алдартай гэж би хэлж чадахгүй, гэхдээ зарим тохиолдолд зөвхөн энэ нь биднийг ийм зүйлд хүргэдэг. зөв шийдвэрбидний тэгшитгэл. Энэ нь ялангуяа "гэж нэрлэгддэг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглагддаг. холимог тэгшитгэл ": өөрөөр хэлбэл өөр өөр төрлийн функцүүд тохиолддог.

Жишээлбэл, дараах хэлбэрийн тэгшитгэл:

В ерөнхий тохиолдолЗөвхөн хоёр талын логарифмыг (жишээ нь суурь руу) авах замаар л шийдэж болох бөгөөд энэ нь анхны тэгшитгэлийг дараах болгон хувиргах болно.

Дараах жишээг харцгаая.

Энэ нь ойлгомжтой ODZ логарифмфункцууд, бид зөвхөн сонирхдог. Гэсэн хэдий ч, энэ нь зөвхөн логарифмын ODZ-аас биш, бас нэг шалтгааны улмаас үүсдэг. Энэ нь аль нь болохыг таахад хэцүү байх болно гэж би бодож байна.

Тэгшитгэлийнхээ хоёр талын логарифмыг суурь болгон авч үзье.

Таны харж байгаагаар манай логарифмыг авна анхны тэгшитгэлЭнэ нь биднийг зөв (мөн үзэсгэлэнтэй!) хариулт руу хурдан хүргэсэн. Өөр нэг жишээгээр дадлага хийцгээе:

Энд бас буруу зүйл байхгүй: тэгшитгэлийн хоёр талын логарифмыг суурь болгон авч үзье, тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

Орлуулах зүйл хийцгээе:

Гэсэн хэдий ч бид нэг зүйлийг алдсан! Та намайг хаана алдаа гаргасныг анзаарсан уу? Эцсийн эцэст, дараа нь:

Энэ нь шаардлагыг хангахгүй байна (хаанаас ирснийг бодоорой!)

Хариулт:

Доорх экспоненциал тэгшитгэлийн шийдийг бичиж үзээрэй.

Одоо шийдвэрээ үүнтэй харьцуул:

1. Дараахыг харгалзан хоёр талыг суурийн логарифм болгоё.

(хоёр дахь үндэс нь солигдсон тул бидэнд тохиромжгүй)

2. Суурийн логарифм:

Үүссэн илэрхийлэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлье.

ЭКСПОНЕНТАР ТЭГШИГЧИЛГЭЭ. ТОВЧ ТОДОРХОЙЛОЛТ, ҮНДСЭН Формулууд

Экспоненциал тэгшитгэл

Маягтын тэгшитгэл:

дуудсан хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэл.

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Шийдэлд хандах хандлага

• -д хүргэж байна ижил суурь
• -д хүргэж байна ижил үзүүлэлтградус
• Хувьсах солих
• Илэрхийлэлийг хялбарчлах, дээр дурдсан зүйлсийн аль нэгийг ашиглах.