Квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх хамгийн тохиромжтой аргуудын нэг бол график арга юм. Энэ нийтлэлд бид квадрат тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно графикаар. Эхлээд энэ аргын мөн чанар юу болохыг ярилцъя. Дараа нь бид алгоритмыг танилцуулж, квадрат тэгш бус байдлыг графикаар шийдвэрлэх жишээг авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

График аргын мөн чанар

Ер нь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арганэг хувьсагчтай нь зөвхөн квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд төдийгүй бусад төрлийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашиглагддаг. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график аргын мөн чанарДараа нь: зүүн ба хоёрт тохирох y=f(x) ба y=g(x) функцуудыг авч үзье баруун талтэгш бус байдал, тэдгээрийн графикийг нэг дор байгуул тэгш өнцөгт системкоординатууд ба тэдгээрийн аль нэгийн график нь нөгөөгийнхөө доор эсвэл дээр байрлаж байгааг олж мэд. Эдгээр интервалууд хаана байна

g функцийн график дээрх f функцийн график нь f(x)>g(x) тэгш бус байдлын шийдүүд;
f функцийн график g функцийн графикаас багагүй f(x)≥g(x) тэгш бус байдлын шийдүүд;
g графикийн доорх f-ийн график нь f(x) тэгш бус байдлын шийд юм.
g функцийн графикаас өндөргүй f функцийн график нь f(x)≤g(x) тэгш бус байдлын шийд юм.

Мөн f ба g функцуудын графикуудын огтлолцох цэгүүдийн абсциссууд нь f(x)=g(x) тэгшитгэлийн шийдэл гэж бид хэлэх болно.

Эдгээр үр дүнг өөрсдийн тохиолдолд шилжүүлье - a x 2 +b x+c квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх<0 (≤, >, ≥).

Бид хоёр функцийг танилцуулж байна: эхнийх нь квадрат тэгш бус байдлын зүүн талд харгалзах y=a x 2 +b x+c (f(x)=a x 2 +b x+c-тэй), хоёр дахь нь y=0 (g (-тай) x)=0 ) тэгш бус байдлын баруун талд тохирно. Хуваарь квадрат функц f нь парабол ба график юм тогтмол функц g – абсцисса тэнхлэгтэй давхцаж буй шулуун шугам Ox.

Дараа нь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график аргын дагуу нэг функцийн график нь нөгөө функцийн дээр эсвэл доор байрлаж байгаа интервалд дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай бөгөөд энэ нь квадрат тэгш бус байдлын хүссэн шийдийг бичих боломжийг бидэнд олгоно. Манай тохиолдолд бид Үхрийн тэнхлэгтэй харьцуулахад параболын байрлалыг шинжлэх хэрэгтэй.

a, b, c коэффициентүүдийн утгуудаас хамааран дараахь зургаан сонголтыг хийх боломжтой (бидний хэрэгцээнд зориулж бүдүүвч дүрслэл хангалттай бөгөөд Oy тэнхлэгийг дүрслэх шаардлагагүй, учир нь түүний байрлал нь тэнхлэгт нөлөөлөхгүй. тэгш бус байдлын шийдэл):

Энэ зурган дээр бид параболыг харж байна, түүний мөчрүүд нь дээшээ чиглэсэн, Үхрийн тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж, абсцисс нь x 1 ба x 2 байна. Энэ зураг нь коэффициент нь эерэг байх үед (энэ нь параболын салбаруудын дээш чиглэсэн чиглэлийг хариуцдаг) сонголттой тохирч байна. квадрат гурвалжны дискриминант a x 2 +b x+c (энэ тохиолдолд гурвалсан гишүүн нь хоёр үндэстэй бөгөөд бид үүнийг x 1 ба x 2 гэж тэмдэглэсэн бөгөөд бид x 1 гэж үзсэн. 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Тодорхой болгохын тулд параболын х тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хэсгийг улаанаар, харин х тэнхлэгийн доор байрлах хэсгийг цэнхэр өнгөөр дүрсэлцгээе.

Одоо эдгээр хэсгүүдэд ямар интервал тохирохыг олж мэдье. Дараахь зураг нь тэдгээрийг тодорхойлоход тусална (цаашид бид тэгш өнцөгт хэлбэрээр ижил төстэй сонголтуудыг хийх болно):

Абсцисса тэнхлэг дээр хоёр интервал (−∞, x 1) ба (x 2 , +∞) улаанаар тодорсон ба тэдгээр дээр парабола нь Ox тэнхлэгээс дээгүүр байрлаж, a x 2 +b x квадрат тэгш бус байдлын шийдийг бүрдүүлнэ. +c>0 , мөн интервал (x 1 , x 2) цэнхэр өнгөөр тодорсон, Ox тэнхлэгийн доор парабол байгаа бөгөөд энэ нь a x 2 + b x + c тэгш бус байдлын шийдийг илэрхийлнэ.<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Одоо товчхондоо: a>0 ба D=b 2 −4 хувьд a c>0 (эсвэл тэгш коэффициент b бол D"=D/4>0)

a x 2 +b x+c>0 квадрат тэгш бус байдлын шийдэл нь (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) эсвэл өөр x тэмдэглэгээнд байна. x2;
a x 2 +b x+c≥0 квадрат тэгш бус байдлын шийдэл нь (−∞, x 1 ]∪ эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x 1 ≤x≤x 2 ,

Энд x 1 ба x 2 нь квадрат гурвалсан язгуурууд a x 2 +b x+c ба x 1 байна.

Энд бид параболыг харж байна, түүний мөчрүүд нь дээшээ чиглэсэн, абсцисса тэнхлэгт хүрдэг, өөрөөр хэлбэл энэ цэгийн абсциссыг x 0 гэж тэмдэглэдэг. Оруулсан тохиолдол нь a>0 (дээш чиглэсэн салбарууд) ба D=0 ( квадрат гурвалжиннэг үндэстэй x 0 ). Жишээлбэл, y=x 2 −4·x+4 квадрат функцийг авч болно, энд a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 ба x 0 =2 байна.

Зураг дээр парабол нь Үхрийн тэнхлэгээс дээш, контактын цэгээс бусад бүх газарт, өөрөөр хэлбэл (−∞, x 0), (x 0, ∞) интервалууд дээр байрладаг болохыг тодорхой харуулж байна. Тодорхой болгохын тулд өмнөх догол мөртэй адилтгаж зураг дээрх хэсгүүдийг тодруулцгаая.

Бид дүгнэлт гаргадаг: a>0 ба D=0

a·x 2 +b·x+c>0 квадрат тэгш бус байдлын шийдэл нь (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x≠x 0;
a·x 2 +b·x+c≥0 квадрат тэгш бус байдлын шийдэл (−∞, +∞) эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x∈R ;
квадрат тэгш бус байдал a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
a x 2 +b x+c≤0 квадрат тэгш бус байдал нь x=x 0 өвөрмөц шийдэлтэй (үүнийг шүргэлтийн цэгээр өгсөн),

Энд x 0 нь дөрвөлжин гурвалсан язгуур a x 2 + b x + c.

Энэ тохиолдолд параболын салбарууд дээшээ чиглэсэн байдаг бөгөөд энэ нь байхгүй нийтлэг цэгүүдабсцисса тэнхлэгтэй. Энд бид a>0 (салбарууд дээшээ чиглэсэн) ба D нөхцөлүүдтэй байна<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Мэдээжийн хэрэг, парабола нь бүхэл бүтэн уртаараа Ox тэнхлэгийн дээгүүр байрладаг (энэ нь Ox тэнхлэгээс доогуур байх интервал байхгүй, шүргэлтийн цэг байхгүй).

Тиймээс a>0 ба D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 ба a x 2 +b x+c≥0 нь бүгдийн олонлог юм бодит тоо, ба тэгш бус байдал a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Үхрийн тэнхлэгтэй харьцуулахад дээшээ биш доош чиглэсэн мөчир бүхий параболын байршлын гурван сонголт хэвээр байна. Зарчмын хувьд тэгш бус байдлын хоёр талыг −1-ээр үржүүлснээр x 2-ийн эерэг коэффициент бүхий эквивалент тэгш бус байдал руу шилжих боломжийг олгодог тул тэдгээрийг авч үзэх шаардлагагүй. Гэхдээ эдгээр тохиолдлын талаар санаа олж авахад гэмгүй хэвээр байна. Энд байгаа үндэслэл нь ижил төстэй тул бид зөвхөн үндсэн үр дүнг бичих болно.

Шийдлийн алгоритм

Өмнөх бүх тооцооны үр дүн квадрат тэгш бус байдлыг графикаар шийдвэрлэх алгоритм:

Координатын хавтгай дээр бүдүүвч зургийг хийж, Үхэр тэнхлэгийг (Ой тэнхлэгийг дүрслэх шаардлагагүй) болон y=a·x 2 +b·x+c квадрат функцтэй харгалзах параболын тоймыг дүрсэлсэн байна. Параболын ноорог зурахын тулд хоёр цэгийг тодруулахад хангалттай.

Нэгдүгээрт, коэффициентийн утгаар түүний салбарууд хаашаа чиглэж байгааг тодорхойлно (a>0 - дээш, нэг хувьд).<0 – вниз).
Хоёрдугаарт, a x 2 + b x + c гурвалсан дөрвөлжингийн дискриминантын утгыг үндэслэн парабол абсцисса тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж (D>0-ийн хувьд), нэг цэгт хүрч байгаа эсэхийг (D= хувьд) тодорхойлно. 0), эсвэл Үхрийн тэнхлэгтэй нийтлэг цэг байхгүй (D дээр).<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении хатуу тэгш бус байдал, эсвэл хатуу бус тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед ердийн.

Зураг бэлэн болмогц үүнийг алгоритмын хоёр дахь алхамд ашиглана уу
- a·x 2 +b·x+c>0 квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед парабола абсцисса дээр байрлах интервалуудыг тодорхойлно;
- a·x 2 +b·x+c≥0 тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ параболын абсцисса тэнхлэгээс дээш байрлах интервалуудыг тодорхойлж, огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг (эсвэл шүргэгч цэгийн абсцисса) нэмнэ. тэд;
- a x 2 +b x+c тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- эцэст нь a·x 2 +b·x+c≤0 хэлбэрийн квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ парабол нь Ox тэнхлэг ба огтлолцох цэгүүдийн абсцисс (эсвэл шүргэгч цэгийн абсцисса) доор байрлах интервалууд олддог. ) тэдгээрт нэмэгдсэн;
тэдгээр нь квадрат тэгш бус байдлын хүссэн шийдийг бүрдүүлдэг бөгөөд хэрэв тийм интервалууд болон шүргэлтийн цэгүүд байхгүй бол анхны квадрат тэгш бус байдлын шийдэл байхгүй болно.

Энэ алгоритмыг ашиглан хэд хэдэн квадрат тэгш бус байдлыг шийдэх л үлдлээ.

Шийдэл бүхий жишээнүүд

Жишээ.

Тэгш бус байдлыг шийд .

Шийдэл.

Бид квадрат тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй, өмнөх догол мөрний алгоритмыг ашиглая. Эхний алхамд бид квадрат функцийн графикийг зурах хэрэгтэй . X 2-ийн коэффициент нь 2-той тэнцүү, эерэг тул параболын мөчрүүд дээшээ чиглэсэн байна. Үүнийг хийхийн тулд параболын x тэнхлэгтэй нийтлэг цэгүүд байгаа эсэхийг олж мэдье, бид квадрат гурвалсан дискриминантыг тооцоолно . Бидэнд байна . Ялгаварлан гадуурхагч нь болж хувирав тэгээс ихТиймээс гурвалсан нь хоёр жинхэнэ үндэстэй: Тэгээд , өөрөөр хэлбэл x 1 =−3 ба x 2 =1/3.

Эндээс харахад парабол нь Үхрийн тэнхлэгийг −3 ба 1/3 абсциссатай хоёр цэгээр огтолж байгаа нь тодорхой байна. Бид хатуу бус тэгш бус байдлыг шийдэж байгаа тул зураг дээрх эдгээр цэгүүдийг энгийн цэгүүд болгон дүрслэх болно. Тодруулсан өгөгдөл дээр үндэслэн бид дараах зургийг олж авна (энэ нь нийтлэлийн эхний догол мөрний эхний загварт тохирно):

Алгоритмын хоёр дахь алхам руу шилжье. Бид ≤ тэмдэгтэй хатуу бус квадрат тэгш бус байдлыг шийдэж байгаа тул абсцисса тэнхлэгийн доор параболын байрлах интервалуудыг тодорхойлж, тэдгээрт огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг нэмэх шаардлагатай.

Зургаас харахад парабол нь х тэнхлэгийн доор (−3, 1/3) интервал дээр байрладаг бөгөөд үүн дээр бид огтлолцлын цэгүүдийн абсциссуудыг, өөрөөр хэлбэл −3 ба 1/3 тоог нэмдэг. Үүний үр дүнд бид тоон интервалд хүрнэ [−3, 1/3] . Энэ бол бидний хайж байгаа шийдэл юм. Үүнийг −3≤x≤1/3 давхар тэгш бус байдал гэж бичиж болно.

Хариулт:

[−3, 1/3] эсвэл −3≤x≤1/3 .

Жишээ.

−x 2 +16 x−63 квадрат тэгш бус байдлын шийдийг ол<0 .

Шийдэл.

Ердийнх шигээ бид зураг зурж эхэлдэг. Хувьсагчийн квадратын тоон коэффициент нь сөрөг, −1, тиймээс параболын салбарууд доош чиглэсэн байна. Ялгаварлан гадуурхагчийг тооцоолъё, эсвэл илүү сайн нь, түүний дөрөв дэх хэсгийг: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Үүний утга эерэг, гурвалсан квадратын үндсийг тооцоолъё: Тэгээд , x 1 =7 ба x 2 =9. Тиймээс парабол нь Үхрийн тэнхлэгийг 7 ба 9-р абсциссатай хоёр цэгээр огтолж байна (анхны тэгш бус байдал нь хатуу тул бид эдгээр цэгүүдийг хоосон төвөөр дүрслэх болно).

Бид хатуу квадрат тэгш бус байдлыг тэмдгээр шийдэж байгаа тул<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Анхны квадрат тэгш бус байдлын шийд нь хоёр интервал (−∞, 7) , (9, +∞) болохыг зураг харуулж байна.

Хариулт:

(−∞, 7)∪(9, +∞) эсвэл өөр x тэмдэглэгээнд<7 , x>9 .

Квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ квадрат гурвалжны зүүн талын дискриминант нь тэг байх үед шүргэгч цэгийн абсциссыг хариултанд оруулах эсвэл хасах талаар болгоомжтой хандах хэрэгтэй. Энэ нь тэгш бус байдлын тэмдгээс хамаарна: хэрэв тэгш бус байдал хатуу байвал энэ нь тэгш бус байдлын шийдэл биш, харин хатуу биш бол энэ нь тийм юм.

Жишээ.

10 x 2 −14 x+4.9≤0 квадрат тэгш бус байдал дор хаяж нэг шийдтэй юу?

Шийдэл.

y=10 x 2 −14 x+4.9 функцийн графикийг зуръя. Түүний мөчрүүд дээшээ чиглэсэн, учир нь х 2-ийн коэффициент эерэг бөгөөд абсцисса тэнхлэгт 0.7 хүрдэг тул D"=(−7) 2 −10 4.9=0, эндээс буюу 0.7 хэлбэртэй байна. аравтын бутархайн схемийн хувьд дараах байдалтай байна.

Бид ≤ тэмдгээр квадрат тэгш бус байдлыг шийдэж байгаа тул түүний шийдэл нь параболын Ox тэнхлэгээс доогуур байх интервалууд, мөн шүргэгч цэгийн абсцисса байх болно. Зургаас харахад парабол нь Үхрийн тэнхлэгээс доогуур байх нэг ч цоорхой байхгүй тул түүний шийдэл нь зөвхөн шүргэгч цэгийн абсцисса, өөрөөр хэлбэл 0.7 байх болно.

Хариулт:

Энэ тэгш бус байдал нь өвөрмөц шийдэлтэй 0.7.

Жишээ.

–x 2 +8 x−16 квадрат тэгш бус байдлыг шийд<0 .

Шийдэл.

Бид квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмыг дагаж, график байгуулж эхэлнэ. x 2-ийн коэффициент сөрөг, −1 тул параболын мөчрүүд доош чиглэсэн байна. -x 2 +8 x−16 гурвалсан квадратын ялгах утгыг олъё D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0тэгээд x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Тиймээс парабола абсцисса 4-р цэгт Үхрийн тэнхлэгт хүрнэ. Зураг зурцгаая:

Бид анхны тэгш бус байдлын шинж тэмдгийг хардаг, энэ нь тэнд байна<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Манай тохиолдолд эдгээр нь нээлттэй цацрагууд (−∞, 4) , (4, +∞) . Холбоо барих цэг дээр парабола нь Үхрийн тэнхлэгээс доогуур байдаггүй тул 4 - холбоо барих цэгийн абсцисса нь шийдэл биш гэдгийг бид тусад нь тэмдэглэж байна.

Хариулт:

(−∞, 4)∪(4, +∞) эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x≠4 .

Квадрат гурвалжны дискриминант нь квадрат тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа тохиолдолд онцгой анхаарал хандуулаарай. тэгээс бага. Тэгш бус байдал ямар ч шийдэлгүй гэж энд яарах хэрэггүй (бид сөрөг дискриминанттай квадрат тэгшитгэлийн хувьд ийм дүгнэлт хийж дассан). Гол нь Д-ийн квадрат тэгш бус байдал юм<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Жишээ.

3 x 2 +1>0 квадрат тэгш бус байдлын шийдийг ол.

Шийдэл.

Ердийнх шигээ бид зураг зурж эхэлдэг. Коэффициент a нь 3, энэ нь эерэг тул параболын мөчрүүд дээш чиглэсэн байна. Дискриминантыг тооцоолно: D=0 2 −4·3·1=−12 . Дискриминант нь сөрөг тул парабол нь Ox тэнхлэгтэй нийтлэг цэггүй болно. Хүлээн авсан мэдээлэл нь бүдүүвч график хийхэд хангалттай.

Бид хатуу квадрат тэгш бус байдлыг > тэмдгээр шийддэг. Үүний шийдэл нь параболын Ox тэнхлэгээс дээш байх бүх интервалууд байх болно. Манай тохиолдолд парабол нь бүхэл бүтэн уртын дагуу х тэнхлэгээс дээгүүр байрладаг тул хүссэн шийдэл нь бүх бодит тоонуудын олонлог байх болно.

Үхэр, мөн тэдгээрт та огтлолцох цэгүүдийн абсцисса эсвэл шүргэх цэгийн абсцисса нэмэх хэрэгтэй. Гэхдээ зурагнаас харахад огтлолцох цэг байдаггүйтэй адил (парабол нь абсцисса тэнхлэгийн доор хаа сайгүй байдаг тул) тийм интервал байхгүй нь тодорхой харагдаж байна. Тиймээс анхны квадрат тэгш бус байдлын шийдэл байхгүй.

Хариулт:

шийдэл байхгүй эсвэл өөр оруулгад ∅.

Лавлагаа.

Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Алгебр: 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.
Мордкович А.Г.Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2011. - 222 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01752-3.
Мордкович А.Г.Алгебр ба математик анализын эхлэл. 11-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг (профайлын түвшин) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2008. - 287 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01027-2.

Дунд түвшний

Квадрат тэгш бус байдал. The Ultimate Guide (2019)

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг мэдэхийн тулд бид квадрат функц гэж юу болох, ямар шинж чанартай болохыг ойлгох хэрэгтэй.

Квадрат функц яагаад хэрэгтэй вэ гэж та гайхаж байсан байх? Түүний график (парабол) хаана хэрэглэгдэх вэ? Тийм ээ, та зүгээр л эргэн тойрноо харах хэрэгтэй бөгөөд та өдөр тутмын амьдралдаа өдөр бүр тааралддаг гэдгийг анзаарах болно. Биеийн тамирын хичээлд шидсэн бөмбөг хэрхэн нисдэгийг та анзаарсан уу? "Нум дагуу"? Хамгийн зөв хариулт бол "парабола" байх болно! Мөн усан оргилуурт тийрэлтэт онгоц ямар зам дагуу хөдөлдөг вэ? Тийм ээ, бас парабол! Сум эсвэл бүрхүүл яаж нисдэг вэ? Энэ нь зөв, мөн параболын хувьд! Тиймээс квадрат функцийн шинж чанарыг мэдсэнээр олон практик асуудлыг шийдвэрлэх боломжтой болно. Жишээлбэл, хамгийн их зайг хангахын тулд бөмбөгийг ямар өнцгөөр шидэх ёстой вэ? Эсвэл, хэрэв та тодорхой өнцгөөр харвавал сум хаана дуусах вэ? гэх мэт.

Квадрат функц

Тиймээс, үүнийг олж мэдье.

Тухайлбал, . Энд ямар тэнцүү вэ? За, мэдээжийн хэрэг!

Яах вэ, өөрөөр хэлбэл. тэгээс бага уу? Мэдээжийн хэрэг, бид "гунигтай" байна, энэ нь мөчрүүд доошоо чиглэнэ гэсэн үг юм! Графикийг харцгаая.

Энэ зураг нь функцийн графикийг харуулж байна. Түүнээс хойш, өөрөөр хэлбэл. тэгээс бага бол параболын мөчрүүд доош чиглэсэн байна. Нэмж дурдахад, та энэ параболын мөчрүүд тэнхлэгийг огтолж байгааг анзаарсан байх, энэ нь тэгшитгэл нь 2 үндэстэй бөгөөд функц нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авдаг гэсэн үг юм!

Анх бид квадрат функцийн тодорхойлолтыг өгөхдөө зарим тоо гэж хэлсэн. Тэд тэгтэй тэнцүү байж чадах уу? За, тэд мэдээж чадна! Би бүр илүү том нууцыг илчлэх болно (энэ нь огт нууц биш, гэхдээ дурдах нь зүйтэй): эдгээр тоонд (болон) ямар ч хязгаарлалт байхгүй!

За тэгвэл тэгтэй тэнцүү бол графикууд юу болохыг харцгаая.

Таны харж байгаагаар, авч үзэж буй функцүүдийн (ба) графикууд шилжсэн тул тэдгээрийн орой нь координаттай цэг дээр, өөрөөр хэлбэл тэнхлэгүүдийн огтлолцол дээр байгаа бөгөөд энэ нь салбаруудын чиглэлд ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй. . Тиймээс тэд координатын системийн дагуу параболын графикийн "хөдөлгөөнийг" хариуцдаг гэж бид дүгнэж болно.

Функцийн график нь нэг цэгийн тэнхлэгт хүрнэ. Энэ нь тэгшитгэл нь нэг үндэстэй гэсэн үг юм. Тиймээс функц нь тэгээс их буюу тэнцүү утгыг авдаг.

Бид функцийн графиктай ижил логикийг баримталдаг. Энэ нь нэг цэг дээр x тэнхлэгт хүрдэг. Энэ нь тэгшитгэл нь нэг үндэстэй гэсэн үг юм. Тиймээс функц нь тэгээс бага буюу тэнцүү утгыг авдаг, өөрөөр хэлбэл.

Тиймээс илэрхийллийн тэмдгийг тодорхойлохын тулд хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол тэгшитгэлийн үндсийг олох явдал юм. Энэ нь бидэнд маш ашигтай байх болно.

Квадрат тэгш бус байдал

Ийм тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ квадрат функц хаана их, бага эсвэл тэгтэй тэнцүү болохыг тодорхойлох чадвар хэрэгтэй болно. Энэ нь:

Хэрэв бид хэлбэрийн тэгш бус байдал байгаа бол үнэн хэрэгтээ даалгавар нь тодорхойлох явдал юм тоон интервалпарабол тэнхлэгээс дээш байрлах утгууд.
Хэрэв бид хэлбэрийн тэгш бус байдал байгаа бол үнэндээ даалгавар нь парабол тэнхлэгийн доор байрлах х утгын тоон интервалыг тодорхойлох явдал юм.

Хэрэв тэгш бус байдал нь хатуу биш бол язгуурууд (параболын тэнхлэгтэй огтлолцох координатууд) хатуу тэгш бус байдлын үед хүссэн тоон интервалд орно.

Энэ бүхэн албан ёсоор хийгдсэн боловч цөхрөл бүү зов! Одоо жишээнүүдийг харцгаая, тэгвэл бүх зүйл байрандаа орно.

Квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ бид өгөгдсөн алгоритмыг дагаж мөрдөх бөгөөд гарцаагүй амжилт биднийг хүлээж байна!

Алгоритм	Жишээ:
1) Тэгш бус байдалд тохирох квадрат тэгшитгэлийг бичье (зүгээр л тэгш бус байдлын тэмдгийг "=" тэнцүү тэмдэг болгон өөрчилнө үү).
2) Энэ тэгшитгэлийн язгуурыг олъё.
3) Үндэсийг тэнхлэг дээр тэмдэглээд, параболын мөчрүүдийн чиглэлийг бүдүүвчээр харуул ("дээш" эсвэл "доош")
4) Квадрат функцийн тэмдэгт харгалзах тэнхлэг дээр тэмдгүүдийг байрлуулцгаая: парабол тэнхлэгээс дээш байвал бид " ", доор нь - " " тавина.
5) Тэгш бус байдлын тэмдгээс хамаарч “ ” эсвэл “ ” -д тохирох интервал(ууд)-ыг бич. Хэрэв тэгш бус байдал нь хатуу биш бол үндэс нь хатуу бол интервалд ордог;

Ойлгосон уу? Дараа нь үргэлжлүүлээд зүүгээрэй!

Жишээ:

За, бүтсэн үү? Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал шийдлийг хайх хэрэгтэй.

Шийдэл:

Тэгш бус байдлын тэмдэг нь " " тул " " тэмдгээр харгалзах интервалуудыг бичье. Тэгш бус байдал нь хатуу биш тул үндсийг интервалд оруулна.

Харгалзах квадрат тэгшитгэлийг бичье.

Үүний үндсийг олъё квадрат тэгшитгэл:

Бид тэнхлэг дээр олж авсан үндсийг схемийн дагуу тэмдэглэж, тэмдгүүдийг цэгцлээрэй.

Тэгш бус байдлын тэмдэг нь " " тул " " тэмдгээр харгалзах интервалуудыг бичье. Тэгш бус байдал нь хатуу тул үндэс нь интервалд ороогүй болно.

Харгалзах квадрат тэгшитгэлийг бичье.

Энэ квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё:

Энэ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй

Бид тэнхлэг дээр олж авсан үндсийг схемийн дагуу тэмдэглэж, тэмдгүүдийг цэгцлээрэй.

Тэгш бус байдлын тэмдэг нь " " тул " " тэмдгээр харгалзах интервалуудыг бичье. Аль ч тохиолдолд функц нь сөрөг бус утгыг авдаг. Тэгш бус байдал нь хатуу биш учраас хариулт нь байх болно.

Харгалзах квадрат тэгшитгэлийг бичье.

Энэ квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё:

Параболагийн графикийг схемийн дагуу зурж, тэмдгүүдийг цэгцэлье.

Тэгш бус байдлын тэмдэг нь " " тул " " тэмдгээр харгалзах интервалуудыг бичье. Аль ч тохиолдолд функц нь эерэг утгыг авдаг тул тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал болно.

Квадрат тэгш бус байдал. ДУНД ТҮВШИН

Квадрат функц.

“Квадрат тэгш бус байдал” сэдвийн талаар ярихаасаа өмнө квадрат функц гэж юу болох, түүний график гэж юу болохыг санацгаая.

Квадрат функц нь хэлбэрийн функц юм,

Өөрөөр хэлбэл, энэ хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт.

Квадрат функцийн график нь парабол юм (энэ нь юу болохыг санаж байна уу?). Хэрэв "а) функц нь зөвхөн эерэг утгыг авдаг бол хоёр дахь () нь зөвхөн сөрөг утгыг авдаг бол түүний салбарууд дээшээ чиглэнэ.

Тэгшитгэл () нь яг нэг язгууртай бол (жишээлбэл, ялгаварлагч нь тэг бол) энэ нь график тэнхлэгт хүрч байна гэсэн үг юм.

Дараа нь өмнөх тохиолдолтой адил " .

Тиймээс бид саяхан квадрат функц хаана тэгээс их, хаана бага байгааг хэрхэн тодорхойлохыг сурсан.

Хэрэв квадрат тэгш бус байдал нь хатуу биш бол язгуурууд нь хатуу бол тоон интервалд ордог;

Зөвхөн нэг үндэс байвал зүгээр, ижил тэмдэг хаа сайгүй байх болно. Хэрэв үндэс байхгүй бол бүх зүйл зөвхөн коэффициентээс хамаарна: хэрэв "25((x)^(2))-30x+9

Хариултууд:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Үндэс байхгүй тул зүүн талд байгаа бүх илэрхийлэл нь өмнөх коэффициентийн тэмдгийг авна.

Хэрэв та квадрат гурвалжин тэгээс их байх тоон интервалыг олохыг хүсвэл энэ нь парабол тэнхлэгээс дээш байрлах тоон интервал юм.
Хэрэв та квадрат гурвалжин тэгээс бага байх тоон интервалыг олохыг хүсвэл энэ нь парабол тэнхлэгийн доор байрлах тоон интервал юм.

Квадрат тэгш бус байдал. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Квадрат функцнь дараах хэлбэрийн функц юм: ,

Квадрат функцийн график нь парабол юм. Түүний мөчрүүд нь дээш, доош чиглэсэн байвал:

Квадрат тэгш бус байдлын төрлүүд:

Бүх квадрат тэгш бус байдлыг дараах дөрвөн төрөл болгон бууруулна.

Шийдлийн алгоритм:

Алгоритм	Жишээ:
1) Тэгш бус байдалд харгалзах квадрат тэгшитгэлийг бичье (зүгээр л тэгш бус байдлын тэмдгийг тэнцүү тэмдэгт " " болгон өөрчилнө үү).
2) Энэ тэгшитгэлийн язгуурыг олъё.
3) Үндэсийг тэнхлэг дээр тэмдэглээд, параболын мөчрүүдийн чиглэлийг бүдүүвчээр харуул ("дээш" эсвэл "доош")
4) Квадрат функцийн тэмдэгт харгалзах тэнхлэг дээр тэмдгүүдийг байрлуулцгаая: парабол тэнхлэгээс дээш байвал бид " ", доор нь - " " тавина.
5) Тэгш бус байдлын тэмдгээс хамаарч “ ” эсвэл “ ” -д тохирох интервал(ууд)-ыг бич. Хэрэв тэгш бус байдал нь хатуу биш бол үндэс нь хатуу бол интервалд ордог;

Энэ нийтлэл нь "Сэдвийг хамарсан материалыг агуулдаг. квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх" Эхлээд бид нэг хувьсагчтай квадрат тэгш бус байдал гэж юу болохыг харуулж, тэдгээрийг өгнө ерөнхий үзэл. Дараа нь бид квадрат тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар нарийвчлан авч үзье. Шийдлийн үндсэн аргуудыг үзүүлэв: график арга, интервалын аргамөн тэгш бус байдлын зүүн талд хоёр гишүүний квадратыг тусгаарлах замаар. Ердийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг өгсөн болно.

Хуудасны навигаци.

Квадрат тэгш бус байдал гэж юу вэ?

Мэдээжийн хэрэг, бид квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх талаар ярихаасаа өмнө квадрат тэгш бус байдал гэж юу болохыг тодорхой ойлгох ёстой. Өөрөөр хэлбэл, бичлэгийн төрлөөр нь квадрат тэгш бус байдлыг бусад төрлийн тэгш бус байдлаас ялгах чадвартай байх шаардлагатай.

Тодорхойлолт.

Квадрат тэгш бус байдал a x 2 +b x+c хэлбэрийн тэгш бус байдал юм<0 (вместо знака >өөр ямар ч тэгш бус байдлын тэмдэг байж болно ≤, >, ≥), энд a, b ба c нь зарим тоо, a≠0, x нь хувьсагч (хувьсагчийг өөр үсгээр тэмдэглэж болно).

Квадрат тэгш бус байдлын өөр нэр нэн даруй өгье - хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдал. Энэ нэрийг тэгш бус байдлын зүүн талд a x 2 +b x+c байгаагаар тайлбарлав.<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Мөн та заримдаа квадрат тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг квадрат тэгш бус байдлыг сонсож болно. Энэ нь бүрэн зөв биш: “квадрат” гэсэн тодорхойлолт нь y=a·x 2 +b·x+c хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон функцуудыг хэлнэ. Тэгэхээр квадрат тэгш бус байдал ба квадрат функцууд, гэхдээ квадрат тэгш бус байдал биш.

Квадрат тэгш бус байдлын зарим жишээг үзүүлье: 5 x 2 −3 x+1>0, энд a=5, b=−3 ба c=1; −2.2·z 2 −0.5·z−11≤0, энэ квадрат тэгш бус байдлын коэффициентүүд a=−2.2, b=−0.5 ба c=−11; , энэ тохиолдолд .

Квадрат тэгш бус байдлын тодорхойлолтод x 2-ийн коэффициентийг тэгээс өөр гэж үздэгийг анхаарна уу. Энэ нь ойлгомжтой, a коэффициентийн тэгтэй тэнцүү байх нь квадратыг "арилгах" бөгөөд бид хувьсагчийн квадратгүйгээр b x+c>0 хэлбэрийн шугаман тэгш бус байдалтай харьцах болно. Гэхдээ b ба c коэффициентүүд байж болно тэгтэй тэнцүү, тус тусад нь болон нэгэн зэрэг. Ийм квадрат тэгш бус байдлын жишээг энд үзүүлэв: x 2 −5≥0, энд x хувьсагчийн b коэффициент тэгтэй тэнцүү байна; −3 x 2 −0.6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 нь b ба c хоёулаа тэг байна.

Квадрат тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдэх вэ?

Одоо та квадрат тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ гэсэн асуултанд эргэлзэж болно. Үндсэндээ гурван үндсэн аргыг шийдвэрлэхэд ашигладаг:

график арга (эсвэл А.Г. Мордковичийн адил функциональ-график),
интервалын арга,
мөн хоёр гишүүний квадратыг зүүн талд нь тусгаарлах замаар квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

Графикийн хувьд

Одоо бидний авч үзэж буй квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга нь: сургуулийн сурах бичигалгебрийг график гэж нэрлэдэггүй. Гэсэн хэдий ч үндсэндээ энэ бол тэр юм. Түүнээс гадна анхны танил тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график аргаихэвчлэн квадрат тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ гэсэн асуулт гарч ирэх үед эхэлдэг.

a x 2 +b x+c квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга<0 (≤, >, ≥) нь y=a x 2 +b x+c квадрат функцийн графикт дүн шинжилгээ хийх интервалуудыг олохоос бүрдэнэ. заасан функцсөрөг, эерэг, эерэг бус, сөрөг бус утгыг авдаг. Эдгээр интервалууд нь a x 2 +b x+c квадрат тэгш бус байдлын шийдлүүдийг бүрдүүлнэ.<0 , a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≤0 ба a x 2 +b x+c≥0 тус тус байна.

Интервалын арга

Нэмэлт нэг хувьсагчтай квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график аргаинтервалын арга нь маш тохиромжтой бөгөөд энэ нь өөрөө маш түгээмэл бөгөөд шийдвэрлэхэд тохиромжтой янз бүрийн тэгш бус байдал, зөвхөн дөрвөлжин биш. Түүний онолын талТэд квадрат тэгш бус байдлыг шийдэж сурахад 8, 9-р ангийн алгебрийн хичээлийн хамрах хүрээнээс гадуур байдаг. Тиймээс бид энд орохгүй онолын үндэслэлинтервалын арга, гэхдээ энэ нь квадрат тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэхэд анхаарлаа хандуулцгаая.

a x 2 +b x+c квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхтэй холбоотой интервалын аргын мөн чанар<0 (≤, >, ≥) нь квадрат гурвалсан тоо a x 2 + b x+c гэсэн утгыг агуулсан тэмдгүүдийг хуваах интервал дээр тодорхойлоход оршино. координатын тэнхлэгэнэ гурвалсан тооны тэг (хэрэв байгаа бол). Хасах тэмдэгтэй интервалууд a x 2 +b x+c квадрат тэгш бус байдлын шийдийг бүрдүүлнэ.<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 байх ба хатуу бус тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ гурвалсан тооны тэгтэй харгалзах цэгүүдийг заасан интервалд нэмнэ.

Энэ аргын бүх нарийн ширийн зүйл, түүний алгоритм, орон зайд тэмдэг байрлуулах дүрмүүдтэй танилцаж, анхаарч үзээрэй. бэлэн шийдлүүд ердийн жишээнүүдДээрх зургуудын тусламжтайгаар та интервалын аргыг ашиглан квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх өгүүллийн материалыг үзэж болно.

Хоёр гишүүнийг квадрат болгох замаар

График арга ба интервалын аргаас гадна квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх өөр аргууд байдаг. Мөн бид тэдгээрийн аль нэгэнд нь тулгуурлан ирдэг квадрат биномквадрат тэгш бус байдлын зүүн талд.

Квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх энэхүү аргын зарчим нь тэгш бус байдлын эквивалент хувиргалтыг хийх бөгөөд (x−p) 2 хэлбэрийн эквивалент тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх боломжийг олгох явдал юм. , ≥), энд p ба q нь зарим тоо юм.

Тэгш бус байдал (x−p) 2 руу хэрхэн шилжих вэ? , ≥) ба түүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар өгүүлэлд хоёр гишүүний квадратыг тусгаарлах замаар квадрат тэгш бус байдлын шийдлийг тайлбарласан болно. Мөн энэ аргыг ашиглан квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээнүүд болон шаардлагатай график дүрслэлүүд байдаг.

Квадрат руу буурдаг тэгш бус байдал

Практикт хүн ашиглахад өгөгдсөн тэгш бус байдалтай байнга тулгардаг эквивалент хувиргалт a x 2 +b x+c хэлбэрийн квадрат тэгш бус байдал руу<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Квадрат тэгш бус байдал руу буурдаг хамгийн энгийн тэгш бус байдлын жишээнүүдээс эхэлье. Заримдаа квадрат тэгш бус байдал руу шилжихийн тулд энэ тэгш бус байдлын нэр томъёог дахин цэгцлэх эсвэл нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлэхэд хангалттай. Жишээлбэл, 5≤2·x−3·x 2 тэгш бус байдлын баруун талаас бүх гишүүнийг зүүн тийш шилжүүлбэл 3·x 2 −2·x+5≤ дээр заасан хэлбэрээр квадрат тэгш бус байдал гарна. 0. Өөр нэг жишээ: 5+0.6 x 2 −x тэгш бус байдлын зүүн талыг дахин цэгцлэх<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

Сургуульд, алгебрийн хичээлийн үеэр квадрат тэгш бус байдлыг шийдэж сурахдаа тэд бас шийддэг. оновчтой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, квадрат болгон бууруулж байна. Тэдгээрийн шийдэл нь бүх нэр томъёог зүүн тал руу шилжүүлж, дараа нь тэнд үүссэн илэрхийлэлийг гүйцэтгэх замаар a·x 2 +b·x+c хэлбэрт шилжүүлэх явдал юм. Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ.

Тэгш бус байдлын олон шийдлийг ол 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .иррациональ тэгш бус байдал нь x 2 −6 x−9 квадрат тэгш бус байдалтай тэнцүү байна<0 , а логарифмын тэгш бус байдал – тэгш бус байдал x 2 +x−2≥0.

Лавлагаа.

Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Алгебр: 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.
Мордкович А.Г.Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2011. - 222 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01752-3.
Мордкович А.Г.Алгебр ба математик анализын эхлэл. 11-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг (профайлын түвшин) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2008. - 287 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01027-2.

Эрт дээр үеэс практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ хэмжигдэхүүн, хэмжигдэхүүнийг харьцуулах шаардлагатай байсан. Үүний зэрэгцээ нэг төрлийн хэмжигдэхүүнийг харьцуулах үр дүнг илэрхийлсэн их ба бага, өндөр ба бага, хөнгөн ба хүнд, чимээгүй ба чанга, хямд ба илүү үнэтэй гэх мэт үгс гарч ирэв.

Илүү бага гэсэн ойлголтууд объектыг тоолох, хэмжигдэхүүнийг хэмжих, харьцуулахтай холбоотойгоор үүссэн. Жишээлбэл, Эртний Грекийн математикчид аливаа гурвалжны тал нь нөгөө хоёр талын нийлбэрээс бага, том тал нь гурвалжны том өнцгийн эсрэг байрладаг гэдгийг мэддэг байсан. Архимед тойргийг тооцоолохдоо аливаа тойргийн периметр нь диаметрийн долооны нэгээс бага, харин араваас далан дахин их диаметртэй диаметрээс гурав дахин их хэмжээтэй тэнцүү болохыг тогтоожээ.

Тоо ба хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг > ба b тэмдгээр бэлгэдлээр бич. Хоёр тоог аль нэг тэмдгээр холбосон бичлэгүүд: > (илүү их), Та мөн доод ангиудад тоон тэгш бус байдалтай тулгарсан. Тэгш бус байдал үнэн ч байж болно, худал ч байж болно гэдгийг та мэднэ. Жишээлбэл, $\frac(1)(2) > \frac(1)(3)$ зөв байна тоон тэгш бус байдал, 0.23 > 0.235 нь буруу тоон тэгш бус байдал юм.

Үл мэдэгдэх зүйлстэй холбоотой тэгш бус байдал нь үл мэдэгдэх утгын зарим утгын хувьд үнэн, бусад нь худал байж болно. Жишээ нь: 2x+1>5 тэгш бус байдал x = 3-ийн хувьд үнэн, харин x = -3-ийн хувьд худал байна. Нэг үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын хувьд та даалгаврыг тавьж болно: тэгш бус байдлыг шийдэх. Практикт тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх асуудлуудыг тэгшитгэлийг шийдэх асуудлаас багагүй олон удаа тавьж, шийддэг. Жишээлбэл, олон эдийн засгийн асуудлуудсистемийг судлах, шийдвэрлэхэд багасдаг шугаман тэгш бус байдал. Математикийн олон салбарт тэгш бус байдал нь тэгшитгэлээс илүү түгээмэл байдаг.

Зарим тэгш бус байдал нь цорын ганц үүрэг гүйцэтгэдэг тусламж, тодорхой объект, жишээлбэл, тэгшитгэлийн үндэс байгааг батлах эсвэл үгүйсгэх боломжийг танд олгоно.

Тоон тэгш бус байдал

Та бүхэл тоог харьцуулж чадах уу? аравтын бутархай. Та харьцуулах дүрмийг мэддэг үү? энгийн бутархайижил хуваагчтай боловч өөр өөр тоогоор; ижил тоологчтой, гэхдээ өөр өөр хуваагч. Эндээс та дурын хоёр тоог ялгах тэмдгийг олох замаар харьцуулж сурах болно.

Тоонуудыг харьцуулах нь практикт өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, эдийн засагч төлөвлөсөн үзүүлэлтүүдийг бодит үзүүлэлттэй харьцуулдаг, эмч өвчтөний температурыг хэвийн, токарь нь боловсруулсан эд ангиудын хэмжээсийг стандарттай харьцуулдаг. Ийм бүх тохиолдолд зарим тоог харьцуулдаг. Тоонуудыг харьцуулах үр дүнд тоон тэгш бус байдал үүсдэг.

Тодорхойлолт.Дугаар a илүү тооб, хэрэв ялгаа a-bэерэг. Дугаар a бага тоо b, хэрэв a-b зөрүү сөрөг байвал.

Хэрэв a b-ээс их бол тэд бичнэ: a > b; хэрэв a нь b-ээс бага бол тэд бичнэ: a Иймээс a > b тэгш бус байдал нь a - b ялгаа эерэг байна, өөрөөр хэлбэл. a - b > 0. Тэгш бус байдал a дурын хоёр a ба b тооны хувьд дараагийн гуравхарилцаа a > b, a = b, a a, b тоонуудыг харьцуулах нь >, = эсвэл тэмдгүүдийн алийг нь олохыг хэлнэ. Теорем.Хэрэв a > b ба b > c байвал a > c.

Теорем.Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талд ижил тоог нэмбэл тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.
Үр дагавар.Энэ нэр томьёоны тэмдгийг эсрэгээр нь сольсноор аливаа нэр томъёог тэгш бус байдлын нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж болно.

Теорем.Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил эерэг тоогоор үржүүлбэл тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил сөрөг тоогоор үржүүлбэл тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
Үр дагавар.Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил эерэг тоонд хуваавал тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр тал ижил сөрөг тоонд хуваагдвал тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

Тоон тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмж, үржүүлж болдог гэдгийг та мэднэ. Дараа нь та тэгш бус байдалтай ижил төстэй үйлдлүүдийг хэрхэн хийхийг сурах болно. Практикт тэгш бус байдлыг нэр томъёогоор нэмэх, үржүүлэх чадварыг ихэвчлэн ашигладаг. Эдгээр үйлдлүүд нь илэрхийллийн утгыг үнэлэх, харьцуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Шийдвэр гаргахдаа янз бүрийн даалгаварИхэнхдээ тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нь нэмэх буюу үржүүлэх шаардлагатай болдог. Үүний зэрэгцээ тэгш бус байдал нь нийлбэр эсвэл үрждэг гэж заримдаа хэлдэг. Жишээлбэл, жуулчин эхний өдөр 20 гаруй км, хоёр дахь өдөр 25 гаруй км алхсан бол хоёр өдрийн дотор 45 гаруй км алхсан гэж хэлж болно. Үүний нэгэн адил тэгш өнцөгтийн урт нь 13 см-ээс бага, өргөн нь 5 см-ээс бага бол энэ тэгш өнцөгтийн талбай нь 65 см2-ээс бага гэж хэлж болно.

Эдгээр жишээг авч үзэхдээ дараахь зүйлийг ашигласан болно. Тэгш бус байдлыг нэмэх ба үржүүлэх теоремууд:

Теорем.Ижил тэмдгийн тэгш бус байдлыг нэмэх үед ижил тэмдгийн тэгш бус байдлыг олж авна: хэрэв a > b ба c > d бол a + c > b + d.

Теорем.Зүүн ба баруун тал нь эерэг ижил тэмдгийн тэгш бус байдлыг үржүүлэхэд ижил тэмдгийн тэгш бус байдал гарна: хэрэв a > b, c > d ба a, b, c, d - эерэг тоонууд, дараа нь ac > bd.

> (илүү) тэмдэгтэй тэгш бус байдал ба 1/2, 3/4 b, c Хатуу тэгш бус байдлын тэмдгүүдийн хамт > ба Үүний нэгэн адил тэгш бус байдал нь $a \geq b $ нь a тоо байна гэсэн үг юм. b-ээс их буюу тэнцүү, өөрөөр хэлбэл .ба бага биш b.

$\geq $ тэмдэг эсвэл $\leq $ тэмдгийг агуулсан тэгш бус байдлыг хатуу бус гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, $18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 $ нь хатуу тэгш бус байдал биш юм.

Хатуу тэгш бус байдлын бүх шинж чанарууд нь хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд ч хүчинтэй байдаг. Түүгээр ч барахгүй хатуу тэгш бус байдлын хувьд > тэмдгүүдийг эсрэгээр тооцсон бол цувралыг шийдэхийн тулд та мэдэж байгаа бол. хэрэглээний асуудлуудтэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр математик загварыг бий болгох хэрэгтэй. Дараа нь та үүнийг олж мэдэх болно математик загваруудОлон асуудлыг шийдэхийн тулд үл мэдэгдэх тэгш бус байдал байдаг. Бид тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тухай ойлголтыг танилцуулж, эсэхийг хэрхэн шалгахыг харуулах болно өгсөн дугаартодорхой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

Маягтын тэгш бус байдал
\(ax > b, \quad тэнхлэгт a ба b байна өгсөн тоо, мөн x нь үл мэдэгдэх, гэж нэрлэдэг нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгш бус байдал.

Тодорхойлолт.Нэг үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын шийдэл нь үл мэдэгдэхийн утга бөгөөд энэ тэгш бус байдал нь жинхэнэ тоон тэгш бус байдал болно. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь түүний бүх шийдлийг олох эсвэл байхгүй гэдгийг тогтоох гэсэн үг юм.

Та тэгшитгэлийг хамгийн энгийн тэгшитгэл болгон багасгаж шийдсэн. Үүний нэгэн адил тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ шинж чанарыг ашиглан энгийн тэгш бус байдлын хэлбэрт оруулахыг оролддог.

Нэг хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Маягтын тэгш бус байдал
$ax^2+bx+c >0 $ ба $ax^2+bx+c энд x нь хувьсагч, a, b ба c нь зарим тоо бөгөөд \(a \neq 0 $ гэж нэрлэдэг. нэг хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдал.

Тэгш бус байдлын шийдэл
$ax^2+bx+c >0 $ эсвэл $ax^2+bx+c нь \(y= ax^2+bx+c $ функц эерэг эсвэл сөрөг авах интервалыг олох гэж үзэж болно. утгууд Үүнийг хийхийн тулд $y= ax^2+bx+c$ функцийн график координатын хавтгайд хэрхэн байрлаж байгааг шинжлэхэд хангалттай: параболын мөчрүүд хаана - дээш эсвэл доош чиглэсэн байна. парабол х тэнхлэгийг огтолж байгаа бол ямар цэгүүдээр огтлолцоно.

Нэг хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм:
1) дөрвөлжин гурвалсан гишүүний ялгагчийг $ax^2+bx+c$ олж, гурвалсан гишүүн үндэстэй эсэхийг олох;
2) хэрэв гурвалсан үсэг нь үндэстэй бол тэдгээрийг x тэнхлэг дээр тэмдэглээд, тэмдэглэсэн цэгүүдээр нь бүдүүвчилсэн параболыг зурж, салаа нь > 0-ийн хувьд дээш, 0-ийн хувьд доош, 3-ын доод талд байрладаг. x тэнхлэг дээрх параболууд нь x тэнхлэгээс дээш (хэрэв тэдгээр нь $ax^2+bx+c >0$ тэгш бус байдлыг шийдвэл) эсвэл x тэнхлэгийн доор (хэрэв тэдгээр нь дараахийг шийдвэл) байрлах интервалуудыг ол. тэгш бус байдал
\(ax^2+bx+c Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Функцийг авч үзье
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Энэ функцийн домэйн нь бүх тооны олонлог юм. Функцийн тэг нь -2, 3, 5 тоонууд юм. Тэд функцийн тодорхойлолтын мужийг $(-\infty; -2), \; (-2; 3), \; () интервалд хуваадаг. 3; 5) $ ба $(5; +\infty)$

Заасан интервал бүрт энэ функцын шинж тэмдгүүд юу болохыг олж мэдье.

(x + 2)(x - 3)(x - 5) илэрхийлэл нь гурван хүчин зүйлийн үржвэр юм. Эдгээр хүчин зүйл бүрийн тэмдэглэгээг авч үзэх интервал дахь хүснэгтэд үзүүлэв.

Ерөнхийдөө функцийг томъёогоор өгье
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
Энд x нь хувьсагч, x 1, x 2, ..., x n нь хоорондоо тэнцүү биш тоонууд юм. x 1 , x 2 , ..., x n тоонууд нь функцийн тэг юм. Тодорхойлолтын мужийг функцийн тэгээр хуваах интервал бүрт функцийн тэмдэг хадгалагдаж, тэгээр дамжих үед түүний тэмдэг өөрчлөгддөг.

Энэ шинж чанарыг хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) энд x 1, x 2, ..., x n нь хоорондоо тэнцүү биш тоонууд юм.

Үзсэн арга тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргыг интервалын арга гэнэ.

Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээг өгье.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх:

$x(0.5-x)(x+4) f(x) = x(0.5-x)(x+4) функцын тэг нь \(x=0, \; x= \ цэгүүд байх нь ойлгомжтой. frac(1)(2) , \ x=-4 $

-д өргөдөл гаргах тооны тэнхлэгФункцийн тэгийг авч, интервал бүр дээрх тэмдгийг тооцоолно уу:

Функц тэгээс бага буюу тэнцүү байх интервалуудыг бид сонгож хариултыг бичнэ.

Хариулт:
$x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \аяга \left[ 4; \; +\infty \баруун) $

"Квадрат тэгш бус байдал, шийдлийн жишээ" сэдвээр хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

9-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрийн сургалтын хэрэглэгдэхүүн, симуляторууд
7-9-р ангийн "Ойлгомжтой геометр" цахим сурах бичиг
Боловсролын цогцолбор 1С: "Геометр, 9-р анги"

Залуус аа, бид квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг аль хэдийн мэддэг болсон. Одоо квадрат тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурцгаая.
Квадрат тэгш бус байдалЭнэ төрлийн тэгш бус байдлыг:

$ax^2+bx+c>0$.

Тэгш бус байдлын тэмдэг нь дурын байж болно, a, b, c коэффициентүүд нь дурын тоо байж болно ($a≠0$).
Шугаман тэгш бус байдлын хувьд бидний тодорхойлсон бүх дүрэм энд бас ажилладаг. Эдгээр дүрмийг өөрөө давт!

Өөр нэг чухал дүрмийг танилцуулъя:
Гурвалсан гишүүнд $ax^2+bx+c$ байвал сөрөг ялгаварлагч, тэгвэл x-ийн дурын утгыг орлуулбал гурвалсан гишүүний тэмдэг нь а коэффициентийн тэмдэгтэй ижил байна.

Квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээ

график зурах эсвэл интервалыг зурах замаар шийдэж болно. Тэгш бус байдлын шийдлүүдийн жишээг авч үзье.

Жишээ.
1. Тэгш бус байдлыг шийд: $x^2-2x-8
Шийдэл:
$x^2-2x-8=0$ тэгшитгэлийн язгуурыг олъё.
$x_1=4$ ба $x_2=-2$.

Квадрат тэгшитгэлийг зуръя. X тэнхлэг нь 4 ба -2 цэгүүдэд огтлолцоно.
Функцийн график нь x тэнхлэгийн доор байрладаг бол манай квадрат гурвалсан тоо тэгээс бага утгыг авдаг.
Функцийн графикийг харвал бид дараах хариултыг авна: $x^2-2x-8 Хариулт: $-2

2. Тэгш бус байдлыг шийд: $5x-6

Шийдэл:
Тэгш бус байдлыг хувиргая: $-x^2+5x-6 Тэгш бус байдлыг хасах нэгд хуваая. Тэмдгийг өөрчлөхөө мартаж болохгүй: $x^2-5x+6>0$.
Гурвалсан гишүүний язгуурыг олъё: $x_1=2$ ба $x_2=3$.

Х тэнхлэг 2 ба 3 цэгт огтлолцох квадрат тэгшитгэлийн графикийг байгуулъя.

Функцийн график нь x тэнхлэгээс дээгүүр байрласан тохиолдолд манай квадрат гурвалсан тоо тэгээс их утгыг авдаг. Функцийн графикийг харвал бид $5x-6 гэсэн хариултыг авна Хариулт: $ x 3 $.

3. Тэгш бус байдлыг шийд: $2^2+2x+1≥0$.

Шийдэл:
Гурвалсан гишүүнийхээ язгуурыг олъё, үүний тулд бид дискриминантыг тооцоолно: $D=2^2-4*2=-4 Дискриминант нь тэгээс бага. Эхэндээ оруулсан дүрмээ ашиглая. Тэгш бус байдлын тэмдэг нь квадратын коэффициентийн тэмдэгтэй ижил байх болно. Манай тохиолдолд коэффициент эерэг, энэ нь x-ийн аль ч утгын хувьд бидний тэгшитгэл эерэг байх болно гэсэн үг юм.
Хариулт: Бүх x-ийн хувьд тэгш бус байдал тэгээс их байна.

4. Тэгш бус байдлыг шийд: $x^2+x-2
Шийдэл:
Гурвалсан гишүүний язгуурыг олоод координатын шулуун дээр байрлуулъя: $x_1=-2$ ба $x_2=1$.

Хэрэв $x>1$ ба $x бол $x>-2$ ба $x бол Хариулт: $x>-2$ ба $x