The metodološko gradivo je samo za referenco in se nanaša na v širok krog teme Članek podaja pregled grafov osnovnih elementarnih funkcij in jih obravnava najpomembnejše vprašanje – kako pravilno in HITRO zgraditi graf. Med študijem višja matematika Brez poznavanja grafov osnovnih elementarnih funkcij bo težko, zato je zelo pomembno, da si zapomnite, kako izgledajo grafi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd., in si zapomnite nekatere vrednosti funkcij. Govorili bomo tudi o nekaterih lastnostih glavnih funkcij.

Ne zahtevam popolnosti in znanstvene temeljitosti gradiva; poudarek bo predvsem na praksi - tistih stvareh, s katerimi srečamo dobesedno na vsakem koraku, v kateri koli temi višje matematike. Grafi za telebane? Lahko bi tudi tako rekli.

Zaradi številnih prošenj bralcev klikabilno kazalo vsebine:

Poleg tega je na temo super kratek povzetek
– Obvladajte 16 vrst grafikonov s preučevanjem ŠESTih strani!

Resno, šest, celo jaz sem bil presenečen. Ta povzetek vsebuje izboljšano grafiko in je na voljo za simbolično ceno, lahko si ogledate demo različico. Datoteko je priročno natisniti, tako da so grafi vedno pri roki. Hvala za podporo projektu!

In začnimo takoj:

Kako pravilno sestaviti koordinatne osi?

V praksi teste skoraj vedno učenci opravljajo v ločenih zvezkih, črtanih v kvadrat. Zakaj potrebujete kariraste oznake? Navsezadnje je delo načeloma mogoče opraviti na listih A4. In kletka je potrebna samo za kakovostno in natančno oblikovanje risb.

Vsaka risba funkcijskega grafa se začne s koordinatnimi osemi.

Risbe so lahko dvodimenzionalne ali tridimenzionalne.

Najprej razmislimo o dvodimenzionalnem primeru kartezijanski pravokotni sistem koordinate:

1) Nariši koordinatne osi. Os se imenuje x-os , in os je y-os . Vedno jih poskušamo narisati čeden in ne ukrivljen. Puščice tudi ne smejo spominjati na brado Papa Carla.

2) Označite osi z velikimi tiskanimi črkami"X" in "Y". Ne pozabite označiti osi.

3) Nastavite merilo vzdolž osi: narišite ničlo in dve enici. Pri izdelavi risbe je najbolj priročno in pogosto uporabljeno merilo: 1 enota = 2 celici (risba levo) – če je le mogoče, se ga držite. Vendar se od časa do časa zgodi, da risba ne sodi na zvezkov list – takrat zmanjšamo merilo: 1 enota = 1 celica (risba desno). Redko, vendar se zgodi, da je treba merilo risbe še bolj zmanjšati (ali povečati)

NI POTREBE po "mitraljezi" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Za koordinatna ravnina ni spomenik Descartesu in učenec ni golob. Postavili smo nič in dve enoti vzdolž osi. včasih namesto enote, je priročno "označiti" druge vrednosti, na primer "dve" na abscisni osi in "tri" na ordinatni osi - in ta sistem (0, 2 in 3) bo tudi enolično določil koordinatno mrežo.

Pred sestavo risbe je bolje oceniti predvidene dimenzije risbe. Tako na primer, če naloga zahteva risanje trikotnika z oglišči , , , potem je popolnoma jasno, da priljubljeno merilo 1 enota = 2 celici ne bo delovalo. Zakaj? Poglejmo bistvo - tukaj boste morali izmeriti petnajst centimetrov navzdol in očitno se risba ne bo prilegala (ali komaj prilegala) na list zvezka. Zato takoj izberemo manjše merilo: 1 enota = 1 celica.

Mimogrede, o centimetrih in celicah zvezkov. Ali je res, da 30 celic zvezka vsebuje 15 centimetrov? Za zabavo izmerite 15 centimetrov v zvezku z ravnilom. V ZSSR je to morda veljalo ... Zanimivo je, da če izmerite te iste centimetre vodoravno in navpično, bodo rezultati (v celicah) drugačni! Strogo gledano, sodobni zvezki niso karirasti, ampak pravokotni. To se morda zdi nesmiselno, vendar je risanje na primer kroga s kompasom v takih situacijah zelo neprijetno. Če sem iskren, v takih trenutkih začneš razmišljati o pravilnosti tovariša Stalina, ki je bil poslan v taborišča zaradi hekerskega dela v proizvodnji, da ne omenjam domače avtomobilske industrije, padajočih letal ali eksplozivnih elektrarn.

Ko smo že pri kvaliteti, oz kratko priporočilo za pisalne potrebščine. Danes je večina zvezkov v prodaji milo rečeno popolna bedarija. Iz razloga, da se zmočijo, in ne samo od gelskih svinčnikov, ampak tudi od kemičnih svinčnikov! Prihranijo denar na papirju. Za registracijo testi Priporočam uporabo zvezkov Arhangelske tovarne celuloze in papirja (18 listov, mreža) ali "Pyaterochka", čeprav je dražje. Priporočljivo je izbrati gelsko pisalo, tudi najcenejše kitajsko gelsko polnilo je veliko boljše od kemičnega svinčnika, ki bodisi razmaže ali raztrga papir. Edini "konkurenčni" kemični svinčnik, ki se ga spomnim, je Erich Krause. Piše jasno, lepo in dosledno – bodisi s polnim jedrom bodisi s skoraj praznim.

Dodatno: Gledanje pravokotnega koordinatnega sistema z očmi analitično geometrijo zajete v članku Linearna (ne)odvisnost vektorjev. Osnova vektorjev, podrobne informacije o koordinatnih četrtinah najdete v drugem odstavku lekcije Linearne neenakosti.

3D etui

Tukaj je skoraj enako.

1) Narišite koordinatne osi. Standardno: aplicirati os – usmerjena navzgor, os – usmerjena v desno, os – usmerjena navzdol v levo strogo pod kotom 45 stopinj.

2) Označite osi.

3) Nastavite lestvico vzdolž osi. Merilo vzdolž osi je dvakrat manjše od merila vzdolž ostalih osi. Upoštevajte tudi, da sem na desni risbi uporabil nestandardno "zarezo" vzdolž osi (ta možnost je bila že omenjena zgoraj). Z mojega vidika je to bolj natančno, hitreje in bolj estetsko - ni treba iskati sredine celice pod mikroskopom in "izklesati" enote blizu izvora koordinat.

Pri izdelavi 3D risbe ponovno dajte prednost merilu
1 enota = 2 celici (risba na levi).

Čemu so vsa ta pravila? Pravila so narejena zato, da se jih krši. To bom zdaj naredil. Dejstvo je, da bom naslednje risbe članka naredil jaz v Excelu, koordinatne osi pa bodo z vidika videti napačne pravilno oblikovanje. Vse grafe bi lahko narisal ročno, vendar jih je pravzaprav strašljivo narisati, saj jih Excel ne želi narisati bolj natančno.

Grafi in osnovne lastnosti elementarnih funkcij

Linearna funkcija je podana z enačbo. Graf linearnih funkcij je neposredno. Da bi zgradili ravno črto, je dovolj poznati dve točki.

Primer 1

Zgradite graf funkcije. Poiščimo dve točki. Ugodno je izbrati nič kot eno od točk.

Če, potem

Vzemimo drugo točko, na primer 1.

Če, potem

Pri izpolnjevanju nalog so koordinate točk običajno povzete v tabeli:

In same vrednosti se izračunajo ustno ali na osnutku, kalkulatorju.

Najdeni sta bili dve točki, naredimo risbo:

Pri pripravi risbe vedno podpišemo grafiko.

Koristno bi bilo spomniti se posebnih primerov linearne funkcije:

Opazite, kako sem dal podpise, podpisi ne smejo dopuščati neskladij pri preučevanju risbe. IN v tem primeru Zelo nezaželeno je bilo postaviti podpis poleg točke presečišča črt ali spodaj desno med grafi.

1) Linearna funkcija oblike () se imenuje direktna sorazmernost. Na primer,. Graf neposredne sorazmernosti vedno poteka skozi izhodišče. Tako je gradnja ravne črte poenostavljena - dovolj je najti samo eno točko.

2) Enačba oblike podaja ravno črto, ki je vzporedna z osjo, še posebej, sama os je podana z enačbo. Graf funkcije se izriše takoj, ne da bi našli točke. To pomeni, da je treba vnos razumeti takole: "y je vedno enak –4 za katero koli vrednost x."

3) Enačba oblike podaja ravno črto, vzporedno z osjo, zlasti os sama je podana z enačbo. Takoj se izriše tudi graf funkcije. Vnos je treba razumeti takole: "x je vedno, za katero koli vrednost y, enak 1."

Nekateri se bodo vprašali, zakaj se spominjati 6. razreda?! Tako je, mogoče je res tako, ampak v letih vadbe sem srečal dober ducat študentov, ki jih je begala naloga sestaviti graf, kot je oz.

Konstruiranje ravne črte je najpogostejše dejanje pri risanju.

Ravna črta je podrobno obravnavana v tečaju analitične geometrije, zainteresirani pa se lahko obrnejo na članek Enačba premice na ravnini.

Graf kvadratne, kubične funkcije, graf polinoma

Parabola. Urnik kvadratna funkcija () predstavlja parabolo. Razmislimo slavni primer:

Spomnimo se nekaterih lastnosti funkcije.

Torej, rešitev naše enačbe: – na tej točki se nahaja vrh parabole. Zakaj je tako, izveste v teoretičnem članku o odvodu in lekciji o ekstremih funkcije. Medtem izračunajmo ustrezno vrednost "Y":

Tako je vrh v točki

Zdaj najdemo druge točke, medtem ko nesramno uporabljamo simetrijo parabole. Treba je opozoriti, da funkcija – ni niti, vendar kljub temu nihče ni preklical simetrije parabole.

V kakšnem vrstnem redu najti preostale točke, mislim, da bo jasno iz končne mize:

Ta algoritem konstrukcije lahko figurativno imenujemo "čoln" ali princip "nazaj in naprej" z Anfiso Čehovo.

Naredimo risbo:

Iz pregledanih grafov pride na misel še ena uporabna funkcija:

Za kvadratno funkcijo () drži naslednje:

Če , potem so veje parabole usmerjene navzgor.

Če , potem so veje parabole usmerjene navzdol.

Poglobljeno znanje o krivulji lahko pridobimo pri učni uri Hiperbola in parabola.

Kubična parabola je podana s funkcijo. Tukaj je risba, poznana iz šole:

Naštejmo glavne lastnosti funkcije

Graf funkcije

Predstavlja eno od vej parabole. Naredimo risbo:

Glavne lastnosti funkcije:

V tem primeru je os navpična asimptota za graf hiperbole pri .

VELIKA napaka bi bila, če bi pri risanju risbe malomarno dovolili, da se graf seka z asimptoto.

Tudi enostranske meje nam povedo, da hiperbola ni omejeno od zgoraj in ni omejeno od spodaj.

Oglejmo si funkcijo v neskončnosti: , to je, če se začnemo premikati vzdolž osi levo (ali desno) v neskončnost, potem bodo "igre" urejen korak neskončno blizu pristop k ničli in s tem veje hiperbole neskončno blizu približati osi.

Torej je os horizontalna asimptota za graf funkcije, če se "x" nagiba k plus ali minus neskončnosti.

Funkcija je Čuden, zato je hiperbola simetrična glede na izvor. To dejstvo razvidno iz risbe, poleg tega pa se zlahka analitično preveri: .

Graf funkcije oblike () predstavlja dve veji hiperbole.

Če , potem se hiperbola nahaja v prvi in ​​tretji koordinatni četrtini(glej sliko zgoraj).

Če , potem se hiperbola nahaja v drugi in četrti koordinatni četrtini.

Navedeni vzorec prebivališča hiperbole je enostavno analizirati z vidika geometrijskih transformacij grafov.

Primer 3

Konstruiraj desno vejo hiperbole

Uporabljamo točkovno konstrukcijo, pri čemer je ugodno izbrati vrednosti tako, da so deljive s celoto:

Naredimo risbo:

Ne bo težko sestaviti leve veje hiperbole; tu bo pomagala nenavadnost funkcije. Grobo rečeno, v tabeli gradnja po točkah vsaki številki v mislih dodajte minus, postavite ustrezne pike in narišite drugo vejo.

Podrobno geometrijske informacije o obravnavani premici najdete v članku Hiperbola in parabola.

Graf eksponentne funkcije

V tem razdelku bom takoj obravnaval eksponentno funkcijo, saj se v problemih višje matematike v 95% primerov pojavi eksponentna.

Naj vas spomnim, da je to iracionalno število: , to bo potrebno pri izdelavi grafa, ki ga bom pravzaprav zgradil brez slovesnosti. Tri točke, mogoče bo dovolj:

Pustimo za zdaj graf funkcije pri miru, o njem več kasneje.

Glavne lastnosti funkcije:

Funkcijski grafi itd. so videti načeloma enaki.

Moram reči, da se drugi primer v praksi redkeje pojavlja, vendar se pojavlja, zato se mi je zdelo nujno, da ga vključim v ta članek.

Graf logaritemske funkcije

Razmislite o funkciji z naravnim logaritmom.
Naredimo risbo od točke do točke:

Če ste pozabili, kaj je logaritem, si oglejte šolske učbenike.

Glavne lastnosti funkcije:

Domena:

Razpon vrednosti: .

Funkcija ni omejena od zgoraj: , čeprav počasi, vendar gre veja logaritma v neskončnost.
Oglejmo si obnašanje funkcije blizu ničle na desni: . Torej je os navpična asimptota za graf funkcije, ko se "x" nagiba k ničli z desne.

Nujno je poznati in zapomniti tipično vrednost logaritma: .

Graf logaritma na dnu je v bistvu enak: , , ( decimalni logaritem na osnovo 10) itd. Hkrati, kot večja baza, bolj raven bo graf.

Primera ne bomo obravnavali, ne spomnim se kdaj prejšnjič Na podlagi tega sem zgradil graf. In zdi se, da je logaritem zelo redek gost v problemih višje matematike.

Na koncu tega odstavka bom povedal še eno dejstvo: Eksponentna funkcija in logaritemska funkcija– to sta dve medsebojno inverzni funkciji. Če natančno pogledate graf logaritma, lahko vidite, da je to isti eksponent, le da se nahaja nekoliko drugače.

Grafi trigonometričnih funkcij

Kje se začnejo trigonometrične muke v šoli? Prav. Od sinusa

Narišimo funkcijo

Ta vrstica klical sinusoid.

Naj vas spomnim, da je "pi" iracionalno število: , in v trigonometriji kar zaslepi oči.

Glavne lastnosti funkcije:

Ta funkcija je periodično z obdobjem. Kaj to pomeni? Poglejmo segment. Levo in desno od njega se neskončno ponavlja popolnoma isti del grafa.

Domena: , kar pomeni, da za vsako vrednost "x" obstaja sinusna vrednost.

Razpon vrednosti: . Funkcija je omejeno: , torej vse "igre" so strogo v segmentu .
To se ne zgodi: oziroma, natančneje, zgodi se, vendar te enačbe nimajo rešitve.

1) Funkcijska domena in funkcijsko območje.

Domena funkcije je množica vseh veljavnih prave vrednosti prepir x(spremenljivka x), za katero je funkcija y = f(x) odločen. Območje funkcije je množica vseh realnih vrednosti l, ki jih funkcija sprejme.

IN elementarna matematika funkcije preučujemo le na množici realnih števil.

2) Funkcijske ničle.

Funkcija nič je vrednost argumenta, pri kateri je vrednost funkcije enaka nič.

3) Intervali konstantnega predznaka funkcije.

Intervali konstantnega znaka funkcije so nizi vrednosti argumentov, na katerih so vrednosti funkcije samo pozitivne ali samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Naraščajoča funkcija (v določenem intervalu) je funkcija, za katero višja vrednost argument iz tega intervala ustreza večji vrednosti funkcije.

Padajoča funkcija (v določenem intervalu) je funkcija, ki ji ustreza večja vrednost argumenta iz tega intervala. nižjo vrednost funkcije.

5) Soda (liha) funkcija.

Soda funkcija je funkcija, katere definicijska domena je simetrična glede na izvor in za poljubno X s področja definicije enakost f(-x) = f(x). Urnik celo funkcijo simetrično glede na ordinatno os.

Liha funkcija je funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izvor in za poljubno X s področja definicije velja enakost f(-x) = - f(x). Urnik nenavadna funkcija simetričen glede izvora.

6) Omejene in neomejene funkcije.

Funkcija se imenuje omejena, če obstaja pozitivno število M tako, da |f(x)| ≤ M za vse vrednosti x. Če taka številka ne obstaja, je funkcija neomejena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična, če obstaja neničelno število T tako, da za vsak x iz domene definicije funkcije velja: f(x+T) = f(x). To najmanjše število imenujemo perioda funkcije. Vse trigonometrične funkcije so periodične. (Trigonometrične formule).

19. Osnovno elementarne funkcije, njihove lastnosti in grafe. Uporaba funkcij v ekonomiji.

Osnovne elementarne funkcije. Njihove lastnosti in grafi

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija se imenuje funkcija oblike , kjer je x spremenljivka, a in b sta realni števili.

številka A klical naklon naravnost, on enaka tangenti naklonski kot te premice glede na pozitivno smer osi x. Graf linearne funkcije je ravna črta. Opredeljujeta ga dve točki.

Lastnosti linearne funkcije

1. Domena definicije - množica vseh realnih števil: D(y)=R

2. Množica vrednosti je množica vseh realnih števil: E(y)=R

3. Funkcija zavzame vrednost nič, ko oz.

4. Funkcija narašča (pada) na celotnem področju definicije.

5. Linearna funkcija je zvezna na celotnem definicijskem področju, diferenciabilna in .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblike, kjer je x spremenljivka, koeficienti a, b, c realna števila, se imenuje kvadratni

Lekcija in predstavitev na temo: "Funkcije moči. Lastnosti. Grafi"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 11. razred
Interaktivni priročnik za razrede 9–11 "Trigonometrija"
Interaktivni priročnik za razrede 10–11 "Logaritmi"

Potenčne funkcije, domena definicije.

Primer. Rešite enačbo: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
rešitev. Graf funkcije $y=x^(\frac(4)(3))$ narašča, graf funkcije $y=24-x$ pa pada. Fantje, vi in ​​jaz vemo: če ena funkcija narašča in druga pada, potem se sekata samo v eni točki, to pomeni, da imamo samo eno rešitev.
Opomba:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
To pomeni, da z $x=8$ dobimo pravilno enakost $16=16$, to je rešitev naše enačbe.
Odgovor: $x=8$.

Primer.
Graf funkcije: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
rešitev.
Graf naše funkcije dobimo iz grafa funkcije $y=x^(\frac(3)(4))$, ki ga premaknemo za 3 enote v desno in 2 enoti navzgor.

Primer. Zapišite enačbo za tangento na premico $y=x^(-\frac(4)(5))$ v točki $x=1$.
rešitev. Tangentna enačba je določena s formulo, ki jo poznamo:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
V našem primeru $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Poiščimo izpeljanko:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Izračunajmo:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Poiščimo tangentno enačbo:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Odgovor: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno

Zagotavlja referenčne podatke o eksponentni funkciji - osnovne lastnosti, grafe in formule. Upoštevano naslednja vprašanja: domena definicije, niz vrednosti, monotonost, inverzna funkcija, izpeljanka, integral, razširitev v potenčne vrste in predstavitev z uporabo kompleksnih števil.

Opredelitev

Eksponentna funkcija je posplošitev produkta n števil, ki so enaka a:
l (n) = a n = a·a·a···a,
na množico realnih števil x:
l (x) = sekira.
Tukaj je a določeno realno število ki se imenuje osnova eksponentne funkcije.
Imenuje se tudi eksponentna funkcija z osnovo a eksponent na osnovo a.

Posplošitev se izvede na naslednji način.
Za naravni x = 1, 2, 3,... , je eksponentna funkcija zmnožek faktorjev x:
.
Poleg tega ima lastnosti (1,5-8) (), ki izhajajo iz pravil za množenje števil. Na nič in negativne vrednosti cela števila, se eksponentna funkcija določi z uporabo formul (1.9-10). pri delne vrednosti x = m/n racionalna števila, , je določena s formulo (1.11). Za realne vrednosti je eksponentna funkcija definirana kot omejitev zaporedja:
,
kjer je poljubno zaporedje racionalnih števil, ki konvergira k x: .
S to definicijo je eksponentna funkcija definirana za vse , in izpolnjuje lastnosti (1.5-8), kot za naravni x.

Strogo matematična formulacija definicije eksponentne funkcije in dokaz njenih lastnosti so podani na strani “Definicija in dokaz lastnosti eksponentne funkcije”.

Lastnosti eksponentne funkcije

Eksponentna funkcija y = a x ima naslednje lastnosti na množici realnih števil () :
(1.1) določeno in neprekinjeno, za , za vse ;
(1.2) za ≠ 1 ima veliko pomenov;
(1.3) striktno narašča pri , striktno pada pri ,
je konstantna pri ;
(1.4) ob ;
ob ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Druge uporabne formule.
.
Formula za pretvorbo v eksponentno funkcijo z drugo eksponentno osnovo:

Ko je b = e, dobimo izraz eksponentne funkcije preko eksponente:

Zasebne vrednote

, , , , .

Slika prikazuje grafe eksponentne funkcije
l (x) = sekira
za štiri vrednosti diplomske osnove: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 in a = 1/8 . Vidi se, da je za > 1 eksponentna funkcija monotono narašča. Čim večja je osnova stopnje a, tem močnejša je rast. pri 0 < a < 1 eksponentna funkcija monotono pada. kako manj indikatorja stopnje a, močnejše je zmanjšanje.

Naraščajoče, padajoče

Eksponentna funkcija za je strogo monotona in zato nima ekstremov. Njegove glavne lastnosti so predstavljene v tabeli.

Inverzna funkcija

Inverz eksponentne funkcije z osnovo a je logaritem na osnovo a.

Če, potem
.
Če, potem
.

Diferenciacija eksponentne funkcije

Za diferenciacijo eksponentne funkcije je treba njeno osnovo zmanjšati na število e, uporabiti tabelo odvodov in pravilo diferenciacije kompleksna funkcija.

Če želite to narediti, morate uporabiti lastnost logaritmov
in formula iz tabele derivatov:
.

Naj bo dana eksponentna funkcija:
.
Prinesemo ga v bazo e:

Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij. Če želite to narediti, uvedite spremenljivko

Potem

Iz tabele odvodov imamo (spremenljivko x zamenjamo z z):
.
Ker je konstanta, je odvod z glede na x enak
.
Po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije:
.

Odvod eksponentne funkcije

.
Izpeljanka n-tega reda:
.
Izpeljava formul >>>

Primer diferenciacije eksponentne funkcije

Poiščite odvod funkcije
y = 3 5 x

rešitev

Izrazimo bazo eksponentne funkcije skozi število e.
3 = e ln 3
Potem
.
Vnesite spremenljivko
.
Potem

Iz tabele derivatov najdemo:
.
Zaradi 5ln 3 je konstanta, potem je odvod z glede na x enak:
.
Po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije imamo:
.

Odgovori

Integral

Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila

Upoštevajte funkcijo kompleksno število z:
f (z) = a z
kjer je z = x + iy; jaz 2 = - 1 .
Izrazimo kompleksno konstanto a z modulom r in argumentom φ:
a = r e i φ
Potem


.
Argument φ ni enolično definiran. IN splošni pogled
φ = φ 0 + 2 πn,
kjer je n celo število. Zato je funkcija f (z) tudi ni jasno. Pogosto se upošteva njegov glavni pomen
.

Razširitev serije

.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.