1. Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын тухай ойлголт
2. Эквивалент тэгш бус байдал. Тэгш бус байдлын эквивалентийн тухай теоремууд
3. Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
4. Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын график шийдэл
5. Модулийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулсан тэгш бус байдал
6. Үндсэн дүгнэлтүүд
Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдал
Санал 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0-ийг нэг хувьсагчтай тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг.
IN ерөнхий үзэлЭнэ ойлголтыг дараах байдлаар тодорхойлсон.
Тодорхойлолт. f(x) ба g(x) нь x хувьсагч ба X мужтай хоёр илэрхийлэл байя. Дараа нь f(x) > g(x) эсвэл f(x) хэлбэрийн тэгш бус байдал гарна.< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Хувьсах утга xолон хүнээс X,тэгш бус байдал нь жинхэнэ тоон тэгш бус байдал болж хувирахыг гэнэ шийдвэр.Тэгш бус байдлыг шийднэ гэдэг нь олон шийдлийг олохыг хэлнэ.
Тиймээс тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх замаар 2 x + 7 > 10 -х, х? Ртоо юм x= 5, учир нь 2 5 + 7 > 10 - 5 нь жинхэнэ тоон тэгш бус байдал юм. Үүний шийдлүүдийн олонлог нь тэгш бус байдлын хувиргалтыг хийснээр олдох интервал (1, ∞) юм: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.
Эквивалент тэгш бус байдал. Тэгш бус байдлын эквивалентийн тухай теоремууд
Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндэс нь эквивалент гэсэн ойлголт юм.
Тодорхойлолт. Хоёр тэгш бус байдлын шийдэл нь тэнцүү бол тэдгээрийг тэнцүү гэж нэрлэдэг.
Жишээлбэл, тэгш бус байдал 2 x+ 7 > 10 ба 2 x> 3 нь тэнцүү, учир нь тэдгээрийн шийдлийн олонлогууд тэнцүү бөгөөд интервалыг (2/3, ∞) төлөөлдөг.
Тэгшитгэлийн тэнцүү байдлын тухай теоремууд ба тэдгээрээс гарах үр дагавар нь тэгшитгэлийн эквивалентийн тухай харгалзах теоремуудтай төстэй. Тэдний нотолгоо нь жинхэнэ тоон тэгш бус байдлын шинж чанарыг ашигладаг.
Теорем 3.Тэгш бус байцгаая f(x) > g(x)багц дээр тодорхойлсон XТэгээд h(x) нь ижил олонлог дээр тодорхойлогдсон илэрхийлэл юм. Дараа нь тэгш бус байдал f(x) > g(x) ба f(x)+ h(x) > g(x) + h(x)багц дээр тэнцүү байна X.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг энэ теоремоос үр дүн гардаг.
1) Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талд f(x) > g(x)ижил тоог нэмнэ г,тэгвэл бид тэгш бус байдлыг олж авна f(x) + d > g(x)+ d,анхныхтай дүйцэхүйц.
2) Хэрэв ямар нэгэн нэр томъёо (тоон илэрхийлэл эсвэл хувьсагчтай илэрхийлэл) тэгш бус байдлын нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжиж, тухайн нэр томьёоны тэмдгийг эсрэгээр нь сольж байвал бид өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгш бус байдлыг олж авна.
Теорем 4.Тэгш бус байцгаая f(x) > g(x)багц дээр тодорхойлсон XТэгээд h(X Xолон хүнээс Xилэрхийлэл h(x)хүлээн зөвшөөрдөг эерэг утгууд. Дараа нь тэгш бус байдал f(x) > g(x) ба f(x) h(x) > g(x) h(x)багц дээр тэнцүү байна X.
f(x) > g(x)ижил хэмжээгээр үржүүлнэ эерэг тоо г,тэгвэл бид тэгш бус байдлыг олж авна f(x) d > g(x) d,үүнтэй дүйцэхүйц.
Теорем 5.Тэгш бус байцгаая f(x) > g(x)багц дээр тодорхойлсон XТэгээд h(X) - ижил олонлог дээр тодорхойлогдсон илэрхийлэл ба бүх Xтэдний олон бий Xилэрхийлэл h(X) хүлээн зөвшөөрч байна сөрөг утгууд. Дараа нь тэгш бус байдал f(x) > g(x) ба f(x) h(x) > g(x) h(x)багц дээр тэнцүү байна X.
Энэ теоремоос үр дүн гарна: хэрэв тэгш бус байдлын хоёр тал бол f(x) > g(x)ижил сөрөг тоогоор үржүүлнэ гтэгш бус байдлын тэмдгийг эсрэгээр нь сольж, тэгш бус байдлыг олж авна f(x) d > g(x) d,үүнтэй дүйцэхүйц.
Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
Тэгш бус байдлыг шийдье 5 X - 5 < 2х - 16, X? Р, мөн бид шийдлийн явцад хийх бүх өөрчлөлтийг зөвтгөх болно.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 нь интервал (-∞, 7) юм.
Дасгал
1. Дараах бичилтүүдийн аль нь нэг хувьсагчтай тэгш бус байдал болохыг тодорхойл.
a) -12 - 7 X< 3x+ 8; г) 12 x + 3(X- 2);
б) 15( x+ 2)>4; e) 17-12·8;
в) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2х 2+ 3x-4> 0.
2. 3-ын тоо нь тэгш бус байдлын шийдэл мөн үү 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? Р? Тэгээд 4.25 гэсэн тоо юу?
3. Дараах хос тэгш бус байдал нь бодит тоонуудын олонлогт тэнцүү байна уу?
a) -17 X< -51 и X > 3;
б) (3 x-1)/4 >0 ба 3 X-1>0;
в) 6-5 x>-4 ба X<2?
4. Дараах мэдэгдлүүдийн аль нь үнэн бэ?
a) -7 X < -28 => x>4;
б) x < 6 => x < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх 3( x - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2, хийх бүх өөрчлөлтийг зөвтгөнө.
6. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх замаар үүнийг батал 2(х+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) нь дурын бодит тоо юм.
7. Энэ байхгүй гэдгийг нотлох бодит тоо, энэ нь 3(2 -) тэгш бус байдлын шийдэл байх болно. X) - 2 > 5 - 3X.
8. Гурвалжны нэг тал нь 5 см, нөгөө тал нь 8 см бол гурвалжны периметр нь хэд байх вэ.
a) 22 см-ээс бага;
б) 17 см-ээс их?
НЭГ ХУВЬСАГЧТАЙ ТЭГШ БУС БАЙДЛЫН ГРАФИК ШИЙДВЭР.Учир нь график шийдэлтэгш бус байдал f (x) > g (x)функцүүдийн графикийг бүтээх хэрэгтэй
y = f (x) = g (x)мөн функцийн график байрлах абсцисса тэнхлэгийн интервалуудыг сонгоно у = f(x)у = функцийн график дээр байрлана g(x).
Жишээ 17.8.Тэгш бус байдлыг графикаар шийд x 2- 4 > 3X.
| Ү - х* - 4 |
Шийдэл.Нэг координатын систем дэх функцүүдийн графикийг байгуулъя
у = x 2 - 4 ба у = Zx (Зураг 17.5). Зураг нь функцүүдийн графикуудыг харуулж байна цагт= x 2- 4 нь у = 3 функцийн график дээр байрлана Xцагт X< -1 ба x > 4, өөрөөр хэлбэл. анхны тэгш бус байдлын шийдүүдийн багц нь олонлог юм
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Хариулт: x О(- oo; -1) ба ( 4; + oo).
Хуваарь квадрат функц цагт= сүх 2 + bx + cбол дээшээ чиглэсэн мөчрүүдтэй парабол юм a > 0, хэрэв доош А< 0. Энэ тохиолдолд гурван тохиолдол боломжтой: парабол тэнхлэгийг огтолж байна Өө(жишээ нь тэгшитгэл аа 2+ bx+ c = 0 нь хоёр өөр үндэстэй); парабол тэнхлэгт хүрнэ X(жишээ нь тэгшитгэл сүх 2 + bx+ c = 0 нь нэг үндэстэй); парабол тэнхлэгтэй огтлолцдоггүй Өө(жишээ нь тэгшитгэл аа 2+ bx+ c = 0 үндэсгүй). Иймд у = функцийн график болж үйлчилдэг параболын зургаан боломжит байрлал байдаг аа 2+ б x + в(Зураг 17.6). Эдгээр дүрслэлийг ашиглан та квадрат тэгш бус байдлыг шийдэж чадна.
Жишээ 17.9.Тэгш бус байдлыг шийд: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; б) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Шийдэл, a) 2x 2 + 5x -3 = 0 тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: x, = -3, x 2 = 0.5. Парабола нь функцийн график болдог цагт= 2х 2+ 5x -3, Зураг дээр үзүүлэв. А.Тэгш бус байдал 2х 2+ 5x -3 > 0 нь эдгээр утгуудын хувьд хангагдсан байна X,параболын цэгүүд нь тэнхлэгээс дээгүүр байрладаг Өө:цагт байх болно X< х х эсвэл хэзээ X> x g>тэдгээр. цагт X< -3 эсвэл цагт x > 0.5. Энэ нь анхны тэгш бус байдлын шийдүүдийн багц нь (- ¥; -3) ба (0.5; + ¥) олонлог байна гэсэн үг юм.
b) -Зх 2 + тэгшитгэл 2х- 6 = 0 нь жинхэнэ үндэсгүй. Парабола нь функцийн график болж үйлчилдэг цагт= - 3x 2 - 2x - 6, Зураг дээр үзүүлэв. 17.6 Тэгш бус байдал -3х 2 - 2х - 6 < О выполняется при тех значениях X,параболын цэгүүд нь тэнхлэгийн доор байрладаг Өө.Парабола бүхэлдээ тэнхлэгийн доор байрладаг Өө,тэгвэл анхны тэгш бус байдлын шийдүүдийн олонлог нь R олонлог болно .
МОДУЛИЙН ТЭМДЭГДЭХ ХУВЬСАГЧ АГУУЛСАН ТЭГШ БУС БАЙДАЛ.Эдгээр тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.
|f(x) | =
f(x), Хэрэв f(x) ³ 0,
- f(x), Хэрэв f(x) < 0,
Үүний зэрэгцээ газар нутаг хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэтэгш бус байдлыг интервалд хуваах ёстой бөгөөд тус бүр дээр модулийн тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь тэмдэгээ хадгална. Дараа нь модулиудыг өргөжүүлэх (илэрхийллийн тэмдгүүдийг харгалзан) интервал бүр дээрх тэгш бус байдлыг шийдэж, үүссэн шийдлүүдийг анхны тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багц болгон нэгтгэх хэрэгтэй.
Жишээ 17.10.Тэгш бус байдлыг шийд:
|x -1| + |2- x| > 3+x.
Шийдэл. x = 1 ба x = 2 цэгүүд хуваагдана тооны тэнхлэг (DZ тэгш бус байдал(17.9) гурван интервалд: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Шийдвэрлэе энэ тэгш бус байдалтус бүр дээр. Хэрэв x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; тиймээс |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Энэ нь тэгш бус байдал (17.9) дараах хэлбэртэй байна гэсэн үг: 1- x + 2 - x > 3 + x, i.e. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Хэрэв 1 £ x £.2 бол x - 1 ³ 0 ба 2 – x ³ 0; тиймээс | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Энэ нь систем нь дараахь зүйлийг агуулна гэсэн үг юм.
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Үүссэн тэгш бус байдлын системд шийдэл байхгүй. Тиймээс интервал дээр [ 1; 2] тэгш бус байдлын шийдлийн багц (17.9) хоосон байна.
Хэрэв x > 2 бол x - 1 >0 ба 2 – x болно<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x – 2 > 3+x,
x > 6 эсвэл
ODZ тэгш бус байдлын (17.9) бүх хэсэгт олсон шийдлүүдийг нэгтгэснээр бид түүний шийдлийг олж авна - олонлог (-¥; 0) È (6; +oo).
Заримдаа үүнийг ашиглах нь ашигтай байдаг геометрийн тайлбарбодит тооны модуль, үүний дагуу | a | гэж координатын шугамын а цэгийн О эхээс алслагдсан зай, a | a - b | координатын шулуун дээрх а ба b цэгүүдийн хоорондох зайг хэлнэ. Өөрөөр та тэгш бус байдлын хоёр талыг квадрат болгох аргыг ашиглаж болно.
Теорем 17.5. Хэрэв илэрхийлэл f(x) ба g(x)дурын х-ийн хувьд зөвхөн сөрөг бус утгыг, дараа нь тэгш бус байдлыг авна f (x) > g (x)Тэгээд f (x) ² > g (x) ²тэнцүү байна.
58. Үндсэн дүгнэлт § 12
Энэ хэсэгт бид дараахь зүйлийг тодорхойлсон үзэл баримтлал:
Тоон илэрхийлэл;
Утга тоон илэрхийлэл;
Ямар ч утгагүй илэрхийлэл;
Хувьсагчтай илэрхийлэл;
Илэрхийллийн тодорхойлолтын хүрээ;
Яг адилхан тэнцүү илэрхийллүүд;
Баримтлал;
Биеийн хувиралилэрхийлэл;
Тоон тэгш байдал;
Нэг хувьсагчтай тэгшитгэл;
Тэгшитгэлийн үндэс;
Тэгшитгэлийг шийдэх нь юу гэсэн үг вэ;
Эквивалент тэгшитгэл;
Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдал;
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх;
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь юу гэсэн үг вэ;
Эквивалент тэгш бус байдал.
Нэмж дурдахад бид тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын тэгшитгэлийн талаархи теоремуудыг судалж үзсэн бөгөөд тэдгээрийн шийдлийн үндэс болсон.
Тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын тэгшитгэлийн талаархи дээрх бүх ойлголт, теоремуудын тодорхойлолтын талаархи мэдлэг - шаардлагатай нөхцөл-тэй арга зүйн чадамжтай судалгаа бага сургуулийн сурагчидалгебрийн материал.
ХИЧЭЭЛ: “Тэгш бус байдлыг НЭГ ХУВЬСАГЧТАЙ ШИЙДЭХ”
Зүйл:Алгебр
Сэдэв:Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
Хичээлийн зорилго:
Боловсролын:
нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, эквивалент тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гэх мэт ойлголтуудыг ойлгох, ойлгох, эхний байдлаар нэгтгэх оюутнуудын үйл ажиллагааг зохион байгуулах; Сурагчдын өмнөх хичээлээр олж авсан мэдлэг, ур чадвараа энэ хичээлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах чадварыг шалгах.
Боловсролын:
МХХТ-ийг практикт ашиглах замаар математикийн сонирхлыг хөгжүүлэх; оюутнуудын танин мэдэхүйн хэрэгцээг төлөвшүүлэх; хариуцлага, зорилгодоо хүрэх тууштай байдал, бие даасан байдал зэрэг хувийн шинж чанаруудыг бий болгох.
Хичээлийн явц
I. Зохион байгуулалтын мөч
II. Шалгалт гэрийн даалгавар(Үндсэн мэдлэгийг шинэчлэх)
1. Координатын шугамыг ашиглан интервалуудын огтлолцлыг ол: a) (1;8) ба (5;10); б) (-4;4) ба [-6;6]; в) (5;+∞) ба [-∞;4]
Хариулт: a) (1;5); б) (-4;4); в) огтлолцол байхгүй
2. Зурагт үзүүлсэн интервалуудыг бичнэ үү.
2) 
3) 
Хариулт: 1) (2; 6); б) (-1;7]; в) .
Жишээ 3, 3(x-1) тэгш бус байдлыг шийд<-4+3х.
Тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа хаалтуудыг нээцгээе: 3x-3<-4+3х.
Эсрэг тэмдэгтэй 3х нэр томъёог баруун талаас зүүн тийш, -3 гэсэн нэр томъёог зүүн талаас баруун тийш шилжүүлж, ижил төстэй нэр томъёог өгье: 3x-3x<-4+3,
Бидний харж байгаагаар энэ тоон тэгш бус байдал нь x-ийн аль ч утгын хувьд үнэн биш юм. Энэ нь нэг хувьсагчтай бидний тэгш бус байдал шийдэлгүй гэсэн үг.
Симулятор
Тэгш бус байдлыг шийдэж, шийдлийг тэмдэглэ:
f) 7х-2.4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
i) 16x-44>x+1;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Хариулт: a) (-8; +∞); b) [-1.5; +∞ ); в) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0.25); f) (-∞; 0.4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j); l) (2; +∞).
IV. Дүгнэлт
Нэг хувьсагчийн тэгш бус байдлын шийдэл нь түүнийг жинхэнэ тоон тэгш бус байдал болгон хувиргах хувьсагчийн утга юм. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гэдэг нь түүний бүх шийдлийг олох эсвэл шийдэл байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг юм. Ижил шийдэлтэй тэгш бус байдлыг эквивалент гэж нэрлэдэг. Шийдэлгүй тэгш бус байдлыг мөн адил тэнцүү гэж үзнэ. Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил сөрөг тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал тэгш бус байдлын тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилнө. Бусад тохиолдолд энэ нь хэвээр байна.
V. Эцсийн туршилт
1) Нэг хувьсагчийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийг... гэнэ.
a) хувьсагчийг жинхэнэ тэгш бус байдал болгон хувиргах утга;
б) хувьсагчийг зөв тоо болгон хувиргах утга
тэгш бус байдал;
в) түүнийг жинхэнэ тоон тэгш бус байдал болгон хувиргах хувьсагч.
2) Аль тоо нь 8+5y>21+6y тэгш бус байдлын шийдэл вэ?
a) 2 ба 5 b) -1 ба 8 c) -12 ба 1 d) -15 ба -30?
3) 4(x+1)>20 тэгш бус байдлын шийдлийн багцыг тодорхойл.
a) (- ∞; 4); б) (4; +∞);
V) )
