Асуудлыг шийдье. Бидэнд хоёр төрлийн жигнэмэг байна. Зарим нь шоколад, бусад нь энгийн. 48 шоколадтай жигнэмэг байдаг ба 36 энгийн жигнэмэгийг аль болох олон болгох хэрэгтэй. боломжит тообэлэг, гэхдээ та бүгдийг нь ашиглах хэрэгтэй.
Энэ хоёр тоо хоёулаа бэлэгний тоонд хуваагдах ёстой тул эхлээд эдгээр хоёр тоо тус бүрийн бүх хуваагчийг бичье.
Бид авдаг
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Нэг ба хоёр дахь тоо хоёулаа байх нийтлэг хуваагчдыг олцгооё.
Нийтлэг хүчин зүйлүүд нь: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Хамгийн том нийтлэг хүчин зүйл бол 12. Энэ тоог 36 ба 48 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хүчин зүйл гэж нэрлэдэг.
Хүлээн авсан үр дүнд үндэслэн бид бүх жигнэмэгээс 12 бэлэг хийж болно гэж дүгнэж болно. Нэг ийм бэлэг нь 4 шоколадтай жигнэмэг, 3 энгийн жигнэмэг байх болно.
Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох
- a ба b хоёр тоог үлдэгдэлгүйгээр хуваах хамгийн том натурал тоог эдгээр тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч гэнэ.
Заримдаа оруулгыг богиносгохын тулд GCD товчлолыг ашигладаг.
Зарим хос тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь нэг байдаг. Ийм тоонуудыг дууддаг харилцан анхны тоонууд.Жишээлбэл, 24 ба 35 тоонууд нь GCD =1 байна.
Хамгийн том нийтлэг хуваагчийг хэрхэн олох вэ
Хамгийн томийг нь олохын тулд нийтлэг хуваагчЭдгээр тооны хуваагчдыг бүгдийг нь бичих шаардлагагүй.
Та үүнийг өөрөөр хийж болно. Нэгдүгээрт, хоёр тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваа.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Одоо эхний дугаарын өргөтгөлд багтсан хүчин зүйлсээс бид хоёр дахь дугаарын өргөтгөлд ороогүй бүх зүйлийг хасах болно. Манай тохиолдолд эдгээр нь хоёр дэусе юм.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Үлдсэн хүчин зүйлүүд нь 2, 2, 3. Тэдний үржвэр нь 12. Энэ тоо нь 48 ба 36 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.
Энэ дүрмийг гурав, дөрөв гэх мэт тохиолдолд сунгаж болно. тоо.
Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох ерөнхий схем
- 1. Тоонуудыг анхны хүчин зүйлд хуваа.
- 2. Эдгээр тоонуудын аль нэгийг тэлэхэд орсон хүчин зүйлсээс бусад тооны өргөтгөлд ороогүйг нь хас.
- 3. Үлдсэн хүчин зүйлсийн үржвэрийг тооцоол.
Хоёр ба түүнээс дээш тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг хэрхэн олохыг сурахын тулд натурал, анхны, нийлмэл тоо гэж юу болохыг ойлгох хэрэгтэй.
Натурал тоо нь бүхэл объектыг тоолоход ашигладаг аливаа тоо юм.
Хэрэв натурал тоог зөвхөн өөртөө болон нэгд хуваах боломжтой бол түүнийг анхны тоо гэнэ.
Бүх натурал тоог өөртөө болон нэгээр хувааж болно, гэхдээ цорын ганц тэгш анхны тоо нь 2, бусад бүх тоог хоёр хувааж болно. Тиймээс зөвхөн сондгой тоонууд анхны байж болно.
Олон тооны анхны тоо байдаг бүрэн жагсаалттэд байхгүй. GCD-ийг олохын тулд ийм тоо бүхий тусгай хүснэгтүүдийг ашиглах нь тохиромжтой.
Ихэнх натурал тоонуудыг зөвхөн нэгээр нь төдийгүй өөр тоонд хувааж болно. Жишээлбэл, 15-ын тоог өөр 3 ба 5-д хувааж болно. Бүгдийг нь 15-ын хуваагч гэж нэрлэдэг.
Тиймээс аливаа А-ийн хуваагч нь түүнийг үлдэгдэлгүйгээр хувааж болох тоо юм. Хэрэв тоо хоёроос дээш байвал байгалийн хуваагч, үүнийг нийлмэл гэж нэрлэдэг.
30 тоо нь 1, 3, 5, 6, 15, 30 гэх мэт хуваагчтай байж болно.
15 ба 30 нь 1, 3, 5, 15 гэсэн ижил хуваагчтай болохыг та анзаарах болно. Энэ хоёр тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 15 юм.
Тиймээс А ба В тоонуудын нийтлэг хуваагч нь тэдгээрийг бүхэлд нь хувааж болох тоо юм. Хамгийн том нь хамгийн их гэж үзэж болно нийт тоо, тэдгээрийг хувааж болно.
Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд дараахь товчилсон бичээсийг ашиглана.
GCD (A; B).
Жишээлбэл, gcd (15; 30) = 30.
Натурал тооны бүх хуваагчийг бичихийн тулд дараах тэмдэглэгээг ашиглана.
D (15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
IN энэ жишээндНатурал тоо нь зөвхөн нэг нийтлэг хүчин зүйлтэй. Тэднийг харьцангуй анхны гэж нэрлэдэг тул эв нэгдэл нь тэдний хамгийн том нийтлэг хуваагч юм.
Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг хэрхэн олох вэ
Хэд хэдэн тооны gcd-г олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:
Натурал тоо бүрийн бүх хуваагчийг тусад нь олох, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг хүчин зүйл (анхны тоо) болгон үржүүлэх;
Өгөгдсөн тооны бүх ижил хүчин зүйлийг сонгох;
Тэдгээрийг хамтдаа үржүүл.
Жишээлбэл, 30 ба 56 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг тооцоолохын тулд та дараахь зүйлийг бичнэ.
Төөрөгдөл гаргахгүйн тулд босоо багана ашиглан хүчин зүйлийг бичих нь тохиромжтой. Шугамын зүүн талд та ногдол ашгийг, баруун талд нь хуваагчийг байрлуулах хэрэгтэй. Ногдол ашгийн доор та үр дүнгийн коэффициентийг зааж өгөх ёстой.
Тиймээс баруун баганад шийдэлд шаардлагатай бүх хүчин зүйлүүд байх болно.
Тохиромжтой болгох үүднээс ижил хуваагчийг (олдсон хүчин зүйл) доогуур зурж болно. Тэдгээрийг дахин бичиж, үржүүлж, хамгийн том нийтлэг хуваагчийг бичих хэрэгтэй.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Энэ нь тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олоход үнэхээр хялбар юм. Хэрэв та бага зэрэг дасгал хийвэл үүнийг бараг автоматаар хийж чадна.
Товчлолын түлхүүр үгс:Бүхэл тоо. Арифметик үйлдлүүднатурал тоонууд дээр. Натурал тоонуудын хуваагдах чадвар. Анхны болон нийлмэл тоо. Натурал тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах. 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11-д хуваагдах тэмдэг. Хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD), түүнчлэн хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCD). Үлдэгдэлтэй хуваах.
Бүхэл тоо- эдгээр нь объектыг тоолоход хэрэглэгддэг тоонууд юм - 1, 2, 3, 4 , ... Гэхдээ тоо 0 байгалийн биш!
Натурал тоонуудын багцыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ Н. Бичлэг "3 ∈ N"гэдэг нь гурван тоо нь натурал тооны олонлогт хамаарах ба тэмдэглэгээ гэсэн үг "0 ∉ N"тэг тоо энэ олонлогт хамаарахгүй гэсэн үг.
Аравтын тооллын систем - байрлал тогтоох системрадикал 10 .
Натурал тоон дээрх арифметик үйлдлүүд
Натурал тоонуудын хувьд дараах үйлдлүүдийг тодорхойлно. нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах,экспонентаци, үндэс олборлолт. Эхний дөрвөн үйлдэл нь арифметик.
a, b, c натурал тоонууд байг
1. НЭМЭЛТ. Хугацаа + Нөхцөл = Нийлбэр
Нэмэх шинж чанарууд
1. Харилцааны a + b = b + a.
2. Холбогч a + (b + c) = (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.
2. ХАСАХ. Minuend - Subtrahend = ялгаа
Хасах үйлдлийн шинж чанарууд
1. a - (b + c) = a - b - c тооноос нийлбэрийг хасах.
2. Нийлбэрээс тоог хасах (a + b) - c = a + (b - c); (а + б) - в = (а - в) + б.
3. a - 0 = a.
4. a - a = 0.
3. ҮРЖҮҮЛЭХ. Үржүүлэгч * Үржүүлэгч = Бүтээгдэхүүн
Үржүүлэх шинж чанарууд
1. Харилцааны a*b = b*a.
2. Холбогч a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Тархалт (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.
4. ХЭЛБЭР. Ногдол ашиг: Хуваагч = Хуваагч
Хуваалтын шинж чанарууд
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Та тэгээр хувааж болохгүй!
3. 0: a= 0.
Процедур
1. Юуны өмнө хаалтанд байгаа үйлдлүүд.
2. Дараа нь үржүүлэх, хуваах.
3. Мөн зөвхөн төгсгөлд нэмэх хасах үйлдлийг хийнэ.
Натурал тоонуудын хуваагдах чадвар. Анхны болон нийлмэл тоо.
Натурал тооны хуваагч Ань натурал тоо юм Аүлдэгдэлгүйгээр хуваагдана. Тоо 1 нь аливаа натурал тооны хуваагч юм.
Натурал тоог дууддаг энгийн, хэрэв байгаа бол хоёрхуваагч: нэг ба тоо өөрөө. Жишээлбэл, 2, 3, 11, 23 тоонууд нь анхны тоонууд юм.
Хоёроос дээш хуваагчтай тоог дуудна нийлмэл. Жишээлбэл, 4, 8, 15, 27 тоонууд нь нийлмэл тоо юм.
Хуваагдах чадварын тест ажилладагхэд хэдэн тоо: хэрэв хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тодорхой тоонд хуваагддаг бол бүтээгдэхүүн нь энэ тоонд хуваагдана. Ажил 24 15 77 хуваасан 12 , энэ тооны үржүүлэгчээс хойш 24 хуваасан 12 .
Нийлбэрийн хуваагдах тест (ялгаа)тоо: хэрэв гишүүн бүр нь тодорхой тоонд хуваагддаг бол нийт нийлбэрийг тухайн тоонд хуваана. Хэрэв а: бТэгээд в:б, Тэр (a + c): b. Тэгээд хэрэв а: б, А в-д хуваагдахгүй б, Тэр a+cтоонд хуваагддаггүй б.
Хэрэв а: вТэгээд в: б, Тэр а: б. 72:24, 24:12 гэсэн баримтыг үндэслэн бид 72:12 гэж дүгнэж байна.
Тооныг эрх мэдлийн үржвэр болгон илэрхийлэх анхны тоонууддуудсан тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах.
Арифметикийн үндсэн теорем: дурын натурал тоо (бусад 1 ) эсвэл байна энгийн, эсвэл үүнийг зөвхөн нэг аргаар хүчин зүйлээр ангилж болно.
Тоог анхдагч хүчин зүйл болгон задлахдаа хуваагдах шинж тэмдгүүдийг ашиглан "багана" тэмдэглэгээг ашиглана, энэ тохиолдолд хуваагч нь босоо шугамын баруун талд байрлаж, хуваагчийг ногдол ашгийн доор бичнэ.
Жишээ нь, даалгавар: тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах 330 . Шийдэл:
хуваагдах шинж тэмдэг 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25, 11.
Үүнд хуваагдах шинж тэмдэг илэрдэг 6, 15, 45 гэх мэт, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүнийг үржвэрлэх боломжтой тоогоор илэрхийлнэ 2, 3, 5, 9 Тэгээд 10 .
Хамгийн том нийтлэг хуваагч
Өгөгдсөн хоёр натурал тоо тус бүрд хуваагддаг хамгийн том натурал тоог гэнэ хамгийн том нийтлэг хуваагчэдгээр тоонууд ( GCD). Жишээлбэл, GCD (10; 25) = 5; ба GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.
Хоёр натурал тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч нь тэнцүү бол 1 , дараа нь эдгээр тоонуудыг дуудна харилцан ашигтай.
Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох алгоритм(NOD)
GCD нь ихэвчлэн асуудалд ашиглагддаг. Тухайлбал, нэг ангийн сурагчдад 155 дэвтэр, 62 үзэг тэнцүү хуваасан. Энэ ангид хэдэн сурагч байдаг вэ?
Шийдэл: Энэ ангийн сурагчдын тоог олох нь дэвтэр, үзэг хоёр тэнцүү хуваагдсан тул 155 ба 62 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олоход хүрдэг. 155 = 5 31; 62 = 2 31. GCD (155; 62) = 31.
Хариулт: Ангид 31 сурагч.
Хамгийн бага нийтлэг үржвэр
Натурал тооны үржвэрүүд А-д хуваагддаг натурал тоо юм Аул мөргүй. Жишээлбэл, тоо 8 олон тоо байна: 8, 16, 24, 32 , ... Аливаа натурал тоо байна хязгааргүй олон үржвэр.
Хамгийн бага нийтлэг үржвэр(LCM) нь эдгээр тоонуудын үржвэр болох хамгийн бага натурал тоо юм.
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох алгоритм ( ҮОХ):
LCM нь ихэвчлэн асуудалд ашиглагддаг. Жишээлбэл, хоёр дугуйчин нэгэн зэрэг дугуйн зам дагуу нэг чиглэлд хөдөлсөн. Нэг нь 1 минутын дотор, нөгөө нь 45 секундын дотор тойрог хийдэг. Хөдөлгөөн эхэлснээс хойш хамгийн багадаа хэдэн минутын дараа тэд эхлэлд уулзах вэ?
Шийдэл: Эхэндээ тэд дахин уулзах минутын тоог хуваах ёстой 1 мин, түүнчлэн дээр 45 с. 1 минутын дотор = 60 секунд. Энэ нь LCM (45; 60) олох шаардлагатай байна. 45 = 32 5; 60 = 22 3 5. LCM (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Үүний үр дүнд дугуйчид 180 секундын = 3 минутын дараа гараанд таарна.
Хариулт: 3 мин.
Үлдэгдэлтэй хуваах
Хэрэв натурал тоо бол Анатурал тоонд хуваагддаггүй б, тэгвэл та хийж чадна үлдэгдэлтэй хуваах. Энэ тохиолдолд үр дүнгийн коэффициентийг дуудна бүрэн бус. Тэгш байдал шударга байна:
a = b n + r,
Хаана А- хуваагдах, б- хуваагч, n- бүрэн бус коэффициент; r- үлдэгдэл. Жишээлбэл, ногдол ашгийг тэнцүү болго 243 , хуваагч - 4 , Дараа нь 243: 4 = 60 (үлдэгдэл 3). Өөрөөр хэлбэл, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, тэгвэл 243 = 60 4 + 3 .
-д хуваагддаг тоонууд 2 үлдэгдэлгүй гэж нэрлэдэг бүр: a = 2n, n ∈ Н.
Үлдсэн дугааруудыг дуудаж байна хачин: b = 2n + 1, n ∈ Н.
Энэ бол сэдвийн хураангуй юм "Бүхэл тоо. хуваагдах шинж тэмдэг". Үргэлжлүүлэхийн тулд дараагийн алхмуудыг сонгоно уу:
- Дараагийн хураангуй руу очих:
Энэ нийтлэлийн тухай юм хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох (GCD)хоёр ба илүүтоо. Эхлээд Евклидийн алгоритмыг харцгаая, энэ нь танд хоёр тооны gcd-ийг олох боломжийг олгодог. Үүний дараа бид тоонуудын gcd-ийг нийтлэг анхны хүчин зүйлийн үржвэр болгон тооцоолох аргад анхаарлаа хандуулах болно. Дараа нь бид гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох, мөн сөрөг тоонуудын gcd-ийг тооцоолох жишээг өгөх болно.
Хуудасны навигаци.
GCD олох Евклидийн алгоритм
Хэрэв бид анхнаасаа анхны тоонуудын хүснэгтэд хандсан бол 661 ба 113 тоо нь анхны тоонууд болохыг олж мэдэх байсан бөгөөд үүнээс бид тэдгээрийн хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 1 гэж шууд хэлж болохыг анхаарна уу.
Хариулт:
GCD(661, 113)=1 .
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар GCD-ийг олох
GCD-г олох өөр аргыг авч үзье. Хамгийн том нийтлэг хуваагчийг тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон хуваах замаар олж болно. Дүрмийг томъёолъё: Хоёр бүхэл тооны GCD эерэг тоонууда ба б бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна a ба b тоонуудын анхны үржүүлэхэд олдсон бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлүүд.
GCD-ийг олох дүрмийг тайлбарлах жишээг өгье. 220 ба 600 тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлахыг бидэнд мэдэгдье, тэдгээр нь 220=2·2·5·11 ба 600=2·2·2·3·5·5 хэлбэртэй байна. Генерал энгийн хүчин зүйлүүд 220, 600 гэсэн тоог өргөтгөхөд оролцсон тоонууд нь 2, 2, 5 юм. Иймд GCD(220, 600)=2·2·5=20.
Тиймээс, хэрэв бид a, b тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгож, тэдгээрийн үржвэрийг олбол нийтлэг хүчин зүйлүүд, тэгвэл энэ нь a ба b тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох болно.
Заасан дүрмийн дагуу GCD-ийг олох жишээг авч үзье.
Жишээ.
72 ба 96 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол.
Шийдэл.
72 ба 96 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье. 
Энэ нь 72=2·2·2·3·3 ба 96=2·2·2·2·2·3 гэсэн үг. Нийтлэг анхны хүчин зүйлүүд нь 2, 2, 2, 3 юм. Тиймээс GCD(72, 96)=2·2·2·3=24.
Хариулт:
GCD(72, 96)=24 .
Энэ хэсгийн төгсгөлд GCD-ийг олох дээрх дүрмийн хүчин төгөлдөр байдал нь хамгийн их нийтлэг хуваагчийн өмчөөс хамаарна гэдгийг бид тэмдэглэж байна. GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), энд m нь эерэг бүхэл тоо юм.
Гурав ба түүнээс дээш тооны gcd-г олох
Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олохыг багасгаж болно дараалсан олдворХоёр тооны GCD. GCD-ийн шинж чанарыг судлахдаа бид үүнийг дурдсан. Тэнд бид теоремыг томъёолж, нотолсон: a 1, a 2, …, a k гэсэн хэд хэдэн тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч. тоотой тэнцүү байна d k , GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k)-ийг дараалан тооцоолох замаар олно. - 1 , a k)=d k .
Хэд хэдэн тооны gcd-г олох үйл явц ямар байхыг жишээний шийдлээс харцгаая.
Жишээ.
78, 294, 570, 36 гэсэн дөрвөн тооны хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлийг ол.
Шийдэл.
Энэ жишээнд a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36 байна.
Эхлээд Евклидийн алгоритмыг ашиглан эхний хоёр тооны 78 ба 294-ийн хамгийн том нийтлэг хуваагч d 2-ыг тодорхойлно. Хуваахдаа бид 294 = 78 3 + 60 тэгшитгэлийг авна; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 ба 18=6·3. Тиймээс d 2 =GCD(78, 294)=6.
Одоо тооцоолъё d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Евклидийн алгоритмыг дахин хэрэглэе: 570=6·95, тиймээс d 3 = GCD(6, 570)=6.
Тооцоолох л үлдлээ d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). 36 нь 6-д хуваагддаг тул d 4 = GCD(6, 36) = 6 болно.
Ийнхүү өгөгдсөн дөрвөн тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч нь d 4 =6, өөрөөр хэлбэл gcd(78, 294, 570, 36)=6 байна.
Хариулт:
GCD(78, 294, 570, 36)=6 .
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах нь мөн гурав ба түүнээс дээш тооны gcd-ийг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Энэ тохиолдолд хамгийн их нийтлэг хуваагч нь өгөгдсөн тооны бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлийн үржвэрээр олддог.
Жишээ.
Өмнөх жишээн дээрх тоонуудын gcd-ийг үндсэн хүчин зүйлчлэлийг ашиглан тооцоол.
Шийдэл.
78, 294, 570, 36 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болговол 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 болно. ·3· 3. Эдгээр дөрвөн тооны нийтлэг анхны хүчин зүйлүүд нь 2 ба 3 тоо юм. Тиймээс, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Тодорхойлолт. a ба b тоонуудыг үлдэгдэлгүйгээр хуваах хамгийн том натурал тоог гэнэ хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)эдгээр тоонууд.
24 ба 35 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олцгооё.
24-ийн хуваагч нь 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 35-ын хуваагч нь 1, 5, 7, 35 гэсэн тоонууд юм.
24 ба 35 тоонууд нь зөвхөн нэг нийтлэг хуваагчтай болохыг бид харж байна - 1 тоо. Ийм тоонуудыг нэрлэдэг. харилцан ашигтай.
Тодорхойлолт.Натурал тоонуудыг дууддаг харилцан ашигтай, хэрэв тэдгээрийн хамгийн том нийтлэг хуваагч (GCD) нь 1 бол.
Хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)өгөгдсөн тооны бүх хуваагчийг бичихгүйгээр олж болно.
48 ба 36 тоонуудыг хасч тооцвол бид дараахь зүйлийг авна.
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Эдгээр тоонуудын эхнийх нь тэлэлтэд багтсан хүчин зүйлсээс бид хоёр дахь тооны өргөтгөлд ороогүй зүйлсийг (жишээ нь, хоёр хоёр) хасдаг.
Үлдсэн хүчин зүйлүүд нь 2 * 2 * 3. Тэдний үржвэр нь 12-той тэнцүү. Энэ тоо нь 48 ба 36 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч юм. Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч нь мөн олддог.
Олох хамгийн том нийтлэг хуваагч
2) эдгээр тоонуудын аль нэгийг өргөтгөхөд багтсан хүчин зүйлсээс бусад тоонуудын өргөтгөлд ороогүй зүйлийг хасах;
3) үлдсэн хүчин зүйлсийн үржвэрийг ол.
Өгөгдсөн бүх тоо аль нэгэнд нь хуваагддаг бол энэ тоо байна хамгийн том нийтлэг хуваагчөгсөн тоо.
Жишээлбэл, 15, 45, 75, 180 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 15 тоо юм, учир нь бусад бүх тоонууд 45, 75, 180-д хуваагддаг.
Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM)
Тодорхойлолт. Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM) a ба b натурал тоонууд нь а ба b хоёрын үржвэр болох хамгийн бага натурал тоо юм. 75 ба 60 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) эдгээр тоонуудын үржвэрийг дараалан бичихгүйгээр олж болно. Үүнийг хийхийн тулд 75 ба 60-ыг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье: 75 = 3 * 5 * 5, 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Эдгээр тоонуудын эхнийх нь тэлэлтэд багтсан хүчин зүйлсийг бичээд, хоёр дахь тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2 ба 2 хүчин зүйлийг нэмж оруулъя (өөрөөр хэлбэл бид хүчин зүйлсийг нэгтгэдэг).
Бид таван хүчин зүйл авдаг 2 * 2 * 3 * 5 * 5, үржвэр нь 300. Энэ тоо нь 75 ба 60 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.
Тэд мөн гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олдог.
руу хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олхэд хэдэн натурал тоо, танд хэрэгтэй:
1) тэдгээрийг үндсэн хүчин зүйл болгон тооцох;
2) тоонуудын аль нэгийг өргөтгөхөд орсон хүчин зүйлсийг бичих;
3) үлдсэн тоонуудын өргөтгөлөөс дутуу хүчин зүйлсийг нэмж оруулах;
4) үүсэх хүчин зүйлсийн үржвэрийг ол.
Хэрэв эдгээр тоонуудын аль нэг нь бусад бүх тоонд хуваагддаг бол энэ тоо нь эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр болно гэдгийг анхаарна уу.
Жишээлбэл, 12, 15, 20, 60 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 60 байна, учир нь эдгээр тоонууд бүгдэд хуваагддаг.
Пифагор (МЭӨ VI зуун) болон түүний шавь нар тоон хуваагдах тухай асуудлыг судалжээ. Тоо, нийлбэртэй тэнцүү байнаТэд түүний бүх хуваагчийг (тоо өөрөөгүйгээр) төгс тоо гэж нэрлэсэн. Жишээлбэл, 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) тоонууд төгс байна. Дараагийн төгс тоо нь 496, 8128, 33,550,336 юм. Пифагорчууд эхний гурван төгс тоог л мэддэг байсан. Дөрөв дэх - 8128 - 1-р зуунд мэдэгдэв. n. д. Тав дахь нь - 33,550,336 - 15-р зуунд олдсон. 1983 он гэхэд 27 төгс тоо аль хэдийн мэдэгдэж байсан. Гэвч эрдэмтэд сондгой төгс тоо байдаг уу, эсвэл хамгийн том төгс тоо байдаг уу гэдгийг мэдэхгүй хэвээр байна.
Эртний математикчдийн анхны тоонуудын сонирхол нь аливаа тоо нь анхны тоо юм уу анхны тоонуудын үржвэрээр дүрслэгдэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл анхны тоонууд нь бусад натурал тоонууд баригдсан тоосго шиг байдагтай холбоотой юм.
Натурал тоонуудын цуврал дахь анхны тоонууд жигд бус тохиолддогийг та анзаарсан байх - цувралын зарим хэсэгт тэдгээр нь илүү олон, заримд нь бага байдаг. Гэхдээ бид цаашаа урагшилна тооны цуврал, бага нийтлэг анхны тоонууд байна. Асуулт гарч ирнэ: сүүлчийн (хамгийн том) анхны тоо байна уу? Эртний Грекийн математикч Евклид (МЭӨ 3-р зуун) хоёр мянган жилийн турш математикийн үндсэн сурах бичиг болсон "Элементүүд" номондоо хязгааргүй олон анхны тоо байдгийг, өөрөөр хэлбэл анхны тоо бүрийн ард бүр ч том анхны тоо байдгийг нотолсон байдаг. тоо.
Анхны тоог олохын тулд тухайн үеийн Грекийн өөр нэг математикч Эратосфен энэ аргыг гаргажээ. Тэрээр 1-ээс хэдэн тоо хүртэлх бүх тоог бичээд дараа нь анхны ч биш, нэгийг ч зурсан. нийлмэл тоо, дараа нь 2-оос хойш ирж буй бүх тоог нэгээр нь зурна (2-ын үржвэр, жишээлбэл 4, 6, 8 гэх мэт). 2-ын дараа үлдсэн эхний тоо нь 3 байсан. Дараа нь хоёрын дараа 3-ын дараа ирж буй бүх тоог (3-ын үржвэр, жишээлбэл 6, 9, 12 гэх мэт) зурсан. эцэст нь зөвхөн анхны тоонууд л үлдэв.
