V tem članku si bomo podrobno ogledali. Osnovne trigonometrične identitete so enakosti, ki vzpostavljajo povezavo med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota in omogočajo iskanje katere koli od teh trigonometričnih funkcij prek znanega drugega.
Takoj naštejmo glavne trigonometrične identitete, ki jih bomo analizirali v tem članku. Zapišimo jih v tabelo, spodaj pa bomo podali rezultate teh formul in zagotovili potrebna pojasnila.
Navigacija po strani.
Razmerje med sinusom in kosinusom enega kota
Včasih ne govorijo o glavnih trigonometričnih identitetah, navedenih v zgornji tabeli, ampak o eni sami osnovna trigonometrična identiteta prijazen 
. Razlaga tega dejstva je dokaj preprosta: enačbe dobimo iz glavne trigonometrične istovetnosti, potem ko oba njena dela delimo z in oziroma ter enakosti 
in 
izhajajo iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. O tem bomo podrobneje govorili v naslednjih odstavkih.
to je posebno zanimanje predstavlja ravno enakost, ki je dobila ime glavna trigonometrična identiteta.
Preden dokažemo glavno trigonometrično identiteto, damo njeno formulacijo: vsota kvadratov sinusa in kosinusa enega kota je identično enaka ena. Zdaj pa dokažimo.
Osnovna trigonometrična identiteta se zelo pogosto uporablja, ko transformacija trigonometrične izraze . Omogoča, da se vsota kvadratov sinusa in kosinusa enega kota nadomesti z ena. Nič manj pogosto se uporablja osnovna trigonometrična identiteta obratni vrstni red: enota se nadomesti z vsoto kvadratov sinusa in kosinusa katerega koli kota.
Tangens in kotangens skozi sinus in kosinus
Identitete, ki povezujejo tangens in kotangens s sinusom in kosinusom enega zornega kota in 
sledijo takoj iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Dejansko je po definiciji sinus ordinata od y, kosinus je abscisa od x, tangens je razmerje med ordinato in absciso, to je 
, kotangens pa je razmerje med absciso in ordinato, to je 
.
Zahvaljujoč takšni očitnosti identitet in Tangens in kotangens pogosto nista definirana z razmerjem med absciso in ordinato, temveč z razmerjem med sinusom in kosinusom. Torej je tangens kota razmerje med sinusom in kosinusom tega kota, kotangens pa je razmerje med kosinusom in sinusom.
V zaključku tega odstavka je treba opozoriti, da sta identiteti in potekajo za vse kote, pri katerih so trigonometrične funkcije, vključene v njih, smiselne. Torej je formula veljavna za kateri koli , razen (sicer bo imel imenovalec nič in nismo definirali deljenja z nič), in formula - za vse , drugačen od , kjer je z kateri koli .
Razmerje med tangensom in kotangensom
Še bolj očitno trigonometrična identiteta kot prejšnji dve, je identiteta, ki povezuje tangens in kotangens enega kota oblike . Jasno je, da velja za vse kote, razen , sicer niti tangens niti kotangens nista definirana.
Dokaz formule zelo preprosto. Po definiciji in od kod 
. Dokaz bi lahko izpeljali malo drugače. Od , To 
.
Torej sta tangens in kotangens istega kota, pri katerem sta smiselna.
Trigonometrija - razdelek matematična znanost, ki raziskuje trigonometrične funkcije in njihovo uporabo v geometriji. Razvoj trigonometrije se je začel že v teh dneh Antična grčija. V srednjem veku so k razvoju te znanosti pomembno prispevali znanstveniki z Bližnjega vzhoda in Indije.
Ta članek je posvečen osnovni pojmi in definicije trigonometrije. Obravnava definicije osnovnih trigonometričnih funkcij: sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Njihov pomen je razložen in ponazorjen v kontekstu geometrije.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Sprva so bile definicije trigonometričnih funkcij, katerih argument je kot, izražene z razmerji stranic pravokotni trikotnik.
Definicije trigonometričnih funkcij
Sinus kota (sin α) je razmerje med krakom nasproti tega kota in hipotenuzo.
Kosinus kota (cos α) je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.
Kotni tangens (t g α) - razmerje nasprotna noga do sosednjega.
Kotangens kota (c t g α) - razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno stranjo.
Te definicije so podane za ostri kot pravokotnega trikotnika!
Dajmo ilustracijo.
IN trikotnik ABC s pravim kotom C sinus kota A enako razmerju krak BC na hipotenuzo AB.
Definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa vam omogočajo izračun vrednosti teh funkcij iz znanih dolžin strani trikotnika.
Pomembno si je zapomniti!
Razpon vrednosti sinusa in kosinusa je od -1 do 1. Z drugimi besedami, sinus in kosinus imata vrednosti od -1 do 1. Razpon vrednosti tangensa in kotangensa je celotna številska premica, to pomeni, da lahko te funkcije prevzamejo poljubne vrednosti.
Zgornje definicije veljajo za ostre kote. V trigonometriji je uveden koncept rotacijskega kota, katerega vrednost za razliko od ostrega kota ni omejena na 0 do 90 stopinj. Kot rotacije v stopinjah ali radianih je izražen s poljubnim realnim številom od - ∞ do + ∞. .
IN v tem kontekstu Določite lahko sinus, kosinus, tangens in kotangens poljubno velikega kota. Predstavljajmo si enotski krog s središčem v izhodišču kartezičnega koordinatnega sistema.
Začetna točka A s koordinatami (1, 0) se zavrti okoli središča enotskega kroga za določen kot α in gre v točko A 1. Definicija je podana v koordinatah točke A 1 (x, y).
Sinus (sin) rotacijskega kota
Sinus rotacijskega kota α je ordinata točke A 1 (x, y). sin α = y
Kosinus (cos) rotacijskega kota
Kosinus rotacijskega kota α je abscisa točke A 1 (x, y). cos α = x
Tangens (tg) rotacijskega kota
Tangens rotacijskega kota α je razmerje med ordinato točke A 1 (x, y) in njeno absciso. t g α = y x
Kotangens (ctg) rotacijskega kota
Kotangens rotacijskega kota α je razmerje med absciso točke A 1 (x, y) in njeno ordinato. c t g α = x y
Sinus in kosinus sta definirana za kateri koli rotacijski kot. To je logično, saj lahko absciso in ordinato točke po rotaciji določimo pod katerim koli kotom. Pri tangensu in kotangensu je situacija drugačna. Tangenta je nedefinirana, ko gre točka po rotaciji v točko z ničelno absciso (0, 1) in (0, - 1). V takih primerih izraz za tangento t g α = y x preprosto nima smisla, saj vsebuje deljenje z nič. Podobno je s kotangensom. Razlika je v tem, da kotangens ni definiran v primerih, ko gre ordinata točke na nič.
Pomembno si je zapomniti!
Sinus in kosinus sta določena za poljubne kote α.
Tangenta je definirana za vse kote razen α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Kotangens je določen za vse kote, razen za α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Pri odločanju praktični primeri ne reci "sinus rotacijskega kota α". Besede "kot vrtenja" so preprosto izpuščene, kar pomeni, da je že iz konteksta jasno, o čem se razpravlja.
Številke
Kaj pa definicija sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa števila in ne rotacijskega kota?
Sinus, kosinus, tangens, kotangens števila
Sinus, kosinus, tangens in kotangens števila t je število, ki je enako sinusu, kosinusu, tangensu in kotangensu v t radian.
Na primer sinus števila 10 π enak sinusu rotacijski kot 10 π rad.
Obstaja še en pristop k določanju sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa števila. Oglejmo si ga pobližje.
Kdorkoli realno število t točka na enotskem krogu je povezana s središčem v izhodišču pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema. Sinus, kosinus, tangens in kotangens so določeni preko koordinat te točke.
Začetna točka na krožnici je točka A s koordinatami (1, 0).
Pozitivno število t
Negativno število t ustreza točki, do katere bo šla začetna točka, če se premika po krogu v nasprotni smeri urnega kazalca in bo šel po poti t.
Zdaj, ko je povezava med številom in točko na krogu vzpostavljena, preidimo na definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa.
Sinus (greh) t
Sinus števila t- ordinata točke na enotskem krogu, ki ustreza številu t. sin t = y
Kosinus (cos) t
Kosinus števila t- abscisa točke enotskega kroga, ki ustreza številu t. cos t = x
Tangenta (tg) t
Tangens števila t- razmerje med ordinato in absciso točke na enotskem krogu, ki ustreza številu t. t g t = y x = sin t cos t
Najnovejše definicije so v skladu in niso v nasprotju z definicijo, podano na začetku tega odstavka. Točka na krogu, ki ustreza številki t, sovpada s točko, do katere gre začetna točka po zasuku za kot t radian.
Trigonometrične funkcije kotnega in numeričnega argumenta
Vsaka vrednost kota α ustreza določeni vrednosti sinusa in kosinusa tega kota. Tako kot vsi koti α, razen α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ustrezajo določeni vrednosti tangente. Kot je navedeno zgoraj, je kotangens definiran za vse α razen za α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Lahko rečemo, da so sin α, cos α, t g α, c t g α funkcije kota alfa ali funkcije kotnega argumenta.
Podobno lahko govorimo o sinusu, kosinusu, tangensu in kotangensu kot funkcijah numeričnega argumenta. Vsako realno število t ustreza določeni vrednosti sinusa ali kosinusa števila t. Vsa števila razen π 2 + π · k, k ∈ Z, ustrezajo tangentni vrednosti. Kotangens je podobno definiran za vsa števila razen π · k, k ∈ Z.
Osnovne funkcije trigonometrije
Sinus, kosinus, tangens in kotangens so osnovne trigonometrične funkcije.
Običajno je iz konteksta jasno, kateri argument trigonometrične funkcije ( argument kota oz numerični argument) imamo opravka.
Vrnimo se k definicijam na samem začetku in kotu alfa, ki leži v območju od 0 do 90 stopinj. Trigonometrične definicije sinus, kosinus, tangens in kotangens popolnoma skladni z geometrijske definicije, podan z razmerji stranic pravokotnega trikotnika. Pokažimo ga.
Vzemite enotski krog s središčem v pravokotniku kartezični sistem koordinate Izhodiščno točko A (1, 0) zavrtimo za kot do 90 stopinj in iz nastale točke A 1 (x, y) narišimo pravokotno na abscisno os. V nastalem pravokotnem trikotniku je kot A 1 O H enak kotu obrat α, dolžina kraka O H je enaka abscisi točke A 1 (x, y). Dolžina kraka nasproti kota je enaka ordinati točke A 1 (x, y), dolžina hipotenuze pa je enaka ena, saj je polmer enotskega kroga.
V skladu z definicijo iz geometrije je sinus kota α enak razmerju nasprotne stranice proti hipotenuzi.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
To pomeni, da je določitev sinusa ostrega kota v pravokotnem trikotniku z razmerjem stranic enakovredna določitvi sinusa rotacijskega kota α, pri čemer alfa leži v območju od 0 do 90 stopinj.
Podobno je mogoče prikazati ujemanje definicij za kosinus, tangens in kotangens.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Najpreprostejša rešitev trigonometrične enačbe.
Reševanje trigonometričnih enačb katere koli ravni kompleksnosti se na koncu zmanjša na reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb. In v tem najboljši pomočnik spet se izkaže, da je trigonometrični krog.
Spomnimo se definicij kosinusa in sinusa.
Kosinus kota je abscisa (to je koordinata vzdolž osi) točke na enotskem krogu, ki ustreza rotaciji za dani kot.
Sinus kota je ordinata (to je koordinata vzdolž osi) točke na enotskem krogu, ki ustreza rotaciji za dani kot.
Pozitivna smer gibanja trigonometrični krog Upošteva se gibanje v nasprotni smeri urinega kazalca. Rotacija za 0 stopinj (ali 0 radianov) ustreza točki s koordinatami (1;0)
Te definicije uporabljamo za reševanje preprostih trigonometričnih enačb.
1. Reši enačbo
Tej enačbi zadostijo vse vrednosti rotacijskega kota, ki ustrezajo točkam na krogu, katerih ordinata je enaka .
Označimo točko z ordinato na ordinatni osi:
Izvajajmo vodoravna črta vzporedno z osjo x, dokler se ne preseka s krogom. Dobimo dve točki, ki ležita na krožnici in imata ordinato. Te točke ustrezajo rotacijskim kotom v in radianih:
Če zapustimo točko, ki ustreza kotu vrtenja z radiani, gremo okoli poln krog, potem bomo prispeli do točke, ki ustreza rotacijskemu kotu na radian in ima isto ordinato. To pomeni, da tudi ta rotacijski kot izpolnjuje našo enačbo. Naredimo lahko toliko vrtljajev v "prostem teku", kolikor želimo, in se vrnemo na isto točko, in vse te vrednosti kota bodo zadovoljile našo enačbo. Število vrtljajev v "prostem teku" bo označeno s črko (ali). Ker lahko te revolucije naredimo tako v pozitivnem kot v negativno smer, (ali ) lahko sprejme poljubno celo število.
Se pravi prva serija rešitev izvirna enačba ima obliko:
, , - niz celih števil (1)
Podobno ima druga serija rešitev obliko:
, Kje , . (2)
Kot ste morda uganili, ta serija rešitev temelji na točki na krogu, ki ustreza kotu vrtenja za .
Ti dve seriji rešitev je mogoče združiti v en vnos:
Če vzamemo (torej celo) ta vnos, potem bomo dobili prvo serijo rešitev.
Če vzamemo (to je liho) ta vnos, potem dobimo drugo serijo rešitev.
2. Zdaj pa rešimo enačbo
Ker je to abscisa točke na enotskem krogu, ki ga dobimo z vrtenjem za kot, označimo točko z absciso na osi:
Izvajajmo navpična črta vzporedno z osjo, dokler se ne preseka s krogom. Dobili bomo dve točki, ki ležita na krožnici in imata absciso. Te točke ustrezajo rotacijskim kotom v in radianih. Spomnimo se, da pri premikanju v smeri urinega kazalca dobimo negativni rotacijski kot:
Zapišimo dve seriji rešitev:
,
,
(Do želene točke pridemo tako, da gremo iz glavnega polnega kroga, tj.
Združimo ti dve seriji v en vnos:
3. Reši enačbo
Tangenta poteka skozi točko s koordinatami (1,0) enotskega kroga vzporedno z osjo OY
Na njem označimo točko z ordinato enako 1 (iščemo tangens katerih kotov je enak 1):
Povežimo to točko s koordinatnim izhodiščem s premico in označimo presečišča premice z enotskim krogom. Presečišča premice in kroga ustrezajo kotom vrtenja na in :
Ker so točke, ki ustrezajo rotacijskim kotom, ki zadovoljujejo našo enačbo, med seboj oddaljene radianov, lahko rešitev zapišemo takole:
4. Reši enačbo
Premica kotangensov poteka skozi točko s koordinatami enotskega kroga vzporedno z osjo.
Na premici kotangensov označimo točko z absciso -1:
Povežimo to točko z izhodiščem premice in jo nadaljujmo, dokler se ne preseka s krožnico. Ta ravna črta bo sekala krog v točkah, ki ustrezajo kotom vrtenja v in radianih:
Ker so te točke ločene drug od drugega z razdaljo, ki je enaka , Potem skupna odločitev To enačbo lahko zapišemo takole:
V danih primerih, ki ponazarjajo reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb, smo uporabili vrednosti tabele trigonometrične funkcije.
Če pa desna stran enačbe vsebuje netabelarno vrednost, potem vrednost nadomestimo v splošno rešitev enačbe:
POSEBNE REŠITVE:
Na krožnici označimo točke z ordinato 0:
Na krožnici označimo eno točko z ordinato 1:
Na krožnici označimo eno točko, katere ordinata je enaka -1:
Ker je običajno navesti vrednosti, ki so najbližje ničli, rešitev zapišemo na naslednji način:
Na krožnici označimo točke, katerih abscisa je enaka 0:
5.
Na krožnici označimo eno samo točko, katere abscisa je enaka 1:
Na krogu označimo eno točko, katere abscisa je enaka -1:
In malo bolj zapleteni primeri:
1.
Sinus enako ena, če je argument enak
Argument našega sinusa je enak, zato dobimo:
Obe strani enakosti delite s 3:
odgovor:
2.
Kosinus enako nič, če je argument kosinusa enak
Argument našega kosinusa je enak , zato dobimo:
Izrazimo , za to se najprej premaknemo v desno z nasprotnim predznakom:
Poenostavimo desno stran:
Obe strani delite z -2:
Upoštevajte, da se predznak pred izrazom ne spremeni, saj lahko k sprejme poljubno celo število.
odgovor:
In končno si oglejte video vadnico »Izbira korenin v trigonometrični enačbi z uporabo trigonometrični krog"
S tem smo zaključili naš pogovor o reševanju preprostih trigonometričnih enačb. Naslednjič se bomo pogovarjali o tem, kako se odločiti.
Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangensa (), kotangensa () so neločljivo povezani s pojmom kota. Da bi te na prvi pogled dobro razumeli, zapleteni pojmi(ki pri mnogih šolarjih povzročijo stanje groze), in da se prepričamo, da "hudič ni tako strašen, kot je naslikan", začnimo od samega začetka in razumemo koncept kota.
Koncept kota: radian, stopinja
Poglejmo sliko. Vektor se je glede na točko "obrnil" za določeno količino. Torej bo mera tega vrtenja glede na začetni položaj kotiček.
Kaj še morate vedeti o pojmu kot? No, seveda, kotne enote!
Kot v geometriji in trigonometriji se lahko meri v stopinjah in radianih.
Imenuje se kot (ena stopinja). središčni kot v krogu, ki temelji na krožnem loku, ki je enak delu kroga. Tako je celoten krog sestavljen iz »koščkov« krožnih lokov oziroma je kot, ki ga opisuje krog, enak.
To pomeni, da zgornja slika prikazuje kot, ki je enak, to pomeni, da ta kot leži na krožnem loku velikosti obsega.
Kot v radianih je središčni kot v krogu, ki ga povezuje krožni lok, katerega dolžina je enaka polmeru kroga. No, si ugotovil? Če ne, potem to ugotovimo iz risbe.
Torej, slika prikazuje kot enako radianu, to pomeni, da ta kot leži na krožnem loku, katerega dolžina je enaka polmeru kroga (dolžina je enaka dolžini ali polmeru enako dolžini loki). Tako se dolžina loka izračuna po formuli:
Kje je središčni kot v radianih.
No, če to veste, ali lahko odgovorite, koliko radianov vsebuje kot, ki ga opisuje krog? Da, za to se morate spomniti formule za obseg. Tukaj je:
No, zdaj pa povežimo ti dve formuli in ugotovimo, da je kot, ki ga opisuje krog, enak. To pomeni, da s korelacijo vrednosti v stopinjah in radianih to dobimo. Oziroma,. Kot lahko vidite, je za razliko od "stopinj" beseda "radian" izpuščena, saj je merska enota običajno razvidna iz konteksta.
Koliko radianov je tam? Tako je!
Razumem? Potem nadaljujte in popravite:
Imate težave? Potem poglej odgovori:
Pravokotni trikotnik: sinus, kosinus, tangens, kotangens kota
Tako smo razumeli koncept kota. Toda kaj je sinus, kosinus, tangens in kotangens kota? Ugotovimo. Pri tem nam bo pomagal pravokotni trikotnik.
Kako se imenujejo stranice pravokotnega trikotnika? Tako je, hipotenuza in noge: hipotenuza je stran, ki leži nasproti pravega kota (v našem primeru je to stranica); noge sta dve preostali strani in (tisti, ki mejijo na pravi kot), in če upoštevamo krake glede na kot, potem je krak sosednji krak, krak pa nasprotni. Torej, zdaj odgovorimo na vprašanje: kaj so sinus, kosinus, tangens in kotangens kota?
Sinus kota- to je razmerje med nasprotno (oddaljeno) nogo in hipotenuzo.
V našem trikotniku.
Kosinus kota- to je razmerje med sosednjo (tesno) nogo in hipotenuzo.
V našem trikotniku.
Tangens kota- to je razmerje nasprotne (oddaljene) strani do sosednje (bližnje).
V našem trikotniku.
Kotangens kota- to je razmerje med sosednjo (bližnjo) nogo in nasprotno (daleč).
V našem trikotniku.
Te definicije so potrebne zapomni si! Da bi si lažje zapomnili, katero nogo razdeliti na kaj, morate jasno razumeti, da v tangenta in kotangens samo noge sedijo, hipotenuza pa se pojavi samo v sinusov in kosinus. In potem lahko dobite verigo asociacij. Na primer ta:
Kosinus→dotik→dotik→sosednji;
Kotangens→dotik→dotik→sosednji.
Najprej si morate zapomniti, da sinus, kosinus, tangens in kotangens kot razmerja stranic trikotnika niso odvisni od dolžin teh strani (pod istim kotom). Ne verjemi? Nato se prepričajte z ogledom slike:
Upoštevajte na primer kosinus kota. Po definiciji iz trikotnika: , lahko pa izračunamo kosinus kota iz trikotnika: . Vidite, dolžine strani so različne, vendar je vrednost kosinusa enega kota enaka. Tako so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa odvisne izključno od velikosti kota.
Če razumete definicije, jih nadaljujte in utrdite!
Za trikotnik, prikazan na spodnji sliki, najdemo.
No, si razumel? Potem poskusite sami: enako izračunajte za kot.
Enotski (trigonometrični) krog
Ob razumevanju pojmov stopinj in radianov smo obravnavali krog s polmerom, ki je enak. Tak krog se imenuje samski. Zelo koristen bo pri študiju trigonometrije. Zato si ga poglejmo nekoliko podrobneje.
Kot vidite, dani krog zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu. Polmer kroga je enak ena, središče kroga leži v izhodišču, začetni položaj Vektor polmera je fiksiran vzdolž pozitivne smeri osi (v našem primeru je to polmer).
Vsaka točka na krogu ustreza dvema številoma: koordinati osi in koordinati osi. Kaj so te koordinatne številke? In sploh, kaj imajo z obravnavano temo? Da bi to naredili, se moramo spomniti obravnavanega pravokotnega trikotnika. Na zgornji sliki lahko vidite dva cela pravokotna trikotnika. Razmislite o trikotniku. Pravokotna je, ker je pravokotna na os.
Čemu je enak trikotnik? Tako je. Poleg tega vemo, da je polmer enotskega kroga, kar pomeni . Nadomestimo to vrednost v našo formulo za kosinus. Zgodi se tole:
Čemu je enak trikotnik? No, seveda! Nadomestite vrednost polmera v to formulo in dobite:
Torej, ali lahko poveste, katere koordinate ima točka, ki pripada krogu? No, nikakor? Kaj pa, če se tega zavedate in ste le številke? Kateri koordinati ustreza? No, seveda, koordinate! In kateri koordinati ustreza? Tako je, koordinate! Torej pika.
Čemu sta torej enaka in ? Tako je, uporabimo ustrezni definiciji tangensa in kotangensa in dobimo to, a.
Kaj pa, če je kot večji? Na primer, kot na tej sliki:
Kaj se je spremenilo v v tem primeru? Ugotovimo. Če želite to narediti, se spet obrnemo na pravokotni trikotnik. Razmislite o pravokotnem trikotniku: kot (kot sosednji kotu). Kakšne so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za kot? Tako je, držimo se ustreznih definicij trigonometričnih funkcij:
No, kot lahko vidite, vrednost sinusa kota še vedno ustreza koordinati; vrednost kosinusa kota - koordinata; in vrednosti tangensa in kotangensa na ustrezna razmerja. Tako te relacije veljajo za vsako rotacijo radijnega vektorja.
Omenili smo že, da je začetni položaj radijnega vektorja vzdolž pozitivne smeri osi. Doslej smo ta vektor vrteli v nasprotni smeri urinega kazalca, kaj pa se zgodi, če ga zavrtimo v smeri urinega kazalca? Nič izjemnega, dobili boste tudi kot določene vrednosti, a le ta bo negativen. Tako dobimo pri vrtenju vektorja polmera v nasprotni smeri urinega kazalca pozitivni koti , in pri vrtenju v smeri urinega kazalca - negativno.
Torej, vemo, da je cel obrat vektorja radija okoli kroga oz. Ali je mogoče zasukati radijski vektor na ali na? No, seveda lahko! V prvem primeru bo torej radij vektor tvoril eno polni obrat in se ustavi v položaju ali.
V drugem primeru, torej bo radius vektor naredil tri polne obrate in se ustavil na položaju oz.
Tako lahko iz zgornjih primerov sklepamo, da koti, ki se razlikujejo za ali (kjer je poljubno celo število), ustrezajo istemu položaju radijnega vektorja.
Spodnja slika prikazuje kot. Ista slika ustreza kotu itd. Ta seznam se lahko nadaljuje za nedoločen čas. Vse te kote lahko zapišemo s splošno formulo ali (kjer je poljubno celo število)
Zdaj, ko poznate definicije osnovnih trigonometričnih funkcij in uporabite enotski krog, poskusite odgovoriti, katere so vrednosti:
Tukaj je krog enote, ki vam bo v pomoč:
Imate težave? Potem ugotovimo. Torej vemo, da:
Od tu določimo koordinate točk, ki ustrezajo določenim kotnim meram. No, začnimo po vrsti: kot pri ustreza točki s koordinatami, torej:
Ne obstaja;
Nadalje, z upoštevanjem iste logike, ugotovimo, da vogali ustrezajo točkam s koordinatami. Če vemo to, je enostavno določiti vrednosti trigonometričnih funkcij na ustreznih točkah. Najprej poskusite sami, nato pa preverite odgovore.
odgovori:
Ne obstaja
Ne obstaja
Ne obstaja
Ne obstaja
Tako lahko naredimo naslednjo tabelo:
Vseh teh vrednosti si ni treba zapomniti. Dovolj je, da se spomnimo korespondence med koordinatami točk na enotskem krogu in vrednostmi trigonometričnih funkcij:
Toda vrednosti trigonometričnih funkcij kotov v in, podane v spodnji tabeli, je treba zapomniti:
Naj vas ne bo strah, zdaj vam bomo pokazali en primer zelo enostavno zapomniti ustrezne vrednosti:
Za uporabo te metode je ključnega pomena, da si zapomnite vrednosti sinusa za vse tri mere kota (), kot tudi vrednost tangensa kota. Če poznate te vrednosti, je povsem preprosto obnoviti celotno tabelo - vrednosti kosinusa se prenesejo v skladu s puščicami, to je:
Če veste to, lahko obnovite vrednosti za. Števec " " se bo ujemal in imenovalec " " se bo ujemal. Vrednosti kotangensa se prenesejo v skladu s puščicami, prikazanimi na sliki. Če to razumete in si zapomnite diagram s puščicami, potem bo dovolj, da si zapomnite vse vrednosti iz tabele.
Koordinate točke na krožnici
Ali je mogoče najti točko (njene koordinate) na krogu, poznavanje koordinat središča kroga, njegovega polmera in rotacijskega kota?
No, seveda lahko! Spravimo ga ven splošna formula najti koordinate točke.
Na primer, tukaj je krog pred nami:
Podano nam je, da je točka središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem točke za stopinje.
Kot je razvidno iz slike, koordinata točke ustreza dolžini segmenta. Dolžina segmenta ustreza koordinati središča kroga, torej je enaka. Dolžino segmenta lahko izrazimo z definicijo kosinusa:
Potem imamo to za koordinato točke.
Z uporabo iste logike najdemo vrednost koordinate y za točko. torej
Torej, v splošni pogled koordinate točk so določene s formulami:
Koordinate središča kroga,
polmer kroga,
Kot vrtenja vektorskega radija.
Kot lahko vidite, so za enotski krog, ki ga obravnavamo, te formule znatno zmanjšane, saj so koordinate središča enake nič in polmer enak ena:
No, poskusimo te formule z vadbo iskanja točk na krogu?
1. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke naprej.
2. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke naprej.
3. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke naprej.
4. Točka je središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.
5. Točka je središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jo dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.
Imate težave z iskanjem koordinat točke na krogu?
Rešite teh pet primerov (ali jih rešite dobro) in naučili se jih boste najti!
1.
To lahko opazite. Vemo pa, kaj ustreza polni revoluciji Izhodišče. Tako bo želena točka v istem položaju kot pri obračanju. Če to vemo, najdemo zahtevane koordinate točke:
2. Enotski krog ima središče v točki, kar pomeni, da lahko uporabimo poenostavljene formule:
To lahko opazite. Vemo, kaj ustreza dvema polnima obratoma začetne točke. Tako bo želena točka v istem položaju kot pri obračanju. Če to vemo, najdemo zahtevane koordinate točke:
Sinus in kosinus sta tabelarni vrednosti. Spomnimo se njihovih pomenov in dobimo:
Tako ima želena točka koordinate.
3. Enotski krog ima središče v točki, kar pomeni, da lahko uporabimo poenostavljene formule:
To lahko opazite. Upodabljajmo zadevni primer na sliki:
Polmer tvori kote, ki so enaki osi in z osjo. Ker vemo, da sta vrednosti kosinusa in sinusa v tabeli enaki, in ugotovimo, da kosinus tukaj traja negativen pomen in je sinus pozitiven, imamo:
Več podrobnosti podobni primeri se razumejo pri preučevanju formul za redukcijo trigonometričnih funkcij v temi.
Tako ima želena točka koordinate.
4.
Kot vrtenja polmera vektorja (po pogoju)
Za določitev ustreznih predznakov sinusa in kosinusa sestavimo enotski krog in kot:
Kot lahko vidite, je vrednost, tj., pozitivna, vrednost, tj., pa negativna. Če poznamo tabelarične vrednosti ustreznih trigonometričnih funkcij, dobimo, da:
Nadomestimo dobljene vrednosti v našo formulo in poiščemo koordinate:
Tako ima želena točka koordinate.
5. Za rešitev tega problema uporabljamo formule v splošni obliki, kjer
Koordinate središča kroga (v našem primeru
Polmer kroga (glede na pogoje)
Kot zasuka polmera vektorja (po pogoju).
Zamenjajmo vse vrednosti v formulo in dobimo:
in - tabele vrednosti. Spomnimo se in jih nadomestimo v formulo:
Tako ima želena točka koordinate.
POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE
Sinus kota je razmerje med nasprotnim (skrajnim) krakom in hipotenuzo.
Kosinus kota je razmerje med sosednjim (bližnjim) krakom in hipotenuzo.
Tangens kota je razmerje med nasprotno (skrajno) stranjo in sosednjo (bližnjo) stranjo.
Kotangens kota je razmerje med sosednjo (bližnjo) in nasprotno (skrajno) stranjo.
Primeri:
\(\cos(30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos2=-0,416…\)
Argument in pomen
Kosinus ostrega kota
Kosinus ostrega kota se lahko določi s pravokotnim trikotnikom - je enak razmerju sosednjega kraka do hipotenuze.
Primer :
1) Naj bo podan kot in določiti moramo kosinus tega kota.
2) Dopolnimo poljubni pravokotni trikotnik na tem kotu.
3) Po merjenju, potrebne stranke, lahko izračunamo kosinus.
Kosinus števila
Številski krog vam omogoča, da določite kosinus poljubnega števila, vendar običajno najdete kosinus števil, ki je nekako povezan z: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
Na primer, za število \(\frac(π)(6)\) bo kosinus enak \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . In za število \(-\)\(\frac(3π)(4)\) bo enako \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (približno \ (-0 ,71\)).
Za kosinus za druga števila, ki se pogosto pojavljajo v praksi, glejte.
Vrednost kosinusa je vedno v območju od \(-1\) do \(1\). V tem primeru je kosinus mogoče izračunati za popolnoma kateri koli kot in število.
Kosinus katerega koli kota
Zahvaljujoč številskemu krogu lahko določite kosinus ne le ostrega kota, ampak tudi topega, negativnega in celo večjega od \(360°\) (polni obrat). Kako to storiti, je lažje videti enkrat kot slišati \(100\)-krat, zato poglejte sliko.
Zdaj pa razlaga: predpostavimo, da moramo določiti kosinus kota KOA z stopenjska mera v \(150°\). Združevanje točke O s središčem kroga in stranjo v redu– z osjo \(x\). Po tem odstavite \(150°\) v nasprotni smeri urinega kazalca. Nato ordinata točke A nam bo pokazal kosinus tega kota.
Če nas zanima kot s stopinjsko mero, na primer v \(-60°\) (kot KOV), naredimo enako, vendar nastavimo \(60°\) v smeri urinega kazalca.
In končno, kot je večji od \(360°\) (kot CBS) - vse je podobno neumnemu, le po polnem obratu v smeri urinega kazalca gremo v drugi krog in "dobimo pomanjkanje stopinj". Natančneje, v našem primeru je kot \(405°\) narisan kot \(360° + 45°\).
Zlahka je uganiti, da morate za risanje kota na primer v \(960°\) narediti dva obrata (\(360°+360°+240°\)) in za kot v \(2640 °\) - celih sedem.
Kako bi lahko zamenjali kosinus števila in kosinus? poljuben kot je definiran skoraj enako. Spreminja se le način, kako točko najdemo na krogu.
Kosinusni znaki po četrtinah
Z uporabo kosinusne osi (to je abscisne osi, označene z rdečo na sliki) je enostavno določiti znake kosinusov vzdolž numeričnega (trigonometričnega) kroga:
Kjer so vrednosti na osi od \(0\) do \(1\), bo imel kosinus znak plus (I in IV četrtine - zeleno območje),
- kjer so vrednosti na osi od \(0\) do \(-1\), bo imel kosinus znak minus (II in III četrtine - vijolično območje).
Povezava z drugimi trigonometričnimi funkcijami:
- isti kot (ali število): osnovna trigonometrična identiteta \(\sin^2x+\cos^2x=1\)- isti kot (ali število): po formuli \(1+tg^2x=\)\(\frac(1)(\cos^2x)\)
- in sinus istega kota (ali števila): formula \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sinx)\)
Za druge najpogosteje uporabljene formule glejte.
Rešitev enačbe \(\cosx=a\)
Rešitev enačbe \(\cosx=a\), kjer je \(a\) število, ki ni večje od \(1\) in ne manjše od \(-1\), tj. \(a∈[-1;1]\):
\(\cos x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccosa+2πk, k∈Z\)
Če \(a>1\) ali \(a<-1\), то решений у уравнения нет.
Primer . Rešite trigonometrično enačbo \(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\).rešitev:
Rešimo enačbo s pomočjo številskega kroga. Za to:
1) Sestavimo osi.
2) Sestavimo krog.
3) Na kosinusni osi (os \(y\)) označite točko \(\frac(1)(2)\) .
4) Skozi to točko nariši pravokotno na kosinusno os.
5) Označite presečišča navpičnice in krožnice.
6) Podpišimo vrednosti teh točk: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Zapišimo vse vrednosti, ki ustrezajo tem točkam, z uporabo formule (x=t+2πk), (k∈Z):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);
odgovor: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)
Funkcija \(y=\cos(x)\)
Če narišemo kote v radianih vzdolž osi \(x\) in vrednosti kosinusov, ki ustrezajo tem kotom, vzdolž osi \(y\), dobimo naslednji graf:
Ta graf se imenuje in ima naslednje lastnosti:
Domena definicije je katera koli vrednost x: \(D(\cos(x))=R\)
- obseg vrednosti - od \(-1\) do \(1\) vključno: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- sodo: \(\cos(-x)=\cos(x)\)
- periodično s periodo \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos(x)\)
- presečišča s koordinatnimi osemi:
abscisna os: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), kjer \(n ϵ Z\)
Os Y: \((0;1)\)
- intervali konstantnosti predznaka:
funkcija je pozitivna na intervalih: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), kjer \(n ϵ Z\)
funkcija je negativna na intervalih: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), kjer \(n ϵ Z\)
- intervali povečanja in zmanjšanja:
funkcija narašča na intervalih: \((π+2πn;2π+2πn)\), kjer \(n ϵ Z\)
funkcija pada na intervalih: \((2πn;π+2πn)\), kjer \(n ϵ Z\)
- maksimumi in minimumi funkcije:
funkcija ima največjo vrednost \(y=1\) v točkah \(x=2πn\), kjer \(n ϵ Z\)
funkcija ima najmanjšo vrednost \(y=-1\) v točkah \(x=π+2πn\), kjer \(n ϵ Z\).
