Fraktali v kemiji. Laboratorij za vesoljske raziskave

Fraktal

Fraktal (lat. fractus- zdrobljen, zlomljen, zlomljen) je geometrijska figura, ki ima lastnost samopodobnosti, to je sestavljena iz več delov, od katerih je vsak podoben celotni figuri prostora, ki ima delno metrično dimenzijo (v smislu Minkowskega ali Hausdorffa) ali metrično dimenzijo, ki je drugačna od topološke. Fraktazem je samostojna eksaktna veda o proučevanju in sestavljanju fraktalov.

Z drugimi besedami, fraktali so geometrijski objekti z delno dimenzijo. Na primer, dimenzija črte je 1, površina je 2, prostornina pa 3. Za fraktal je lahko vrednost dimenzije med 1 in 2 ali med 2 in 3. Na primer, fraktalna dimenzija zmečkanega papirnata kroglica je približno 2,5. V matematiki obstaja posebna kompleksna formula za izračun razsežnosti fraktalov. Veje sapnikov, listi na drevesih, žile v rokah, reka - to so fraktali. Preprosto povedano, fraktal je geometrijska figura, katere del se vedno znova ponavlja in spreminja velikost - to je načelo samopodobnosti. Fraktali so podobni sami sebi, podobni so si na vseh ravneh (torej v katerem koli merilu). Obstaja veliko različnih vrst fraktalov. Načeloma lahko trdimo, da je vse, kar obstaja v realnem svetu, fraktal, pa naj bo to oblak ali molekula kisika.

Ob besedi "kaos" človek pomisli na nekaj nepredvidljivega, v resnici pa je kaos precej urejen in se podreja določenim zakonom. Cilj preučevanja kaosa in fraktalov je predvidevanje vzorcev, ki se na prvi pogled morda zdijo nepredvidljivi in popolnoma kaotični.

Pionir na tem področju znanja je bil francosko-ameriški matematik, profesor Benoit B. Mandelbrot. Sredi šestdesetih let prejšnjega stoletja je razvil fraktalno geometrijo, katere namen je bil analizirati zlomljene, nagubane in mehke oblike. Mandelbrotova množica (prikazana na sliki) je prva asociacija, ki se pojavi v človeku, ko sliši besedo fraktal. Mimogrede, Mandelbrot je ugotovil, da je fraktalna dimenzija angleške obale 1,25.

Fraktali najdejo vse večjo uporabo v znanosti. Opisujejo resnični svet celo boljši od tradicionalne fizike ali matematike. Brownovo gibanje- to je na primer naključno in kaotično gibanje prašnih delcev, suspendiranih v vodi. Ta vrsta gibanja je morda vidik fraktalne geometrije, ki ima najbolj praktično uporabo. Naključno Brownovo gibanje ima frekvenčni odziv, ki ga je mogoče uporabiti za napovedovanje pojavov, vključno z velike količine podatki in statistika. Mandelbrot je na primer napovedal spremembe cen volne z uporabo Brownovega gibanja.

Beseda "fraktal" se lahko uporablja ne le kot matematični izraz. V tisku in poljudnoznanstveni literaturi lahko fraktal imenujemo lik, ki ima katero koli od naslednjih lastnosti:

Ima netrivialno strukturo na vseh lestvicah. To je v nasprotju z navadnimi figurami (kot so krog, elipsa, graf gladke funkcije): če obravnavamo majhen delček pravilne figure v zelo velikem merilu, bo videti kot delček ravne črte. Pri fraktalu povečanje obsega ne vodi do poenostavitve strukture; na vseh merilih bomo videli enako kompleksno sliko.

Je sebi podoben ali približno sam sebi podoben.

Ima delno metrično dimenzijo ali metrično dimenzijo, ki presega topološko.

Najbolj uporabna uporaba fraktalov v računalniški tehnologiji je fraktalno stiskanje podatkov. Hkrati so slike stisnjene veliko bolje kot pri običajnih metodah – do 600:1. Druga prednost fraktalne kompresije je, da pri povečavi ni učinka pikselizacije, ki dramatično poslabša sliko. Poleg tega je fraktalno stisnjena slika po povečavi pogosto videti še bolje kot prej. Računalniški znanstveniki tudi vedo, da je fraktale neskončne kompleksnosti in lepote mogoče ustvariti s preprostimi formulami. Filmska industrija široko uporablja tehnologijo fraktalne grafike za ustvarjanje realističnih pokrajinskih elementov (oblakov, skal in senc).

Preučevanje turbulenc v tokovih se zelo dobro prilagaja fraktalom. To nam omogoča boljše razumevanje dinamike kompleksnih tokov. Z uporabo fraktalov lahko simulirate tudi plamen. Porozni materiali so dobro predstavljeni v fraktalni obliki zaradi dejstva, da imajo zelo kompleksno geometrijo. Za prenos podatkov na daljavo se uporabljajo antene fraktalnih oblik, kar močno zmanjša njihovo velikost in težo. Fraktali se uporabljajo za opisovanje ukrivljenosti površin. Za neravno površino je značilna kombinacija dveh različnih fraktalov.

Številni predmeti v naravi imajo fraktalne lastnosti, na primer obale, oblaki, krošnje dreves, snežinke, cirkulacijski sistem in alveolarni sistem ljudi ali živali.

Fraktali, zlasti na ravnini, so priljubljeni zaradi kombinacije lepote in enostavnosti gradnje z uporabo računalnika.

Prvi primeri samopodobnih množic z nenavadnimi lastnostmi so se pojavili v 19. stoletju (na primer Bolzanova funkcija, Weierstrassova funkcija, Cantorjeva množica). Izraz "fraktal" je skoval Benoit Mandelbrot leta 1975 in je postal široko priljubljen z objavo njegove knjige "Fraktalna geometrija narave" leta 1977.

Slika na levi prikazuje preprost primer fraktala Darer Pentagon, ki je videti kot kup petkotnikov, stisnjenih skupaj. Pravzaprav je sestavljen z uporabo peterokotnika kot iniciatorja in enakokrakih trikotnikov, v katerih je razmerje med večjo stranjo in manjšo natančno enako tako imenovanemu zlatemu rezu (1,618033989 ali 1/(2cos72°)) kot generator. Ti trikotniki so izrezani iz sredine vsakega petkotnika, kar ima za posledico obliko, ki je videti kot 5 majhnih petkotnikov, prilepljenih na enega velikega.

Teorija kaosa pravi, da so zapleteni nelinearni sistemi dedno nepredvidljivi, hkrati pa trdi, da se način izražanja takšnih nepredvidljivih sistemov ne izkaže za pravilnega v natančnih enakostih, temveč v predstavitvah vedenja sistema - v grafih. nenavadni atraktorji, ki ima obliko fraktalov. Tako se teorija kaosa, ki jo mnogi razumejo kot nepredvidljivost, izkaže za znanost o predvidljivosti tudi v najbolj nestabilnih sistemih. Preučevanje dinamičnih sistemov kaže, da lahko preproste enačbe povzročijo kaotično vedenje, v katerem se sistem nikoli ne vrne v stabilno stanje in se ne pojavi noben vzorec. Pogosto se takšni sistemi obnašajo povsem normalno do določene vrednosti ključnega parametra, nato doživijo prehod, v katerem sta dve možnosti za nadaljnji razvoj, nato štiri in na koncu kaotičen nabor možnosti.

Sheme procesov, ki se pojavljajo v tehničnih objektih, imajo jasno definirano fraktalno strukturo. Minimalna struktura tehnični sistem(TS) pomeni pojav znotraj TS dveh vrst procesov - glavnega in podpornih, in ta delitev je pogojna in relativna. Vsak proces je lahko glavni glede na podporne procese in kateri koli od podpornih procesov se lahko šteje za glavnega glede na »svoje« podporne procese. Krogi v diagramu označujejo fizične učinke, ki zagotavljajo pojav tistih procesov, za katere ni potrebno posebej ustvarjati "lastnih" vozil. Ti procesi so rezultat interakcij med snovmi, polji, snovmi in polji. Natančneje, fizični učinek je vozilo, na katerega princip delovanja ne moremo vplivati, v njegovo zasnovo pa ne želimo ali nimamo možnosti posegati.

Potek glavnega procesa, prikazanega na diagramu, je zagotovljen z obstojem treh podpornih procesov, ki so glavni za TS, ki jih generirajo. Če smo pošteni, ugotavljamo, da za delovanje celo minimalnega TS trije procesi očitno niso dovolj, tj. Shema je zelo, zelo pretirana.

Vse še zdaleč ni tako preprosto, kot je prikazano na diagramu. Uporabno ( potrebno za človeka) postopka ni mogoče izvesti s 100-odstotno učinkovitostjo. Razpršena energija se porabi za ustvarjanje škodljivih procesov - segrevanje, vibracije itd. Posledično vzporedno s koristnim procesom nastajajo škodljivi. »Slabega« procesa ni vedno mogoče zamenjati z »dobrim«, zato je treba organizirati nove procese, katerih cilj je kompenzacija škodljivih posledic za sistem. Tipičen primer je potreba po boju proti trenju, zaradi česar je treba organizirati domiselne sheme mazanja, uporabljati drage materiale proti trenju ali porabiti čas za mazanje komponent in delov ali njihovo občasno zamenjavo.

Zaradi neizogibnega vpliva spremenljivega okolja bo morda treba upravljati uporaben proces. Nadzor se lahko izvaja z avtomatskimi napravami ali neposredno s strani osebe. Procesni diagram je pravzaprav skupek posebnih ukazov, tj. algoritem. Bistvo (opis) vsakega ukaza je celota enega samega uporabnega procesa, ki ga spremlja škodljivih procesov in niz potrebnih nadzornih procesov. V takšnem algoritmu je množica podpornih procesov regularna podprograma – in tu odkrijemo tudi fraktal. Pred četrt stoletja nastala metoda R. Kollerja omogoča ustvarjanje sistemov z dokaj omejenim naborom le 12 parov funkcij (procesov).

Samopodobne množice z nenavadnimi lastnostmi v matematiki

Začenši z konec XIX stoletja se v matematiki pojavljajo primeri sebi podobnih objektov z lastnostmi, ki so patološke z vidika klasične analize. Ti vključujejo naslednje:

Cantorjeva množica je nikjer gosta nešteta popolna množica. S spreminjanjem postopka lahko dobimo tudi nikjer gosto množico pozitivne dolžine.

trikotnik Sierpinski ("prt") in preproga Sierpinski sta analoga Cantorjeve postavitve na ravnini.

Mengerjeva goba je analogna Cantorjevi postavitvi v tridimenzionalnem prostoru;

primera Weierstrass in Van der Waerden nikjer ne razlikujeta neprekinjena funkcija.

Kochova krivulja - zvezna krivulja, ki se ne preseka samega sebe neskončna dolžina, ki nima tangente v nobeni točki;

Peanova krivulja je zvezna krivulja, ki poteka skozi vse točke kvadrata.

tudi trajektorija Brownovega delca ni nikjer razločljiva z verjetnostjo 1. Njegova Hausdorffova dimenzija je dve

Rekurzivni postopek za pridobivanje fraktalnih krivulj

Konstrukcija Kochove krivulje

Obstaja preprost rekurziven postopek za pridobivanje fraktalnih krivulj na ravnini. Določimo poljubno lomljeno črto s končnim številom členov, imenovano generator. Nato zamenjajmo vsak segment v njem z generatorjem (natančneje zlomljeno črto, podobno generatorju). V nastali lomljeni črti ponovno zamenjamo vsak segment z generatorjem. Če nadaljujemo v neskončnost, v meji dobimo fraktalno krivuljo. Slika na desni prikazuje prve štiri korake tega postopka za Kochovo krivuljo.

Primeri takih krivulj so:

zmajeva krivulja,

Kochova krivulja (Kochova snežinka),

Lewyjeva krivulja,

krivulja Minkowskega,

Hilbertova krivulja,

Zlomljena (krivulja) zmaja (fraktal Harter-Haithway),

Peano krivulja.

Po podobnem postopku dobimo Pitagorejsko drevo.

Kot fraktali fiksne točke kontrakcijske preslikave

Lastnost samopodobnosti je mogoče matematično izraziti strogo na naslednji način. Naj bodo kontraktivne preslikave ravnine. Razmislite o naslednji preslikavi na množici vseh kompaktnih (zaprtih in omejenih) podmnožic ravnine:

Lahko se pokaže, da je preslikava kontrakcijska preslikava na množici kompaktov s Hausdorffovo metriko. Zato ima ta preslikava po Banachovem izreku edinstveno fiksno točko. Ta fiksna točka bo naš fraktal.

Zgoraj opisani rekurzivni postopek za pridobivanje fraktalnih krivulj je poseben primer te konstrukcije. V njem so vse preslikave podobnostne preslikave in - število generatorskih povezav.

Za trikotnik Sierpinskega in zemljevid sta homotetiji s središči v ogliščih pravilnega trikotnika in koeficientom 1/2. Preprosto je videti, da se trikotnik Sierpinskega spremeni vase, ko je prikazan.

V primeru, da so preslikave podobnostne transformacije s koeficienti, lahko dimenzijo fraktala (pod nekaterimi dodatnimi tehničnimi pogoji) izračunamo kot rešitev enačbe. Tako dobimo za trikotnik Sierpinskega .

Z istim Banachovim izrekom, začenši s katero koli kompaktno množico in nanjo uporabimo iteracije preslikave, dobimo zaporedje kompaktnih množic, ki konvergira (v smislu Hausdorffove metrike) k našemu fraktalu.

Fraktali v kompleksni dinamiki

set Julia

Še en komplet Julia

Fraktali nastanejo naravno pri preučevanju nelinearnih dinamičnih sistemov. Najbolj raziskan primer je, ko je dinamični sistem specificiran z iteracijami polinoma ali holomorfne funkcije kompleksne spremenljivke na ravnini. Prve študije na tem področju segajo v začetek 20. stoletja in so povezane z imeni Fatou in Julia.

Pustiti F(z) - polinom, z 0 je kompleksno število. Razmislite o naslednjem zaporedju: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Zanima nas vedenje tega zaporedja, kot se nagiba n do neskončnosti. To zaporedje lahko:

stremi k neskončnosti,

stremeti k končni meji

kažejo ciklično obnašanje v meji, na primer: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

se obnašajo kaotično, to pomeni, da ne izkazujejo nobenega od treh navedenih tipov vedenja.

Nizi vrednosti z 0, za katero zaporedje kaže eno posebno vrsto obnašanja, kot tudi več bifurkacijskih točk med različnimi vrstami, imajo pogosto fraktalne lastnosti.

Tako je Julijina množica množica bifurkacijskih točk za polinom F(z)=z 2 +c(ali drugo podobno funkcijo), torej te vrednosti z 0, za katero velja obnašanje zaporedja ( z n) se lahko dramatično spremenijo s poljubno majhnimi spremembami z 0 .

Druga možnost za pridobivanje fraktalnih množic je vnos parametra v polinom F(z) in upoštevanje nabora tistih vrednosti parametrov, za katere je zaporedje ( z n) kaže določeno vedenje pri fiksnem z 0 . Tako je Mandelbrotova množica množica vseh , za katere ( z n) Za F(z)=z 2 +c in z 0 ne gre v neskončnost.

Še ena znan primer Newtonovi bazeni so te vrste.

Priljubljeno je ustvarjanje čudovitih grafičnih podob, ki temeljijo na kompleksni dinamiki, z barvanjem ravninskih točk glede na obnašanje ustreznih dinamičnih sistemov. Na primer, da dokončate Mandelbrotov niz, lahko pobarvate točke glede na hitrost aspiracije ( z n) do neskončnosti (definirano, recimo, kot najmanjše število n, pri kateri | z n| bo presegla fiksno veliko vrednost A.

Biomorfi so fraktali, zgrajeni na podlagi kompleksne dinamike in spominjajo na žive organizme.

Stohastični fraktali

Naključni fraktal, ki temelji na nizu Julia

Naravni predmeti imajo pogosto fraktalno obliko. Za njihovo modeliranje je mogoče uporabiti stohastične (naključne) fraktale. Primeri stohastičnih fraktalov:

trajektorija Brownovega gibanja na ravnini in v prostoru;

meja tirnice Brownovega gibanja na ravnini. Leta 2001 so Lawler, Schramm in Werner dokazali Mandelbrotovo hipotezo, da je njena dimenzija 4/3.

Schramm-Löwnerjeve evolucije so konformno invariantne fraktalne krivulje, ki nastanejo v kritičnih dvodimenzionalnih modelih statistične mehanike, na primer v Isingovem modelu in perkolaciji.

različne vrste randomiziranih fraktalov, to je fraktalov, pridobljenih z rekurzivnim postopkom, v katerega se na vsakem koraku vnese naključni parameter. Plazma je primer uporabe takega fraktala v računalniška grafika.

V naravi

Pogled od spredaj na sapnik in bronhije

Bronhialno drevo

Mreža krvnih žil

Aplikacija

Naravne znanosti

V fiziki fraktali nastanejo naravno pri modeliranju nelinearnih procesov, kot je turbulentni tok tekočine, zapleteni procesi difuzija-adsorpcija, plameni, oblaki itd. Fraktali se uporabljajo pri modeliranju poroznih materialov, na primer v petrokemiji. V biologiji se uporabljajo za modeliranje populacij in za opis sistemov notranjih organov (sistem krvnih žil).

Radijska tehnika

Fraktalne antene

Uporabo fraktalne geometrije pri načrtovanju antenskih naprav je prvi uporabil ameriški inženir Nathan Cohen, ki je takrat živel v središču Bostona, kjer je bila namestitev zunanjih anten na zgradbe prepovedana. Nathan je iz aluminijaste folije izrezal obliko Kochove krivulje in jo prilepil na kos papirja, nato pa jo pritrdil na sprejemnik. Cohen je ustanovil svoje podjetje in začel njihovo serijsko proizvodnjo.

Računalništvo

Stiskanje slike

Glavni članek: Algoritem za fraktalno stiskanje

Fraktalno drevo

Obstajajo algoritmi za stiskanje slik, ki uporabljajo fraktale. Temeljijo na ideji, da lahko namesto slike same shranimo mapo stiskanja, za katero je ta slika (ali neka bližnja) fiksna točka. Uporabljena je bila ena od različic tega algoritma [ vir ni naveden 895 dni] Microsoft ob izdaji svoje enciklopedije, vendar razširjena ti algoritmi niso bili prejeti.

Računalniška grafika

Še eno fraktalno drevo

Fraktali se pogosto uporabljajo v računalniški grafiki za ustvarjanje slik naravnih predmetov, kot so drevesa, grmičevje, gorske pokrajine, morske površine itd. Obstaja veliko programov, ki se uporabljajo za ustvarjanje fraktalnih slik, glejte Fractal Generator (program).

Decentralizirana omrežja

Sistem za dodeljevanje naslovov IP v omrežju Netsukuku uporablja princip fraktalne kompresije informacij za kompaktno shranjevanje informacij o omrežnih vozliščih. Vsako vozlišče v omrežju Netsukuku hrani le 4 KB informacij o stanju sosednjih vozlišč, medtem ko se vsako novo vozlišče poveže v skupno omrežje brez potrebe po centralni regulaciji distribucije IP naslovov, kar je npr. Internet. Tako princip fraktalne kompresije informacij zagotavlja popolnoma decentralizirano in s tem najbolj stabilno delovanje celotnega omrežja.

pogosto briljantna odkritja, v znanosti izpopolnjeni, lahko korenito spremenijo naša življenja. Na primer, izum cepiva lahko reši veliko ljudi, ustvarjanje novega orožja pa vodi v umor. Človek je dobesedno včeraj (v merilu zgodovine) »ukrotil« elektriko, danes pa si življenja brez nje ne more več predstavljati. So pa tudi odkritja, ki, kot pravijo, ostajajo v senci, kljub temu da tako ali drugače vplivajo tudi na naša življenja. Eno od teh odkritij je bil fraktal. Večina ljudi še nikoli ni slišala za ta koncept in ne bodo mogli razložiti njegovega pomena. V tem članku bomo poskušali razumeti vprašanje, kaj je fraktal, in razmisliti o pomenu tega izraza z vidika znanosti in narave.

Red v kaosu

Da bi razumeli, kaj je fraktal, bi morali začeti razpravo s položaja matematike, a preden se poglobimo vanj, bomo malo filozofirali. Vsak človek ima naravno radovednost, zahvaljujoč kateri se uči svet. Pogosto v svojem iskanju znanja poskuša uporabiti logiko v svojih presojah. Tako poskuša z analizo procesov, ki se dogajajo okoli njega, izračunati razmerja in izpeljati določene vzorce. Večina veliki umi planeti so zaposleni z reševanjem teh problemov. Grobo rečeno, naši znanstveniki iščejo vzorce tam, kjer jih ni in jih ne bi smelo biti. Pa vendar, tudi v kaosu obstaja povezava med določenimi dogodki. Ta povezava je tisto, kar je fraktal. Kot primer vzemite zlomljeno vejo, ki leži na cesti. Če ga pogledamo od blizu, bomo videli, da je z vsemi vejami in vejicami sam videti kot drevo. Ta podobnost ločenega dela z enotno celoto kaže na tako imenovano načelo rekurzivne samopodobnosti. Fraktale lahko najdemo povsod v naravi, saj mnoge anorganske in organske oblike nastanejo na podoben način. To so oblaki, morske školjke, polžje hišice, drevesne krošnje in celo cirkulacijski sistem. Ta seznam lahko nadaljujemo v nedogled. Vse te naključne oblike je enostavno opisati s fraktalnim algoritmom. Zdaj smo prišli do tega, kaj je fraktal z vidika natančnih znanosti.

Nekaj suhih dejstev

Sama beseda "fraktal" je iz latinščine prevedena kot "delni", "razdeljen", "razdrobljen", kar zadeva vsebino tega izraza, ni formulacije kot take. Običajno ga razlagamo kot sebi podoben sklop, del celote, ki ponavlja svojo strukturo na mikroravni. Ta izraz je v sedemdesetih letih dvajsetega stoletja skoval Benoit Mandelbrot, ki je danes priznan kot oče koncepta fraktala grafična podoba določeno strukturo, ki bo po povečanju podobna sama sebi. Vendar pa je bila matematična osnova za nastanek te teorije postavljena že pred rojstvom samega Mandelbrota, vendar se ni mogla razviti, dokler se niso pojavili elektronski računalniki.

Zgodovinsko ozadje ali Kako se je vse začelo

Na prelomu iz 19. v 20. stoletje je bilo preučevanje narave fraktalov sporadično. To je razloženo z dejstvom, da so matematiki raje preučevali predmete, na podlagi katerih jih je mogoče preučevati splošne teorije in metode. Leta 1872 je nemški matematik K. Weierstrass skonstruiral primer zvezne funkcije, ki ni nikjer diferencibilna. Vendar se je ta konstrukcija izkazala za povsem abstraktno in težko dojemljivo. Sledil je Šved Helge von Koch, ki je leta 1904 skonstruiral zvezno krivuljo, ki ni imela nikjer tangente. Risanje je dokaj enostavno in izkaže se, da ima fraktalne lastnosti. Ena od različic te krivulje je bila poimenovana po avtorju - "Kochova snežinka". Idejo o samopodobnosti figur je nadalje razvil bodoči mentor B. Mandelbrot Francoz Paul Levy. Leta 1938 je objavil članek "Ravne in prostorske krivulje in ploskve, sestavljene iz delov, podobnih celoti." V njem je opisal nova vrsta- Levijeva C-krivulja. Vse zgornje figure so konvencionalno razvrščene kot geometrijski fraktali.

Dinamični ali algebraični fraktali

TO ta razred se nanaša na Mandelbrotov niz. Prvi raziskovalci v tej smeri so bili francoski matematiki Pierre Fatou in Gaston Julia. Leta 1918 je Julia objavila članek, ki temelji na študiji ponovitev racionalnega kompleksne funkcije. Tu je opisal družino fraktalov, ki so tesno povezani z Mandelbrotovo množico. Kljub dejstvu, da to delo avtorico poveličala med matematiki, je bila hitro pozabljena. In šele pol stoletja pozneje je Julijino delo zahvaljujoč računalnikom dobilo drugo življenje. Računalniki so omogočili, da je lepota in bogastvo sveta fraktalov, ki so jih matematiki lahko »videli« s prikazovanjem skozi funkcije, vidna vsakemu človeku. Mandelbrot je bil prvi, ki je uporabil računalnik za izvedbo izračunov (takega obsega ni mogoče narediti ročno), ki je omogočil sestavo slike teh številk.

Oseba s prostorsko domišljijo

Mandelbrot je začel svoje znanstvena kariera V raziskovalno središče IBM. Raziskovanje možnosti prenosa podatkov v dolge razdalje, so znanstveniki postavljeni pred dejstvo velike izgube ki je nastala zaradi motenj hrupa. Benoit je iskal načine za rešitev tega problema. Ko je pregledal rezultate meritev, je opazil nenavaden vzorec, in sicer: grafi hrupa so bili videti enako na različnih časovnih skalah.

Podobno sliko smo opazili tako za obdobje enega dneva kot za sedem dni ali eno uro. Sam Benoit Mandelbrot je pogosto ponavljal, da ne dela s formulami, ampak se igra s slikami. Ta znanstvenik je bil drugačen domiselno razmišljanje, kaj algebrski problem prevedel je v geometrično regijo, kjer je pravilen odgovor očiten. Zato ni presenetljivo, da se odlikuje po bogastvu in je postal oče fraktalne geometrije. Navsezadnje se lahko zavedanje te figure pojavi šele, ko preučujete risbe in razmišljate o pomenu teh čudnih vrtincev, ki tvorijo vzorec. Fraktalni vzorci nimajo enakih elementov, vendar so si podobni v katerem koli merilu.

Julija - Mandelbrot

Ena prvih risb te figure je bila grafična interpretacija kompleta, ki se je rodila iz dela Gastona Julia in jo je nadalje razvil Mandelbrot. Gaston si je poskušal predstavljati, kako izgleda niz, zgrajen na podlagi preproste formule, ki se ponavlja skozi zanko povratne informacije. Poskusimo razložiti povedano človeški jezik, tako rekoč na prste. Za določeno številčna vrednost s pomočjo formule poiščemo novo vrednost. Nadomestimo ga v formulo in ugotovimo naslednje. Rezultat je velik, če želite predstaviti tak niz, morate izvesti to operacijo velik znesek krat: stotine, tisoči, milijoni. To je storil Benoit. Zaporedje je obdelal in rezultate prenesel na grafični obliki. Nato je dobljeno figuro pobarval (vsaka barva ustreza določeno število ponovitve). To grafično podobo so poimenovali "Mandelbrotov fraktal".

L. Carpenter: umetnost, ki jo je ustvarila narava

Teorija fraktalov je hitro našla praktično uporabo. Ker je zelo tesno povezan z vizualizacijo sebi podobnih slik, je prvi sprejel načela in algoritme za konstruiranje teh nenavadne oblike, postali umetniki. Prva med njimi je bila bodoča ustanoviteljica studia Pixar Lauren Carpenter. Med delom na predstavitvi prototipov letal je prišel na idejo, da bi za ozadje uporabil podobo gora. Danes je takšni nalogi kos skoraj vsak uporabnik računalnika, v sedemdesetih letih prejšnjega stoletja pa računalniki niso bili sposobni izvajati takšnih procesov, saj takrat še ni bilo grafičnih urejevalnikov ali aplikacij za tridimenzionalno grafiko. In potem je Loren naletel na Mandelbrotovo knjigo "Fraktali: oblika, naključnost in razsežnost." V njem je Benoit podal številne primere, ki dokazujejo, da fraktali obstajajo v naravi (fyva), opisal je njihove raznolike oblike in dokazal, da jih je enostavno opisati. matematične izraze. Matematik je to analogijo navedel kot argument za uporabnost teorije, ki jo je razvijal kot odgovor na plaz kritik svojih kolegov. Trdili so, da je fraktal pravičen Lepa slika, ki nima vrednosti, je stranski produkt dela elektronski stroji. Carpenter se je odločil preizkusiti to metodo v praksi. Po natančnem preučevanju knjige je bodoči animator začel iskati način za implementacijo fraktalne geometrije v računalniško grafiko. Le tri dni je potreboval, da je na svojem računalniku izrisal povsem realistično podobo gorske pokrajine. In danes se to načelo pogosto uporablja. Izkazalo se je, da ustvarjanje fraktalov ne zahteva veliko časa in truda.

Tesarska rešitev

Načelo, ki ga je uporabila Lauren, je bilo preprosto. Sestavljen je iz razdelitve večjih na majhne elemente, tistih na podobne manjše in tako naprej. Carpenter jih je z velikimi trikotniki razdelil na 4 majhne in tako naprej, dokler ni dobil realistične gorske pokrajine. Tako je postal prvi umetnik, ki je uporabil fraktalni algoritem v računalniški grafiki za konstrukcijo zahtevane slike. Danes se ta princip uporablja za posnemanje različnih realističnih naravnih oblik.

Prva 3D vizualizacija s fraktalnim algoritmom

V nekaj letih je Lauren uporabil svoj razvoj v obsežen projekt- animirani video Vol Libre, prikazan na Siggraphu leta 1980. Ta videoposnetek je šokiral mnoge, njegov ustvarjalec pa je bil povabljen na delo pri Lucasfilmu. Tu je animator lahko uresničil svoj polni potencial; ustvaril je tridimenzionalne pokrajine (cel planet) za celovečerni film "Star Trek". Kaj sodoben program(»Fractali«) ali 3D grafična aplikacija (Terragen, Vue, Bryce) uporablja isti algoritem za modeliranje tekstur in površin.

Tom Beddard

Prej laserski fizik, zdaj pa digitalni umetnik in umetnik, je Beddard ustvaril številne zelo zanimive geometrijske oblike, ki jih je poimenoval Fabergéjevi fraktali. Navzven spominjajo na okrasna jajca ruskega zlatarja, imajo enak briljanten, zapleten vzorec. Beddard je za ustvarjanje svojih digitalnih upodobitev modelov uporabil metodo predloge. Nastali izdelki presenečajo s svojo lepoto. Čeprav mnogi nočejo primerjati izdelka izdelan sam z računalniškim programom, a je treba priznati, da so nastale forme izjemno lepe. Vrhunec je, da lahko vsakdo zgradi takšen fraktal z uporabo programske knjižnice WebGL. Omogoča raziskovanje različnih fraktalnih struktur v realnem času.

Fraktali v naravi

Malokdo je pozoren, toda te neverjetne figure so prisotni povsod. Narava je ustvarjena iz sebe podobne številke, tega preprosto ne opazimo. Dovolj je, da skozi povečevalno steklo pogledamo svojo kožo ali list drevesa in videli bomo fraktale. Ali pa vzemite na primer ananas ali celo pavov rep - sestavljeni so iz podobnih figur. In sorta brokolija Romanescu je na splošno osupljiva po svojem videzu, saj jo resnično lahko imenujemo čudež narave.

Glasbena pavza

Izkazalo se je, da fraktali niso samo geometrijske figure, lahko so tudi zvoki. Tako glasbenik Jonathan Colton piše glasbo z uporabo fraktalnih algoritmov. Trdi, da ustreza naravni harmoniji. Skladatelj vsa svoja dela objavlja pod licenco CreativeCommons Attribution-Necommercial, ki omogoča brezplačno distribucijo, kopiranje in prenašanje del na druge.

Fraktalni indikator

Ta tehnika je našla zelo nepričakovano uporabo. Na njegovi podlagi je nastalo orodje za analizo borznega trga, posledično pa se je začelo uporabljati na trgu Forex. Dandanes fraktalni indikator najdemo na vseh trgovalnih platformah in se uporablja v tehniki trgovanja, imenovani price breakout. To tehniko je razvil Bill Williams. Kot avtor komentira svoj izum, ta algoritem je kombinacija več "sveč", pri katerih osrednja odraža največjo ali, nasprotno, najmanjšo skrajno točko.

Končno

Tako smo pogledali, kaj je fraktal. Izkazalo se je, da v kaosu, ki nas obdaja, dejansko obstajajo popolne oblike. Narava je najboljši arhitekt, idealen graditelj in inženir. Urejen je zelo logično in če ne najdemo vzorca, to ne pomeni, da ne obstaja. Mogoče moramo pogledati v drugačnem merilu. Z gotovostjo lahko rečemo, da fraktali skrivajo še veliko skrivnosti, ki jih moramo še odkriti.

Za predstavitev celotne raznolikosti fraktalov je primerno uporabiti njihovo splošno sprejeto klasifikacijo.

2.1 Geometrijski fraktali

Fraktali tega razreda so najbolj vizualni. V dvodimenzionalnem primeru jih dobimo z uporabo neke lomljene črte (ali površine v tridimenzionalnem primeru), imenovane generator. V enem koraku algoritma se vsak segment, ki sestavlja polilinijo, nadomesti z generatorsko polilinijo v ustreznem merilu. Kot rezultat neskončnega ponavljanja tega postopka dobimo geometrijski fraktal.

Slika 1. Konstrukcija Kochove triadne krivulje.

Oglejmo si enega od teh fraktalnih objektov - triadno Kochovo krivuljo. Konstrukcija krivulje se začne z odsekom enotske dolžine (slika 1) - to je 0. generacija Kochove krivulje. Nato se vsaka povezava (en segment v ničelni generaciji) nadomesti z oblikovni element, ki je na sliki 1 označen z n=1. Kot rezultat te zamenjave dobimo naslednjo generacijo Kochove krivulje. V 1. generaciji je to krivulja štirih ravnih členov, vsaka dolžina 1/3 . Za pridobitev 3. generacije se izvedejo enaka dejanja - vsaka povezava se nadomesti z zmanjšanim oblikovalnim elementom. Torej, za pridobitev vsake naslednje generacije je treba vse povezave prejšnje generacije nadomestiti z zmanjšanim oblikovalnim elementom. Krivulja n-th generacija za katero koli končno n klical predfraktal. Slika 1 prikazuje pet generacij krivulje. pri n Ko se Kochova krivulja približuje neskončnosti, postane fraktalni objekt.

Slika 2. Konstrukcija "zmaja" Harter-Haithway.

Če želite pridobiti še en fraktalni objekt, morate spremeniti pravila gradnje. Naj bo oblikovalni element dva enaka segmenta, povezana pod pravim kotom. V ničelni generaciji bomo zamenjali segment enote na ta oblikovalni element, tako da je vogal na vrhu. Lahko rečemo, da s takšno zamenjavo pride do premika sredine povezave. Pri konstruiranju naslednjih generacij se upošteva pravilo: prvi člen na levi se nadomesti z oblikovalnim elementom tako, da se sredina člena premakne levo od smeri gibanja, pri zamenjavi naslednjih členov pa smeri premik sredin segmentov mora biti izmenično. Slika 2 prikazuje prvih nekaj generacij in 11. generacijo krivulje, zgrajene po zgoraj opisanem principu. Mejna fraktalna krivulja (pri n ki teži v neskončnost) imenujemo Harter-Haithwayev zmaj .

IN strojna grafika uporaba geometrijskih fraktalov je nujna pri pridobivanju slik dreves, grmovja in obal. Dvodimenzionalni geometrijski fraktali se uporabljajo za ustvarjanje tridimenzionalnih tekstur (vzorcev na površini predmeta).

2.2 Algebraični fraktali

To je največ velika skupina fraktali. Pridobljeni so z uporabo nelinearnih procesov v n-dimenzionalni prostori. Najbolj raziskani so dvodimenzionalni procesi. Če si nelinearni iterativni proces razlagamo kot diskretni dinamični sistem, lahko uporabimo terminologijo teorije teh sistemov: fazni portret, enakomeren proces, atraktor itd.

Znano je, da imajo nelinearni dinamični sistemi več stabilnih stanj. Stanje, v katerem se dinamični sistem znajde po določenem številu iteracij, je odvisno od njegovega začetnega stanja. Zato ima vsako stabilno stanje (ali, kot pravijo, atraktor) določeno območje začetnih stanj, iz katerih bo sistem nujno padel v obravnavana končna stanja. Tako je fazni prostor sistema razdeljen na območja privlačnosti atraktorji. Če je fazni prostor dvodimenzionalen, lahko z barvanjem območij privlačnosti z različnimi barvami dobimo barvni fazni portret ta sistem (iterativni proces). Če spremenite algoritem za izbiro barv, lahko dobite zapletene fraktalne vzorce z bizarnimi večbarvnimi vzorci. Presenečenje za matematike je bila zmožnost ustvarjanja zelo zapletenih netrivialnih struktur z uporabo primitivnih algoritmov.

Slika 3. Mandelbrotov niz.

Kot primer razmislite o Mandelbrotovem nizu (glej sliki 3 in sliki 4). Algoritem za njegovo konstrukcijo je precej preprost in temelji na preprostem iterativnem izrazu:

Z = Z[jaz] * Z[i] + C,

Kje Z jaz in C- kompleksne spremenljivke. Ponovitve se izvajajo za vsako začetno točko C pravokotno ali kvadratno območje - podmnožica kompleksne ravnine. Iterativni proces se nadaljuje, dokler Z[i] ne bo presegel kroga polmera 2, katerega središče leži v točki (0,0), (to pomeni, da je atraktor dinamičnega sistema v neskončnosti) ali po dovolj velikem številu ponovitev (na primer 200-500) Z[i] bo konvergiralo v neko točko na krogu. Odvisno od števila ponovitev, med katerimi Z[i] ostal znotraj kroga, lahko nastavite barvo točke C(Če Z[i] ostane znotraj kroga za dovolj veliko število iteracij, postopek iteracije se ustavi in ta rastrska točka je pobarvana črno).

Sl. 4. Odsek meje Mandelbrotove množice, povečan za 200-krat.

Zgornji algoritem daje približek tako imenovani Mandelbrotovi množici. Mandelbrotova množica vsebuje točke, ki med neskončnoštevilo ponovitev ne gre v neskončnost (točke so črne). Točke, ki pripadajo meji množice (tu je kompleksne strukture) gredo v neskončnost za končna številka iteracije, točke, ki ležijo izven množice, pa gredo po več iteracijah v neskončnost (belo ozadje).

2.3 Stohastični fraktali

Drugi dobro znani razred fraktalov so stohastični fraktali, ki jih dobimo, če nekatere njegove parametre naključno spremenimo v iterativnem procesu. V tem primeru so nastali predmeti zelo podobni naravnim - asimetrična drevesa, razgibana obale itd. Dvodimenzionalni stohastični fraktali se uporabljajo pri modeliranju terena in morske površine.

Obstajajo tudi druge klasifikacije fraktalov, na primer delitev fraktalov na deterministične (algebraične in geometrijske) in nedeterministične (stohastične).

Fraktalni primer

»Fraktal« so matematiki uvedli v uporabo pred manj kot pol stoletja in je kmalu postal skupaj s sinergetiko in atraktorjem eden od »treh stebrov« mlade Teorije determinističnega kaosa, danes pa je že prepoznan kot eden izmed temeljni elementi zgradbe vesolja.

Z latinska beseda fractus je prevedena kot "polomljeno", moderno latinski jeziki dal pomen "raztrgan". Fraktal je nekaj, kar je identično celoti/večjemu, katerega del je, in hkrati kopira vsak svojega komponento. Tako je "fraktalnost" neskončna podobnost "vsega" njegovim komponentam, to je samopodobnost na kateri koli ravni. Vsaka raven fraktalne veje se imenuje "iteracija"; bolj ko je opisani ali grafično prikazan sistem, več fraktalnih iteracij vidi opazovalec. V tem primeru se točka, kjer pride do delitve (na primer deblo na veje, reka na dva toka itd.), imenuje bifurkacijska točka.

Izraz fractus je leta 1975 za opis izbral matematik Benoit Mandelbrot znanstveno odkritje in je postal priljubljen nekaj let kasneje – potem ko je temo razvil za širšo publiko v svoji knjigi Fraktalna geometrija narave.

Danes je fraktal splošno znan kot fantastični vzorci tako imenovane »fraktalne umetnosti«, ki jih je ustvaril računalniški programi. Toda s pomočjo računalnika lahko ustvarite ne le čudovite abstraktne slike, ampak tudi zelo verjetne naravne pokrajine - gore, reke, gozdove. Tu je pravzaprav točka prehoda znanosti v resnično življenje, ali obratno, če predpostavimo, da jih je na splošno mogoče ločiti.

Dejstvo je, da fraktalni princip primeren ne le za opisovanje odkritij v natančne vede. To je najprej načelo strukture in razvoja same narave. Vse okoli nas so fraktali! Najbolj očitna skupina primerov so reke s pritoki, venski sistem s kapilarami, strele, vzorci zmrzali, drevesa ... Nedavno so znanstveniki, fraktalna teorija, so eksperimentalno preverili, da je na podlagi diagrama enega drevesa mogoče sklepati o gozdnem območju, kjer ta drevesa rastejo. Drugi primeri fraktalnih skupin: atom - molekula - planetarni sistem - solarni sistem- galaksije - vesolje... Minuta - ura - dan - teden - mesec - leto - stoletje... Tudi skupnost ljudi se organizira po načelih fraktalnosti: jaz - družina - klan - narodnost - narodnosti - rase.. Posameznik – skupina – stranka – država. Zaposleni - oddelek - oddelek - podjetje - koncern ... Celo božanski panteoni različnih religij so zgrajeni na istem principu, vključno s krščanstvom: Bog Oče - Trojica - svetniki - cerkev - verniki, da o organizaciji božanskih panteonov niti ne govorimo. poganske vere.

Zgodba navaja, da so bile samopodobne množice prvič opažene v 19. stoletju v delih znanstvenikov - Poincaréja, Fatouja, Julija, Cantorja, Hausdorffa, resnica pa je, da so nam že poganski Slovani zapustili dokaz, da so ljudje individualni obstoj razumeli kot majhno podrobnost. v neskončnosti vesolja. To je predmet, ki so ga preučevali umetnostni zgodovinarji Belorusije in Ukrajine ljudska kultura, imenovan "pajek". Je nekakšen kiparski prototip moderen stil"mobilno" (deli so v nenehno gibanje relativno drug na drugega). »Pajek« je pogosto narejen iz slame, sestavljen je iz enako oblikovanih majhnih, srednjih, velike elemente, obešeni drug na drugega, tako da vsak manjši del natančno ponavlja večji in celotno strukturo kot celoto. Ta dizajn je bil obešen v glavnem kotu doma, kot da bi označeval dom kot del celotnega sveta.

Teorija fraktalnosti danes deluje povsod, tudi v filozofiji, ki pravi, da se med vsakim življenjem in vsako življenje kot celota fraktalno pojavijo »bifurkacijske točke«, ko več visoke ravni razvoj lahko gre na različne načine in trenutek, ko se človek »znajde pred izbiro«, je prava »bufurkacijska točka« v fraktalih njegovega življenja.

Teorija determinističnega kaosa pravi, da razvoj vsakega fraktala ni neskončen. Znanstveniki verjamejo, da v določenem trenutku nastopi meja, nad katero se rast iteracij ustavi in se fraktal začne "zožiti", postopoma doseže prvotno mero enote, nato pa gre proces spet v krog - podobno kot pri vdihu in izdihu, menjava jutra in noči, zime in poletja v naravi.

Uredniki NNN so po naključju naleteli na zelo zanimiv material, predstavljen v blogu uporabnika xtsarx, posvečen elementom teorije fraktali in njo praktična uporaba. Kot je znano, teorija fraktalov igra daleč od tega zadnja vloga v fiziki in kemiji nanosistemov. Ker sem prispeval k temu dobremu gradivu, predstavljenem v dostopnem jeziku širok spekter bralcem in podprto z obilico slikovnega in celo video gradiva vam ga predstavljamo. Upamo, da bo bralcem NNN to gradivo zanimivo.

Narava je tako skrivnostna, da bolj ko jo preučujete, več vprašanj se pojavlja ... Nočna strela - modri "curki" razvejanih izpustov, ledeni vzorci na oknu, snežinke, gore, oblaki, drevesno lubje - vse to presega običajno Evklidska geometrija. Ne moremo opisati skale ali meja otoka z ravnimi črtami, krogi in trikotniki. In tu nam priskočijo na pomoč fraktali. Kaj so ti znani tujci?

»Pod mikroskopom je to ugotovil na bolhi
Bolha, ki grize življenja;
Na tej bolhi je majhna bolha,
Zob jezno prebada bolho
Bolha in tako ad infinitum.” D. Swift.

Malo zgodovine

Prve ideje fraktalna geometrija nastala v 19. stoletju. Cantor je s preprostim rekurzivnim (ponavljajočim) postopkom premico spremenil v zbirko nepovezanih točk (t.i. Cantorjev prah). Vzel bi črto in odstranil osrednjo tretjino ter nato isto ponovil s preostalimi deli.

riž. 1. Peanova krivulja 1,2–5 ponovitev.

Peano je remiziral posebna vrsta vrstice. Peano je naredil naslednje:: V prvem koraku je vzel ravno črto in jo nadomestil z 9 segmenti, ki so bili 3-krat krajši od dolžine prvotne črte. Nato je naredil enako z vsakim segmentom nastale črte. In tako naprej v nedogled. Njegova edinstvenost je v tem, da zapolni celotno ravnino. Dokazano je, da je za vsako točko na ravnini mogoče najti točko ki pripada črti Peano. Peanova krivulja in Cantorjev prah sta presegla običajne geometrijske predmete. Niso imeli jasne razsežnosti. Zdelo se je, da je Cantorjev prah zgrajen na podlagi enodimenzionalne ravne črte, vendar je sestavljen iz točk (dimenzija 0). In Peanova krivulja je bila zgrajena na podlagi enodimenzionalne črte, rezultat pa je bila ravnina. Na mnogih drugih področjih znanosti so se pojavili problemi, katerih reševanje je vodilo do čudnih rezultatov, podobnih zgoraj opisanim (Brownovo gibanje, tečaji delnic). Ta postopek lahko opravi vsak od nas...

Oče fraktalov

Do 20. stoletja podatki o takih čudni predmeti, ne da bi jih poskušali sistematizirati. Tako je bilo, dokler jih nisem vzel Benoit Mandelbrot – oče moderne fraktalne geometrije in besede fraktal.

riž. 2. Benoit Mandelbrot.

Medtem ko je delal kot matematični analitik pri IBM, je študiral hrup v elektronska vezja, ki ga s statistiko ne bi mogli opisati. S postopnim primerjanjem dejstev je prišel do odkritja nove smeri v matematiki - fraktalna geometrija.

Izraz "fraktal" je uvedel B. Mandelbrot leta 1975. Po Mandelbrotu je fraktal(iz latinščine "fractus" - delno, zlomljeno, zlomljeno) se imenuje struktura, sestavljena iz delov, podobnih celoti. Lastnost samopodobnosti močno razlikuje fraktale od objektov klasične geometrije. Izraz samopodobnost pomeni prisotnost fine, ponavljajoče se strukture, tako na najmanjših lestvicah predmeta kot na makroskali.

riž. 3. K definiciji pojma fraktal.

Primeri samopodobnosti so: Koch, Levy, krivulje Minkowskega, trikotnik Sierpinskega, Mengerjeva goba, Pitagorejsko drevo itd.

Z matematična točka vizija, fraktal- to je najprej, niz z delno (vmesno, »ne celo število«) dimenzijo. Medtem ko gladka evklidska črta zapolnjuje natančno enodimenzionalni prostor, se fraktalna krivulja razteza čez meje enodimenzionalnega prostora in vdira čez meje v dvodimenzionalni prostor. Tako bo fraktalna dimenzija Kochove krivulje med 1 in 2 .To najprej pomeni, da je za fraktalni objekt nemogoče natančno izmeriti njegovo dolžino! Od teh geometrijskih fraktalov je prvi zelo zanimiv in precej znan - Kochova snežinka.

riž. 4. K definiciji pojma fraktal.

Zgrajena je na podlagi enakostranični trikotnik . Vsaka vrstica je nadomeščena s 4 vrsticami, vsaka 1/3 prvotne dolžine. Tako se z vsako ponovitvijo dolžina krivulje poveča za tretjino. In če to storimo neskončno število iteracije - dobimo fraktal - Kochovo snežinko neskončne dolžine. Izkazalo se je, da naša neskončna krivulja pokriva omejeno območje. Poskusite narediti enako z metodami in figurami iz evklidske geometrije.
Kochova dimenzija snežinke(ko se snežinka poveča za 3-krat, se njena dolžina poveča za 4-krat) D=log(4)/log(3)=1,2619.

O samem fraktalu

Fraktali najdejo vedno več aplikacij v znanosti in tehnologiji. Glavni razlog za to je, da opisujejo realni svet včasih celo bolje kot tradicionalna fizika ali matematika. Neskončno lahko navajate primere fraktalnih predmetov v naravi - to so oblaki, snežinke in gore, blisk strele in končno cvetača. Podobno fraktalu naravni objekt– to je večno nenehno gibanje, novo nastajanje in razvoj.

riž. 5. Fraktali v ekonomiji.

Poleg tega fraktali najdejo uporabo v decentralizirani računalniška omrežja in "fraktalne antene" . Tako imenovani “Brownovi fraktali” so zelo zanimivi in obetavni za modeliranje različnih stohastičnih (nedeterminističnih) “naključnih” procesov. V primeru nanotehnologije imajo fraktali prav tako vlogo pomembno vlogo , saj zaradi svoje hierarhične samoorganizacije mnogi nanosistemi imajo neceloštevilsko dimenzijo, to pomeni, da so fraktali po svoji geometrijski, fizikalno-kemijski ali funkcionalni naravi. na primer svetel primer kemični fraktalni sistemi so molekule "dendrimeri" . Poleg tega je načelo fraktalnosti (samopodobne, skalirne strukture) odraz hierarhične strukture sistema in je zato bolj splošen in univerzalen od standardnih pristopov k opisovanju strukture in lastnosti nanosistemov.

riž. 6. "Dendrimer" molekule.