Бүлэг 1. Нэмэлт. Декарт хувиргалт тэгш өнцөгт координатонгоц болон сансарт. Хавтгай болон орон зай дахь тусгай координатын системүүд.
Хавтгай болон орон зайд координатын системийг байгуулах дүрмийг 1-р бүлгийн үндсэн хэсэгт авч үзсэн болно. Тэгш өнцөгт координатын системийг ашиглахад тохиромжтой байдлыг тэмдэглэв. At практик хэрэглээаналитик геометрийн хэрэгслийг ашиглахын тулд батлагдсан координатын системийг өөрчлөх шаардлагатай байдаг. Энэ нь ихэвчлэн тав тухтай байдлын үүднээс тодорхойлогддог: геометрийн дүрсийг хялбаршуулж, тооцоололд ашигласан аналитик загвар, алгебрийн илэрхийлэл илүү тодорхой болно.
Барилга угсралт, ашиглалт тусгай системүүдкоординатууд: туйл, цилиндр, бөмбөрцөг хэлбэртэй байна геометрийн мэдрэмжасуудал шийдэгдэж байна. Тусгай координатын системийг ашиглан загварчлах нь ихэвчлэн практик асуудлыг шийдвэрлэхэд аналитик загварыг боловсруулах, ашиглахад тусалдаг.
1-р бүлгийн хавсралтаас олж авсан үр дүнг ашиглах болно шугаман алгебр, ихэнх нь- В математик шинжилгээмөн физикт.
Хавтгай ба орон зайд декартын тэгш өнцөгт координатыг хувиргах.
Хавтгай болон орон зайд координатын системийг байгуулах асуудлыг авч үзэхдээ координатын систем нь нэг цэг дээр огтлолцох замаар үүсдэг болохыг тэмдэглэсэн. тооны тэнхлэгүүд: хавтгайд хоёр тэнхлэг, орон зайд гурван тэнхлэг шаардлагатай. Векторуудын аналитик загварыг бий болгохтой холбогдуулан үйл ажиллагааны танилцуулга цэгийн бүтээгдэхүүнвекторууд ба геометрийн агуулгын асуудлыг шийдвэрлэхэд тэгш өнцөгт координатын системийг ашиглах нь илүү тохиромжтой болохыг харуулсан.
Хэрэв бид өөрчлөлтийн асуудлыг авч үзвэл тодорхой системкоординатууд хийсвэрээр, дараа нь дотор ерөнхий тохиолдолдур зоргоороо шилжихийг зөвшөөрөх боломжтой зай өгсөнтэнхлэгүүдийн нэрийг дур мэдэн өөрчлөх эрхтэй координат тэнхлэгүүд.
Бид үндсэн ойлголтоос эхэлнэ лавлагааны системүүд , физикт хүлээн зөвшөөрөгдсөн. Биеийн хөдөлгөөнийг ажиглахад хөдөлгөөн болохыг олж мэдсэн тусгаарлагдсан биеөөрөө тодорхойлох боломжгүй. Хөдөлгөөн ажиглагдаж байгаа, өөрөөр хэлбэл өөрчлөлттэй харьцуулахад дор хаяж нэг биетэй байх шаардлагатай хамаатан садан заалтууд. Аналитик загвар, хууль, хөдөлгөөнийг олж авахын тулд координатын системийг энэ хоёр дахь биетэй жишиг систем болгон холбосон бөгөөд координатын системийг ийм байдлаар холбосон. хатуу !
Хатуу биеийн орон зайн нэг цэгээс нөгөө цэг рүү дур зоргоороо шилжих хөдөлгөөнийг хөрвүүлэх болон эргэлтийн гэсэн хоёр бие даасан хөдөлгөөнөөр илэрхийлж болох тул координатын системийг өөрчлөх сонголтууд нь хоёр хөдөлгөөнөөр хязгаарлагддаг.
1). Зэрэгцээ дамжуулалт: бид зөвхөн нэг цэгийг дагаж мөрддөг - цэг.
2). Координатын системийн тэнхлэгүүдийг цэгтэй харьцуулахад эргүүлэх: хатуу биет байдлаар.
Хавтгай дээрх декарт тэгш өнцөгт координатыг хөрвүүлэх.
Хавтгай дээр координатын системтэй болцгооё: , ба . Координатын системийг системийн параллель орчуулгаар олж авна. Системийг өнцгөөр эргүүлснээр координатын системийг олж авдаг бөгөөд эргэлтийн эерэг чиглэлийг тэнхлэгийг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх байдлаар авна.
Батлагдсан координатын системийн суурь векторуудыг тодорхойлъё. Системийг параллель шилжүүлэх замаар системийг олж авсан тул эдгээр хоёр системийн хувьд бид үндсэн векторуудыг хүлээн авна: , ба нэгж нэг ба координатын тэнхлэгтэй чиглэлтэй давхцаж байгаа , . Системийн хувьд бид суурь векторуудыг авдаг нэгж векторууд, тэнхлэгүүдийн чиглэлд давхцаж байгаа , .
Координатын систем өгөгдсөн ба дотор нь цэг = тодорхойлогдсон байг. Бид хувиргахаас өмнө координатын системүүд болон . Координатын системд хэрэглэнэ зэрэгцээ шилжүүлэг, вектороор тодорхойлогддог. Энэ нь цэгийн координатын хувиргалтыг тодорхойлох шаардлагатай. Вектор тэгшитгэлийг ашиглая: = + , эсвэл:
Зэрэгцээ орчуулгын хувиргалтыг анхан шатны алгебрт сайн мэддэг жишээн дээр үзүүлье.
Жишээ D–1 : Параболын тэгшитгэл өгөгдсөн: = = . Энэ параболын тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруул.
Шийдэл:
1). Техникийг ашиглацгаая гадагшлуулах бүтэн дөрвөлжин : =, үүнийг дараах байдлаар хялбархан илэрхийлж болно: –3 = .
2). Координатын хувиргалтыг хэрэгжүүлье - зэрэгцээ шилжүүлэг := . Үүний дараа параболын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Алгебр дахь энэхүү хувиргалт нь дараах байдлаар тодорхойлогддог: парабол = нүүлгэн шилжүүлэлтээр олж авсан хамгийн энгийн параболбаруун тийш 2, дээш 3 нэгж.
Хариулт: хамгийн энгийн хэлбэрпарабол: .
Координатын систем өгөгдсөн ба дотор нь цэг = тодорхойлогдсон байг. Бид хувиргахаас өмнө координатын системүүд болон . Координатын системд эргэлтийн хувиргалт хийцгээе, ингэснээр түүний анхны байрлал, өөрөөр хэлбэл системтэй харьцуулахад энэ нь өнцгөөр эргэлддэг. = цэгийн координатын хувиргалтыг тодорхойлох шаардлагатай. Векторыг координатын системд бичээд : = гэж үзье.
Үүний зэрэгцээ, ямар ч өнцгийн хувьд бид: 
Энэ нь зурагнаас маш энгийнээр ажиглагдаж байна. Дараа нь: = . Сүүлийнх нь дараах хэлбэрээр бичигдэж болно: = . Векторын тэгшитгэлээс бид цэгийн координатын хувиргалтыг олж авна: .Зохиогчийн эрхийн зөрчил ба
Онгоц болон сансар огторгуй дахь өөрчлөлтүүд
Компьютер графикт хавтгай хайрцагтай холбоотой бүх зүйлийг ихэвчлэн 2 хэмжээст (2 хэмжээст), хоёр хэмжээст гэж нэрлэдэг бөгөөд орон зайн гэртэй холбоотой бүх зүйлийг 3D гэж нэрлэдэг.
Аффины хувиргалтонгоцонд
Аффинис - холбоотой (Латин). Учир нь тоонууд нь аффины хувиргалтын дор хадгалагддаг.
Зарим шулуун шугаман координатын систем (OXY) байна гэж бодъё. Дараа нь M цэг бүрийг хос координаттай (x,y) холбож болно. O * X * Y * координатын өөр системийг нэвтрүүлснээр та ижил M цэгт өөр хос координат (x *,y *) оноож болно. Нэг системээс нөгөөд шилжих:
x * =ax+by+c, |a b|¹0 нөхцөлтэй
y * =dx+ey+f |d e|
Эдгээр томьёог цэгийг хадгалж координатын системийг өөрчлөх, эсвэл координатын системийг хадгалж цэгийг өөрчилсөн гэсэн хоёр янзаар авч үзэж болно. Ирээдүйд эдгээр томьёог өгөгдсөн координатын систем дэх цэгүүдийн хувиргалт гэж яг таг авч үзэх болно. Түүнээс гадна, авч үзэж буй бүх системүүд нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байх болно (томъёо нь тэгш өнцөгт бус системтэй ажиллах боломжийг танд олгоно).
 |
М цэгийн координатыг Mx, My координаттай эхээс вектор хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Дараа нь хувиргалтыг дараах байдлаар бичиж болно вектор хэлбэр(энэ нь зөвхөн үнэн юм тэгш өнцөгт системкоординатууд).
M*=((M-O*)X*,(M-O*)Y*)
Хоёр дахь системийн гарал үүслийн О*-координатууд эхнийх нь координатууд хаана байна. X*,Y* - эхний координат дахь хоёр дахь координатын системийн векторууд (вектор чиглэлүүд).
a=(Xx*), b=(Xy*),c=-O*X*
d=(Yx*), e=(Yy*),f=-O*Y*
Энэ хувиргалтыг матриц хэлбэрээр бас бичиж болно
, эсвэл 
, векторуудыг 1´2 хэлбэрийн матриц хэлбэрээр авч үздэг.
C=AB матрицын Cij элемент нь А матрицын i-р эгнээний элементүүдийг В матрицын j-р баганын элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр юм.
Урвуу хөрвүүлэлт– шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл эсвэл урвуу матрицыг ашиглах 
, гэхдээ системийг орцоор төлөөлсөн тохиолдолд илүү хялбар байж болно. Энэ тохиолдолд урвуу матрицшилжүүлсэнтэй тэнцүү байна.
Аффины хувиргалт - геометрийн хувиргалтонгоц эсвэл орон зай ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ-ийг эргэлт, орчуулга, өвөрмөц тусгалба координатын тэнхлэгүүдийн чиглэлд масштаблах.
Эргүүлэх (R - эргэлт). Өнцөг дээр эхийн эргэн тойронд a.
x * =x*cosa-y*sina
у * =х*сина+у*коса
Координатын тэнхлэгийн дагуух хурцадмал байдал, шахалт (D - тэлэлт).
Тусгал (M - толь). Абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад.
Дамжуулах (T - орчуулга).
Шилжүүлгийг матрицаар векторын үржвэр хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй, харин векторуудын нийлбэрээр илэрхийлж болно. 
Аналитик геометрийн явцад аливаа хувиргалтыг эдгээр хамгийн энгийн хувиргалтуудын дараалсан гүйцэтгэл (суперпозиция) хэлбэрээр дүрсэлж болох нь батлагдсан.
Заримдаа бүх өөрчлөлтийг нэг дор илэрхийлэх нь тохиромжтой байдаг матриц хэлбэр, энэ зорилгоор нэгэн төрлийн координатыг ашигладаг.
Нэг төрлийн координат
M цэгийн хувьд x,y координатуудХавтгай дээр нэгэн төрлийн координатууд нь x1, x2, x3 тоонуудын гурвалсан тоо бөгөөд тэдгээр нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш ба харилцаа холбоотой x1/x3=x, x2/x3=y. Хавтгай дээрх x,y координаттай цэг нь нэгэн төрлийн орон зай дахь xh,y,h,h цэгтэй холбоотой байдаг ба ихэвчлэн h=1 (x,y,1).
Ерөнхий хувиргалтоноо нэгэн төрлийн координатуудаа гэсэн хэлбэрээр бичиж болно.
Үндсэн хувиргах матрицууд дараах байдлаар харагдах болно.
Өөрчлөлтийн хослол.
Та ямар нэг А цэгийн эргэн тойронд нэг цэгийг өнцгөөр эргүүлэх хэрэгтэй гэж бодъё.
Эхлээд А цэгийг координатын эх (-Ax,-Ay) руу шилжүүлнэ. Дараагийн ээлж. Дараа нь A цэг рүү буцаана (Ax,Ay). Нэг удаагийн хувиргалтыг олж авах боломжтой
Орон зай дахь аффины хувиргалт
3 хэмжээст орон зайд цэгийг (вектор) гурван координат (x,y,z) эсвэл дөрвөн нэгэн төрлийн координатаар (x,y,z,1) төлөөлдөг.
Зүүн ба баруун гурвалсан векторын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх хэрэгтэй. Гурав a,b,c векторХэрэв векторуудын эхлэлийг нэгтгэсний дараа а-аас b хүртэлх хамгийн богино эргэлт нь в векторын төгсгөлөөс цагийн зүүний эсрэг явж байгаа ажиглагчдад харагдаж байвал баруун гар гурвалжин үүснэ. Дүрэм баруун гар– в вектор а тохойтой зэрэгцсэн, в вектор б алган дээр, в вектор в-тэй давхцаж байна. эрхий хуруу. Хэрэв чиглэлийн векторууд нь баруун гарын гурвалсан хэлбэртэй бол координатын системийг ихэвчлэн баруун гар гэж нэрлэдэг.
Вектор урлагийн бүтээл c=a´b, c нь хоёр векторт перпендикуляр вектор бөгөөд тэдгээртэй баруун талын гурвалжинг үүсгэдэг.
Cx=Ay*Bz-Az*By, Cy=Az*Bx-Ax*Bz, C z=Ax*By- Ay*Bx
Өөрчлөлтүүд ижил хэвээр байна: эргэлт (зөвхөн одоо гурван тэнхлэгийн эргэн тойронд), суналт, тусгал (гурван хавтгайтай харьцуулахад), шилжүүлэг.
Зүүн координатын системийн гарал үүсэлээс харахад цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх (баруун талын хувьд эсрэгээр).
, 
, 
, 
, 
, 
Жишээлбэл, та А цэгийг дайран өнгөрөх L чиглэлийн вектор бүхий шулуун шугамын эргэн тойронд эргэлтийн матриц байгуулах хэрэгтэй.
1. А-г эх цэг рүү шилжүүлнэ
2. Шулуун шугамыг X тэнхлэгтэй зэрэгцүүлэх.
Эхлээд X тэнхлэгийг тойрон эргүүлнэ
өнцгөөр a, cosa=Lz/d, sina=Lx/d, энд d=
Хэрэв d=0 бол шулуун шугам X тэнхлэгтэй аль хэдийн давхцаж байна.
Дараа нь Y тэнхлэгийг б өнцгөөр эргүүлнэ.
Эргүүлсэн вектор нь (Lx,Ly,Lz,1)=(Lx,0,d,1) байна.
cosb=Lx, sinb=d 
3. X тэнхлэгийг тойрон хүссэн өнцгөөр эргүүлнэ
4. L тэнхлэг рүү буцах,
5. А цэг рүү шилжүүлнэ
Ерөнхий матриц нь байх болно
Орцоор тодорхойлсон координатын систем рүү хөрвүүлэх
Хэрэв системийг X*,Y*,Z* харилцан перпендикуляр нэгж векторуудын гурвалсан тоогоор өгвөл.
, урвуу хувиргалт – шилжүүлсэн матриц [R] T
Дизайн
Дизайн нь юуны түрүүнд харуулахын тулд маш чухал юм гурван хэмжээст объектуудхавтгай дэлгэц дээр, гэхдээ сүүдэр гэх мэт бусад програмууд байдаг.
Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хоёр төрлийн загвар байдаг: зэрэгцээ ба төв (перспектив).
Объектыг хавтгайд проекцлохдоо тухайн объектын цэг тус бүрээр дамжуулан өгөгдсөн проекцын цацрагаас шулуун шугам татах ба энэ шулуун шугамын хавтгайтай огтлолцох хэсгийг олох хэрэгтэй.
At зэрэгцээ загварцацраг нь тодорхой цэгээр дамждаг төв нь зэрэгцээ шугамуудаас бүрддэг.
Зэрэгцээ төсөөллийг хоёр төрөлд хувааж болно, цацрагийн шугамууд нь проекцын хавтгайд перпендикуляр байвал проекцийг аксонометр гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв тийм биш бол ташуу гэж нэрлэдэг (бид ийм төсөөллийг авч үзэхгүй).
Гэсэн хэдий ч дэлгэцэн дээрх объектын аксонометрийн зэрэгцээ проекцийг олж авахын тулд цацрагийн чиглэлийг тэнхлэгүүдийн аль нэгтэй (ихэвчлэн Z) хослуулах хэрэгтэй. X ба Y тэнхлэгүүд нь давхцах болно X,Y тэнхлэгүүддэлгэцэн дээр байх ба Z тэнхлэг нь дэлгэцийн гүн рүү чиглэнэ.
Цэгийн хэтийн төлөвийг авахын тулд цацрагийн алга болох цэгийг координатын эхэнд байрлуулж, дэлгэцийн чиглэлийг (мөхөх цэгээс проекцын хавтгайд перпендикуляр) Z тэнхлэгтэй зэрэгцүүлэх нь маш чухал юм. Xp=X*d/Z, Yp=Y*d/Z, энд d нь эхээс проекцын хавтгай хүртэлх зай юм.
Энэ хувиргалтыг матриц хэлбэрээр бичиж болно. 
,
Цорын ганц зүйл бол ийм хувиргалтанд гүн (z) алдагдах боловч векторын сүүлчийн координатаас тооцоолж болно.
Эдгээр дизайны өөрчлөлтүүдээс гадна зураг дэлгэцэн дээр зөв харагдахын тулд хэд хэдэн өөрчлөлт хийх нь маш чухал юм. Нэгдүгээрт, цонхны хэмжээгээр сунгах, хоёрдугаарт, X тэнхлэгийн эргэн тойронд толин тусгал хийх шаардлагатай (У тэнхлэг нь ихэвчлэн доошоо чиглэсэн байдаг), гуравдугаарт, цонхны төв рүү шилжүүлэх шаардлагатай. цонх.
Ерөнхий хувиргах матриц дараах байдалтай байна.
Cx,Cy – дэлгэцийн төвийн координатууд.
харьцаа – өөр өөр дэлгэцийн нягтралд ялгаатай Y хэмжээтэй X хэмжээтэй харьцуулсан харьцаа. Нарийвчлал - нэгж гадаргууд ногдох цэгийн тоо, д энэ тохиолдолднэгж - бүх дэлгэцийн дэлгэц. Хяналтын дэлгэц нь харьцаатай байдаг хэвтээ хэмжээбосоо 4/3 хүртэл, тиймээс хэвтээ ба босоо пикселийн тоо нь энэ тооны харьцаа=1 (жишээ нь 640/480) үржвэртэй нягтралын хувьд. Үгүй бол харьцаа=(4*хэмжээ)/(3*хэмжээ) (320x200 =0.83).
S – масштабын хүчин зүйл, хувьд зэрэгцээ проекцгараар сонгосон хэтийн төлөвийн төсөөлөл S нь нэгтэй тэнцүү боловч d (дизайн хавтгай хүртэлх зай) FOV (харагдах талбар) дээр үндэслэн тооцоолно. FOV нь цацраг дахь шулуун шугамаар үүссэн хамгийн их өнцөг, харах өнцөг юм.
FOV нь ихэвчлэн 50 ° -аас 100 ° хооронд хэлбэлздэг, хүний нүдний FOV нь 90 ° байдаг.
Дэлхий, загвар, дэлгэцийн координатын систем
Дэлхий бол бүх үзэгдлийн объектыг тодорхойлсон координатын гол систем юм.
Загвар – координатын систем байдаг дотоод бүтэцобъектууд.
Дэлгэц 
– ажиглагчийн координатын систем, мөн камерын координатын систем гэж нэрлэдэг.
Загварыг ихэвчлэн загварын системд системийн төв нь загварын геометрийн эсвэл массын төвтэй давхцаж, X тэнхлэг нь урагш чиглэсэн, Y тэнхлэг нь зөв чиглэлтэй давхцаж байхаар байрлуулдаг. , мөн Z тэнхлэг нь дээш чиглэсэн чиглэлтэй давхцаж байна.
Загвар нь дэлхийн координатын системд загварын төвийн координатуудаар тодорхойлогддог M (вектор) ба чиг баримжаа (гурван өнцөгт эсвэл өнхрөх гурван өнцөг (X), давирхай (Y), курс (Z), матриц нь эргэлтийн дараалал хэлбэрээр үүссэн). Загварын координатаас хувиргахын тулд эхлээд чиг баримжаа матрицын дагуу эргүүлж, дараа нь орчуулах ёстой.
Курс Roll Pitch
Камерын байрлал, чиг баримжаа нь загварын байрлалтай яг ижил байдлаар тохируулагдаж болно. Гэхдээ ихэнхдээ камерын харах чиглэл хангалттай байдаг. Ихэвчлэн (д бодит амьдрал) камер ямар ч өнхрөхгүй, ᴛ.ᴇ. X тэнхлэг (баруун талд) үргэлж хэвтээ, YZ хавтгай нь үргэлж босоо байдаг.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, хэрэв бид камерын Z тэнхлэгийг (харах чиглэл) босоо биш гэж үзвэл X тэнхлэг=Норм(Z´Дээш), Дээш(0,0,1) нь босоо вектор ( X нь босоо векторт перпендикуляр байх болно Up , энэ нь хэвтээ гэсэн үг юм). Эцэст нь Y=X´Z тэнхлэг (дээш). Систем зүүн хэвээр байгаа эсэхийг шалгаарай.
Дэлхийн системээс цэгүүдийг дэлгэцийн цэг рүү хөрвүүлэхийн тулд эхлээд орчуулгыг хийж, дараа нь шилжүүлсэн камерын чиг баримжаа матриц T-ээр эргүүлэх нь чухал юм.
Гэсэн хэдий ч цэгийг загварын координатаас дэлгэцийн координат руу хөрвүүлэхийн тулд дараах T хувиргалтыг хийх нь туйлын чухал юм. Ийм хувиргалт хийсний дараа Z тэнхлэгийг харах чиглэлийн дагуу чиглүүлж, дизайныг хийж болно.
Лекц 6-7-8
Хавтгай ба орон зай дахь өөрчлөлтүүд - үзэл баримтлал ба төрлүүд. "Онгоц ба сансар дахь өөрчлөлтүүд" ангиллын ангилал, онцлог 2017, 2018 он.
Хавтгай дээрх (эсвэл орон зайд) зарим векторыг авъя (Зураг 142). Аффин хувиргалтын үед цэгүүд нь хуучин хүрээтэй харьцуулахад шинэ хүрээтэй ижил координаттай цэгүүд болж хувирдаг. Векторын координатыг түүний координатыг хасаж гаргаж авдаг тул эхлэх цэгтүүний төгсгөлийн координатаас эхлэн шинэ жишигтэй харьцуулахад векторын координатууд нь хуучин жишигтэй харьцуулахад векторын координатуудтай ижил байна. Тэгэхээр:
Аффины хувиргалтын үед вектор нь хуучин фреймтэй ижил координаттай шинэ хүрээтэй харьцуулахад вектортой холбоотой байдаг.
Энэ нь нэн даруй affine хувиргалт дор дараах тэнцүү векторуудтэнцүү тул:
2° Хавтгайн (орон зай) аффин хувиргалт нь тухайн хавтгайн бүх чөлөөт векторуудын (хариулт орон зай) V сортын нэгийг харьцах зураглалыг (хувиргах) үүсгэдэг.
Энэ өөрчлөлт нь бий дараах өмчшугаман байдал: хэрэв өгөгдсөн хувиргалтаар u, v векторууд u, v векторуудтай тохирч байвал вектор нь вектортой, вектор нь Лие вектортой тохирно (үүнийг нэн даруй дараах руу орж нотлох боломжтой. координатууд). Шугаман байдлын шинж чанараас дараахь зүйлийг олж авна.
Хэрэв өгөгдсөн аффины хувиргалтын хувьд векторууд нь векторуудтай тохирч байвал дурын шугаман хослол болно
векторууд нь шугаман хослолтой тохирч байна
векторууд (ижил коэффициенттэй).
Аффин хувиргалтын үед тэг вектор нь 0-тэй тохирч байгаа тул батлагдсан зүйлээс харахад:
4° Аффины хувиралтай шугаман хамааралвекторууд хадгалагдан үлдсэн бөгөөд энэ нь дурын хоёр коллинеар вектор коллинеар, дурын гурав болж хувирдаг гэсэн үг юм компланар векторуялдаатай болох).
5° Аффины хувирал руу урвуу хувирах нь аффины хувирал юм.
Үнэн хэрэгтээ, хавтгайн өгөгдсөн аффин хувиргалт А нь фреймээс фрейм рүү шилжсэнээр өгөгдсөн бол кадраас фрейм рүү шилжсэнээр өгөгдсөн аффины хувирал нь харахад хялбар байдаг шиг А хувиргалттай урвуу хувирал юм.
Орон зайд ч мөн адил.
Аффин хувиргалтын үед векторуудын шугаман хамаарал хадгалагдан үлдэж байгааг бид харсан. Хадгалсан ба шугаман бие даасан байдалвекторууд:
6° Аффины хувиргалтаар А, шугаман бүр Үгүй ээ хамааралтай системтэдгээрийн векторууд, . шугаман бие даасан нэг рүү шилжсэн - өөрөөр хэлбэл, А-тай урвуу аффин хувиралтай, шугаман хамааралтай систем ба, . шугаман бие даасан болох бөгөөд энэ нь бидний мэдэж байгаагаар боломжгүй юм.
Хүрээ нь шугаман систем учраас бие даасан векторууд(хоёр нь хавтгайд, гурав нь орон зайд) өгөгдсөн O цэг дээр хэрэглэсэн, дараа нь аффин хувиргалтаар хүрээ бүр хүрээ болно. Дээрээс нь санал байна
7° Аффин зураглалаар (I хүрээнээс хүрээ рүү шилжсэнээр өгөгдсөн) II хүрээ бүр хүрээ рүү [ ба M цэг бүр (u вектор бүр) хүрээтэй ижил координаттай М цэг рүү (вектор руу) очно. цэг M ба вектор ба жишиг II-тэй харьцангуй байсан.
Онгоц болон орон зайн хувьд нотлох баримт нь адилхан. Онгоцны тухайд өөрсдийгөө хязгаарлая. II нь хүрээ (Зураг 143), фрейм нь эхлээд векторуудын тухай өгүүлбэр байг. Хэрэв вектор нь жишиг хүрээтэй харьцуулахад координаттай бол . Харин дараа нь векторын дүрс нь 3° шинж чанараараа вектор болно
жишигтэй харьцуулахад координатуудтай байх. М цэг нь жишиг цэгтэй харьцуулахад координаттай байг.
Дараа нь өмнөхийн дагуу жишиг цэгтэй харьцуулахад OM сектор, тиймээс М цэг нь координаттай болно. Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.
Батлагдсан мэдэгдэл нь чухал юм: үүнээс үзэхэд ямар нэгэн фреймээс фрейм рүү шилжих замаар аффин хувиргалтыг тодорхойлсны дараа бид ямар ч хүрээг анхных болгон авч, ямар хүрээ рүү явахыг зааж өгч болно.
Саяхан хэлсэн тайлбарын хэрэглээний хувьд бид хоёр аффины хувирлын бүтээгдэхүүн нь аффины хувирал гэдгийг баталж байна.
Үнэн хэрэгтээ, I фреймээс II фрейм рүү шилжих замаар аффины хувиргалтыг өгье. Сая нотлогдсоны дагуу бид II фреймээс III фрейм рүү шилжих замаар аффин хувиргалтыг тодорхойлж болно. Дараа нь I хүрээнээс III хүрээ рүү шилжихэд өгөгдсөн аффины хувирал нь хувиргалт ба хувирлын үржвэр болох нь ойлгомжтой.
Тайлбар 1. 1° - 7° аффины хувиргалтуудын саяхан батлагдсан шинж чанарууд нь нэг хавтгайг нөгөө хавтгайд (гурван хэмжээст орон зайн нэг тохиолдлыг нөгөө рүү) аффины зураглалд ашиглах нь ойлгомжтой.
Хавтгай буюу орон зайн ижил төстэй хувирал нь мэдээжийн хэрэг аффин хувирал юм. Аффин руу урвуу хувирах нь аффин гэдгийг санаарай. Эцэст нь, бидний сая нотолсончлан, хоёр аффины хувирлын бүтээгдэхүүн нь аффины хувирал юм. Эндээс - § 6, 6 дахь хавсралтад заасан нөхцөлийг үндэслэн дараахь үндсэн зарчмыг нэн даруй дагаж мөрдөнө.
Теорем 1. Бүх хавтгай (сансрын) хувиргалтуудын бүлэгт аффины хувиргалт нь дэд бүлгийг үүсгэдэг.
Аффин хувиргалтуудын дунд хөдөлгөөнүүд нь нэг тэгш өнцөгт координатын системээс нөгөөд шилжих замаар тодорхойлогддог, мөн тэгш өнцөгт хэлбэртэй, ижил масштабтай байдгаараа ялгагдана. Хөдөлгөөний урвуу хувирал нь хөдөлгөөн бөгөөд хоёр хөдөлгөөний үржвэр нь хөдөлгөөн юм. Учир нь таних тэмдгийн хувиралБайна онцгой тохиолдолхөдөлгөөн, тэгвэл (Теорем 1-тэй бүрэн зүйрлэвэл) бидэнд бас бий
Теорем 1. Бүх аффины хувиргалтуудын бүлэгт хөдөлгөөн нь дэд бүлгийг үүсгэдэг.
Бид аффины хувиргалт ба зураглалын хамгийн энгийн шинж чанаруудыг жагсаасаар байна.
Гурван цэг нь зөвхөн векторууд нь коллинеар байвал коллинеар болно. Аффин хувиргалтын үед векторуудын коллинеар байдал хадгалагддаг тул цэгүүдийн харилцан хамаарал нь мөн хадгалагдана. Үүнээс үүдэн:
Аффин зураглалаар (хавтгай эсвэл орон зайн) шулуун шугам нь шулуун шугам болдог.
Одоо бид энэ баримтын хоёр дахь нотлох баримтыг өгөх болно.
Аффины зураглалыг өгье. Энэ нь М цэг бүр нь координаттай байхаас бүрдэнэ координатын систем) хоёр дахь системд ижил координаттай M цэг рүү очно. Үүнээс үүдэн:
9° Өгөгдсөн аффины зураглалаар (хүрээнээс хүрээ рүү шилжих шилжилтээр тодорхойлогддог) координатууд нь (координатын систем дэх) зарим тэгшитгэлийг хангадаг бүх цэгүүдийн олонлог нь систем дэх координатууд нь ижил тэгшитгэлийг хангадаг цэгүүдийн багц руу ордог. тэгшитгэл.
Ялангуяа тэгшитгэлтэй шулуун шугам
(системд) ижил тэгшитгэлтэй шулуун шугам руу орох болно, гэхдээ зөвхөн координатын системд.
Үүний нэгэн адил орон зайн аффин хувиргалтаар (хүрээнээс хүрээ рүү шилжих замаар тодорхойлогддог) систем дэх тэгшитгэлтэй хавтгай байна.
ижил тэгшитгэлтэй (2) хавтгайд ордог, гэхдээ зөвхөн координатын системд .
Орон зайд "ерөнхий тэгшитгэл"-ээр тодорхойлогдсон шулуун шугам
эсвэл түүний нэг буюу өөр тусгай хувилбар, жишээлбэл, каноник тэгшитгэл
Өгөгдсөн аффины хувиргалтаар энэ нь ижил тэгшитгэлтэй шулуун шугам болж хувирна, гэхдээ зөвхөн координатын системд . Тэгэхээр энэ нь батлагдсан
Теорем 2. Хавтгайн аффин хувиргалтаар орон зай, шулуун шугамууд шулуун, хавтгайнууд хавтгайд ордог.
Үүний зэрэгцээ параллелизм хадгалагдана.
Үнэн хэрэгтээ, хэрэв хоёр шулуун шугам (эсвэл хоёр хавтгай, эсвэл шулуун ба хавтгай) параллель байвал тэдгээрийн хүрээтэй харьцуулахад тэгшитгэл нь мэдэгдэж буй параллелизмын нөхцлийг хангадаг; гэхдээ эдгээр шугамын (хавтгай) зургууд нь хүрээтэй ижил тэгшитгэлтэй тул ижил параллелизмын нөхцлийг хангадаг.
Тайлбар 2. Аффины хувиргалт дахь параллелизм хадгалагдан үлдсэнийг мөн аффины хувиргалт нь нэгийг харьцдаг гэдгийг ашиглан дүгнэж болно.
Үнэн хэрэгтээ аливаа нэгийг харьцах зураглалын хувьд (жишээлбэл, өөр дээрээ байгаа орон зай) хоёр (ямар ч) олонлогийн огтлолцлын дүрс нь эдгээр олонлогуудын зургийн огтлолцол юм.
Энэ нь хоёр огтлолцсон олонлог нь нэгийг харьцах дурын зураглалын дор огтлолцсон олонлог болно гэсэн үг юм.
Хавтгайн аффин хувиргалтаар хоёр зэрэгцээ шугам, орон зайн аффин зураглалаар хоёр шугам гарч ирнэ. зэрэгцээ хавтгайнуудзэрэгцээ болох; шулуун ба хавтгай хоорондын параллелизмын шинж чанар мөн хадгалагдан үлджээ.
Орон зайд хоёр зэрэгцээ шугам өгье; Тэд нэг хавтгайд хэвтэж, огтлолцдоггүй. Орон зайн аффин хувиргалтаар эдгээр хоёр шугам нь нэг хавтгайд байрладаг, огтлолцдоггүй хоёр шугам болж, өөрөөр хэлбэл хоёр зэрэгцээ шугам болж хувирна.
Теорем 3. Хавтгай (орон зай)-ийн аффин хувиргалт нь d шугамыг шулуун болгон хувиргахад d шугамын сегмент нь шулууны сегмент болон d шугамын М цэг рүү орж, сегментийг хуваах болно. энэ талаар K, цэг рүү явна
M нь сегментийг ижил харьцаагаар хуваах d шулуун шугам юм (Зураг 144).
Баталгаа. Эерэг А-ийн хувьд бид сегмент дотор байрлах цэгүүдийг (тус тусад нь, сөрөг хувьд - энэ сегментийн гадна) авдаг тул эхнийх нь теорем 3-ын хоёр дахь мэдэгдлээс дагалддаг. Бид 3-р теоремын хоёр дахь мэдэгдлийг нотолж, зөвхөн жишээгээр хязгаарладаг. Бидэнд (координатын системд) онгоц байна
М цэг нь хэрчмийг -тэй харьцуулж хуваадаг тул
орон зайд эдгээр тэгш байдал нь тэгшитгэлээр нэмэгдэнэ. Энэхүү аффин хувиргалтаар цэгүүд нь цэгүүдтэй ижил координаттай цэгүүд болж хувирах боловч зөвхөн координатын системд байдаг. Эдгээр координатууд нь (3) хамаарлаар холбогдсон хэвээр байгаа бөгөөд үүнээс MM сегмент нь харьцаагаар хуваагдана. Энэ нь теорем 3-ыг баталж байна.
Сансар огторгуйн А аффин хувиргалтаар хавтгайг хавтгайд буулгая. Хавтгайн зарим нэг лавлагаа цэгийг, өөрөөр хэлбэл ямар нэг o цэгт хэрэглэсэн коллиар бус векторуудын хосыг авч үзье (Зураг 145). А-г хувиргах үед хавтгайн тухай цэг нь хавтгайн тухай цэг рүү, коллинеар бус векторууд нь коллинеар бус векторууд руу орно, өөрөөр хэлбэл, хавтгайн жишиг цэг нь онгоцны лавлах цэг рүү шилжих болно.
Дараа нь хавтгайд хэвтэж буй аливаа вектор нь тухайн вектор нь жишиг цэгтэй харьцуулахад ижил координаттай хавтгайд хэвтэж буй вектор болж хувирна. Үүнээс үзэхэд хавтгайн аль ч М цэг нь жишиг цэгтэй харьцуулахад хавтгайд байгаа М цэгтэй ижил координаттай хавтгайн М цэг рүү очих болно. Өөрөөр хэлбэл, теорем 4. Орон зайн аффин хувиргалтаар i хавтгай хавтгайд оръё. Дараа нь А хувиргалт нь дурын жишиг хавтгайг тодорхой жишиг хавтгайд буулгаж, хавтгайн М цэг бүрт тухайн хавтгайн М цэгийг оноож өгдөг бөгөөд энэ нь жишиг цэгтэй харьцуулахад М цэгтэй ижил координаттай байна. цэг. Өөрөөр хэлбэл: А хувиргалт нь хавтгайн хавтгайн аффин зураглалыг үүсгэдэг.
Таны таамаглаж байгаачлан сансрын хувьд бүх зүйл онгоцтой адил юм. Хавтгай дээрх нэгэн төрлийн координат дахь AP-тай холбоотой бүх дүрмүүд орон зайд хадгалагдаж, онгоцонд байсан бүх асуудал сансарт үлддэг. Эдгээр бүх дүрмүүд аль ч хүнд хүчинтэй гэж үзэж болно n хэмжээст орон зай. Та сайн санаж байх ёстой зүйл: байгаа өөр өөр ойлголтууд: радиус вектор нь үндсэндээ CG-ийн цэг бөгөөд чөлөөт вектор нь зүгээр л чиглэл, гурав дахь ойлголт нь хэвийн байна. Тэдний хувьд өөрчлөлтийг өөр өөрөөр тодорхойлдог. Сансарт бүх зүйл адилхан, орон зайд энэ нь илүү хамааралтай, учир нь Гурван хэмжээст графикт онгоцонд тэр бүр гардаггүй, эсвэл огт гардаггүй олон асуудал байдаг.
Тиймээс орон зайд бид x, y, z гурван координаттай бөгөөд нэгэн төрлийн шинж чанарыг олж авахын тулд W координатыг нэмж оруулсан болно. Мөн AP-ын хувьд W=1, дараа нь (x, y, z) = ( , ) гэж үзнэ.
Ерөнхий тохиолдолд хувиргалтыг векторын скаляр үржвэрээр дүрсэлж болно - мөр ба хувиргах матриц - слайд 29:
Матрицад 12 коэффициент байна. Блок (3х3) (2 хэмжээст блок (2х2) шиг) нь хувиргалтыг хариуцдаг - эргүүлэх, масштаблах ... Доод шугам нь зэрэгцээ орчуулгыг хариуцдаг, баруун багана нь хэтийн өөрчлөлтийг хариуцах ёстой, гэхдээ бид авч үзэхгүй. эдгээр асуудлууд одоохондоо. Өөрчлөлтийн матрицууд нь ижил төстэй дүр төрх, утгатай байдаг - (слайд 30)
ба эргэх - (слайд 31)
Хэрэв бид цэгийг эргүүлэх жишээг эргэн санавал үүнийг сансарт тийм амархан хийх боломжгүй юм. Хавтгай дээр авч үзсэн эргэлт нь үндсэндээ Z тэнхлэгийн эргэн тойронд хийгдсэн бөгөөд хэрэв орон зайн зарим цэгийг эргүүлэх шаардлагатай бол үүнийг хоёрдмол утгагүй зааж өгөх боломжгүй. энгийн үйлдэл. Үүнийг тайлбарлах болно гурван матриц– Z тэнхлэг, X тэнхлэг, Y тэнхлэгийн эргэн тойронд, i.e. үүнийг хэд хэдэн тусдаа үйлдлээр гурван бүрэлдэхүүн хэсэг болгон хуваах шаардлагатай болно.
Өөр нэг тэмдэглэл - матрицын тодорхойлогч нь 1-тэй тэнцүү байна. Энэ нь эргэлтийн явцад объект хэмжээ нь өөрчлөгдөхгүй бөгөөд ямар ч деформацид орохгүй гэсэн үг юм. хатуу бие шиг биеэ авч явдаг. Энэ биед орон зайд шаардлагатай чиглэлийг өгч болно. Зэрэгцээ шилжүүлгийн талаар ижил зүйлийг хэлж болно.
Илүү олон бий бүх нийтийн аргаэхийг дайран өнгөрөх дурын тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлт хийх. Ийм хувиргалтын матриц нь QUATERNIONS дээр бүтээгдсэн бөгөөд доор өгөгдсөн болно.
Та кватернионуудтай танилцах хэрэгтэй!
Квартерний тухай тэмдэглэл.
Сүүлийн хамаарлыг гаргахдаа кватернион гэсэн ойлголтыг ашигласан. Энэ бол гиперкомплекс тоонуудын систем юм (1843 онд тухайн үед Английн ахлах одон орон судлаач Гамильтон санал болгосон).
Квартернион нь хос (a, ū ). a нь скаляр, бодит тоо юм. ū - гурван хэмжээст орон зайн вектор. Квартернионууд нь бусад тооны цуваатай төстэй гиперкомплекс тоонуудын систем (цуврал) үүсгэдэг. Товчхондоо, энэ нь 4 бүрэлдэхүүн хэсэг юм математикийн хийсвэрлэлөөрийн шинж чанар, нэмэх, үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх дүрэмтэй. Ерөнхийдөө дөрөвний нэгийг a+bi+cj+dk нийлбэрээр илэрхийлж болно, энд a,b,c,d – бодит тоо, ба i,j,k нь бууруулж болохгүй төсөөллийн нэгжүүд, мөн тэдний хувьд энэ нь тогтоогдсон
i 2 =j 2 =k 2 =ijk= -1;
Жишээ тооны цуврал:
Байгалийн: 1,2,3,4,5….
Бүхэл тоо: 0,1,-1,2,-2,…
Рациональ: 1;-1;1/2; 0.12,..
Бодит: оновчтой + иррационал: π, e, ,….
Цогцолбор: -1; ½; π; 3i+z; -еiπ/3;… (өмнөх бүх зүйлийг оруулна)
Квартернионууд: 1; -1; 1/2; би; j; k; πj-1/2к; ...
9. Гурван хэмжээст хувиргалтын жишээ - камерын матрицыг бүтээх -(слайд 34)
Ихэнхдээ ажиглалтаас үзэгдэл рүү шилжих шаардлагатай болдог. Тэдгээр. Тодорхой үзэгдэл байгаа бөгөөд та гурван хэмжээст хувиргах матрицыг ашиглан ажиглалтыг энэ үзэгдэл рүү өөрчлөхийг хүсч байна.
Виртуал ажиглагч (камер) нь "C" цэгт байрладаг гэж бид таамаглаж байна ортогональ систем координатууд U,V,N
мөн өөр координатын систем байдаг - X,Y,Z (дэлхий). Дэлхийн координатууд нь орон зай дахь объектуудын жинхэнэ байрлалыг тодорхойлдог. Дэлгэцийн координатын систем нь компьютер дээр дүрсийг нэгтгэх (бүтээх) зориулалттай. онгоц. Энэ систем нь хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст байж болно. Мөн өөр координатын системүүд байдаг, тухайлбал дүрсийг өгөгдсөн хэлбэрээр харуулах зургийн төхөөрөмжүүдийн системүүд.
Төсөл- График төхөөрөмж дээр объектыг харуулах арга: хавтгай, гадаргуу дээр дэлгэц, цаас, даавуу эсвэл бусад материаллаг орчин.
Бид координатын систем хоёулаа баруун гартай, камерт байгаа болон дэлхийн нэг системтэй гэж таамаглах болно. Энэ нь Z тэнхлэг бидэн рүү чиглэж байна гэсэн үг. Бүх чиглэлийн векторууд хэвийн, байгалийн жамаар ортогональ байна. Энэ нь тооцооллын багцыг багасгахад шаардлагатай. Камер С нь программд нэг удаа тодорхойлогдсон зарим нэг удаагийн хийсвэрлэл гэж үзэх ёстой. Үүнийг урьдчилан тохируулж, дараа нь бүх объектод хэрэглэж болно.
Тохируулах гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Тохируулах гэдэг нь бүх векторуудыг ортонормалж, өөр CS дахь векторууд - чиглэлүүдтэй зохицуулах гэсэн үг юм. Дараа нь нөхцөл байдал шаардлагатай бол үүнийг хэрэглээрэй.
Бид юу хайх гэж байна вэ? Бид объектыг дэлхийн координатын системээс ажиглагчийн координатын систем рүү шилжүүлэх өөрчлөлтийг хайх болно.
Бид үүнийг яаж хийх вэ?
Эхлээд (- C z), (- C y), (- C x) дээрх Дэлхийн CS координатуудын гарал үүсэл рүү камерыг шилжүүлье; дараа нь бид эргэлдэж, -U тэнхлэг нь X тэнхлэгтэй, V нь Y тэнхлэгтэй, N тэнхлэг нь Z тэнхлэгтэй давхцах байдлаар эргэх болно; тэдгээр. Бид хувиргах матрицыг дараах хэлбэрээр хайх болно: орчуулга-эргэлт.
Камер нь координаттай (x,y,z) "C" цэгт байрладаг тул урвуу дамжуулалтыг хийх шаардлагатай: дамжуулах матрицыг слайд 33 дээр харуулав.
Энд T нь шилжүүлгийн матриц юм
Аффин хувиргалт нь шугамын параллелизмыг хадгалдаг, гэхдээ өнцөг, уртыг заавал биш.
Компьютерийн графикт холбогдох бүх зүйл хоёр хэмжээст хэрэг, ихэвчлэн 2D (2 хэмжээст) тэмдгээр тэмдэглэдэг. Хавтгай дээр шулуун шугаман координатын системийг нэвтрүүллээ гэж бодъё. Дараа нь M цэг бүрт координатын дараалсан хос тоо (x, y) оноогдсон байна (Зураг 1).
Дээрх томьёог хоёр янзаар авч үзэж болно: нэг бол цэг хадгалагдаж, координатын систем өөрчлөгддөг, энэ тохиолдолд дурын M цэг хэвээр үлдэнэ, зөвхөн координат нь (x, y) (x*, y*) өөрчлөгдөнө, эсвэл цэг өөрчлөгдөж, энэ тохиолдолд координатын систем хадгалагдана Энэ тохиолдолд томъёонууд нь дурын M(x, y) цэгийг M*(x*, y*) цэг рүү аваачих зураглалыг тодорхойлдог бөгөөд тэдгээрийн координатууд нь: ижил координатын системээр тодорхойлогддог. Ирээдүйд бид хавтгайн цэгүүд нь өгөгдсөн шулуун шугаман координатын системд хувирдаг гэсэн томъёог тайлбарлах болно.
Хавтгайн аффин хувиргалтуудад онцгой үүрэгсайн мөшгих боломжтой геометрийн шинж чанартай хэд хэдэн чухал онцгой тохиолдлыг тогло. Геометрийн утгыг судлахдаа тоон коэффициентуудЭдгээр тохиолдлын томъёонд үүнийг таамаглахад тохиромжтой өгөгдсөн системкоординат нь тэгш өнцөгт декарт юм.
Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг техникүүд нь: компьютер график: орчуулга, масштаб, эргүүлэх, тусгал. Алгебрийн илэрхийллүүдмөн эдгээр хувиргалтыг тайлбарласан тоон үзүүлэлтүүдийг 1-р хүснэгтэд нэгтгэн үзүүлэв.
Хавтгай дээрх аффины өөрчлөлтүүд
Дамжуулах гэдэг нь гаралтын командуудыг ижил вектор руу шилжүүлэхийг хэлнэ.
Масштаб гэдэг нь зургийг бүхэлд нь эсвэл хэсэгчлэн томруулж, багасгах явдал юм. Масштабжуулах үед зургийн цэгүүдийн координатыг тодорхой тоогоор үржүүлнэ.
Эргүүлэх гэдэг нь өгөгдсөн тэнхлэгийн эргэн тойронд гаралтын командуудын эргэлтийг хэлнэ. (Зургийн хавтгайд эргэлт нь нэг цэгийн эргэн тойронд явагддаг.)
Тусгал гэдэг нь аль нэг тэнхлэгтэй (жишээлбэл, X) харьцангуй дүрсний толин тусгал дүрсийг олж авахыг хэлнэ.
Эдгээр дөрвөн онцгой тохиолдлыг сонгох нь хоёр нөхцөл байдлаас шалтгаална.
1. Дээрх хувиргалт бүр нь энгийн бөгөөд тодорхой геометрийн утгатай (мөн геометрийн утгатай). тогтмол тоонуудДээрх томъёонд багтсан болно).
2. Аналитик геометрийн явцад нотлогдсоноор (*) хэлбэрийн аливаа хувиргалт нь A, B, C, D хэлбэрийн (эсвэл эдгээрийн хэсгүүдийн) хамгийн энгийн хувиргуудын дараалсан гүйцэтгэл (суперпозиция) хэлбэрээр үргэлж илэрхийлэгдэж болно. өөрчлөлтүүд).
Тиймээс дараах үнэн байна чухал өмчХавтгайн аффины хувиргалт: (*) хэлбэрийн аливаа зураглалыг A, B, C, D томъёогоор тодорхойлсон зураглалыг ашиглан дүрсэлж болно.
Учир нь үр дүнтэй ашиглахэдгээр мэдэгдэж байгаа томъёонуудкомпьютерийн графикийн даалгаварт тэдгээрийг ашиглах нь илүү тохиромжтой матрицын тэмдэглэгээ.
Эдгээр хувиргалтыг нэгтгэхийн тулд нэгэн төрлийн координатуудыг оруулав. Цэгийн нэгэн төрлийн координатууд нь нэгэн зэрэг биш гурвалсан байдаг тэгтэй тэнцүүхолбоотой тоо x1, x2, x3 өгсөн тоо x ба y-г дараах харьцаагаар илэрхийлнэ.
Дараа нь M(x, y) цэгийг M(hX, hY, h) гэж бичнэ, h 0 нь масштабын коэффициент юм. Хоёр хэмжээст Декарт координатуудбайдлаар олж болно
Проекцийн геометрийн хувьд эдгээр координатуудыг хязгааргүй алслагдсан (зохисгүй) элементүүдийг зааж өгөх үед үүсэх тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд нэвтрүүлсэн. Нэг төрлийн координатыг Z= h хавтгайд h коэффициентээр хуваасан хавтгай оруулах гэж тайлбарлаж болно. гурван хэмжээст орон зай.
Нэг төрлийн координат дахь цэгүүдийг гурван элементийн эгнээний векторууд дээр бичдэг. Өөрчлөлтийн матрицууд нь 3x3 хэмжээтэй байх ёстой.
Нэг төрлийн координатын гурвалсан ба гуравдахь эрэмбийн матрицуудыг ашиглан хавтгайн ямар нэгэн аффин хувиргалтыг дүрсэлж болно.
Үнэн хэрэгтээ h = 1 гэж үзвэл (*) тэмдгээр тэмдэглэгдсэн нэг ба дараах матриц нэгийг гэсэн хоёр оруулгыг харьцуулъя.
Та одоо бие биенээ дагасан хэд хэдэн хувиргалтын оронд нэг үр дүнг ашиглан хувиргалтын найрлагыг ашиглаж болно. Та жишээ нь, хэцүү даалгавархэд хэдэн энгийн зүйлд хуваана. А цэгийг ойролцоогоор эргүүлнэ дурын цэгГурван даалгаварт хувааж болно:
шилжүүлэх, үүнд B = 0 (энд 0 нь гарал үүсэл);
эргэх;
урвуу шилжүүлэг, энэ үед В цэг байрандаа буцаж ирдэг гэх мэт.
Найрлага нь хамгийн их ерөнхий үзэл T, D, R, M үйлдлүүд нь матрицтай байна:
Дээд хэсэг 2х2 хэмжээтэй - эргүүлэх болон масштаблах хосолсон матриц бөгөөд tx болон ty нь нийт орчуулгыг дүрсэлдэг.
Үндсэн өөрчлөлтүүд нь дараах байдалтай байна.
гүйлгэхдэлгэцийн гадаргуу дээр цонхыг хөдөлгөх (хэрэв хөдөлгөөн нь зөвхөн дээш доош чиглэсэн байвал босоо гүйлгэх гэж нэрлэдэг);
томруулахзургийн масштабыг аажмаар өөрчлөх;
салалттодорхой тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлддэг гаралтын командуудын динамик дүрс, чиглэл нь орон зайд тасралтгүй өөрчлөгддөг;
тогоохөдөлгөөний харааны мэдрэмжийг бий болгохын тулд дүрсийг аажмаар шилжүүлэх.
