Nxënësit gjithmonë pyesin: “Pse nuk mund të përdor një makinë llogaritëse në provimin e matematikës? Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri pa kalkulator? Le të përpiqemi t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje.
Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri pa ndihmën e një kalkulatori?
Veprimi rrenja katrore anasjelltas me veprimin e katrorit.
√81= 9 9 2 =81
Nëse merrni rrënjën katrore të një numri pozitiv dhe katrorin e rezultatit, merrni të njëjtin numër.
Nga numrat e vegjël që janë katrorë të saktë të numrave natyrorë, për shembull 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, rrënjët katrore mund të nxirren gojarisht. Zakonisht në shkollë ata mësojnë një tabelë me katrorë të numrave natyrorë deri në njëzet. Duke ditur këtë tabelë, është e lehtë të nxirren rrënjë katrore nga numrat 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Nga numrat më të mëdhenj se 400 mund t'i nxirrni duke përdorur metodën e përzgjedhjes duke përdorur disa këshilla. Le të përpiqemi ta shikojmë këtë metodë me një shembull.
Shembull: Nxjerr rrënjën e numrit 676.
Vëmë re se 20 2 = 400, dhe 30 2 = 900, që do të thotë 20< √676 < 900.
katrorët e saktë të numrave natyrorë përfundojnë me 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Numri 6 jepet nga 4 2 dhe 6 2.
Kjo do të thotë që nëse rrënja merret nga 676, atëherë është ose 24 ose 26.
Mbetet për të kontrolluar: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Përgjigje: √676 = 26 .
Më shumë shembull: √6889 .
Meqenëse 80 2 = 6400, dhe 90 2 = 8100, atëherë 80< √6889 < 90.
Numri 9 jepet nga 3 2 dhe 7 2, atëherë √6889 është i barabartë me 83 ose 87.
Le të kontrollojmë: 83 2 = 6889.
Përgjigje: √6889 = 83 .
Nëse e keni të vështirë ta zgjidhni duke përdorur metodën e përzgjedhjes, mund të faktorizoni shprehjen radikale.
Për shembull, gjeni √893025.
Le të faktorizojmë numrin 893025, mbani mend, ju e keni bërë këtë në klasën e gjashtë.
Ne marrim: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Më shumë shembull: √20736. Le të faktorizojmë numrin 20736:
Ne marrim √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Natyrisht, faktorizimi kërkon njohuri për shenjat e pjesëtueshmërisë dhe aftësitë e faktorizimit.
Dhe së fundi, ka Rregulli për nxjerrjen e rrënjëve katrore. Le të njihemi me këtë rregull me shembuj.
Llogaritni √279841.
Për të nxjerrë rrënjën e një numri të plotë shumëshifror, ne e ndajmë atë nga e djathta në të majtë në faqe që përmbajnë 2 shifra (skaji më i majtë mund të përmbajë një shifër). E shkruajmë kështu: 27’98’41
Për të marrë shifrën e parë të rrënjës (5), marrim rrënjën katrore të katrorit më të madh të përsosur që gjendet në faqen e parë në të majtë (27).
Pastaj katrori i shifrës së parë të rrënjës (25) i zbritet faqes së parë dhe faqes tjetër (98) i shtohet diferencës (i zbritet).
Në të majtë të numrit që rezulton 298, shkruani dyshifrorët e rrënjës (10), pjesëtoni me të numrin e të gjitha dhjetërave të numrit të marrë më parë (29/2 ≈ 2), provoni herësin (102 ∙ 2 = 204 duhet të jetë jo më shumë se 298) dhe shkruani (2) pas shifrës së parë të rrënjës.
Pastaj herësi që rezulton 204 zbritet nga 298 dhe skaji tjetër (41) i shtohet diferencës (94).
Në të majtë të numrit që rezulton 9441, shkruani produktin e dyfishtë të shifrave të rrënjës (52 ∙2 = 104), pjesëtoni numrin e të gjitha dhjetësheve të numrit 9441 (944/104 ≈ 9) me këtë produkt, provoni herësi (1049 ∙9 = 9441) duhet të jetë 9441 dhe shënojeni atë (9) pas shifrës së dytë të rrënjës.
Morëm përgjigjen √279841 = 529.
Ekstraktoni në mënyrë të ngjashme rrënjët e thyesave dhjetore. Vetëm numri radikal duhet të ndahet në fytyra në mënyrë që presja të jetë midis fytyrave.
Shembull. Gjeni vlerën √0.00956484.
Vetëm mos harroni se nëse një thyesë dhjetore ka një numër tek i numrave dhjetorë, rrënja katrore nuk mund të nxirret prej saj.
Pra, tani keni parë tre mënyra për të nxjerrë rrënjën. Zgjidhni atë që ju përshtatet më shumë dhe praktikoni. Për të mësuar të zgjidhni problemet, duhet t'i zgjidhni ato. Dhe nëse keni ndonjë pyetje, regjistrohu për mësimet e mia.
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.
Numrat racionalëRrënja katrore jo negative e një numri pozitiv quhet rrënja katrore aritmetike dhe shënohet duke përdorur shenjën radikale.
Numrat kompleks
Mbi fushën e numrave kompleksë ka gjithmonë dy zgjidhje, të ndryshme vetëm në shenjë (me përjashtim të rrënjës katrore të zeros). Rrënja e numër kompleks shpesh shënohet si , por ky emërtim duhet të përdoret me kujdes. Gabim i zakonshëm:
Për të nxjerrë rrënjën katrore të një numri kompleks, është e përshtatshme të përdoret forma eksponenciale e shkrimit të një numri kompleks: nëse
,
,
ku rrënja e modulit kuptohet në kuptimin vlera aritmetike, dhe k mund të marrë vlerat k=0 dhe k=1, kështu që përgjigja përfundon me dy rezultate të ndryshme.
Përgjithësimet
Rrënjët katrore prezantohen si zgjidhje për ekuacionet e formës për objekte të tjera: matricat, funksionet, operatorët, etj. Veprimet shumëzuese mjaft arbitrare mund të përdoren si një veprim, për shembull, mbivendosje.
Rrënja katrore në shkencat kompjuterike
Në shumë gjuhë programimi të nivelit të funksionit (si dhe gjuhët e shënjimit si LaTeX), funksioni i rrënjës katrore shkruhet si sqrt(nga anglishtja rrenja katrore"Rrenja katrore").
Algoritmet për gjetjen e rrënjës katrore
Gjetja ose llogaritja e rrënjës katrore numri i dhënë thirrur nxjerrjes(rrenja katrore.
Zgjerimi i serisë Taylor
në .Rrënja katrore aritmetike
Për katrorët e numrave barazitë e mëposhtme janë të vërteta:
Kjo do të thotë, ju mund të zbuloni të gjithë pjesën e rrënjës katrore të një numri duke zbritur gjithçka prej tij numra tek në mënyrë që pjesa e mbetur të jetë më e vogël se numri tjetër që do të zbritet ose është e barabartë me zero, dhe duke numëruar numrin e veprimeve të kryera. Për shembull, si kjo:
Kanë përfunduar 3 hapa, rrënja katrore e 9 është 3.
Disavantazhi i kësaj metode është se nëse rrënja që nxirret nuk është një numër i plotë, atëherë mund të zbuloni vetëm të gjithë pjesën e saj, por jo më saktë. Në të njëjtën kohë, kjo metodë është mjaft e arritshme për fëmijët që mund të zgjidhin probleme të thjeshta. problemet e matematikës, që kërkon nxjerrjen e rrënjës katrore.
Vlerësim i përafërt
Shumë algoritme llogaritëse rrënjë katrore nga pozitive numër real S kërkojnë një vlerë fillestare. Nëse vlera fillestare shumë larg vlerës së vërtetë të rrënjës, llogaritjet ngadalësohen. Prandaj, është e dobishme të kemi një vlerësim të përafërt, i cili mund të jetë shumë i pasaktë, por është i lehtë për t'u llogaritur. Nëse S≥ 1, le D do të jetë numri i shifrave S në të majtë të pikë dhjetore. Nëse S < 1, пусть D do të jetë numri i zerove të njëpasnjëshme në të djathtë të presjes dhjetore, të marra me shenjën minus. Atëherë vlerësimi i përafërt duket si ky:
Nëse D i çuditshëm, D = 2n+ 1, pastaj përdorni 
Nëse D madje, D = 2n+ 2, pastaj përdorni 
Dy dhe gjashtë përdoren sepse 
Dhe
Kur punoni në një sistem binar (si brenda kompjuterëve), duhet të përdoret një vlerësim i ndryshëm (këtu Dështë numri i shifrave binare).
Rrënja katrore gjeometrike
Për të nxjerrë me dorë rrënjën, përdoret një shënim i ngjashëm me ndarjen e gjatë. Numri rrënja e të cilit po kërkojmë është shkruar. Në të djathtë të saj gradualisht do të marrim numrat e rrënjës së dëshiruar. Le të marrim rrënjën e numrit c numër i kufizuar vende dhjetore. Për të filluar, mendërisht ose me shenja, e ndajmë numrin N në grupe me dy shifra në të majtë dhe në të djathtë të presjes dhjetore. Nëse është e nevojshme, grupet janë të mbushura me zero - pjesa e plotë është e mbushur në të majtë, pjesa e pjesshme në të djathtë. Pra, 31234.567 mund të përfaqësohet si 03 12 34. 56 70. Ndryshe nga ndarja, prishja kryhet në grupe të tilla me 2 shifra.
Përshkrimi vizual i algoritmit:
Sheshi truall katror toka eshte 81 dm². Gjeni anën e tij. Supozoni se gjatësia e anës së katrorit është X decimetra. Atëherë sipërfaqja e parcelës është X² decimetra katrore. Meqenëse, sipas gjendjes, kjo sipërfaqe është e barabartë me 81 dm², atëherë X² = 81. Gjatësia e anës katrore - numër pozitiv. Një numër pozitiv katrori i të cilit është 81 është numri 9. Gjatë zgjidhjes së problemit, ishte e nevojshme të gjendej numri x katrori i të cilit është 81, d.m.th. të zgjidhej ekuacioni X² = 81. Ky ekuacion ka dy rrënjë: x 1 = 9 dhe x 2 = - 9, pasi 9² = 81 dhe (- 9)² = 81. Të dy numrat 9 dhe - 9 quhen rrënjë katrore të 81.
Vini re se një nga rrënjët katrore X= 9 është një numër pozitiv. Quhet rrënja katrore aritmetike e 81 dhe shënohet √81, pra √81 = 9.
Rrënja katrore aritmetike e një numri Aështë një numër jo negativ katrori i të cilit është i barabartë me A.
Për shembull, numrat 6 dhe - 6 janë rrënjë katrore të numrit 36. Megjithatë, numri 6 është një rrënjë katrore aritmetike prej 36, pasi 6 është një numër jo negativ dhe 6² = 36. Numri - 6 nuk është një rrënjë aritmetike.
Rrënja katrore aritmetike e një numri A shënohet si më poshtë: √ A.
Shenja quhet shenja aritmetike e rrënjës katrore; A- quhet shprehje radikale. Shprehja √ A lexoni si kjo: rrënja katrore aritmetike e një numri A. Për shembull, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Në rastet kur është e qartë se ne po flasim për për një rrënjë aritmetike thonë shkurt: “rrënja katrore e A«.
Akti i gjetjes së rrënjës katrore të një numri quhet rrënjosje katrore. Ky veprim është e kundërta e katrorit.
Mund të katrorësh çdo numër, por nuk mund të nxjerrësh rrënjë katrore nga asnjë numër. Për shembull, është e pamundur të nxjerrësh rrënjën katrore të numrit - 4. Nëse një rrënjë e tillë ekzistonte, atëherë, duke e treguar atë me shkronjën X, do të merrnim barazinë e gabuar x² = - 4, pasi ka një numër jo negativ në të majtë dhe një numër negativ në të djathtë.
Shprehja √ A ka kuptim vetëm kur a ≥ 0. Përkufizimi i rrënjës katrore mund të shkruhet shkurt si më poshtë: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Barazia (√ A)² = A e vlefshme per a ≥ 0. Kështu, për të siguruar që rrënja katrore e numër jo negativ A barazohet b, pra në faktin se √ A =b, duhet të kontrolloni nëse plotësohen dy kushtet e mëposhtme: b ≥ 0, b² = A.
Rrënja katrore e një thyese
Le të llogarisim. Vini re se √25 = 5, √36 = 6, dhe le të kontrollojmë nëse barazia vlen.
Sepse 
dhe , atëherë barazia është e vërtetë. Kështu që, 
.
Teorema: Nëse A≥ 0 dhe b> 0, pra rrënja e thyesës e barabartë me rrënjën nga numëruesi i pjesëtuar me rrënjën e emëruesit. Kërkohet të vërtetohet se: dhe 
.
Që nga √ A≥0 dhe √ b> 0, pastaj.
Mbi vetinë e ngritjes së një thyese në një fuqi dhe përkufizimin e një rrënjë katrore 
vërtetohet teorema. Le të shohim disa shembuj.
Llogaritni duke përdorur teoremën e provuar 
.
Shembulli i dytë: Vërtetoni këtë 
, Nëse A ≤ 0, b < 0. 
.
Një shembull tjetër: Llogarit .
.
Konvertimi i rrënjës katrore
Heqja e shumëzuesit nën shenjën e rrënjës. Le të jepet shprehja. Nëse A≥ 0 dhe b≥ 0, atëherë duke përdorur teoremën e rrënjës së produktit mund të shkruajmë:
Ky transformim quhet heqja e faktorit nga shenja rrënjësore. Le të shohim një shembull;
Llogaritni në X= 2. Zëvendësim i drejtpërdrejtë X= 2 në shprehjen radikale çon në llogaritjet komplekse. Këto llogaritje mund të thjeshtohen nëse së pari hiqni faktorët nga nën shenjën e rrënjës: . Duke zëvendësuar tani x = 2, marrim:.
Pra, kur hiqni faktorin nga nën shenjën e rrënjës, shprehja radikale paraqitet në formën e një produkti në të cilin një ose më shumë faktorë janë katrorë të numrave jo negativë. Më pas aplikoni teoremën e rrënjës së produktit dhe merrni rrënjën e secilit faktor. Le të shqyrtojmë një shembull: Thjeshtoni shprehjen A = √8 + √18 - 4√2 duke i hequr faktorët në dy termat e parë nga nën shenjën e rrënjës, marrim:. Le të theksojmë atë barazi 
e vlefshme vetëm kur A≥ 0 dhe b≥ 0. nëse A < 0, то .
Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
Është koha për ta rregulluar atë Metodat e nxjerrjes së rrënjëve. Ato bazohen në vetitë e rrënjëve, në veçanti, në barazinë, e cila është e vërtetë për çdo numër jo negativ b.
Më poshtë do të shohim metodat kryesore të nxjerrjes së rrënjëve një nga një.
Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë - nxjerrjen e rrënjëve nga numrat natyrorë duke përdorur një tabelë katrorësh, një tabelë me kube, etj.
Nëse tabelat e katrorëve, kubeve etj. Nëse nuk e keni pranë, është logjike të përdorni metodën e nxjerrjes së rrënjës, e cila përfshin zbërthimin e numrit radikal në faktorët kryesorë.
Vlen të përmendet veçanërisht se çfarë është e mundur për rrënjët me eksponentë tek.
Së fundi, le të shqyrtojmë një metodë që na lejon të gjejmë në mënyrë sekuenciale shifrat e vlerës së rrënjës.
Le të fillojmë.
Përdorimi i një tabele me katrorë, një tabelë me kube, etj.
Në shumicën raste të thjeshta tabelat e katrorëve, kubeve etj ju lejojnë të nxirrni rrënjë. Cilat janë këto tabela?
Tabela e katrorëve të numrave të plotë nga 0 në 99 përfshirëse (treguar më poshtë) përbëhet nga dy zona. Zona e parë e tabelës është e vendosur në një sfond gri duke zgjedhur një rresht specifik dhe një kolonë specifike, ju lejon të kompozoni një numër nga 0 në 99. Për shembull, le të zgjedhim një rresht me 8 dhjetëshe dhe një kolonë me 3 njësi, me këtë ne fiksuam numrin 83. Zona e dytë zë pjesën tjetër të tabelës. Çdo qelizë ndodhet në kryqëzimin e një rreshti të caktuar dhe një kolone të caktuar dhe përmban katrorin e numrit përkatës nga 0 në 99. Në kryqëzimin e rreshtit tonë të zgjedhur prej 8 dhjetëshe dhe kolonës 3 prej njësh ka një qelizë me numrin 6,889, që është katrori i numrit 83.
Tabelat e kubeve, tabelat e fuqive të katërta të numrave nga 0 deri në 99, e kështu me radhë janë të ngjashme me tabelën e katrorëve, vetëm ato përmbajnë kube, fuqi të katërt, etj. në zonën e dytë. numrat përkatës.
Tabelat e katrorëve, kubeve, fuqive të katërta etj. ju lejon të nxirrni rrënjë katrore, rrënjët kubike, rrënjët e katërt etj. përkatësisht nga numrat në këto tabela. Le të shpjegojmë parimin e përdorimit të tyre gjatë nxjerrjes së rrënjëve.
Le të themi se duhet të nxjerrim rrënjën e n-të të numrit a, ndërsa numri a gjendet në tabelën e fuqive të n-të. Duke përdorur këtë tabelë gjejmë numrin b të tillë që a=b n. Pastaj 
, pra, numri b do të jetë rrënja e dëshiruar e shkallës së n-të.
Si shembull, le të tregojmë se si të përdorim një tabelë kubike për të nxjerrë rrënjën e kubit prej 19,683. Gjejmë numrin 19683 në tabelën e kubeve, prej saj gjejmë se ky numër është kubi i numrit 27, pra, 
.
Është e qartë se tabelat e fuqive të n-të janë shumë të përshtatshme për nxjerrjen e rrënjëve. Megjithatë, ato shpesh nuk janë pranë, dhe përpilimi i tyre kërkon pak kohë. Për më tepër, shpesh është e nevojshme të nxirren rrënjë nga numrat që nuk përmbahen në tabelat përkatëse. Në këto raste, duhet të përdorni metoda të tjera të nxjerrjes së rrënjëve.
Faktorizimi i një numri radikal në faktorët kryesorë
Mjaft në një mënyrë të përshtatshme, që bën të mundur nxjerrjen e rrënjës nga një numër natyror (nëse, natyrisht, rrënja nxirret), është zbërthimi i numrit radikal në faktorë të thjeshtë. E tij çështja është kjo: pas kësaj është mjaft e lehtë ta përfaqësosh atë si një fuqi me eksponentin e dëshiruar, i cili ju lejon të merrni vlerën e rrënjës. Le ta sqarojmë këtë pikë.
Le të merret rrënja e n-të e një numri natyror a dhe vlera e tij është e barabartë b. Në këtë rast, barazia a=b n është e vërtetë. Numri b si çdo tjetër numri natyror mund të paraqitet si prodhim i të gjithë faktorëve të tij të thjeshtë p 1 , p 2 , …, p m në formën p 1 · p 2 · … · p m , dhe numri radikal a në këtë rast paraqitet si (p 1 · p 2 · … · p m) n. Meqenëse zbërthimi i një numri në faktorë të thjeshtë është unik, zbërthimi i numrit radikal a në faktorë të thjeshtë do të ketë formën (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, gjë që bën të mundur llogaritjen e vlerës së rrënjës. si.
Vini re se nëse zbërthimi në faktorë të thjeshtë të një numri radikal a nuk mund të përfaqësohet në formën (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, atëherë rrënja e n e një numri të tillë a nuk është nxjerrë plotësisht.
Le ta kuptojmë këtë kur zgjidhim shembuj.
Shembull.
Merrni rrënjën katrore të 144.
Zgjidhje.
Nëse shikoni tabelën e katrorëve të dhënë në paragrafin e mëparshëm, mund të shihni qartë se 144 = 12 2, nga e cila është e qartë se rrënja katrore e 144 është e barabartë me 12.
Por në dritën e kësaj pike, ne jemi të interesuar se si nxirret rrënja duke zbërthyer numrin radikal 144 në faktorët kryesorë. Le të shohim këtë zgjidhje.
Le të shpërbëhemi 144 tek faktorët kryesorë:
Domethënë 144=2·2·2·2·3·3. Bazuar në dekompozimin që rezulton, mund të kryhen transformimet e mëposhtme: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Prandaj, 
.
Duke përdorur vetitë e shkallës dhe vetitë e rrënjëve, zgjidhja mund të formulohet pak më ndryshe: .
Përgjigje:
Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjet e dy shembujve të tjerë.
Shembull.
Llogaritni vlerën e rrënjës.
Zgjidhje.
Faktorizimi i thjeshtë i numrit radikal 243 ka formën 243=3 5 . Kështu, 
.
Përgjigje:
Shembull.
A është vlera e rrënjës një numër i plotë?
Zgjidhje.
Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të faktorizojmë numrin radikal në faktorë të thjeshtë dhe të shohim nëse ai mund të përfaqësohet si një kub i një numri të plotë.
Kemi 285 768=2 3 · 3 6 · 7 2. Zgjerimi që rezulton nuk përfaqësohet si një kub i një numri të plotë, që nga shkalla faktori kryesor 7 nuk është shumëfish i tre. Prandaj, rrënja e kubit e 285,768 nuk mund të nxirret plotësisht.
Përgjigje:
Nr.
Nxjerrja e rrënjëve nga numrat thyesorë
Është koha për të kuptuar se si të nxjerrni rrënjën nga numër thyesor. Le të shkruhet numri radikal thyesor si p/q. Sipas vetive të rrënjës së një herësi, barazia e mëposhtme është e vërtetë. Nga kjo barazi rrjedh rregull për nxjerrjen e rrënjës së një thyese: Rrënja e një thyese është e barabartë me herësin e rrënjës së numëruesit pjesëtuar me rrënjën e emëruesit.
Le të shohim një shembull të nxjerrjes së një rrënjë nga një fraksion.
Shembull.
Cila është rrënja katrore e thyesë e zakonshme 25/169 .
Zgjidhje.
Duke përdorur tabelën e katrorëve, gjejmë se rrënja katrore e numëruesit të thyesës origjinale është e barabartë me 5, dhe rrënja katrore e emëruesit është e barabartë me 13. Pastaj 
. Kjo përfundon nxjerrjen e rrënjës së thyesës së përbashkët 25/169.
Përgjigje:
Rrënja e një thyese dhjetore ose numri i përzier nxirret pas zëvendësimit të numrave radikalë me thyesa të zakonshme.
Shembull.
Merrni rrënjën kubike të thyesës dhjetore 474.552.
Zgjidhje.
Le të imagjinojmë origjinalin dhjetore si thyesë e përbashkët: 474.552=474552/1000. Pastaj 
. Mbetet për të nxjerrë rrënjët e kubit që janë në numëruesin dhe emëruesin e fraksionit që rezulton. Sepse 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 dhe 1 000 = 10 3, atëherë 
Dhe 
. Mbetet vetëm për të përfunduar llogaritjet 
.
Përgjigje:
.
Marrja e rrënjës së një numri negativ
Vlen të ndalemi në nxjerrjen e rrënjëve nga numrat negativë. Kur studiojmë rrënjët, thamë se kur eksponenti i rrënjës është një numër tek, atëherë mund të ketë një numër negativ nën shenjën e rrënjës. Ne u dhamë këtyre hyrjeve kuptimin e mëposhtëm: për një numër negativ −a dhe një eksponent tek i rrënjës 2 n−1, 
. Kjo barazi jep rregulli i rrënjëzimit shkallë tek nga numrat negativë: për të nxjerrë rrënjën e një numri negativ, duhet të merrni rrënjën e numrit pozitiv të kundërt dhe të vendosni një shenjë minus përpara rezultatit.
Le të shohim shembullin e zgjidhjes.
Shembull.
Gjeni vlerën e rrënjës.
Zgjidhje.
Le ta transformojmë shprehjen origjinale në mënyrë që të ketë një numër pozitiv nën shenjën e rrënjës: 
. Tani numër i përzier zëvendësojeni atë me një fraksion të zakonshëm: 
. Ne zbatojmë rregullin për nxjerrjen e rrënjës së një fraksioni të zakonshëm: 
. Mbetet për të llogaritur rrënjët në numëruesin dhe emëruesin e fraksionit që rezulton: 
.
Le të japim shënim i shkurtër Zgjidhjet: 
.
Përgjigje:
.
Përcaktimi në bit i vlerës së rrënjës
NË rast i përgjithshëm nën rrënjë ka një numër që, duke përdorur teknikat e diskutuara më sipër, nuk mund të përfaqësohet si fuqia e n-të e çdo numri. Por në të njëjtën kohë ekziston nevoja për të ditur kuptimin rrënjë e dhënë, të paktën deri në një shenjë të caktuar. Në këtë rast, për të nxjerrë rrënjën, mund të përdorni një algoritëm që ju lejon të merrni vazhdimisht sasi të mjaftueshme vlerat e shifrave të numrit të kërkuar.
Në hapin e parë të këtij algoritmi ju duhet të gjeni se cili është pjesa më e rëndësishme e vlerës së rrënjës. Për ta bërë këtë, numrat 0, 10, 100, ... ngrihen në mënyrë sekuenciale në fuqinë n deri në momentin kur një numër tejkalon numrin radikal. Atëherë numri që kemi ngritur në fuqinë n në fazën e mëparshme do të tregojë shifrën përkatëse më domethënëse.
Për shembull, merrni parasysh këtë hap të algoritmit kur nxjerrni rrënjën katrore të pesë. Merrni numrat 0, 10, 100, ... dhe katrori i tyre derisa të marrim një numër më të madh se 5. Kemi 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, që do të thotë se shifra më e rëndësishme do të jetë shifra njësh. Vlera e këtij biti, si dhe e atyre më të ulëta, do të gjendet në hapat e ardhshëm të algoritmit të nxjerrjes së rrënjës.
Të gjithë hapat e mëvonshëm të algoritmit synojnë të sqarojnë në mënyrë sekuenciale vlerën e rrënjës duke gjetur vlerat e pjesëve të ardhshme të vlerës së dëshiruar të rrënjës, duke filluar nga më e larta dhe duke kaluar në ato më të ulëtat. Për shembull, vlera e rrënjës në hapin e parë rezulton të jetë 2, në të dytin - 2.2, në të tretën - 2.23, dhe kështu me radhë 2.236067977…. Le të përshkruajmë se si gjenden vlerat e shifrave.
Shifrat gjenden duke kërkuar nëpër to vlerat e mundshme 0, 1, 2, ..., 9. Në këtë rast, fuqitë e n-të të numrave përkatës llogariten paralelisht dhe ato krahasohen me numër radikal. Nëse në një fazë vlera e shkallës tejkalon numrin radikal, atëherë vlera e shifrës që korrespondon me vlerën e mëparshme konsiderohet e gjetur dhe kalimi në hapin tjetër të algoritmit të nxjerrjes së rrënjës bëhet nëse kjo nuk ndodh; atëherë vlera e kësaj shifre është 9.
Le t'i shpjegojmë këto pika duke përdorur të njëjtin shembull të nxjerrjes së rrënjës katrore të pesë.
Së pari gjejmë vlerën e shifrës së njësive. Ne do të kalojmë në vlerat 0, 1, 2, ..., 9, duke llogaritur përkatësisht 0 2, 1 2, ..., 9 2, derisa të marrim një vlerë më të madhe se numri radikal 5. Është e përshtatshme për të paraqitur të gjitha këto llogaritje në formën e një tabele: 
Pra, vlera e shifrës së njësive është 2 (pasi 2 2<5
, а 2 3 >5). Le të kalojmë në gjetjen e vlerës së vendit të dhjetë. Në këtë rast, ne do të vendosim në katror numrat 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, duke krahasuar vlerat që rezultojnë me numrin radikal 5: 
Që nga 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, atëherë vlera e vendit të dhjetës është 2. Mund të vazhdoni të gjeni vlerën e vendit të qindtave: 
Kështu u gjet vlerën tjetër rrënja e pesë, është e barabartë me 2.23. Dhe kështu mund të vazhdoni të gjeni vlera: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Për të konsoliduar materialin, ne do të analizojmë nxjerrjen e rrënjës me një saktësi prej të qindtave duke përdorur algoritmin e konsideruar.
Së pari ne përcaktojmë shifrën më domethënëse. Për ta bërë këtë, ne kubojmë numrat 0, 10, 100, etj. derisa të marrim një numër më të madh se 2,151,186. Kemi 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, pra shifra më domethënëse është shifra e dhjetësheve.
Le të përcaktojmë vlerën e saj. 
Që nga 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186, atëherë vlera e vendit të dhjetësheve është 1. Le të kalojmë te njësitë. 
Kështu, vlera e shifrës së njëshit është 2. Le të kalojmë në të dhjetat. 
Meqenëse edhe 12.9 3 është më pak se numri radikal 2 151.186, atëherë vlera e vendit të dhjetës është 9. Mbetet për të kryer hapin e fundit të algoritmit do të na japë vlerën e rrënjës me saktësinë e kërkuar; 
Në këtë fazë, vlera e rrënjës gjendet e saktë në të qindtat: 
.
Në përfundim të këtij artikulli, dua të them se ka shumë mënyra të tjera për të nxjerrë rrënjët. Por për shumicën e detyrave, ato që studiuam më sipër janë të mjaftueshme.
Bibliografi.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 8-të. institucionet arsimore.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për ata që hyjnë në shkolla teknike).
