Katera enačba se imenuje najenostavnejša eksponentna enačba. Reševanje eksponentnih potenčnih enačb, algoritmov in primerov

Aplikacija

Reševanje kakršnih koli enačb na spletu na spletnem mestu za študente in šolarje za utrjevanje preučene snovi.. Reševanje enačb na spletu. Enačbe na spletu. Obstajajo algebraične, parametrične, transcendentne, funkcionalne, diferencialne in druge vrste enačb. Nekateri razredi enačb imajo analitične rešitve, ki so priročne, ker ne dajejo le točna vrednost root, vendar vam omogočajo, da zapišete rešitev v obliki formule, ki lahko vključuje parametre. Analitični izrazi omogočajo ne le izračun korenin, temveč tudi analizo njihovega obstoja in količine glede na vrednosti parametrov, kar je pogosto še bolj pomembno za praktična uporaba, kako specifične vrednosti korenine. Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu. Reševanje enačbe je naloga najti takšne vrednosti argumentov, pri katerih je ta enakost dosežena. Vklopljeno možne vrednosti argumenti se lahko vsilijo dodatne pogoje(celo število, realno itd.). Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu. Enačbo lahko rešite na spletu takoj in z visoko natančnostjo rezultata. Argumenti določenih funkcij (včasih imenovani "spremenljivke") se v primeru enačbe imenujejo "neznane". Vrednosti neznank, pri katerih je ta enakost dosežena, se imenujejo rešitve ali korenine te enačbe. O koreninah pravijo, da zadovoljijo ta enačba. Reševanje enačbe na spletu pomeni iskanje množice vseh njenih rešitev (korenov) ali dokazovanje, da korenin ni. Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu. Enačbe, katerih množice korenin sovpadajo, imenujemo enakovredne ali enake. Enakovredne se štejejo tudi za enačbe, ki nimajo korenin. Enakovrednost enačb ima lastnost simetrije: če je ena enačba enakovredna drugi, potem je druga enačba enakovredna prvi. Enakovrednost enačb ima lastnost tranzitivnosti: če je ena enačba enakovredna drugi, druga pa tretji, potem je prva enačba enakovredna tretji. Ekvivalenčnost enačb nam omogoča, da z njimi izvajamo transformacije, na katerih temeljijo metode za njihovo reševanje. Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu. Spletno mesto vam bo omogočilo reševanje enačbe na spletu. Enačbe, za katere so znane analitične rešitve, vključujejo algebraične enačbe največ četrte stopnje: linearna enačba, kvadratna enačba, kubična enačba in enačba četrte stopnje. Algebraične enačbe višje stopnje v splošni primer analitično rešitev nimajo, čeprav jih je mogoče nekatere reducirati na enačbe nižjih stopenj. Enačbe, ki vključujejo transcendentne funkcije, imenujemo transcendentne. Med njimi so nekatere poznane analitične rešitve trigonometrične enačbe, od ničel trigonometrične funkcije dobro znan. V splošnem primeru, ko analitične rešitve ni mogoče najti, uporabimo numerične metode. Numerične metode ne dajejo točne rešitve, ampak vam le omogočajo, da zožite interval, v katerem leži koren, na vnaprej določen nastavljeno vrednost. Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu.. Namesto enačbe na spletu si bomo predstavljali, kako nastane isti izraz linearna odvisnost in ne le vzdolž ravne tangente, ampak tudi na sami prevojni točki grafa. Ta metoda je nepogrešljiva v vsakem trenutku študija predmeta. Pogosto se zgodi, da se rešitev enačb približa končni vrednosti za neskončna števila in vektorske zapise. Začetne podatke je treba preveriti in to je bistvo naloge. V nasprotnem primeru lokalno stanje pretvorjen v formulo. Inverzija vzdolž ravne črte od dano funkcijo, ki ga bo enačbeni kalkulator izračunal brez velike zamude pri izvedbi, bo zamik služil s privilegijem prostora. Govorili bomo o uspešnosti študentov v znanstvenem okolju. Vendar nam bo, tako kot vse zgoraj našteto, pomagalo pri iskanju in ko boste enačbo v celoti rešili, dobljeni odgovor shranilo na konce ravne črte. Premice v prostoru se sekajo v točki in ta točka se imenuje preseka premic. Interval v vrstici je označen, kot je bilo predhodno določeno. Najvišje delovno mesto za študij matematike bo objavljeno. Parametrsko dodeli vrednost argumenta dano površino in reševanje enačbe na spletu bo lahko orisalo načela produktivnega dostopa do funkcije. Möbiusov trak ali neskončnost, kot se imenuje, je videti kot osmica. To je enostranska površina, ne dvostranska. Po vsem splošno znanem principu bomo objektivno sprejeli linearne enačbe za osnovno oznako kot je in na študijskem področju. Samo dve vrednosti zaporedno podanih argumentov lahko razkrijeta smer vektorja. Ob predpostavki, da je druga rešitev spletnih enačb veliko več kot samo reševanje, pomeni pridobitev popolne različice invariante kot rezultat. brez celostni pristop Učenci se te snovi težko naučijo. Kot doslej bo naš priročen in pameten spletni kalkulator enačb za vsak poseben primer pomagal vsem v težkih časih, saj morate samo določiti vhodne parametre in sistem bo sam izračunal odgovor. Preden začnemo vnašati podatke, potrebujemo orodje za vnos, ki ga lahko naredimo brez večjih težav. Število vsake ocene odgovora bo vodilo do kvadratne enačbe do naših sklepov, vendar to ni tako enostavno narediti, ker je enostavno dokazati nasprotno. Teorija zaradi svojih značilnosti ni podprta praktično znanje. Ogled kalkulatorja ulomkov na stopnji objave odgovora v matematiki ni lahka naloga, saj alternativa zapisovanja števila v množico pomaga povečati rast funkcije. Nekorektno pa bi bilo, če ne bi govorili o izobraževanju študentov, zato bomo vsak povedali, kolikor je treba narediti. Prej najdena kubična enačba bo upravičeno spadala v domeno definicije in vsebovala prostor številčne vrednosti, kot tudi simbolne spremenljivke. Ko se bodo izrek naučili ali zapomnili, se bodo naši učenci izkazali le z najboljša stran, in veseli jih bomo. Za razliko od presečišč več polj so naše spletne enačbe opisane z ravnino gibanja z množenjem dveh in treh numeričnih kombiniranih črt. Množica v matematiki ni enolično definirana. Najboljša rešitev je po mnenju študentov popoln posnetek izraza. Kot rečeno znanstveni jezik, abstrahiranje simbolnih izrazov ne vstopa v stanje stvari, a reševanje enačb daje nedvoumen rezultat v vseh znani primeri. Trajanje učiteljeve lekcije je odvisno od potreb po tem predlogu. Analiza je pokazala nujnost vseh računalniških tehnik na mnogih področjih in popolnoma jasno je, da je enačbeni kalkulator nepogrešljiv pripomoček v nadarjenih rokah študenta. Lojalen pristop k študiju matematike določa pomen pogledov iz različnih smeri. Identificirati želite enega od ključnih izrekov in rešiti enačbo na tak način, glede na odgovor katerega bo potrebna nadaljnja uporaba. Analitika na tem področju dobiva zagon. Začnimo od začetka in izpeljimo formulo. Ko prebijemo stopnjo povečanja funkcije, bo črta vzdolž tangente na prevojni točki zagotovo vodila do dejstva, da bo reševanje enačbe na spletu eden glavnih vidikov pri izdelavi istega grafa iz argumenta funkcije. Amaterski pristop ima pravico do uporabe, če ta pogoj ni v nasprotju s sklepi študentov. Podnaloga, ki predstavlja analizo, je postavljena v ozadje. matematičnih pogojev kot linearne enačbe v obstoječi domeni definicije objekta. Zamik v smeri ortogonalnosti medsebojno zmanjšuje prednost lone absolutna vrednost. Spletno reševanje enačb po modulu daje enako število rešitev, če odprete oklepaje najprej z znakom plus in nato z znakom minus. V tem primeru bo dvakrat več rešitev, rezultat pa bo natančnejši. Stabilen in pravilen spletni kalkulator enačb je uspeh pri doseganju zastavljenega cilja v nalogi, ki jo je zastavil učitelj. Zdi se, da je mogoče izbrati pravo metodo zaradi bistvenih razlik v pogledih velikih znanstvenikov. Nastala kvadratna enačba opisuje krivuljo črt, tako imenovano parabolo, predznak pa bo določal njeno konveksnost v kvadratni sistem koordinate Iz enačbe dobimo diskriminanto in same korene po Vietovem izreku. Prvi korak je predstaviti izraz kot pravilen ali nepravilen ulomek in uporabiti kalkulator ulomkov. Glede na to se bo oblikoval načrt naših nadaljnjih izračunov. Matematika s teoretičnim pristopom bo uporabna na vsaki stopnji. Vsekakor bomo rezultat predstavili kot kubično enačbo, saj bomo njene korenine skrili v tem izrazu, da bi poenostavili nalogo študentu na univerzi. Vsaka metoda je dobra, če je primerna za površinsko analizo. Dodatno aritmetične operacije ne bo povzročilo napak pri izračunu. Določi odgovor z dano natančnostjo. Priznajmo si, da z uporabo rešitve enačb iskanje neodvisne spremenljivke dane funkcije ni tako preprosto, še posebej v obdobju preučevanja vzporednih premic v neskončnosti. Glede na izjemo je potreba zelo očitna. Razlika v polariteti je jasna. Iz izkušenj poučevanja na inštitutih se je naš učitelj naučil glavne lekcije, v kateri so se spletne enačbe preučevale v polnem matematičnem smislu. Tu smo govorili o večjih naporih in posebnih veščinah pri uporabi teorije. V prid našim sklepom ne gre gledati skozi prizmo. Do nedavnega je veljalo, da zaprt sklop hitro poveča območje, kot je, in rešitev enačb je preprosto treba raziskati. Na prvi stopnji nismo upoštevali vsega možne možnosti, vendar je ta pristop bolj upravičen kot kdaj koli prej. Nepotrebna dejanja z oklepaji opravičujejo nekaj napredkov po ordinatni in abscisni osi, ki jih s prostim očesom ni mogoče spregledati. V smislu obsežnega sorazmernega povečanja funkcije obstaja prevojna točka. Še enkrat bomo dokazali, kako potreben pogoj se bo uporabljal v celotnem intervalu padanja enega ali drugega padajočega položaja vektorja. V pogojih omejen prostor izbrali bomo spremenljivko iz začetnega bloka našega skripta. Sistem, zgrajen kot osnova vzdolž treh vektorjev, je odgovoren za odsotnost glavnega momenta sile. Vendar pa je kalkulator enačb ustvaril in pomagal najti vse člene sestavljene enačbe, tako nad površino kot vzdolž vzporednih črt. Okoli Izhodišče Opišimo določen krog. Tako se bomo začeli premikati navzgor vzdolž presečnih črt, tangenta pa bo opisala krog po vsej njegovi dolžini, kar bo povzročilo krivuljo, imenovano evolventa. Mimogrede, povejmo malo zgodovine o tej krivulji. Dejstvo je, da zgodovinsko v matematiki ni bilo koncepta matematike same v njenem čistem razumevanju, kot je danes. Prej so vsi znanstveniki počeli eno stvar pogost vzrok, torej znanost. Pozneje, več stoletij pozneje, ko znanstveni svet polno ogromne količine informacij, je človeštvo še vedno identificiralo številne discipline. Še vedno ostajajo nespremenjeni. Pa vendar znanstveniki po vsem svetu vsako leto poskušajo dokazati, da je znanost neomejena in da enačbe ne boste rešili, če nimate znanja o tem področju. naravne znanosti. Morda temu dokončno ne bo mogoče narediti konca. Razmišljanje o tem je tako nesmiselno kot ogrevanje zraka zunaj. Poiščimo interval, pri katerem bo argument, če je njegova vrednost pozitivna, določil modul vrednosti v strmo naraščajoči smeri. Reakcija vam bo pomagala najti vsaj tri rešitve, vendar jih boste morali preveriti. Začnimo z dejstvom, da moramo enačbo rešiti na spletu z uporabo edinstvene storitve našega spletnega mesta. Predstavimo oba dela podana enačba, kliknite na gumb “REŠI” in v samo nekaj sekundah dobite natančen odgovor. IN posebni primeri Vzemimo knjigo o matematiki in še enkrat preverimo svoj odgovor, namreč samo poglejmo odgovor in vse nam bo jasno. Enak projekt za umetni redundančni paralelepiped bo odletel ven. Z njim je paralelogram vzporedne stranice, in razlaga številna načela in pristope za preučevanje prostorskega odnosa procesa kopičenja votlega prostora od spodaj navzgor v enačbah. naraven videz. Dvoumne linearne enačbe prikazujejo odvisnost želene spremenljivke od naše skupne ta trenutekčas odločitev in jo je treba nekako izpeljati in pripeljati nepravilni ulomek na netrivialni primer. Na premici označite deset točk in skozi vsako točko narišite krivuljo v dani smeri, s konveksno konico navzgor. Brez posebnih težav bo naš kalkulator enačb predstavil izraz v taki obliki, da bo njegovo preverjanje veljavnosti pravil očitno že na začetku zapisa. Sistem posebnih predstavitev stabilnosti za matematike je na prvem mestu, razen če formula ne določa drugače. Na to bomo odgovorili s podrobno predstavitvijo poročila na temo Izomorfno stanje plastičnega sistema teles in reševanje enačb na spletu bo opisalo gibanje posamezne materialne točke v tem sistemu. Na ravni poglobljene raziskave bo treba podrobneje razjasniti problematiko inverzij vsaj spodnje plasti prostora. Uporabili bomo v naraščajočem vrstnem redu na odseku diskontinuitete funkcije splošna metoda odličen raziskovalec, mimogrede, naš rojak, o obnašanju letala pa bomo govorili v nadaljevanju. Na podlagi močne lastnosti analitično podano funkcijo, uporabljamo spletni kalkulator enačb samo za predvideni namen v okviru izpeljanih meja avtoritete. V nadaljnjem razmišljanju se bomo osredotočili na homogenost same enačbe, to je, da je njena desna stran enaka nič. Še enkrat se prepričajmo, ali je naša odločitev pri matematiki pravilna. Da ne bi dobili trivialne rešitve, naredimo nekaj prilagoditev začetni pogoji o problemu pogojne stabilnosti sistema. Sestavimo kvadratno enačbo, za katero izpišemo dva vnosa z dobro znano formulo in poiščemo negativne korenine. Če je en koren pet enot večji od drugega in tretjega korena, potem s spremembami v glavni argument s tem popačimo začetne pogoje podnaloge. Nekaj nenavadnega v matematiki je po svoji naravi vedno mogoče opisati do najbližje stotinke. pozitivno število. Kalkulator ulomkov je večkrat boljši od svojih analogov na podobnih virih v najboljšem trenutku obremenitve strežnika. Na površini vektorja hitrosti, ki raste vzdolž ordinatne osi, narišemo sedem črt, upognjenih v nasprotnih smereh. Sorazmernost argumenta dodeljene funkcije je pred odčitki števca obnovitvenega stanja. V matematiki lahko ta pojav predstavimo s kubično enačbo z namišljenimi koeficienti, pa tudi z bipolarno progresijo padajočih črt. Kritične točke temperaturne razlike na več načinov opisujejo proces razgradnje kompleksa frakcijska funkcija z množitelji. Če vam rečejo, da morate rešiti enačbo, ne hitite, da to storite takoj, vsekakor najprej ocenite celoten akcijski načrt in šele nato izberite pravi pristop. Vsekakor bodo koristi. Enostavnost dela je očitna, tako je tudi pri matematiki. Rešite enačbo na spletu. Vse spletne enačbe so določene vrste zapis števil ali parametrov in spremenljivka, ki jo je treba definirati. Izračunajte to spremenljivko, to je, poiščite določene vrednosti ali intervale niza vrednosti, pri katerih bo identiteta držala. Začetni in končni pogoji so neposredno odvisni. IN skupna odločitev Enačbe navadno vključujejo nekaj spremenljivk in konstant, z nastavitvijo katerih bomo dobili cele družine rešitev za dano postavko problema. Na splošno to upravičuje trud, vložen v povečanje funkcionalnosti prostorske kocke s stranico 100 centimetrov. Teorem ali lemo lahko uporabite na kateri koli stopnji konstruiranja odgovora. Spletno mesto postopoma ustvari kalkulator enačb, če je treba prikazati najmanjšo vrednost v katerem koli intervalu seštevanja produktov. V polovici primerov je taka krogla votla, ne v večji meri izpolnjuje zahteve za nastavitev vmesnega odgovora. Vsaj na ordinatni osi v smeri padanja vektorske zastopanosti bo to razmerje nedvomno optimalnejše od prejšnjega izraza. Ob uri, ko linearne funkcije poln analiza točk, bomo v bistvu združili vse naše kompleksna števila in bipolarni planarni prostori. Če v nastali izraz zamenjate spremenljivko, boste enačbo rešili korak za korakom in podali najbolj podroben odgovor z visoko natančnostjo. Dobro bi bilo, če bi učenec še enkrat preveril svoja dejanja pri matematiki. Delež v razmerju ulomkov je zabeležil celovitost rezultata za vse pomembna področja aktivnosti ničelni vektor. Trivialnost se potrdi na koncu izvedenih dejanj. Pri preprosti nalogi učenci morda ne bodo imeli težav, če enačbo rešijo na spletu v najkrajšem možnem času, vendar ne pozabite na vsa različna pravila. Niz podmnožic se seka v območju konvergentnega zapisa. IN različne primere produkt ni pomotoma faktoriziran. Pri spletnem reševanju enačbe vam bomo pomagali v našem prvem razdelku, ki je namenjen osnovam matematičnih tehnik za pomembne oddelke za študente na univerzah in tehničnih fakultetah. Odzivni primeri nas ne bodo pustili čakati več dni, saj je proces najboljše interakcije vektorske analize z zaporedna ugotovitev rešitve je bil patentiran v začetku prejšnjega stoletja. Izkazalo se je, da prizadevanja za vzpostavitev odnosov z okolico niso bila zaman; očitno je bilo treba najprej nekaj drugega. Več generacij kasneje so znanstveniki po vsem svetu prepričali ljudi, da je matematika kraljica znanosti. Ne glede na to, ali gre za levi ali desni odgovor, je vseeno treba izčrpne izraze zapisati v treh vrsticah, saj bomo v našem primeru zagotovo govorili le o vektorski analizi lastnosti matrike. Nelinearne in linearne enačbe, skupaj z bikvadratne enačbe, zavzela posebno mesto v naši knjigi o Najboljše prakse izračun trajektorije gibanja v prostoru vseh materialne točke zaprt sistem. Pomagajte nam uresničiti vašo idejo linearna analiza pikasti izdelek trije zaporedni vektorji. Na koncu vsake produkcije je naloga lažja z implementacijo optimiziranih številčnih izjem med prekrivanjem, ki se izvaja. številski presledki. Drugačna sodba ne bo nasprotovala najdenemu odgovoru v prosta oblika trikotnik v krogu. Kot med dvema vektorjema vsebuje zahtevani odstotek rezerve in spletno reševanje enačb pogosto razkrije določeno skupni koren enačbe v nasprotju z začetnimi pogoji. Izjema ima vlogo katalizatorja v celotnem neizogibnem procesu iskanja pozitivne rešitve na področju definiranja funkcije. Če ni rečeno, da ne znate uporabljati računalnika, potem je spletni kalkulator enačb ravno pravi za vaše potrebe. težke naloge. Samo vstopiti morate pravilna oblika vaše pogojne podatke in naš strežnik bo zagotovil popoln rezultat v najkrajšem možnem času. Eksponentna funkcija raste veliko hitreje kot linearna. O tem pričajo Talmudi knjižnična literatura. Izračun bo opravil v v splošnem smislu kot bi to storila podana kvadratna enačba s tremi kompleksnimi koeficienti. Parabola v zgornjem delu polravnine označuje pravokotno vzporedno gibanje vzdolž osi točke. Tukaj velja omeniti potencialno razliko v delovnem prostoru telesa. V zameno za neoptimalen rezultat naš kalkulator ulomkov upravičeno zaseda prvo mesto v matematični oceni pregleda funkcionalnih programov na strani strežnika. Enostavnost uporabe te storitve bodo cenili milijoni uporabnikov interneta. Če ne veste, kako ga uporabljati, vam bomo z veseljem pomagali. Prav tako želimo posebej izpostaviti in izpostaviti kubično enačbo iz številnih osnovnošolskih nalog, ko je treba hitro najti njene korenine in sestaviti graf funkcije na ravnini. Višje stopnje razmnoževanje spada med težke matematične težave na inštitutu in dodeljena za njegov študij zadostna količina ure. Kot vse linearne enačbe tudi naša ni izjema glede na mnoga objektivna pravila, poglejte spodaj različne točke vizijo, enostavno in zadostno pa bo določiti začetne pogoje. Interval naraščanja sovpada z intervalom konveksnosti funkcije. Reševanje enačb na spletu. Študij teorije temelji na spletnih enačbah iz številnih razdelkov študija glavne discipline. V primeru tega pristopa v negotovih problemih je zelo preprosto predstaviti rešitev enačb v vnaprej določeni obliki in ne samo narediti sklepe, ampak tudi napovedati izid take pozitivne rešitve. Naučite se predmetno področje servis nam bo najbolj pomagal najboljše tradicije matematiko, natanko tako, kot je v navadi na vzhodu. IN najboljši trenutkičasovni interval, podobne naloge pomnožene s skupni množitelj desetkrat. Obilje množenja več spremenljivk v kalkulatorju enačb se je začelo množiti s kakovostjo in ne s kvantitativnimi spremenljivkami, kot sta masa ali telesna teža. Da bi se izognili primerom neravnovesja materialni sistem, izpeljava tridimenzionalnega pretvornika na podlagi trivialne konvergence nedegeneriranih matematične matrike. Dokončaj nalogo in reši enačbo v dane koordinate, saj je rezultat vnaprej neznan, tako kot vse spremenljivke, vključene v postprostorski čas. Vklopljeno kratkoročno potisnite skupni množitelj čez meje oklepaji in delite z največjim skupni delilnik oba dela vnaprej. Izpod dobljene zajete podmnožice števil natančno izluščite triintrideset točk zaporedoma v kratkem času. Do te mere, da na najboljši možni način Reševanje enačbe na spletu je možno za vsakega študenta. Če pogledamo naprej, povejmo eno pomembno, a ključno stvar, brez katere bo v prihodnosti težko živeti. V prejšnjem stoletju je veliki znanstvenik opazil številne vzorce v teoriji matematike. V praksi rezultat ni bil povsem pričakovan vtis dogodkov. Vendar načeloma prav ta rešitev enačb na spletu pomaga izboljšati razumevanje in dojemanje holističen pristop k študiju in praktičnemu utrjevanju naučenega teoretično gradivo med dijaki. To je veliko lažje narediti med študijem.

Na stopnji priprave na zaključni test morajo srednješolci izboljšati svoje znanje na temo "Eksponentne enačbe". Izkušnje preteklih let kažejo, da takšne naloge šolarjem povzročajo določene težave. Zato morajo srednješolci, ne glede na stopnjo pripravljenosti, temeljito obvladati teorijo, si zapomniti formule in razumeti princip reševanja takšnih enačb. Ko se bodo diplomanti naučili spopadati s tovrstnimi nalogami, bodo lahko računali na visoke ocene pri opravljanju Enotnega državnega izpita iz matematike.

Pripravite se na izpitno testiranje s Shkolkovo!

Pri pregledu gradiva, ki so ga obravnavali, se veliko študentov sooči s problemom iskanja formul, potrebnih za reševanje enačb. Šolski učbenik ni vedno pri roki, in izbor potrebne informacije na temo na internetu traja dolgo časa.

Izobraževalni portal Shkolkovo vabi študente k uporabi naše baze znanja. Izvajamo v celoti nova metoda priprava na zaključni test. S študijem na naši spletni strani boste lahko prepoznali vrzeli v znanju in se posvetili tistim nalogam, ki povzročajo največ težav.

Učitelji Shkolkovo so zbrali, sistematizirali in predstavili vse potrebno za uspešen zaključek Gradivo za enotni državni izpit v najpreprostejši in najbolj dostopni obliki.

Osnovne definicije in formule so predstavljene v poglavju “Teoretično ozadje”.

Za boljše razumevanje snovi priporočamo, da vadite izpolnjevanje nalog. Previdno preglejte primere eksponentnih enačb z rešitvami, predstavljene na tej strani, da boste razumeli algoritem izračuna. Po tem nadaljujte z izvajanjem nalog v razdelku »Imeniki«. Začnete lahko z najlažjimi nalogami ali pa se takoj lotite reševanja kompleksnih eksponentnih enačb z več neznankami ali . Baza vadb na naši spletni strani se nenehno dopolnjuje in posodablja.

Tiste primere z indikatorji, ki so vam povzročali težave, lahko dodate med »Priljubljene«. Tako jih lahko hitro najdete in se o rešitvi pogovorite z učiteljem.

Če želite uspešno opraviti enotni državni izpit, se vsak dan učite na portalu Shkolkovo!

Eksponentne enačbe so tiste, pri katerih je eksponent vsebovan neznano. Najenostavnejša eksponentna enačba ima obliko: a x = a b, kjer je a> 0, a 1, x ni znan.

Glavne lastnosti potence, s katerimi se transformirajo eksponentne enačbe: a>0, b>0.

Pri reševanju eksponentnih enačb uporabljajo tudi naslednje lastnosti eksponentna funkcija: y = a x , a > 0, a1:

Če želite predstaviti število kot potenco, uporabite osnovno logaritemska identiteta: b = , a > 0, a1, b > 0.

Težave in testi na temo "Eksponentne enačbe"

Eksponentne enačbe
Lekcije: 4 Naloge: 21 Testi: 1
Eksponentne enačbe - Pomembne teme za pregled enotnega državnega izpita iz matematike
Naloge: 14
Sistemi eksponentnih in logaritemskih enačb - Demonstrativno in logaritemske funkcije 11. razred
Lekcije: 1 Naloge: 15 Testi: 1
§2.1. Reševanje eksponentnih enačb
Lekcije: 1 Naloge: 27
§7 Eksponentne in logaritemske enačbe in neenačbe - Razdelek 5. Eksponentne in logaritemske funkcije, 10. razred
Lekcije: 1 Naloge: 17

Za uspešno reševanje eksponentnih enačb morate poznati osnovne lastnosti potenc, lastnosti eksponentne funkcije in osnovno logaritemsko identiteto.

Pri reševanju eksponentnih enačb se uporabljata dve glavni metodi:

prehod iz enačbe a f(x) = a g(x) v enačbo f(x) = g(x);
uvajanje novih linij.

Primeri.

1. Enačbe reducirane na najenostavnejše. Rešimo jih tako, da obe strani enačbe reduciramo na potenco z isto osnovo.

3 x = 9 x – 2 .

rešitev:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4;
x = 2x –4;
x = 4.

odgovor: 4.

2. Enačbe, rešene tako, da skupni faktor vzamemo iz oklepaja.

rešitev:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

odgovor: 3.

3. Enačbe, rešene s spremembo spremenljivke.

rešitev:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Označimo 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Enačba nima rešitev, ker 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

odgovor: dnevnik 2 3.

4. Enačbe, ki vsebujejo potence z dvema različnima (druga na drugo nezvodljivima) bazama.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3 × 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

odgovor: 2.

5. Enačbe, ki so homogene glede na a x in b x.

Splošni obrazec: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

rešitev:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Označimo (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

odgovor: hlod 3/2 2; - dnevnik 3/2 2.

1º. Eksponentne enačbe imenujemo enačbe, ki vsebujejo spremenljivko v eksponentu.

Reševanje eksponentnih enačb temelji na lastnosti potence: dve potenci z isto bazo sta enaki, če in samo če sta njuna eksponenta enaka.

2º. Osnovne metode reševanja eksponentnih enačb:

1) najpreprostejša enačba ima rešitev;

2) enačba oblike, logaritemske z osnovo a zmanjšati v obliko;

3) enačba oblike je enakovredna enačbi ;

4) enačba oblike je enakovredna enačbi.

5) enačba oblike se reducira s substitucijo na enačbo, nato pa se reši niz preprostih eksponentnih enačb;

6) enačba z recipročnim vzajemnosti s substitucijo reducirajo na enačbo, nato pa rešijo niz enačb;

7) enačbe, homogene glede na a g(x) in b g(x) glede na to prijazen z zamenjavo se reducirajo na enačbo, nato pa se reši niz enačb.

Klasifikacija eksponentnih enačb.

1. Enačbe, rešene z eno osnovo.

Primer 18. Reši enačbo .

Rešitev: Izkoristimo dejstvo, da so vse baze potenc potence števila 5: .

2. Enačbe, rešene s prehodom na en eksponent.

Te enačbe se rešijo s transformacijo izvirne enačbe v obliko , ki je zmanjšan na najpreprostejši z uporabo lastnosti sorazmerja.

Primer 19. Reši enačbo:

3. Enačbe, rešene tako, da skupni faktor vzamemo iz oklepaja.

Če se v enačbi vsak eksponent razlikuje od drugega za določeno število, se enačbe rešijo tako, da se eksponent c postavi iz oklepaja najnižjo stopnjo.

Primer 20. Reši enačbo.

Rešitev: Vzemimo stopnjo z najmanjšim eksponentom iz oklepaja na levi strani enačbe:

Primer 21. Reši enačbo

Rešitev: Združimo posebej na levi strani enačbe člene, ki vsebujejo potence z osnovo 4, na desni strani - z osnovo 3, nato pa iz oklepaja izpišimo potence z najmanjšim eksponentom:

4. Enačbe, ki se reducirajo na kvadratne (ali kubične) enačbe.

Naslednje enačbe so reducirane na kvadratno enačbo za novo spremenljivko y:

a) v tem primeru vrsta zamenjave;

b) vrsto zamenjave in .

Primer 22. Reši enačbo .

Rešitev: Spremenimo spremenljivko in rešimo kvadratno enačbo:

Odgovor: 0; 1.

5. Enačbe, ki so homogene glede na eksponentne funkcije.

Enačba oblike je homogena enačba druge stopnje glede na neznanke a x in b x. Takšne enačbe se zmanjšajo tako, da se obe strani najprej deli z in ju nato zamenja v kvadratne enačbe.

Primer 23. Reši enačbo.

Rešitev: obe strani enačbe delite z:

Če postavimo, dobimo kvadratno enačbo s koreninami.

Zdaj se problem spusti k reševanju niza enačb . Iz prve enačbe ugotovimo, da. Druga enačba nima korenin, saj za katero koli vrednost x.

Odgovor: -1/2.

6. Racionalne enačbe glede na eksponentne funkcije.

Primer 24. Reši enačbo.

Rešitev: števec in imenovalec ulomka delite z 3 x in namesto dveh dobimo eno eksponentno funkcijo:

7. Enačbe oblike .

Take enačbe z množico sprejemljive vrednosti(ODZ), določena s pogojem, se z logaritmiranjem obeh strani enačbe reducirajo na ekvivalentno enačbo, le-ta pa je ekvivalentna nizu dveh enačb oz.

Primer 25. Reši enačbo: .

Didaktično gradivo.

Reši enačbe:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Poiščite produkt korenin enačbe .

27. Poiščite vsoto korenov enačbe .

Poiščite pomen izraza:

28. , kjer x 0- koren enačbe ;

29. , kjer x 0 – cela korenina enačbe .

Reši enačbo:

31. ; 32. .

odgovori: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10,8; 11,5; 12.1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18.1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Tema št. 8.

Eksponentne neenakosti.

1º. Neenakost, ki vsebuje spremenljivko v eksponentu, se imenuje eksponentna neenakost.

2º. rešitev eksponentne neenakosti tip temelji na naslednje izjave:

če , potem je neenakost enakovredna ;

če , potem je neenakost enakovredna .

Pri reševanju eksponentnih neenačb uporabite enake tehnike kot pri reševanju eksponentnih enačb.

Primer 26. Rešite neenačbo (način premikanja na eno bazo).

Rešitev: Ker , potem za to neenakost lahko zapišemo kot: . Ker , potem je ta neenakost enakovredna neenakosti .

Reševanje zadnje neenakosti, dobimo .

Primer 27. Rešite neenačbo: ( tako da vzamemo skupni faktor iz oklepaja).

Rešitev: Vzemimo iz oklepajev na levi strani neenakosti , na desni strani neenakbe in delimo obe strani neenakosti z (-2), pri čemer spremenimo predznak neenakosti v nasprotno:

Ker , potem se pri prehodu na neenakost indikatorjev predznak neenakosti ponovno spremeni v nasprotno. Prejmemo. Tako je množica vseh rešitev te neenačbe interval.

Primer 28. Rešite neenačbo ( z uvedbo nove spremenljivke).

Rešitev: Naj . Potem bo ta neenakost v obliki: oz , katerega rešitev je interval .

Od tod. Ker funkcija narašča, potem .

Didaktično gradivo.

Določite množico rešitev neenačbe:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Pri katerih vrednostih x Ali ležijo točke na funkcijskem grafu pod premico?

7. Pri katerih vrednostih x Ali ležijo točke na grafu funkcije vsaj toliko kot premica?

Reši neenačbo:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Določite največjo celoštevilsko rešitev neenačbe .

14. Poiščite zmnožek največjega celega števila in najmanjšega celega števila rešitev neenačbe .

Reši neenačbo:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Poiščite domeno funkcije:

27. ; 28. .

29. Poiščite niz vrednosti argumentov, za katere so vrednosti vsake od funkcij večje od 3:

in .

odgovori: 11,3; 12,3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28.

Nekateri se vam morda zdijo bolj zapleteni, drugi pa so, nasprotno, preveč preprosti. Vsem pa je skupna ena pomembna lastnost: njihov zapis vsebuje eksponentno funkcijo $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Torej, predstavimo definicijo:

Eksponentna enačba je vsaka enačba, ki vsebuje eksponentno funkcijo, tj. izraz v obliki $((a)^(x))$. Poleg navedene funkcije lahko takšne enačbe vsebujejo tudi druge algebraične konstrukcije - polinome, korenine, trigonometrijo, logaritme itd.

OK potem. Razvrstili smo definicijo. Zdaj se postavlja vprašanje: kako rešiti vso to sranje? Odgovor je hkrati preprost in zapleten.

Začnimo z dobro novico: iz mojih izkušenj pri poučevanju številnih učencev lahko rečem, da večina od njih veliko lažje najde eksponentne enačbe kot iste logaritme, še bolj pa trigonometrijo.

Vendar obstaja slaba novica: včasih pisce problemov za najrazličnejše učbenike in izpite zadene »navdih« in njihovi možgani, vneti od mamil, začnejo proizvajati tako brutalne enačbe, da njihovo reševanje postane problematično ne le za študente – tudi za mnoge učitelje. nasedati pri takšnih težavah.

Vendar, da ne govorimo o žalostnih stvareh. Pa se vrnimo k tistim trem enačbam, ki so bile podane na samem začetku zgodbe. Poskusimo rešiti vsakega od njih.

Prva enačba: $((2)^(x))=4$. No, na kakšno potenco morate dvigniti število 2, da dobite število 4? Verjetno drugo? Navsezadnje je $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - in dobili smo pravilno numerično enakost, tj. res $x=2$. No, hvala, Cap, ampak ta enačba je bila tako preprosta, da bi jo lahko rešila celo moja mačka :)

Poglejmo naslednjo enačbo:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Toda tukaj je malo bolj zapleteno. Mnogi učenci vedo, da je $((5)^(2))=25$ tabela množenja. Nekateri tudi sumijo, da je $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ v bistvu definicija negativnih potenc (podobno formuli $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Končno se le nekaj izbranih zaveda, da je ta dejstva mogoče združiti in prinesti naslednji rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Tako naš izvirna enačba bo prepisan na naslednji način:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\desna puščica ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ampak to je že povsem rešljivo! Na levi v enačbi je eksponentna funkcija, na desni v enačbi je eksponentna funkcija, nikjer ni ničesar drugega razen njiju. Zato lahko "zavržemo" baze in neumno enačimo kazalnike:

Dobili smo najpreprostejšo linearno enačbo, ki jo lahko vsak učenec reši v le nekaj vrsticah. V redu, v štirih vrsticah:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Če ne razumete, kaj se je zgodilo v zadnjih štirih vrsticah, se vrnite na temo "linearne enačbe" in jo ponovite. Ker je brez jasnega razumevanja te teme prezgodaj, da bi se lotili eksponentnih enačb.

\[((9)^(x))=-3\]

Torej, kako lahko to rešimo? Prva misel: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, zato lahko izvirno enačbo prepišemo takole:

\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=-3\]

Potem se spomnimo, da se pri dvigovanju potence na potenco eksponenti pomnožijo:

\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=((3)^(2x))\Desna puščica ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

In za takšno odločitev bomo prejeli pošteno zasluženo dvojko. Kajti s pokemonsko ravnodušnostjo smo znak minus pred trojko poslali na potenco prav te trojke. Ampak tega ne morete storiti. In zato. Poglej različne stopnje trojčki:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Pri sestavljanju te tablice nisem ničesar sprevrgel: pogledal sem pozitivne potence, negativne in celo ulomke ... no, kje je tukaj vsaj eno negativno število? Odšel je! In ne more biti, ker eksponentna funkcija $y=((a)^(x))$, prvič, vedno zavzema samo pozitivne vrednosti (ne glede na to, koliko je ena pomnožena ali deljena z dvema, bo še vedno pozitivno število), in drugič, osnova takšne funkcije - število $a$ - je po definiciji pozitivno število!

No, kako potem rešiti enačbo $((9)^(x))=-3$? Ampak nikakor: ni korenin. In v tem smislu so eksponentne enačbe zelo podobne kvadratnim enačbam - morda tudi ni korenin. Če pa je v kvadratnih enačbah število korenin določeno z diskriminantom (pozitivna diskriminanta - 2 korena, negativna - brez korenin), potem je v eksponentnih enačbah vse odvisno od tega, kaj je desno od znaka enakovrednosti.

Zato oblikujmo ključni sklep: najenostavnejša eksponentna enačba oblike $((a)^(x))=b$ ima koren takrat in samo, če je $b>0$. Če poznate to preprosto dejstvo, lahko zlahka ugotovite, ali ima predlagana enačba korenine ali ne. Tisti. Ali se ga sploh splača reševati ali takoj zapisati, da ni korenin.

To znanje nam bo velikokrat v pomoč, ko se bomo morali več odločati kompleksne naloge. Za zdaj dovolj besedil - čas je, da preučimo osnovni algoritem za reševanje eksponentnih enačb.

Kako rešiti eksponentne enačbe

Torej, formulirajmo problem. Rešiti je treba eksponentno enačbo:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Po “naivnem” algoritmu, ki smo ga uporabili prej, je treba število $b$ predstaviti kot potenco števila $a$:

Poleg tega, če je namesto spremenljivke $x$ kateri koli izraz, bomo dobili novo enačbo, ki jo je že mogoče rešiti. Na primer:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Desna puščica ((3)^(-x))=((3)^(4))\Desna puščica -x=4\Desna puščica x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Desna puščica ((5)^(2x))=((5)^(3))\Desna puščica 2x=3\Desna puščica x=\frac(3)( 2). \\\konec(poravnaj)\]

In nenavadno je, da ta shema deluje v približno 90% primerov. Kaj pa preostalih 10%? Preostalih 10% so rahlo "shizofrene" eksponentne enačbe oblike:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

No, na kakšno potenco morate dvigniti 2, da dobite 3? prvi? Ampak ne: $((2)^(1))=2$ ni dovolj. drugič? Tudi ne: $((2)^(2))=4$ je preveč. Katerega potem?

Poznavalci so verjetno že uganili: v takih primerih, ko ni mogoče "lepo" rešiti, pride v poštev "težka artilerija" - logaritmi. Naj vas spomnim, da lahko z uporabo logaritmov vsako pozitivno število predstavimo kot potenco katerega koli drugega pozitivnega števila (razen enega):

Se spomnite te formule? Ko svojim učencem govorim o logaritmih, vedno opozarjam: ta formula (je tudi glavna logaritemska identiteta ali, če hočete, definicija logaritma) vas bo preganjala zelo dolgo in se "pojavila" v večini nepričakovana mesta. Pa se je pojavila. Poglejmo našo enačbo in to formulo:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Če predpostavimo, da je $a=3$ naše prvotno število na desni in je $b=2$ sama osnova eksponentne funkcije, do katere tako želimo pripeljati desna stran, potem dobimo naslednje:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Desna puščica ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Desna puščica x=( (\log )_(2))3. \\\konec(poravnaj)\]

Prejeli smo nekoliko čuden odgovor: $x=((\log )_(2))3$. Pri kakšni drugi nalogi bi ob takem odgovoru marsikdo podvomil in bi svojo rešitev začel še enkrat preverjati: kaj pa, če se je nekje prikradla napaka? Hitro vas prosim: tukaj ni napake in logaritmi v koreninah eksponentnih enačb so precej tipična situacija. Tako da se navadi :)

Zdaj pa analogno rešimo preostali dve enačbi:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Desna puščica ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Desna puščica 2x=( (\log )_(4))11\desna puščica x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\konec(poravnaj)\]

To je vse! Mimogrede, zadnji odgovor je mogoče zapisati drugače:

Argumentu logaritma smo uvedli množitelj. Toda nihče nam ne preprečuje, da bi temu faktorju dodali osnovo:

Poleg tega so vse tri možnosti pravilne - preprosto je različne oblike zapisov z isto številko. Katerega boste izbrali in zapisali v to rešitev, se odločite sami.

Tako smo se naučili reševati poljubne eksponentne enačbe oblike $((a)^(x))=b$, kjer sta števili $a$ in $b$ strogo pozitivni. Vendar ostra realnost naš svet je tak, da tak preproste naloge boste srečali zelo, zelo redko. Pogosteje boste naleteli na nekaj takega:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\konec(poravnaj)\]

Torej, kako lahko to rešimo? Je to sploh mogoče rešiti? In če da, kako?

Ne bom paničen. Vse te enačbe je mogoče hitro in enostavno reducirati na preproste formule ki smo jih že upoštevali. Zapomniti si morate le nekaj trikov iz tečaja algebre. In seveda ni pravil za delo z diplomami. Povedal vam bom o vsem tem. :)

Pretvorba eksponentnih enačb

Prva stvar, ki si jo morate zapomniti: vsako eksponentno enačbo, ne glede na to, kako zapletena je, je tako ali drugače treba zmanjšati na najpreprostejše enačbe - tiste, ki smo jih že obravnavali in jih znamo rešiti. Z drugimi besedami, shema za reševanje katere koli eksponentne enačbe izgleda takole:

Zapišite prvotno enačbo. Na primer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Naredi nekaj čudnega. Ali celo kakšno sranje, imenovano "pretvori enačbo";
Na izhodu dobite najpreprostejše izraze v obliki $((4)^(x))=4$ ali kaj podobnega. Poleg tega lahko ena začetna enačba poda več takih izrazov hkrati.

Pri prvi točki je vse jasno - celo moja mačka zna napisati enačbo na list papirja. Tudi tretja točka se zdi bolj ali manj jasna - zgoraj smo rešili že cel kup takih enačb.

Kaj pa druga točka? Kakšno preobrazbo? Pretvoriti kaj v kaj? In kako?

No, poglejmo. Najprej bi rad opozoril na naslednje. Vse eksponentne enačbe so razdeljene v dve vrsti:

Enačba je sestavljena iz eksponentnih funkcij z isto bazo. Primer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Formula vsebuje eksponentne funkcije z različnimi bazami. Primeri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ in $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 USD.

Začnimo z enačbami prve vrste – te so najlažje rešljive. In pri njihovem reševanju nam bo pomagala takšna tehnika, kot je poudarjanje stabilnih izrazov.

Izolacija stabilnega izraza

Poglejmo še enkrat to enačbo:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Kaj vidimo? Štirje so povišani na različne stopnje. Toda vse te stopnje - enostavne vsote spremenljivko $x$ z drugimi števili. Zato se je treba spomniti pravil za delo z diplomami:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\konec(poravnaj)\]

Preprosto povedano, seštevanje je mogoče pretvoriti v produkt potenc, odštevanje pa zlahka pretvoriti v deljenje. Poskusimo te formule uporabiti za stopinje iz naše enačbe:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\konec(poravnaj)\]

Prepišimo prvotno enačbo ob upoštevanju tega dejstva in nato zberimo vse člene na levi:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -enajst; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\konec(poravnaj)\]

Prvi štirje členi vsebujejo element $((4)^(x))$ - vzemimo ga iz oklepaja:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \desno)=-11. \\\konec(poravnaj)\]

Ostaja še deliti obe strani enačbe z ulomkom $-\frac(11)(4)$, tj. v bistvu pomnožite z obrnjenim ulomkom - $-\frac(4)(11)$. Dobimo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \desno); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\konec(poravnaj)\]

To je vse! Prvotno enačbo smo zreducirali na najpreprostejšo obliko in dobili končni odgovor.

Hkrati smo v procesu reševanja odkrili (in ga celo vzeli iz oklepaja) skupni faktor $((4)^(x))$ - to je stabilen izraz. Lahko jo označite kot novo spremenljivko ali pa jo preprosto natančno izrazite in dobite odgovor. V vsakem primeru je ključno načelo rešitve naslednje:

V izvirni enačbi poiščite stabilen izraz, ki vsebuje spremenljivko, ki jo zlahka ločite od vseh eksponentnih funkcij.

Dobra novica je, da skoraj vsaka eksponentna enačba omogoča izolacijo tako stabilnega izraza.

Obstaja pa tudi slaba novica: podobni izrazi je lahko precej zapleteno in ga je lahko zelo težko prepoznati. Pa poglejmo še eno težavo:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Morda bo kdo zdaj imel vprašanje: "Paša, ali si kamenjen? Tu so različne baze – 5 in 0,2.” Toda poskusimo pretvoriti moč v osnovo 0,2. Na primer, znebimo se decimalnega ulomka tako, da ga zmanjšamo na navadnega:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\levo(x+1 \desno)))=((\levo(\frac(2)(10 ) \desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((\levo(\frac(1)(5) \desno))^(-\levo(x+1 \desno)) )\]

Kot vidite, se je številka 5 vseeno pojavila, čeprav v imenovalcu. Hkrati je bil kazalnik prepisan kot negativen. In zdaj se spomnimo enega od najpomembnejša pravila delo z diplomami:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Desna puščica ((\levo(\frac(1)(5) \desno))^( -\levo(x+1 \desno)))=((\levo(\frac(5)(1) \desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Tukaj sem seveda malo ležal. Ker da bi popolnoma razumeli formulo, kako se znebiti negativni indikatorji moralo biti napisano takole:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\levo(\frac(1)(a) \desno))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \desno)))=((\left(\frac(5)(1) \ desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Po drugi strani pa nam nič ni preprečilo delati samo z ulomki:

\[((\levo(\frac(1)(5) \desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((\levo(((5)^(-1)) \ desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((5)^(\levo(-1 \desno)\cdot \levo(-\levo(x+1 \desno) \desno) ))=((5)^(x+1))\]

Toda v tem primeru morate biti sposobni dvigniti moč na drugo moč (naj vas spomnim: v tem primeru se indikatorji seštejejo). Vendar mi ni bilo treba "obrniti" ulomkov - morda bo komu lažje :).

V vsakem primeru bo prvotna eksponentna enačba prepisana kot:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\konec(poravnaj)\]

Tako se izkaže, da je prvotno enačbo mogoče rešiti še preprosteje kot prej obravnavano: tukaj vam sploh ni treba izbrati stabilnega izraza - vse se je zmanjšalo samo po sebi. Zapomniti si moramo le, da je $1=((5)^(0))$, iz česar dobimo:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\konec(poravnaj)\]

To je rešitev! Dobili smo končni odgovor: $x=-2$. Hkrati bi rad opozoril na eno tehniko, ki nam je močno poenostavila vse izračune:

V eksponentnih enačbah se znebite decimalke, jih pretvorite v običajne. To vam bo omogočilo, da vidite enake osnove stopinj in močno poenostavite rešitev.

Pojdimo zdaj na več kompleksne enačbe, v katerem obstajajo različne baze, ki jih sploh ni mogoče reducirati druga na drugo z uporabo stopinj.

Uporaba lastnosti stopinj

Naj vas spomnim, da imamo še dve posebej ostri enačbi:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\konec(poravnaj)\]

Glavna težava pri tem je, da ni jasno, kaj dati in na kakšni podlagi. Kje nastavite izraze? Kje so enaki razlogi? Nič od tega ni.

Toda poskusimo iti drugače. Če ni pripravljenih enake podlage, jih lahko poskusite najti tako, da faktorizirate obstoječe baze.

Začnimo s prvo enačbo:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\desna puščica ((21)^(3x))=((\levo(7\cdot 3 \desno))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\konec(poravnaj)\]

Lahko pa storite nasprotno - naredite številko 21 iz številk 7 in 3. To je še posebej enostavno narediti na levi, saj sta indikatorja obeh stopinj enaka:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \desno))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\konec(poravnaj)\]

To je vse! Eksponent ste vzeli zunaj produkta in takoj dobili lepo enačbo, ki jo je mogoče rešiti v nekaj vrsticah.

Zdaj pa poglejmo drugo enačbo. Tukaj je vse veliko bolj zapleteno:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\levo(\frac(27)(10) \desno))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

IN v tem primeru izkazalo se je, da so ulomki nezmanjšani, a če je mogoče nekaj zmanjšati, se prepričajte, da zmanjšate. Pogosto bo zanimivi razlogi, s katerim že lahko delate.

Na žalost se nam ni pokazalo nič posebnega. Toda vidimo, da sta eksponenta na levi v produktu nasprotna:

Naj vas spomnim: da se znebite znaka minus v indikatorju, morate samo "obrniti" ulomek. No, prepišimo prvotno enačbo:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\levo(100\cdot \frac(10)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\levo(\frac(1000)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\konec(poravnaj)\]

V drugi liniji smo preprosto izvedli splošni indikator iz zmnožka iz oklepaja po pravilu $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $ in v slednjem preprosto pomnožil število 100 z ulomkom.

Upoštevajte, da sta številki na levi (na dnu) in na desni nekoliko podobni. kako Ja, očitno je: gre za potence istega števila! Imamo:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\levo(\frac(3)(10) \desno))^(2)). \\\konec(poravnaj)\]

Tako bo naša enačba prepisana na naslednji način:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\desno))^(2))\]

\[((\levo(((\levo(\frac(10)(3) \desno))^(3)) \desno))^(x-1))=((\levo(\frac(10) )(3) \desno))^(3\levo(x-1 \desno)))=((\levo(\frac(10)(3) \desno))^(3x-3))\]

V tem primeru lahko na desni strani dobite tudi diplomo z isto osnovo, za katero je dovolj, da preprosto "obrnete" ulomek:

\[((\levo(\frac(3)(10) \desno))^(2))=((\levo(\frac(10)(3) \desno))^(-2))\]

Naša enačba bo končno dobila obliko:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\konec(poravnaj)\]

To je rešitev. Njena glavna ideja se spušča v to, da tudi z na različnih podlagah skušamo, z zvijačo ali zvijačo, zreducirati te osnove na isto stvar. Pri tem nam pomagajo elementarne transformacije enačbe in pravila za delo s stopnjami.

Toda kakšna pravila in kdaj uporabiti? Kako razumete, da morate v eni enačbi obe strani deliti z nečim, v drugi pa faktorizirati osnovo eksponentne funkcije?

Odgovor na to vprašanje bo prišel z izkušnjami. Najprej se preizkusite v preprostih enačbah, nato pa postopoma zapletajte težave - in zelo kmalu bodo vaše spretnosti zadostovale za reševanje katere koli eksponentne enačbe iz istega enotnega državnega izpita ali katerega koli samostojnega/testnega dela.

Da bi vam pomagal pri tej težki nalogi, predlagam, da z mojega spletnega mesta prenesete nabor enačb, da jo boste rešili sami. Vse enačbe imajo odgovore, zato se lahko vedno preizkusite.