Schrödingerjeva enačba za delec v potencialnem polju. Schrödingerjeva enačba

Gibanje mikrodelcev v različnih polja sile je opisan v okviru nerelativistične kvantne mehanike z uporabo Schrödingerjeve enačbe, iz katere sledijo eksperimentalno opazljivi pogoji valovne lastnosti delci. Ta enačba, tako kot vse osnovne enačbe fizike, ni izpeljana, ampak postulirana. Njegovo pravilnost potrjuje soglasje rezultatov izračuna z izkušnjami. Schrödingerjeva valovna enačba ima naslednje splošna oblika :

- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

kjer je ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 J ∙ s - Planckova konstanta;
m je masa delcev;
∆ - Laplaceov operator (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - želena valovna funkcija;
U (x, y, z, t) - potencialno funkcijo delci v polju sile, kjer se premika;
i je namišljena enota.

Ta enačba ima rešitev le pod pogoji, ki veljajo za valovno funkcijo:

1. ψ (x, y, z, t) mora biti končen, enovrednoten in zvezen;
2. njene prve odvodnice morajo biti zvezne;
3. funkcija | ψ | 2 mora biti integrabilen, kar se v najenostavnejših primerih zvede na pogoj za normalizacijo verjetnosti.

∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

kjer je ψ = ψ (x, y, z) samo valovna funkcija koordinat;
E - parameter enačbe - skupna energija delci.

Za to enačbo so samo tiste rešitve, ki so izražene z regularnimi funkcijami ψ (imenovane lastne funkcije), ki se pojavljajo le pri določenih vrednostih parametra E, imenovanih lastna vrednost energije. Te vrednosti E lahko tvorijo neprekinjeno ali diskretne serije, tj. tako zvezni kot diskretni energijski spekter.

Za kateri koli mikrodelec se ob prisotnosti Schrödingerjeve enačbe tipa (8.2) problem kvantne mehanike zmanjša na rešitev te enačbe, tj. iskanje vrednosti valovnih funkcij ψ = ψ (x, y, z), ki ustrezajo spektru intrinzičnih energij E. Nato poiščite gostoto verjetnosti | ψ | 2, ki v kvantni mehaniki določa verjetnost, da najdemo delec v enoti prostornine v bližini točke s koordinatami (x, y, z).

Eden najpreprostejših primerov reševanja Schrödingerjeve enačbe je problem obnašanja delca v enodimenzionalni pravokotni »potencialni jami« z neskončno visokimi »stenami«. Takšno "luknjo" za delec, ki se giblje samo vzdolž osi X, opisuje potencialna energija oblike

kjer je l širina "luknje", energija pa se meri od njenega dna (slika 8.1).

Schrödingerjeva enačba za stacionarna stanja v primeru enodimenzionalnega problema bo zapisana v obliki:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

Ker so »stene jame« neskončno visoke, delec ne prodre čez »jamo«. To vodi do robnih pogojev:

ψ (0) = ψ (l) = 0

Znotraj "vrtine" (0 ≤ x ≤ l) se enačba (8.4) reducira na obliko:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

kjer je k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2

ψ (x) = A ∙ sin (kx)

kjer je k = (n ∙ π)/ l

za celoštevilske vrednosti n.

Iz izrazov (8.8) in (8.10) sledi, da

E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)

Posledično je lahko mikrodelec v »potencialni jami« z neskončno visokimi »stenami« le na določenem energijskem nivoju E n , tj. v diskretnih kvantnih stanjih n.

Z zamenjavo izraza (8.10) v (8.9) najdemo lastne funkcije

ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x

kar bo v tem primeru zapisano kot:

Od koder kot rezultat integracije dobimo A = √ (2 / l) in potem imamo

ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)

Grafi funkcije ψ n (x) nimajo fizičnega pomena, medtem ko grafi funkcije | ψ n | 2 prikazuje porazdelitev gostote verjetnosti zaznave delca na različnih razdaljah od »sten jame« (slika 8.1). Ti grafi (kot tudi ψ n (x) - za primerjavo) so preučeni v tem delu in jasno kažejo, da so ideje o trajektorijah delcev v kvantni mehaniki nevzdržne.

Iz izraza (8.11) sledi, da je energijski interval med dvema sosednjima nivojema enak

∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

Iz tega je jasno, da za mikrodelce (kot so elektroni) pri velike velikosti"luknje" (l≈ 10 -1 m), se energijski nivoji nahajajo tako blizu, da tvorijo skoraj zvezen spekter. To stanje se pojavi na primer pri prosti elektroni v kovini. Če so dimenzije "vrtine" primerljive z atomskimi (l ≈ 10 -10 m), potem dobimo diskretni energijski spekter ( linijski spekter). Te vrste spektrov je mogoče preučevati tudi v tem delu za različne mikrodelce.

Drug primer obnašanja mikrodelcev (pa tudi mikrosistemov - nihal), ki se pogosto srečuje v praksi (in obravnavan v tem delu), je problem linearnega harmoničnega oscilatorja v kvantni mehaniki.

Kot je znano, potencialna energija enodimenzionalni harmonični oscilator mase m je enak

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

kjer je ω 0 lastna frekvenca oscilatorja ω 0 = √ (k / m);
k je koeficient elastičnosti oscilatorja.

Odvisnost (8.17) ima obliko parabole, tj. "potencialno luknjo" v v tem primeru je parabolična (slika 8.2).

ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)

kjer je N n stalni normalizacijski faktor, odvisen od celega števila n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) je polinom stopnje n, katerega koeficienti se izračunajo z uporabo ponavljajoče se formule za različna cela števila n.
V teoriji diferencialne enačbe lahko dokažemo, da ima Schrödingerjeva enačba rešitev (8.18) samo za energijske lastne vrednosti:

E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0

To pomeni, da ima lahko energija kvantnega oscilatorja samo diskretne vrednosti, tj. kvantizirano. Ko je n = 0, nastopi E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, tj. energija ničelne točke, ki je značilna za kvantne sisteme in predstavlja neposredna posledica odnosi negotovosti.

Kot kaže podrobna rešitev Schrödingerjeve enačbe za kvantni oscilator, vsaka lastna vrednost energije za različne n ustreza svoji valovni funkciji, ker stalni normalizacijski faktor je odvisen od n

in tudi H n (x) - Chebyshev-Hermiteov polinom stopnje n.
Poleg tega sta prva dva polinoma enaka:

H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α

Vsak naslednji polinom je povezan z nmi v skladu z naslednjo ponavljajočo se formulo:

H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)

Lastne funkcije tipa (8.18) nam omogočajo, da za kvantni oscilator najdemo verjetnostno gostoto najdenja mikrodelca kot | ψ n (x) | 2 in preverite njegovo obnašanje na različne stopnje energija. Reševanje tega problema je težko zaradi potrebe po uporabi ponavljajoče se formule. To težavo je mogoče uspešno rešiti le z uporabo računalnika, kar je v tem delu tudi storjeno.

To predavanje vam dajem za razvedrilo. Želel sem videti, kaj bi se zgodilo, če bi začel brati v nekoliko drugačnem slogu. Ni vključeno v tečaj in ne mislite, da je to poskus, da vas naučim, kako zadnjo uro nekaj novega. Raje si predstavljam, da vodim seminar ali predstavljam poročilo o raziskavi naprednejši publiki, ljudem, ki že veliko razumejo kvantno mehaniko. Glavna razlika med seminarjem in običajnim predavanjem je v tem, da na seminarju predavatelj ne predstavi vseh faz, celotne algebre izračunov. Preprosto pravi: "Če narediš to in tako, boš dobil to," vendar se ne spušča v podrobnosti. Zato bomo na tem predavanju podali le ideje in predstavili rezultate izračunov. In razumeti morate, da sploh ni potrebno takoj in popolnoma razumeti vsega, samo verjeti morate, da če naredite vse izračune, se bo vse izšlo.

A to še ni vse. Glavna stvar je, da želim govoriti o tem. To je tako sveže, relevantno, moderna tema, da ga je povsem legalno prinesti na seminar. Ta tema je klasičen vidik Schrödingerjeve enačbe, pojava superprevodnosti.

Običajno se valovna funkcija, ki se pojavi v Schrödingerjevi enačbi, nanaša le na enega ali dva delca. In sama valovna funkcija nima klasičnega pomena, za razliko od električnega polja ali vektorskega potenciala ali drugih podobnih stvari. Resda je valovna funkcija posameznega delca »polje« v smislu, da je funkcija položaja, vendar na splošno nima klasičnega pomena. Vendar pa včasih obstajajo okoliščine, v katerih kvantnomehanska valovna funkcija dejansko deluje klasični pomen, točno tega se želim dotakniti. Posebnost kvantnomehanskega obnašanja snovi v majhnih merilih se pri velikih pojavih navadno ne pozna, razen standardnih sklepov, da iz tega izvirajo Newtonovi zakoni, zakoni t.i. klasična mehanika. Toda včasih obstajajo okoliščine, v katerih imajo lahko značilnosti kvantne mehanike poseben učinek na obsežne pojave.

Pri nizkih temperaturah, ko se energija sistema zelo, zelo močno zmanjša, je namesto prejšnjega ogromnega števila stanj v igro vključeno le zelo, zelo majhno število stanj - tistih, ki se nahajajo nedaleč od glavnega . Pod takšnimi pogoji se lahko kvantnomehanski značaj tega osnovnega stanja manifestira na makroskopski ravni. Namen tega predavanja je prikazati povezavo med kvantno mehaniko in obsežnimi učinki – ne običajna razprava o tem, kako kvantna mehanika reproducirano v povprečju Newtonova mehanika, ampak poseben primer, ko kvantna mehanika povzroči lastne, značilne učinke na velike, »makroskopske« dimenzije.

Naj vas začnem tako, da vas spomnim na nekatere lastnosti Schrödingerjeve enačbe. Za opis obnašanja delca v magnetnem polju želim uporabiti Schrödingerjevo enačbo, ker so pojavi superprevodnosti povezani z magnetna polja. Zunanje magnetno polje opisuje vektorski potencial, vprašanje pa je, kakšni so zakoni kvantne mehanike v polju vektorskega potenciala. Princip, ki določa kvantno mehansko obnašanje delca v polju vektorskega potenciala, je zelo preprost. Amplituda, da se bo delec ob prisotnosti polja premaknil po določeni poti od enega mesta do drugega (slika 19.1), je enaka amplitudi, ki bi jo prešel po tej poti brez polja, pomnoženi z eksponentom krivočrtni integral iz vektorskega potenciala, pomnoženega s električni naboj in deljeno s Planckovo konstanto [glej Pogl. 15, 2. odstavek (6. številka)]:

To je izvirna izjava kvantne mehanike.

sl. 19.1. Amplituda prehoda iz v vzdolž poti je sorazmerna .

In v odsotnosti vektorskega potenciala ima Schrödingerjeva enačba za nabit delec (nerelativističen, brez spina) obliko

kjer je električni potencial, je tudi potencialna energija. In enačba (19.1) je enakovredna izjavi, da je treba v magnetnem polju gradiente v hamiltonianu vsakič nadomestiti z gradientom minus, tako da se (19.2) spremeni v

To je Schrödingerjeva enačba za delec z nabojem (nerelativističen, brez spina), ki se giblje v elektromagnetnem polju.

Da bi bilo jasno, da je pravilno, želim to ponazoriti s preprostim primerom, kjer je namesto neprekinjenega primera linija atomov, postavljenih na osi na medsebojni razdalji, in obstaja amplituda za elektron preskočiti v odsotnosti polja z enega atoma na drugega. Potem, v skladu z enačbo (19.1), če obstaja vektorski potencial v -smeri, potem se bo amplituda skoka spremenila v primerjavi s prejšnjo, jo bo treba pomnožiti z - eksponent z indikatorjem, enako zmnožku na vektorski potencial, integriran iz enega atoma v drugega. Zaradi enostavnosti bomo pisali , saj je na splošno odvisno od . Če z amplitudo označimo, da se elektron nahaja v bližini atoma, ki se nahaja v točki, bo hitrost spremembe te amplitude podana z enačbo

Ima tri dele. Prvič, elektron, ki je v točki, ima nekaj energije. To, kot običajno, daje člana. Potem je tu še izraz, tj. amplituda dejstva, da je elektron iz atoma, ki se nahaja na, skočil korak nazaj. Če pa se to zgodi ob prisotnosti vektorskega potenciala, se mora faza amplitude premakniti v skladu s pravilom (19.1). Če se razdalja med sosednjimi atomi ne spremeni opazno, lahko integral zapišemo preprosto kot vrednost na sredini, pomnoženo z razdaljo. Torej je zmnožek, pomnožen z integralom, enak . In ker je elektron skočil nazaj, ta fazni premik označim z znakom minus. To daje drugi del. In na enak način obstaja določena amplituda, da bo prišlo do skoka naprej, toda tokrat je vektorski potencial vzet na drugi strani od , na razdalji, in pomnožen z razdaljo. Tako dobimo tretji del. Če povzamemo, dobimo enačbo za amplitudo, da bo delec v polju, za katerega je značilen vektorski potencial, končal v točki .

Nadalje pa vemo, da če je funkcija dovolj gladka (vzamemo mejo dolgih valov) in če premaknemo atome bližje skupaj, bo enačba (14.4) (str. 80) približno opisala obnašanje elektrona v vakuumu. Zato je naslednji korak razširitev obeh strani (19.4) na potence, pri čemer menimo, da je zelo majhna. Na primer, če , potem desni del bo enako preprosto , torej je v ničelnem približku energija enaka . Potem bodo prišle potence, a zaradi dejstva, da sta predznaka eksponentov nasprotna, bodo ostale le sode potence. Kot rezultat, če razširite Taylorjev niz in eksponente ter nato zberete izraze z , dobite. Ne pozabite, da raztopine v ničelnem magnetnem polju (glej poglavje I, § 3) prikazujejo delec z efektivna masa podana s formulo

Če ga nato odložite se vrnete k , potem lahko enostavno preverite, da je (19.6) enak prvemu delu (19.3). (Izvor izraza potencialne energije je dobro znan in vanj se ne bom spuščal.) Trditev (19.1), da vektorski potencial pomnoži vse amplitude z eksponentnim faktorjem, je enakovredna pravilu, da se operator gibalne količine nadomesti z kot smo storili v Schrödingerjevi enačbi (19.3).

SCHRÖDINGERJEVA ENAČBA
IN NJENI POSEBNI PRIMERI (nadaljevanje): prehod delca skozi POTENCIALNO PREGRADO, Harmonični oscilator

Prehod delca skozi potencialno pregrado za klasični primer, ki smo ga že obravnavali v PREDAVANJU 7 1. DELA (glej sliko 7.2). Oglejmo si zdaj mikrodelec, katerega skupna energija je manjša od ravni U potencialno pregrado (slika 19.1). IN klasična različica v tem primeru je prehod delca skozi pregrado nemogoč. Vendar pa v kvantna fizika obstaja možnost, da bo delec prešel. Poleg tega ga ne bo "preskočil", ampak bo tako rekoč "uhajal skozi" z uporabo svojih valovnih lastnosti. Zato se učinek imenuje tudi "tunel". Za vsako od področij I, II, III zapišimo stacionarna enačba Schrödinger (18.3).

Za jaz in III: , (19.1, a)

Za II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, kjer je a = konst. Potem in y" = . Zamenjava y" v (19.1a) daje: Zahtevano skupna odločitev za regijo jaz bo zapisan kot superpozicija

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

V tem primeru Izhodiščeširjenje valov se premakne za L, a IN 3 = 0 , saj na območju III obstaja samo prehodni val.

V območju II(pregrada) zamenjava y" v (19.1b) daje

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

Značilna je verjetnost prehoda prehodna stopnja- razmerje med intenzivnostjo oddanega vala in intenzivnostjo vpadnega:

(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)

od katerih prva dva pomenita "šivanje" funkcij na levi in ​​desni meji pregrade, tretji in četrti pa gladkost takšnega prehoda. Če zamenjamo funkcije y1, y2 in y3 v (19.5), dobimo enačbe

Razdelimo jih na A 1 in označujemo a 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; a 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.

. (19.6)

Pomnožimo prvo enačbo (19.6) s jazk in ga dodajte drugemu. Dobimo 2 jazk = a 2(q +jazk)- b 2(q-jazk) . (19.7)

Drugi par enačb (19.6) bomo obravnavali kot sistem dveh enačb z neznankama a 2 in b 2.

Determinante tega sistema:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

kjer e- qL(q+jazk) 2 » 0, ker qL >> 1.

Zato https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63"> in najti modul kompleksne vrednosti A 3, pomnožite števec in imenovalec dobljenega ulomka z ( q +jazk)2. Po enostavne transformacije dobimo

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Običajno E/U~ 90 % in celoten koeficient pred "e" je reda ena. Zato je verjetnost, da delci preidejo pregrado, določena z naslednjim razmerjem:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

To pomeni, da ko E< U delec ne bo premagal ovire, tj. tunelskega učinka v klasična fizika odsoten.

Ta učinek se uporablja v inženirska praksa za ustvarjanje tunelskih diod, ki se pogosto uporabljajo v radijskih napravah (glej 3. DEL, 3. PREDAVANJE).

Poleg tega se je izkazalo, da je mogoče sprožiti kopenske razmere termonuklearna reakcija sintezo, ki nastane na Soncu v običajnih pogojih za Sonce – pri temperaturi T ~ 109 K. Te temperature pa na Zemlji ni, zahvaljujoč učinek tunela, obstaja verjetnost, da se bo reakcija začela pri temperaturi T ~ 107 K ki nastane med eksplozijo atomska bomba, ki je bila vžigalna naprava za vodikovo. Več o tem v naslednjem delu tečaja.

Harmonični oscilator.Klasična Obravnavali smo tudi že harmonični oscilator (PREDAVANJA 1,2 3. DEL). Na primer, so vzmetno nihalo, katerih skupna energija E = mV 2/2 + kx 2/2. Teoretično lahko ta energija zavzame neprekinjen niz vrednosti, začenši od nič.

Kvantni harmonični oscilator je oscilator harmonični zakon mikrodelec, ki se nahaja v vezano stanje znotraj atoma ali jedra. V tem primeru potencialna energija ostane klasična, kar označuje podobno elastično obnovitveno silo kx. Glede na to, da je ciklična frekvenca dobimo za potencialno energijo https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

Matematično je ta problem še bolj zapleten od prejšnjih. Zato se bomo omejili na navedbo, kaj se bo zgodilo kot rezultat. Tako kot v primeru enodimenzionalne vrtine dobimo diskretna spekter lastnih funkcij in lastnih energij, ena lastna vrednost energije pa bo ustrezala eni valovni funkciji: EnÛ y n(ni degeneracije stanj, kot v primeru tridimenzionalne vrtine). Tudi gostota verjetnosti |yn|2 je nihajoča funkcija, vendar je višina "grbin" drugačna. Ni več trivialno greh2 , in bolj eksotične Hermitove polinome Hn(x). Valovna funkcija izgleda kot

, Kje Zn- odvisno od n konstantna. Spekter lastnih vrednosti energije:

, (19.10)

kje je kvantno število n = 0, 1, 2, 3 ... . Tako obstaja tudi " nič energije" , nad katerim energijski spekter tvori "polico", kjer se police nahajajo na enaki razdalji druga od druge (slika 19.2). Ista slika prikazuje za vsako raven energije ustrezno gostoto verjetnosti |yn|2 in potencialno energijo zunanje polje(pikčasta parabola).

Obstoj minimalne možne energije oscilatorja, ki ni ničelna, ima globok pomen. To pomeni, da se tresljaji mikrodelcev ne ustavijo nikoli, kar posledično pomeni nedosegljivost absolutna ničla temperatura.

1. , Bursova fizika: Tečaj predavanj z računalniško podporo: Učbenik. pomoč študentom višje učbenik ustanove: V 2 zvezkih - M.: Založba VLADOS-PRESS, 2001.

Načeloma nič posebnega, najdemo jih v tabelah in celo grafih.

Naj se delec giblje vzdolž osi X. V tem primeru je gibanje omejeno z segmentom (. 0,l). V točkah x=0 in x=l so neprehodne neskončno visoke stene. Potencialna energija ima v tem primeru obliko

Ta odvisnost potencialne energije od x se imenuje potencialni vodnjak.

Zapišimo stacionarno Schrödingerjevo enačbo

Ker je funkcija psi odvisna samo od koordinate x, se enačba poenostavi na naslednji način

Znotraj potencialne jame U=0

Delec ne more preseči potencialne jame. Zato je verjetnost zaznave delca zunaj vrtine enaka nič. V skladu s tem je psi-funkcija zunaj luknje enaka nič. Iz pogoja kontinuitete sledi, da mora biti ψ na mejah vrtine enak nič, tj. . To je robni pogoj, ki ga morajo izpolnjevati rešitve enačbe.

Uvedemo notacijo

in dobimo enačbo, dobro znano iz teorije nihanj

Rešitev takšne enačbe ima obliko harmonična funkcija

Izbira ustreznih parametrov k in α je določena z robnimi pogoji, in sicer

n = 0 se odpravi, ker v tem primeru je ψ = 0 in delca ni nikjer. Posledično ima število k samo določene diskretne vrednosti, ki izpolnjujejo pogoj. Sledi zelo pomemben rezultat. Bomo našli lastne vrednosti energija delcev

tiste. Energija elektrona v potencialni jami ni poljubna, ampak ima diskretne vrednosti, tj. je kvantizirano. Vrednost E n je odvisna od celega številan , ki ima vrednost od 1 do ∞ in se imenuje glavni kvantno število . Imenujejo se kvantizirane vrednosti energije ravni energije, in kvantno število n določa število energijske ravni. Tako je lahko elektron v potencialni jami na določeni energijski ravni E n. Poleg tega je najmanjša energijska vrednost, ki ustreza prvi energetski ravni, drugačna od nič

.

Določimo razdaljo med sosednjima energijskima nivojema

Pri velikih m in l postane razdalja med nivojema majhna in spekter postane kvazizvezen. Relativna razdalja med nivoji

pri n → ∞,

to pomeni, da spekter postane zvezen. To je Bohrov korespondenčni princip: Za velika kvantna števila se morajo zaključki in rezultati kvantne mehanike ujemati s klasičnimi rezultati.

Vrnimo se k problemu določanja lastnih funkcij. Po uporabi robnih pogojev, ki jih imamo

Za iskanje koeficienta A uporabimo normalizacijski pogoj

Vrednost integrala je l /2.

Tako imajo lastne funkcije obliko

Grafi lastnih funkcij izgledajo takole

Končno oblikujmo glavne ugotovitve:

1. Energijski spekter delca v potencialni jami je diskreten – energija je kvantizirana.

2. Najmanjša vrednost kinetična energija ne more biti enako nič.

3. Diskretna narava ravni energije se pojavi pri nizki m,l in n, na prostosti m,l,n gibanje postane klasično.

4. Položaji mikrodelca v jami niso enako verjetni, temveč jih določajo lastne funkcije, medtem ko so pri klasičnem delcu vsi položaji enako verjetni.

Vprašanja za samokontrolo:

1. Kako določiti verjetnost, da najdemo delec na določeni točki?

2. Kaj imenujemo potencialna vrtina?

3. Kaj pomeni Schrödingerjeva enačba? Kaj nam omogoča Schrödingerjeva enačba?

4. Kateri pogoji veljajo za psi funkcijo?

5. Kakšen je fizikalni pomen glavnega kvantnega števila?

6. Zakaj je kvantna mehanika statistična teorija?

7. Kaj je Bohrov korespondenčni princip?

Za delce kvantni svet veljajo drugi zakoni kot za objekte klasične mehanike. Po de Brogliejevi predpostavki imajo mikroobjekti tako lastnosti delcev kot valov - in res, ko je elektronski žarek razpršen na luknji, opazimo uklon, značilen za valove.

Zato ne moremo govoriti o gibanju kvantni delci, temveč o verjetnosti, da bo delec v določena točka na neki točki v času.

Kaj opisuje Schrödingerjeva enačba?

Schrödingerjeva enačba naj bi opisala značilnosti gibanja kvantnih objektov v poljih zunanje sile. Pogosto se delec giblje skozi polje sile, ki ni odvisno od časa. Za ta primer je stacionarna Schrödingerjeva enačba zapisana:

V predstavljeni enačbi sta m in E in s tem energija delca, ki se nahaja v polju sile, U pa je to polje. — Laplaceov operater. — Planckova konstanta je enaka 6,626 10 -34 J s.

(imenuje se tudi verjetnostna amplituda ali psi-funkcija) - to je funkcija, ki nam omogoča, da ugotovimo, na katerem mestu v prostoru se bo najverjetneje nahajal naš mikroobjekt. Ni sama funkcija tista, ki ima fizični pomen, temveč njen kvadrat. Verjetnost, da je delec v elementarni prostornini:

Zato lahko najdemo funkcijo v končni prostornini z verjetnostjo:

Ker je psi funkcija verjetnost, tudi ne more biti manj kot nič, niti ne presega enega. Skupna verjetnost iskanje delca v neskončni prostornini je normalizacijski pogoj:

Za psi funkcijo deluje princip superpozicije: če je delec ali sistem lahko v več kvantnih stanjih, potem je zanj možno tudi stanje, ki ga določa njihova vsota:

Stacionarna Schrödingerjeva enačba ima veliko rešitev, vendar jo je treba pri reševanju upoštevati mejni pogoji in izberite samo lastne rešitve- tisti, ki imajo fizični pomen. Take rešitve obstajajo samo za posamezne vrednote energije delca E, ki tvorijo diskretni energijski spekter delca.

Primeri reševanja problemov

PRIMER 1

PRIMER 2