Primer 1

Referenca: Naslednji načini zapisovanja funkcije so enakovredni: V nekaterih nalogah je priročno označiti funkcijo kot "igra", v drugih pa kot "ef od x".

Najprej najdemo izpeljanko:

Primer 2

Izračunajte odvod funkcije v točki

, , popolna raziskava funkcije itd.

Primer 3

Izračunajte odvod funkcije v točki. Najprej poiščimo izpeljanko:

No, to je čisto druga stvar. Izračunajmo vrednost izpeljanke v točki:

Če ne razumete, kako je bila izpeljanka najdena, se vrnite na prvi dve lekciji teme. Če imate kakršne koli težave (nerazumevanje) z arktangensom in njegovimi pomeni, Nujno študija metodološko gradivo Grafi in lastnosti elementarne funkcije – zadnji odstavek. Ker je arktangensov za študentsko starost še dovolj.

Primer 4

Izračunajte odvod funkcije v točki.

Enačba tangente na graf funkcije

Za okrepitev prejšnjega odstavka razmislite o problemu iskanja tangente na funkcijski graf na tej točki. S to nalogo smo se srečali v šoli, pojavlja pa se tudi pri tečaju. višja matematika.

Poglejmo najenostavnejši "demonstracijski" primer.

Zapišite enačbo za tangento na graf funkcije na abscisni točki. Takoj ga prinesem grafična rešitev naloge (v praksi to v večini primerov ni potrebno):

Stroga definicija tangente je podana z uporabo definicija odvoda funkcije, a za zdaj bomo obvladali tehnični del vprašanja. Zagotovo skoraj vsi intuitivno razumejo, kaj je tangenta. Če razložite "na prste", potem je tangenta na graf funkcije naravnost, ki zadeva graf funkcije v edini točka. V tem primeru se vse bližnje točke črte nahajajo čim bližje grafu funkcije.

V našem primeru: tangenta (standardni zapis) se dotika grafa funkcije v eni točki.

In naša naloga je najti enačbo premice.

Odvod funkcije v točki

Kako najti odvod funkcije v točki? Dve očitni točki te naloge sledita iz besedila:

1) Treba je najti izpeljanko.

2) Treba je izračunati vrednost izpeljanke v dani točki.

Primer 1

Izračunajte odvod funkcije v točki

Pomoč: Naslednji načini zapisa funkcije so enakovredni:


V nekaterih nalogah je priročno označiti funkcijo kot "igra", v drugih pa kot "ef od x".

Najprej najdemo izpeljanko:

Upam, da so se mnogi že navadili iskati takšne izpeljanke ustno.

V drugem koraku izračunamo vrednost odvoda v točki:

Majhen ogrevalni primer za samostojno reševanje:

Primer 2

Izračunajte odvod funkcije v točki

Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Potreba po iskanju odvoda v točki se pojavi pri naslednjih nalogah: konstruiranje tangente na graf funkcije (naslednji odstavek), študija funkcije za ekstrem , preučevanje funkcije za pregib grafa , študija celotne funkcije itd.

Toda zadevna naloga se pojavi v testi in sama po sebi. In praviloma je v takih primerih dana funkcija precej zapletena. V zvezi s tem si poglejmo še dva primera.

Primer 3

Izračunaj odvod funkcije na točki.
Najprej poiščimo izpeljanko:

Izpeljanka je načeloma najdena in lahko nadomestite zahtevano vrednost. Ampak v resnici nočem storiti ničesar. Izraz je zelo dolg in pomen "x" je ulomek. Zato skušamo našo izpeljanko čim bolj poenostaviti. IN v tem primeru poskusimo pripeljati do skupni imenovalec zadnji trije termini: na točki.

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

Kako najti vrednost odvoda funkcije F(x) v točki Xo? Kako to sploh rešiti?

Če je formula podana, poiščite izpeljanko in zamenjajte X-nič namesto X. Izračunaj
če govorimo o o b-8 Enotni državni izpit, graf, potem morate najti tangento kota (ostro ali tupo), ki ga tvori tangenta na os X (z uporabo miselne konstrukcije pravokotnega trikotnika in določanja tangente kota)

Timur Adilhodžajev

Najprej se morate odločiti za znak. Če je točka x0 na dnu koordinatna ravnina, potem bo znak v odgovoru minus, in če je višji, potem +.
Drugič, vedeti morate, kaj je tanges pravokoten pravokotnik. In to je razmerje nasprotne strani (noge) proti sosednja stran(tudi noga). Na sliki je običajno nekaj črnih madežev. Iz teh oznak, ki jih naredite pravokotni trikotnik in najdeš tanges.

Kako najti vrednost odvoda funkcije f x v točki x0?

IN splošni primer Da bi našli vrednost odvoda katere koli funkcije glede na neko spremenljivko na kateri koli točki, morate diferencirati dano funkcijo glede na to spremenljivko. V vašem primeru s spremenljivko X. V dobljenem izrazu namesto X postavite vrednost X na točko, za katero morate najti vrednost izpeljanke, tj. v vašem primeru zamenjajte nič X in izračunajte dobljeni izraz.

No, vaša želja po razumevanju te problematike si po mojem mnenju nedvomno zasluži +, ki ga mirne vesti dajem.

Ta formulacija problema iskanja izpeljanke je pogosto zastavljena za okrepitev gradiva geometrijski pomen izpeljanka. Predlaga se graf določene funkcije, povsem poljuben in ne podana z enačbo in morate najti vrednost izpeljanke (ne izpeljanke same, upoštevajte!) v določeni točki X0. Če želite to narediti, zgradite tangento na dano funkcijo in poišče točke njegovega presečišča s koordinatnimi osemi. Nato se enačba te tangente sestavi v obliki y=кx+b.

V tej enačbi bosta koeficient k in vrednost odvoda. Vse kar ostane je, da poiščemo vrednost koeficienta b. Da bi to naredili, najdemo vrednost y pri x = o, naj bo enaka 3 - to je vrednost koeficienta b. Nadomestni v izvirna enačba vrednosti X0 in Y0 in poiščite k - našo vrednost derivata na tej točki.

Prikaz povezave med predznakom odvoda in naravo monotonosti funkcije.

Prosimo, bodite zelo previdni glede naslednjega. Poglejte, urnik KAJ vam je dano! Funkcija ali njen derivat

Če je dan graf izpeljanke, potem nas bodo zanimali le funkcijski znaki in ničle. Nobeni “hribi” ali “votline” nas načeloma ne zanimajo!

Naloga 1.

Slika prikazuje graf funkcije, definirane na intervalu. Določite število celih točk, pri katerih je odvod funkcije negativen.

rešitev:

Na sliki so območja padajoče funkcije označena z barvo:

Ta padajoča področja funkcije vsebujejo 4 cele vrednosti.

Naloga 2.

Slika prikazuje graf funkcije, definirane na intervalu. Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna s premico ali sovpada s premico.

rešitev:

Ko je tangenta na graf funkcije vzporedna (ali sovpada) z ravno črto (ali, kar je isto), ima pobočje , enako nič, potem ima tangenta tudi kotni koeficient.

To pa pomeni, da je tangenta vzporedna z osjo, saj je naklon tangenta kota naklona tangente na os.

Zato na grafu najdemo ekstremne točke (največjo in najmanjšo točko) - na teh točkah bodo funkcije, ki se dotikajo grafa, vzporedne z osjo.

Obstajajo 4 takšne točke.

Naloga 3.

Slika prikazuje graf odvoda funkcije, definirane na intervalu. Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna s premico ali sovpada s premico.

rešitev:

Ker je tangenta na graf funkcije vzporedna (ali sovpada) s premico, ki ima naklon, ima tudi tangenta naklon.

To pa pomeni, da na stičnih točkah.

Zato pogledamo, koliko točk na grafu ima ordinato enako .

Kot lahko vidite, obstajajo štiri takšne točke.

Naloga 4.

Slika prikazuje graf funkcije, definirane na intervalu. Poiščite število točk, v katerih je odvod funkcije enak 0.

rešitev:

Odvod je v ekstremnih točkah enak nič. Imamo jih 4:

Naloga 5.

Slika prikazuje graf funkcije in enajst točk na x-osi:. V koliko od teh točk je odvod funkcije negativen?

rešitev:

Na intervalih padajoče funkcije zavzema njen odvod negativne vrednosti. In funkcija se zmanjša v točkah. Obstajajo 4 takšne točke.

Naloga 6.

Slika prikazuje graf funkcije, definirane na intervalu. Poiščite vsoto ekstremnih točk funkcije.

rešitev:

Ekstremne točke– to so najvišje točke (-3, -1, 1) in najnižje točke (-2, 0, 3).

Vsota točk ekstrema: -3-1+1-2+0+3=-2.

Naloga 7.

Slika prikazuje graf odvoda funkcije, definirane na intervalu. Poiščite intervale naraščanja funkcije. V odgovoru navedite vsoto celoštevilskih točk, vključenih v te intervale.

rešitev:

Na sliki so označeni intervali, kjer je odvod funkcije nenegativen.

Na majhnem naraščajočem intervalu ni celih točk, obstajajo štiri cele vrednosti: , in .

Njihova vsota:

Naloga 8.

Slika prikazuje graf odvoda funkcije, definirane na intervalu. Poiščite intervale naraščanja funkcije. V odgovoru navedite dolžino največjega izmed njih.

rešitev:

Na sliki so barvno označeni vsi intervali, na katerih je odvod pozitiven, kar pomeni, da sama funkcija na teh intervalih narašča.

Dolžina največjega med njimi je 6.

Naloga 9.

Slika prikazuje graf odvoda funkcije, definirane na intervalu. Na kateri točki segmenta ima največjo vrednost?

rešitev:

Poglejmo, kako se graf obnaša na segmentu, kar nas zanima samo predznak izpeljanke .

Predznak odvoda na je minus, saj je graf na tem segmentu pod osjo.

Vsebina članka

IZPELJAVKA– odvod funkcije l = f(x), podan v določenem intervalu ( a, b) na točki x tega intervala imenujemo meja, h kateri stremi razmerje prirastka funkcije f na tej točki do ustreznega prirastka argumenta, ko se prirastek argumenta nagiba k ničli.

Izpeljanka je običajno označena na naslednji način:

Široko se uporabljajo tudi druge oznake:

Takojšnja hitrost.

Naj bistvo M premika v ravni črti. Razdalja s gibljiva točka, šteto od nekega začetnega položaja M 0 , odvisno od časa t, tj. s obstaja funkcija časa t: s= f(t). Naj v nekem trenutku t gibljiva točka M je bil na daljavo s od začetni položaj M 0 in v nekem naslednjem trenutku t+D t znašla v položaju M 1 – na daljavo s+D s iz začetnega položaja ( glej sliko.).

Tako je v določenem obdobju D t oddaljenost s spremenili za znesek D s. V tem primeru pravijo, da v časovnem intervalu D t velikost s prejel prirastek D s.

Povprečna hitrost ne more v vseh primerih natančno označiti hitrosti gibanja točke M v določenem trenutku t. Če je na primer telo na začetku intervala D t premikal zelo hitro, koncu pa zelo počasi, nato povprečna hitrost ne bo mogel odražati določenih značilnosti gibanja točke in dati idejo o resnični hitrosti njenega gibanja v tem trenutku t. Če želite natančneje izraziti pravo hitrost s povprečno hitrostjo, morate vzeti krajše časovno obdobje D t. Najbolj v celoti označuje hitrost gibanja točke v tem trenutku t meja, h kateri teži povprečna hitrost pri D t® 0. To mejo imenujemo hitrost gibanja v v tem trenutku:

Tako se hitrost gibanja v danem trenutku imenuje meja razmerja prirastka poti D s do časovnega prirastka D t, ko se časovni prirastek nagiba k ničli. Ker

Geometrični pomen izpeljanke. Tangenta na graf funkcije.

Konstrukcija tangentnih črt je eden tistih problemov, ki so pripeljali do rojstva diferencialnega računa. Prvo objavljeno delo v zvezi z diferencialnim računom in perujski Leibniz, je imel ime Nova metoda maksimumi in minimumi ter tangente, ki jim ne predstavljajo ovire niti frakcijske niti iracionalne količine in za to posebna vrsta računa..

Naj bo krivulja graf funkcije l =f(x) V pravokotni sistem koordinate ( cm. riž.).

Po neki vrednosti x funkcija je pomembna l =f(x). Te vrednote x in l točka na krivulji ustreza M 0(x, l). Če argument x dati prirast D x, nato novo vrednost argumenta x+D x ustreza novi vrednosti funkcije y+ D l = f(x + D x). Ustrezna točka krivulje bo točka M 1(x+D x,l+D l). Če narišete sekanto M 0M 1 in označena z j kot, ki ga tvori prečnica s pozitivno smerjo osi Ox, je iz slike takoj jasno, da .

Če zdaj D x teži k ničli, potem je točka M 1 se premika po krivulji in se približuje točki M 0 in kot j spreminja z D x. pri Dx® 0 kot j teži k določeni meji a in premica, ki poteka skozi točko M 0 in komponenta s pozitivno smerjo osi x, kot a, bo želena tangenta. Njegov naklon je:

torej f´( x) = tga

tiste. izvedena vrednost f´( x) pri dano vrednost argument x je enak tangensu kota, ki ga tvori tangenta na graf funkcije f(x) na ustrezni točki M 0(x,l) s pozitivno smerjo osi Ox.

Diferenciabilnost funkcij.

Opredelitev. Če funkcija l = f(x) ima odvod v točki x = x 0, potem je funkcija na tej točki diferenciacijska.

Zveznost funkcije, ki ima odvod. Izrek.

Če funkcija l = f(x) je na neki točki mogoče razlikovati x = x 0, potem je na tej točki zvezna.

Tako funkcija ne more imeti odvoda na diskontinuitetnih točkah. Napačna je nasprotna ugotovitev, tj. od tega, da v nekem trenutku x = x 0 funkcija l = f(x) je zvezna, ne pomeni, da je na tej točki diferencibilna. Na primer funkcija l = |x| neprekinjeno za vse x(–Ґ x x = 0 nima odvoda. Na tej točki ni tangente na graf. Obstajata desna tangenta in leva, vendar ne sovpadata.

Nekaj ​​izrekov o diferenciabilnih funkcijah. Izrek o korenih odvoda (Rollejev izrek).Če funkcija f(x) je zvezen na segmentu [a,b], je razločljiv v vseh notranje točke tega segmenta in na koncih x = a in x = b gre na nič ( f(a) = f(b) = 0), nato znotraj segmenta [ a,b] obstaja vsaj ena točka x= z, a c b, v katerem je izpeljanka fў( x) gre na nič, tj. fў( c) = 0.

Izrek o končnem prirastku (Lagrangeov izrek).Če funkcija f(x) je zvezna na intervalu [ a, b] in je diferencibilna v vseh notranjih točkah tega segmenta, nato znotraj segmenta [ a, b] obstaja vsaj ena točka z, a c b to

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Izrek o razmerju prirastkov dveh funkcij (Cauchyjev izrek).če f(x) In g(x) – dve zvezni funkciji na segmentu [a, b] in razločljiv na vseh notranjih točkah tega segmenta, in gў( x) ne izgine nikjer znotraj tega segmenta, nato znotraj segmenta [ a, b] obstaja taka točka x = z, a c b to

Izpeljanke različnih vrst.

Naj funkcija l =f(x) je diferencibilen na nekem intervalu [ a, b]. Izpeljane vrednosti f ў( x), na splošno odvisno od x, tj. izpeljanka f ў( x) je tudi funkcija x. Pri diferenciranju te funkcije dobimo tako imenovani drugi odvod funkcije f(x), kar je označeno f ўў ( x).

Izpeljanka n- vrstnem redu funkcije f(x) imenujemo izpeljanka (prvega reda) izpeljanke n- 1- th in je označen s simbolom l(n) = (l(n– 1))ў.

Diferenciali različnih naročil.

Funkcijski diferencial l = f(x), kje x– neodvisna spremenljivka, da dy = f ў( x)dx, nekaj funkcij iz x, ampak od x lahko je odvisen le prvi dejavnik f ў( x), drugi faktor ( dx) je prirastek neodvisne spremenljivke x in ni odvisna od vrednosti te spremenljivke. Ker dy obstaja funkcija iz x, potem lahko določimo diferencial te funkcije. Diferencial diferenciala funkcije imenujemo drugi diferencial ali diferencial drugega reda te funkcije in ga označimo d 2l:

d(dx) = d 2l = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferencial n- prvega reda imenujemo prvi diferencial diferenciala n- 1- vrstni red:

d n y = d(d n–1l) = f(n)(x)dx(n).

Delni derivat.

Če funkcija ni odvisna od enega, ampak od več argumentov x i(i variira od 1 do n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), nato notri diferencialni račun uveden je koncept delnega odvoda, ki označuje hitrost spremembe funkcije več spremenljivk, ko se spremeni samo en argument, npr. x i. Delni odvod 1. reda glede na x i je definiran kot navaden derivat in predpostavlja se, da so vsi argumenti razen x i, shrani konstantne vrednosti. Za delne odvode je uveden zapis

Tako definirani parcialni odvodi 1. reda (kot funkcije istih argumentov) imajo lahko posledično tudi parcialne odvode, to so delni odvodi drugega reda itd. Takšne izpeljanke, vzete iz različnih argumentov, imenujemo mešane. Zvezni mešani odvodi istega reda niso odvisni od vrstnega reda diferenciacije in so med seboj enaki.

Anna Chugainova

Kaj je izpeljanka?

Tabela izpeljank.

Izvod je eden glavnih konceptov višje matematike. V tej lekciji bomo predstavili ta koncept. Samo spoznajmo se, brez strogega matematične formulacije in dokazi.

To poznanstvo vam bo omogočilo:

Razumeti bistvo preprostih nalog z izpeljankami;

Uspešno reševanje prav teh težav težke naloge;

Pripravite se na resnejše lekcije o derivatih.

Najprej - prijetno presenečenje.)

Stroga definicija odvoda temelji na teoriji limitov in stvar je precej zapletena. To je moteče. Toda praktična uporaba derivatov praviloma ne zahteva tako obsežnega in globokega znanja!

Za uspešno opravljanje večine nalog v šoli in na fakulteti je dovolj vedeti le nekaj izrazov- razumeti nalogo in le nekaj pravil- rešiti. To je vse. To me veseli.

Začnimo se spoznavati?)

Izrazi in poimenovanja.

V osnovni matematiki obstaja veliko različnih matematičnih operacij. Seštevanje, odštevanje, množenje, potenciranje, logaritem itd. Če tem operacijam dodamo še eno operacijo, postane elementarna matematika višja. Ta nova operacija se imenuje diferenciacija. O definiciji in pomenu te operacije bomo razpravljali v ločenih lekcijah.

Tukaj je pomembno razumeti, da je razlikovanje preprosto matematična operacija nad funkcijo. Prevzamemo katero koli funkcijo in glede na določena pravila, ga preoblikovati. Rezultat bo nova funkcija. Ta nova funkcija se imenuje: izpeljanka.

Diferenciacija- dejanje na funkciji.

Izpeljanka- rezultat tega dejanja.

Tako kot npr. vsota- rezultat seštevanja. oz zasebno- rezultat delitve.

Če poznate izraze, lahko razumete vsaj naloge.) Formulacije so naslednje: poišči odvod funkcije; prevzeti izpeljanko; razlikovati funkcijo; izračunaj izpeljanko itd. To je vse eno in isto. Seveda obstajajo tudi zahtevnejše naloge, kjer bo iskanje odvoda (diferenciacija) le eden od korakov pri reševanju problema.

Izpeljanka je označena s pomišljajem v zgornjem desnem kotu funkcije. takole: y" oz f"(x) oz S"(t) in tako dalje.

Branje igrak poteza, ef poteza iz x, es poteza iz te, no, saj razumeš...)

Praštevilka lahko označuje tudi izpeljanko določene funkcije, na primer: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" itd. Izpeljanke so pogosto označene z diferenciali, vendar v tej lekciji ne bomo obravnavali takega zapisa.

Predpostavimo, da smo se naučili razumeti naloge. Vse, kar je ostalo, je, da se jih naučimo reševati.) Naj vas še enkrat spomnim: iskanje izpeljanke je transformacija funkcije po določenih pravilih. Presenetljivo je, da je teh pravil zelo malo.

Če želite najti odvod funkcije, morate poznati le tri stvari. Trije stebri, na katerih stoji vsa diferenciacija. Tukaj so ti trije stebri:

1. Tabela odvodov (diferenciacijske formule).

3. Izpeljanka kompleksna funkcija.

Začnimo po vrsti. V tej lekciji si bomo ogledali tabelo izpeljank.

Tabela izpeljank.

V svetu - neskončen niz funkcije. Med to raznolikostjo so funkcije, ki so najpomembnejše za praktična uporaba. Te funkcije najdemo v vseh naravnih zakonih. Iz teh funkcij, kot iz opek, lahko sestavite vse druge. Ta razred funkcij se imenuje elementarne funkcije. Te funkcije se preučujejo v šoli - linearne, kvadratne, hiperbola itd.

Diferenciacija funkcij "iz nič", tj. Glede na definicijo odvoda in teorijo limitov je to precej delovno intenzivna stvar. In tudi matematiki so ljudje, ja, ja!) Tako so si (in nam) poenostavili življenje. Pred nami so izračunali odvode elementarnih funkcij. Rezultat je tabela izpeljank, kjer je vse pripravljeno.)

Tukaj je ta plošča za najbolj priljubljene funkcije. Na levi je elementarna funkcija, na desni pa njen odvod.

	funkcija l	Odvod funkcije y y"
1	C ( konstantna)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - poljubno število)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	greh x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	dnevnik a x
	ln x ( a = e)

Priporočam, da ste pozorni na tretjo skupino funkcij v tej tabeli izpeljank. Izpeljanka funkcija moči- ena najpogostejših formul, če ne celo najpogostejša! Ali razumete namig?) Da, tabelo derivatov je priporočljivo poznati na pamet. Mimogrede, to ni tako težko, kot se morda zdi. Poskusite rešiti z več primerov, sama miza si bo zapomnila!)

Iskanje tabele vrednosti derivata, kot razumete, ni najtežja naloga. Zato so v takih nalogah zelo pogosto dodatni čipi. Bodisi v besedilu naloge bodisi v izvirni funkciji, ki je v tabeli menda ni ...

Oglejmo si nekaj primerov:

1. Poiščite odvod funkcije y = x 3

Te funkcije v tabeli ni. Vendar obstaja izpeljanka potenčne funkcije splošni pogled(tretja skupina). V našem primeru je n=3. Zato nadomestimo tri namesto n in natančno zapišemo rezultat:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

To je vse.

odgovor: y" = 3x 2

2. Poiščite vrednost odvoda funkcije y = sinx v točki x = 0.

Ta naloga pomeni, da morate najprej najti odvod sinusa in nato nadomestiti vrednost x = 0 v to isto izpeljanko. Točno v tem vrstnem redu! V nasprotnem primeru se zgodi, da takoj zamenjajo ničlo v prvotno funkcijo ... Prosimo, da ne najdemo vrednosti prvotne funkcije, ampak vrednost njegova izpeljanka. Izpeljanka, naj vas spomnim, je nova funkcija.

S tablico poiščemo sinus in ustrezen odvod:

y" = (sin x)" = cosx

V odvod nadomestimo nič:

y"(0) = cos 0 = 1

To bo odgovor.

3. Razlikujte funkcijo:

Kaj, navdihuje?) V tabeli izpeljank te funkcije ni.

Naj vas spomnim, da razlikovanje funkcije pomeni preprosto iskanje odvoda te funkcije. Če pozabite na osnovno trigonometrijo, je iskanje odvoda naše funkcije precej težavno. miza ne pomaga...

Če pa vidimo, da je naša funkcija kosinus dvojni kot , potem gre takoj vse na bolje!

Ja, ja! Ne pozabite, da preoblikovanje izvirne funkcije pred diferenciacijočisto sprejemljivo! In zgodi se, da zelo olajša življenje. Uporaba formule kosinusa dvojnega kota:

Tisti. naša zapletena funkcija ni nič drugega kot y = cosx. In to je funkcija tabele. Takoj dobimo:

odgovor: y" = - sin x.

Primer za napredne diplomante in študente:

4. Poiščite odvod funkcije:

Te funkcije v tabeli izpeljank seveda ni. Ampak če se spomniš osnovna matematika, dejanja s stopnjami ... Potem je povsem možno to funkcijo poenostaviti. takole:

In x na eno desetinko je že tabelarična funkcija! Tretja skupina, n=1/10. Pišemo neposredno po formuli:

To je vse. To bo odgovor.

Upam, da je s prvim stebrom razlikovanja - tabelo izpeljank - vse jasno. Ostaja še ukvarjanje z dvema preostalima kitoma. V naslednji lekciji se bomo naučili pravil razlikovanja.

Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija.

Kot rezultat reševanja problemov iskanja odvodov najenostavnejših (in ne zelo preprostih) funkcij z opredelitvijo odvoda kot meje razmerja prirastka in prirastka argumenta se je pojavila tabela odvodov in natančno določena pravila diferenciacije. . Prva, ki sta delala na področju iskanja derivatov, sta bila Isaac Newton (1643-1727) in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Zato vam v našem času za iskanje odvoda katere koli funkcije ni treba izračunati zgoraj omenjene meje razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ampak morate uporabiti samo tabelo izpeljanke in pravila razlikovanja. Za iskanje izpeljanke je primeren naslednji algoritem.

Da bi našli izpeljanko, potrebujete izraz pod praznakom preproste funkcije razčleniti na komponente in določite, katera dejanja (zmnožek, vsota, količnik) te funkcije so povezane. Nato najdemo odvode elementarnih funkcij v tabeli odvodov, formule za odvode produkta, vsote in količnika pa v pravilih diferenciacije. Tabela odvodov in pravila razlikovanja so podani po prvih dveh primerih.

Primer 1. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Iz pravil diferenciacije ugotovimo, da je odvod vsote funkcij vsota odvodov funkcij, tj.

Iz tabele odvodov ugotovimo, da je odvod “X” enak ena, odvod sinusa pa kosinus. Te vrednosti nadomestimo v vsoto derivatov in poiščemo derivat, ki ga zahteva pogoj problema:

Primer 2. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Diferenciramo kot izpeljanko vsote, pri kateri ima drugi člen konstanten faktor;

Če se vseeno porajajo vprašanja, od kod kaj izvira, jih običajno razčistimo po seznanitvi s tabelo izpeljank in najpreprostejšimi pravili razlikovanja. Prav zdaj se premikamo k njim.

Tabela odvodov enostavnih funkcij

1. Izpeljava konstante (števila). Poljubno število (1, 2, 5, 200 ...), ki je v funkcijskem izrazu. Vedno enako nič. To si je zelo pomembno zapomniti, saj je potrebno zelo pogosto
2. Izpeljanka neodvisne spremenljivke. Najpogosteje "X". Vedno enako ena. To je tudi pomembno, da si zapomnite za dolgo časa
3. Izpeljanka stopnje. Ko rešujete naloge, morate nekvadratne korene pretvoriti v potence.
4. Odvod spremenljivke na potenco -1
5. Izpeljanka kvadratni koren
6. Odvod sinusa
7. Odvod kosinusa
8. Odvod tangente
9. Odvod kotangensa
10. Odvod arkusina
11. Izpeljanka arkosinusa
12. Odvod arktangensa
13. Odvod ark kotangensa
14. Odvod naravnega logaritma
15. Odvod logaritemske funkcije
16. Izpeljanka eksponenta
17. Odvod eksponentne funkcije

Pravila razlikovanja

1. Izpeljava vsote ali razlike
2. Izpeljanka izdelka
2a. Izpeljanka izraza, pomnožena s konstantnim faktorjem
3. Izpeljava količnika
4. Odvod kompleksne funkcije

1. praviloČe funkcije

so na neki točki diferencibilne, potem so funkcije diferencibilne na isti točki

in

tiste. odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraična vsota derivate teh funkcij.

Posledica. Če se dve diferenciabilni funkciji razlikujeta za konstanten člen, sta njuna odvoda enaka, tj.

2. pravilo.Če funkcije

so na neki točki diferencibilni, potem je njihov produkt diferencibilen na isti točki

in

tiste. Odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij in odvoda druge.

Posledica 1. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda:

Posledica 2. Odvod zmnožka več diferenciabilnih funkcij je enak vsoti zmnožkov odvoda vsakega faktorja in vseh ostalih.

Na primer za tri množitelje:

3. praviloČe funkcije

na neki točki mogoče razlikovati in , potem je na tej točki njihov količnik tudi diferenciabilenu/v in

tiste. odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalca, imenovalec pa je kvadrat prejšnji števnik.

Kje iskati stvari na drugih straneh

Pri iskanju odpeljanke produkta in količnika v resnične težave Vedno je treba uporabiti več pravil diferenciacije hkrati, zato je v članku več primerov o teh izpeljankah"Odvod produkta in kvocienta funkcij".

Komentiraj. Ne zamenjujte konstante (torej števila) kot izraza v vsoti in kot konstantnega faktorja! Pri členu je njegova izpeljanka enaka nič, pri primeru pa stalni faktor vzeta je iz izpeljanke. to tipična napaka, ki se pojavi na začetni fazi učijo izpeljanke, a ker rešijo več eno- in dvodelnih primerov, povprečen učenec te napake ne dela več.

In če imate pri diferenciranju produkta ali količnika izraz u"v, v katerem u- število, na primer 2 ali 5, to je konstanta, potem bo derivat tega števila enak nič, zato bo celoten izraz enak nič (ta primer je obravnavan v primeru 10).

drugo pogosta napaka - mehanska rešitev odvod kompleksne funkcije kot odvod enostavne funkcije. zato odvod kompleksne funkcije je posvečen poseben članek. A najprej se bomo naučili najti izpeljanke enostavne funkcije.

Na tej poti ne morete brez preoblikovanja izrazov. Če želite to narediti, boste morda morali odpreti priročnik v novih oknih. Dejanja z močmi in koreninami in Operacije z ulomki .

Če iščete rešitve za odvode ulomkov s potencami in koreni, ko je funkcija videti kot , nato sledite lekciji "Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni."

Če imate nalogo, kot je , potem boste vzeli lekcijo “Odvodi preprostih trigonometričnih funkcij”.

Primeri po korakih - kako najti izpeljanko

Primer 3. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Določimo dele funkcijskega izraza: celoten izraz predstavlja zmnožek, njegovi faktorji pa so vsote, v drugem izmed členov pa je konstanten faktor. Uporabimo pravilo diferenciacije produkta: odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij z odvodom druge:

Nato uporabimo pravilo diferenciacije vsote: odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij. V našem primeru ima v vsaki vsoti drugi člen predznak minus. V vsaki vsoti vidimo tako neodvisno spremenljivko, katere odvod je enak ena, kot konstanto (število), katere odvod je enak nič. Torej se "X" spremeni v ena, minus 5 pa v nič. V drugem izrazu je "x" pomnožen z 2, tako da dva pomnožimo z isto enoto kot izpeljanka "x". Dobimo naslednje vrednosti derivati:

Najdene odvode nadomestimo v vsoto produktov in dobimo odvod celotne funkcije, ki jo zahteva pogoj problema:

Primer 4. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Poiskati moramo odvod količnika. Uporabimo formulo za razlikovanje količnika: odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalec, imenovalec pa je kvadrat prejšnjega števca. Dobimo:

Odvod faktorjev v števcu smo našli že v primeru 2. Ne pozabimo tudi, da je zmnožek, ki je drugi faktor v števcu v trenutnem primeru, vzet s predznakom minus:

Če iščete rešitve za naloge, pri katerih morate najti odvod funkcije, kjer je zvezen kup korenov in potence, kot je npr. , potem dobrodošli v razredu "Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni" .

Če želite izvedeti več o odvodih sinusov, kosinusov, tangentov in drugih trigonometrične funkcije, to je, ko je funkcija videti , potem lekcija za vas "Izvodi preprostih trigonometričnih funkcij" .

Primer 5. Poiščite odvod funkcije

rešitev. V tej funkciji vidimo produkt, katerega eden izmed faktorjev je kvadratni koren neodvisne spremenljivke, katere odvod smo spoznali v tabeli odvodov. Po pravilu razlikovanja produkta in vrednost tabele izpeljanka kvadratnega korena dobimo:

Primer 6. Poiščite odvod funkcije

rešitev. V tej funkciji vidimo količnik, katerega dividenda je kvadratni koren neodvisne spremenljivke. S pomočjo pravila za razlikovanje količnikov, ki smo ga ponovili in uporabili v primeru 4, in tabelarne vrednosti odvoda kvadratnega korena dobimo:

Če se želite znebiti ulomka v števcu, pomnožite števec in imenovalec z.