• Орчуулга

Үл хөдлөх хөрөнгө анхны тоонууданх математикт суралцаж эхэлсэн Эртний Грек. Пифагорын сургуулийн математикчид (МЭӨ 500-300 он) анхны тооны ид шидийн болон тоон шинж чанарыг сонирхож байв. Тэд төгс, найрсаг тооны тухай санааг анх гаргаж ирсэн.

Төгс тоо нь өөрийн хуваагчдын нийлбэртэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 6 тооны хуваагч нь 1, 2, 3. 1 + 2 + 3 = 6. 28 тооны хуваагч нь 1, 2, 4, 7, 14. Мөн 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Хэрэв нэг тооны зохих хуваагчдын нийлбэр нь нөгөө тоотой тэнцүү бол тоонуудыг нөхөрсөг гэж нэрлэдэг ба эсрэгээр - жишээлбэл, 220 ба 284. Төгс тоо нь өөртөө ээлтэй гэж хэлж болно.

МЭӨ 300 онд Евклидийн элементүүдийн үед. хэд хэдэн нь аль хэдийн батлагдсан чухал баримтууданхны тоонуудын тухай. Эвклид "Элементүүдийн IX" номонд хязгааргүй олон тооны анхны тоо байдгийг нотолсон. Дашрамд хэлэхэд энэ нь зөрчилдөөнөөр нотлох баримтыг ашиглах анхны жишээнүүдийн нэг юм. Тэрээр мөн арифметикийн үндсэн теоремыг нотолж байна - бүхэл тоо бүрийг анхны тоонуудын үржвэр хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно.

Мөн тэрээр хэрэв 2 n -1 тоо анхны тоо бол 2 n-1 * (2 n -1) тоо төгс болно гэдгийг харуулсан. Өөр нэг математикч Эйлер 1747 онд бүх тэгш төгс тоог ийм хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг харуулж чадсан. Өнөөдрийг хүртэл сондгой төгс тоо байгаа эсэх нь тодорхойгүй байна.

МЭӨ 200 онд. Грекийн Эратосфенчууд анхны тоог олох алгоритмыг Эратосфенийн шигшүүр гэж нэрлэжээ.

Дараа нь Дундад зууны үетэй холбоотой анхны тоог судлах түүхэнд томоохон завсарлага гарсан.

Дараах нээлтүүдийг 17-р зууны эхээр математикч Фермат хийсэн. Тэрээр 4n+1 хэлбэрийн аль ч анхны тоог хоёр квадратын нийлбэр байдлаар онцгойлон бичиж болно гэсэн Альберт Жирардын таамаглалыг баталж, мөн дурын тоог дөрвөн квадратын нийлбэр болгон бичиж болно гэсэн теоремыг томьёолжээ.

Тэр хөгжсөн шинэ аргахүчин зүйлчлэл их тоо, мөн үүнийг 2027651281 = 44021 × 46061 тоон дээр харуулсан. Тэрээр мөн Фермагийн жижиг теоремыг баталсан: хэрвээ p нь анхны тоо бол ямар ч бүхэл тооны a p = a модуль p гэсэн үнэн байх болно.

Энэхүү мэдэгдэл нь "Хятадын таамаглал" гэж нэрлэгддэг байсан зүйлийн тал хувийг нотолж байгаа бөгөөд 2000 жилийн тэртээгээс үүссэн: 2 n -2 нь n-д хуваагдах тохиолдолд л n бүхэл тоо анхны байна. Таамаглалын хоёр дахь хэсэг нь худал болсон - жишээлбэл, 2,341 - 2 нь 341-д хуваагддаг боловч 341 тоо нь нийлмэл байдаг: 341 = 31 × 11.

Фермагийн Бяцхан теорем нь тоон онолын бусад олон үр дүнгийн үндэс суурь болж, тоонууд анхны тоо мөн эсэхийг шалгах аргуудын ихэнх нь өнөөг хүртэл ашиглагдаж байна.

Ферма өөрийн үеийнхэнтэй, ялангуяа Марен Мерсенне хэмээх ламтай их захидал бичдэг байв. Тэрээр нэгэн захидалдаа хэрэв n нь хоёрын зэрэгтэй байвал 2 n +1 хэлбэрийн тоонууд үргэлж анхны байх болно гэсэн таамаглал дэвшүүлжээ. Тэрээр үүнийг n = 1, 2, 4, 8 ба 16-д туршиж үзсэн бөгөөд n нь хоёрын зэрэглэл биш тохиолдолд энэ тоо нь анхны тоо байх албагүй гэдэгт итгэлтэй байв. Эдгээр тоонуудыг Фермагийн тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд 100 жилийн дараа л дараагийн тоо болох 2 32 + 1 = 4294967297 нь 641-д хуваагддаг тул анхны тоо биш гэдгийг Эйлер харуулсан.

Хэрэв n нь нийлмэл бол энэ тоо нь өөрөө нийлмэл гэдгийг харуулахад хялбар байдаг тул 2 n - 1 хэлбэрийн тоонууд бас судалгааны сэдэв болсон. Эдгээр тоонуудыг тэрээр маш их судалсан тул Мерсений тоо гэж нэрлэдэг.

Гэхдээ n нь анхны байх 2 n - 1 хэлбэрийн бүх тоо анхных биш. Жишээ нь, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Үүнийг 1536 онд анх илрүүлсэн.

Олон жилийн турш ийм төрлийн тоонууд математикчдад мэдэгдэж байсан хамгийн том анхны тоог өгдөг байв. M 19-ийг 1588 онд Каталди нотолсон бөгөөд Эйлер M 31-ийг мөн анхны анхны тоо гэдгийг батлах хүртэл 200 жилийн турш мэдэгдэж байсан хамгийн том анхны тоо байсан юм. Энэ рекорд дахин нэг зуун жил хадгалагдсан бөгөөд дараа нь Лукас M 127 нь анхны (мөн энэ нь аль хэдийн 39 оронтой тоо) гэдгийг харуулсан бөгөөд үүний дараа компьютер гарч ирснээр судалгаа үргэлжилсэн.

1952 онд M 521, M 607, M 1279, M 2203, M 2281 тоонуудын анхны байдал нь батлагдсан.

2005 он гэхэд 42 Мерсенн анхны тоо олдсон байна. Тэдгээрийн хамгийн том нь M 25964951 нь 7816230 цифрээс бүрдэнэ.

Эйлерийн ажил нь тооны онол, тэр дундаа анхны тоонуудад асар их нөлөө үзүүлсэн. Тэрээр Фермагийн Бяцхан теоремыг өргөтгөж, φ-функцийг нэвтрүүлсэн. 5-р Фермагийн тоог 2 32 +1 хүчин зүйл болгож, 60 хос нөхөрсөг тоог олж, томъёолсон (гэхдээ нотолж чадаагүй) квадрат хуульхарилцан хамаарал.

Тэрээр арга барилыг анхлан нэвтрүүлсэн математик шинжилгээболон хөгжсөн аналитик онолтоо. Тэрээр зөвхөн гармоник цуваа ∑ (1/n) төдийгүй хэлбэрийн цуваа болохыг баталсан

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Анхны тоонуудын эсрэг талын нийлбэрээр олж авсан үр дүн нь мөн ялгаатай байна. n нөхцлийн нийлбэр гармоник цувралойролцоогоор log(n) болж өсөх ба хоёр дахь эгнээ log[ log(n) ] болж илүү удаан хуваагдана. Энэ нь жишээлбэл, хэмжээ гэсэн үг юм харилцанӨнөөдрийг хүртэл олдсон бүх анхны тоонд зөвхөн 4-ийг өгөх болно, гэхдээ цуваа зөрүүтэй хэвээр байна.

Өнгөц харахад анхны тоонууд бүхэл тоонуудын дунд нэлээд санамсаргүй байдлаар тархсан юм шиг санагддаг. Жишээлбэл, 10000000-аас өмнөх 100 тоон дотор 9 анхны тоо байдаг бөгөөд энэ утгын дараа шууд 100 тоон дотор ердөө 2 байдаг. Гэхдээ том сегментүүдэд анхны тоонууд нэлээд жигд тархсан байдаг. Лежендре, Гаусс нар тэдгээрийг түгээх асуудлыг авч үзсэн. Гаусс нэг удаа найздаа 15 минутын дараа дараагийн 1000 тооны анхны тоог тоолдог гэж хэлсэн байдаг. Амьдралынхаа төгсгөлд тэрээр 3 сая хүртэлх бүх анхны тоог тоолжээ. Лежендре, Гаусс нар том n-ийн хувьд анхны нягт нь 1/log(n) байна гэж адилхан тооцоолсон. Лежендре 1-ээс n хүртэлх анхны тооны тоог тооцоолсон

π(n) = n/(лог(n) - 1.08366)

Гаусс нь логарифмын интегралтай адил юм

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

2-оос n хүртэлх интеграцийн интервалтай.

1/log(n) анхны тоонуудын нягтын тухай өгүүлбэрийг Ерөнхий тархалтын теорем гэж нэрлэдэг. Тэд 19-р зууны туршид үүнийг батлахыг хичээсэн бөгөөд Чебышев, Риман нар ахиц дэвшилд хүрсэн. Тэд үүнийг Риманы зета функцийн тэгүүдийн тархалтын талаарх батлагдаагүй таамаглал болох Риманы таамаглалтай холбосон. Анхны тоонуудын нягтыг 1896 онд Хадамард, Валле-Пуссин нар нэгэн зэрэг нотолсон.

Анхны тооны онолд шийдэгдээгүй олон асуулт байсаар байгаа бөгөөд зарим нь хэдэн зуун жилийн настай.

• Ихэр анхны таамаглал нь бие биенээсээ 2-оор ялгаатай анхны тооны хязгааргүй тооны хосуудын тухай юм.
• Голдбахын таамаглал: 4-өөс эхэлсэн тэгш тоог хоёр анхны тооны нийлбэрээр илэрхийлж болно.
• n 2 + 1 хэлбэрийн хязгааргүй тооны анхны тоо байдаг уу?
• n 2 ба (n + 1) 2 хооронд анхны тоог олох боломжтой юу? (n ба 2n хооронд үргэлж анхны тоо байдгийг Чебышев нотолсон)
• Фермагийн анхны тоо хязгааргүй гэж үү? 4-өөс хойшхи Фермагийн анхны тоо байдаг уу?
• байдаг уу арифметик прогрессямар ч урттай дараалсан анхны тоонуудын? жишээ нь 4-ийн уртын хувьд: 251, 257, 263, 269. Олдсон хамгийн их урт нь 26.
• Арифметик прогрессод дараалсан гурван анхны тооны хязгааргүй олон багц байдаг уу?
• n 2 - n + 41 нь 0 ≤ n ≤ 40 анхны тоо. Ийм анхны тоо хязгааргүй олон байдаг уу? n 2 - 79 n + 1601 томьёоны ижил асуулт. Эдгээр тоо нь 0 ≤ n ≤ 79-ийн анхны тоо юм.
• n# + 1 хэлбэрийн анхны тоо хязгааргүй олон байдаг уу? (n# нь n-ээс бага бүх анхны тоог үржүүлсний үр дүн)
• n# -1 хэлбэрийн анхны тоо хязгааргүй олон байдаг уу?
• n хэлбэрийн анхны тоо хязгааргүй олон байдаг уу? + 1?
• n хэлбэрийн анхны тоо хязгааргүй олон байдаг уу? -1?
• хэрэв p анхдагч бол 2 p -1 хүчин зүйлүүдийн дунд үргэлж анхны квадратуудыг агуулаагүй гэж үү?
• Фибоначчийн дараалалд хязгааргүй тооны анхны тоо байдаг уу?

Хамгийн том ихэр анхны тоо нь 2003663613 × 2 195000 ± 1. Эдгээр нь 58711 цифрээс бүрдэх ба 2007 онд нээгдсэн.

Хамгийн том хүчин зүйлийн анхны тоо (n төрлийн! ± 1) нь 147855! - 1. 142891 цифрээс бүрдэх ба 2002 онд олдсон.

Хамгийн том анхны анхны тоо (n# ± 1 хэлбэрийн тоо) нь 1098133# + 1 юм.

Тодорхойлолт 1. Ерөнхий тоо− гэдэг нь зөвхөн өөртөө болон 1-д хуваагддаг нэгээс их натурал тоо юм.

Өөрөөр хэлбэл, зөвхөн хоёр ялгаатай тоо нь анхны тоо юм натурал хуваагч.

Тодорхойлолт 2. Өөрөөсөө өөр нэг хуваагчтай аливаа натурал тоог дуудна нийлмэл тоо.

Өөрөөр хэлбэл анхны тоо биш натурал тоог нийлмэл тоо гэнэ. Тодорхойлолт 1-ээс ийм зүйл гарч ирнэ нийлмэл тоохоёроос илүү натурал хуваагчтай. Учир нь 1-ийн тоо анхны ч биш, нийлмэл ч биш нь зөвхөн нэг хуваагч 1-тэй бөгөөд үүнээс гадна анхны тоонуудтай холбоотой олон теоремууд нэгдмэл байдалд нийцдэггүй.

1 ба 2-р тодорхойлолтоос харахад 1-ээс их эерэг бүхэл тоо нь анхны тоо эсвэл нийлмэл тоо байна.

Доорх нь 5000 хүртэлх анхны тоог харуулах програм юм. Нүднүүдийг бөглөж, "Create" товчийг дараад хэдэн секунд хүлээнэ үү.

Анхны тооны хүснэгт

Мэдэгдэл 1. Хэрэв х- анхны тоо ба адурын бүхэл тоо, дараа нь аль нэг нь ахуваасан х, эсвэл хТэгээд ахарьцуулах тоо.

Үнэхээр. Хэрэв хАнхны тоо нь зөвхөн өөртөө хуваагдана, хэрэв бол 1 болно а-д хуваагдахгүй х, дараа нь хамгийн агуу нийтлэг хуваагч аТэгээд х 1-тэй тэнцүү байна. Дараа нь хТэгээд ахарьцуулах тоо.

Мэдэгдэл 2. Хэрэв хэд хэдэн тооны үржвэр бол а 1 , а 2 , а 3, ... анхны тоонд хуваагддаг х, дараа нь ядаж нэг тоо а 1 , а 2 , а 3, ... хуваагддаг х.

Үнэхээр. Хэрэв тоонуудын аль нь ч хуваагдахгүй байсан бол х, дараа нь тоонууд а 1 , а 2 , а 3, ...-д хамаарах анхны тоонууд байх болно х. Гэхдээ үр дүн 3 ()-аас харахад тэдний бүтээгдэхүүн а 1 , а 2 , а 3, ...-ын хувьд мөн харьцангуй анхдагч байна х, энэ нь мэдэгдлийн нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Тиймээс ядаж нэг тоо нь хуваагддаг х.

Теорем 1. Аливаа нийлмэл тоог үргэлж төлөөлж болох бөгөөд үүнээс гадна цорын ганц арга замхязгаарлагдмал тооны анхны тооны үржвэр хэлбэрээр.

Баталгаа. Болъё книйлмэл тоо, ба зөвшөөрөх а 1 нь 1 болон өөрөөсөө ялгаатай хуваагчдын нэг юм. Хэрэв а 1 нь нийлмэл, дараа нь 1-ээс гадна ба байна а 1 ба өөр хуваагч а 2. Хэрэв а 2 нь нийлмэл тоо, тэгвэл 1-ээс гадна ба байна а 2 ба өөр хуваагч а 3. Ингэж дүгнэж, тоонуудыг харгалзан үзэж байна а 1 , а 2 , а 3 , ... буурч байгаа бөгөөд энэ цувралыг агуулж байна эцсийн тоогишүүд ээ, бид энгийн тоонд хүрэх болно х 1. Дараа нь кхэлбэрээр төлөөлж болно

Тооны хоёр задрал байна гэж бодъё к:

Учир нь k=p 1 х 2 х 3 ... энгийн тоонд хуваагддаг q 1, дараа нь ядаж нэг хүчин зүйл, жишээлбэл х 1 нь хуваагдана q 1. Гэхдээ х 1 нь анхны тоо бөгөөд зөвхөн 1-д болон өөртөө хуваагддаг. Тиймээс х 1 =q 1 (учир нь q 1 ≠1)

Дараа нь (2) -аас хасч болно х 1 ба q 1:

Тиймээс, эхний тэлэлтэд нэг буюу хэд хэдэн удаа хүчин зүйл болж гарч буй анхны тоо бүр хоёр дахь тэлэлтэд хамгийн багадаа олон удаа, эсрэгээр хоёр дахь тэлэлтэд хүчин зүйл болж харагдах анхны тоо бүр гарч ирдэг гэдэгт бид итгэлтэй байна. нэг буюу хэд хэдэн удаа эхний өргөтгөлд дор хаяж ижил тооны удаа гарч ирнэ. Иймд аливаа анхны тоог хоёр өргөтгөлийн хүчин зүйл болгон оруулсан болно ижил тооудаа ба иймээс энэ хоёр тэлэлт ижил байна.■

Нийлмэл тооны өргөтгөл кдараах хэлбэрээр бичиж болно

Хаана х 1 , х 2, ... төрөл бүрийн анхны тоо, α, β, γ ... эерэг бүхэл тоо.

Өргөтгөл (3) гэж нэрлэдэг каноник тэлэлт тоо.

Анхны тоо нь натурал тоонуудын цуваанд жигд бус тохиолддог. Эгнээний зарим хэсэгт илүү олон, заримд нь бага байдаг. Бид цаашаа явах тусам тооны цуврал, бага нийтлэг анхны тоонууд байна. Асуулт гарч ирнэ, хамгийн том анхны тоо байдаг уу? Хязгааргүй олон анхны тоо байдгийг эртний Грекийн математикч Евклид баталжээ. Бид энэ нотолгоог доор харуулав.

Теорем 2. Анхны тооны тоо хязгааргүй.

Баталгаа. Хязгаарлагдмал тооны анхны тоо байна гэж бодъё, хамгийн том анхны тоо нь байг х. Бүх тоог илүү ихийг авч үзье х. Тайлбарын таамаглалаар эдгээр тоонууд нийлмэл байх ёстой бөгөөд хамгийн багадаа нэг анхны тоонд хуваагдах ёстой. Эдгээр бүх анхны тоог 1 дээр нэмсэн үржвэр болох тоог сонгоцгооё.

Тоо zилүү хучир нь 2халь хэдийн илүү х. хнь эдгээр анхны тоонуудын аль нэгэнд хуваагдахгүй, учир нь тус бүрд нь хуваахад 1-ийн үлдэгдэл гарна.Ингээд бид зөрчилдөж байна. Тиймээс хязгааргүй тооны анхны тоо байдаг.

Энэ теорем нь илүү ерөнхий теоремын онцгой тохиолдол юм:

Теорем 3. Арифметик прогрессийг өгье

Дараа нь дурын анхны тоо орно n, багтсан байх ёстой м, тиймээс in nбусад нь орох боломжгүй үндсэн хүчин зүйлүүд, үүнд ороогүй болно ммөн үүнээс гадна эдгээр үндсэн хүчин зүйлүүд n-ээс илүүгүй удаа орно м.

Харин ч эсрэгээрээ. Хэрэв тооны анхны хүчин зүйл бүр nтоонд дор хаяж хэдэн удаа оруулсан байна м, Тэр мхуваасан n.

Мэдэгдэл 3. Болъё а 1 ,а 2 ,а 3,... төрөл бүрийн анхны тоонууд багтсан мТэгэхээр

Хаана би=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Үүнийг анхаарна уу αiхүлээн зөвшөөрдөг α +1 утгууд, β j хүлээн зөвшөөрч байна β +1 утгууд, γ к хүлээн зөвшөөрч байна γ +1 утгууд, ... .

Тооны гоо үзэсгэлэн. Антипраймууд

• Түгээмэл шинжлэх ухаан

60 тоо нь арван хоёр хуваагчтай: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Хүн бүр мэддэг гайхалтай шинж чанаруудзөвхөн өөртөө болон нэгд хуваагддаг анхны тоонууд. Эдгээр тоонууд нь маш ашигтай байдаг. Харьцангуй том анхны тоог (ойролцоогоор 10,300-аас) криптографид ашигладаг. түлхүүрээр нээх, хэш хүснэгтэд псевдо санамсаргүй тоо үүсгэх гэх мэт. Үүнээс гадна маш их ашиг тустай хүний ​​соёл иргэншил, эдгээр онцгойТоонууд нь гайхалтай үзэсгэлэнтэй:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199...

Жишээлбэл, 12 тоо нь 1, 2, 3, 4, 6, 12 гэсэн зургаан хуваагчтай.

Энэ бол хэтрүүлсэн тоо учраас

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 (16 > 12)

Тохиромжтой арван хоёртын системийг хэд хэдэн зүйлд ашигладаг мөнгөний систем, түүний дотор эртний Оросын ноёдууд(12 хагас рубль = 1 алтан = 2 рязанка = 3 новгородка = 4 Тверийн мөнгө = 6 Москвагийн зоос). Таны харж байгаагаар олон тооны хуваагч нь маш чухал юм чухал чанарзоос байгаа нөхцөлд өөр өөр системүүднэг нэршил болгон багасгах ёстой.

Том хэмжээний илүүдэл тоо нь бусад салбарт ашигтай байдаг. Жишээлбэл, 5040 гэсэн тоог авч үзье. Энэ нь ямар нэгэн утгаараа өвөрмөц тоо бөгөөд түүний хуваагчдын жагсаалтаас эхнийх нь энд байна:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040

5040 бол хот судлал, улс төр, социологи зэрэгт тохиромжтой тоо юм. Афины сэтгэгч Платон 2300 жилийн өмнө үүнд анхаарлаа хандуулсан. Түүний дотор суурь ажил"Хууль" Платон хамгийн тохиромжтой язгууртны бүгд найрамдах улсад 5040 иргэн байх ёстой гэж бичжээ, учир нь ийм тооны иргэдийг ямар ч тооны тэгш бүлгүүдэд хувааж болно, арав хүртэл. Иймээс ийм системд удирдлагын болон төлөөллийн шатлалыг төлөвлөх нь тохиромжтой.

Мэдээжийн хэрэг, энэ бол идеализм ба утопи, гэхдээ 5040 тоог ашиглах нь үнэхээр тохиромжтой. Нэг хот 5040 оршин суугчтай бол түүнийгээ тэнцүү дүүрэгт хувааж, ижил тооны иргэдэд үйлчлэх үйлчилгээний газруудыг тодорхой тоогоор төлөвлөж, төлөөллийн байгууллагыг санал хураалтаар сонгох нь тохиромжтой.

Ийм нарийн төвөгтэй, хэт илүүдэл тоонуудыг "антипрайм" гэж нэрлэдэг. Хэрэв бид тодорхой тодорхойлолт өгөхийг хүсвэл эсрэг суурь тоо нь түүнээс бага бүхэл тооноос олон хүчин зүйлтэй эерэг бүхэл тоо гэж хэлж болно.

Энэ тодорхойлолтоор нэгээс бусад хамгийн бага эсрэг суурь тоо нь 2 (хоёр хуваагч), 4 (гурван хуваагч) болно. Дараах нь:

6 (дөрвөн хуваагч), 12 (зургаан хуваагч), 24, 36, 48, 60 (нэг цагийн минутын тоо), 120, 180, 240, 360 (тойрог дахь градусын тоо), 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400

Эдгээр тоонууд нь ашиглахад тохиромжтой ширээний тоглоомуудкарт, чип, мөнгө гэх мэт. Жишээлбэл, тэд танд ижил тооны карт, чип, мөнгө тараах боломжийг олгодог өөр өөр тоо хэмжээтоглогчид. Үүнтэй ижил шалтгаанаар тэдгээрийг сургуулийн сурагчид эсвэл оюутнуудын анги үүсгэхэд ашиглахад тохиромжтой байдаг - жишээлбэл, даалгавраа дуусгахын тулд тэдгээрийг ижил тооны ижил бүлэгт хуваах. Спортын багийн тоглогчдын тооны хувьд. Лигийн багуудын тооны хувьд. Хотын оршин суугчдын тооны хувьд (дээр дурдсанчлан). Хот, бүс нутаг, улсын засаг захиргааны нэгжийн хувьд.

Жишээнүүдээс харахад олон тооны эсрэг заалтуудыг практик төхөөрөмж, тооллын системд аль хэдийн ашигласан байдаг. Жишээлбэл, 60 ба 360 гэсэн тоонууд. Энэ нь тохь тухтай байдлыг харгалзан үзэхэд нэлээд таамаглаж байсан. их хэмжээнийхуваагч.

Antiprimes-ийн гоо сайхныг маргаж болно. Анхны тоо нь маргаангүй үзэсгэлэнтэй боловч эсрэг анхны тоо зарим хүнд зэвүүн мэт санагдаж магадгүй юм. Гэхдээ энэ бол өнгөцхөн сэтгэгдэл юм. Тэднийг нөгөө талаас нь харцгаая. Эцсийн эцэст эдгээр тоонуудын суурь нь анхны тоонууд юм. Анхны тоонуудаас нийлмэл тоо, илүүдэл тоо, бүтээлийн титэм нь барилгын блокоос үүссэн мэт байдаг.

Арифметикийн суурь теоремд дурын нийлмэл тоог хэд хэдэн анхны хүчин зүйлийн үржвэр хэлбэрээр илэрхийлж болно гэж заасан. Жишээлбэл,

30 = 2 × 3 × 5
550 = 2 × 5 2 × 11,

Тиймээс antiprimes нь бас өөрийн гэсэн онцгой гоо үзэсгэлэнтэй байдаг.

Тоонууд нь ялгаатай: натурал, рационал, рационал, бүхэл ба бутархай, эерэг ба сөрөг, нийлмэл ба анхны, сондгой ба тэгш, бодит гэх мэт. Энэ өгүүллээс та анхны тоо гэж юу болохыг олж мэдэх боломжтой.

Англиар ямар тоонуудыг "энгийн" гэж нэрлэдэг вэ?

Ихэнх тохиолдолд сургуулийн сурагчид математикийн хамгийн энгийн асуултуудын нэг болох анхны тоо гэж юу болох талаар хэрхэн хариулахаа мэддэггүй. Тэд ихэвчлэн анхны тоог натурал тоотой андуурдаг (өөрөөр хэлбэл хүмүүс объектыг тоолохдоо ашигладаг тоонууд, зарим эх сурвалжид тэгээс эхэлдэг бол зарим нь нэгээр эхэлдэг). Гэхдээ энэ нь бүрэн хоёр юм өөр өөр ойлголтууд. Анхны тоо гэдэг нь натурал тоо, өөрөөр хэлбэл нэгээс их, зөвхөн 2 натурал хуваагчтай бүхэл тоо, эерэг тоо юм. Түүнээс гадна эдгээр хуваагчдын нэг нь юм өгсөн дугаар, хоёр дахь нь нэг юм. Жишээлбэл, гурав нь анхны тоо бөгөөд түүнийг үлдэгдэлгүйгээр өөрөө болон нэгээс өөр тоонд хувааж болохгүй.

Нийлмэл тоо

Анхны тоонуудын эсрэг тал нь нийлмэл тоо юм. Тэд бас байгалийн, бас нэгээс том, гэхдээ хоёр биш, харин илүүхуваагч. Жишээлбэл, 4, 6, 8, 9 гэх мэт тоонууд нь байгалийн, нийлмэл, гэхдээ анхны тоо биш юм. Таны харж байгаагаар эдгээр нь ихэвчлэн тэгш тоо боловч бүгд биш юм. Гэхдээ "хоёр" нь тэгш тоо бөгөөд анхны тооны цувралын "эхний тоо" юм.

Дараалал

Анхны тооны цувралыг бүтээхийн тулд тэдгээрийн тодорхойлолтыг харгалзан бүх натурал тоонуудаас сонгох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл та зөрчилдөөнтэй ажиллах хэрэгтэй. Энэ нь байгалийн тус бүрийг авч үзэх шаардлагатай эерэг тоонуудхоёроос илүү хуваагчтай эсэхийг харах. Анхны тооноос бүрдэх цуврал (дараалал) байгуулахыг оролдъё. Жагсаалт нь хоёроор эхэлж, дараа нь гурваас эхэлдэг, учир нь энэ нь зөвхөн өөртөө болон нэгд хуваагддаг. Дөрөв тоог анхаарч үзээрэй. Дөрөв ба нэгээс өөр хуваагчтай юу? Тиймээ, энэ тоо нь 2. Тэгэхээр дөрөв нь анхны тоо биш юм. Тав нь анхны тоо (1 ба 5-аас бусад тоонд хуваагддаггүй), харин зургаа нь хуваагддаг. Ерөнхийдөө хэрэв та бүх тэгш тоонуудыг дагаж мөрдвөл "хоёр"-оос бусад нь аль нь ч анхных биш гэдгийг анзаарах болно. Эндээс бид хоёроос бусад тэгш тоо анхны тоо биш гэж дүгнэж байна. Өөр нэг нээлт: гурваас бусад гурваар хуваагддаг бүх тоо нь тэгш эсвэл сондгой тооноос үл хамааран анхны тоо биш (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 гэх мэт). Тав ба долоод хуваагддаг тоонуудад мөн адил хамаарна. Тэдний олон түмэн нь бас энгийн биш юм. Дүгнэж хэлье. Тиймээс, энгийн хүмүүст нэг оронтой тооНэг ба есөөс бусад бүх сондгой тоо багтсан бөгөөд "хоёр" нь тэгш тоо юм. Арав нь өөрөө (10, 20,... 40 гэх мэт) энгийн зүйл биш юм. Хоёр оронтой, гурван оронтой гэх мэт анхны тоог дээрх зарчмууд дээр үндэслэн тодорхойлж болно: хэрэв тэдгээр нь өөрөөсөө болон нэг хуваагчгүй бол.

Анхны тооны шинж чанарын тухай онолууд

Бүхэл тоо, тэр дундаа анхны тоонуудын шинж чанарыг судалдаг шинжлэх ухаан бий. Энэ бол дээд гэж нэрлэгддэг математикийн салбар юм. Тэрээр бүхэл тоонуудын шинж чанаруудаас гадна алгебр, трансцендент тоо, түүнчлэн функцууд янз бүрийн гарал үүсэлтэйЭдгээр тоонуудын арифметиктэй холбоотой. Эдгээр судалгаанд анхан шатны болон алгебрийн аргууд, аналитик болон геометрийг мөн ашигладаг. Тодруулбал, “Тооны онол” нь анхны тоог судалдаг.

Анхны тоо нь натурал тооны "барилгын материал" юм

Арифметикт суурь теорем гэдэг теорем байдаг. Үүний дагуу нэгээс бусад аль ч натурал тоог үржвэрээр дүрсэлж болох бөгөөд тэдгээрийн хүчин зүйлүүд нь анхны тоо, хүчин зүйлүүдийн дараалал нь өвөрмөц байдаг нь дүрслэх арга нь бас өвөрмөц гэсэн үг юм. Үүнийг задрал гэж нэрлэдэг натурал тооүндсэн хүчин зүйл болгон хувиргадаг. Энэ үйл явцын өөр нэр бий - тоонуудын хүчин зүйлчлэл. Үүн дээр үндэслэн анхны тоог "барилгын материал", натурал тоог бүтээх "блок" гэж нэрлэж болно.

Анхны тоог хайх. Энгийн байдлын тестүүд

Өөр өөр цаг үеийн олон эрдэмтэд анхны тоонуудын жагсаалтыг олох зарим зарчмуудыг (систем) олохыг хичээсэн. Аткин шигшүүр, Сундартам шигшүүр, Эратосфен шигшүүр гэж нэрлэгддэг системийг шинжлэх ухаан мэддэг. Гэсэн хэдий ч тэд ямар ч чухал үр дүнг өгдөггүй бөгөөд анхны тоог олохын тулд бид ашигладаг энгийн шалгалт. Математикчид бас алгоритм зохиосон. Тэдгээрийг ихэвчлэн анхдагч байдлын тест гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, Рабин, Миллер нарын боловсруулсан тест байдаг. Үүнийг криптографчид ашигладаг. Каял-Аграваль-Саскена тест бас байдаг. Гэсэн хэдий ч хангалттай нарийвчлалтай хэдий ч тооцоолоход маш хэцүү бөгөөд энэ нь түүний практик ач холбогдлыг бууруулдаг.

Анхны тооны олонлог хязгаартай юу?

Эртний Грекч "Зарчмууд" номондоо анхны тоонуудын багц нь хязгааргүй гэж бичжээ. эрдэмтэн Евклид. Тэрээр хэлэхдээ: "Эхний тоо хязгаартай гэж хэсэгхэн зуур төсөөлцгөөе. Дараа нь тэдгээрийг өөр хоорондоо үржүүлж, үржвэрт нэгийг нэмье. Эдгээрээс гарсан тоо энгийн үйлдлүүд, олон тооны анхны тоонуудын аль нэгэнд нь хувааж болохгүй, учир нь үлдэгдэл нь үргэлж нэг байх болно. Энэ нь анхны тооны жагсаалтад хараахан ороогүй өөр тоо байгаа гэсэн үг юм. Тиймээс бидний таамаглал үнэн биш бөгөөд энэ багц хязгаартай байж болохгүй. Евклидийн нотолгооноос гадна өөр олон зүйл бий орчин үеийн томъёо, XVIII зууны Швейцарийн математикч Леонхард Эйлер өгсөн. Үүний дагуу эхний n тооны нийлбэрийн эсрэг нийлбэр нь n тоо нэмэгдэх тусам хязгааргүй өсдөг. Анхны тооны тархалтын тухай теоремын томьёо энд байна: (n) нь n/ln (n) болж өснө.

Хамгийн том анхны тоо хэд вэ?

Яг л Леонард Эйлер тухайн үеийнхээ хамгийн том анхны тоог олж чадсан. Энэ нь 2 31 - 1 = 2147483647. Гэсэн хэдий ч 2013 он гэхэд анхны тоонуудын жагсаалтын өөр нэг хамгийн үнэн зөвийг тооцоолсон - 2 57885161 - 1. Үүнийг Мерсенний тоо гэж нэрлэдэг. Энэ нь ойролцоогоор 17 сая аравтын оронтой оронтой. Таны харж байгаагаар XVIII зууны эрдэмтний олсон тоо үүнээс хэд дахин бага байна. Ийм байх ёстой байсан, учир нь Эйлер энэ тооцоог гараар хийсэн боловч манай үеийнхэнд энэ нь тусалсан байх. компьютер. Түүгээр ч барахгүй энэ тоог Америкийн нэгэн тэнхимийн Математикийн факультетэд авсан. Энэ эрдэмтний нэрээр нэрлэгдсэн тоонууд нь Люк-Лемэрийн анхдагч байдлын шалгалтыг давдаг. Гэсэн хэдий ч шинжлэх ухаан үүгээр зогсохыг хүсэхгүй байна. 1990 онд АНУ-д үүсгэн байгуулагдсан Цахим хилийн сан (EFF) олон тооны анхны тоог олоход мөнгөн шагнал санал болгов. Хэрэв 2013 он хүртэл 1, 10 саяын дундаас олсон эрдэмтдэд шагнал гардуулах юм бол аравтын тоо, тэгвэл өнөөдөр энэ тоо 100 саяас 1 тэрбумд хүрчээ. Шагналын хэмжээ 150-250 мянган ам.доллар байна.

Тусгай анхны тооны нэрс

Тодорхой эрдэмтдийн бүтээсэн алгоритмын ачаар олдсон, энгийн байдлын тестийг давсан тоонуудыг тусгай гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийн заримыг энд дурдъя:

1. Мерссен.

4. Каллен.

6. Миллс нар.

Дээрх эрдэмтдийн нэрээр нэрлэгдсэн эдгээр тоонуудын энгийн байдлыг дараахь туршилтуудыг ашиглан тогтоов.

1. Luc-Lemaire.

2. Пепина.

3. Ризель.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge болон бусад.

Орчин үеийн шинжлэх ухаан үүгээр зогсохгүй, ойрын ирээдүйд хамгийн том анхны тоог олсноор 250,000 долларын шагнал хүртэж чадсан хүмүүсийн нэрийг дэлхий нийт мэдэх болно.

Нэгээс бусад бүх натурал тоо нь анхны болон нийлмэл тоонд хуваагдана. Анхны тоо гэдэг нь нэг ба өөрөө гэсэн хоёр хуваагчтай натурал тоо юм. Бусад бүх зүйлийг нийлмэл гэж нэрлэдэг. Анхны тооны шинж чанарыг математикийн тусгай салбар - тооны онол судалдаг. Цагирагийн онолд анхны тоо нь бууруулж болохгүй элементүүдтэй холбоотой байдаг.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73-аас эхэлсэн анхны тоонуудын дарааллыг энд үзүүлэв. , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... гэх мэт.

Арифметикийн үндсэн теоремын дагуу нэгээс их натурал тоо бүрийг анхны тоонуудын үржвэр болгон дүрсэлж болно. Үүний зэрэгцээ, энэ нь хүчин зүйлүүдийн дараалал хүртэлх натурал тоог илэрхийлэх цорын ганц арга зам юм. Үүний үндсэн дээр бид анхны тоонууд нь натурал тооны энгийн хэсгүүд гэж хэлж болно.

Натурал тооны ийм дүрслэлийг натурал тоог анхны тоо болгон задлах эсвэл тоог үржүүлэх гэж нэрлэдэг.

Хамгийн эртний нэг ба үр дүнтэй арга замуудАнхны тоог тооцоолох нь "Эрасстофенийн шигшүүр" юм.

Ерастофены шигшүүрээр анхны тоог тооцоолсны дараа өгөгдсөн тоо анхных эсэхийг шалгах шаардлагатайг практик харуулж байна. Энэ зорилгоор бүтээгдсэн тусгай туршилтууд, анхдагч байдлын тест гэж нэрлэгддэг. Эдгээр туршилтуудын алгоритм нь магадлал юм. Тэдгээрийг криптографид ихэвчлэн ашигладаг.

Дашрамд хэлэхэд, тоонуудын зарим ангиллын хувьд тусгай үр дүнтэй анхдагч тестүүд байдаг. Жишээлбэл, Мерсений тоонуудын анхдагч байдлыг шалгахын тулд Люк-Лемер тест, Фермагийн тооны анхдагч байдлыг шалгахад Пепин тестийг ашигладаг.

Хязгааргүй олон тоо байдгийг бид бүгд мэднэ. Асуулт зөв гарч ирнэ: тэгвэл хичнээн анхны тоо байдаг вэ? Мөн хязгааргүй тооны анхны тоо байдаг. Энэ саналын хамгийн эртний нотолгоо бол Элементүүдэд дурдсан Евклидийн нотолгоо юм. Евклидийн нотолгоо дараах байдалтай байна.

Анхны тооны тоог төгсгөлтэй гэж төсөөлье. Тэднийг үржүүлж, нэгийг нэмье. Үр дүнгийн тоог төгсгөлөг анхны олонлогийн аль нэгэнд хувааж болохгүй, учир нь тэдгээрийн аль нэгэнд нь хуваахад үлдсэн нь нэгийг өгдөг. Иймд тоо нь энэ багцад ороогүй зарим анхны тоонд хуваагдах ёстой.

Анхны тооны тархалтын теорем нь π(n) гэж тэмдэглэсэн n-ээс бага анхны тоонуудын тоо n / ln(n) болж өснө гэж заасан.

Анхны тоонуудыг олон мянган жил судалсны эцэст мэдэгдэж байгаа хамгийн том анхны тоо нь 243112609 − 1 юм. Энэ тоо нь 12,978,189 аравтын оронтой бөгөөд Мерсений анхны тоо (M43112609) юм. Энэхүү нээлтийг 2008 оны 8-р сарын 23-ны өдөр хийсэн Математикийн факультет uCLA их сургууль нь GIMPS-ийн нэг хэсэг болгон Мерсеннийн анхны тоонуудын төслийн хайлтыг түгээсэн.

Гэр өвөрмөц онцлог Mersenne тоонууд нь өндөр үр дүнтэй Luc-Lemaire анхдагч байдлын тест байдаг. Түүний тусламжтайгаар Мерсенне бүхэлдээ тайвширдаг урт хугацаацаг бол мэдэгдэж байгаа хамгийн том анхны тоо юм.

Гэсэн хэдий ч өнөөдрийг хүртэл анхны тоонуудтай холбоотой олон асуултад тодорхой хариулт аваагүй байна. Олон улсын математикийн 5-р их хурал дээр Эдмунд Ландау анхны тооны салбарын үндсэн асуудлуудыг томъёолжээ.

Голдбахийн асуудал буюу Ландаугийн эхний асуудал бол хоёроос дээш тэгш тоо бүрийг хоёр анхны тооны нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болохыг батлах эсвэл үгүйсгэх шаардлагатай. сондгой тоо, 5-аас их бол нийлбэрээр илэрхийлж болно гурван энгийнтоо.
Ландаугийн хоёр дахь асуудал нь "анхны ихрүүд" - ялгаа нь 2-той анхны тоонуудын багц нь хязгааргүй мөн үү гэсэн асуултын хариултыг олохыг шаарддаг.
Лежендрегийн таамаглал буюу Ландаугийн гурав дахь бодлого: n2 ба (n + 1)2 хооронд үргэлж анхны тоо байдаг нь үнэн үү?
Ландаугийн дөрөв дэх бодлого: n2 + 1 хэлбэрийн анхны тооны олонлог хязгааргүй мөн үү?
Дээр дурдсан асуудлуудаас гадна тодорхойлох асуудал бий хязгааргүй тооФибоначчийн тоо, Фермагийн тоо гэх мэт олон бүхэл дарааллын анхны тоонууд.