Kubični interpolacijski zlepek. Konstrukcija kubičnega zlepka

V industrijski proizvodnji, kot je ladjedelništvo, proizvodnja avtomobilov in letal, se končna oblika v ali blizu merila določi s postopkom končne obdelave.

Predstavljena avtomatizacija tega procesa pomembno zanimanje Za računalniška grafika. Oblika matematičnega zlepka sledi konturi fizičnega zlepka (slika 5-4), tj. prožno leseno ali plastično ravnilo, ki poteka skozi določene točke. Svinčene uteži se uporabljajo za spreminjanje oblike zlepka. S spreminjanjem njihovega števila in lokacije poskušajo narediti nastalo krivuljo bolj gladko, lepšo in »prijetnejšo za oko«.

Če fizični zlepek obravnavamo kot tanek upogljiv trak, je njegova oblika (upogib) določena z Eulerjevo enačbo (5-2) za trenutek upogiba vzdolž traku:

kjer je Youngov modul, ki je odvisen od lastnosti materiala stojala, je vztrajnostni moment, določen z obliko krivulje, in je polmer ukrivljenosti.

Pri majhnih odstopanjih je polmer približno enak

,

kjer praštevilka označuje odvod glede na razdaljo vzdolž palice in je odklon palice. Eulerjeva enačba ima obliko

Naj uteži delujejo kot preprosti nosilci, takrat se upogibni moment med njimi spreminja linearno. Nadomeščanje v Eulerjevo enačbo, dobimo

in po dvojni integraciji

Tako je oblika zlepka podana s kubičnim polinomom.

IN splošni primer Matematični zlepek je delni polinom stopnje z zveznim odvodom stopnje na povezovalnih točkah segmentov. na primer kubični zlepek ima kontinuiteto drugega reda na priključnih točkah. Podelni zlepki iz polinomov nizkega reda so zelo priročni za interpolacijo krivulj, saj ne zahtevajo velikih računskih stroškov in ne povzročajo numeričnih odstopanj, značilnih za polinome. visokega reda. Podobno kot fizični zlepki se običajno uporablja serija kubičnih segmentov, pri čemer vsak segment poteka skozi dve točki. Kubični zlepek je primeren tudi zato, ker je krivulja najmanjšega reda, ki omogoča prevojne točke in upogib v prostoru.

Enačba enega segmenta parametričnega zlepka je:

, , (5-1)

kjer in so vrednosti parametrov na začetku in koncu segmenta. - vektor na katero koli točko segmenta. je vektorsko vredna funkcija, kjer so tri komponente Kartezične koordinate vektor.

riž. 5-5 En segment kubičnega zlepka.

Vsaka komponenta ima podobno obliko, tj.

, ,

, ,

, .

Konstantni koeficienti se izračunajo na podlagi štirih robnih pogojev za segment zlepka. Zapišimo enačbo (5-1) v obliki

Naj sta vektorja koncev segmenta (glej sliko 5-5). Naj sta tudi in , odpeljanki glede na , tangentni vektorji na koncih segmenta. Z diferenciacijsko enačbo (5-1) dobimo

, . (5-3)

Zapišimo rezultat

, . (5-4)

Brez izgube splošnosti predpostavimo, da , in uporabimo robne pogoje

Dobimo štiri enačbe za neznanke:

, (5-6b)

, (5-6c)

. (5-6d)

Rešitve za in imajo obliko:

(5-7a)

. (5-7b)

Količine , , in določajo segment kubičnega zlepka. Očitno je oblika segmenta odvisna od položaja in tangentnih vektorjev na koncih segmenta. Nato upoštevajte, da rezultati vsebujejo vrednost parametra na koncu segmenta. Ker ima vsaka končna točka in tangentni vektor tri komponente, je parametrična enačba kubične prostorske krivulje odvisna od dvanajstih vektorskih komponent in vrednosti parametra na koncu segmenta.

Z zamenjavo enačb (5-6) in (5-7) v (5-1) dobimo enačbo za en segment kubičnega zlepka:

. (5-8)

To je enačba za en segment. Če želite dobiti celotno krivuljo, morate povezati veliko segmentov. Na sl. 5-6 prikazujeta dva sosednja segmenta. Če so znani vektorji , , , tangentni vektorji , , in vrednosti parametrov , , potem je oblika vsakega segmenta določena iz enačbe (5-8). Vendar je malo verjetno, da je tangentni vektor na priključni točki znan. Na srečo ga je mogoče izpeljati iz pogoja kontinuitete.

Spomnimo se, da ima zlepek s stopnjami po delih stopenjsko kontinuiteto na svojih spojnih točkah; zveznost kubičnega zlepka je dve. Za to mora biti drugi odvod ali ukrivljenost črte zvezna. Če dvakrat diferenciramo enačbo (5-1), dobimo

, . (5-9)

riž. 5-6 Dva segmenta kubičnega zlepka.

Za prvi del zlepka se parameter spreminja znotraj . Zamenjajmo v enačbo (5-9):

.

Za drugi del zlepka se parameter spremeni v območju. V enačbo (5-9) nadomestimo vrednost na začetku drugega razdelka

Z enačenjem dobljenih rezultatov in uporabo enačb (5-6a,b) in (5-7a) dobimo

.

Leva stran te enačbe predstavlja ukrivljenost na koncu prvega segmenta, desna stran pa predstavlja ukrivljenost na začetku drugega. Pomnoži in združi izraze:

To določa neznani tangentni vektor na priključni točki. Upoštevajte, da končna enačba spet vsebuje vrednosti parametrov na koncih segmentov in .

Dobljeno formulo lahko posplošimo za točke, za segmente kubičnega zlepka pa lahko dobimo kontinuiteto drugega reda na priključnih točkah.

riž. 5-7 Oznake za množico segmentov kosovnih kubičnih zlepkov.

Posplošena enačba za katera koli dva sosednja segmenta zlepka in v zapisu na sl. 5-7 izgleda takole:

(5-11)

za prvi segment in

(5-12)

za drugo, saj se za vsak segment parameter začne spreminjati od nič, za prvo in za drugo - .

Izenačitev drugih odvodov na stičiščih za vse sosednje segmente, , daje skupni rezultat, enakovreden enačbi (5-10),

iz katerega je določen tangentni vektor na stičiščih poljubnih dveh segmentov in .

Rekurzivna uporaba enačbe (5-13) za vse segmente zlepka ustvari tangentne vektorske enačbe , . IN matrična oblika:

(5-14)

Matrika je nekvadratna, saj obstajajo le enačbe za vektorje in je ni mogoče obrniti, da bi dobili rešitev za . Če predpostavimo, da so tangentni vektorji na koncih krivulje in znani, je problem rešen. Zdaj je matrica videti takole

(5-15)

kjer je matrika kvadratna in invertibilna. Upoštevajte tudi, da je tridiagonalna, kar zmanjša računske stroške njene inverzije. Poleg tega je matrika diagonalno prevladujoča. Iz tega sledi, da ima edina odločitev:

. (5-16)

Če poznamo , potem je enostavno določiti koeficiente za vsak segment zlepka. Posplošimo enačbe (5-6)-(5-11), dobimo

,

.

Ker in je vektorske količine, potem so tudi vektorski; če imajo komponente, potem imajo tudi te komponente.

V matrični obliki je enačba katerega koli segmenta zlepka:

. (5-17)

Naj bo potrebno določiti kubični zlepek, ki poteka skozi točke , s tangentnimi vektorji na koncih in . Iz enačbe (5-16) najdemo notranje tangentne vektorje , . Nato se iz enačbe (5-17) z znanimi koordinatami koncev vsakega segmenta in tangentnimi vektorji določijo , , za vsak segment. Končna posplošitev enačbe (5-1)

, , , (5-18)

uporablja se za izračun segmenta zlepka.

V matrični obliki je enačba (5-18) videti takole:

, . (5-19)

Če nadomestimo enačbo (5-17) in preuredimo izraze, dobimo

, , , (5-20)

, (5-21a)

, (5-21b)

, (5-21s)

, (5-21d)

imenujemo utežne funkcije.

riž. 5-8 Utežne funkcije kubičnega zlepka za

Z uporabo teh definicij zapišemo enačbo (5-20) v matrični obliki

kjer je matrika utežne funkcije

vsebuje geometrijske informacije. Kot bo razvidno iz tega, kar sledi, enačbe, kot je (5-22), tj. matriko utežne funkcije, pomnoženo z matriko geometrijskih pogojev, ki se pogosto uporablja za opis krivulj in površin.

Iz enačbe (5-21) je razvidno, da je vsaka utežna funkcija tretjega reda. Vsaka točka na segmentu kubičnega zlepka je utežena vsota končnih točk in tangentnih vektorjev. Koeficienti delujejo kot utežne funkcije. Na sl. 5-8 so prikazani za. Iz slike je razvidno, da in , tj. krivulja poteka skozi točkovni vektor. Podobno in, tj. krivulja poteka tudi skozi točkovni vektor. Nato opazimo simetrijo in , in in . Pravzaprav . Nazadnje bodimo pozorni na relativni vrstni red , , in . Pomembna razlika v velikosti nakazuje, da ima na splošno položaj končnih točk večji vpliv kot tangentni vektorji.

Spomnimo se, da je delni kubični zlepek določen s točkami, tangentnimi vektorji in vrednostmi parametrov, to je na koncih vseh segmentov. Izbira vpliva na gladkost krivulje.

Zveznost drugega odvoda na notranjih veznih točkah sama po sebi ne zagotavlja gladkosti krivulje v smislu minimalne ukrivljenosti vzdolž nje. Z izbiro ustreznih vrednosti je mogoče minimizirati koeficiente za vsak segment in doseči večjo gladkost krivulje. Običajno ti dodatni izračuni niso potrebni. Za praktične namene več kot preproste metode, kot so tisti, o katerih razpravljamo tukaj.

Ena od metod izračuna je nastavitev vrednosti parametrov enake dolžine tetive med sosednjima točkama. Hkrati kakovost krivulje ustreza zahtevam večine uporabni problemi. Druga metoda je normalizacija variacije z jemanjem enako ena za vsak segment zlepka. Ta izbira poenostavi izračune (glejte razdelek 5-4). Kot je razvidno iz zgornjih enačb, vsaka izbira povzroči različne koeficiente in tako dobimo različne krivulje, ki potekajo skozi dane točke.

Poglejmo si primer.

TOČKA TOČKA OPIS POVRŠIN.

Metoda je sestavljena iz določanja površine z nizom točk, ki ji pripadajo. Posledično je kakovost slike pri tej metodi odvisna od števila točk in njihove lokacije.

Opis po točkah se uporablja v primerih, ko je površina zelo zapletena in nima gladkosti, in podrobna predstavitev geometrijske lastnosti pomembna za prakso.

Primer: Območja tal na drugih planetih, oblike nebesna telesa, informacije o katerih so bile pridobljene na podlagi satelitskih posnetkov. Mikroobjekti, posneti z elektronskim mikroskopom.

Začetne informacije o točkovno opisanih objektih so predstavljene v obliki matrike 3D koordinate točke.

zlepki so gladke (imajo več zveznih odvodov) delno polinomske funkcije, ki jih je mogoče uporabiti za predstavitev danih funkcij velik znesek vrednosti in za katere aproksimacija z enim polinomom ni uporabna. Ker so zlepki gladki, ekonomični in enostavni za delo, se uporabljajo pri konstruiranju poljubnih funkcij za:

o modeliranje krivulje;

o aproksimacija podatkov s pomočjo krivulj;

o izvajanje funkcijskih aproksimacij;

o reševanje funkcionalnih enačb.

Oglejmo si problem risanja gladkih krivulj vzdolž danih mejnih točk ali problem interpolacije. Ker lahko skozi dve točki narišemo poljubno število gladkih krivulj, je za rešitev tega problema potrebno omejiti razred funkcij, ki bodo določale želeno krivuljo. Matematični zlepki so funkcije, ki se uporabljajo za aproksimacijo krivulj. Njihova pomembna lastnost je enostavnost izračuna. V praksi se pogosto uporabljajo zlepki tipa polinoma tretje stopnje. Z njihovo pomočjo je zelo priročno risati krivulje, ki intuitivno ustrezajo človeškemu subjektivnemu konceptu gladkosti. Izraz "spline" izhaja iz angleške besede spline, kar pomeni upogljiv jekleni trak, ki so ga risarji uporabljali za risanje gladkih krivulj, na primer za konstruiranje kontur ladij ali letal.

Najprej razmislimo o funkciji zlepka za risanje funkcije ene spremenljivke. Naj bo na ravnini podano zaporedje točk , in . Definirajmo zahtevano funkcijo in postavimo dva pogoja:

1) Funkcija mora potekati skozi vse točke: , ;

2) Funkcija mora biti dvakrat zvezno diferenciabilna, to pomeni, da mora imeti zvezen drugi odvod na celotnem intervalu.

Na vsakem od segmentov , , bomo našo funkcijo iskali v obliki polinoma tretje stopnje:

.

Spline funkcija

Naloga konstruiranja polinoma se zmanjša na iskanje koeficientov. Ker je za vsakega od segmentov potrebno najti 4 koeficiente, bo skupno število zahtevanih koeficientov . Za iskanje vseh koeficientov določimo ustrezno število enačb. Prve enačbe dobimo iz pogojev za sovpadanje funkcijskih vrednosti na notranjih vozliščih ,. Naslednje enačbe podobno dobimo iz pogojev za sovpadanje vrednosti prvega in drugega derivata na notranjih vozliščih. Skupaj s prvim pogojem dobimo enačbe. Manjkajoči dve enačbi lahko dobite tako, da določite vrednosti prvih odvodov na končnih točkah segmenta. Na ta način je mogoče določiti robne pogoje.

Pojdimo na več težak primer– nastavljanje krivulj v tridimenzionalni prostor. V primeru funkcionalne specifikacije krivulje so možne dvoumnosti v primeru samopresečišč in neprijetnosti, ko so vrednosti odvodov enake. Glede na to bomo iskali funkcijo v parametrična oblika. Naj bo neodvisen parameter, tako da . Imenujemo ga kubični parametrični zlepek naslednji sistem enačbe:

Koordinate točk na krivulji so opisane z vektorjem, tri izpeljanke pa določajo koordinate ustreznega tangentnega vektorja v točki. Na primer za koordinato:

Eden od načinov za določanje parametričnega kubičnega zlepka je podajanje koordinat začetnega in končne točke, kot tudi tangentne vektorje v njih. Ta način določanja se imenuje Hermitova oblika. Označimo končne točke in , ter tangentne vektorje na njih in . Indeksi so bili izbrani na ta način ob upoštevanju nadaljnje predstavitve.

Rešili bomo problem iskanja štirih koeficientov, saj za preostali dve enačbi koeficiente najdemo na podoben način. Zapišimo pogoj za konstrukcijo zlepka:

Prepišimo izraz za vektorski obliki:

.

Označimo vektor vrstice in vektor stolpca koeficientov, potem .

Iz (*) sledi, . Za tangente ,

Od tu dobimo enačbo vektorske matrike:

.

Ta sistem je mogoče rešiti z iskanjem inverzna matrika velikost .

.

Tukaj je hermitska matrica, - geometrijski vektor Ermita. Zamenjajmo izraz, da najdemo: . Podobno za druge koordinate: , .

Krivulje in površine, ki jih najdemo v praktični problemi, imajo pogosto precej kompleksna oblika, ki ne omogoča univerzalnih analitična naloga na splošno s pomočjo elementarne funkcije. Zato so sestavljeni iz razmeroma preprostih gladkih fragmentov - segmentov (krivulj) ali rezov (površin), od katerih je vsakega mogoče povsem zadovoljivo opisati z uporabo elementarnih funkcij ene ali dveh spremenljivk. V tem primeru je povsem naravno zahtevati, da morajo biti gladke funkcije, ki se uporabljajo za konstruiranje delnih krivulj ali površin, podobne narave, na primer, morajo biti polinomi v enaki meri. In da bi bila nastala krivulja ali površina dovolj gladka, morate biti še posebej previdni, kje se ustrezni drobci združijo. Stopnja polinomov je izbrana iz preprostih geometrijskih premislekov in je praviloma majhna. Za gladko spreminjanje tangente vzdolž celotne sestavljene krivulje je dovolj, da spojene krivulje opišemo s polinomi tretje stopnje, kubični polinomi. Koeficiente takih polinomov lahko vedno izberemo tako, da je ukrivljenost ustrezne sestavljene krivulje zvezna. Kubične zlepke, ki nastanejo pri reševanju enodimenzionalnih problemov, lahko prilagodimo konstrukciji fragmentov kompozitnih površin. In tu se povsem naravno pojavijo bikubični zlepki, opisani s polinomi tretje stopnje v vsaki od obeh spremenljivk. Delo s takimi zlepki zahteva bistveno večjo količino izračunov. Ampak prav organiziran proces nam bo omogočilo, da upoštevamo nenehno rastoče priložnosti računalniška tehnologija V največjo stopnjo. Spline funkcije Pustimo na segmentu, to je Opomba. Na to kaže indeks (t) števil a^. da je niz koeficientov, ki določa funkcijo 5(x) na vsakem delnem segmentu D, drugačen. Na vsakem od segmentov D1 je zlepek 5(x) polinom stopnje p in je na tem segmentu določen s koeficientom p + 1. Skupni delni segmenti - potem. To pomeni, da je za popolno določitev zlepka potrebno najti (p + 1), nato pa številke pomenijo kontinuiteto funkcije 5(x) in njenih odvodov na vseh notranjih vozliščih mreže w. Število takšnih vozlišč je m - 1. Tako se za iskanje koeficientov vseh polinomov dobi p(m - 1) pogojev (enačb). Za popolna definicija manjka zlepek (pogoji (enačbe). Izbira dodatnih pogojev je določena z naravo obravnavanega problema, včasih pa preprosto z željo uporabnika. TEORIJA ZREPKOV primeri rešitev Interpolacija in glajenje problemov se največkrat obravnava, ko je potrebni za konstruiranje enega ali drugega zlepka iz danega niza točk na ravnini B interpolacijski problemi zahtevajo, da graf zlepka poteka skozi točke, kar nalaga m + 1 dodatnih pogojev (enačb) na njegove koeficiente. Preostalih p - 1 pogojev (enačb) za nedvoumno konstrukcijo zlepka so najpogosteje podani v obliki vrednosti spodnjih odvodov zlepka na koncih obravnavanega segmenta [. a, 6] - mejni (mejni) pogoji različni robni pogoji vam omogočajo konstruiranje zlepkov z različnimi lastnostmi. Pri težavah z glajenjem je zlepek zgrajen tako, da njegov graf poteka blizu točk (i" "Y"), * = 0, 1,..., t, in ne prek njih je mogoče definirati to bližino na različne načine, kar vodi do velike raznolikosti zlepkov. Opisane možnosti izbire pri konstruiranju zlepkovih funkcij ne izčrpajo vse njihove raznolikosti. In če so bile sprva obravnavane le delno polinomske funkcije zlepka, so se z razširitvijo obsega njihove uporabe začeli pojavljati zlepki, "zlepljeni skupaj" iz drugih elementarnih funkcij. Interpolacijski kubični zlepki Postavitev interpolacijskega problema Naj bo mreža w podana na segmentu [a, 6). Razmislite o množici števil. Konstruirajte gladko funkcijo na segmentu (a, 6], ki zavzame dane vrednosti na vozliščih mreže, to je Opomba: Formulirani interpolacijski problem je obnoviti gladko delovanje, podan v tabeli (slika 2). Jasno je, da ima tak problem veliko različne rešitve. Prekrivanje na konstruirani funkciji dodatni pogoji, je mogoče doseči potrebno nedvoumnost. V aplikacijah je pogosto treba analitično približati funkcijo z uporabo funkcije s predpisano zadostnostjo dobre lastnosti. Na primer, v primerih, ko je izračun vrednosti dane funkcije /(x) na točkah segmenta [a, 6] povezan s precejšnjimi težavami in/ali dana funkcija /(x) nima zahtevane gladkosti , je priročno uporabiti drugo funkcijo, ki se precej dobro približa, bi imela dano funkcijo in bi bila brez svojih omenjenih pomanjkljivosti. Problem interpolacije funkcij. Konstruirajte na intervalu [a, 6] gladko funkcijo a(x), ki sovpada v vozliščih mreže w z dano funkcijo/(X). Definicija interpolacijskega kubičnega zlepka Interpolacijski kubični zlepek S(x) na mreži w je funkcija, ki je 1) na vsakem od segmentov polinom tretje stopnje, 2) je dvakrat zvezno diferenciabilna na segmentu [a, b ], torej pripada razredu C2[ a, 6], in 3) izpolnjuje pogoje Na vsakem od segmentov je zlepek S(x) polinom tretje stopnje in je na tem segmentu določen s štirimi koeficienti. . Skupno število segmentov je m. To pomeni, da je za popolno definiranje zlepka potrebno najti 4m števil. Pogoj pomeni zveznost funkcije S(x) in njenih odvodov S"(x) in 5". (x) na vseh notranjih vozliščih omrežja w. Število takšnih vozlišč je m - 1. Tako za iskanje koeficientov vseh polinomov dobimo še 3 (m - 1) pogoje (enačbe). Skupaj s pogoji (2) dobimo pogoje (enačbe). Robni (robni) pogoji Dva manjkajoča pogoja sta podana v obliki omejitev vrednosti zlepka in/ali njegovih izpeljank na koncih intervala [a, 6]. Pri konstruiranju interpolacijskega kubičnega zlepka se najpogosteje uporabljajo naslednje štiri vrste robnih pogojev. A. Robni pogoji 1. vrste. - na koncih intervala [a, b] so določene vrednosti prvega odvoda želene funkcije. B. Robni pogoji 2. vrste. - na koncih intervala (a, 6) so določene vrednosti drugega odvoda želene funkcije. B. Robni pogoji 3. vrste. imenujemo periodične. Naravno je zahtevati izpolnjevanje teh pogojev v primerih, ko je interpolirana funkcija periodična s periodo T = b-a. D. Robni pogoji 4. vrste. zahtevajo poseben komentar. Komentar. Pri notranjih sepsi vozliščih je tretji odvod funkcije S(x) na splošno diskontinuiran. Vendar pa lahko število diskontinuitet tretjega odvoda zmanjšamo z uporabo pogojev 4. vrste. V tem primeru bo konstruirani zlepek zvezno diferencibilen trikrat na intervalih. Konstrukcija interpolacijskega kubičnega zlepka. Opišimo metodo za izračun koeficientov kubičnega zlepka, pri kateri je število veličin, ki jih je treba določiti, enako. Na vsakem od intervalov se išče funkcija interpolacijskega zlepka v naslednji obliki. Tukaj so TEORIJA SPLINE primeri rešitev in števil rešitve linearnega sistema algebraične enačbe, katerih oblika je odvisna od vrste robnih pogojev. Za robne pogoje tipa 1 in 2 ima ta sistem naslednjo obliko, kjer so koeficienti odvisni od izbire robnih pogojev. Robni pogoji 1. vrste: Robni pogoji 2. vrste: Pri robnih pogojih 3. vrste sistem za določanje števil zapišemo takole: Število neznank v najnovejši sistem je enak mn, saj iz pogojev periodičnosti izhaja, da je po = nm. Za robne pogoje 4. vrste ima sistem za določanje števil obliko, kjer je na podlagi najdene rešitve sistema mogoče določiti števili po in n s pomočjo formul. Matrike vseh treh linearnih algebrski sistemi so diagonalno dominantne matrike. Matrike niso singularne, zato ima vsak od teh sistemov edinstveno rešitev. Izrek. Interpolacijski kubični zlepek, ki izpolnjuje pogoje (2) in robni pogoj ene od štirih zgoraj naštetih vrst, obstaja in je edinstven. Tako konstruirati interpolacijski kubični zlepek pomeni najti njegove koeficiente. Ko so najdeni koeficienti zlepka, je vrednost zlepka S(x). poljubna točka segment [a, b] lahko najdete v formuli (3). Vendar pa je za praktične izračune bolj primeren naslednji algoritem iskanje vrednosti 5(g). Naj bo x 6 [x", najprej se vrednosti A in B izračunata z uporabo formul in nato se najde vrednost 5(x): uporaba tega algoritma bistveno zmanjša računske stroške določanja vrednosti. Nasveti za uporabniku omogoča izbira robnih (robnih) pogojev in interpolacijskih vozlišč do določene mere nadzor lastnosti interpolacijskih zlepkov. A. Izbira robnih (robnih) pogojev. Izbira robnih pogojev je ena od centralne težave pri interpolaciji funkcij. To postane še posebej pomembno v primeru, ko je treba zagotoviti visoko natančnost aproksimacije funkcije f(x) z zlepkom 5(g) blizu koncev segmenta [a, 6). Mejne vrednosti opazno vplivajo na obnašanje zlepka 5(g) v bližini točk a in b, ta vpliv pa hitro oslabi, ko se od njih oddaljujemo. Izbira robnih pogojev je pogosto določena s prisotnostjo Dodatne informacije o obnašanju aproksimirane funkcije f(x). Če so vrednosti prvega odvoda f"(x) znane na koncih segmenta (a, 6), potem je naravno uporabiti robne pogoje 1. vrste. Če so vrednosti drugega odvoda f"(x) znani na koncih segmenta [a, 6], potem gre za naravne rabe robnih pogojev tipa 2. Če obstaja možnost izbire med robnimi pogoji tipa 1 in 2, je treba dati prednost pogojem tipa 1. Če je f(x) - periodična funkcija, potem bi se morali ustaviti pri robnih pogojih 3. vrste. V primeru, da ni Dodatne informacije ni informacij o obnašanju aproksimirane funkcije, pogosto se uporabljajo tako imenovani naravni robni pogoji, vendar je treba upoštevati, da je pri takšni izbiri robnih pogojev natančnost aproksimacije funkcije f(x. ) z zlepkom S(x) blizu koncev segmenta (a, ft] se močno zmanjša. Včasih se uporabljajo robni pogoji 1. ali 2. tipa, vendar ne z natančne vrednosti ustrezne odvode in z njihovimi diferenčnimi približki. Natančnost tega pristopa je nizka. Praktične izkušnje z izračuni kažejo, da je v obravnavani situaciji najprimernejša izbira robnih pogojev 4. vrste. B. Izbira interpolacijskih vozlišč. Če ima tretji odvod f""(x) funkcije diskontinuiteto na nekaterih točkah segmenta [a, b], je treba za izboljšanje kakovosti aproksimacije te točke vključiti v število interpolacijskih vozlišč. Če je drugi odvod /"(x) diskontinuiran, potem je treba, da bi se izognili nihanju zlepka v bližini diskontinuitetnih točk, sprejeti posebne ukrepe. Običajno so interpolacijska vozlišča izbrana tako, da diskontinuitetne točke drugega odvoda padejo znotraj intervala \xif), tako da se vrednost a lahko izbere z numeričnim eksperimentom (pogosto je dovolj, da nastavite a = 0,01). (x) je diskontinuiran. Kot enega najpreprostejših lahko predlagamo naslednje: aproksimacijski segment razdelimo na intervale, kjer je odvod zvezen, in na vsakem od teh intervalov zgradimo zlepek. Izbira interpolacijske funkcije (prednosti in slabosti) 1. pristop. Lagrangeov interpolacijski polinom Za dano matriko TEORIJA SPLINE primeri rešitev (slika 3) je Lagrangeov interpolacijski polinom določen s formulo. slabosti. Glavne prednosti 1. pristopa: 1) graf Lagrangeovega interpolacijskega polinoma poteka skozi vsako točko niza, 2) zgrajena funkcija je enostavno opisana (število koeficientov Lagrangeovega interpolacijskega polinoma na mreži, ki jo je treba določiti, je enako m + 1), 3) konstruirana funkcija ima zvezne odvode poljubnega reda, 4) interpolacijski polinom je enolično določen z danim nizom. Glavne pomanjkljivosti 1. pristopa: 1) stopnja Lagrangeovega interpolacijskega polinoma je odvisna od števila vozlišč mreže in večje kot je to število, višja je stopnja interpolacijskega polinoma in zato je potrebnih več izračunov, 2) sprememba vsaj ene točke v nizu zahteva popoln preračun koeficientov Lagrangeovega interpolacijskega polinoma, 3) dodatek nova točka v matriko poveča stopnjo Lagrangeovega interpolacijskega polinoma za eno in vodi tudi do popolnega ponovnega izračuna njegovih koeficientov, 4) z neomejenim prefinjevanjem mreže stopnja Lagrangeovega interpolacijskega polinoma narašča za nedoločen čas. Obnašanje Lagrangeovega interpolacijskega polinoma z neomejeno tančitvijo mreže na splošno zahteva posebno pozornost. Komentarji A. O aproksimaciji neprekinjena funkcija polinom. Znano je (Weierstrass, 1885), da je vsako zvezno (še bolj pa gladko) funkcijo na intervalu mogoče aproksimirati tako dobro kot želeno na tem intervalu s polinomom. Opišimo to dejstvo v jeziku formul. Naj bo f(x) funkcija, zvezna na intervalu [a, 6]. Potem za vsak e > 0 obstaja polinom R„(x), tako da bo za vsak x iz intervala [a, 6] neenakost izpolnjena (slika 4). Upoštevajte, da polinomi enake stopnje, ki približujejo funkcijo f(x) z določeno natančnostjo jih je neskončno veliko. Na segmentu [a, 6] zgradimo mrežo w. Jasno je, da njegova vozlišča na splošno ne sovpadajo s presečiščema grafov polinoma Pn(x) in funkcije f(x) (slika 5). Zato za dano mrežo polinom Pn(x) ni interpolacija. Ko je zvezna funkcija aproksimirana z Jla-graczovim interpolacijskim polinomom, ni nujno, da je njen graf blizu grafa funkcije f(x) na vsaki točki odseka [a, b), ampak lahko odstopa od to funkcijo, kolikor želite. Navedimo dva primera. Primer 1 (Rung, 1901). Z neomejenim povečanjem števila vozlišč za funkcijo na intervalu [-1, 1] je mejna enakost izpolnjena (slika 6) Primer 2 (Beristein, 1912). Zaporedje Lagrangeovih interpolacijskih polinomov, zgrajenih na enotnih mrežah za zvezno funkcijo /(x) = |x| na segmentu z naraščajočim številom vozlišč m ne teži k funkciji /(x) (slika 7). Pristop 2. Kosno linearna interpolacija Če opustimo gladkost interpolirane funkcije, se lahko razmerje med številom prednosti in številom slabosti opazno spremeni v smeri prvega. Konstruirajmo delno linearno funkcijo tako, da zaporedoma povežemo točke (xit y) z ravnimi odseki (slika 8). Glavne prednosti 2. pristopa: 1) graf delno linearne funkcije poteka skozi vsako točko niza, 2) sestavljena funkcija je enostavno opisana (število ustreznih koeficientov je treba določiti linearne funkcije za mrežo (1) je enaka 2m), 3) glede na niz je konstruirana funkcija enolično definirana, 4) stopnja polinomov, uporabljenih za opis interpolacijske funkcije, ni odvisna od števila vozlišč mreže (enako 1), 5) sprememba ene točke v nizu zahteva izračun štirih števil (koeficientov dveh ravnih povezav, ki izhajata iz nove točke), 6) seštevanje dodatna točka v matriko zahteva izračun štirih koeficientov. Tudi delno linearna funkcija se precej dobro obnaša pri prečiščevanju mreže. Glavna pomanjkljivost 2. pristopa: aproksimirajoča delno linearna funkcija ni gladka: prvi odvodi imajo diskontinuiteto na vozliščih mreže (interpolacijska ušesa). Pristop 3. Spline interpolacija Predlagane pristope lahko kombiniramo tako, da ohranimo število naštetih prednosti obeh pristopov ob hkratnem zmanjšanju števila pomanjkljivosti. To je mogoče storiti s konstruiranjem gladke interpolacijske funkcije zlepka stopnje p. Glavne prednosti 3. pristopa: 1) graf konstruirane funkcije poteka skozi vsako točko niza, 2) konstruirano funkcijo je razmeroma enostavno opisati (število koeficientov ustreznih polinomov, ki jih je treba določiti za mrežo ( 1) je enak 3) konstruirana funkcija je enolično definirana z dano matriko, 4) stopenjski polinomi niso odvisni od števila vozlišč mreže in se zato ne spreminjajo z naraščanjem, 5) konstruirana funkcija ima zvezno odvodi do vključno reda p - 1, 6) ima konstruirana funkcija dobre aproksimacijske lastnosti. Kratka informacija. Predlagano ime - zlepek - ni naključno - gladke kosovno polinomske funkcije, ki smo jih uvedli, in risanje zlepkov so tesno povezani. Oglejmo si prožno idealno tanko ravnilo, ki poteka skozi referenčne točke niza, ki se nahajajo na ravnini (x, y). Po Bernoulli-Eulerjevem zakonu ima linearizirana enačba ukrivljenega ravnila obliko, kjer je S(x) upogib, M(x) upogibni moment, ki se linearno spreminja od nosilca do nosilca, E1 je togost ravnila . Funkcija S(x), ki opisuje premice formule, je polinom tretje stopnje med vsako in dvema sosednjima točkama niza (nosilci) in je dvakrat zvezno diferenciabilna na celotnem intervalu (a, 6). Komentar. 06 interpolacija zvezne funkcije Za razliko od Lagrangeovih interpolacijskih polinomov zaporedje interpolacijskih kubičnih zlepkov na enakomerni mreži vedno konvergira k interpolacijski zvezni funkciji in ko se diferencialne lastnosti te funkcije izboljšajo, se hitrost konvergence poveča. Primer. Za funkcijo daje kubični zlepek na mreži s številom vozlišč m = 6 aproksimacijsko napako istega reda kot interpolacijski polinom Ls(z), na mreži s številom vozlišč m = 21 pa je ta napaka tako majhen, da ga v merilu običajne knjižne risbe preprosto ni mogoče prikazati (slika 10) (interpolacijski polinom 1>2o(r) daje v tem primeru napako približno 10.000 J). Lastnosti interpolacijskega kubičnega zlepka A. Alproksimacijske lastnosti kubičnega zlepka. Aproksimacijske lastnosti interpolacijskega zlepka so odvisne od gladkosti funkcije f(x) - večja kot je gladkost interpolirane funkcije, višji je vrstni red aproksimacije in pri tanjšanju mreže večja je hitrost konvergence. Če je interpolirana funkcija f(x) zvezna na intervalu Če ima interpolirana funkcija f(x) zvezen prvi odvod na intervalu [a, 6], je interpolacijski zlepek, ki izpolnjujejo robne pogoje 1. ali 3. vrste, potem imamo za h O V tem primeru ne konvergira samo zlepek k interpolirani funkciji, ampak tudi odvod zlepka konvergira k odvodu te funkcije. Če zlepek S(x) aproksimira funkcijo f(x) na segmentu [a, b], njen prvi in ​​drugi odvod pa aproksimirata funkcijo B Ekstremna lastnost kubičnega zlepka. Interpolacijski kubični zlepek ima še enega uporabna lastnina. Razmislite o naslednjem primeru. primer. Konstruirajte funkcijo /(x), ki minimizira funkcional na razredu funkcij iz prostora C2, katerih grafi potekajo skozi točke niza med vsemi funkcijami, ki potekajo skozi referenčne točke (x;, /(x,. )) in pripada določenemu prostoru, je kubični zlepek 5( x), ki izpolnjuje robne pogoje, zagotavlja ekstrem (minimum) funkcionalu Opomba 1. Pogosto se ta ekstremna lastnost vzame kot definicija interpolacijskega kubika spline. Opomba 2. Zanimivo je omeniti, da ima interpolacijski kubični zlepek zgoraj opisano ekstremno lastnost na zelo širokem razredu funkcij, in sicer na razredu |o, 5]. 1.2. Glajenje kubičnih zlepkov O formulaciji problema glajenja Naj sta podana mreža in niz števil Komentar začetnih podatkov V praksi se moramo pogosto soočiti s primerom, ko so vrednosti y v matriki določene z nekaj napaka. Dejansko to pomeni, da je za vsakega določen interval in katero koli število iz tega intervala lahko vzamemo kot vrednost y, . Primerno je interpretirati vrednosti y, na primer, kot rezultate meritev neke funkcije y(x) pri dane vrednosti spremenljivke x, ki vsebujejo naključno napako. Pri reševanju problema obnavljanja funkcije iz takšnih "eksperimentalnih" vrednosti je komaj priporočljivo uporabiti interpolacijo, saj bo interpolacijska funkcija ubogljivo reproducirala bizarna nihanja, ki jih povzroča naključna komponenta v nizu (y,). Bolj naraven pristop temelji na postopku glajenja, ki je zasnovan tako, da nekako zmanjša element naključnosti v rezultatih meritev. Običajno je pri takih problemih treba najti funkcijo, katere vrednosti za x = x, * = 0, 1,.... m bi padle v ustrezne intervale in ki bi poleg tega imela dokaj dobre lastnosti. Imel bi na primer zvezni prvi in ​​drugi odvod ali pa njegov graf ne bi bil premočno ukrivljen, torej ne bi imel močnih nihanj. Težava te vrste se pojavi tudi, ko je treba glede na dano (natančno) matriko zgraditi funkcijo, ki ne prehaja skozi dane točke, ampak blizu njih in se poleg tega precej gladko spreminja. Z drugimi besedami, zdelo se je, da zahtevana funkcija gladi dano matriko, namesto da bi jo interpolirala. Naj sta podana mreža w in dva niza števil TEORIJA ZREPEV Primeri rešitve. Konstruirajte gladko funkcijo na segmentu [a, A], katere vrednosti na vozliščih mreže u se razlikujejo od števil y za podane vrednosti. Formuliran problem glajenja je obnova gladko funkcijo, navedeno v tabeli. Jasno je, da ima tak problem veliko različnih rešitev. Z uvedbo dodatnih pogojev za konstruirano funkcijo je mogoče doseči potrebno nedvoumnost. Definicija gladilnega kubičnega zlepka Gladilni kubični zlepek S(x) na mreži w je funkcija, ki je 1) na vsakem od segmentov polinom tretje stopnje, 2) je dvakrat zvezno diferenciabilna na segmentu [a, 6 ], torej spada v razred C2 [a , b], 3) zagotavlja minimum funkcionalnosti, kjer - podane številke, 4) izpolnjuje robne pogoje ene od treh spodaj navedenih vrst. Robni (robni) pogoji Robni pogoji so podani v obliki omejitev vrednosti zlepka in njegovih derivatov na mejnih vozliščih mreže w. A. Robni pogoji tipa 1. - na koncih intervala [a, b) so določene vrednosti prvega odvoda želene funkcije. Robni pogoji tipa 2. - drugi odvodi želene funkcije na koncih intervala (a, b] so enaki nič. B. Robni pogoji 3. vrste se imenujejo periodični. Izrek. Kubični zlepek S(x), minimizirajoči funkcional (4) in izpolnjuje robne pogoje enega od zgornjih treh tipov, je enolično definiran. Definicija Kubični zlepek, ki minimizira funkcionalni J(f) in izpolnjuje robne pogoje i-tipa, se imenuje gladilni zlepek i-tipa. Opomba: skupno število segmentov je m, da je treba najti 4m števil derivatov v vseh notranjih vozliščih mreže o ". Število takih vozlišč je m - 1. Tako za izračun koeficientov vseh polinomov dobimo 3(m - 1) pogojev (enačb). funkcijo iščemo v Tukaj so številke in rešitve sistema linearnih algebrskih enačb, katerih oblika je odvisna od vrste robnih pogojev. Najprej opišemo, kako najdemo vrednosti n*. Za robne pogoje tipa 1 in 2 sistem linearne enačbe za določitev vrednosti Hi je zapisan v naslednji obliki, kjer znane številke). Koeficienti so odvisni od izbire robnih pogojev. Robni pogoji 1. vrste: Robni pogoji 2. vrste: V primeru robnih pogojev 3. vrste je sistem za določanje števil zapisan takole: in vsi koeficienti se izračunajo po formulah (5) (vrednosti z indeksoma k in m + k veljajo za enake: Pomembno* opozorilo: matrike sistemov niso degenerirane in zato ima vsak od teh sistemov edinstveno rešitev formule, kjer je v primeru periodičnih robnih pogojev izbira utežnih koeficientov p, -, vključena v funkcionalno (4), omogoča nadzor lastnosti gladilnih zlepkov do določene mere skozi točko (x^, Vk), potem mora biti utežni faktor p\ enak nič. V praktičnih izračunih je najpomembnejša izbira vrednosti pi - Naj bo D napaka v merjenje vrednosti y. Potem je naravno zahtevati, da gladilni zlepek izpolnjuje pogoj ali, kar je enako, lahko utežne koeficiente pi podamo na primer v obliki - kjer je c neka dovolj majhna konstanta. Vendar pa ta izbira uteži p ne dovoljuje uporabe "koridorja" zaradi napak v vrednostih y, -. Bolj racionalen, a tudi bolj delovno intenziven algoritem za določanje vrednosti p je lahko videti tako. Če so vrednosti najdene pri fc-ti ponovitvi, se predpostavlja, da je e majhno število, ki je izbrano eksperimentalno ob upoštevanju bitne mreže računalnika, vrednosti D in natančnosti reševanje sistema linearnih algebrskih enačb. Če je pri fc-ti ponovitvi v točki i pogoj (6) kršen, bo zadnja formula zagotovila zmanjšanje ustreznega utežnega koeficienta p,. Če potem pri naslednji ponovitvi povečanje p povzroči več popolna uporaba »koridor« (6) in na koncu bolj gladko spreminjajoč se zlepek. Malo teorije A. Utemeljitev formul za izračun koeficientov interpolacijskega kubičnega zlepka. Uvedimo zapis, kjer so m trenutno neznane količine. Njihovo število je enako m + 1. Zlepek, zapisan v obliki kjer, izpolnjuje pogoje interpolacije in je zvezen na celotnem intervalu [a, b\: če ga vnesemo v formulo, dobimo poleg tega še a zvezni prvi odvod na intervalu [a, 6]: Z diferenciacijo relacije (7) in njeno postavitvijo dobimo ustrezno pravzaprav. Pokažimo, da lahko števila m izberemo tako, da ima funkcija zlepka (7) zvezen drugi odvod na intervalu [a, 6]. Izračunajmo drugi odvod zlepka na intervalu: V točki x, - 0 (pri t = 1) imamo Izračunajmo drugi odvod zlepka na intervalu V točki imamo Iz pogoja zveznosti zlepka. drugi odvod na notranjih vozliščih mreže a; dobimo m - 1 relacijo, kjer Če tem m - 1 enačbam dodamo še dve, ki izhajata iz robnih pogojev, dobimo sistem m + 1 linearnih algebrskih enačb z m + I neznano miy i = 0, 1. ... , m. Sistem enačb za izračun vrednosti rsh v primeru robnih pogojev 1. in 2. tipa ima obliko kjer je (robni pogoji 1. tipa), (robni pogoji 2. tipa). Za periodične robne pogoje (robni pogoji tipa 3) je mreža o; podaljšamo še za eno vozlišče in predpostavimo, da bo imel sistem za določanje vrednosti σ* kontinuiteto oblike na drugem in (th - !)-tem vozlišču mreže. Imamo Iz zadnjih dveh relacij dobimo manjkajoči dve enačbi, ki ustrezata robnim pogojem 4. vrste: Če iz enačb izločimo neznano goo in iz enačb neznano pc, dobimo sistem enačb. Upoštevajte, da je število neznank v tem sistemu th - I. 6. Utemeljitev formul za izračun učinkovitosti gladilnega podšahovskega zlepka. Vpeljimo zapis, kjer sta Zi in nj trenutno neznani količini. Njihovo število je 2m + 2. Funkcija zlepka, zapisana v obliki, je zvezna na celotnem intervalu 8), je imela zvezen prvi odvod na intervalu [a, 6]. Izračunajmo prvi odvod zlepka S(x) na intervalu: V točki x^ - 0 (pri t = 1) imamo Izračunajmo prvi odvod zlepka 5(x) na intervalu: V točki imamo Iz pogoja zveznosti prvega odvoda zlepka na notranjih vozliščih mreže in --> dobimo razmerje m - 1, ki je priročno zapisano v matrični obliki. Dodatno se uporabi zlepek na intervalu. ima zvezen drugi odvod: z diferenciranjem relacije (8) in njeno postavitvijo dobimo oz. matrično relacijo dobimo iz pogoja za minimum funkcionala (4). Zadnji dve matrični enačbi lahko obravnavamo kot linearni sistem 2m + 2 linearnih algebrskih enačb za 2m + 2 neznanki. Če zamenjamo stolpec r v prvi enačbi z njegovim izrazom, dobljenim iz relacije (9), pridemo do matrične enačbe TEORIJA SPLINE Primeri rešitev za določitev stolpca M. Ta enačba ima edinstveno rešitev zaradi dejstva, da je matrika A + 6HRH7 vedno nedegeneriran. Ko smo ga našli, lahko zlahka prepoznamo mesto Eamsshine. Elementi nitnih matrik A in H so določeni samo s parametri mreže in (s koraki hi) in niso odvisni od vrednosti y^. Linearni prostor funkcij kubičnih zlepkov Množica kubičnih zlepkov, zgrajenih na segmentu [a, 6) vzdolž mrežnega vozlišča wcra+l, je linearni prostor dimenzije m + 3: 1) vsota dveh kubičnih zlepkov, zgrajenih na mreži u>, in produkt kubičnih zlepkov, zgrajenih na mreži u>, z poljubno število bolj na skrivaj so to kubični zlepki, zgrajeni na tej mreži, 2) vsak kubični zlepek, zgrajen na mreži in iz vozlišča, je v celoti določen z vrednostjo m + 1 vrednosti y" na teh vozliščih in dveh robni pogoji- samo + 3 parametri. Če v tem prostoru izberemo osnovo, sestavljeno iz m + 3 linearno neodvisnih zlepkov, lahko poljubni kubični zlepek a(x) zapišemo kot njihovo linearno kombinacijo na edinstven način. Komentiraj. Ta vrsta dodelitve zlepka je zelo razširjena v računalniški praksi. Posebej priročna je zbirka podatkov, sestavljena iz tako imenovanih kubičnih B-zlepkov (osnovnih ali temeljnih zlepkov). Uporaba D-zlepkov lahko bistveno zmanjša zahteve po računalniškem pomnilniku. L-zlepki. B-zlepek ničelne stopnje, zgrajen na številski premici vzdolž mreže w, se imenuje B-zlepek stopnje k ^ I, zgrajen na številski premici vzdolž mreže u, določen s pomočjo rekurentne funkcije. formula Grafa B-zlepkov prve B, -1 "(g) in druge in\7\x) stopnje sta predstavljena na sliki 11 oziroma 12. B-zlepek poljubne stopnje k je lahko različen od nič samo na določenem segmentu (definirano s k + 2 vozliščema). primeru enotne mreže (s korakom A) V drugih primerih imamo tipičen graf. kubični B-zlepek prikazano na sl. 13. Posojila*. funkcija a) je dvakrat zvezno diferenciabilna na intervalu, to pomeni, da spada v razred C2[a, "), k b) je različna od nič le na štirih zaporednih intervalih (Dopolnimo mrežo w s pomožnimi vozlišči, vzetimi povsem poljubno Z uporabo razširjene mreže w* lahko konstruiramo družino m + 3 kubičnih B-zlepkov: Ta družina tvori osnovo v prostoru kubičnih zlepkov na segmentu (a, b). Tako je poljuben kubični zlepek S(z). ), zgrajeno na mreži |b, 6], lahko na tem segmentu predstavimo v obliki linearne kombinacije primer, ko so podane vrednosti y* funkcije na vozliščih mreže ter vrednosti y o in Vm prvega odvoda funkcije na koncih mreže" (problem). interpolacije z robnimi pogoji prve vrste), so ti koeficienti izračunani iz sistema naslednje oblike Po izključitvi količine b-i in &m+i, dobimo linearni sistem z neznankami 5q, ..., bm in tridimenzionalno matriko. Pogoj zagotavlja diagonalno prevlado in s tem možnost uporabe metode pometanja za njegovo razrešitev. 3MMCHMY 1. Linearni sistemi Podobne vrste se pojavijo pri obravnavi drugih problemov interpolacije. Zmmchnm* 2. V primerjavi z algoritmi, opisanimi v razdelku 1.1, nam uporaba R-zlepka pri * problemih interpolacije omogoča zmanjšanje* količine shranjenih informacij, to je znatno zmanjšanje zahtev po računalniškem pomnilniku, čeprav vodi do povečanja števila operacij. Konstrukcija krivulj zlepka z uporabo funkcij zlepka Zgoraj smo obravnavali nize, katerih točke so bile oštevilčene tako, da so njihove abscise tvorile strogo naraščajoče zaporedje. Na primer, primer, prikazan na sl. 14 kdaj različne točke niz enakih abscis ni bil dovoljen. Ta okoliščina je določila tako izbiro razreda aproksimacijskih krivulj (prometnih funkcij) kot metodo njihove konstrukcije. Vendar zgoraj predlagana metoda omogoča precej uspešno konstruiranje interpolacijske krivulje v bolj splošnem primeru, ko oštevilčenje točk niza in njihova lokacija na ravnini praviloma nista povezana (slika 15). Poleg tega lahko pri postavljanju naloge konstruiranja interpolacijske krivulje menimo, da je dani niz neplanaren, kar pomeni, da je jasno, da je za rešitev tega skupno opravilo potrebno je bistveno razširiti razred dopustnih krivulj, vključno z zaprtimi krivuljami, krivuljami s samopresečišči in prostorskimi krivuljami. Takšne krivulje je priročno opisati z uporabo parametrične enačbe Zahtevali ga bomo. poleg tega morajo imeti funkcije zadostno gladkost, na primer pripadajo razredu C1 [a, /0] ali razredu. Če želite najti parametrične enačbe krivulje, ki zaporedno poteka skozi vse točke niza, nadaljujte kot sledi. 1. korak. Na poljubno vzetem segmentu, na katerem je potrebno zamenjati funkcijo f(x) velik, je mogoče uporabiti interpolacijo zlepka.

1.1. Kubični zlepki.

Interpolacijski zlepki 3 red - to so funkcije, sestavljene iz kosov polinomov 3 th naročilo. Na vmesniških vozliščih je zagotovljena kontinuiteta funkcije ter njenega prvega in drugega odvoda. Aproksimirajoča funkcija je sestavljena iz posameznih polinomov, običajno enako majhnih stopenj, ki so definirani vsak na svojem delu segmenta.

Naj na segmentu [ a, b] realna os x podana je mreža, v vozliščih katere so določene vrednosti
funkcije f(x). Potrebno je zgraditi na segmentu [ a, b] zvezna funkcija zlepka S(x), ki izpolnjuje naslednje pogoje:

Če želite zgraditi želeni zlepek, morate najti koeficiente
polinomi
,jaz=1,… n, tj. 4 n neznani koeficienti, ki izpolnjujejo 4 n-2 enačbe (1), (2), (3). Da ima sistem enačb rešitev, dodamo še dva dodatna (robna) pogoja. Uporabljajo se tri vrste robnih pogojev:

Pogoji (1), (2), (3) in eden od pogojev (4), (5), (6) tvorijo SLAE naročila 4 n. Sistem lahko rešimo z Gaussovo metodo. Vendar pa lahko z izbiro posebne oblike zapisa kubičnega polinoma bistveno zmanjšate vrstni red sistema enačb, ki ga rešujete.

1.2. Posebna oblika zapisovanja zlepka.

Razmislite o segmentu
. Uvedimo naslednje oznake spremenljivk:

Tukaj
- dolžina segmenta
,

,
- pomožne spremenljivke,

x– vmesna točka na segmentu
.

Kdaj x teče skozi vse vrednosti v intervalu
, spremenljivka spreminja od 0 do 1 in
variira od 1 do 0.

Naj bo kubični polinom
na segmentu
ima obliko:

Spremenljivke in
se določijo glede na določen segment interpolacije.

Poiščimo vrednost zlepka
na koncih segmenta
. Pika
je izhodišče segmenta
, Zato =0,
=1 in v skladu z (3.8):
.

Na koncu segmenta
=1,
=0 in
.

Za interval
pika
je končna, torej =1,
=0 in iz formule (9) dobimo:
. Tako je pogoj kontinuitete funkcije izpolnjen S(x) na stičiščih kubičnih polinomov, ne glede na izbiro števil  i.

Za določitev koeficientov  i, jaz=0,… n Dvakrat diferencirajmo (8) kot kompleksno funkcijo od x. Potem

Definirajmo druge odvode zlepka
in
:

Za polinom
pika je začetek interpolacijskega segmenta in =0,
=1 torej

Iz (15) in (16) sledi, da je na intervalu [ a,b]spline funkcija, »zlepljena skupaj« iz kosov polinomov 3. reda, ima zvezen odvod 2. reda.

Za pridobitev kontinuitete prvega odvoda funkcije S(x), Zahtevajmo, da so v notranjih interpolacijskih vozliščih izpolnjeni naslednji pogoji:

Za naravni kubični zlepek
, zato bo sistem enačb videti takole:

in sistem enačb (17) bo videti takole:

Primer.

Začetni podatki:

Zamenjaj funkcijo
interpolacijski kubični zlepek, katerega vrednosti na danih vozliščih (glej tabelo) sovpadajo z vrednostmi funkcije na istih točkah. Upoštevajte različne robne pogoje.

Izračunajmo vrednost funkcije v vozliščih. Če želite to narediti, nadomestite vrednosti iz tabele v dano funkcijo.

Za različne robne pogoje (4), (5), (6) poiščemo koeficiente kubičnih zlepkov.

1. Oglejmo si prve robne pogoje.

V našem primeru n=3,
,
,
. Najti
uporabimo sistem enačb (3.18):

Izračunajmo in , z uporabo enačb (7) in (11):

Zamenjajmo dobljene vrednosti v sistem enačb:

.

Sistemska rešitev:

Ob upoštevanju prvih robnih pogojev so koeficienti zlepka:

Razmislimo o definiciji koeficientov zlepka ob upoštevanju robnih pogojev (3.5):

Poiščimo odvod funkcije
:

Izračunajmo
in
:

V sistem enačb (21) nadomestimo vrednosti in :

S formulo (20) določimo  0 in  3:

Ob upoštevanju posebnih vrednosti:

in vektor koeficientov:

Izračunajmo vrednosti kubičnega zlepka S(x) na srednjih točkah interpolacijskih segmentov.

Vmesne točke segmentov:

Za izračun vrednosti kubičnega zlepka na sredini interpolacijskih segmentov uporabimo formuli (7) in (9).

3.1.

Bomo našli in
:

V formuli (3.9) nadomestimo koeficiente

3.2.

Bomo našli in
:

, za robne pogoje (4), (5), (6):

3.3.

Bomo našli in
:

V formuli (9) nadomestimo koeficiente
, za robne pogoje (4), (5), (6):

Naredimo tabelo:

Pomanjkljivosti kosovno linearne in polinomske interpolacije so pripeljale do razvoja teorije zlepkaste funkcije (iz angleške besede spline - ravnilo, stojalo). To je posledica dejstva, da je v inženirski praksi pogosto potrebno risati gladke krivulje z uporabo elastičnega kovinskega ravnila, pritrjenega na vozliščih.

Razmislimo o najpogostejši različici interpolacije zlepka - kubične interpolacije zlepka.

Ugotovljeno je bilo, da elastično nedeformabilno ravnilo poteka med sosednjima vozliščema vzdolž črte, ki ustreza enačbi

Očitno je, da če izberete polinom kot funkcijo, potem njegova stopnja ne sme biti višja od tretje, saj je za polinom tretje stopnje četrti derivat identično enak nič. Ta polinom se imenuje kubični zlepek, ki je na intervalu zapisan v obliki

Kje a i ,b i ,c i ,d i- koeficienti zlepka, določeni iz dodatnih pogojev; i = 1,2,3,....n- številka zlepka.

Zlepkov je en manj kot interpolacijskih točk. Interpolacijo zlepka lahko imenujemo delno polinomska.

Koeficienti zlepkov so določeni iz naslednjih pogojev za spajanje sosednjih zlepkov v vozliščih.

1. Enakost vrednosti in funkcij zlepka f(x) na vozliščih - Lagrangeovi pogoji:

, . (6.10)

2. Kontinuiteta prvega in drugega odvoda zlepkov v vozliščih:

Poleg naštetih pogojev dodajte pogoje na koncih, torej na točkah x 0 in x n. Na splošno so ti pogoji odvisni od specifične naloge. Uporabili bomo pogoje prostih koncev zlepkov, tj. izven intervala funkcija je opisana s polinomom prve stopnje - premico:

, . (6.12)

Pogoji (6.10)-(6.12) nam omogočajo, da poiščemo koeficiente a i ,b i ,c i ,d i vsi n zlepki. Njihove vrednosti so izražene z naslednjimi formulami:

, (6.13)

kjer je v prvih treh enačbah i = 1,2,...n, v tretje pa i = 2,3,..n;

h i =x i -x i -1 - i-th korak argumenta.

Glede na indeksiranje za z i, dodajte vrednosti tega koeficienta na koncih zlepka

Najprej je sistem rešen iz n - 1 linearne enačbe za z i. Potem odločen b i in d i z znanimi koeficienti z i, in jaz znani - to so vrednosti funkcij f(x) na vozliščih. V vsaki enačbi določiti z i vključuje le tri neznanke z zaporednimi vrednostmi indeksa c i - 1 ,c i ,c i +1. Takšna matrika, ki ima samo neničelne elemente glavne in dveh sosednjih diagonal, se imenuje tridiagonalna.

Programska izvedba obravnavanega algoritma je podana spodaj (PROGRAM 6.2). Podan je fragment, v katerem so koeficienti zlepka izračunani iz nodalnih vrednosti interpolirane funkcije.

Za oblikovanje tridiagonalne matrike Kc se uporabi niz korakov argumentov h i. V postopku Gauss izračuna se pomožni niz cv, ki ima 2 elementa manj kot niz c., saj sta c 0 in c n +1 znana in enaka nič. Za veliko število enačb se za reševanje sistemov s tridiagonalno matriko uporablja metoda pometanja, ki je različica metode sekvenčne eliminacije. Rezultati izračunov z interpolacijo zlepkov so prikazani na sliki 6.4. Tok tuljave elektromagneta je bil vzet kot interpolirana funkcija.

Kot je razvidno iz slike 6.4, daje interpolacija s kubičnimi zlepki zelo dober približek, če je funkcija gladka. Krog na sliki označuje območje, kjer je napaka zlepka velika. To je posledica dejstva, da v tem delu pride do preloma tokovne krivulje, povezane s spremembo upora diode R D iz neposrednega R pr vzvratno R arr.. V tem primeru prvi odvod toka naredi skok, zlepki pa imajo po definiciji enake prve odvode desno in levo od vozlišča.

Kot smo že omenili, je interpolacija poseben primer aproksimacije, katere kriterij so Lagrangeovi pogoji. Razmislimo o drugem aproksimacijskem kriteriju - minimiziranju srednjega kvadratnega odklona aproksimacijske funkcije od aproksimirane f(x).