Zadeva:Enačba. Reševanje enačb na podlagi razmerja med dejanji seštevanja in odštevanja. Neznan izraz.
Namen lekcije: razvijati sposobnost reševanja enačb z neznan izraz na podlagi razmerja med dejanji seštevanja in odštevanja; razvoj spretnosti seštevanja in odštevanja desetic; ponavljanje znanja o geometrijske oblike; negovanje zanimanja za matematiko.
Med poukom
2. Posodabljanje osnovno znanje, spretnosti in sposobnosti.
1. Igra "Pokaži znak." Učitelj prebere naloge:
Kupila sem 10 kuvert brez znamk. Nalepila sem znamke na 4 kuverte. Koliko kuvert je ostalo brez znamk?
Album vsebuje 8 barvnih fotografij in 3 manj črno-belih fotografij. Koliko črno-belih fotografij je v albumu?
Nabrali smo 7 pločevink malin in 3 pločevinke ribeza. Koliko kozarcev jagod si nabral?
V šopku je 5 rumenih in 8 belih nageljnov. Koliko rumenih nageljnov manj?
V škatli je 8 tort. Koliko tort je treba vzeti iz škatle, da bo v njej ostalo 5 tort?
Drsališče so zapustili 4 fantje, preostalih 6 pa je nadaljevalo z drsanjem. Koliko fantov je bilo najprej na drsališču?
2. Na kartončkih med vnosi poišči enačbe in jih podčrtaj z eno črto (po ravnilu). Na kartah je opomba.
4 + 5 = 9 7 – a = 3 6 + b x 4 4 + y = 6
3. Poiščite rešitev vsake enačbe. Zapišite.
7 + x = 9 8 – y = 2 3 + a = 9
3. Študij novega gradiva.
p priprava na dojemanje nove snovi učitelj
Naredi štiri primere.
50 + 40 = 90 90 - 40 = 50
40 + 50 = 90 90 - 50 = 40
Nato rešite enačbe.
50 + x = 90 x + 40 = 90
X=90 – 50 x= 90 - 40
X=40 x=50_____
50+40=90 50+40=90
Koren enačbe lahko najdete ali pa uporabite znanje o razmerju med seštevanjem in odštevanjem. Rešitev enačbe je treba preveriti. Če od vsote odštejemo en člen, dobimo drugega.
4. Utrjevanje
Znaloga 2 v zvezkih. Reši enačbe in preveri.
Naloga 4 str. 187. katere oblike vidite na sliki? Katere se sekajo?
5.Delo v zvezku. Od 23
Naloga 3. reševanje problema s komentiranjem na kraju samem
6. Delo na metodološki temi. usmerjen v razvoj logično razmišljanje. Naučite se graditi logične izjave.
Naloga 4 od 24
Naloga5. str 187. Katero darilo je težje? Kateri je lažji?
7. Domača naloga od 23 z 1 8. Povzetek lekcije
Enačbe so ena od težke teme za asimilacijo, a hkrati zadostujejo močno orodje za rešitev večine težav.
Za opis se uporabljajo enačbe različne procese, ki se pojavljajo v naravi. Enačbe se pogosto uporabljajo v drugih vedah: ekonomiji, fiziki, biologiji in kemiji.
IN to lekcijo Poskušali bomo razumeti bistvo najenostavnejših enačb, se naučili izražati neznanke in rešiti več enačb. Ko se učite novih snovi, bodo enačbe postale bolj zapletene, zato je razumevanje osnov zelo pomembno.
Predhodne veščine Vsebina lekcijeKaj je enačba?
Enačba je enačba, ki vsebuje spremenljivko, katere vrednost želite najti. Ta vrednost mora biti taka, da ko jo zamenjate v izvirna enačba je bila dosežena pravilna numerična enakost.
Na primer, izraz 2 + 2 = 4 je enakost. Pri izračunu leve strani dobimo pravilno številsko enakost 4 = 4.
Toda enakost je 2 + x= 4 je enačba, ker vsebuje spremenljivko x, katerega vrednost je mogoče najti. Vrednost mora biti takšna, da se pri zamenjavi te vrednosti v izvirno enačbo dobi pravilna numerična enakost.
Z drugimi besedami, najti moramo vrednost, pri kateri bi znak enačaja upravičil njegovo lokacijo - leva stran mora biti enaka desni strani.
Enačba 2 + x= 4 je osnovno. Spremenljiva vrednost x je enako številu 2. Za katero koli drugo vrednost enakost ne bo upoštevana
Pravijo, da je številka 2 korenina oz reševanje enačbe 2 + x = 4
Root oz rešitev enačbe- to je vrednost spremenljivke, pri kateri se enačba spremeni v pravo numerično enakost.
Lahko je več korenin ali pa sploh nobena. Reši enačbo pomeni najti njene korenine ali dokazati, da jih ni.
Spremenljivka, vključena v enačbo, se drugače imenuje neznano. Pravico imate, da temu rečete, kakor želite. To so sinonimi.
Opomba. Besedna zveza "reši enačbo" govori sama zase. Reševanje enačbe pomeni "izenačenje" enačbe - njeno uravnoteženje, tako da je leva stran enaka desni strani.
Izrazite eno stvar skozi drugo
Preučevanje enačb se tradicionalno začne z učenjem izražanja enega števila, vključenega v enačbo, skozi več drugih. Ne prekinjajmo te tradicije in storimo enako.
Razmislite o naslednjem izrazu:
8 + 2
Ta izraz je vsota števil 8 in 2. Pomen podani izraz enako 10
8 + 2 = 10
Imamo enakost. Sedaj lahko poljubno število iz te enačbe izrazite prek drugih števil, vključenih v isto enakost. Na primer, izrazimo številko 2.
Če želite izraziti številko 2, morate postaviti vprašanje: "kaj je treba narediti s številkama 10 in 8, da dobimo številko 2." Jasno je, da morate za pridobitev števila 2 od števila 10 odšteti število 8.
To počnemo. Zapišemo število 2 in z enačajem povemo, da smo za pridobitev tega števila 2 od števila 10 odšteli število 8:
2 = 10 − 8
Iz enačbe 8 + 2 = 10 smo izrazili število 2. Kot lahko vidite iz primera, v tem ni nič zapletenega.
Pri reševanju enačb, zlasti pri izražanju ene številke z drugimi, je primerno enačaj zamenjati z besedo " Tukaj je" . To je treba storiti miselno in ne v samem izrazu.
Torej, če izrazimo število 2 iz enakosti 8 + 2 = 10, dobimo enakost 2 = 10 − 8. To enakost lahko beremo takole:
2 Tukaj je 10 − 8
Se pravi znak = nadomestiti z besedo "je". Poleg tega lahko enakost 2 = 10 − 8 prevedemo iz matematični jezik do polnopravnega človeški jezik. Potem se lahko bere takole:
številka 2 Tukaj je razlika med številom 10 in številom 8
številka 2 Tukaj je razlika med številom 10 in številom 8.
Vendar se bomo omejili le na zamenjavo enačaja z besedo »je« in tega ne bomo storili vedno. Elementarne izraze je mogoče razumeti brez prevajanja matematičnega jezika v človeški jezik.
Nastalo enakost 2 = 10 − 8 vrnemo v prvotno stanje:
8 + 2 = 10
Tokrat izrazimo število 8. Kaj je treba narediti s preostalimi števili, da dobimo število 8? Tako je, od števila 10 morate odšteti 2
8 = 10 − 2
Nastalo enakost 8 = 10 − 2 vrnimo v prvotno stanje:
8 + 2 = 10
Tokrat bomo izrazili število 10. Izkazalo pa se je, da desetice ni treba izraziti, saj je že izražena. Dovolj je, da zamenjamo levi in desni del, potem dobimo tisto, kar potrebujemo:
10 = 8 + 2
Primer 2. Upoštevajte enakost 8 − 2 = 6
Iz te enačbe izrazimo število 8. Da izrazimo število 8, moramo preostali dve števili sešteti:
8 = 6 + 2
Vrnimo dobljeno enakost 8 = 6 + 2 v prvotno stanje:
8 − 2 = 6
Iz te enačbe izrazimo število 2. Če želimo izraziti število 2, moramo od 8 odšteti 6
2 = 8 − 6
Primer 3. Upoštevajte enakost 3 × 2 = 6
Izrazimo število 3. Da izrazimo število 3, potrebujemo 6 deljeno z 2
Nastalo enakost vrnimo v prvotno stanje:
3 × 2 = 6
Izrazimo število 2 iz te enačbe. Da izrazimo število 2, potrebujemo 6 deljeno s 3
Primer 4. Upoštevajte enakost
Iz te enačbe izrazimo število 15. Da izrazimo število 15, moramo števili 3 in 5 pomnožiti
15 = 3 × 5
Nastalo enakost 15 = 3 × 5 vrnemo v prvotno stanje:
Iz te enačbe izrazimo število 5. Da izrazimo število 5, potrebujemo 15 deljeno s 3
Pravila iskanja neznank
Razmislimo o več pravilih za iskanje neznank. Morda so vam znane, vendar ne škodi, če jih še enkrat ponovite. V prihodnosti jih lahko pozabimo, saj se naučimo reševati enačbe brez uporabe teh pravil.
Vrnimo se k prvemu primeru, ki smo si ga ogledali v prejšnji temi, kjer je bilo treba v enačbi 8 + 2 = 10 izraziti število 2.
V enačbi 8 + 2 = 10 sta števili 8 in 2 člena, število 10 pa vsota.
Za izražanje števila 2 smo naredili naslednje:
2 = 10 − 8
To pomeni, da smo od vsote 10 odšteli člen 8.
Zdaj pa si predstavljajte, da je v enačbi 8 + 2 = 10 namesto števila 2 spremenljivka x
8 + x = 10
V tem primeru enakost 8 + 2 = 10 postane enačba 8 + x= 10 in spremenljivko x neznan izraz
Naša naloga je najti ta neznani člen, torej rešiti enačbo 8 + x= 10. Za iskanje neznanega izraza je na voljo naslednje pravilo:
Če želite najti neznani člen, morate znani člen odšteti od vsote.
Kar smo v bistvu storili, ko smo dva izrazili v enačbi 8 + 2 = 10. Da bi izrazili člen 2, smo od vsote 10 odšteli še en člen 8
2 = 10 − 8
Zdaj pa poiščite neznan izraz x, moramo znani člen 8 odšteti od vsote 10:
x = 10 − 8
Če izračunate desno stran dobljene enakosti, lahko ugotovite, čemu je spremenljivka enaka x
x = 2
Enačbo smo rešili. Spremenljiva vrednost x enako 2. Za preverjanje vrednosti spremenljivke x poslal v prvotno enačbo 8 + x= 10 in zamenjava x. Priporočljivo je, da to storite s katero koli rešeno enačbo, saj ne morete biti povsem prepričani, da je bila enačba pravilno rešena:
Kot rezultat
Enako pravilo bi veljalo, če bi bil neznan izraz prva številka 8.
x + 2 = 10
V tej enačbi x je neznani člen, 2 je znan člen, 10 je vsota. Iskanje neznanega izraza x, morate znani člen 2 odšteti od vsote 10
x = 10 − 2
x = 8
Vrnimo se k drugemu primeru iz prejšnje teme, kjer je bilo treba v enačbi 8 − 2 = 6 izraziti število 8.
V enačbi 8 − 2 = 6 je število 8 manjšec, število 2 odštevanec, število 6 pa razlika.
Za izražanje števila 8 smo naredili naslednje:
8 = 6 + 2
Se pravi, dodali smo razliko 6 in odšteti 2.
Zdaj pa si predstavljajte, da je v enačbi 8 − 2 = 6 namesto števila 8 spremenljivka x
x − 2 = 6
V tem primeru spremenljivka x prevzame vlogo t.i neznan minuend
Če želite najti neznani minuend, je na voljo naslednje pravilo:
Če želite najti neznani odštevanec, morate razliki prišteti odštevanec.
To smo storili, ko smo število 8 izrazili v enačbi 8 − 2 = 6. Da bi izrazili manjše število 8, smo razliki 6 prišteli odštevanec števila 2.
Zdaj, da poiščem neznani minuend x, moramo razliki 6 prišteti subtrahend 2
x = 6 + 2
Če izračunate desno stran, lahko ugotovite, čemu je spremenljivka enaka x
x = 8
Zdaj pa si predstavljajte, da je v enačbi 8 − 2 = 6 namesto števila 2 spremenljivka x
8 − x = 6
V tem primeru spremenljivka x prevzame vlogo neznani subtrahend
Za iskanje neznanega subtrahenda je na voljo naslednje pravilo:
Če želite najti neznani odštevanec, morate razliko odšteti od manjšega.
To smo storili, ko smo število 2 izrazili v enačbi 8 − 2 = 6. Da bi izrazili število 2, smo od manjšega 8 odšteli razliko 6.
Zdaj pa najdemo neznani subtrahend x, morate ponovno odšteti razliko 6 od manjšega 8
x = 8 − 6
Izračunamo desno stran in poiščemo vrednost x
x = 2
Vrnimo se k tretjemu primeru iz prejšnje teme, kjer smo v enačbi 3 × 2 = 6 poskušali izraziti število 3.
V enačbi 3 × 2 = 6 je število 3 množitelj, število 2 množitelj, število 6 zmnožek
Za izražanje števila 3 smo naredili naslednje:
To pomeni, da smo produkt 6 delili s faktorjem 2.
Zdaj pa si predstavljajte, da je v enačbi 3 × 2 = 6 namesto števila 3 spremenljivka x
x× 2 = 6
V tem primeru spremenljivka x prevzame vlogo neznani množitelj.
Za iskanje neznanega množitelja je na voljo naslednje pravilo:
Če želite najti neznani množitelj, morate produkt deliti s faktorjem.
To smo storili, ko smo iz enačbe 3 × 2 = 6 izrazili število 3. Zmnožek 6 smo delili s faktorjem 2.
Zdaj najdemo neznani množitelj x, morate produkt 6 deliti s faktorjem 2.
Izračun desne strani nam omogoča, da poiščemo vrednost spremenljivke x
x = 3
Enako pravilo velja, če spremenljivka x se nahaja namesto množitelja, ne množitelja. Predstavljajmo si, da je v enačbi 3 × 2 = 6 namesto števila 2 spremenljivka x.
V tem primeru spremenljivka x prevzame vlogo neznan množitelj . Za iskanje neznanega faktorja je predviden enak postopek kot za iskanje neznanega množitelja, namreč zmnožek delimo z znanim faktorjem:
Če želite najti neznan faktor, morate zmnožek deliti z množiteljem.
To smo storili, ko smo iz enačbe 3 × 2 = 6 izrazili število 2. Da bi dobili število 2, smo produkt števila 6 delili z množiteljem 3.
Zdaj pa poiščite neznani faktor x Zmnožek 6 smo delili z množiteljem 3.
Izračun desne strani enakosti vam omogoča, da ugotovite, čemu je x enak
x = 2
Množitelj in množitelj skupaj imenujemo faktorji. Ker sta pravila za iskanje množitelja in množitelja enaka, lahko oblikujemo splošno pravilo iskanje neznanega faktorja:
Če želite najti neznan faktor, morate produkt deliti z znanim faktorjem.
Na primer, rešimo enačbo 9 × x= 18. Spremenljivka x je neznan dejavnik. Če želite najti ta neznani faktor, morate produkt 18 deliti z znanim faktorjem 9
Rešimo enačbo x× 3 = 27. Spremenljivka x je neznan dejavnik. Če želite najti ta neznani faktor, morate produkt 27 deliti z znanim faktorjem 3
Vrnimo se k četrtemu primeru iz prejšnje teme, kjer smo v enačbi morali izraziti število 15. V tej enačbi je število 15 dividenda, število 5 delitelj, število 3 pa količnik.
Za izražanje števila 15 smo naredili naslednje:
15 = 3 × 5
To pomeni, da smo količnik 3 pomnožili z deliteljem 5.
Zdaj pa si predstavljajte, da je v enačbi namesto števila 15 spremenljivka x
V tem primeru spremenljivka x prevzame vlogo neznana dividenda.
Za iskanje neznane dividende je na voljo naslednje pravilo:
Če želite najti neznano dividendo, morate količnik pomnožiti z deliteljem.
To smo naredili, ko smo iz enačbe izrazili število 15. Da izrazimo število 15, pomnožimo količnik 3 z deliteljem 5.
Zdaj pa najti neznano dividendo x, morate količnik 3 pomnožiti z deliteljem 5
x= 3 × 5
x .
x = 15
Zdaj pa si predstavljajte, da je v enačbi namesto števila 5 spremenljivka x .
V tem primeru spremenljivka x prevzame vlogo neznani delitelj.
Za iskanje neznanega delitelja je na voljo naslednje pravilo:
To smo naredili, ko smo iz enačbe izrazili število 5. Da izrazimo število 5, delimo dividendo 15 s količnikom 3.
Zdaj pa poiščite neznani delitelj x, morate dividendo 15 deliti s količnikom 3
Izračunajmo desno stran nastale enakosti. Tako ugotovimo, čemu je spremenljivka enaka x .
x = 5
Torej, da bi našli neznanke, smo preučili naslednja pravila:
- Če želite najti neznani člen, morate znani člen odšteti od vsote;
- Če želite najti neznani odštevanec, morate razliki prišteti odštevanec;
- Če želite najti neznani odštevanec, morate razliko odšteti od manjšega;
- Če želite najti neznani množitelj, morate produkt deliti s faktorjem;
- Če želite najti neznan faktor, morate produkt deliti z množiteljem;
- Če želite najti neznano dividendo, morate količnik pomnožiti z deliteljem;
- Če želite najti neznani delitelj, morate dividendo deliti s količnikom.
Komponente
Komponente bomo imenovali števila in spremenljivke, vključene v enačbo
Torej, sestavine dodatka so pogoji in vsota
Komponente odštevanja so minuend, subtrahend in Razlika
Komponente množenja so množitelj, dejavnik in delo
Sestavine deljenja so dividenda, delitelj in količnik.
Glede na to, s katerimi komponentami imamo opravka, bodo veljala ustrezna pravila za iskanje neznank. Ta pravila smo preučevali v prejšnji temi. Pri reševanju enačb je priporočljivo znati ta pravila na pamet.
Primer 1. Poiščite koren enačbe 45 + x = 60
45 - termin, x- neznan izraz, 60 - vs. Ukvarjamo se s sestavinami seštevanja. Spomnimo se, da morate za iskanje neznanega člena znani člen odšteti od vsote:
x = 60 − 45
Izračunajmo desno stran in dobimo vrednost x enako 15
x = 15
Torej je koren enačbe 45 + x= 60 je enako 15.
Najpogosteje je treba neznani izraz reducirati na obliko, v kateri bi se lahko izrazil.
Primer 2. Reši enačbo
Tu, za razliko od prejšnjega primera, neznanega člena ni mogoče izraziti takoj, saj vsebuje koeficient 2. Naša naloga je, da to enačbo spravimo v obliko, v kateri jo je mogoče izraziti x
V tem primeru imamo opravka s komponentami seštevanja – členi in vsota. 2 x je prvi člen, 4 je drugi člen, 8 je vsota.
V tem primeru termin 2 x vsebuje spremenljivko x. Po ugotovitvi vrednosti spremenljivke x termin 2 x bo dobil drugačen videz. Zato termin 2 x lahko popolnoma razumemo kot neznan izraz:
Zdaj uporabimo pravilo za iskanje neznanega člena. Od vsote odštejte znani člen:
Izračunajmo desno stran dobljene enačbe:
Imamo novo enačbo. Zdaj imamo opravka s komponentami množenja: množiteljem, množiteljem in zmnožkom. 2 - množitelj, x- množitelj, 4 - produkt
V tem primeru spremenljivka x ni samo množitelj, ampak neznan množitelj
Če želite najti ta neznani faktor, morate produkt deliti z množiteljem:
Izračunajmo desno stran in dobimo vrednost spremenljivke x
Če želite preveriti, pošljite najdeni koren v prvotno enačbo in jo nadomestite x
Primer 3. Reši enačbo 3x+ 9x+ 16x= 56
Takoj izrazite neznano x je prepovedano. Najprej morate prinesti podana enačba na obliko, v kateri bi se lahko izrazila.
Na levi strani te enačbe predstavljamo:
Opravka imamo s komponentami množenja. 28 - množitelj, x- množitelj, 56 - produkt. pri čemer x je neznan dejavnik. Če želite najti neznan faktor, morate produkt deliti z množiteljem:
Od tod x enako 2
Ekvivalentne enačbe
V prejšnjem primeru pri reševanju enačbe 3x + 9x + 16x = 56 , smo prinesli podobni pogoji na levi strani enačbe. Kot rezultat smo dobili novo enačbo 28 x= 56. Stara enačba 3x + 9x + 16x = 56 in nastala nova enačba 28 x= 56 se imenuje ekvivalentne enačbe, saj se njihove korenine ujemajo.
Enačbe se imenujejo ekvivalentne, če njihove korenine sovpadajo.
Preverimo. Za enačbo 3x+ 9x+ 16x= 56 našli smo koren, ki je enak 2. Najprej nadomestimo ta koren v enačbo 3x+ 9x+ 16x= 56 in nato v enačbo 28 x= 56, ki smo ga dobili s premestitvijo podobnih členov na levo stran prejšnje enačbe. Dobiti moramo pravilne številske enakosti
Glede na vrstni red operacij se najprej izvede množenje:
Nadomestimo koren 2 v drugo enačbo 28 x= 56
Vidimo, da imata obe enačbi enake korene. Torej enačbe 3x+ 9x+ 16x= 6 in 28 x= 56 sta dejansko enakovredna.
Za rešitev enačbe 3x+ 9x+ 16x= 56 Uporabili smo enega od njih - zmanjšanje podobnih izrazov. Pravilna identitetna transformacija enačbe nam je omogočila, da dobimo ekvivalentno enačbo 28 x= 56, kar je lažje rešiti.
Od transformacije identitete na ta trenutek znamo le zmanjševati ulomke, dodajati podobne člene, odvzemati skupni množiteljčez oklepaje in tudi odprite oklepaje. Obstajajo tudi druge pretvorbe, ki se jih morate zavedati. Ampak za splošna ideja o identičnih transformacijah enačb so teme, ki smo jih preučevali, povsem dovolj.
Oglejmo si nekaj transformacij, ki nam omogočajo, da dobimo ekvivalentno enačbo
Če obema stranema enačbe prištejete enako število, dobite enačbo, ki je enakovredna dani.
in podobno:
Če od obeh strani enačbe odštejemo isto število, dobimo enačbo, ki je enakovredna dani.
Z drugimi besedami, koren enačbe se ne bo spremenil, če se isto število doda (ali odšteje od obeh strani) istemu številu.
Primer 1. Reši enačbo 
Odštejte 10 od obeh strani enačbe
Dobili smo enačbo 5 x= 10. Opravka imamo s komponentami množenja. Najti neznan faktor x, morate produkt 10 deliti z znanim faktorjem 5.
in nadomestek x najdena vrednost 2
Dobili smo pravilno številsko enakost. To pomeni, da je enačba pravilno rešena.
Reševanje enačbe od obeh strani enačbe smo odšteli število 10. Kot rezultat smo dobili ekvivalentno enačbo. Koren te enačbe, tako kot enačba je tudi enako 2
Primer 2. Reši enačbo 4( x+ 3) = 16
Odštejte število 12 od obeh strani enačbe
Na levi strani bodo ostali 4 x, na desni pa številka 4
Dobili smo enačbo 4 x= 4. Opravka imamo s komponentami množenja. Najti neznan faktor x, morate produkt 4 deliti z znanim faktorjem 4
Vrnimo se k prvotni enačbi 4( x+ 3) = 16 in zamenjava x najdena vrednost 1
Dobili smo pravilno številsko enakost. To pomeni, da je enačba pravilno rešena.
Reševanje enačbe 4( x+ 3) = 16 smo od obeh strani enačbe odšteli število 12. Kot rezultat smo dobili ekvivalentno enačbo 4 x= 4. Koren te enačbe, tako kot enačba 4( x+ 3) = 16 je tudi enako 1
Primer 3. Reši enačbo 
Razširimo oklepaje na levi strani enačbe:
Obema stranema enačbe dodajte število 8
Predstavimo podobne izraze na obeh straneh enačbe:
Na levi strani bosta ostala 2 x, na desni pa številka 9
V nastali enačbi 2 x= 9 izrazimo neznani člen x
Vrnimo se k prvotni enačbi in nadomestek x najdena vrednost 4,5
Dobili smo pravilno številsko enakost. To pomeni, da je enačba pravilno rešena.
Reševanje enačbe dodali smo število 8 na obe strani enačbe. Kot rezultat smo dobili enakovredno enačbo. Koren te enačbe, tako kot enačba prav tako enako 4,5
Naslednje pravilo, ki nam omogoča, da dobimo ekvivalentno enačbo, je naslednje
Če člen v enačbi premaknete iz enega dela v drugega in mu spremenite predznak, boste dobili enačbo, ki je enakovredna dani.
To pomeni, da se koren enačbe ne bo spremenil, če člen premaknemo iz enega dela enačbe v drugega in mu spremenimo predznak. Ta lastnost je ena izmed pomembnih in ena izmed pogosto uporabljenih pri reševanju enačb.
Razmislite o naslednji enačbi:
Koren te enačbe je enak 2. Zamenjajmo x ta koren in preverite, ali je številčna enakost pravilna
Rezultat je pravilna enakost. To pomeni, da je število 2 res koren enačbe.
Poskusimo zdaj eksperimentirati s členi te enačbe, jih premikati iz enega dela v drugega in spreminjati predznake.
Na primer izraz 3 x se nahaja na levi strani enačbe. Premaknimo ga na desno stran in spremenimo znak v nasprotno:
Rezultat je enačba 12 = 9x − 3x . na desni strani te enačbe:
x je neznan dejavnik. Poiščimo ta dobro znani dejavnik:
Od tod x= 2. Kot lahko vidite, se koren enačbe ni spremenil. Enačbe so torej 12 + 3 x = 9x in 12 = 9x − 3x so enakovredne.
Pravzaprav je ta transformacija poenostavljena metoda prejšnje transformacije, kjer je bilo obema stranema enačbe dodano (ali odšteto) isto število.
To smo rekli v enačbi 12 + 3 x = 9x termin 3 x je bil premaknjen na desno stran in spremenil predznak. V resnici se je zgodilo naslednje: člen 3 je bil odštet od obeh strani enačbe x
Nato so bili podobni členi podani na levi strani in nastala je enačba 12 = 9x − 3x. Nato so bili spet podani podobni členi, vendar na desni strani, in nastala je enačba 12 = 6 x.
Toda tako imenovani "prevod" je bolj primeren za takšne enačbe, zato je postal tako razširjen. Pri reševanju enačb bomo pogosto uporabljali to posebno transformacijo.
Enakovredne sta tudi enačbi 12 + 3 x= 9x in 3x− 9x= −12 . Tokrat v enačbi 12 + 3 x= 9xčlen 12 smo premaknili na desno stran, člen 9 pa x levo. Ne smemo pozabiti, da so bili znaki teh izrazov spremenjeni med prenosom
Naslednje pravilo, ki nam omogoča, da dobimo enakovredno enačbo, je naslednje:
Če obe strani enačbe pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni enako nič, dobimo enačbo, ki je enaka dani.
Z drugimi besedami, koreni enačbe se ne bodo spremenili, če obe strani pomnožimo ali delimo z istim številom. To dejanje se pogosto uporablja, ko morate rešiti enačbo, ki vsebuje ulomki izrazi.
Najprej si poglejmo primere, v katerih bosta obe strani enačbe pomnoženi z istim številom.
Primer 1. Reši enačbo
Pri reševanju enačb, ki vsebujejo ulomke, je običajno, da enačbo najprej poenostavimo.
IN v tem primeru imamo opravka s prav takšno enačbo. Za poenostavitev te enačbe lahko obe strani pomnožimo z 8:
Ne pozabimo, da moramo za števec danega ulomka pomnožiti s tem številom. Imamo dva ulomka in vsakega od njiju pomnožimo s številom 8. Naša naloga je pomnožiti števce ulomkov s tem številom 8
Zdaj se zgodi zanimiv del. Števci in imenovalci obeh ulomkov vsebujejo faktor 8, ki ga je mogoče zmanjšati za 8. Tako se bomo znebili izraza v ulomkih:
Posledično ostane najpreprostejša enačba
No, ni težko uganiti, da je koren te enačbe 4
x najdena vrednost 4
Rezultat je pravilna številčna enakost. To pomeni, da je enačba pravilno rešena.
Pri reševanju te enačbe smo obe strani pomnožili z 8. Kot rezultat smo dobili enačbo. Koren te enačbe je tako kot enačba 4. To pomeni, da sta ti enačbi enakovredni.
Faktor, s katerim pomnožimo obe strani enačbe, je običajno zapisan pred delom enačbe in ne za njim. Pri reševanju enačbe smo obe strani pomnožili s faktorjem 8 in dobili naslednji vnos:
To ni spremenilo korena enačbe, a če bi to storili v šoli, bi bili deležni graje, saj je v algebri navada, da se faktor zapiše pred izraz, s katerim se množi. Zato je priporočljivo prepisati množenje obeh strani enačbe s faktorjem 8, kot sledi:
Primer 2. Reši enačbo 
Na levi strani lahko faktorja 15 zmanjšamo za 15, na desni strani pa faktorja 15 in 5 za 5
Odprimo oklepaje na desni strani enačbe:
Prestavimo izraz x z leve strani enačbe na desno stran, pri čemer spremenimo predznak. In premaknemo člen 15 z desne strani enačbe na levo stran in spet spremenimo predznak:
Predstavimo podobne izraze na obeh straneh, dobimo
Opravka imamo s komponentami množenja. Spremenljivka x
Vrnimo se k prvotni enačbi in nadomestek x najdena vrednost 5
Rezultat je pravilna številčna enakost. To pomeni, da je enačba pravilno rešena. Pri reševanju te enačbe smo obe strani pomnožili s 15. Z nadaljnjimi enakimi transformacijami smo dobili enačbo 10 = 2 x. Koren te enačbe, tako kot enačba enako 5. To pomeni, da sta ti enačbi enakovredni.
Primer 3. Reši enačbo
Na levi strani lahko zmanjšate dve trojki in desni del bo enako 18
Ostaja najpreprostejša enačba. Opravka imamo s komponentami množenja. Spremenljivka x je neznan dejavnik. Poiščimo ta dobro znani dejavnik:
Vrnimo se k prvotni enačbi in nadomestimo x najdena vrednost 9
Rezultat je pravilna številčna enakost. To pomeni, da je enačba pravilno rešena.
Primer 4. Reši enačbo 
Pomnožite obe strani enačbe s 6
Odprimo oklepaje na levi strani enačbe. Na desni strani lahko faktor 6 dvignemo na števec:
Zmanjšajmo, kar je mogoče zmanjšati na obeh straneh enačb:
Prepišemo, kar nam je ostalo:
Uporabimo prenos izrazov. Izrazi, ki vsebujejo neznano x, združimo na levi strani enačbe, člene brez neznank pa na desni:
Predstavimo podobne pojme v obeh delih:
Zdaj pa poiščimo vrednost spremenljivke x. Če želite to narediti, produkt 28 delite z znanim faktorjem 7
Od tod x= 4.
Vrnimo se k prvotni enačbi in nadomestek x najdena vrednost 4
Rezultat je pravilna numerična enačba. To pomeni, da je enačba pravilno rešena.
Primer 5. Reši enačbo 
Odprimo oklepaje na obeh straneh enačbe, kjer je to mogoče:
Pomnožite obe strani enačbe s 15
Odprimo oklepaje na obeh straneh enačbe:
Zmanjšajmo, kar je mogoče zmanjšati na obeh straneh enačbe:
Prepišemo, kar nam je ostalo:
Razširimo oklepaje, kjer je to mogoče:
Uporabimo prenos izrazov. Na levi strani enačbe združimo člene, ki vsebujejo neznanke, na desni pa člene brez neznank. Ne pozabite, da med prenosom izrazi spremenijo predznak v nasprotno:
Predstavimo podobne izraze na obeh straneh enačbe:
Poiščimo vrednost x
Nastali odgovor lahko razdelimo na cel del:
Vrnimo se k prvotni enačbi in nadomestimo x najdeno vrednost
Izkazalo se je, da je precej okoren izraz. Uporabimo spremenljivke. Vstavimo levo stran enakosti v spremenljivko A, in desno stran enakosti v spremenljivko B
Naša naloga je preveriti, ali je leva stran enaka desni. Z drugimi besedami, dokažite enakost A = B
Poiščimo vrednost izraza v spremenljivki A.
Spremenljiva vrednost A enako . Zdaj pa poiščimo vrednost spremenljivke B. To je vrednost desne strani naše enakosti. Če je tudi enako, bo enačba pravilno rešena
Vidimo, da je vrednost spremenljivke B, prav tako je vrednost spremenljivke A . To pomeni, da je leva stran enaka desni strani. Iz tega sklepamo, da je enačba pravilno rešena.
Zdaj pa poskusimo ne pomnožiti obeh strani enačbe z istim številom, ampak deliti.
Razmislite o enačbi 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Rešimo to običajna metoda: izrazi, ki vsebujejo neznanke, so združeni na levi strani enačbe, členi brez neznank pa na desni. Nato z izvajanjem znanih transformacij identitete najdemo vrednost x
Namesto tega najdeno vrednost nadomestimo z 2 x v prvotno enačbo:
Zdaj pa poskusimo ločiti vse člene enačbe 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 z nekim številom, upoštevajte, da imajo vsi členi te enačbe skupni faktor 2. Vsak člen delimo z njim:
Izvedimo zmanjšanje v vsakem izrazu:
Prepišemo, kar nam je ostalo:
Rešimo to enačbo z dobro znanimi transformacijami identitete:
Dobili smo root 2. Torej enačbe 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 in 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 so enakovredne.
Če obe strani enačbe delite z istim številom, lahko iz koeficienta odstranite neznanko. V prejšnjem primeru, ko smo dobili enačbo 7 x= 14, smo morali produkt 14 deliti z znanim faktorjem 7. Toda če bi neznano osvobodili faktorja 7 na levi strani, bi koren našli takoj. Če želite to narediti, je bilo dovolj, da obe strani delite s 7
Tudi to metodo bomo pogosto uporabljali.
Množenje z minus ena
Če obe strani enačbe pomnožimo z minus ena, dobimo enačbo, ki je enakovredna tej.
To pravilo izhaja iz dejstva, da množenje (ali deljenje) obeh strani enačbe z istim številom ne spremeni korena dane enačbe. To pomeni, da se koren ne bo spremenil, če oba njegova dela pomnožimo z −1.
To pravilo vam omogoča spreminjanje predznakov vseh komponent, vključenih v enačbo. Čemu služi? Še enkrat, da dobimo enakovredno enačbo, ki jo je lažje rešiti.
Razmislite o enačbi. zakaj enak korenu ta enačba?
Obema stranema enačbe dodajte število 5
Poglejmo si podobne izraze:
Zdaj pa se spomnimo približno. Kaj je leva stran enačbe? To je produkt minus ena in spremenljivke x
To je znak minus pred spremenljivko x se ne nanaša na samo spremenljivko x, ampak na eno, ki pa je ne vidimo, saj koeficient 1 običajno ni zapisan. To pomeni, da je enačba dejansko videti takole:
Opravka imamo s komponentami množenja. Najti X, morate produkt −5 deliti z znanim faktorjem −1.
ali delite obe strani enačbe z −1, kar je še preprosteje
Torej je koren enačbe 5. Za preverjanje ga nadomestimo z izvirno enačbo. Ne pozabite, da je v izvirni enačbi minus pred spremenljivko x se nanaša na nevidno enoto
Rezultat je pravilna numerična enačba. To pomeni, da je enačba pravilno rešena.
Zdaj pa poskusimo obe strani enačbe pomnožiti z minus ena:
Po odprtju oklepajev se izraz oblikuje na levi strani, desna stran pa bo enaka 10
Koren te enačbe je tako kot enačba 5
To pomeni, da sta enačbi enakovredni.
Primer 2. Reši enačbo
V tej enačbi so vse komponente negativne. Primerneje je delati s pozitivnimi komponentami kot z negativnimi, zato spremenimo predznake vseh komponent, vključenih v enačbo. Če želite to narediti, pomnožite obe strani te enačbe z −1.
Jasno je, da bo vsako število, ko ga pomnožimo z −1, spremenilo predznak v nasprotno. Zato postopka množenja z −1 in odpiranja oklepajev ne opisujemo podrobneje, temveč takoj zapišemo komponente enačbe z nasprotnimi predznaki.
Tako lahko množenje enačbe z −1 podrobno zapišemo na naslednji način:
ali pa preprosto spremenite znake vseh komponent:
Rezultat bo enak, razlika pa bo v tem, da si bomo prihranili čas.
Če torej pomnožimo obe strani enačbe z −1, dobimo enačbo. Rešimo to enačbo. Od obeh strani odštejte 4 in obe strani delite s 3
Ko najdemo koren, se navadno spremenljivka zapiše na levo stran, njena vrednost pa na desno, kar smo tudi storili.
Primer 3. Reši enačbo
Pomnožimo obe strani enačbe z −1. Nato bodo vse komponente spremenile svoje znake v nasprotne:
Od obeh strani dobljene enačbe odštejte 2 x in podajte podobne pogoje:
Dodajmo enega na obe strani enačbe in podamo podobne izraze: 
Enačenje na nič
Nedavno smo izvedeli, da če člen v enačbi premaknemo iz enega dela v drugega in mu spremenimo predznak, dobimo enačbo, ki je enakovredna dani.
Kaj se zgodi, če iz enega dela v drugega premaknete ne samo en izraz, ampak vse izraze? Tako je, v delu, kjer so bili odvzeti vsi členi, bo ostala ničla. Z drugimi besedami, nič ne bo ostalo.
Kot primer razmislite o enačbi. Rešimo to enačbo kot običajno - v enem delu bomo združili člene, ki vsebujejo neznanke, v drugem pa pustimo številske člene brez neznank. Nato z izvajanjem znanih identitetnih transformacij poiščemo vrednost spremenljivke x
Zdaj pa poskusimo rešiti isto enačbo tako, da vse njene komponente enačimo z nič. Da bi to naredili, premaknemo vse izraze z desne strani na levo in spremenimo znake:
Predstavimo podobne izraze na levi strani:
Obema stranema dodajte 77 in obe strani delite s 7
Alternativa pravilom iskanja neznank
Očitno vam ni treba zapomniti pravil za iskanje neznank, če poznate identične transformacije enačb.
Na primer, da bi našli neznanko v enačbi, smo produkt 10 delili z znanim faktorjem 2
Če pa obe strani enačbe delite z 2, bo koren najden takoj. Na levi strani enačbe v števcu bo faktor 2 in v imenovalcu faktor 2 zmanjšan za 2. Desna stran pa bo enaka 5
Reševali smo enačbe oblike z izrazom neznanega člena:
Lahko pa uporabite enake transformacije, ki smo jih preučevali danes. V enačbi lahko člen 4 premaknemo na desno stran s spremembo predznaka:
Na levi strani enačbe se bosta dve dvojki izničili. Desna stran bo enaka 2. Zato .
Ali pa bi lahko odšteli 4 od obeh strani enačbe, potem bi dobili naslednje:
V primeru enačb oblike je primerneje produkt deliti z znanim faktorjem. Primerjajmo obe rešitvi:
Prva rešitev je veliko krajša in bolj urejena. Drugo rešitev lahko bistveno skrajšate, če delitev naredite v glavi.
Vendar pa je treba poznati oba načina in šele nato uporabiti tistega, ki vam je ljubši.
Ko je več korenin
Enačba ima lahko več korenin. Na primer enačba x(x+ 9) = 0 ima dva korena: 0 in −9.
V enačbi x(x+ 9) = 0 je bilo treba najti tako vrednost x pri kateri bi bila leva stran enaka nič. Leva stran te enačbe vsebuje izraze x in (x+9), ki so dejavniki. Iz produktnih zakonov vemo, da je produkt enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enako nič(bodisi prvi faktor bodisi drugi).
Se pravi, v enačbi x(x+ 9) = 0 bo enakost dosežena, če x bo enaka nič oz (x+9) bo enako nič.
x= 0 oz x + 9 = 0
Če oba izraza nastavimo na nič, lahko najdemo korenine enačbe x(x+ 9) = 0 . Prvi koren, kot je razvidno iz primera, je bil najden takoj. Če želite najti drugi koren, morate rešiti elementarna enačba x+ 9 = 0 . Zlahka je uganiti, da je koren te enačbe −9. Preverjanje pokaže, da je koren pravilen:
−9 + 9 = 0
Primer 2. Reši enačbo
Ta enačba ima dva korena: 1 in 2. Leva stran enačba je produkt izrazov ( x− 1) in ( x− 2) . In produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič (ali faktor ( x− 1) ali faktor ( x − 2) ).
Poiščimo nekaj takega x pod katerimi so izrazi ( x− 1) ali ( x− 2) postane nič:
Najdene vrednosti eno za drugo nadomestimo v prvotno enačbo in poskrbimo, da je za te vrednosti leva stran enaka nič:
Ko je korenin neskončno veliko
Enačba ima lahko neskončno veliko korenin. To pomeni, da s substitucijo poljubnega števila v takšno enačbo dobimo pravilno številsko enakost.
Primer 1. Reši enačbo 
Koren te enačbe je poljubno število. Če odpremo oklepaje na levi strani enačbe in dodamo podobne člene, dobimo enakost 14 = 14. Ta enakost bo dosežena za katero koli x
Primer 2. Reši enačbo
Koren te enačbe je poljubno število. Če odpremo oklepaje na levi strani enačbe, dobimo enakost 10x + 12 = 10x + 12. Ta enakost bo dosežena za katero koli x
Ko ni korenin
Zgodi se tudi, da enačba sploh nima rešitev, torej nima korenin. Na primer, enačba nima korenin, saj za katero koli vrednost x, leva stran enačbe ne bo enaka desni strani. Na primer, naj. Potem bo enačba dobila naslednjo obliko
Primer 2. Reši enačbo
Razširimo oklepaje na levi strani enačbe:
Poglejmo si podobne izraze:
Vidimo, da leva stran ni enaka desni strani. In to bo veljalo za katero koli vrednost. l. Na primer, naj l = 3 .
Črkovne enačbe
Enačba lahko vsebuje ne le številke s spremenljivkami, ampak tudi črke.
Na primer, formula za iskanje hitrosti je dobesedna enačba:
Ta enačba opisuje hitrost telesa med enakomerno pospešenim gibanjem.
Uporabna veščina je sposobnost izražanja katere koli komponente, ki je vključena v črkovno enačbo. Če želite na primer določiti razdaljo od enačbe, morate izraziti spremenljivko s .
Pomnožite obe strani enačbe z t
Spremenljivke na desni strani t zmanjšajmo za t
V dobljeni enačbi zamenjamo levo in desno stran:
Imamo formulo za iskanje razdalje, ki smo jo preučili prej.
Poskusimo določiti čas iz enačbe. Če želite to narediti, morate izraziti spremenljivko t .
Pomnožite obe strani enačbe z t
Spremenljivke na desni strani t zmanjšajmo za t in prepišemo, kar nam je ostalo:
V nastali enačbi v×t = s oba dela razdelite na v
Spremenljivke na levi v zmanjšajmo za v in prepišemo, kar nam je ostalo:
Imamo formulo za določanje časa, ki smo jo preučevali prej.
Recimo, da je hitrost vlaka 50 km/h
v= 50 km/h
In razdalja je 100 km
s= 100 km
Nato bo pismo dobilo naslednjo obliko
Čas je mogoče najti iz te enačbe. Če želite to narediti, morate biti sposobni izraziti spremenljivko t. Pravilo za iskanje neznanega delitelja lahko uporabite tako, da dividendo delite s količnikom in tako določite vrednost spremenljivke t
lahko pa uporabite enake transformacije. Najprej pomnožite obe strani enačbe s t
Nato obe strani delite s 50
Primer 2 x
Odštejte od obeh strani enačbe a
Razdelimo obe strani enačbe z b
a + bx = c, potem bomo imeli že pripravljena rešitev. Dovolj bo, da ga nadomestite zahtevane vrednosti. Tiste vrednosti, ki bodo nadomestile črke a, b, c navadno imenovani parametri. In enačbe oblike a + bx = c klical enačba s parametri. Odvisno od parametrov se bo koren spremenil.
Rešimo enačbo 2 + 4 x= 10. Izgleda kot črkovna enačba a + bx = c. Namesto izvajanja identičnih transformacij lahko uporabimo že pripravljeno rešitev. Primerjajmo obe rešitvi:
Vidimo, da je druga rešitev veliko preprostejša in krajša.
Za pripravljeno rešitev morate narediti majhna opomba. Parameter b ne sme biti enaka nič (b ≠ 0), saj je deljenje z ničlo dovoljeno.
Primer 3. Podana je dobesedna enačba. Izrazite iz te enačbe x
Odprimo oklepaje na obeh straneh enačbe
Uporabimo prenos izrazov. Parametri, ki vsebujejo spremenljivko x, grupiramo na levi strani enačbe, parametre brez te spremenljivke pa na desni.
Na levi strani vzamemo faktor iz oklepaja x
Razdelimo obe strani z izrazom a − b
Na levi strani lahko števec in imenovalec zmanjšamo za a − b. Tako je spremenljivka končno izražena x
Zdaj, če naletimo na enačbo oblike a(x − c) = b(x + d), potem bomo imeli že pripravljeno rešitev. Dovolj bo, da vanj nadomestite zahtevane vrednosti.
Recimo, da nam je dana enačba 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Izgleda kot enačba a(x − c) = b(x + d). Rešimo ga na dva načina: z uporabo enakih transformacij in z uporabo že pripravljene rešitve:
Zaradi udobja ga izločimo iz enačbe 4(x− 3) = 2(x+ 4) vrednosti parametrov a, b, c, d . Tako ne bomo naredili napake pri zamenjavi:
Tako kot v prejšnjem primeru, imenovalec tukaj ne sme biti enak nič ( a − b ≠ 0) . Če naletimo na enačbo oblike a(x − c) = b(x + d) v katerem so parametri a in b bo enaka, lahko rečemo, ne da bi jo rešili, da ta enačba nima korenin, saj razlika enake številke enako nič.
Na primer enačba 2(x − 3) = 2(x + 4) je enačba oblike a(x − c) = b(x + d). V enačbi 2(x − 3) = 2(x + 4) opcije a in b enako. Če jo začnemo reševati, bomo prišli do zaključka, da leva stran ne bo enaka desni strani:
Primer 4. Podana je dobesedna enačba. Izrazite iz te enačbe x
Spravimo levo stran enačbe na skupni imenovalec:
Pomnožite obe strani s a
Na levi strani x dajmo iz oklepaja
Obe strani delite z izrazom (1 − a)
Linearne enačbe z eno neznanko
Enačbe, obravnavane v tej lekciji, se imenujejo linearne enačbe prve stopnje z eno neznanko.
Če je enačba podana na prvo stopnjo, ne vsebuje delitve z neznanko in tudi ne vsebuje korenin iz neznanke, jo lahko imenujemo linearna. Moči in korenin še nismo preučevali, zato bomo besedo »linearno« razumeli kot »preprosto«, da si ne bomo komplicirali življenja.
Večina enačb, rešenih v tej lekciji, je na koncu prišla do preproste enačbe, v kateri ste morali produkt deliti z znanim faktorjem. Na primer, to je enačba 2( x+ 3) = 16 . Rešimo to.
Odpremo oklepaje na levi strani enačbe, dobimo 2 x+ 6 = 16. Premaknimo člen 6 na desno stran in spremenimo predznak. Potem dobimo 2 x= 16 − 6. Izračunamo desno stran, dobimo 2 x= 10. Najti x, delite produkt 10 z znanim faktorjem 2. Zato x = 5.
Enačba 2( x+ 3) = 16 je linearna. Pride do enačbe 2 x= 10, da bi našli koren, je bilo treba produkt deliti z znanim faktorjem. Ta najenostavnejša enačba se imenuje linearna enačba prve stopnje z eno neznanko v kanonična oblika . Beseda "kanoničen" je sinonim za "preprost" ali "normalen".
Linearna enačba prve stopnje z eno neznanko v kanonični obliki se imenuje enačba oblike sekira = b.
Naša nastala enačba 2 x= 10 je linearna enačba prve stopnje z eno neznanko v kanonični obliki. Ta enačba ima prvo stopnjo, eno neznanko, ne vsebuje deljenja z neznanko in ne vsebuje korenov iz neznanke in je predstavljena v kanonični obliki, to je v najpreprostejši obliki, v kateri je vrednost enostavno določiti x. Namesto parametrov a in b naša enačba vsebuje števili 2 in 10. Toda taka enačba lahko vsebuje tudi druga števila: pozitivna, negativna ali enaka nič.
Če v linearni enačbi a= 0 in b= 0, potem ima enačba neskončno veliko korenin. Res, če a enako nič in b enako nič, potem linearna enačba sekira= b bo imela obliko 0 x= 0. Za kakršno koli vrednost x leva stran bo enaka desni strani.
Če v linearni enačbi a= 0 in b≠ 0, potem enačba nima korenin. Res, če a enako nič in b je enako nekemu številu, ki ni enako nič, recimo številu 5, nato enačbi sekira = b bo imela obliko 0 x= 5. Leva stran bo nič, desna pa pet. In nič ni enako pet.
Če v linearni enačbi a≠ 0 in b enako poljubnemu številu, potem ima enačba en koren. Določi se z delitvijo parametra b na parameter a
Res, če a enako nekemu številu, ki ni nič, recimo številu 3, in b enako nekemu številu, recimo številu 6, potem bo enačba imela obliko .
Od tod.
Obstaja še ena oblika zapisa linearna enačba prve stopnje z eno neznanko. Videti je takole: ax−b= 0. To je enaka enačba kot sekira = b
Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se nam nova skupina VKontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah
Učni cilji- rešujejo enačbe z metodo izbiranja in na podlagi povezave med seštevanjem in odštevanjem.
Cilji lekcije
Vsi učenci bodo lahko:
poiščite koren enačbe z uporabo izbirne metode
Večina študentov bo znala:
znati napisati in rešiti enostavne enačbe za iskanje neznanega člena
Nekateri učenci bodo lahko:
Na podlagi risbe samostojno sestavi in reši enačbe.
Predznanje: razumevanje številskega sistema znotraj 100; sposobnost primerjanja in uporabe primerjalnega jezika.
Med poukom
Ustvarjanje okolja za sodelovanje
(psihološke minute)
Zazvonil je veseli zvonec.
Ste pripravljeni začeti lekcijo?
Poslušajmo, pogovarjajmo se,
In pomagajte drug drugemu!
Združevanje v skupine
Cilj: organiziranje študentov v skupine se povečuje spoznavni interes k pouku, povezanost k delu v skupini.
Pregled pravil za delo v skupinah
Posodabljanje življenjskih izkušenj
strategija" Brainstorm"Uporaba debelega in tankega je vprašanje.
- Kaj je enačba? (Enačba z neznanko se imenuje enačba)
- Kako je neznanka označena v enačbi?
- Kaj pomeni rešiti enačbo? (Pomeni najti neznano)
- Katere so sestavine seštevanja?
Ocena: Tri ploskanja
Začetek "Oglejte si video" (poučna risanka)
Metoda "Freeze Frame".
Postavitev ciljev za lekcijo
- Ste uganili, kaj bomo danes počeli v razredu?
- Kaj nam bo pomagalo doseči cilje lekcije (naučiti se novih stvari, naučiti se reševati probleme) matematične oznake) (vaše izkušnje, učitelj, učbenik)
Otroci oblikujejo namen lekcije, jaz posplošujem.
- Danes se boste v lekciji naučili reševati enačbe z neznanimi členi
Študij. Delo po učbeniku.
Cilj: Raziščite učbeniško gradivo str. 46
Naloga 1. Igra na podlagi učbenika "Avtomobili v predoru"
Skupinsko delo. Strategija »Razmišljaj, razpravljaj, deli«. Medpredmetno povezovanje poučevanje opismenjevanja (poslušanje in govorjenje)
Igra "Avtomobili v tunelu"
Koliko avtomobilov je v predoru?
6 + x = 18 in 2 + x = 14.
Odgovor: 12 vagonov.
Deskriptor:
- na podlagi risbe sestavi enačbo
- poišče pomen črke z izbiro metode.
- sklepa (oblikuje pravilo)
Povratne informacije "Semafor"
Tukaj uporabljam modeliranje enačb z namenom
oblikovanje sposobnosti reševanja enačb z neznanim členom.
Naloga 2. Delajte v parih. "Pomagaj junaku"
Igra "Pomagaj junaku"
Pri delu v paru uporabljam sodelovalno učenje, ki prenaša znanja in spretnosti med učenci.
Samoocenjevanje po deskriptorju: "Palček"
Dinamična pavza. Glasbena telesna vadba.
Naloga 3. Skupinsko delo. "Razmisli, poišči par, deli!"
Deskriptorji:
- deluje celotna skupina;
- na podlagi risbe samostojno sestavlja in rešuje enačbe;
- sklepa (oblikuje pravilo).
Povratne informacije "Kolo"
Aplikacija (učitelj - opazuje, pomaga, preverja, učenec - rešuje vprašanja, izkazuje znanje)
Strokovni pregled na diapozitivih
Tu uporabljam skupinsko delo za izboljšanje učnega procesa.
Naloga 4. Igra v parih "Kocka" (poskusite)
Skupinsko delo: "Razmisli, poišči par, deli!"
Deskriptor:
- nadomesti izžrebano številko
- samostojno reši enačbo.
Tukaj uporabljam aktivna metoda V igralno obliko kar vodi do globljega razumevanja rešitve enačbe z neznanim členom.
Ocena na podlagi semaforskih deskriptorjev
Naloga 5. Individualna naloga
Diferencirane naloge.
Naloge so izbrane za učence s na različnih ravneh znanja.
Deskriptor:
- poišče koren enačbe s pomočjo številske premice;
- najde uporabo matematične številke in znaki korena enačbe;
- sestavi enačbo iz slike.
Samoocenjevanje "Semafor" (test glede na standard).
- Bravo, opravili ste to nalogo!
Tukaj uporabljam diferenciran pristop za individualne učne potrebe vsakega študenta.
Povzetek lekcije. Refleksija "Metoda intervjuja"
- Kaj smo danes delali v razredu?
- Kako najti neznan izraz?
- Kaj je neznan izraz? (del)
- Ali ste dosegli svoj cilj?
- Kaj bodo storili fantje, ki so imeli težave pri delu z enačbami? (izjave študentov)
Cilj: Učitelj bo ugotovil, ali so učenci razumeli temo lekcije in njihove napake, da jih bo lahko popravil v naslednji uri. (izjava učencev) (tu bolj zadovoljivo uporabljam potrebe učencev)
Medsebojno vrednotenje "2 zvezdici, 1 želja"
Razmislek "Lestvica uspeha" (otroci objavljajo emotikone)
- Znam rešiti enačbo z neznanim členom.
- Lahko naučim koga drugega ...
- Težko mi je ...
- Ničesar nisem dobil ...
Cilj: samoocenjevanje svojih dosežkov med poukom.
Za prenos gradiva oz.Če se želite naučiti hitro in uspešno reševati enačbe, morate začeti pri največjem preprosta pravila in primeri. Najprej se morate naučiti reševati enačbe, ki imajo razliko, vsoto, količnik ali zmnožek nekaterih števil z eno neznanko na levi in drugo številko na desni. Z drugimi besedami, v teh enačbah je en neznan člen in bodisi minuend z odštevancem ali dividenda z deliteljem itd. O tovrstnih enačbah se bomo pogovarjali z vami.
Ta članek je posvečen osnovnim pravilom, ki vam omogočajo iskanje dejavnikov, neznanih izrazov itd. Vse teoretična načela Takoj bomo pojasnili s posebnimi primeri.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Iskanje neznanega izraza
Recimo, da imamo določeno število kroglic v dveh vazah, na primer 9. Vemo, da so v drugi vazi 4 kroglice. Kako najti količino v drugem? Zapišimo to težavo matematična oblika, ki označuje število, ki ga je treba najti, kot x. Po prvotnem pogoju to število skupaj s 4 tvori 9, kar pomeni, da lahko zapišemo enačbo 4 + x = 9. Na levi strani imamo vsoto z enim neznanim členom, na desni pa vrednost te vsote. Kako najti x? Če želite to narediti, morate uporabiti pravilo:
Definicija 1
Če želite najti neznani člen, morate znani člen odšteti od vsote.
V tem primeru damo odštevanju pomen, ki je nasproten seštevanju. Z drugimi besedami, med dejanji seštevanja in odštevanja obstaja določena povezava, ki jo lahko dobesedno izrazimo takole: če je a + b = c, potem je c − a = b in c − b = a, in obratno, od izraza c − a = b in c − b = a, lahko sklepamo, da je a + b = c.
Če poznamo to pravilo, lahko poiščemo en neznan člen z uporabo znanega člena in vsote. Kateri natančen izraz poznamo, prvega ali drugega, v tem primeru ni pomembno. Poglejmo, kako se prijaviti to pravilo na praksi.
Primer 1
Vzemimo enačbo, ki smo jo dobili zgoraj: 4 + x = 9. Po pravilu moramo odšteti od znan znesek, enako 9, znani izraz, ki je enak 4. Odštejmo eno naravno število od drugega: 9 - 4 = 5. Dobili smo izraz, ki smo ga potrebovali, enak 5.
Običajno so rešitve takih enačb zapisane na naslednji način:
- Najprej je napisana izvirna enačba.
- Nato zapišemo enačbo, ki je nastala po uporabi pravila za izračun neznanega člena.
- Nato zapišemo enačbo, ki smo jo dobili po vseh manipulacijah s števili.
Ta oblika zapisa je potrebna za ponazoritev zaporedne zamenjave prvotne enačbe z enakovrednimi in za prikaz postopka iskanja korena. Naša odločitev preprosta enačba zgoraj, bi bilo pravilno napisati tole:
4 + x = 9, x = 9 − 4, x = 5.
Pravilnost prejetega odgovora lahko preverimo. Nadomestimo to, kar smo dobili, v prvotno enačbo in poglejmo, ali iz nje izhaja pravilna numerična enakost. Zamenjajte 5 s 4 + x = 9 in dobite: 4 + 5 = 9. Pravilna je enakost 9 = 9, kar pomeni, da je bil neznani člen pravilno najden. Če se je enakost izkazala za napačno, se moramo vrniti k rešitvi in jo ponovno preveriti, saj je to znak napake. Praviloma je to največkrat računska napaka ali uporaba napačnega pravila.
Iskanje neznanega subtrahenda ali minuenda
Kot smo že omenili v prvem odstavku, obstaja določena povezava med procesoma seštevanja in odštevanja. Z njegovo pomočjo lahko oblikujemo pravilo, ki nam bo pomagalo najti neznani odštevanec, ko poznamo razliko in odštevanec, oziroma neznani odštevanec preko odštevanca ali razlike. Zapišimo ti dve pravili po vrsti in pokažimo, kako ju uporabiti pri reševanju problemov.
Definicija 2
Če želite najti neznani odštevanec, morate razliki prišteti odštevanec.
Primer 2
Na primer, imamo enačbo x - 6 = 10. Neznan minuend. Po pravilu moramo odšteti 6 prišteti razliki 10, dobimo 16. To pomeni, da je izvirni minuend enak šestnajst. Zapišimo celotno rešitev:
x − 6 = 10, x = 10 + 6, x = 16.
Preverimo rezultat tako, da prvotni enačbi dodamo dobljeno število: 16 - 6 = 10. Pravilna bo enakost 16 - 16, kar pomeni, da smo vse pravilno izračunali.
Definicija 3
Če želite najti neznani odštevanec, morate razliko odšteti od manjšega.
Primer 3
Uporabimo pravilo za rešitev enačbe 10 - x = 8. Odštevalca ne poznamo, zato moramo od 10 odšteti razliko, tj. 10 - 8 = 2. To pomeni, da je zahtevani subtrahend enak dve. Tukaj je celotna rešitev:
10 - x = 8, x = 10 - 8, x = 2.
Preverimo pravilnost tako, da oba nadomestimo v prvotno enačbo. Dobimo pravilno enakost 10 - 2 = 8 in poskrbimo, da bo vrednost, ki smo jo našli, pravilna.
Preden preidemo na druga pravila, ugotavljamo, da obstaja pravilo za prenos poljubnih členov iz enega dela enačbe v drugega z zamenjavo znaka z nasprotnim. Vsa zgornja pravila so v celoti skladna z njim.
Iskanje neznanega faktorja
Poglejmo si dve enačbi: x · 2 = 20 in 3 · x = 12. Pri obeh poznamo vrednost izdelka in enega od dejavnikov moramo najti drugega; Za to moramo uporabiti drugo pravilo.
Definicija 4
Če želite najti neznan faktor, morate produkt deliti z znanim faktorjem.
To pravilo temelji na pomenu, ki je nasproten pomenu množenja. Med množenjem in deljenjem obstaja naslednja povezava: a · b = c, kadar a in b nista enaka 0, c: a = b, c: b = c in obratno.
Primer 4
Izračunajmo neznani faktor v prvi enačbi tako, da znani količnik 20 delimo z znanim faktorjem 2. Izvajamo delitev naravna števila in dobimo 10. Zapišimo zaporedje enačb:
x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10.
V prvotno enakost nadomestimo desetico in dobimo, da je 2 · 10 = 20. Vrednost neznanega množitelja je bila izvedena pravilno.
Naj pojasnimo, da če je eden od množiteljev enak nič, tega pravila ni mogoče uporabiti. Tako z njegovo pomočjo ne moremo rešiti enačbe x · 0 = 11. Ta zapis nima smisla, saj morate za rešitev 11 deliti z 0, deljenje z nič pa ni definirano. Preberite več o podobnih primerih obravnavali smo ga v članku o linearnih enačbah.
Ko uporabimo to pravilo, v bistvu obe strani enačbe delimo s faktorjem, ki ni 0. obstaja ločeno pravilo, po katerem se lahko izvede taka delitev in ne bo vplivala na korenine enačbe, in to, o čemer smo pisali v tem odstavku, je popolnoma skladno z njim.
Iskanje neznanega dividende ali delitelja
Drug primer, ki ga moramo upoštevati, je iskanje neznane dividende, če poznamo delitelj in količnik, kot tudi iskanje delitelja, ko sta znana količnik in dividenda. To pravilo lahko oblikujemo z uporabo povezave med množenjem in deljenjem, ki je že omenjena tukaj.
Definicija 5
Če želite najti neznano dividendo, morate delitelj pomnožiti s količnikom.
Poglejmo, kako se to pravilo uporablja.
Primer 5
Uporabimo ga za rešitev enačbe x: 3 = 5. Znani količnik in znani delitelj pomnožimo skupaj in dobimo 15, kar bo dividenda, ki jo potrebujemo.
Tukaj kratka opomba celotna rešitev:
x: 3 = 5, x = 3 5, x = 15.
Preverjanje pokaže, da smo vse pravilno izračunali, saj se pri delitvi 15 s 3 dejansko izkaže, da je 5. Pravilna numerična enakost je dokaz pravilne rešitve.
To pravilo si lahko razlagamo kot množenje desne in leve strani enačbe z istim številom, ki ni 0. Ta transformacija na noben način ne vpliva na korenine enačbe.
Preidimo na naslednje pravilo.
Opredelitev 6
Če želite najti neznani delitelj, morate dividendo deliti s količnikom.
Primer 6
Vzemimo preprost primer – enačbo 21: x = 3. Če ga želite rešiti, delite znano dividendo 21 s količnikom 3 in dobite 7. To bo zahtevani delilnik. Zdaj pa pravilno formalizirajmo rešitev:
21: x = 3, x = 21: 3, x = 7.
Prepričajmo se, da je rezultat pravilen, tako da v prvotno enačbo nadomestimo sedem. 21: 7 = 3, torej je bil koren enačbe izračunan pravilno.
Pomembno je vedeti, da to pravilo velja le za primere, ko količnik ni enak nič, saj bomo v nasprotnem primeru spet morali deliti z 0. Če je nič zasebna, sta možni dve možnosti. Če je tudi dividenda enaka nič in enačba izgleda kot 0: x = 0, potem bo vrednost spremenljivke poljubna, kar pomeni, da ima ta enačba neskončno število korenine. Toda enačba s količnikom, ki je enak 0, in dividendo, ki je drugačna od 0, ne bo imela rešitev, saj takšne vrednosti delitelja ne obstajajo. Primer bi bila enačba 5: x = 0, ki nima nobenih korenin.
Dosledna uporaba pravil
Pogosto jih je v praksi več kompleksne naloge, v katerem je treba dosledno uporabljati pravila za iskanje seštevnikov, odštevalcev, odštevalcev, faktorjev, dividend in količnikov. Dajmo primer.
Primer 7
Imamo enačbo oblike 3 x + 1 = 7. Neznani člen izračunamo 3 x tako, da od 7 odštejemo ena. Na koncu dobimo 3 x = 7 − 1, nato 3 x = 6. To enačbo je zelo preprosto rešiti: delite 6 s 3 in dobite koren prvotne enačbe.
Tukaj je kratek povzetek rešitve druge enačbe (2 x − 7) : 3 − 5 = 2:
(2 x − 7) : 3 − 5 = 2 , (2 x − 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x − 7) : 3 = 7 , 2 x − 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21, 2 x = 21 + 7, 2 x = 28, x = 28: 2, x = 14.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
