Өсөн нэмэгдэж буй дараалал. II

Хэрэв хүн бүр натурал тоо n заримд нь оноогдсон байна бодит тоо x n , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

Тоо x 1-ийг дарааллын гишүүн гэж нэрлэдэг 1 дугаартай эсвэл дарааллын эхний гишүүн, тоо x 2 - дарааллын гишүүн 2 дугаартай эсвэл дарааллын хоёр дахь гишүүн гэх мэт. x n тоог дууддаг тоо бүхий дарааллын гишүүн n.

Тооны дарааллыг тодорхойлох хоёр арга байдаг - хамт болон хамт давтагдах томъёо.

Ашиглах дараалал томъёо ерөнхий гишүүндараалал- Энэ бол дараалсан даалгавар юм

x 1 , x 2 , … x n , …

x n нэр томъёоны n тооноос хамаарах хамаарлыг илэрхийлсэн томъёог ашиглан.

Жишээ 1. Тооны дараалал

1, 4, 9, … n 2 , …

нийтлэг нэр томъёог ашиглан өгсөн

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Өмнөх тоо бүхий дарааллын гишүүдээр дамжуулан x n-ийг илэрхийлсэн томьёо ашиглан дарааллыг зааж өгөхийг давтагдах томъёо.

x 1 , x 2 , … x n , …

дуудсан нэмэгдэж буй дарааллаар, илүүөмнөх гишүүн.

Өөрөөр хэлбэл хүн бүрт n

x n + 1 >x n

Жишээ 3. Натурал тоонуудын дараалал

1, 2, 3, … n, …

байна өсөх дараалал.

Тодорхойлолт 2. Тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

дуудсан буурах дараалалхэрэв энэ дарааллын гишүүн бүр багаөмнөх гишүүн.

Өөрөөр хэлбэл хүн бүрт n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

x n + 1 < x n

Жишээ 4. Дараалал

томъёогоор өгөгдсөн

байна буурах дараалал.

Жишээ 5. Тооны дараалал

1, - 1, 1, - 1, …

томъёогоор өгөгдсөн

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

тийм биш өсөх ч үгүй, буурах ч үгүйдараалал.

Тодорхойлолт 3. Өсөх, буурах тоон дарааллыг гэнэ монотон дараалал.

Хязгаарлагдмал ба хязгааргүй дараалал

Тодорхойлолт 4. Тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

дуудсан дээрээс хязгаарласан,хэрвээ энэ дарааллын гишүүн бүр байхаар M тоо байвал багатоо М.

Өөрөөр хэлбэл хүн бүрт n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

Тодорхойлолт 5. Тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

дуудсан доор хязгаарлагдсан,хэрвээ энэ дарааллын гишүүн бүр байхаар m тоо байвал илүүтоо m.

Өөрөөр хэлбэл хүн бүрт n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

Тодорхойлолт 6. Тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

бол хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг дээр болон доор аль алинд нь хязгаарлагдсан.

Өөрөөр хэлбэл, бүгдэд зориулагдсан M ба m тоонууд байдаг n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

м< x n < M

Тодорхойлолт 7. Тооны дараалал, аль хязгаарлагдахгүй, дуудсан хязгааргүй дараалал.

Жишээ 6. Тооны дараалал

1, 4, 9, … n 2 , …

томъёогоор өгөгдсөн

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

доор хязгаарлагдсан, жишээ нь, тоо 0. Гэсэн хэдий ч, энэ дараалал дээрээс нь хязгааргүй.

Жишээ 7. Дараалал

томъёогоор өгөгдсөн

байна хязгаарлагдмал дараалал , учир нь хүн бүрт n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

Манай вэбсайтаас та Математикийн улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх зорилгоор Ресолвента сургалтын төвийн багш нарын боловсруулсан сургалтын материалтай танилцах боломжтой.

Бэлтгэлээ сайн хийгээд тэнцэх хүсэлтэй сургуулийн сурагчдад зориулав Математик эсвэл орос хэлний улсын нэгдсэн шалгалтдээр өндөр оноо, сургалтын төв"Resolventa" явуулдаг

Заримдаа ийм дарааллыг дууддаг хатуу нэмэгдэж, мөн нэр томъёо "V. p." бүх нөхцөлийг хангасан дараалалд хамаарна. бас буурахгүй. Дээр хязгаарлагдсан буурахгүй дараалал бүр төгсгөлтэй дараалалтай, дээр хязгаарлагдаагүй дараалал бүр нь хязгааргүй хязгаар, +хязгааргүйтэй тэнцүү. Л.Д.Кудрявцев.

Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг.

I. M. Виноградов.

1977-1985 он.Бусад толь бичгүүдээс "INCURING SEQUENCE" гэж юу болохыг харна уу: нэмэгдэж буй дараалал- - [Л.Г.Суменко. Мэдээллийн технологийн англи-орос толь бичиг. М.: ЦНИС-ийн улсын үйлдвэр, 2003.] Сэдвүүд мэдээллийн технологи

ерөнхийдөө EN өсөх дараалал...

Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

Хамгийн урт өсөн нэмэгдэж буй дэд дарааллыг олох даалгавар нь өгөгдсөн элементүүдийн дарааллаас хамгийн урт нэмэгдэж буй дэд дарааллыг олох явдал юм. Агуулга 1 Асуудлын мэдэгдэл 2 Холбогдох алгоритмууд ... Википедиа Монотон функц нь өсөлт нь тэмдэг өөрчлөгддөггүй, өөрөөр хэлбэл үргэлж сөрөг биш эсвэл үргэлж эерэг биш байдаг функц юм. Хэрэв нэмэгдэл нь тэг биш бол функцийг хатуу монотон гэж нэрлэдэг. Агуулга 1 Тодорхойлолт 2 ... ... ВикипедиаДараалал Тооны дараалал нь элементүүдийн дараалал юм

тооны орон зай . Тоон тоонууд... ВикипедиаЭнэ нь тоо нэмэгдэх тусам элементүүд нь багасдаггүй, эсвэл эсрэгээрээ нэмэгддэггүй дараалал юм. Ийм дараалал нь судалгаанд ихэвчлэн тааралддаг бөгөөд хэд хэдэн байдаг

өвөрмөц онцлог болон нэмэлт шинж чанарууд ..... ... ВикипедиаМонотон дараалал нь аль нэгийг нь хангасан дараалал юм

Тодорхой арифметик шинж чанартай тооны багцыг хэмжүүрээр (өөрөөр хэлбэл хэмжүүрийн онолын үндсэн дээр) судалж, тодорхойлдог тооны онолын салбар. шинж чанарууд. M. t.h нь магадлалын онолтой нягт холбоотой байдаг бөгөөд энэ нь заримдаа боломжтой болгодог ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Аливаа хязгаарлагдмал өсөлтийн дараалал нь хязгаартай бөгөөд энэ хязгаар нь түүний ягтай тэнцүү байна дээд ирмэг. Нотолгоо нь энгийн хэдий ч энэ теорем нь олон ... ... Википедиагийн хязгаарыг олоход маш тохиромжтой.

Хоёр дарааллын нийлбэрийн нягтын тооцоог өгдөг теорем. A=(0, a 1, a.2,..., a i, ...) бүхэл тоонуудын өсөн нэмэгдэж буй дараалал байх ба дарааллын нягт нь Anaz байна. хэмжигдэхүүн нь хоёрын арифметик нийлбэр юм...... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Орон зай нь үндсэн (хангалттай сайн) функцүүдийн орон зайд нийлдэг. Чухал үүрэг Frechet space (FS төрлийн) болон хүчтэй коньюгат орон зай (DFS төрлийн) энд тоглодог. FS төрлийн орон зай нь авсаархан...... проекцын хязгаар юм. Математик нэвтэрхий толь бичиг

Тодорхойлолт 1. Дарааллыг дуудна буурч байна (өсөхгүй ), хэрэв хүн бүрт
тэгш бус байдал бий
.

Тодорхойлолт 2. Тууштай байдал
дуудсан нэмэгдэж байна (буурдаггүй ), хэрэв хүн бүрт
тэгш бус байдал бий
.

Тодорхойлолт 3. Буурах, өсөхгүй, өсөх, буурахгүй дарааллыг гэнэ. нэг хэвийн дараалал, буурах ба нэмэгдэж буй дарааллыг мөн нэрлэдэг хатуу монотон дараалал.

Мэдээжийн хэрэг, буурахгүй дараалал доороос, өсөхгүй дараалал дээрээс хязгаарлагдана. Тиймээс аливаа монотон дараалал нь нэг талдаа хязгаарлагдмал байдаг.

Жишээ 1. Тууштай байдал
өсөх, буурахгүй,
буурдаг
нэмэгддэггүй
- монотон бус дараалал.

Монотон дарааллын хувьд дараахь зүйл чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Теорем 1. Хэрэв буурахгүй (өсдөггүй) дараалал нь дээр (доод) хязгаарлагдмал байвал нийлнэ.

Баталгаа. Дарааллыг нь үзье
буурахгүй, дээрээс нь хязгаарлагддаг, өөрөөр хэлбэл.
болон олон
дээрээс нь хязгаарласан. Теоремын 1 § 2-т байна
. Үүнийг баталцгаая
.

Авцгаая
дур зоргоороо. Түүнээс хойш А– яг дээд хязгаар, тоо байна Н тиймэрхүү
. Дараалал нь буурахгүй байгаа тул бүгдэд нь
бидэнд байна, өөрөөр хэлбэл.
, Тийм учраас
хүн бүрт
, мөн энэ нь гэсэн үг
.

Доор хязгаарлагдсан өсөхгүй дарааллын хувьд нотлох баримт нь ( оюутнууд энэ мэдэгдлийг гэртээ бие даан баталж чадна). Теорем нь батлагдсан.

Сэтгэгдэл. Теорем 1-ийг өөрөөр томъёолж болно.

Теорем 2. Монотон дарааллыг нэгтгэхийн тулд түүнийг хязгаарлах шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Хангалттай байдлыг 1-р теорем, хэрэгцээг - 2-р теорем § 5-д тогтооно.

Конвергенц дараалал нь монотон байх албагүй тул дарааллыг нэгтгэхэд монотон байдлын нөхцөл шаардлагагүй. Жишээлбэл, дараалал
монотон биш, харин тэг рүү нийлдэг.

Үр дагавар. Хэрэв дараалал бол
өсөх (багарах) ба дээрээс (доороос) хязгаарлагдмал, дараа нь
(
).

Үнэн хэрэгтээ 1-р теоремоор
(
).

Тодорхойлолт 4. Хэрэв
цагт
, дараа нь дарааллыг дуудна үүрлэсэн сегментүүдийн гэрээний систем .

Теорем 3 (үүрлэсэн сегментүүдийн зарчим). Үүрлэсэн сегментүүдийн гэрээт систем бүр өвөрмөц цэгтэй байдаг -тай, энэ системийн бүх сегментүүдэд хамаарах.

Баталгаа. Энэ санааг нотлоод үзье -тайбайдаг. Түүнээс хойш
, Тэр
улмаар дараалал
буурахгүй, харин дараалал
нэмэгддэггүй. Үүний зэрэгцээ
Тэгээд
учир нь хязгаарлагдмал. Дараа нь 1-р теоремын дагуу байдаг
Тэгээд
, гэхдээ түүнээс хойш
, Тэр
=
. Олдсон цэг -тай 1-р теоремын үр дүнд системийн бүх сегментэд хамаарна
,
, өөрөөр хэлбэл
бүх үнэт зүйлсийн хувьд n.

Одоо энэ санааг харуулъя -тай- цорын ганц. Ийм хоёр цэг байна гэж үзье. -тайТэгээд гмөн итгэлтэй байцгаая
. Дараа нь сегмент
бүх сегментэд хамаарна
, өөрөөр хэлбэл
хүн бүрт n, энэ нь боломжгүй зүйл, оноос хойш
тиймээс тодорхой тооноос эхлэн
. Теорем нь батлагдсан.

Энд хамгийн чухал зүйл бол хаалттай интервалуудыг авч үзэх явдал гэдгийг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл. сегментүүд. Хэрэв бид агшилтын интервалын системийг авч үзвэл зарчим нь ерөнхийдөө буруу байна. Жишээлбэл, интервалууд
, тодорхой цэг хүртэл гэрээ хийх нь ойлгомжтой
, гэхдээ цэг
энэ системийн аль нэг интервалд хамаарахгүй.

Одоо нэгдмэл монотон дарааллын жишээг авч үзье.

1) Тоо д.

Одоо дарааллыг авч үзье
. Тэр яаж биеэ авч яваа вэ? Суурь

градус
, Тийм учраас
? Нөгөө талаас,
, А
, Тийм учраас
? Эсвэл хязгаарлалт байхгүй юу?

Эдгээр асуултад хариулахын тулд туслах дарааллыг анхаарч үзээрэй
. Энэ нь буурч, доор хязгаарлагдмал гэдгийг баталцгаая. Үүний зэрэгцээ бидэнд хэрэгтэй болно

Лемма. Хэрэв
, дараа нь бүх байгалийн үнэт зүйлсийн хувьд nбидэнд байгаа

(Бернуллигийн тэгш бус байдал).

Баталгаа. Энэ аргыг хэрэглэцгээе математикийн индукц.

Хэрэв
, Тэр
, өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Энэ нь үнэн гэж бодъё
болон түүний хүчинтэй эсэхийг нотлох
+1.

Зөв
. Энэ тэгш бус байдлыг үржүүлье
:

Ийнхүү, . Энэ нь математик индукцийн зарчмын дагуу Бернуллигийн тэгш бус байдал нь бүх байгалийн утгын хувьд үнэн гэсэн үг юм. n. Лемма нь батлагдсан.

Үүний дарааллыг харуулъя
буурдаг. Бидэнд байна

Бернуллигийн тэгш бус байдал
, бөгөөд энэ нь дараалал гэсэн үг юм
буурдаг.

Тэгш бус байдлаас доороос хязгаарлагдмал байдал үүсдэг
Бернуллигийн тэгш бус байдал
бүх байгалийн үнэт зүйлсийн төлөө n.

1-р теоремоор байна
гэсэн үсгээр тэмдэглэгдсэн байна д. Тийм ч учраас
.

Тоо дүндэслэлгүй, трансцендентал, д= 2.718281828… . Энэ нь байгалийн логарифмын суурь гэдгийг мэддэг.

Тэмдэглэл. 1) Үүнийг батлахын тулд Бернуллигийн тэгш бус байдлыг ашиглаж болно
цагт
. Үнэхээр, хэрэв
, Тэр
. Дараа нь Бернуллигийн тэгш бус байдлын дагуу
. Тиймээс, цагт
бидэнд байгаа
, тэр нь
цагт
.

2) Дээр дурдсан жишээнд зэрэглэлийн суурь 1-д ханддаг ба илтгэгч n- Хэнд , өөрөөр хэлбэл, хэлбэрийн тодорхой бус байдал байдаг . Энэ төрлийн тодорхойгүй байдал нь бидний үзүүлсэн шиг гайхалтай хязгаараар илэрдэг
.

2)
(*)

Энэ дараалал нийлдэг гэдгийг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид доороосоо хязгаарлагдаж, өсөхгүй гэдгийг харуулж байна. Энэ тохиолдолд бид тэгш бус байдлыг ашигладаг
хүн бүрт
, энэ нь тэгш бус байдлын үр дагавар юм
.

Бидэнд байна
харна уу тэгш бус байдал илүү өндөр байна
, өөрөөр хэлбэл дараалал нь доороос тоогоор хязгаарлагдана
.

Дараа нь,
 оноос хойш

, өөрөөр хэлбэл дараалал нэмэгдэхгүй.

1-р теоремоор байна
, үүнийг бид тэмдэглэж байна X. Тэнцвэртэй (*) хязгаарт шилжих
, бид авдаг

, өөрөөр хэлбэл
, хаана
(дарааллын бүх нөхцөл эерэг тул бид нэмэх тэмдгийг авдаг).

Тооцоололд (*) дарааллыг ашиглана
ойролцоогоор. Учир нь ямар ч эерэг тоог авна. Жишээлбэл, олъё
. Болъё
. Дараа нь
,. Тиймээс,
.

3)
.

Бидэнд байна
. Түүнээс хойш
цагт
, тоо байна Н, ийм хүн бүрт
тэгш бус байдал бий
. Тиймээс дараалал
, зарим тооноос эхлэн Н, буурч, доороос хязгаарлагдана, оноос хойш
бүх үнэт зүйлсийн хувьд n. Энэ нь теорем 1-ээр байгаа гэсэн үг
. Түүнээс хойш
, бидэнд байна
.

Тэгэхээр,
.

4)
, баруун - n үндэс.

Математик индукцийн аргыг ашиглан бид үүнийг харуулах болно
бүх үнэт зүйлсийн хувьд n. Бидэнд байна
. Болъё
. Дараа нь эндээс бид математикийн индукцийн зарчим дээр үндэслэсэн мэдэгдлийг олж авна. Энэ баримтыг ашиглан бид олж, өөрөөр хэлбэл. дэд дараалал
нэмэгдэж, дээрээс нь хязгаарлагдана. Тийм учраас энэ нь оршин байдаг
.

Тиймээс,
.

Зорилго: Дарааллын тухай ойлголт, тодорхойлолт, төгсгөлтэй, төгсгөлгүй, дарааллыг тодорхойлох янз бүрийн арга замууд, тэдгээрийн ялгаа, жишээг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг хэрхэн ашиглахыг заах.

Тоног төхөөрөмж: Хүснэгт.

Хичээлийн явц

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. Урд талын шалгалт гэрийн даалгавар:

1) №2.636 самбар дээрх сурагч ("9-р ангийн бичгийн шалгалтын даалгаврын цуглуулга"-ийн II хэсгээс)

2) оюутан. График байгуулах

3) бүхэл бүтэн анги № 2.334 (а) урд талдаа.

III. Шинэ материалын тайлбар.

Сургуулийн лекц нь тодорхой сэдвийг судлахдаа оюутнуудыг гол зүйлд чиглүүлдэг боловсролын үйл явцыг зохион байгуулах хэлбэр бөгөөд багш, оюутнуудын боловсролын материалд хандах хувийн хандлагыг өргөнөөр харуулах явдал юм. Учир нь Хичээл-лекц нь багшийн материалыг том блокоор танилцуулах боломжийг олгодог бөгөөд дараа нь багш, оюутнуудын хоорондох аман харилцаа нь түүний технологийн гол зүйл юм. Багшийн үг сэтгэл хөдлөл, гоо зүйн нөлөө үзүүлж, тухайн хичээлд тодорхой хандлагыг бий болгодог. Лекцийн тусламжтайгаар анги дахь оюутны янз бүрийн үйл ажиллагааг удирдан чиглүүлж, мэдлэг, чадвар, чадвараар дамжуулан танин мэдэхүйг боловсролын үйл ажиллагааны үндэс болгон бүрдүүлдэг.

I. 3-аар төгссөн хоёр оронтой тоог өсөх дарааллаар бич.

13; 23; 33;………….93.

Хүн бүрт серийн дугаар 1-ээс 9 хүртэл тодорхой хоёр оронтой тоог тааруулна уу:

1->13; 2->23;………9->93.

Эхний есөн натурал тооны олонлог болон 3-аар төгссөн хоёр оронтой тооны олонлогийн хооронд захидал харилцаа тогтоогдсон. Энэ захидал харилцаа нь функц юм.

Тодорхойлолтын домэйн нь (1; 2; 3;……..9)

Олон утга (13; 23; 33;…….93).

Хэрэв захидал харилцааг f гэж тэмдэглэвэл

Энэ дарааллыг par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

б) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Хүснэгт №1

A)

б)

II.

О.о.ф. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) =;

g(3) =;

...

g(60) =

Натурал тооны олонлог дээр тодорхойлогдсон функцийг хязгааргүй дараалал гэнэ.

в) 2; 4; 6; 8; 10;……….

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- дарааллын гишүүд.

Жич: олонлог ба дараалал гэсэн ойлголтыг ялгах шаардлагатай.

a) (10; 20; 30; 40)

{40; 30; 20; 10}

Үүнтэй ижил багц.

b) гэхдээ 10-р дараалал; 20; 30; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

Төрөл бүрийн:

III. Дарааллыг анхаарч үзээрэй:

1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> хязгааргүй, нэмэгддэг

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> эцсийн, буурах.

A)

Хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байвал дарааллыг нэмэгдүүлэх гэж нэрлэдэг.

б)

Буурах дарааллын тодорхойлолтыг өгсөн болно.

Өсөх, буурах дарааллыг монотон гэж нэрлэдэг.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - хэлбэлзэлтэй;

5; 5; 5; 5; ….. - тогтмол.

IV. Дарааллыг геометрийн хэлбэрээр дүрсэлж болно. Учир нь дараалал гэдэг нь функцийн тодорхойлолтын муж нь N олонлог, дараа нь график нь хавтгай (x; y) цэгүүдийн олонлог юм.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Жишээ нь: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

Энэ дарааллыг зурцгаая

Зураг 1.

99; 74; 49; 24; -1;……………

Жишээ: Энэ хэлбэрээр өгөгдсөн дарааллыг батал

V. Дараалалыг тодорхойлох аргууд.

Учир нь Дараалал нь N олонлог дээр тодорхойлогдсон функц бөгөөд дарааллыг тодорхойлох таван арга байдаг.

I. Хүснэгт

II. Тодорхойлолтын арга

III. Аналитик

IV. График

V. Дахин давтагдах

I. Хүснэгттэй - маш тохиромжгүй. Бид хүснэгтийг зурж, аль гишүүнийг тодорхойлоход ашигладаг. тэр ямар газар эзэлдэг ......

II. Тайлбарлах арга.

Жишээ нь: Гишүүн бүрийг 4-ийн тоог ашиглан бичих дараалал, цифрүүдийн тоо нь дарааллын тоотой тэнцүү байна.

III. Аналитик арга(томъёо ашиглан).

Дарааллын гишүүн бүрийг n тоогоор нь илэрхийлэх томьёог дарааллын n гишүүний томьёо гэнэ.

Жишээ нь:

мөн оюутнууд эдгээр дарааллыг бүрдүүлдэг ба эсрэгээр: дарааллын нөхцлийн томъёог сонгоно уу:

a) 1; ;
Хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байвал дарааллыг нэмэгдүүлэх гэж нэрлэдэг. ...
;……………..
V)
G)

д) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV.График арга