Нок, толгой дохихыг хэн зохион бүтээсэн бэ. Нийтлэг хуваагч ба олон

Олон хуваагч

Дараах бодлогыг авч үзье: 140 тооны хуваагчийг ол. 140 тоо нь нэг биш, хэд хэдэн хуваагчтай нь ойлгомжтой. Ийм тохиолдолд асуудал гардаг гэж хэлдэг олоншийдвэрүүд. Бүгдийг нь олъё. Юуны өмнө задалж үзье өгсөн дугаардээр үндсэн хүчин зүйлүүд:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Одоо бид бүх хуваагчийг хялбархан бичиж болно. Дээр дурдсан өргөтгөлд байгаа үндсэн хүчин зүйлүүдээс эхэлье.

Дараа нь бид анхны хуваагчдыг хосоор үржүүлэх замаар олж авсан зүйлсийг бичнэ.

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Дараа нь - гурван үндсэн хуваагчийг агуулсан:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Эцэст нь нэгж болон задарсан тоог мартаж болохгүй.

Бидний олсон бүх хуваагч хэлбэрүүд байна олонбуржгар хаалт ашиглан бичсэн 140 тооны хуваагч:

140 тооны хуваагчдын олонлог =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Ойлголтод хялбар болгох үүднээс бид хуваагчдыг энд бичсэн ( багцын элементүүд) өсөх дарааллаар, гэхдээ ерөнхийдөө энэ шаардлагагүй. Үүнээс гадна бид тэмдэглэгээний товчлолыг танилцуулж байна. "140 тооны хуваагч"-ын оронд "D(140)" гэж бичнэ. Тиймээс,

Үүнтэй адилаар та бусад аль ч натурал тооны хуваагчийн олонлогийг олох боломжтой. Жишээлбэл, задралаас

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

бид авах:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Бүх хуваагчдын олонлогоос 140 ба 105 тоонуудын хувьд тэнцүү энгийн хуваагчдыг ялгах хэрэгтэй.

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

140-ийн тоог анхны хүчин зүйл болгон задлахад хоёр нь хоёр удаа гарч ирдэг бол PD(140) олонлогт зөвхөн нэг л байдаг гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. PD(140) багц нь үндсэндээ "140 тооны анхны хүчин зүйлийг ол" гэсэн асуудлын бүх хариулт юм. Нэг хариултыг нэгээс олон удаа давтаж болохгүй нь ойлгомжтой.

Бутархай хэсгүүдийг багасгах. Хамгийн том нийтлэг хуваагч

Бутархайг авч үзье

Энэ бутархайг хуваагч (105) ба хуваагч (140) хоёрын аль алиных нь тоогоор багасгаж болохыг бид мэднэ. D(105) ба D(140) олонлогуудыг хараад тэдгээрийг бичье нийтлэг элементүүд.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

D(105) ба D(140) олонлогуудын нийтлэг элементүүд =

Сүүлийн тэгш байдлыг илүү товчоор бичиж болно, тухайлбал:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Энд "∩" ("нүхтэй цүнх") тусгай дүрс нь хоёр багцын дагуу бичигдсэнийг заана. өөр өөр талуудҮүнээс та зөвхөн нийтлэг элементүүдийг сонгох хэрэгтэй. “D(105) ∩ D(140)” гэсэн оруулгад “ уулзвар 105-аас De, 140-өөс De-ийн багц."

[Бараг тоонуудтай адил олонлогтой янз бүрийн хоёртын үйлдлийг хийж болно гэдгийг санаарай. Өөр нэг нийтлэг хоёртын үйлдэл юм холбоо, үүнийг “∪” тэмдгээр заана (“нүхтэй цүнх”). Хоёр багцын нэгдэл нь хоёр багцын бүх элементүүдийг агуулна.

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Тиймээс бид бутархай гэдгийг олж мэдсэн

олонлогт хамаарах тоонуудын аль нэгээр нь багасгаж болно

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

өөр натурал тоогоор багасгах боломжгүй. Ингээд л болоо боломжит арга замуудтовчлол (сонирхолгүй нэг товчлолоос бусад):

Мэдээжийн хэрэг, бутархайг аль болох их тоогоор багасгах нь хамгийн практик юм. IN энэ тохиолдолдЭнэ бол тэдний хэлснээр 35 гэсэн тоо юм хамгийн том нийтлэг хуваагч (GCD) 105 ба 140 тоо. Үүнийг ингэж бичнэ

gcd(105, 140) = 35.

Гэсэн хэдий ч практик дээр хэрэв бидэнд хоёр тоо өгөгдсөн бөгөөд тэдгээрийн хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох шаардлагатай бол бид ямар ч олонлогийг бүтээх ёсгүй. Хоёр тоог энгийн хүчин зүйл болгон задалж, эдгээр хоёр задралд нийтлэг байдаг хүчин зүйлсийг тодруулахад хангалттай, жишээлбэл:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Доогуур зураастай тоонуудыг үржүүлснээр (ямар ч өргөтгөл дээр) бид дараахь зүйлийг авна.

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Мэдээжийн хэрэг, доор дурдсан хоёроос илүү хүчин зүйл байж магадгүй юм.

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Үүнээс харахад энэ нь тодорхой байна

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Нөхцөл байдлыг онцгой дурдах нь зүйтэй нийтлэг хүчин зүйлүүдогтхон ч биш, онцлох зүйл байхгүй, жишээлбэл:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Энэ тохиолдолд

GCD(42, 55) = 1.

GCD-д зориулагдсан хоёр натурал тоо нэгтэй тэнцүү, гэж нэрлэдэг харилцан ашигтай. Хэрэв та ийм тоонуудаас бутархай болговол, жишээлбэл,

тэгвэл ийм бутархай байна бууруулж боломгүй.

Ерөнхийдөө бутархайг багасгах дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.

Энд ингэж таамаглаж байна аТэгээд бнь натурал тоо бөгөөд бүхэл бутархай нь эерэг байна. Хэрэв бид одоо энэ тэгш байдлын хоёр талд хасах тэмдэг нэмбэл сөрөг бутархайн харгалзах дүрмийг олж авна.

Бутархайг нэмэх, хасах. Хамгийн бага нийтлэг үржвэр

Та хоёр бутархайн нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй гэж бодъё:

Хуваагчдыг үндсэн хүчин зүйлд хэрхэн тооцдогийг бид аль хэдийн мэддэг болсон.

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Энэ өргөтгөлөөс эхлэн фракцуудыг багасгахын тулд нэн даруй гарч ирнэ нийтлэг хуваагч, эхний бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 2 ∙ 2 (хоёр дахь хувагчийн онцлон тэмдэглээгүй анхны хүчин зүйлийн үржвэр), хоёр дахь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 3-аар үржүүлэхэд хангалттай. эхний хуваагчийн онцлон тэмдэглээгүй үндсэн хүчин зүйлүүд). Үүний үр дүнд хоёр бутархайн хуваагч нь тоотой тэнцүү байх бөгөөд үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Анхны хуваагч (105 ба 140 хоёулаа) хоёулаа 420 тооны хуваагч бөгөөд 420 тоо нь эргээд хоёр хуваагчийн үржвэр бөгөөд зөвхөн олон биш, харин хамгийн бага нийтлэг үржвэр (ҮОХ) тоо 105 ба 140. Энэ нь дараах байдлаар бичигдсэн байна.

LCM(105, 140) = 420.

105 ба 140 тоонуудын задралыг нарийвчлан авч үзвэл бид үүнийг харж байна.

105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Үүний нэгэн адил дурын натурал тоонуудын хувьд бТэгээд г:

б ∙ г= LOC( б, г) ∙ GCD( б, г).

Одоо бутархайнуудынхаа нийлбэрийг дуусгая:

Хамгийн их нийтлэг хуваагч ба хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь түлхүүр юм арифметик ойлголтууд, энэ нь танд хүчин чармайлтгүйгээр ажиллах боломжийг олгодог энгийн бутархай. LCM ба хэд хэдэн бутархайн нийтлэг хуваагчийг олоход ихэвчлэн ашиглагддаг.

Үндсэн ойлголтууд

Бүхэл тооны хуваагч нь X нь үлдэгдэл үлдээхгүйгээр хуваагддаг өөр бүхэл Y тоо юм. Жишээ нь: 4-ийн хуваагч нь 2, 36 нь 4, 6, 9. Бүхэл X-ийн үржвэр нь X-д үлдэгдэлгүй хуваагдах Y тоо юм. Жишээлбэл, 3 нь 15-ын үржвэр, 6 нь 12-ын үржвэр юм.

Аливаа хос тооны хувьд бид тэдгээрийн нийтлэг хуваагч ба үржвэрийг олох боломжтой. Жишээлбэл, 6 ба 9-ийн хувьд нийтлэг үржвэр нь 18, нийтлэг хуваагч нь 3. Хосууд нь хэд хэдэн хуваагч болон үржвэртэй байж болох тул тооцоололд хамгийн том хуваагч GCD ба хамгийн бага олон тооны LCM-ийг ашигладаг.

Аль ч тооны хувьд энэ нь үргэлж нэг байдаг тул хамгийн бага хуваагч нь утгагүй юм. Үржвэрийн дараалал хязгааргүйд хүрдэг тул хамгийн их үржвэр нь бас утгагүй юм.

gcd хайж байна

Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох олон арга байдаг бөгөөд эдгээрээс хамгийн алдартай нь:

• хуваагчийг дараалан хайх, нийтлэгийг нь хосоор нь сонгох, тэдгээрийн хамгийн томыг нь хайх;
• тоонуудыг хуваагдашгүй хүчин зүйл болгон задлах;
• Евклидийн алгоритм;
• хоёртын алгоритм.

Өнөөдөр боловсролын байгууллагуудХамгийн алдартай нь анхны хүчин зүйлчлэлийн аргууд ба Евклидийн алгоритм юм. Сүүлийнх нь эргээд диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглагддаг: тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийдвэрлэх боломжийг шалгахын тулд GCD хайх шаардлагатай.

ҮОХ-г хайж байна

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг мөн дараалсан тоолох эсвэл хуваагдашгүй хүчин зүйл болгон хуваах замаар тодорхойлно. Нэмж хэлэхэд, хамгийн их хуваагч аль хэдийн тодорхойлогдсон бол LCM-ийг олоход хялбар байдаг. X ба Y тоонуудын хувьд LCM болон GCD нь дараах хамаарлаар холбогдоно.

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Жишээлбэл, хэрэв GCM(15,18) = 3 бол LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM ашиглах хамгийн тод жишээ бол нийтлэг хуваагчийг олох явдал бөгөөд энэ нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм. өгөгдсөн бутархай.

Тоонуудыг харьцуулах

Хэрэв хос тоо нь нийтлэг хуваагчгүй бол ийм хосыг хос тоо гэж нэрлэдэг. Ийм хосын gcd нь үргэлж нэгтэй тэнцүү байх ба хуваагч болон үржвэрийн хоорондын холболт дээр үндэслэн, хосын хосын gcd нь тэдгээрийн үржвэртэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 25 ба 28 тоонууд нь нийтлэг хуваагчгүй тул харьцангуй анхны тоо бөгөөд LCM(25, 28) = 700 бөгөөд энэ нь тэдний үржвэртэй тохирч байна. Ямар ч хуваагдашгүй хоёр тоо үргэлж харьцангуй анхны байх болно.

Нийтлэг хуваагч ба олон тооны машин

Манай тооны машиныг ашиглан та GCD болон LCM-ийг дурын тооны тооноос сонгох боломжтой. Нийтлэг хуваагч ба үржвэрийг тооцоолох даалгавруудыг арифметикийн 5, 6-р ангид өгсөн боловч GCD болон LCM нь гол ойлголтуудматематик бөгөөд тоон онол, планиметр, харилцааны алгебр зэрэгт ашигладаг.

Бодит амьдралын жишээнүүд

Бутархайн нийтлэг хуваагч

Олон бутархайн нийтлэг хуваагчийг олохдоо хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ашиглана. Оруул арифметикийн асуудалТа 5 бутархайг нэгтгэх хэрэгтэй:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Бутархай тоог нэмэхийн тулд илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагатай бөгөөд энэ нь LCM-ийг олох асуудлыг багасгадаг. Үүнийг хийхийн тулд тооцоолуур дээр 5 тоог сонгоод, хуваагчийн утгыг харгалзах нүдэнд оруулна. Хөтөлбөр нь LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360-ыг тооцоолох болно. Одоо та бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь LCM-ийн хуваарийн харьцаагаар тодорхойлогддог. Тиймээс нэмэлт үржүүлэгч нь дараах байдлаар харагдах болно.

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Үүний дараа бид бүх бутархайг харгалзах нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлээд:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Бид ийм бутархайг хялбархан нэгтгэж, үр дүнг 159/360 болгож чадна. Бид бутархайг 3-аар багасгаж, эцсийн хариултыг харна уу - 53/120.

Шугаман диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Шугаман диофантийн тэгшитгэл нь ax + by = d хэлбэрийн илэрхийлэл юм. Хэрэв d / gcd(a, b) харьцаа нь бүхэл тоо бол тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийдвэрлэх боломжтой. Бүхэл тоон шийдэлтэй эсэхийг мэдэхийн тулд хэд хэдэн тэгшитгэлийг шалгацгаая. Эхлээд 150x + 8y = 37 тэгшитгэлийг шалгая. Тооцоологч ашиглан бид GCD (150.8) = 2. 37/2 = 18.5-ыг хуваана. Тоо нь бүхэл тоо биш тул тэгшитгэлд бүхэл язгуур байхгүй.

1320x + 1760y = 10120 тэгшитгэлийг шалгацгаая. Тооцоологч ашиглан GCD(1320, 1760) = 440-ийг ол. 10120/440 = 23-ыг хуваа. Үүний үр дүнд бид бүхэл тоог авна, тиймээс диофантийн коэффицентийн inefffektivequables байна. .

Дүгнэлт

GCD болон LCM нь тооны онолд ихээхэн үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд ойлголтууд нь өөрөө хамгийн өргөн хэрэглэгддэг өөр өөр газар нутагматематик. Тооцоолохын тулд манай тооны машиныг ашиглана уу хамгийн том хуваагчаль ч тооны тооны хамгийн бага үржвэрүүд.

Багаж хэрэгсэлд суурилуулсан тооны машиныг зөв, зохисгүй ашиглаж дассан орчин үеийн сургуулийн сурагчдад тулгамдаж буй асуудлын нэг бол хоёр ба түүнээс дээш тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг (GCD) олох явдал юм.

Аль нэгийг нь шийдэх боломжгүй математикийн асуудал, хэрэв тэд яг юуны талаар асууж байгаа нь мэдэгдэхгүй бол. Үүнийг хийхийн тулд та энэ эсвэл энэ илэрхийлэл ямар утгатай болохыг мэдэх хэрэгтэй., математикт ашигладаг.

Мэдэх хэрэгтэй:

1. Хэрэв тодорхой тоог тоолоход ашиглаж болно янз бүрийн зүйл, жишээлбэл, есөн багана, арван зургаан байшин, дараа нь энэ нь байгалийн юм. Тэдний хамгийн жижиг нь нэг байх болно.
2. Натурал тоо нь өөр натурал тоонд хуваагдах үед түүнийг натурал тоо гэнэ бага тоонь томыг хуваагч юм.
3. Хоёр ба түүнээс дээш бол өөр өөр тоотодорхой тоонд үлдэгдэлгүй хуваагддаг бол сүүлийнх нь тэдний нийтлэг хуваагч (CD) болно гэж хэлдэг.
4. ОД-ын хамгийн томыг хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD) гэж нэрлэдэг.
5. Энэ тохиолдолд тоо нь зөвхөн хоёр натурал хуваагчтай (өөрөө ба нэг) байвал түүнийг анхны гэж нэрлэдэг. Тэдний хамгийн жижиг нь хоёр бөгөөд энэ нь тэдний цувралын цорын ганц тэгш тоо юм.
6. Хэрэв хоёр тоо нь хамгийн их нийтлэг хуваагч нь нэг бол тэдгээр нь харьцангуй анхны байх болно.
7. Хоёроос дээш хуваагчтай тоог нийлмэл тоо гэнэ.
8. Хамтдаа үржүүлснээр бүтээгдэхүүн гарах бүх үндсэн хүчин зүйлсийг олох үйл явц анхны утгаматематикт хүчин зүйлчлэл гэж нэрлэдэг. Түүгээр ч барахгүй өргөтгөлийн ижил хүчин зүйлүүд нэгээс олон удаа гарч ирж болно.

Математикийн хувьд дараахь тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрдөг.

1. Хуваагч D (45) = (1;3;5;9;45).
2. ОД (8;18) = (1;2).
3. GCD (8;18) = 2.

GCD олох янз бүрийн арга замууд

Асуултанд хариулах хамгийн хялбар арга gcd хэрхэн олох вэжижиг тоо нь том тоонд хуваагч байх тохиолдолд. Энэ нь орох болно ийм тохиолдолхамгийн том нийтлэг хуваагч.

Жишээлбэл, GCD (15;45) = 15, GCD (48;24) = 24.

Гэхдээ математикийн ийм тохиолдол маш ховор байдаг тул GCD-ийг олохын тулд илүү нарийн төвөгтэй аргуудыг ашигладаг боловч ажил эхлэхийн өмнө энэ сонголтыг шалгахыг зөвлөж байна.

Энгийн хүчин зүйл болгон задлах арга

Хэрэв та хоёр ба түүнээс дээш тооны өөр тооны gcd-г олох шаардлагатай бол, тус бүрийг энгийн хүчин зүйл болгон задалж, дараа нь тоо тус бүрт байгаа тоог үржүүлэх үйл явцыг явуулахад хангалттай.

Жишээ 1

GCD 36 ба 90-ийг хэрхэн олохыг харцгаая:

1. 36 = 1*2*2*3*3;
2. 90 = 1*2*3*3*5;

GCD (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

Одоо ижил зүйлийг хэрхэн олохыг харцгаая В гурван тохиолдолтоо, жишээ болгон 54-ийг авч үзье; 162; 42.

Бид 36-г хэрхэн задлахаа аль хэдийн мэдэж байгаа, үлдсэнийг нь олж мэдье.

1. 162 = 1*2*3*3*3*3;
2. 42 = 1*2*3*7;

Тиймээс gcd (36;162;42) = 1*2*3 = 6.

Өргөтгөл дэх нэгжийг бичих нь бүрэн сонголттой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Нэг арга замыг авч үзье энгийн хүчин зүйлүүдийг хэрхэн тооцох вэ, үүнийг хийхийн тулд зүүн талд шаардлагатай тоог бичиж, баруун талд нь энгийн хуваагчдыг бичнэ.

Багануудыг хуваах тэмдэг эсвэл энгийн босоо шугам ашиглан тусгаарлаж болно.

1. 36 / 2 бид хуваах үйл явцыг үргэлжлүүлэх болно;
2. 18/2 цааш;
3. 9/3 ба дахин;
4. 3/3 нь одоо маш энгийн болсон;
5. 1 - үр дүн бэлэн байна.

Шаардлагатай 36 = 2*2*3*3.

Евклидийн арга

Энэ сонголт нь хүн төрөлхтөнд эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсан эртний Грекийн соёл иргэншил, энэ нь олон талаараа илүү энгийн бөгөөд агуу математикч Евклидтэй холбоотой боловч өмнө нь маш төстэй алгоритмуудыг ашиглаж байсан. Энэ аргыг ашиглах явдал юм дараах алгоритм , бид хуваалцдаг илүү их тооүлдсэнийг нь бага үнээр. Дараа нь бид хуваагчаа үлдэгдэлд хувааж, бүрэн хуваагдах хүртэл тойрог хэлбэрээр үргэлжлүүлнэ. Сүүлийн утгамөн хүссэн хамгийн том нийтлэг хуваагч болж хувирна.

Хэрэглээний жишээ энд байна Энэ алгоритмын :

GCD 816 ба 252 нь юу болохыг олж мэдье.

1. 816 / 252 = 3, үлдсэн нь 60. Одоо бид 252-ыг 60-аар хуваана;
2. 252 / 60 = 4 үлдэгдэл нь энэ удаад 12 байх болно. Бид дугуй процессоо үргэлжлүүлж, жараныг арван хоёрт хуваацгаа;
3. 60 / 12 = 5. Энэ удаад бид үлдэгдэл хүлээж аваагүй тул бид бэлэн үр дүн байна, арван хоёр нь бидний хайж буй утга байх болно.

Тиймээс, бидний үйл явцын төгсгөлд Бид gcd авсан (816;252) = 12.

Хэрэв хоёроос дээш утгыг зааж өгсөн бол GCD-ийг тодорхойлох шаардлагатай бол арга хэмжээ авна

Хоёр өөр тоо байгаа тохиолдолд юу хийхээ бид аль хэдийн олж мэдсэн, одоо хэрэв байгаа бол яаж ажиллахаа сурах болно. 3 ба түүнээс дээш.

Бүх харагдахуйц нарийн төвөгтэй байдлыг үл харгалзан, энэ даалгаварцаашид бидэнд асуудал үүсгэхгүй. Одоо бид дурын хоёр тоог сонгоод хайж буй утгыг тодорхойлно. Дараагийн алхам бол олж авсан үр дүнгийн gcd, гурав дахь хэсгийг олох явдал юм утгыг тохируулах. Дараа нь бид дөрөв дэх тав дахь гэх мэт бидэнд мэдэгдэж байсан зарчмын дагуу дахин ажилладаг.

Дүгнэлт

Тиймээс, бидний өмнө тавьсан даалгавар нь маш нарийн төвөгтэй мэт санагдаж байсан ч үнэндээ бүх зүйл энгийн, Хамгийн гол нь хуваах үйл явцыг үнэн зөв явуулах чадвартай байх явдал юммөн дээр дурдсан хоёр алгоритмын аль нэгийг дагаж мөрдөөрэй.

Хэдийгээр энэ хоёр арга нь нэлээд зөвшөөрөгдөхүйц боловч дунд сургууль Эхний аргыг илүү олон удаа ашигладаг. Энэ нь дараах зүйлсийг судлахдаа үндсэн хүчин зүйл болгон хуваах шаардлагатай болдогтой холбоотой юм боловсролын сэдэв- хамгийн их нийтлэг үржвэрийг тодорхойлох (LCM). Гэхдээ Евклидийн алгоритмыг ашиглах нь ямар ч байдлаар алдаатай гэж үзэж болохгүй гэдгийг дахин тэмдэглэх нь зүйтэй.

Видео

Энэ видеоны тусламжтайгаар та хамгийн их нийтлэг хуваагчийг хэрхэн олохыг сурах боломжтой.

Асуултынхаа хариуг аваагүй юу? Зохиогчид сэдвийг санал болгох.

Энэ нийтлэлийн тухай юм хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох (GCD)хоёр ба илүүтоо. Эхлээд Евклидийн алгоритмыг харцгаая, энэ нь танд хоёр тооны gcd-ийг олох боломжийг олгодог. Үүний дараа бид тоонуудын gcd-ийг нийтлэг анхны хүчин зүйлийн үржвэр болгон тооцоолох аргад анхаарлаа хандуулах болно. Дараа нь бид гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох, мөн сөрөг тоонуудын gcd-ийг тооцоолох жишээг өгөх болно.

Хуудасны навигаци.

GCD олох Евклидийн алгоритм

Хэрэв бид анхнаасаа анхны тоонуудын хүснэгтэд хандсан бол 661 ба 113 тоо нь анхны тоонууд болохыг олж мэдэх байсан бөгөөд үүнээс бид тэдгээрийн хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 1 гэж шууд хэлж болохыг анхаарна уу.

Хариулт:

GCD(661, 113)=1 .

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар GCD-ийг олох

GCD олох өөр аргыг авч үзье. Хамгийн том нийтлэг хуваагчийг тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон хуваах замаар олж болно. Дүрмийг томъёолъё: Хоёр бүхэл тооны GCD эерэг тоонууда ба б бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна a ба b тоонуудын анхны үржүүлэхэд олдсон бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлүүд.

GCD-ийг олох дүрмийг тайлбарлах жишээг өгье. 220 ба 600 тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлахыг бидэнд мэдэгдье, тэдгээр нь 220=2·2·5·11 ба 600=2·2·2·3·5·5 хэлбэртэй байна. 220 ба 600 тоонуудын хүчин зүйлүүдэд хамаарах нийтлэг анхны хүчин зүйлүүд нь 2, 2, 5 юм. Иймд GCD(220, 600)=2·2·5=20.

Тиймээс, хэрэв бид a, b тоог анхны хүчин зүйл болгон хувааж, тэдгээрийн бүх нийтлэг хүчин зүйлийн үржвэрийг олбол, энэ нь a, b тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох болно.

Заасан дүрмийн дагуу GCD-ийг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

72 ба 96 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол.

Шийдэл.

72 ба 96 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье.

Энэ нь 72=2·2·2·3·3 ба 96=2·2·2·2·2·3 гэсэн үг. Нийтлэг анхны хүчин зүйлүүд нь 2, 2, 2, 3 юм. Тиймээс GCD(72, 96)=2·2·2·3=24.

Хариулт:

GCD(72, 96)=24 .

Энэ хэсгийн төгсгөлд GCD-ийг олох дээрх дүрмийн хүчин төгөлдөр байдал нь хамгийн их нийтлэг хуваагчийн өмчөөс хамаарна гэдгийг бид тэмдэглэж байна. GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), энд m нь эерэг бүхэл тоо юм.

Гурав ба түүнээс дээш тооны gcd-г олох

Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олохыг багасгаж болно дараалсан олдворХоёр тооны GCD. GCD-ийн шинж чанарыг судлахдаа бид үүнийг дурдсан. Тэнд бид теоремыг томъёолж, нотолсон: a 1, a 2, …, a k гэсэн хэд хэдэн тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч. тоотой тэнцүү байна d k , GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k)-ийг дараалан тооцоолох замаар олно. - 1 , a k)=d k .

Хэд хэдэн тооны gcd-г олох үйл явц ямар байхыг жишээний шийдлээс харцгаая.

Жишээ.

78, 294, 570, 36 гэсэн дөрвөн тооны хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлийг ол.

Шийдэл.

Энэ жишээнд a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36 байна.

Эхлээд Евклидийн алгоритмыг ашиглан эхний хоёр тооны 78 ба 294-ийн хамгийн том нийтлэг хуваагч d 2-ыг тодорхойлно. Хуваахдаа бид 294 = 78 3 + 60 тэгшитгэлийг авна; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 ба 18=6·3. Тиймээс d 2 =GCD(78, 294)=6.

Одоо тооцоолъё d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Евклидийн алгоритмыг дахин хэрэглэе: 570=6·95, тиймээс d 3 = GCD(6, 570)=6.

Тооцоолох л үлдлээ d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). 36 нь 6-д хуваагддаг тул d 4 = GCD(6, 36) = 6 болно.

Ийнхүү өгөгдсөн дөрвөн тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч нь d 4 =6, өөрөөр хэлбэл gcd(78, 294, 570, 36)=6 байна.

Хариулт:

GCD(78, 294, 570, 36)=6 .

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах нь мөн гурав ба түүнээс дээш тооны gcd-ийг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Энэ тохиолдолд хамгийн том нийтлэг хуваагч нь өгөгдсөн тооны бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлийн үржвэрээр олддог.

Жишээ.

Өмнөх жишээн дээрх тоонуудын gcd-ийг үндсэн хүчин зүйлчлэлийг ашиглан тооцоол.

Шийдэл.

78, 294, 570, 36 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болговол 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 болно. ·3· 3. Эдгээр дөрвөн тооны нийтлэг анхны хүчин зүйлүүд нь 2 ба 3 тоо юм. Тиймээс, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Товчлолын түлхүүр үгс:Натурал тоо. Арифметик үйлдлүүднатурал тоонууд дээр. Натурал тоонуудын хуваагдах чадвар. Энгийн ба нийлмэл тоо. Натурал тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах. 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11-д хуваагдах тэмдэг. Хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD), түүнчлэн хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCD). Үлдэгдэлтэй хуваах.

Натурал тоо- эдгээр нь объектыг тоолоход ашигладаг тоонууд юм - 1, 2, 3, 4 , ... Гэхдээ тоо 0 байгалийн биш!

Натурал тоонуудын багцыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ Н. Бичлэг "3 ∈ N"гэдэг нь гурван тоо нь натурал тооны олонлогт хамаарах ба тэмдэглэгээ гэсэн үг "0 ∉ N"тэг тоо энэ олонлогт хамаарахгүй гэсэн үг.

Аравтын тооллын систем - байрлал тогтоох системрадикал 10 .

Натурал тоон дээрх арифметик үйлдлүүд

Натурал тоонуудын хувьд дараах үйлдлүүдийг тодорхойлно. нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах,экспонентаци, үндэс олборлолт. Эхний дөрвөн үйлдэл нь арифметик.

a, b, c натурал тоонууд байг

1. НЭМЭЛТ. Хугацаа + Нөхцөл = Нийлбэр

Нэмэх шинж чанарууд
1. Харилцааны a + b = b + a.
2. Холбогч a + (b + c) = (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.

2. ХАСАХ. Minuend - Subtrahend = ялгаа

Хасах үйлдлийн шинж чанарууд
1. a - (b + c) = a - b - c тооноос нийлбэрийг хасах.
2. Нийлбэрээс тоог хасах (a + b) - c = a + (b - c); (а + б) - в = (а - в) + б.
3. a - 0 = a.
4. a - a = 0.

3. ҮРЖҮҮЛЭХ. Үржүүлэгч * Үржүүлэгч = Бүтээгдэхүүн

Үржүүлэх шинж чанарууд
1. Харилцааны a*b = b*a.
2. Холбогч a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Тархалт (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.

4. ХЭЛБЭР. Ногдол ашиг: Хуваагч = Хуваагч

Хуваалтын шинж чанарууд
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Та тэгээр хувааж болохгүй!
3. 0: a= 0.

Процедур

1. Юуны өмнө хаалтанд байгаа үйлдлүүд.
2. Дараа нь үржүүлэх, хуваах.
3. Мөн зөвхөн төгсгөлд нэмэх хасах үйлдлийг хийнэ.

Натурал тоонуудын хуваагдах чадвар. Анхны болон нийлмэл тоо.

Натурал тооны хуваагч Ань натурал тоо юм Аүлдэгдэлгүйгээр хуваагдана. Тоо 1 нь аливаа натурал тооны хуваагч юм.

Натурал тоог дууддаг энгийн, хэрэв байгаа бол хоёрхуваагч: нэг ба тоо өөрөө. Жишээлбэл, 2, 3, 11, 23 тоонууд - анхны тоонууд.

Хоёроос илүү хуваагчтай тоог дуудна нийлмэл. Жишээлбэл, 4, 8, 15, 27 тоонууд нь нийлмэл тоо юм.

Хуваагдах чадварын тест ажилладагхэд хэдэн тоо: хэрэв хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тодорхой тоонд хуваагддаг бол бүтээгдэхүүн нь энэ тоонд хуваагдана. Ажил 24 15 77 хуваасан 12 , энэ тооны үржүүлэгчээс хойш 24 хуваасан 12 .

Нийлбэрийн хуваагдах тест (ялгаа)тоо: хэрэв гишүүн бүр тодорхой тоонд хуваагддаг бол нийт нийлбэрийг энэ тоонд хуваана. Хэрэв а: бТэгээд в:б, Тэр (a + c): b. Яах юм бол а: б, А в-д хуваагдахгүй б, Тэр a+cтоонд хуваагддаггүй б.

Хэрэв а: вТэгээд в:б, Тэр а: б. 72:24, 24:12 гэсэн баримтыг үндэслэн бид 72:12 гэж дүгнэж байна.

Тоон тоог анхны тоонуудын зэрэглэлийн үржвэр болгон дүрслэхийг нэрлэдэг тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах.

Арифметикийн үндсэн теорем: дурын натурал тоо (бусад 1 ) эсвэл байна энгийн, эсвэл үүнийг зөвхөн нэг аргаар хүчин зүйлээр ангилж болно.

Тоог анхдагч хүчин зүйл болгон задлахдаа хуваагдах шинж тэмдгүүдийг ашиглан "багана" тэмдэглэгээг ашиглана, энэ тохиолдолд хуваагч нь босоо шугамын баруун талд байрлаж, хуваагчийг ногдол ашгийн доор бичнэ.

Жишээ нь, даалгавар: тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах 330 . Шийдэл:

хуваагдах шинж тэмдэг 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25, 11.

Үүнд хуваагдах шинж тэмдэг илэрдэг 6, 15, 45 гэх мэт, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүнийг үржвэрлэх боломжтой тоогоор илэрхийлнэ 2, 3, 5, 9 Тэгээд 10 .

Хамгийн том нийтлэг хуваагч

Өгөгдсөн хоёр натурал тоо тус бүрд хуваагддаг хамгийн том натурал тоог гэнэ хамгийн том нийтлэг хуваагчэдгээр тоонууд ( GCD). Жишээлбэл, GCD (10; 25) = 5; ба GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

Хоёр натурал тооны хамгийн их нийтлэг хуваагч нь тэнцүү бол 1 , дараа нь эдгээр тоонуудыг дуудна харилцан ашигтай.

Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох алгоритм(NOD)

GCD нь ихэвчлэн асуудалд ашиглагддаг. Тухайлбал, нэг ангийн сурагчдад 155 дэвтэр, 62 үзэг тэнцүү хуваасан. Энэ ангид хэдэн сурагч байдаг вэ?

Шийдэл: Энэ ангийн сурагчдын тоог олох нь дэвтэр, үзэг хоёр тэнцүү хуваагдсан тул 155 ба 62 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олоход хүрдэг. 155 = 5 31; 62 = 2 31. GCD (155; 62) = 31.

Хариулт: Ангид 31 сурагч.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэр

Натурал тооны үржвэрүүд А-д хуваагддаг натурал тоо юм Аул мөргүй. Жишээлбэл, тоо 8 олон тоо байна: 8, 16, 24, 32 , ... Аливаа натурал тоо байна хязгааргүй олон үржвэр.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэр(LCM) нь эдгээр тоонуудын үржвэр болох хамгийн бага натурал тоо юм.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох алгоритм ( ҮОХ):

LCM нь ихэвчлэн асуудалд ашиглагддаг. Жишээлбэл, хоёр дугуйчин нэгэн зэрэг дугуйн зам дагуу нэг чиглэлд хөдөлсөн. Нэг нь 1 минутын дотор, нөгөө нь 45 секундын дотор тойрог хийдэг. Хөдөлгөөн эхэлснээс хойш хамгийн багадаа хэдэн минутын дараа тэд эхлэлд уулзах вэ?

Шийдэл: Эхэндээ тэд дахин уулзах минутын тоог хуваах ёстой 1 мин, түүнчлэн дээр 45 с. 1 минутын дотор = 60 секунд. Энэ нь LCM (45; 60) олох шаардлагатай байна. 45 = 32 5; 60 = 22 3 5. LCM (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Үүний үр дүнд дугуйчид 180 секундын = 3 минутын дараа гараанд таарна.

Хариулт: 3 мин.

Үлдэгдэлтэй хуваах

Хэрэв натурал тоо бол Анатурал тоонд хуваагддаггүй б, тэгвэл та хийж чадна үлдэгдэлтэй хуваах. Энэ тохиолдолд үр дүнгийн коэффициентийг дуудна бүрэн бус. Тэгш байдал шударга байна:

a = b n + r,

Хаана А- хуваагдах, б- хуваагч, n- бүрэн бус коэффициент; r- үлдэгдэл. Жишээлбэл, ногдол ашгийг тэнцүү болго 243 , хуваагч - 4 , Дараа нь 243: 4 = 60 (үлдэгдэл 3). Өөрөөр хэлбэл, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, тэгвэл 243 = 60 4 + 3 .

-д хуваагддаг тоонууд 2 үлдэгдэлгүй гэж нэрлэдэг бүр: a = 2n, n ∈ Н.

Үлдсэн дугааруудыг дуудаж байна хачин: b = 2n + 1, n ∈ Н.

Энэ бол сэдвийн хураангуй юм “Натурал тоо. хуваагдах шинж тэмдэг". Үргэлжлүүлэхийн тулд дараагийн алхмуудыг сонгоно уу:

• Дараагийн хураангуй руу очих: