Spletna stran " strokovni mentor v matematiki« nadaljuje cikel metodološki članki o poučevanju. Objavljam opise metod svojega dela z najbolj zapletenimi in problematičnimi temami šolskega kurikuluma. To gradivo bo koristno učiteljem in mentorjem matematike, ki delajo z učenci od 8. do 11. razreda tako v rednem programu kot v programu pouka matematike.
Učitelj matematike ne more vedno razložiti snovi, ki je v učbeniku slabo predstavljena. Žal je takšnih tem vse več in množično se pojavljajo predstavitvene napake, ki sledijo avtorjem priročnikov. To ne velja le za inštruktorje začetnike in honorarne tutorje (tutorji so študenti in visokošolski tutorji), ampak tudi za izkušene učitelje, strokovne tutorje, tutorje z izkušnjami in kvalifikacijami. Nimajo vsi učitelji matematike talenta, da bi kompetentno popravljali robove v šolskih učbenikih. Vsi tudi ne razumejo, da so ti popravki (ali dodatki) potrebni. Malo otrok je vključenih v prilagajanje gradiva za njegovo kakovostno zaznavanje otrok. Žal je minil čas, ko so učitelji matematike skupaj z metodologi in avtorji publikacij množično razpravljali o vsaki črki učbenika. Prej, preden so učbenike izdali v šole, so bile izvedene resne analize in študije učnih rezultatov. Prišel je čas za amaterje, ki si prizadevajo, da bi učbenike naredili univerzalne in jih prilagodili standardom močnega pouka matematike.
Dirka za povečanje količine informacij vodi le do zmanjšanja kakovosti njihove asimilacije in posledično do znižanja ravni resničnega znanja matematike. A temu nihče ne posveča pozornosti. In naši otroci so že v 8. razredu prisiljeni študirati tisto, kar smo mi študirali na inštitutu: teorijo verjetnosti, reševanje enačb. visoke stopnje pa še nekaj. Prilagajanje gradiva v knjigah za otrokovo popolno dojemanje pušča veliko želenega in učitelj matematike se je s tem prisiljen nekako spopasti.
Pogovorimo se o metodologiji za poučevanje tako specifične teme, kot je "deljenje polinoma s polinomom z vogalom", ki je v matematiki za odrasle bolj znana kot "Bezoutov izrek in Hornerjeva shema." Še pred nekaj leti vprašanje ni bilo tako pereče za učitelja matematike, ker ni bilo del glavnega šolski kurikulum. Zdaj so spoštovani avtorji učbenika, ki ga je uredil Telyakovsky, spremenili najnovejšo izdajo po mojem mnenju najboljšega učbenika in, ko so ga popolnoma pokvarili, učitelju le dodali nepotrebne skrbi. Učitelji šol in razredov, ki nimajo statusa matematike, so se osredotočili na inovacije avtorjev, začeli pogosteje vključevati dodatne odstavke v svoje lekcije, radovedni otroci, ki gledajo na čudovite strani svojega učbenika za matematiko, vse pogosteje sprašujejo, učitelj: »Kakšna je ta delitev z vogalom? Bomo šli skozi to? Kako deliti kotiček? Pred tako neposrednimi vprašanji se ne da več skriti. Učitelj bo otroku moral nekaj povedati.
Ampak kot? Verjetno ne bi opisal metode dela s temo, če bi bila kompetentno predstavljena v učbenikih. Kako je vse pri nas? Učbenike je treba natisniti in prodati. In za to jih je treba redno posodabljati. Univerzitetni učitelji se pritožujejo, da otroci prihajajo k njim s prazne glave, brez znanja in veščin? Zahteve za matematično znanje raste? Super! Odstranimo nekaj vaj in namesto njih vstavimo teme, ki se preučujejo v drugih programih. Zakaj je naš učbenik slabši? Vključili bomo nekaj dodatnih poglavij. Šolarji ne poznajo pravila delitve z vogalom? To je osnovna matematika. Ta odstavek bi moral biti neobvezen z naslovom "za tiste, ki želijo vedeti več." So mentorji proti? Zakaj nas sploh zanimajo mentorji? Proti tudi metodiki in učitelji? Ne bomo komplicirali gradiva in razmislili o njegovem najpreprostejšem delu.
In tukaj se začne. Preprostost teme in kakovost njene asimilacije sta predvsem v razumevanju njene logike in ne v izvajanju določenega niza operacij, ki med seboj niso jasno povezane, v skladu z navodili avtorjev učbenikov. . V nasprotnem primeru bo študentu v glavi megla. Če avtorji ciljajo na relativno močne študente (vendar študirajo v rednem programu), potem teme ne bi smeli predstaviti v ukazni obliki. Kaj vidimo v učbeniku? Otroci, razdeliti se moramo po tem pravilu. Dobi polinom pod kotom. Tako bo prvotni polinom faktoriziran. Vendar pa ni jasno, zakaj so členi pod vogalom izbrani natanko tako, zakaj jih je treba pomnožiti s polinomom nad vogalom in nato odšteti od trenutnega ostanka. In kar je najpomembneje, ni jasno, zakaj je treba izbrane monome na koncu dodati in zakaj bodo dobljeni oklepaji razširitev prvotnega polinoma. Vsak kompetenten matematik bo razlago v učbeniku postavil s krepkim vprašajem.
Mentorje in učitelje matematike seznanjam s svojo rešitvijo problema, s katero je učencu praktično vse, kar je navedeno v učbeniku, očitno. Pravzaprav bomo dokazali Bezoutov izrek: če je število a koren polinoma, potem lahko ta polinom razložimo na faktorje, od katerih je eden x-a, drugega pa dobimo iz prvotnega na enega od treh načinov: z izolacijo linearnega faktorja s transformacijami, z deljenjem z vogalom ali s Hornerjevo shemo. S to formulacijo bo mentorju matematike lažje delati.
Kaj je metodologija poučevanja? Prvič, to je jasen vrstni red v zaporedju razlag in primerov, na podlagi katerih se izvajajo matematični zaključki. Ta naslov ni izjema. Zelo pomembno je, da učitelj matematike otroku predstavi Bezoutov izrek pred delitvijo z vogalom. Zelo pomembno je! Najboljši način za dosego razumevanja je, da konkreten primer. Vzemimo nek polinom z izbranim korenom in pokažimo tehniko njegovega faktoriziranja na faktorje z metodo, ki jo poznajo šolarji že od 7. razreda. transformacije identitete. Z ustreznimi spremnimi razlagami, poudarki in nasveti mentorja matematike je povsem mogoče posredovati snov brez splošnih matematičnih izračunov, poljubnih koeficientov in stopenj.
Pomemben nasvet za učitelja matematike- sledite navodilom od začetka do konca in ne spreminjajte tega zaporedja.
Torej, recimo, da imamo polinom. Če namesto njegovega X nadomestimo številko 1, bo vrednost polinoma enaka nič. Zato je x=1 njegov koren. Poskusimo ga razstaviti na dva člena, tako da je eden od njiju produkt linearnega izraza in nekega monoma, drugi pa ima stopnjo ena manj kot . Se pravi, predstavimo ga v obliki
Izberemo monom za rdeče polje tako, da pomnožen z vodilnim členom popolnoma sovpada z vodilnim členom prvotnega polinoma. Če učenec ni najšibkejši, bo povsem sposoben inštruktorju matematike povedati zahtevani izraz: . Učitelja je treba takoj pozvati, naj ga vstavi v rdeče polje in pokaže, kaj se bo zgodilo, ko se odprejo. Ta navidezni začasni polinom je najbolje podpisati pod puščicami (pod majhno fotografijo) in ga poudariti z neko barvo, na primer modro. To vam bo pomagalo izbrati izraz za rdeče polje, imenovano preostanek izbora. Mentorjem svetujem, naj tukaj poudarijo, da je ta ostanek mogoče najti z odštevanjem. Z izvedbo te operacije dobimo:
Inštruktor matematike naj študenta opozori na dejstvo, da z zamenjavo ena v to enakost zagotovimo, da na njeni levi strani dobimo nič (ker je 1 koren prvotnega polinoma), na desni strani pa očitno bo tudi izničil prvi izraz. To pomeni, da lahko brez preverjanja rečemo, da je ena koren »zelenega ostanka«.
Obravnavajmo ga na enak način, kot smo storili s prvotnim polinomom, in iz njega ločimo isto linearni množitelj. Mentor matematike nariše dva okvirja pred dijakom in jih prosi, naj izpolnijo od leve proti desni.
Študent izbere za mentorja monom za rdeče polje tako, da pomnožen z vodilnim členom linearnega izraza dobi vodilni člen raztezajočega se polinoma. Vstavimo ga v okvir, takoj odpremo nosilec in modro označimo izraz, ki ga je treba odšteti od zložljivega. Z izvedbo te operacije dobimo
In končno naredite isto z zadnjim ostankom
končno ga bomo dobili
Zdaj pa vzemimo izraz iz oklepaja in videli bomo razgradnjo prvotnega polinoma na faktorje, od katerih je eden "x minus izbrani koren."
Da učenec ne bi mislil, da je bil zadnji »zeleni ostanek« pomotoma razložen na zahtevane faktorje, naj mentor matematike opozori na pomembna lastnina vseh zelenih ostankov - vsak od njih ima koren 1. Ker se stopnje teh ostankov zmanjšujejo, potem ne glede na stopnjo začetnega polinoma, ki nam je dana, bomo prej ali slej dobili linearni "zeleni ostanek" s korenom 1 in zato bo nujno razložil v produkt neko število in izraz.
Po tem pripravljalna dela Inštruktorju matematike ne bo težko razložiti študentu, kaj se zgodi pri deljenju z vogalom. To je isti postopek, le v krajši in bolj strnjeni obliki, brez enačaja in brez prepisovanja istih poudarjenih izrazov. Polinom, iz katerega je izluščen linearni faktor, je zapisan levo od kota, izbrani rdeči monomi so zbrani pod kotom (zdaj postane jasno, zakaj bi se morali sešteti), da dobimo »modre polinome«, »rdeče ” enice je treba pomnožiti z x-1 in nato odšteti od trenutno izbranega. Kako se to naredi, ko navadna delitevštevilke v stolpcu (tukaj je analogija s tem, kar smo preučevali prej). Nastali "zeleni ostanki" so predmet nove izolacije in selekcije "rdečih monomov". In tako naprej, dokler ne dosežete ničelne "zelene bilance". Najpomembneje je, da učenec razume nadaljnja usoda zapisana polinoma nad in pod kotom. Očitno gre za oklepaje, katerih produkt je enak prvotnemu polinomu.
Naslednja stopnja dela mentorja matematike je formulacija Bezoutovega izreka. Pravzaprav postane njegova formulacija s tem mentorjevim pristopom očitna: če je število a koren polinoma, potem ga je mogoče faktorizirati, od katerih je eden , drugi pa je pridobljen iz prvotnega na enega od treh načinov :
- neposredna dekompozicija (analogno metodi združevanja)
- deljenje z vogalom (v stolpcu)
- prek Hornerjevega vezja
Povedati je treba, da vsi inštruktorji matematike študentom ne pokažejo Hornerjevega diagrama in ne vsi učitelji šole(na srečo mentorjev samih) gredo tako globoko v temo med lekcijami. Vendar pa za študenta razred matematike Ne vidim razloga, da bi se ustavili pri dolgi delitvi. Poleg tega je najbolj priročno in hitro Tehnika dekompozicije temelji prav na Hornerjevi shemi. Da bi otroku pojasnili, od kod prihaja, je dovolj, da na primeru deljenja z vogalom izsledimo pojav višjih koeficientov v zelenih ostankih. Postane jasno, da se vodilni koeficient začetnega polinoma prenaša v koeficient prvega "rdečega monoma" in naprej iz drugega koeficienta trenutnega zgornjega polinoma odšteti rezultat množenja trenutnega koeficienta "rdečega monoma" z . Zato je možno dodati rezultat množenja z . Potem ko študentovo pozornost usmeri na posebnosti dejanj s koeficienti, lahko učitelj matematike pokaže, kako se ta dejanja običajno izvajajo, ne da bi zabeležil same spremenljivke. Če želite to narediti, je priročno vnesti koren in koeficiente prvotnega polinoma po prednostnem vrstnem redu v naslednjo tabelo:
Če v polinomu manjka katera koli stopnja, se njen ničelni koeficient vsili v tabelo. Koeficienti "rdečih polinomov" so izmenično zapisani v spodnji vrstici v skladu s pravilom "kavelj": 
Koren pomnožimo z zadnjim rdečim koeficientom, dodamo naslednjemu koeficientu v zgornji vrstici in rezultat zapišemo v spodnjo vrstico. V zadnjem stolpcu bomo zagotovo dobili najvišji koeficient zadnjega "zelenega ostanka", to je nič. Po končanem postopku se številke stisnjen med ujemajočim se korenom in ničelnim ostankom se izkažejo za koeficiente drugega (nelinearnega) faktorja.
Ker koren a daje ničlo na koncu spodnje vrstice, lahko Hornerjevo shemo uporabimo za preverjanje števil za naslov korena polinoma. Če poseben izrek o izbiri racionalnega korena. Vse kandidate za ta naziv, pridobljene z njegovo pomočjo, preprosto vstavimo z leve v Hornerjev diagram. Takoj, ko dobimo ničlo, bo testirano število koren, hkrati pa bomo na njegovi premici dobili koeficiente faktorizacije prvotnega polinoma. Zelo udobno.
Na koncu želim opozoriti, da mora imeti mentor matematike za natančno uvedbo Hornerjeve sheme, pa tudi za praktično utrjevanje teme, na voljo zadostna količina ure. Mentor, ki dela z režimom "enkrat na teden", se ne bi smel ukvarjati z delitvijo kotov. Na Enotnem državnem izpitu iz matematike in na Državni akademiji za matematiko v matematiki je malo verjetno, da boste v prvem delu kdaj naleteli na enačbo tretje stopnje, ki jo je mogoče rešiti na tak način. Če mentor pripravlja otroka na izpit iz matematike na Moskovski državni univerzi, postane preučevanje teme obvezno. Univerzitetni učitelji, za razliko od sestavljavcev Enotnega državnega izpita, zelo radi preizkusijo globino znanja kandidata.
Kolpakov Aleksander Nikolajevič, učitelj matematike Moskva, Strogino
itd. je splošno izobraževalne narave in ima velik pomen preučiti CELOTNI predmet višja matematika. Danes bomo ponovili “šolske” enačbe, a ne samo “šolske” – ampak tiste, ki jih najdemo povsod v razne naloge vyshmat. Kot običajno bo zgodba podana na aplikativni način, t.j. Ne bom se osredotočal na definicije in klasifikacije, ampak bom natančno delil z vami Osebna izkušnja rešitve. Podatki so namenjeni predvsem začetnikom, a tudi bolj napredni bralci bodo našli marsikaj zase. zanimivi trenutki. In seveda bo nov material, ki presega Srednja šola.
Torej enačba…. Mnogi se te besede spomnijo z grozo. Kaj so vredne "sofisticirane" enačbe s koreninami ... ... pozabite nanje! Ker takrat boste srečali najbolj neškodljive "predstavnike" te vrste. Ali dolgočasno trigonometrične enačbe z več desetimi metodami rešitve. Po pravici povedano, sama jih nisem ravno marala ... Ne bom paničen! – potem vas večinoma čakajo “regratovi” z očitno rešitvijo v 1-2 korakih. Čeprav se "repinca" zagotovo drži, morate biti tu objektivni.
Nenavadno je, da je v višji matematiki veliko pogosteje obravnavati zelo primitivne enačbe, kot je linearni enačbe
Kaj pomeni rešiti to enačbo? To pomeni najti TAKŠNO vrednost "x" (koren), ki jo spremeni v pravo enakost. Vrzimo "trojko" v desno s spremembo predznaka:
in ponastavite "dva" na desna stran (ali, ista stvar - pomnožite obe strani s)
:
Da preverimo, zamenjajmo osvojeni pokal v izvirna enačba :
Dobimo pravilno enakost, kar pomeni, da je najdena vrednost res koren podana enačba. Ali, kot tudi pravijo, izpolnjuje to enačbo.
Upoštevajte, da je koren lahko zapisan tudi v obliki decimalno:
In poskusite se ne držati tega slabega sloga! Razlog sem ponovil več kot enkrat, zlasti na prvi lekciji na višja algebra.
Mimogrede, enačbo je mogoče rešiti tudi "v arabščini":
In kar je najbolj zanimivo - ta vnos popolnoma legalno! Če pa niste učitelj, potem je bolje, da tega ne počnete, ker je izvirnost tukaj kaznovana =)
In zdaj malo o
metoda grafične rešitve
Enačba ima obliko in njen koren je "X" koordinata stičišča graf linearne funkcije z urnikom linearna funkcija (x os):
Zdi se, da je primer tako elementaren, da tukaj ni več kaj analizirati, vendar je mogoče iz njega "iztisniti" še eno nepričakovano nianso: predstavimo isto enačbo v obliki in zgradimo grafe funkcij: 
pri čemer, prosim, ne zamenjujte obeh pojmov: enačba je enačba in funkcijo– to je funkcija! Funkcije samo pomoč poišči korenine enačbe. Od katerih sta lahko dva, trije, štirje ali celo neskončno veliko. Najbližji primer v tem smislu je znani kvadratna enačba, algoritem rešitve za katerega je prejel ločen odstavek »vroče« šolske formule. In to ni naključje! Če znaš rešiti kvadratno enačbo in veš Pitagorov izrek, potem bi lahko rekli "pol višje matematike je že v žepu" =) Seveda pretirano, a ne tako daleč od resnice!
Zato ne bodimo leni in rešimo kakšno kvadratno enačbo z uporabo standardni algoritem:
, kar pomeni, da ima enačba dve različni veljaven koren: 
Preprosto je preveriti, ali obe najdeni vrednosti dejansko izpolnjujeta to enačbo: 
Kaj storiti, če ste nenadoma pozabili algoritem rešitve in pri roki ni sredstev/pomoči? Ta situacija se lahko pojavi na primer med testom ali izpitom. Uporabljamo grafično metodo! In obstajata dva načina: lahko graditi točko za točko parabola 
, s čimer ugotovimo, kje seka os (če se sploh križa). Vendar je bolje narediti nekaj bolj zvitega: zamislite si enačbo v obliki, narišite grafe več enostavne funkcije- In "X" koordinate njihova presečišča so jasno vidna! 
Če se izkaže, da se premica dotika parabole, ima enačba dva ujemajoča se (več) korena. Če se izkaže, da premica ne seka parabole, potem pravih korenin ni.
Če želite to narediti, morate seveda znati graditi grafi elementarnih funkcij, po drugi strani pa te veščine zmore tudi šolar.
In spet - enačba je enačba in funkcije so funkcije, ki samo pomagalo reši enačbo!
In tukaj, mimogrede, bi bilo primerno zapomniti še eno stvar: če vse koeficiente enačbe pomnožimo z neničelnim številom, se njeni koreni ne bodo spremenili.
Torej, na primer, enačba 
ima iste korenine. Kot preprost "dokaz" bom konstanto vzel iz oklepaja: 
in ga neboleče odstranim (oba dela bom delil z "minus dva"):
AMPAK!Če upoštevamo funkcijo 
, potem se tukaj ne morete znebiti stalnice! Iz oklepaja je dovoljeno vzeti le množitelj: 
.
Mnogi podcenjujejo metodo grafične rešitve, saj jo imajo za nekaj »nedostojnega«, nekateri pa na to možnost celo popolnoma pozabijo. In to je v osnovi napačno, saj risanje grafov včasih samo reši situacijo!
Še en primer: recimo, da se ne spomnite korenin najpreprostejše trigonometrične enačbe: . Splošna formula je v šolski učbeniki, v vseh referenčnih knjigah o elementarna matematika, vendar vam niso na voljo. Vendar pa je reševanje enačbe kritično (ali »dve«). Obstaja izhod! – zgraditi grafe funkcij: 
nato pa mirno zapišemo koordinate "X" njihovih presečišč: 
Korenov je neskončno veliko in njihov zgoščen zapis je sprejet v algebri:
, Kje ( – množica celih števil)
.
In, ne da bi "odšli", nekaj besed o grafični metodi za reševanje neenačb z eno spremenljivko. Princip je isti. Tako je na primer rešitev neenakosti poljuben "x", ker Sinusoida leži skoraj v celoti pod ravno črto. Rešitev neenakosti je množica intervalov, v katerih deli sinusoide ležijo strogo nad ravno črto (x-os):
ali na kratko:
Toda tukaj je veliko rešitev za neenakost: prazno, saj nobena točka sinusoide ne leži nad premico.
Ali česa ne razumeš? Nujno preučite lekcije o kompleti in funkcijski grafi!
Ogrejmo se:
1. vaja
Grafično rešite naslednje trigonometrične enačbe:
Odgovori na koncu lekcije
Kot lahko vidite, za študij natančne vede Ni vam treba nabijati formul in referenčnih knjig! Poleg tega je to v osnovi napačen pristop.
Kot sem vas že prepričal na samem začetku lekcije, je treba kompleksne trigonometrične enačbe v standardnem tečaju višje matematike reševati zelo redko. Vsa kompleksnost se praviloma konča z enačbami, kot je , katerih rešitev sta dve skupini korenov, ki izhajata iz najpreprostejših enačb in 
. Za reševanje slednjega se ne obremenjujte preveč – poglejte v knjigo ali jo poiščite na internetu =)
Metoda grafičnega reševanja lahko pomaga tudi v manj trivialnih primerih. Upoštevajte na primer naslednjo enačbo "ragtag":
Obeti za njegovo rešitev so videti ... ne izgledajo čisto nič, ampak enačbo si morate samo predstavljati v obliki , zgraditi funkcijski grafi in vse se bo izkazalo za neverjetno preprosto. Na sredini članka je risba o infinitezimalne funkcije (odpre se v naslednjem zavihku).
Enako grafična metoda lahko ugotovite, da ima enačba že dva korena in enega od njih enako nič, drugi pa očitno neracionalno in spada v segment . Podan koren lahko približno izračunamo npr. tangentna metoda. Mimogrede, pri nekaterih težavah se zgodi, da vam ni treba najti korenin, ampak ugotovite ali sploh obstajajo?. In tudi tukaj lahko pomaga risba - če se grafa ne sekata, potem ni korenin.
Racionalne korenine polinomov s celimi koeficienti.
Hornerjeva shema
Zdaj pa vas vabim, da pogled usmerite v srednji vek in občutite edinstveno vzdušje klasične algebre. Za boljše razumevanje snovi priporočam, da si vsaj malo preberete kompleksna števila.
Najboljši so. Polinomi.
Predmet našega zanimanja bodo najpogostejši polinomi oblike z cela koeficientov Naravno število klical stopnja polinoma, število – koeficient najvišje stopnje (ali samo najvišji koeficient), koeficient pa je brezplačen član.
Ta polinom bom na kratko označil z .
Korenine polinoma imenujemo korenine enačbe
Obožujem železno logiko =)
Za primere pojdite na sam začetek članka: 
Pri iskanju korenin polinomov 1. in 2. stopnje ni težav, z večanjem pa postaja ta naloga čedalje težja. Čeprav je po drugi strani vse bolj zanimivo! In prav temu bo posvečen drugi del lekcije.
Najprej dobesedno pol zaslona teorije:
1) Glede na posledico temeljni izrek algebre, ima stopenjski polinom točno kompleksen korenine Nekatere korenine (ali celo vse) so lahko še posebej veljaven. Še več, med pravimi koreninami so lahko enake (večkratne) korenine (najmanj dva, največ kosa).
Če je neko kompleksno število koren polinoma, potem konjugat njeno število je nujno tudi koren tega polinoma (konjugat kompleksne korenine izgleda kot ).
Najenostavnejši primer je kvadratna enačba, ki se je prvič pojavila v 8 (všeč mi je) razreda, in ki smo ga v temi dokončno »dodelali«. kompleksna števila. Naj vas spomnim: kvadratna enačba ima dva različna realna korena, več korenin ali konjugirane kompleksne korenine.
2) Od Bezoutov izrek iz tega sledi, da če je število koren enačbe, potem lahko ustrezen polinom faktoriziramo:
, kjer je polinom stopnje .
In spet naš stari primer: ker je koren enačbe, potem . Po kateri ni težko pridobiti znane "šolske" razširitve.
Posledica Bezoutovega izreka ima veliko praktično vrednost: če poznamo koren enačbe 3. stopnje, jo lahko predstavimo v obliki 
in od kvadratna enačba preprosto je prepoznati preostale korenine. Če poznamo koren enačbe 4. stopnje, potem je mogoče levo stran razširiti v produkt itd.
In tukaj sta dve vprašanji:
Prvo vprašanje. Kako najti prav to korenino? Najprej opredelimo njegovo naravo: v mnogih problemih višje matematike je treba najti racionalno, še posebej cela korenine polinomov in v zvezi s tem nas bodo v nadaljevanju zanimale predvsem te.... ...tako dobri so, tako puhasti, da si jih kar želiš najti! =)
Prva stvar, ki pride na misel, je metoda izbire. Upoštevajte na primer enačbo. Ulov je v prostem izrazu - če bi bil enak nič, bi bilo vse v redu - vzamemo "x" iz oklepajev in korenine same "padejo" na površje: 
Toda naš prosti izraz je enak "tri", zato začnemo zamenjati v enačbo različne številke, ki trdi, da je "root". Najprej se predlaga zamenjava posameznih vrednosti. Zamenjajmo: 
Prejeto nepravilno enakosti, torej enota »ni ustrezala«. No, v redu, zamenjajmo: 
Prejeto prav enakost! To pomeni, da je vrednost koren te enačbe.
Če želite najti korenine polinoma 3. stopnje, obstajajo analitična metoda (tako imenovane Cardano formule), zdaj pa nas zanima nekoliko drugačna naloga.
Ker je - koren našega polinoma, lahko polinom predstavimo v obliki in nastane Drugo vprašanje: kako najti "mlajšega brata"?
Najenostavnejša algebrska razmišljanja kažejo, da moramo za to deliti z . Kako deliti polinom s polinomom? Enako šolska metoda v skupni rabi običajne številke- "v koloni"! Ta metoda O tem sem podrobno razpravljal v prvih primerih lekcije Kompleksne omejitve, zdaj pa si bomo ogledali drugo metodo, ki se imenuje Hornerjeva shema.
Najprej zapišemo "najvišji" polinom z vsemi
, vključno z ničelnimi koeficienti:
, nato pa te koeficiente vnesemo (strogo v vrstnem redu) v zgornjo vrstico tabele:
Na levi pišemo koren:
Takoj bom rezerviral, da Hornerjeva shema deluje tudi, če je "rdeča" številka ne je koren polinoma. Vendar ne prehitevajmo stvari.
Od zgoraj odstranimo vodilni koeficient:
Postopek polnjenja spodnjih celic nekoliko spominja na vezenje, kjer je "minus ena" nekakšna "igla", ki prežema naslednje korake. »Odneseno« število pomnožimo z (–1) in zmnožku dodamo število iz zgornje celice:
Dobljeno vrednost pomnožimo z "rdečo iglo" in produktu dodamo naslednji koeficient enačbe:
In končno, dobljeno vrednost ponovno "obdelamo" z "iglo" in zgornjim koeficientom:
Ničla v zadnji celici nam pove, da je polinom razdeljen na brez sledu (kot mora biti), medtem ko so ekspanzijski koeficienti "odstranjeni" neposredno iz spodnje vrstice tabele:
Tako smo iz enačbe prešli na ekvivalentno enačbo in s preostalima korenoma je vse jasno (V v tem primeru dobimo konjugirane kompleksne korene).
Enačbo, mimogrede, lahko rešimo tudi grafično: izris "strela" 
in vidite, da graf prečka os x ()
na točki. Ali isti "zvit" trik - enačbo prepišemo v obrazec, narišemo elementarna grafika in zaznati "X" koordinato njihovega presečišča.
Mimogrede, graf katerega koli funkcijskega polinoma 3. stopnje seka os vsaj enkrat, kar pomeni, da ima ustrezna enačba vsaj eno veljaven korenina. To dejstvo velja za katero koli polinomsko funkcijo lihe stopnje.
In tukaj bi se rad tudi ustavil pomembna točka kar zadeva terminologijo: polinom in polinomska funkcija – to ni isto! Toda v praksi pogosto govorijo na primer o "grafu polinoma", kar je seveda malomarnost.
Vendar se vrnimo k Hornerjevi shemi. Kot sem pred kratkim omenil, ta shema deluje tudi za druge številke, vendar če št ne je koren enačbe, potem se v naši formuli pojavi neničelni dodatek (ostanek):
"Zaženimo" "neuspešno" vrednost po Hornerjevi shemi. V tem primeru je priročno uporabiti isto tabelo - na levo napišite novo "iglo", premaknite vodilni koeficient od zgoraj (zelena puščica levo), in gremo: 
Za preverjanje odpremo oklepaje in predstavimo podobni pogoji:
, V REDU.
Zlahka je videti, da je ostanek ("šest") točno vrednost polinoma pri . In pravzaprav - kako je: 
, in še lepše - takole:
Iz zgornjih izračunov je enostavno razumeti, da Hornerjeva shema omogoča ne samo faktorizacijo polinoma, ampak tudi izvedbo "civilizirane" izbire korena. Predlagam, da sami utrdite algoritem izračuna z majhno nalogo:
Naloga 2
Z uporabo Hornerjeve sheme poiščite cela korenina enačbo in faktorizirajte ustrezen polinom
Z drugimi besedami, tukaj morate zaporedno preverjati števila 1, –1, 2, –2, ... – dokler se v zadnjem stolpcu ne “izriše” preostanek nič. To bo pomenilo, da je "igla" te črte koren polinoma
Izračune je priročno urediti v eni tabeli. Podrobna rešitev in odgovor na koncu lekcije.
Metoda izbire korenin je dobra za relativno enostavni primeri, če pa so koeficienti in/ali stopnja polinoma veliki, lahko postopek traja dlje. Ali morda obstaja nekaj vrednosti z istega seznama 1, –1, 2, –2 in jih ni smiselno upoštevati? In poleg tega se lahko izkaže, da so korenine delne, kar bo vodilo do popolnoma neznanstvenega pikanja.
Na srečo obstajata dva močna izreka, ki lahko znatno zmanjšata iskanje vrednosti "kandidatov" za racionalne korenine:
1. izrek Razmislimo nezmanjšljiv ulomek , kjer . Če je število koren enačbe, se prosti člen deli z in vodilni koeficient deli s.
Še posebej, če je vodilni koeficient , potem je ta racionalni koren celo število:
In začnemo izkoriščati teorem s samo to okusno podrobnostjo:
Vrnimo se k enačbi. Ker je njegov vodilni koeficient , potem so lahko hipotetični racionalni koreni izključno celo število, prosti člen pa mora biti nujno razdeljen na te korene brez ostanka. In "tri" lahko razdelimo le na 1, –1, 3 in –3. To pomeni, da imamo samo 4 "korenske kandidate". In glede na 1. izrek, drugo racionalna števila NAČELNO ne morejo biti koreni te enačbe.
V enačbi je malo več "tekmovalcev": prosti člen je razdeljen na 1, –1, 2, – 2, 4 in –4.
Upoštevajte, da sta številki 1, –1 »običajni« na seznamu možnih korenin (očitna posledica izreka) in večina najboljša izbira za prednostno preverjanje.
Pojdimo k bolj smiselnim primerom:
Problem 3
rešitev: ker je vodilni koeficient , potem so hipotetični racionalni koreni lahko le celo število in morajo biti delitelji brezplačen član. "Minus štirideset" je razdeljen na naslednje pare številk:
– skupaj 16 “kandidatov”.
In tu se takoj pojavi vabljiva misel: ali je mogoče izločiti vse negativno ali vse pozitivne korenine? V nekaterih primerih je to mogoče! Oblikoval bom dva znaka:
1) Če VseČe so koeficienti polinoma nenegativni, potem ne more imeti pozitivnih korenin. Na žalost to ni naš primer (Zdaj, če smo dobili enačbo - potem ja, pri zamenjavi katere koli vrednosti polinoma je vrednost polinoma strogo pozitivna, kar pomeni, da je vse pozitivna števila (in tudi neracionalne) ne morejo biti koreni enačbe.
2) Če so koeficienti pri lihe stopinje so nenegativni in za vse sode potence (vključno z brezplačnim članom) so negativni, potem polinom ne more imeti negativne korenine. To je naš primer! Če pogledate malo bližje, lahko to vidite, ko v enačbo zamenjate kateri koli negativni "X". leva stran bo strogo negativna, kar pomeni negativne korenine izginiti
Tako je za raziskavo ostalo 8 številk:
Dosledno jih »polnimo« po Hornerjevi shemi. Upam, da ste že obvladali miselne izračune: 
Pri testiranju »dvojke« nas je pričakala sreča. Tako je koren obravnavane enačbe in
Ostaja še preučevanje enačbe 
. To je enostavno narediti prek diskriminatorja, vendar bom izvedel okvirni test z isto shemo. Najprej naj opozorimo, da je prosti termin enak 20, kar pomeni 1. izrekštevilki 8 in 40 izpadeta s seznama možnih korenin, vrednosti pa ostanejo za raziskovanje (eden je bil izločen po Hornerjevi shemi).
Koeficiente trinoma zapišemo v zgornjo vrstico nove tabele in Začnemo preverjati z istim "dvema". Zakaj? In ker so koreni lahko večkratniki, prosim: - ta enačba ima 10 enake korenine. Ampak ne pustimo se motiti: 
In tukaj sem se seveda malo zlagal, saj sem vedel, da so korenine racionalne. Konec koncev, če bi bili neracionalni ali kompleksni, bi se soočil z neuspešnim preverjanjem vseh preostalih številk. Zato se v praksi ravnajte po diskriminatorju.
Odgovori: racionalne korenine: 2, 4, 5
Pri problemu, ki smo ga analizirali, smo imeli srečo, saj: a) so takoj odpadle negativne vrednosti, in b) zelo hitro smo našli koren (in teoretično bi lahko preverili celoten seznam).
Toda v resnici je stanje veliko slabše. Vabim vas, da si ogledate razburljivo igro z naslovom " Zadnji junak»:
Problem 4
Poiščite racionalne korenine enačbe
rešitev: Avtor 1. izrekštevniki hipotetičnega racionalne korenine mora izpolnjevati pogoj (beremo "dvanajst je deljeno z el"), imenovalce pa na pogoj . Na podlagi tega dobimo dva seznama:
"seznam el":
in "seznam um": (na srečo so številke tukaj naravne).
Sedaj pa naredimo seznam vseh možnih korenin. Najprej razdelimo »el seznam« na . Popolnoma jasno je, da bodo pridobljene enake številke. Za udobje jih postavimo v tabelo:
Številni ulomki so bili zmanjšani, kar je povzročilo vrednosti, ki so že na "seznamu junakov". Dodajamo samo "novince": 
Podobno delimo isti "seznam" z: 
in končno naprej
Tako je ekipa udeležencev naše igre zaključena: 
Na žalost polinom v tem problemu ne izpolnjuje "pozitivnega" ali "negativnega" kriterija, zato ne moremo zavreči zgornje ali spodnje vrstice. Delati boste morali z vsemi številkami.
Kako se počutiš? Daj no, pokonci – obstaja še en izrek, ki ga lahko figurativno imenujemo »ubijalski izrek«…. ..."kandidati", seveda =)
Toda najprej se morate pomakniti po Hornerjevem diagramu za vsaj enega celotaštevilke. Tradicionalno, vzemimo enega. V zgornjo vrstico zapišemo koeficiente polinoma in vse je kot običajno:
Ker štiri očitno ni nič, vrednost ni koren zadevnega polinoma. Ampak ona nam bo zelo pomagala.
Izrek 2Če za nekatere na splošno vrednost polinoma ni nič: , potem njegove racionalne korenine (če so) izpolnjevati pogoj
V našem primeru morajo zato vse možne korenine izpolnjevati pogoj (recimo temu pogoj št. 1). Ta četverica bo "ubijalec" mnogih "kandidatov". Za predstavitev si bom ogledal nekaj pregledov:
Preverimo "kandidata". Da bi to naredili, ga umetno predstavimo v obliki ulomka, iz katerega je jasno razvidno, da . Izračunajmo testno razliko: . Štiri je deljeno z "minus dva": , kar pomeni, da je možni koren prestal test.
Preverimo vrednost. Tukaj je testna razlika: 
. Seveda in zato tudi drugi "predmet" ostaja na seznamu.
Hornerjeva shema – metoda deljenja polinoma
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
na binomu $x-a$. Delati boste morali s tabelo, katere prva vrstica vsebuje koeficiente danega polinoma. Prvi element druge vrstice bo število $a$, vzeto iz binoma $x-a$:
Ko polinom n-te stopnje delimo z binomom $x-a$, dobimo polinom, katerega stopnja je za ena manjša od prvotne, tj. je enako $n-1$. Neposredno uporabo Hornerjeve sheme je najlažje prikazati s primeri.
Primer št. 1
Deli $5x^4+5x^3+x^2-11$ z $x-1$ z uporabo Hornerjeve sheme.
Naredimo tabelo iz dveh vrstic: v prvo vrstico zapišemo koeficiente polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$, razvrščene po padajočih potencah spremenljivke $x$. Upoštevajte, da ta polinom ne vsebuje $x$ na prvi stopnji, tj. koeficient $x$ na prvo potenco je 0. Ker delimo z $x-1$, v drugo vrstico zapišemo ena:
Začnimo izpolnjevati prazne celice v drugi vrstici. V drugo celico druge vrstice zapišemo številko $5$ in jo preprosto premaknemo iz ustrezne celice prve vrstice:
Zapolnimo naslednjo celico po tem principu: $1\cdot 5+5=10$:
Na enak način izpolnimo četrto celico druge vrstice: $1\cdot 10+1=11$:
Za peto celico dobimo: $1\cdot 11+0=11$:
In končno, za zadnjo, šesto celico, imamo: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Problem je rešen, ostane le še, da zapišemo odgovor:
Kot lahko vidite, so števila v drugi vrstici (med ena in nič) koeficienti polinoma, dobljenega po deljenju $5x^4+5x^3+x^2-11$ z $x-1$. Seveda, ker je bila stopnja prvotnega polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ enaka štiri, je stopnja nastalega polinoma $5x^3+10x^2+11x+11$ ena manj, tj. enako tri. Zadnja številka v drugi vrstici (ničla) pomeni ostanek pri deljenju polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ z $x-1$. V našem primeru je ostanek nič, tj. polinomi so enakomerno deljivi. Ta rezultat lahko označimo tudi kot sledi: vrednost polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ za $x=1$ je enaka nič.
Sklep lahko formuliramo tudi v tej obliki: ker je vrednost polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ pri $x=1$ enaka nič, je enota koren polinoma $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Primer št. 2
Polinom $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ razdelite na $x+3$ z uporabo Hornerjeve sheme.
Naj takoj določimo, da mora biti izraz $x+3$ predstavljen v obliki $x-(-3)$. Hornerjeva shema bo vključevala točno -3$. Ker je stopnja prvotnega polinoma $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ enaka štiri, potem kot rezultat deljenja dobimo polinom tretje stopnje:
Rezultat pomeni, da
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
V tej situaciji je ostanek pri deljenju $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ z $x+3$ 4$. Ali, kar je isto, vrednost polinoma $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ za $x=-3$ je enaka $4$. Mimogrede, to je enostavno dvakrat preveriti z neposredno zamenjavo $x=-3$ v podani polinom:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Tisti. Hornerjevo shemo lahko uporabimo, če je treba najti vrednost polinoma pri nastavljeno vrednost spremenljivka. Če je naš cilj najti vse korenine polinoma, potem lahko Hornerjevo shemo uporabimo večkrat zapored, dokler ne izčrpamo vseh korenin, kot je razloženo v primeru št. 3.
Primer št. 3
Poiščite vse cele korene polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ z uporabo Hornerjeve sheme.
Koeficienti zadevnega polinoma so cela števila in koeficient je pred največjo potenco spremenljivke (tj. pred $x^6$) enako ena. V tem primeru je treba celoštevilske korene polinoma iskati med delitelji prostega člena, tj. med delitelji števila 45. Za dani polinom so lahko takšni koreni števila $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 $ in -45 $; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Preverimo na primer številko $1$:
Kot lahko vidite, je vrednost polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ z $x=1$ enaka $192$ ( zadnja številka v drugi vrstici) in ne $0$, zato enota ni koren tega polinoma. Ker preverjanje enega ni uspelo, preverimo vrednost $x=-1$. Nova miza V ta namen tabele ne bomo sestavljali, temveč jo bomo še naprej uporabljali. št. 1 in ji dodal novo (tretjo) vrstico. Druga vrstica, v kateri je bila označena vrednost $1$, bo označena z rdečo in ne bo uporabljena v nadaljnjih razpravah.
Seveda lahko tabelo preprosto znova napišete, vendar bo ročno izpolnjevanje vzelo veliko časa. Poleg tega je lahko več številk, katerih preverjanje ne bo uspelo, in je težko vsakič napisati novo tabelo. Pri izračunu "na papirju" lahko rdeče črte preprosto prečrtamo.
Torej je vrednost polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ pri $x=-1$ enaka nič, tj. število $-1$ je koren tega polinoma. Po delitvi polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ z binomom $x-(-1)=x+1$ dobimo polinom $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, katerih koeficienti so vzeti iz tretje vrstice tabele. št. 2 (glej primer št. 1). Rezultat izračunov lahko predstavimo tudi v tej obliki:
\begin(enačba)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\konec(enačba)
Nadaljujmo z iskanjem celih korenin. Zdaj moramo poiskati korenine polinoma $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Spet celoštevilske korene tega polinoma iščemo med delitelji njegovega prostega člena, števil $45$. Poskusimo znova preveriti število $-1$. Ne bomo ustvarili nove tabele, ampak bomo še naprej uporabljali prejšnjo tabelo. št. 2, tj. Dodajmo mu še eno vrstico:
Torej je število $-1$ koren polinoma $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Ta rezultat lahko zapišemo takole:
\begin(enačba)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(enačba)
Ob upoštevanju enakosti (2) lahko enakost (1) prepišemo v naslednji obliki:
\begin(enačba)\begin(poravnano) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\konec(poravnano)\konec(enačba)
Sedaj moramo poiskati korenine polinoma $x^4-22x^2+24x+45$ - seveda med delitelji njegovega prostega člena (števili $45$). Ponovno preverimo število $-1$:
Število $-1$ je koren polinoma $x^4-22x^2+24x+45$. Ta rezultat lahko zapišemo takole:
\begin(enačba)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(enačba)
Ob upoštevanju enakosti (4) prepišemo enakost (3) v naslednji obliki:
\begin(enačba)\begin(poravnano) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\konec(poravnano)\konec(enačba)
Sedaj iščemo korenine polinoma $x^3-x^2-21x+45$. Ponovno preverimo število $-1$:
Preverjanje se je končalo neuspešno. Označimo šesto vrstico rdeče in poskusimo preveriti drugo številko, na primer številko $3$:
Ostanek je nič, zato je število $3$ koren zadevnega polinoma. Torej $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Zdaj lahko enakost (5) prepišemo na naslednji način.
