Ni znak povprečne vrednosti. Povprečne vrednosti

Zvezna agencija izobraževanja

Državna izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje "Ural State Economic University"

Center za izobraževanje na daljavo

TEST

po disciplinah: " Statistika"

Izvajalec:

študent skupine: ETR-09 SR

Troševa Natalija Jurijevna

mesto Jekaterinburg

2009

Uvod

1.1 Vrste povprečnih vrednosti in metode izračuna

1.2 Strukturna povprečja

2. Praktična naloga

Zaključek

Bibliografija

Uvod

to test je sestavljen iz dveh delov – teoretičnega in praktičnega.

V teoretičnem delu bo podrobno preučena tako pomembna statistična kategorija, kot je povprečna vrednost, da bi ugotovili njeno bistvo in pogoje uporabe ter osvetlili vrste povprečij in metode za njihov izračun.

Praktični del je namenjen izračunu in analizi najpomembnejših kazalnikov uspešnosti vsakega podjetja - načrtovane stopnje razvoja pojava in splošnega indeksa cen, da bi ugotovili glavne dejavnike, ki vplivajo na spremembe teh kazalnikov.

1. Povprečne vrednosti: vrste, lastnosti, obseg

Povprečna vrednost je posplošujoča vrednost značilnosti, ki se proučuje v proučevani populaciji, ki odraža njeno tipično raven na enoto populacije v določenih razmerah kraja in časa.

Povprečne vrednosti se nanašajo na splošne statistične kazalnike, ki dajejo skupno značilnost mase družbenih pojavov, saj so zgrajeni na podlagi velikega števila posameznih vrednosti različnih značilnosti.

Povprečna vrednost odraža, kaj je skupno vsem enotam populacije, ki se proučuje. Hkrati uravnoteži vpliv vseh dejavnikov, ki delujejo na vrednost lastnosti posameznih enot populacije, kot da bi jih medsebojno ugasnili. Raven vsakega družbenega pojava je določena z delovanjem dveh skupin dejavnikov. Nekateri od njih so splošni in glavni, nenehno delujoči, tesno povezani z naravo pojava ali procesa, ki se preučuje, in tvorijo tisto, kar je značilno za vse enote preučevane populacije, kar se odraža v povprečni vrednosti. Drugi so individualni, njihovo delovanje je manj izrazito in je epizodično, naključno. Zato povprečna vrednost deluje kot "neosebna" vrednost, ki lahko odstopa od posameznih vrednosti lastnosti, ne da bi kvantitativno sovpadala s katero koli od njih. Povprečna vrednost odraža splošno, značilno in značilno za celotno populacijo zaradi medsebojnega odpravljanja naključnih, netipičnih razlik v njej med značilnostmi njenih posameznih enot, saj je njena vrednost določena kot s skupno rezultanto vseh vzrokov.

Da bi povprečna vrednost odražala najbolj tipično vrednost lastnosti, jo je treba določiti samo za populacije, sestavljene iz kvalitativno homogenih enot. Ta zahteva je glavni pogoj za znanstveno utemeljeno uporabo povprečij in pomeni tesno povezavo med metodo povprečij in metodo skupin pri analizi družbenoekonomskih pojavov.

Poudariti je treba, da pravilen izračun katere koli povprečne vrednosti predpostavlja izpolnjevanje naslednjih zahtev:

kvalitativno homogenost populacije, iz katere se izračuna povprečna vrednost.

odpravljanje vpliva naključnih, čisto individualnih vzrokov in dejavnikov na izračun povprečne vrednosti

Pri izračunu povprečne vrednosti je pomembno določiti namen njenega izračuna in tako imenovani opredeljujoči kazalnik, na katerega se mora osredotočiti.

Povprečna vrednost, izračunana za celotno populacijo, se imenuje skupno povprečje - odraža splošne značilnosti preučevanega pojava; povprečne vrednosti, izračunane za vsako skupino s skupinskimi povprečji, zagotavljajo značilnost pojava, ki se razvije v posebnih pogojih dane skupine.

1.1 Metode izračuna so lahko različne, zato v statistiki obstaja več vrst povprečnih vrednosti

Povprečne vrednosti so razdeljene na 2 veliki vrsti:

potenčne sredine (harmonična sredina, geometrična sredina, aritmetična sredina itd.). Za izračun povprečij moči je potrebno uporabiti vse razpoložljive karakteristične vrednosti. Če izračunate vse vrste povprečij moči za iste podatke, bodo njihove vrednosti enake. Takrat velja pravilo večine povprečij: s povečanjem eksponenta povprečij se poveča tudi sama povprečna vrednost ().

strukturna sredstva (mod, mediana). Način in mediana sta določena samo s strukturo porazdelitve. Zato se imenujejo "strukturna pozicijska povprečja." Mediana in način se pogosto uporabljata kot povprečna značilnost v tistih populacijah, kjer je izračun povprečja moči nemogoč ali nepraktičen.

Zaradi jasnosti so v tabeli 1 predstavljene najpogosteje uporabljene formule za izračun različnih vrst povprečij moči v praktičnih raziskavah.

Tabela 1 Vrste močnostnih sredstev

Aritmetična sredina je povprečna vrednost lastnosti, pri izračunu katere skupni obseg lastnosti v agregatu ostane nespremenjen. Za izračun aritmetične sredine je treba vsoto vseh vrednosti značilnosti deliti z njihovim številom. Uporablja se v primerih, ko je obseg spremenljive značilnosti za celotno populacijo vsota vrednosti značilnosti njenih posameznih enot. Primer aritmetičnega povprečja je skupni sklad plač.

Aritmetična enostavna sredina je enaka enostavni vsoti posameznih vrednosti značilnosti, ki se povprečijo, deljeni z skupno število te vrednote. Uporablja se v primerih, ko obstajajo nezdružene posamezne značilne vrednosti.

Aritmetično tehtano povprečje je povprečje njihovih variant, ki se ponavljajo drugačna številka krat ali imajo različne teže.

Osnovne lastnosti aritmetične sredine:

Če posamezne vrednosti značilnosti, tj. možnosti, zmanjšati ali povečati za i-krat, potem se bo povprečna vrednost novega atributa ustrezno zmanjšala ali povečala za i-krat.

Če se vse različice povprečne značilnosti zmanjšajo ali povečajo za število A, se bo aritmetična sredina ustrezno zmanjšala ali povečala za isto število.

Če se uteži vseh povprečnih možnosti zmanjšajo ali povečajo za k-krat, se aritmetična sredina ne bo spremenila.

Vsota odstopanj posameznih vrednosti lastnosti (variant) od aritmetične sredine je enaka nič.

Pred izračunom povprečne vrednosti je potrebno intervalno serijo pretvoriti v diskretno. Če želite to narediti, poiščite sredino intervala v vsaki skupini. Določi se tako, da se vsota zgornje in spodnje meje deli na polovico.

Formula za harmonično tehtano povprečje se uporablja, kadar informacija ne vsebuje frekvenc za posamezne možnosti x celotnega in je predstavljen kot produkt
. Za izračun povprečja je potrebno določiti
, kje
. Sedaj transformiramo formulo za aritmetično sredino tako, da lahko iz razpoložljivih podatkov x in m izračunamo sredino. V formulo za aritmetično uteženo povprečje nadomestimo namesto m, namesto f pa razmerje , in tako dobimo formulo za harmonično uteženo povprečje.

Harmonična povprečna enostavna vrednost se uporablja v primerih, ko je utež vsake opcije enaka ena, tj. ,

Geometrijska povprečna vrednost se uporablja v primerih, ko so posamezne vrednosti značilnosti relativne dinamične vrednosti, zgrajene v obliki verižnih vrednosti, kot razmerje do prejšnje ravni vsake stopnje v dinamični seriji, tj. označuje povprečno stopnjo rasti.

Povprečne vrednosti so druga vrsta izpeljanih vrednosti, ki se pogosto uporabljajo v medicinski statistiki. Povprečna vrednost je zbirna, posplošujoča značilnost statistične populacije glede na določeno spreminjajočo se kvantitativno značilnost (povprečna višina, Povprečna teža, povprečna starost pokojnik). Povprečna vrednost odraža splošno definirajočo lastnost celotne statistične populacije kot celote, ki jo nadomešča z eno samo številko s tipično vrednostjo te lastnosti. Povprečna vrednost se izravna, oslabi naključna odstopanja posamezna opažanja v eno ali drugo smer in karakterizira trajna last pojavov.

V medicini se lahko za karakterizacijo uporabijo povprečne vrednosti telesni razvoj, osnovne antropometrične značilnosti (morfološke in funkcionalne: višina, teža, dinamometrija itd.) in njihova dinamika (povprečne vrednosti povečanja ali zmanjšanja lastnosti). Razvoj teh indikatorjev in njihovih kombinacij v obliki standardov je zelo pomemben praktični pomen analizirati zdravje prebivalstva (zlasti otrok in športnikov). Epidemiologi izračunavajo povprečno število obolenj v izbruhu, časovno razporeditev izbruhov in povprečni čas razkuževanja.

V demografskih in medicinsko-socialnih študijah se izračunava: povprečno trajanje prihodnje življenje, povprečna starost pokojnika, povprečna populacija itd.

V eksperimentalnih laboratorijskih študijah se uporabljajo tudi povprečne vrednosti: temperatura, število utripov na minuto, raven krvni pritisk, Povprečna hitrost ali povprečni reakcijski čas na določen dražljaj, povprečne vrednosti biokemičnih elementov v krvi itd.

Tako statistični koeficienti kot povprečja so verjetnostne vrednosti, vendar so med njimi pomembne razlike:

• 1) Statistični koeficienti označujejo lastnost, ki se pojavlja le pri določenem delu populacije (ti alternativna lastnost), ki se lahko pojavi ali pa tudi ne (rojstvo, smrt, bolezen). Povprečne vrednosti označujejo lastnosti, ki so značilne za celotno populacijo, vendar v različne stopnje(teža, višina, dnevi zdravljenja).
• 2) Statistični koeficienti se uporabljajo za merjenje kvalitativnih (atributivnih ali opisnih) značilnosti, povprečni koeficienti pa se uporabljajo za različne kvantitativne značilnosti, kjer govorimo o o razlikah v številčnih dimenzijah lastnosti in ne o dejstvu njene prisotnosti ali odsotnosti.

Glavna prednost povprečnih vrednosti je njihova tipičnost - povprečje takoj daje splošne značilnosti pojavov. V zvezi s tem je mogoče razlikovati dve glavni zahtevi za izračun povprečnih vrednosti:

• - homogenost populacije;
• - zadostno število opazovanj.

Kakršna koli distribucija naključna spremenljivka, ki ni nujno predmet določenega zakona porazdelitve verjetnosti, je označen s parametri porazdelitve: povprečno vrednostjo (M), standardnim odklonom (), koeficientom variacije (Cv) itd.

Na primer, ko preučujemo porazdelitev 10 bolnikov glede na obdobja zdravljenja, dobimo niz številskih vrednosti: 38, 13, 17, 20, 14, 18, 25, 32, 23, 25 - neurejen niz.

Parametre porazdelitve je mogoče izračunati s pomočjo te serije. Ni pa dovolj, da serijo označimo z več parametri, treba je raziskati, ali obstaja statistične serije kakršen koli stabilen vzorec. Toda z uporabo neurejene serije je težko zaznati možen vzorec, zato se gradijo razvrščene serije.

Serija, v kateri je podana porazdelitev enot proučevane populacije glede na vrednosti spremenljive značilnosti, se imenuje variacijska. Z drugimi besedami - variacijske serije- serija homogenih količin, urejenih v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu, kjer se opcije (skupine opcij) med seboj razlikujejo za določeno količino, imenovano interval (i).

Tako lahko razdelitev bolnikov po obdobju zdravljenja predstavimo na naslednji način:

Spremenljiv, spremenljiv znak preučevanega pojava (višina, teža itd.), njegov številčna vrednost imenovana možnost (V).

Število primerov opazovanja dane značilnosti, ki kažejo, kolikokrat se dana različica pojavi, se imenujejo frekvence (p).

Variacijske serije so lahko:

• 1) odvisno od preučevanega pojava:
  • - diskretna (diskontinuirana) - oblikovana na podlagi nenehno spreminjajočih se značilnosti, katerih vrednosti so izražene samo v celih številih (pulz, število študentov v skupini itd.);
  • - intervalne (zvezne) - se običajno oblikujejo na podlagi lastnosti, ki imajo lahko poljubno vrednost in so izražene s poljubnim številom (višina, teža itd.)
• 2) odvisno od števila opazovanj:
  • - preprosta - opcija je predstavljena z eno številsko vrednostjo;
  • - združeno - možnosti so združene po določenem kriteriju. Na primer, pri preučevanju telesnega razvoja je mogoče razvrstiti v skupine po teži: 40-44 kg; 45-49 kg. itd.
• 3) glede na vrstni red razporeditve možnost:
  • - naraščajoče - možnosti so razvrščene v naraščajočem vrstnem redu;
  • - padajoče - možnosti so razvrščene v padajočem vrstnem redu.

Ločena serija variacij lahko hkrati vključuje več značilnosti. Na primer, preprosto, padajoče, prekinjeno; ali - združeno, naraščajoče, kontinuirano.

Vrste povprečij, ki se običajno uporabljajo v medicinski statistiki, so mediana, način in aritmetična sredina. Druge vrste povprečij: harmonično povprečje, kvadratno povprečje, kubično povprečje, geometrično povprečje in druge - se uporabljajo samo v posebnih študijah.

Mediana (Me) je srednja, osrednja možnost, ki deli niz variacij na pol na dva enaka dela.

Na primer, če je število opazovanj 33, bo mediana možnost, ki je uvrščena na 17. mesto, saj je na obeh straneh 16 opazovanj.

V vrstici s sodim številom opazovanj sta v sredini dve vrednosti. Če sta po vrednosti enaki, ni težav pri približnem določanju mediane, če pa sta številski vrednosti dveh količin različni, se njuna polovična vsota vzame kot mediana.

Način (Mo) je najpogosteje pojavljajoča ali najpogosteje ponovljena vrednost karakteristike. Ko je način približno najden v preprosti (ne združeni) seriji, je opredeljen kot različica z največje število pogostost

Razlika med mediano in modo od aritmetične sredine je v tem, da te količine s poenostavljeno, približno definicijo enostavno in hitro najdemo po njihovem položaju v variacijskem nizu (pozicijske sredine), poleg tega pa niso odvisne od vrednosti ​​od skrajnih variant ali od stopnje razpršenosti serije.

V medicinski statistiki se najpogosteje uporablja aritmetična sredina (M - iz latinščine Media). Aritmetično povprečje je lahko preprosto ali tehtano.

Primer preprostega aritmetičnega povprečja je rezultat merjenja teže na primer 6 ljudi:

Tako dobimo aritmetično preprosto sredino kot vsoto količin (opcij), deljeno z njihovim številom. Enostavno aritmetično sredino lahko izračunamo samo v primerih, ko je vsaka vrednost (različica) predstavljena z enim samim opazovanjem, to je, ko so frekvence enake enoti.

Če so frekvence različice večje od ena, preprosto povprečje ni uporabno - tukaj je treba izračunati aritmetično tehtano povprečje, ki ga dobimo kot vsoto zmnožkov različice z ustreznimi frekvencami, deljeno s skupno število opazovanj.

Na primer: srčni utrip (utripov na minuto) pri 18 študentih po atropinskem testu je bil: 86, 92, 100, 96, 90, 102, 88, 92, 80, 92, 96, 100, 86, 84, 102, 90, 86, 92.

Preprosta aritmetična sredina je poseben primer uteženo aritmetično povprečje, zato se lahko utežena formula za aritmetično povprečje uporabi tudi za izračun enostavnega aritmetičnega povprečja. IN zadnji primer frekvence so enake ena in množenje ni potrebno.

Vse tri povprečne vrednosti (Mo, Me, M) sovpadajo (ali so praktično zelo blizu) v simetrični variacijski seriji: aritmetična sredina ustreza sredini serije (v simetrični seriji odstopanja proti povečanju in proti zmanjšanja so oziroma uravnotežena); tudi mediana (kot osrednja vrednost) ustreza sredini serije; način (kot najbolj nasičena vrednost) pade na najvišja točka vrsti, ki se nahaja tudi v njenem središču. Zato za vse simetrične nize ni treba izračunati drugih povprečij razen aritmetične sredine.

Lastnosti aritmetične sredine:

• 1. Povprečna vrednost je posplošujoča značilnost statistične populacije za določeno spreminjajočo se kvantitativno značilnost; odraža splošno definirajočo lastnost celotne statistične populacije kot celote, ki jo nadomešča z eno številko s tipično vrednostjo dane značilnosti. Povprečna vrednost se izravna, oslabi naključna odstopanja posameznih opazovanj v eno ali drugo smer in označuje stalno lastnost pojavov.
• 2. Vsota odstopanj od aritmetične sredine je enaka 0.
• 3. V strogo simetrični variacijski seriji zavzema aritmetična sredina srednji položaj in je enaka Mo, Me.

Aritmetična povprečja vzeta sama po sebi brez dodatne tehnike ocene pogosto imajo omejena vrednost, saj ne odražajo stopnje razpršenosti (raznolikosti) serije. Povprečne vrednosti enake velikosti je mogoče dobiti iz serij z različnimi stopnjami razpršenosti. Povprečja so vrednosti, okoli katerih so razpršene različne možnosti in čim bližje so posamezne možnosti druga drugi, manjša je razpršenost serije, bolj značilna je povprečna vrednost.

Približna metoda za ocenjevanje raznolikosti serije je lahko določitev amplitude. Amplituda - razlika med največjim in najnižjo vrednost možnost:

A = Vmax - Vmin

Toda amplituda ne upošteva vmesnih vrednosti znotraj serije, poleg tega pa so lahko njene dimenzije odvisne tudi od števila opazovanj.

Glavno merilo za ocenjevanje raznolikosti serije je standardni odklon ().

Za izračun sigme potrebujete:

določi odstopanja (d) od povprečja (V - M);

kvadrat odklonov (d 2);

• 3) pomnožite kvadrate odstopanj s frekvencami (d 2p);
• 4) sešteje produkte kvadratov odklonov in frekvenc;
• 5) ta znesek delite s številom opazovanj;
• 6) izvlecite kvadratni koren količnika.

S sigmo lahko ugotovimo stopnjo tipičnosti povprečja, meje razpršenosti serije, meje nihanja okoli povprečja posameznih variant. Manjša kot je sigma, manjša je razpršenost niza, bolj natančna in značilna je povprečna vrednost, izračunana za to niz.

Uporaba sigme omogoča ocenjevanje in primerjavo raznolikosti več homogene serije porazdelitev, saj je nazivna količina in je izražena absolutno število v enotah proučevane populacije (cm, kg, mg/l itd.). V tem primeru se upošteva absolutna velikost sigme. Na primer, če primerjamo dve vrstici porazdelitve na podlagi teže, pod pogojem, da sta povprečja blizu ravni, vendar bo sigma v eni vrstici ± 5,6 kg, v drugi pa ± 2,1 kg. - druga vrsta je manj raztresena, njena sredina pa je bolj tipična.

Pri ocenjevanju raznolikosti heterogenih serij (na primer značilnosti, kot sta teža in višina), je neposredna primerjava sigma velikosti nemogoča. V tem primeru se za določitev stopnje relativne raznolikosti serije zatečejo k izpeljani vrednosti - koeficientu variabilnosti (variacije), ki je relativna vrednost, izražena v % in označena s črko Cv (V).

Na primer, pri preučevanju telesnega razvoja študentov 1. letnika so bili pridobljeni naslednji kazalniki: M (teža) = 67,5 kg; M (višina) = 178,1 cm Skladno s tem = ± 2,8 kg. in ± 6,2 cm standardna deviacija je več kot 2-kratna sigma teže.

Koeficient variacije za višino je manjši kot za težo, to pomeni, da se je višina izkazala za stabilnejšo lastnost kot teža.

Obstajajo tri stopnje raznolikosti koeficientov variacije:

do 10% - šibka raznolikost;

10 - 20% - povprečna raznolikost;

več kot 20% - močna raznolikost.

Enaka metoda izračuna koeficienta raznolikosti je primerna tudi za analizo homogenih serij, v katerih se povprečne vrednosti zelo razlikujejo po velikosti, kot tudi za oceno izolirane, posamezne serije.

Primer izračuna aritmetične sredine (M); standardni odklon(); koeficient variacije (Cv).

Trajanje zdravljenja angine pri 45 bolnikih je bilo: 20, 20, 19, 16, 19, 16, 14, 13, 15, 13, 12, 13, 13, 3, 12, 11, 12, 11, 10, 12 , 11, 10, 11, 8, 7, 11, 11, 10, 10, 10, 9, 8, 8, 9, 5, 5, 6, 9, 5, 5, 9, 6, 7, 7, 14 , in 15 dni.

Prva stopnja: zgradimo niz variacij, pri čemer upoštevamo pogostost pojavljanja vsake možnosti; podajte opis serije; poiščemo produkt variante z ustrezno frekvenco, dobljene produkte seštejemo in izračunamo aritmetično sredino:

Druga stopnja: izračunajte d (V-M); d 2; d 2p.

Zaključek: Povprečno trajanje zdravljenja angine v ambulanti je bilo 11 dni. Povprečje ni dovolj tipično za to serijo, kar dokazuje koeficient variacije 36,5 % ( visoka stopnja raznolikost lastnosti).

V statistiki je povprečna vrednost splošen kazalec nabora homogenih družbenih oz naravni pojavi, ki prikazuje tipično raven spremenljive značilnosti na enoto populacije v določenem trenutku.

Iskanje povprečja je ena od običajnih tehnik posploševanja. Povprečna vrednost odraža skupno (tipično) vsem enotam proučevane populacije, hkrati pa zanemarja razlike med posameznimi enotami. Povedali smo že, da se bo z neomejenim povečanjem števila opazovanj (n -» oo) povprečna vrednost po zakonu velikih števil neomejeno približevala svojemu matematičnemu pričakovanju, tj. z n - > oo lahko zapišemo X ~ M[X], Tukaj X- Povprečna vrednost. To pomeni, da je povprečna vrednost ocena matematično pričakovanje.

Naredimo majhno digresijo in dajmo kratke informacije na ocenah parametrov, dobljenih kot rezultat n poskusov. Predpostavimo, da moramo na podlagi rezultatov n eksperimentov določiti določen parameter d. Približno vrednost tega parametra bomo imenovali njegova ocena in jo označili d. Ocena d mora izpolnjevati številne zahteve, da je v kakršnem koli smislu "dobra" ocena.

Ocena d z večanjem števila eksperimentov naj bi verjetnostno konvergirala k želenemu parametru, tj.

Ocena s to lastnostjo se imenuje konsistentna.

Poleg tega z uporabo ocene d namesto samega parametra d je priporočljivo, da tega ne storite sistemska napaka, tj. matematično pričakovanje ocene mora biti enako samemu parametru:

Ocena, ki ima to lastnost, se imenuje nepristranska.

Lepo bi bilo, če bi bila izbrana nepristranska ocena d je bilo čim bolj naključno, tj. imelo je minimalno varianco v primerjavi z drugimi:

Ocena, ki ima to lastnost, se imenuje efektivna.

IN realne razmere Vsem zgoraj navedenim zahtevam ni vedno mogoče zadostiti. Kljub temu je pri izbiri ocene za kateri koli parameter priporočljivo to oceno obravnavati z vseh naštetih vidikov.

Vrnimo se k povprečjem. Pri njihovem izračunu pri velike količine opazovanja, naključnost izniči (to izhaja iz zakona velikih števil), zato je mogoče abstrahirati od nepomembnih značilnosti preučevanega pojava in od kvantitativne vrednosti podpišite vsak posamezen poskus.

A. Quetelet je veliko prispeval k utemeljitvi in ​​razvoju teorije povprečij. Po njegovem učenju se množični procesi oblikujejo pod vplivom dveh skupin vzrokov. V prvo skupino vzrokov, ki so skupni vsem enotam masnega agregata, sodijo tisti, ki določajo stanje množični proces. Tvorijo tipično raven za enote dane homogene populacije.

Druga skupina razlogov se oblikuje posebne lastnosti posamezne enote množične populacije in posledično njihovo širjenje od tipične ravni.

Ti vzroki niso povezani z naravo preučevanega pojava, zato jih imenujemo naključni vzroki.

Povprečje, dobljeno iz celotne populacije, se imenuje total, povprečje, izračunano za vsako skupino, pa skupinsko povprečje. Obstajata dve vrsti povprečij: povprečja moči (aritmetična sredina itd.), strukturna povprečja (mod, mediana).

Razmislimo povprečja moči. Povprečja moči se določijo na podlagi formule

Kje X- Povprečna vrednost;

X ( - trenutna vrednost značilnost, ki se preučuje;

T- indikator povprečne stopnje;

n - število funkcij (možnost).

Odvisno od indikatorja T stopnjo povprečja dobimo naslednje vrste povprečij moči:

• - harmonično povprečje x gar,če T = -1;
• - geometrična sredina es geom,če T = 0;
• - aritmetična sredina x ar,če T = 1;
• - srednji kvadrat x štirikotnik,če t = 2;
• - kubično povprečje x kubik,če t = 3,
• - IT. d.

Pri uporabi istih podatkov, več T v formuli (6.4), torej večjo vrednost povprečna, tj.

Predstavljamo posebne formule za izračun nekaterih vrst povprečij moči.

pri T= -1 dobimo harmonično sredino:

Če so izvorni podatki združeni, se uporabijo tehtana povprečja. Kot utež lahko uporabimo frekvenco p (število poskusov, v katerih se je pojavil dogodek, ki nas zanima) ali relativno frekvenco

Zapišimo formule za uteženo harmonično sredino:

pri T= 0 dobimo geometrično sredino:

to pomeni, da so prejeli negotovost.

Da jo razširimo, vzemimo logaritme obeh strani formule (6.4.)

potem zamenjaj T= 0 in dobimo

imamo negotovost oblike. Za razkritje te negotovosti uporabimo L'Hopitalovo pravilo. Dobljeni rezultat potenciramo in na koncu dobimo

Geometrična sredina se pogosto uporablja za iskanje povprečne stopnje spremembe v dinamičnih in porazdelitvenih serijah.

Zapišimo formule za uteženo geometrično sredino.

Dajmo konkreten primer iskanje utežene geometrične sredine z uporabo formule (6.11).

Primer 6.1

Začetni podatki opazovanja so podani v tabeli. 6.1.

Tabela 6.1

V tabeli 6.1 X.- rezultati, ki jih sprejme neka naključna spremenljivka X in gm izkušnje; R. - frekvenca dogodkov - kaže, kolikokrat se je dogodek, ki nas zanima, pojavil kot rezultat vseh poskusov. na primer X= 2 pojavil 5-krat v 24 poskusih.

Relativna pogostost dogodka (frekvenca).

Z uporabo formule (6.11) dobimo:

Po formuli (6.12) imamo

pri t = 1 dobimo aritmetično sredino:

Aritmetična sredina je najbolj razširjena vrsta med vsemi vrstami potenčnih sredin. Uporablja se v primerih, ko je obseg spremenljive značilnosti za celotno populacijo vsota vrednosti značilnosti posameznih enot.

Tukaj so formule za iskanje utežene aritmetične sredine:

Pri velikem številu opazovanj, po zakonu velikih števil, formula (6.15) določa oceno matematičnega pričakovanja, tj.

pri t = 2 dobimo srednji kvadrat:

Uporablja se za izračun povprečne velikosti elementa, izražene v kvadratnih enotah.

Formule za iskanje tehtanega povprečnega kvadrata imajo obliko:

Z ga = 3 dobimo kubično povprečje:

Uporablja se za iskanje povprečne velikosti značilnosti, izražene v kubičnih enotah.

Formule za izračun tehtanega kubičnega povprečja so:

Zdaj pa razmislimo strukturna povprečja: način in mediana. V statistiki se v nasprotju s teorijo verjetnosti ukvarjamo z ocenami teh količin. Označili jih bomo z enakimi črkami kot v 2. poglavju, vendar s tildo.

Mode v statistiki (Mo) je vrednost naključne spremenljivke, ki se najpogosteje pojavlja v nizu statistične porazdelitve, tj. najvišjo frekvenco ali relativna frekvenca (frekvenca).

Na primer, v tabeli. 6.1 je najvišja relativna frekvenca / = 0,33, torej je način enak Mo = 5.

Če imamo skupinsko porazdelitveno serijo z enakimi intervali, lahko način najdemo s formulo

kjer je M o dno- spodnja meja modalnega intervala;

g Mo - dolžina modalnega intervala;

Pmo - modalna intervalna frekvenca;

M-mo_, - frekvenca intervala pred modalnim;

M-mo +1 -- frekvenca intervala, ki sledi modalu.

Upoštevajte, da se za izračune lahko uporabijo tudi relativne frekvence.

Mediana v statistiki je možnost, ki je na sredini rangirane serije porazdelitve, tj. vrednost mediane se nahaja po njeni redni številki.

Če ima distribucijska serija liho število elementov, mediano število najdemo po formuli

Na primer, v tabeli. Tabela 6.2 prikazuje plače pedagoškega osebja Oddelka za višjo matematiko.

Tabela 6.2

Število elementov serije je 5, zato s formulo (6.23) najdemo število mediane, torej baker

ana noter v tem primeru enako

Če vrstica vsebuje sodo število elementov, se možnost najde kot povprečje dveh možnosti, ki se nahajata na sredini vrstice.

V seriji grupirane porazdelitve se mediana (ker celotno populacijo deli na dva enaka dela) nahaja v enem izmed intervalov.

Kumulativna (akumulirana) frekvenca (ali relativna frekvenca) je enaka ali večja od polovice vsote vseh frekvenc serije (za relativne frekvence je enak 1/2 ali večji od 1/2).

V tem primeru se srednja vrednost izračuna po formuli

kjer je spodnja meja medianega intervala;

Dolžina medianega intervala;

Polovična vsota frekvenc;

Vsota frekvenc, zbranih pred začetkom medianega intervala;

Srednja intervalna frekvenca.

V procesu obdelave in povzemanja statističnih podatkov se pojavi potreba po določitvi povprečnih vrednosti. Posamezne vrednosti iste lastnosti praviloma niso enake v različnih enotah populacije.

Povprečna vrednost – generalizirajoča značilnost lastnosti, ki se proučuje v proučevani populaciji. Odraža svojo tipično raven na enoto prebivalstva v posebnih razmerah kraja in časa.

Na primer, pri preučevanju dohodka delavcev v podjetju je splošna značilnost povprečni dohodek enega delavca. Za določitev skupnega zneska sredstev, namenjenih porabi v obliki plač, socialnih in delovnih prejemkov, denarna pomoč, dividende na delnice in obresti na depozite v lastnini podjetja za obravnavano obdobje (leto, četrtletje, mesec) se delijo s številom delavcev podjetja. Povprečni dohodek označuje, kaj je skupno celotni populaciji delavcev v podjetju, tj. raven dohodka množice delavcev v specifičnih pogojih delovanja danega podjetja v obravnavanem obdobju.

Povprečje, izračunano za celotno populacijo, se imenuje generalna povprečja.

Povprečja, izračunana za vsako skupino, se imenujejo skupinska povprečja.

Za več enot populacije, za katere se izračuna povprečje, bolj je stabilno, tj. natančneje. Izračun povprečne vrednosti vključuje dve operaciji:

I – seštevek podatkov za vse enote (generacija podatkov);

II – deljenje povzetih podatkov s številom enot v populaciji.

– povprečna vrednost za lastnost ; n– število populacijskih enot;

Xjaz – individualna vrednost značilnosti vsake enote populacije.

Bistvo povprečne vrednosti določa njen poseben pomen v tržnem gospodarstvu. Povprečna vrednost skozi posamezno in naključno nam omogoča prepoznati splošno in nujno, prepoznati trend vzorca gospodarskega razvoja.

Povprečja moči:

ü aritmetična sredina;

ü geometrična sredina;

ü harmonična sredina;

ü srednji kvadrat;

ü povprečno kronološko.

Strukturna povprečja: način in mediana.

Izbira ene ali druge vrste povprečja je odvisna od namena študije, ekonomsko bistvo povprečni kazalnik in narava razpoložljivih začetnih podatkov. Šele ko je povprečje pravilno uporabljeno, dobimo vrednosti, ki imajo pravi ekonomski pomen.

Aritmetična sredina - najpogostejša vrsta povprečja.

Z aritmetično sredino mislimo vrednost lastnosti, ki bi jo imela vsaka enota populacije, če bi bila skupna vsota vseh vrednosti značilnosti enakomerno porazdeljena med vse enote populacije.

Izračuna se v primerih, ko se obseg povprečne značilnosti oblikuje kot vsota njegovih vrednosti za posamezne enote statistične populacije, ki se preučuje. Glede na naravo izvornih podatkov se aritmetična sredina določi na naslednji način:

Preprosto aritmetično povprečje se izračuna tako, da se vsota vrednosti deli z njihovim številom.

Primer: Plače za januar za 3 delavce ene delavnice so bile: 6500, 4955, 5323 rubljev. Povprečna mesečna plača je:
drgnite.

primer: Izračunajte povprečno delovno dobo desetih zaposlenih v trgovskem podjetju. Vrednost posameznega atributa (leta): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43 : 10 = 4,3 leta.

Kot vidimo, se lahko aritmetična sredina izkaže za delno število, tudi če so posamezne vrednosti atributa podane le kot cela števila. To izhaja iz bistva aritmetične sredine, ki je abstraktna (teoretična) količina, tj. lahko prevzame številčno vrednost, ki je ni v predstavljenem nizu posameznih vrednosti atributa.

Uteženo aritmetično povprečje

Pogosto je treba izračunati povprečno vrednost značilnosti v seriji porazdelitve, ko se ista značilna vrednost pojavi večkrat. S kombiniranjem podatkov po vrednosti značilnosti (t.j. združevanjem) in štetjem števila primerov ponovitve vsakega od njih dobimo naslednje variacijske serije.

Posledično se za izračun tehtanega povprečja izvedejo naslednje zaporedne operacije: množenje vsake možnosti z njeno frekvenco, seštevanje dobljenih produktov, deljenje dobljene vsote z vsoto frekvenc.

Upošteva tehtano aritmetično povprečje drugačen pomen posamezne možnosti v celoti. Zato ga je treba uporabiti v vseh primerih, ko imajo možnosti različne številke. Uporaba preprostega povprečja v teh primerih je nesprejemljiva, saj neizogibno vodi do izkrivljanja statističnih kazalcev.

Zdi se, da je aritmetično povprečje enakomerno porazdeljeno med ločeni predmeti skupna vrednost lastnost, ki se dejansko razlikuje za vsakega od njih.

Včasih je treba izračun povprečnih vrednosti izvesti z uporabo podatkov, združenih v obliki serije intervalne porazdelitve, ko so različice značilnosti, iz katerih se izračuna povprečje, predstavljene v obliki intervalov (od - do). Za izračun povprečne vrednosti je treba določiti povprečno vrednost x v vsaki možnosti in nato stehtati v običajnem vrstnem redu x y

V zaprtem intervalu je srednja vrednost definirana kot polovica vsote vrednosti spodnje in zgornje meje.

Problem izračuna povprečnih vrednosti intervalne serije zapleteno zaradi dejstva, da skrajne meje začetnega in končnega intervala niso znane. V tem primeru se predpostavlja, da je razdalja med mejami tega intervala enaka kot v sosednjem intervalu.

Upoštevati je treba, da čeprav za izračun povprečja iz intervalne serije uporabljamo formulo za aritmetično uteženo povprečje, izračunano povprečje ni natančna vrednost, saj kot rezultat množenja povprečnih vrednosti skupin z njihovim številom dobimo ne bo dobil dejanska vrednost. Stopnja neskladja je odvisna od številnih razlogov: 1 – število možnosti. kako večje število možnost, večja je verjetnost, da se bo sredina intervala malo razlikovala od povprečja skupine. Če ima vsaka skupina majhno število enot, so lahko povprečja skupine ne samo na sredini, ampak tudi blizu zgornje ali spodnje meje intervala.

primer, Izračunati je treba povprečno delovno dobo 12 zaposlenih v oglaševalski agenciji. Hkrati so znane posamezne vrednosti atributa (izkušnje) v letih: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Po združitvi podatkov o vrednosti atributa in štetju primerov ponavljanja vsakega od njih bomo na podlagi združenih podatkov izračunali povprečno delovno dobo s formulo uteženega aritmetičnega povprečja.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 leta.

V praksi statistične obdelave gradiva se pojavljajo težave razne naloge, ki imajo značilnosti pri preučevanju pojavov in zahtevajo uporabo različnih povprečij pri njihovi rešitvi. Glede na to, da statistična povprečja vedno izražajo kakovostne lastnostištudiral družbenih procesov in pojavov je pomembno izbrati pravo obliko povprečja, ki temelji na razmerju med pojavi in ​​njihovimi značilnostmi.

Lastnosti aritmetične sredine:

Aritmetična sredina ima številne lastnosti, katerih poznavanje je potrebno za razumevanje bistva povprečij, pa tudi za poenostavitev njihovega izračuna.

1. Srednje aritmetična vsota različnih količin je enaka vsoti povprečij aritmetične količine:

Če je x i = y i + z i potem

To pravilo kaže, v katerih primerih je mogoče sešteti povprečne vrednosti. Če so na primer proizvedeni izdelki sestavljeni iz dveh delov l in z in proizvodnja vsakega od njih porabi v povprečju pri= 3 ure z = 5 h, potem povprečni čas, porabljen za izdelavo enega izdelka ( X), bo enako: 3+5 = 8 ur, tj. X= y + z..

2. Algebraična vsota odstopanj posameznih vrednosti spremenljive karakteristike od povprečja je enaka nič, saj se vsota odstopanj v eno smer izniči z vsoto odstopanj v drugo smer, tj.

Ker

To pravilo kaže, da je povprečje rezultat.

3. Če so vse možnosti v seriji zmanjšane ali povečane za isto število A, potem se bo povprečje zmanjšalo ali povečalo za isto število A:

4. Če so vse možnosti za niz zmanjšane ali povečane za A krat, potem se bo tudi povprečje ustrezno zmanjšalo ali povečalo A enkrat:

5. Če vse frekvence niza delimo ali pomnožimo z istim številom d, potem se povprečje ne bo spremenilo:

Ta lastnost kaže, da povprečje ni odvisno od velikosti lestvic, ampak od razmerja med njimi. Posledično lahko kot uteži delujejo ne samo absolutne, ampak tudi relativne vrednosti.

Povprečno kronološko

Včasih je pri analizi socialno-ekonomskih kazalnikov treba določiti povprečno vrednost, če obstajajo podatki iz enakega trenutnega niza dinamike. Na primer povprečna mesečna zaloga blaga; povprečno število prodajalcev za četrtletje, za polletje, če je znano število prodajalcev na začetku meseca; ali določite povprečno letno prebivalstvo ozemlja, nato pa uporabite kronološko povprečje.

X=(x 1 + x 2 +x 3 +…+x n -1 + x n) : (n-1)

X – posamezna vrednost atributa vsake enote populacije;

n – število populacijskih enot.

Harmonično povprečje

Harmonična sredina je recipročna vrednost aritmetične sredine. Kdaj statistične informacije ne vsebuje frekvenc za posamezne variante populacije, ampak je predstavljena kot njihov produkt; uporabljena je formula za tehtano harmonično povprečje.

Povprečje v tej obliki se imenuje utežena harmonična sredina in označen z x gar m. vzvz . Posledično je harmonična sredina enaka aritmetični sredini. Uporablja se, kadar dejanske teže niso znane, izdelek pa je znan f x = z

V primerih, ko deluje f x enaka ali enaka ena (m=1), velja pomeni harmonično preprosto, izračunano po formuli

Kje X- ločene možnosti; p- njihovo število.

Geometrijska sredina

To povprečje je priročno uporabiti, če pozornost ne namenjamo absolutnim razlikam, temveč razmerjem dveh števil. Zato se pri izračunu povprečnih letnih stopenj rasti uporablja geometrična sredina

oz

To je formula geometrične sredine, ki jo lahko formuliramo na naslednji način:

Geometrična sredina je enaka korenu potence p iz produkta koeficientov rasti, ki označujejo razmerje med vrednostjo vsakega naslednjega obdobja in vrednostjo prejšnjega.

Geometrijska povprečna vrednost daje vsebinsko najbolj pravilen odgovor, rezultat povprečenja, če je naloga najti vrednost atributa, ki bi bila kvalitativno enako oddaljena tako od največje kot najmanjša vrednost znak.

Primer: Zaradi inflacije se je v prvem letu cena izdelka v primerjavi s prejšnjim letom podvojila; za drugo leto – še trikratnik ravni prejšnjega leta. Jasno je, da se je v dveh letih cena povečala za 6-krat. Izračunajte povprečno stopnjo rasti cen na leto?

Pri izračunu povprečne stopnje rasti je aritmetično povprečje neustrezno. Geometrijska sredina daje pravilen odgovor.

X = x 1 * x 2 = 2 * 3 = 6 = 2,45-krat.

Srednji kvadrat

Povezane informacije.

Relativne velikosti konstrukcije so razmerje med velikostmi dela in celote. Karakterizirajo sestavo in strukturo agregata. Predstavitveni obrazec - specifična težnost ali obresti. Vsota relativnih vrednosti strukture je enaka 1 ali 100%. Razlika med ustreznima deležema dveh populacij se imenuje odstotna točka.

Absolutne vrednosti v statistiki so števila enot in vsote po skupinah in kot celoti, ki so neposredni rezultat seštevanja in združevanja podatkov.

Absolutne količine so poimenovane številke, to pomeni, da imajo svoje merske enote (na primer kosi, tone, grivna). Vključeno absolutni indikatorji ločimo kazalnike velikosti populacije (število podjetij) in obsega značilnosti (proizvodi, dobiček). Obstajajo tri skupine merilnikov lastnosti - naravno, delo in stroški.

Naravni števci odražajo inherentne pojave fizične lastnosti(mere za težo, dolžino, čas). Včasih se uporabljajo kombinirane merske enote, ki so produkt količin različne velikosti(proizvodnja električne energije v kWh).

Ni vedno mogoče dobiti absolutnih vrednosti z neposrednim seštevanjem vrednosti atributov posameznih enot. V tem primeru posamezni členi, vključeni v absolutno vrednost, vodijo do sorazmernega izraza. Za to pogosto uporabljajo pogojno naravnih metrov. Tako se na primer pri izračunu količine porabljenega goriva različne vrste goriva glede na njihovo kurilno vrednost izražajo v enotah standardnega goriva, katerega kalorična vrednost je 7000 cal/kg.

Merilniki dela (človeška ura, delovna izmena) se uporabljajo pri merjenju stroškov dela za proizvodnjo ali izvedbo posamezna dela, za določanje produktivnosti dela, pa tudi za merjenje virov dela.

Merilniki stroškov omogočajo posploševanje in primerjavo različnih pojavov. Uporabljajo se za določanje tako pomembnih kazalnikov, kot so promet, dobiček in kapitalske naložbe.

Pogosto se absolutna vrednost kazalnika izračuna z določeno pravilo na podlagi drugih kazalnikov. Na primer, bruto dobiček se izračuna kot razlika med bruto dohodkom in bruto stroški.

Številne absolutne vrednosti so predstavljene v obliki bilance stanja, ki predvideva izračun kazalnika v dveh delih: po virih oblikovanja (prejemni del bilance stanja) in po področjih uporabe (odhodkovni del). Absolutne kazalnike je mogoče prikazati tudi v obliki dinamične bilance stanja. Na primer, povečanje števila enot opreme v podjetju v enem letu lahko predstavimo kot razliko v številu enot opreme na koncu in na začetku leta ali kot razliko med številom enot na novo uvedeno in odsluženo opremo.

Poglavje 4.3. Relativne vrednosti.

Relativne vrednosti odražajo kvantitativna razmerja med družbeno-ekonomskimi pojavi. Algebraična oblika njih je količnik deljenja dveh količin istega ali različnih imen. Imenovalec razmerja se obravnava kot osnova primerjave ali osnova relativne velikosti.

Primerjalna osnova je lahko 100, 1000, 10.000 ali 100.000 enot. Nato bo relativna vrednost izražena kot odstotek (%), v ppm (%o), prodecimil (%oo), prosantimil (%ooo).

Uporabljajo se relativne vrednosti različne vsebine in narave.

Razmerje med različna imena absolutne vrednosti daje relativna velikost intenzivnost . To je poimenovana količina, ki združuje enoti števca in imenovalca. Na primer proizvodnja na prebivalca. Vrednosti relativne intenzivnosti označujejo stopnjo razširjenosti ali razvoja pojava v določenem okolju. Vključujejo tudi demografske koeficiente (rodnost, umrljivost, intenzivnost selitvenih tokov), ki jih izračunamo iz razmerja med številom dogodkov (smrti, rojstev) v določenem časovnem obdobju in povprečno število prebivalstva v istem obdobju.

Primerjava soimenjak količin nam omogoča identifikacijo naslednjih vrst relativnih veličin: struktura, koordinacija, dinamika, načrtna naloga, izvedba načrta, primerjava karakteristik objekta.

Relativne koordinacijske vrednosti - to so razmerja med posameznimi deli celote ali razmerja posamezne dele agregat na enega od njih, ki je osnova za primerjavo. Primer, število mestnih prebivalcev na 100 podeželskih; število žensk na 100 moških. Te vrednosti so izražene v odstotkih, ppm ali večkratnih razmerjih (na primer, na vsakih 100 moških je 114 žensk).

Za oceno intenzivnosti razvoja uporabite relativna velikost dinamike, ki se izračuna z razmerjem ravni preučevanega pojava v dveh obdobjih.

Relativne primerjalne vrednosti se izračunajo kot razmerja istoimenskih indikatorjev, ki označujejo različne predmete ali ozemlju in imajo enako časovno gotovost.

Nekateri procesi so načrtovani in postavljeni so planski cilji za kazalnike, ki jih odražajo. S primerjavo načrtovanih in dejanske vrednosti kazalniki se izračunajo z relativnimi vrednostmi: načrtna naloga in izvedba plana.

Če označimo dejansko raven tekočega obdobja y1, osnovno y0 in načrtovani ravni ypl, nato relativna vrednost:

Kd= y1 / y0,

2) načrtovana naloga

Kpz =ypl / y0,

3) izvajanje načrta

Kvp =y1 / ypl .

Poglavje 4.4. Vrste in oblike povprečnih velikosti.

Povprečna velikost klical statistični indikator, ki daje posplošeno značilnost različnih značilnosti homogenih enot populacije pod posebnimi pogoji kraja in časa. Vrednost povprečja označuje celotno populacijo in jo karakterizira glede na eno dano lastnost.

Povprečna vrednost odraža tisto, kar je skupno vsem enotam proučevane populacije.

Torej, na primer, povprečje plača podaja posplošen kvantitativni opis stanja plač za obravnavano populacijo delavcev.

Bistvo povprečja je v tem, da izniči naključna odstopanja v vrednostih značilnosti in upošteva spremembe, ki jih povzroča glavni dejavnik.

Statistična obdelava po metodi povprečnih vrednosti je sestavljena iz zamenjave posameznih vrednosti spremenljive značilnosti z določeno uravnoteženo povprečno vrednostjo X.

Na primer, posamezna proizvodnja 5 blagajnikov poslovne banke na dan je znašala 136, 140, 154 in 162 operacij. Če želite dobiti povprečno število transakcij na dan, ki jih opravi en operater, morate sešteti te posamezne kazalnike in dobljeni znesek deliti s številom operaterjev:

Kot je razvidno iz zgornjega primera, povprečno število operacij ne sovpada z nobeno od posameznih, saj niti en operater ni opravil 150 operacij. Če pa si predstavljamo, da je vsak operater opravil 150 operacij, potem skupni znesek ne bo spremenila, ampak bo tudi enaka 750. Tako smo prišli do glavne lastnosti povprečnih vrednosti: vsota posameznih vrednosti značilnosti je enaka vsoti povprečnih vrednosti.

Ta lastnost še enkrat poudarja, da je povprečna vrednost posplošujoča značilnost celotne statistične populacije.

Povprečne vrednosti so razdeljene v dva velika razreda:

Povprečja moči:

Aritmetika

Harmonično

Geometrijski

Kvadratični

Strukturna povprečja:

Moda

Mediana

Najpogostejša vrsta povprečja je aritmetična sredina:

Preprosta aritmetična sredina

Uteženo aritmetično povprečje

Aritmetična sredina za intervalno serijo.

Preprosta aritmetična sredina predstavlja povprečni izraz, pri ugotavljanju katerega je celoten obseg dane lastnosti v nizu podatkov enakomerno porazdeljen med vse enote, ki so v danem.

Tako je povprečna letna proizvodnja na delavca količina proizvodnje, ki bi padla na vsakega zaposlenega, če bi bila celotna proizvodnja v v enaki meri razdeljen med vse zaposlene v organizaciji. Aritmetična sredina enostavne vrednosti se izračuna po formuli.